EL EL M
Dans la représentation des surfaces en coordonnées ordinaires, les points pour
df * lesquels les coefficients de l'équation T, et partant les expressions ^, etc.,
S76 SURFACE DE l'ONDB DES CaiSTÀUX À DEUX AXES.
disparaissent; présentent une singularité. En de pareils points il n'y a pas qu'un seul et unique plan tangent^ mais il y en a un nombre indéfini^ et ceux-ci ont pour enveloppe^ en général^ un cône du second degré dont le sommet est le point en question et qui touche la surface en ce point de son côté dans toutes les directions. On trouve' pour équation de ce cône tangent :
Soit : K = 0.
Mais si l'on considère les coordonnées paramétriques^ Tévanouissement des coefficients de l'équation T^ signifie alors que le plan tangent dont les coordoimées sont Ç'^ ri', i' ne touche pas la surface en un seul et unique points mais en un nombre indéfini de points. La suite continue de ces points représente la courbe de contact du plan tangent singulier et de la surface^ et elle est donnée par l'équation K = 0. La courbe de contact est ainsi un cône de seconde classe^ c'est-à-dire^ une courbe de seconde classe^ considérée comme figure dans l'espace.
Un coup d'œil jeté sur la section principale xz, montre que la surface de l'onde possède les deux singularités dont nous venons de parler. A la ren* contre du cercle et de l'ellipse qui forment cette section^ la surface de l'onde a évidemment plus d'un plan tangent; ces points de rencontre sont les points singuliers. Un plan que l'on mène par une des quatre tangentes communes à l'ellipse et au cercle^ perpendiculairement au plan xz, touche la surface en plus d'un point et est par conséquent un plan tangent singulier. £n attendant que nous examinions les points singuliers au moyen de l'équation de la surface de l'onde en coordonnées ordinaires^ nous allons chercher les pro* priétés des plans tangents singuliers.
D'après ce qui précède, et en remplaçant l'équation /*= par celle de la surface de l'onde, on a pour déterminer les coordonnées u, v, w des plans tangents singuliers ;
^=0 ou du
2 u [u^é V -f- v^a V-f w^a'^ô^ + Pc^(n^ + ^' + ^^) — (^' + ^')1 = ou pour abréger 2 u A =
SUnFÀCE DE l'onde DES CRISTAUX A DEUX AXES. 277
de même -i- = ou a?
ou 2 V B = 0,
et enfin -/- = ou
ou 2 w C = 0.
Ces trois équations seront satisfaites en môme temps :
4« Si Ton a u = v = w=0;
2*» Si l'on pose A = B = C = 0;
3^ Si deux des quantités u^ v^ w disparaissent avec celle des expressions A, B, C qui correspond à la troisième : ainsi, par eiemple^ si u = 0, v = jetb = 0;
4"* Si deux des expressions A, B, G deviennent nulles et en même temps la coordonnée qui correspond à la troisième : ainsi quand A = G=:Oet?=0,
Mais il est facile de se convaincre qu'il n'y a que le quatrième et dernier cas qui peut réellement convenir à un plan tangent de la surface. Et par conséquent les coordonnées des plans tangents singuliers seront données par les groupes d'équation suivants :
Considérons d'abord le dernier groupe. Nous pouvons écrire à sa place/' en ayant égard à la condition qui lui correspond v = 0^ 4) v = 0'
3) u^ b' c^ + w' û^ b^ + û^ b' (u' 4- w^) — (a" + *') = 0. Retranchant les deux dernières membre à membre^ il vient :
Multiplions l'équation 2) par a}, l'équation 3) par e^ et retranchons l'une de l'autre^ on aura :
Comme plans tangents singuliers de la surface de l'onde^ nous aurons donc ceux dont les coordonnées satisfont aux équations 4), 2) et 3'). Mais l'équation 4) nous dit que chacun de ces plans doit être parallèle à Taxe des y, l'équation 2') que son intersection avec le plan des xz est tangente au cercle de la section principale xz et l'équation 3') qu'elle est tangente à Tellipse de cette même section.
27& SURFACE DE l'oNDE DES CRISTAIJX A DEUX ^XES»,
Pour les coordonnées de ces plana nous trouvons d'après les équations i) jusqu'à 3') les relations suivantes :
et elles satisfont^ comme le montre la substitution^ à Téquation de la surface.
Ainsi les quatre plans menés par la tangente double à la section principale
iz et .perpendiculairement d son plan, sont des plans tangents singuliers
de la surface de l'onde.
Si au lieu du groupe d^équations que nous avons choisi^ nous en eussions
pris un autre^ nous serions arrivés absolument de la même manière à trouver
encore comme plans tangents singuliers ceux qui sont perpendiculaires à une
dés deux autres sections principales et menés par la tangente commune au
eercle et à Tellipse de cette section. Mais ces tangentes communes sont ima^
ginaires^ puisque les sections coniques ne se rencontrent pas : il en résulte
que ced plans tangents singuliers sont au$si imaginaires et que ceux que nous
avons étudiés en premier sont les seuls réels.
La question qui s'offre maintenant^ est relative à la courbe de contact.
d^ f Pour avoir son équation, déduisons les valeurs de t-^ €tc. et substituons-les
^ ' •• du^
dans les coordonnées paramétriques trouvées pour les plans tangents singu-*
liers. Nous aurons :
2 rfu'' c' — a'
• ^c' — 6') (ft' ->- a')
, 2 (fw^ c' — a'
2 du rfv *
2 du dw V ^ / — c^ — «'
1 dY .2 dv dw
L'équation de la courbe de contact sera d'après cela^ en repréâentant par u', v', w' les coordonnées paramétriques d'un plan singulier :
SlllFACB DE l'onde DES CRISTAUX A DEUX AXES. 279
ÔV \b^ — a*) (u — u')' — |(c^ — h') (ft^ — a^) (c»'— û^) (y y')'
Le signe du radical, comme le montre l'expreçsion -; — V-, sera pris en
au dyt
accord avec celui du produit u' w^ Comme toutes les courbes de contact sont ^mblablement placées par rapport aux plans coordonnés et sont identiques, nous ne considérerons par la suite qu'une seule d'entre ellçs, aaveir celle qui est placée au-dessus du plan des xy et à droite du plan des yz : pour elle on a u'w' > 0, il faut donc prendre le radical avec le signe 4* •
Faisons dans Téquation de la courbe de contact w = 0, elle devient Téquation de sa projection sur le plaQ xy. On a :
Elle représente en coordonnées paramétriques Téquation d'une ellipse dont Tin axe est sur l^axe des x, et par conséquent la courbe de contact est aussi une ellipse dont Taxe est sur la tangente commune, dont les sommets sont les points de contact de cette tangente avec le cercle et Tellipse.
Si dans la dernière équation on fait u = 0, les deux racines v de Téquation qui en résulte sont les valeurs réciproques des segments que déterminent sur Taxe des y les tangentes à la projection parallèles à Taxe des x. La valeur réciproque d'une racine n'est donc rien autre chose qu'un demi-axe de la projection et aussi de la courbe de contact elle-même perpendiculaire à la section principale xz, cette courbe ayant le même demi-axe. Mais la substitution indiquée change Téquation de la projection en la suivante :
1(^2 fl2) (^2 ^2) (ô» a^) (V — vr = ^'^' (^' — «') u''
et au lieu de celle-ci on peut écrire, à cauçe des valeurs de u', v', w' ;
i (c^ - a') c' — b^) {b' — aM V» = b' {c' — a»).
Représentons par / la longueur des deBii-ax.es dont nous avoqs parlé plu3 haut, on aura donc :
%b Pour obtenir la longueur de l'axe de la projection situé sur l'axe des x.
280 SURFACE DE l'OICDE DES CRISTAUX A DEUX AXES.
nous ferons dans son équation t =:= 0; les valeurs réciproques des racines u dans réqualion résultante^ donnent les distances des sommets de cet axe à l'origine des coordonnées. Mais puisque v' = 0^ on a :
Par la substitution des valeurs de u' et de w'^ le terme constant se change en e* — a" et le coefficient de u devieiU :
Représentons alors par d la valeur réciproque de u^ la distance d'un sommet^ on a :
La différence des racines d n'est autre que la disUince des sommets ou la longueur 2^ de Taxe de la projection qui tombe sur l'axe des x, on aura donc pour la moitié de cet axe :
L'axe 2 /9 est la projection de l'axe de la courbe de contact qui coïncide avec la tangente commune. Représentons ce dernier par 2 V y en nommant Z, l'angle d'un axe optique (la normale à la tangente commune et au plan singulier) avec l'axe des z^ on a :
|9 = /'Cos. Z,, •
d'où :
Cos. Z, 2 ô ^ e ^ d' ^ c"
= éô ^^*' ~ ""'^ ^^' ~ ^'^'
Nous voyons d'après cela que / = /', par conséquent que les courbes de contact sont des cercles, dont le diamètre est égal à la portion ek (Fig. 175) des tangentes communes dans la section principale xz.
A un plan tangent ordinaire de la surface de Tonde correspond un rayon lumineux unique^ le rayon mené par le point de contact. Mais aux plans tangents singuliers correspond une infinité de rayons^ savoir tous ceux menés
EVRFACK DE LO.NDB DES CBIBTAUX 1 DKIX AXttS. 281
par le centre de la surface et les points de la courbe de contact. Ces rayons
forment, d'après ce qui précède, un cône du second ordre dont le sommet e>l Fig. 175. *"' centre de la surface de
t'oode et dont la base est la courbe de contact ellemême; des deux sections circulaires, l'une est pcipeadiculaire ù l'arête qui est dans la direclion de l'aie optique, et est par conséqtienl parallèle à la courbe de contact. La pi*mière section principale du cône, celle qui contient l'angle de plus grande ouverture, est dès lors perpendiculaire à la section principale xz, au plan des
«es optiques; la seconde section se confond avec ce plan. A chacun des rayons en question correspond, comme nous allons le voir,
un plan de vibrations particulier ; il passe par le rayon et par l'axe optique.
Ainsi, soit K (Ggure 176, 1), une courbe de contact, A, le point où passe
fig. 176.
wn axe optique et A, A; la trace du pkn des deux aies. La ligne A,r qui joint le point A, au point r de sortie d'un de ces raynns, détermine la direction des vibrations de ce dernier. La figure 176, 2, repi-feeule la polarisation sur la périphérie de la courbe de contact.
^â SURFACE DE l'onde DES CRISTAUX A DEUX AXES.
Citation iM ia surface de l'o«be en coordonnées ordinaires.
Outre les deux constructions que nous avons indiquées et qui donnent les plans tangents à la-suvface de l'onde^ Fresnd «n a imaginé une troiâ&ne au moyen de laquelle on peut trouver un nombre ^elconque de ses points. Elle s'appuie sur la considération du second ellipsoïde désigné par 6. On coupe V ellipsoïde @ par un plan diamétral, du centre an élève sur celui-^n une perpendiculaire et on, porte sur elle, à partir de ce centre, et des deux côtés, les longueurs du demi-grand axe et du demi-petit axe de la section diamé^ traie : les quatre points ainsi obtenus sont des points de la surface de l'onde^ Fresnel n'a pas démontré que la surface de l'onde ainsi cftitenue colndde avee celle kouvée par les autres procédés ; mais Ampère a froufë leur identité par l'analyse (i). Nous préférons ici^ pour montrer l'accord coiaplet de toutes les constructions données^ employer la mé&ode de Plucker, 4pû s'appuie sur les quelques remarques géométriques suivantes.
Soient x^, y', z' les coordonnées d'un point P, et S = O l'équation d'une sphère dont le rayon est l'unité et dont le centre est à l'origine des coordonnées. Avec le point P, quelle que soit d'ailleurs sa place^ concevons ua plan E déterminé par cette équation ;
rfS , dS , dS .
dx^ ^ dy^ ^ ^ dz^
A cause de cette liaison entre le point et le plan^ nous appellerons P le pôk 4e E, et £ le plan polaire de P. Il est facile de s'assurer que E est perpendiculaire à la ligne qui joint le centre de la sphère au point P^ et que le produit des distances du oei^re au plan E et au point P est égal à l'unité.
Si l'on a maintenant une surface F et si l'on construit le plan polaire de ^ chacun de ses fKHiits^ tous ces plans enveloppent une seconde surface ^ et Ton peut démontrer que les plans polaires de tous les points de la seconde surface touchent la première^ en sorte que^ si ^ et ^ sont le plan tangent et le point de contact de la première^ t et tt sont les mêmes pour la seconde^ et si T est le plan polaire ée p,t sera le plan polaire de n.
Cette proposition^ dont on peut trouver la démonstration dans les ouvrages de mathématiques^ rend facile^ comme nous allons le voir^ la liaison des différentes constructions de la surface de l'onde.
Supposons que le plan de la figure 177 passe par le rayon OP d'un point P
(1) V. Détermination de V équation de la surface de Vonde.kavi, de PQgg. XXX.
SDBFACB SB l'oNDB DES CHISIADX A DEUX AXBS. 283
du second ellipsoïde @ et par la perpendiculaire ON menée du centre sur 1« plan tangent TT au point P. Soit en outre l'ellipse E, l'intersection de ce plan atec le premier eliip- BOldc, et Feliipse @, sov intersection atec le second. Un plan mené pac NO, perpendiculairement au plan du triangle NOP, coupe la surface d'élasticité (voyez p^e â66), suivant une courbe dont un aie est O^, et il en résulte que Op est également un aie dans la section du même plan avec l'ellipsoïde E (voyei pi^e S6!i), et l'on a :,
1) ON. Op — t.
On voit en outre que le plan tangent au point p au premierelKpsoîde^nr perpendiculaire au plan de la figure, passe par la tangente it à l'ellipse E, de même aussi que le plan TT peut être regaid comme plan polaire àa point p par rapport à une sphère S de rayon 1 dont le centre serait en 0. Le ptemier et le second ellipsoïdes sont donc (voyez plus haut), par rapport à 1» sphère en question, conjugués polairement et P est aussi le pôle de tt; àoaa. d'après cela :
2) 0». OP = t.
D'après les équations 1) et 2) nous voyons que les tnangles opn et OPN sont semblables entre eux, en sorte que on est la normale à tt.
Tournons maintenant de 90' les triangles PON, pon dans leur plan ainsi que les plans TT, tt, de sorte qu^Hs viennent dans la position P'ON', p'm'^ TT', t't'. Après ce mouvement, P' reste le pôle de t'I' et p' celui do T'T'.
Si nous appliquons ces constructions à' chacun des points de l'ellipsoïde @, nous obtenons dent groupes de plans T'T' et t't' , et chacun d'eux enveloppe une surface. D'après la proposition de ta page précédenl«> ces surfaces sont polairement conjuguées et P' est le point de contact de T'T' et p' celui de l't'. Mais comme on l'a vu page 266 et suivantes, les plans TT' enveloppent la surface de l'onde, dès lors P' est un point de cette dernière. C'est en cela que consiste la démonstration de l'accord complet de la
384 SURFACE BR l'ONDE 1)E» CRISTAUX A I^EUX AIES.
troisième construction de Fresnel avec les deux premières^ eair OP' est une perpendiculaire à la section diamétrale de rellipsoîde 6 par le plan mené par OP perpendiculairement au plan OPN^ et la longueur de cette perpendiculaire est égale à Tun des demi-axes OP de cette section diamétrale.
Nons ne nous arrêterons pas à la démonstration simple que TensenriMe des plans tH^ enveli^ipe une surface d'onde naturellement différente en positîoii et en dimensions de celle dont nous venons de parler et que par oonséqurat la polaire de la surface de Tonde est une noutelle surface d'onde.
Le {rian tangent TT'^ considéré comme une onde^ correspond au rayoft OP'. Le plan de vibrations des deux est celui du triangle PON comme aussi du triangle P^ON' d'où il résulte que le plan de vibrations d'un raiipa et die l'onde plane correspondante eit déterminé par ce rayon et la normale au plan de l'onde, comme nous l'avons aussi trouvé dans les milieux à un aie»
Dana la construction des ondes planes par la méthode de Pluéker, noua trouvons qu'à tous les points de la courbe de contact d'un cylindre de révolution et de l'ellipsoïde @ correspond une seule et même vitesse et par conséquent pour la surface de l'onde un seul et unique couple de plans tangents (deux plans tangents singuliers)^ mais que chaque point donne un autre plan de vibrations déterminé par un axe optique et le rayon passant par le pohit. La même chose a lieu ici dans la construction des rayons. Tous les pointa d'une section circulaire de l'ellipsoïde donnent de même des rayons de même direction et de même longueur^ par conséquent seulement deui pmnts de te surface de l^nde^ diamétralement opposés. Ces rayons là sont perpen^cu^ laires à la section circulaire et leur longueur est égale à son rayon b : on reconnaît donc dans leurs extrémités les points singuliers de la surface dé l'onde. Les plans de vibrations que l'on obtient pour les rayons lumineux de chacun de ces points doivent passer par les rayons vecteurs aboutissant à ces points et la normale à la section circulaire^ et sont par conséquent dans tous les azimuths. De même que pour les plans tangents singuliers^ il y a pour les points singuliers un nombre indéfmi de plans de vibrations.
A cause de la similitude des rôles que jouent les normales aux sections circulaires des deux ellipsoïdes^ <hi a appelé aussi celles de l'ellipsoïde @ axes optiques^ mais pour les distinguer de ceux dont nous avons déjà souvent parlé^ on lésa désignés sous le nom d'axes optiques des rayons; pour abréger nous les appellerons axes optiques secondaires (i). ^Les angles des axes
(1) Il sera plus conrenable de conserver le dénominalion « d'axe optique api>arenl » à la dircetioD suivant laquelle se réfracte un faisceau lumineux dont les ondes se pror-
SURPACB DB l'onde DES CRISTAUX à DEUX AXES. S8S
optiques secondaires sont partagé» es parties égales^ par tes axes eooi'doQ&és des X et de» ;s ; ils ne sont pas éloignés beaucoup dea axes optiques propre»» Représentcms re^^ectiveHieDt par X,^ Z^^ X,', Z/ les aagjes que les axe» optiques secondaires font avec les aiLes coordonnés; on aura d'après les expressions de la page 257^ relattres aux axes optiques proprement dits^ en
remplaçant les demi-axes de £ par Tes démi-axés correspondants de @ :
Cos. X',=z+ m/-^ 1-, Cos. 2',= +
•aM«*»^«<M*.
Cos. X\=— m/ 2 1^, Cos. z\ = +
L'analogie entre la première et la troisième construction de Fresnel^ permet de transporter à celle-ci toutes les conséquences déjà déduites de la première. Pour cela on devra donc permuter d'abord le premier ellipsoïde avec le second et aussi les axes optiques propres avec les axes secondaires. A la place de la normale à l'onde on aura le rapn ; pour vitesse d'une onde, eu bien si on regarde cette onde comme un plan tangent à la surface de l'onde^ pour sa distance au centre^ il faudra prendre la laleur réciproque de la longueur du rayon correspondant ou de sa vitesse (eel]e-ei> royez page 2i& et suivantes^ n'est autre chose que la vitesse avec laquelle le point de contact d'un plan tangent à la surface de l'onde se propage le long du rayon pendant que cette surface s'étend dans Péspace ; elle est par conséquent égale à la longueur de ce rayon dans la surface de l'onde qui correspondrait à l'unité de temps). Cette transposition nous conduit aux deux propositions suivantes qui déterminent complètement les propriétés des rayons :
J* Si l'on mène par une direction donnée et tes deux axes optiques secondaires deux plans et si Fon partage en deux parties égales les angles dièdres qu'ils forment^ les plans bissecteurs sont les plans dé vibratiofis des deux rayons qui eorrespmdent a cette direction, La dîrectioii dès vibrations de chaque rayon est en outre dans le plan de l'onde correspondant et est dé» lors en général inclinée sur la ligne de propagation.
pagent daDS un cristal suivant la direction d'un axe optique des ondes, pour pénétrer ensuite dans Tair ambiant.
286 SGRFÂCB BB L^ONDB BBS CRISTAUX A DBUX AXBS.
2* Soient s« et s^ les vitesses de deux rayons qui sont dam la même rfirection et soient ip, et ifr, les angles de celle-ci avec les axes optiques secortdaires, on aura, comme on peut le déduire des équations de la page 260 :
Sol' 2^2
Nous pouvons encore préciser davantage au moyen du cône des vitesses les lois des rayons qui se groupent autour des axes secondaires optiques comme lignes focales^ et qui se distinguent en rayons de premier et de second ordre (plus rapides et plus lents).
Des équations précédentes, on déduit ausâ la loi trouvée par M. Biot : i 1/1 1 \
La différence des carrés des valeurs réciproques des vitesses de deux rayons de même direction est proportionnelle au produit des sinus des deux angles que cette direction fait avec les deux axes optiques secondaires.
Enfin au moyen des équaticms de 5« et de s^ il est posabîe (farriver à l'équation de la surface de Tonde. En représentant par r la longueur du rayon dont la direction est déterminée par les angles 4>, cette équation est ïk suivante :
^ So,^ '"^ S^' '
Remplaçons dans ces équations Sa? et s^ par leurs valeurs, en représentant pour abréger — (^— + ±^ par er et i- ^-1 - i-^ par r, U vient :
r* [ff' - T» + t' (Cos.' ^, + Cos.» +,) + 2 cTT Cos. ^, Cos. ^,] — r^ (2 (7 + 2 T Cos. .{* Cos. f J + 1=0.
Et cette équation peut facilement se transformer en une autre en coordonnées ordinaires. Représentons par x^ y, z les coordonnées de PextremiCê de r, en outre par a, p, 7 les angles de ce rayon avec les axes, on a :
^'=^' + y' + 2% C0S.« = — , Cos.ôrrrl-, CoS. y = —
et en même temps
S€RFACE DE l'oNDE DES CRISTAUX A DEUX AXES. 287
Cos. 1^, =—{x Cos. X/ + z.Cos. Z/) r
Cos.'ifs = — ( — ^ Cos. X, ' 4" ^« Cos. Z/J r
La substitution de ces yaleurs dans Téquation précédente^ ainsi qu'une transformation tout à fait analogue à celle de la page 273^ conduisent pour l'équation cherchée à la suivante :
(ar» + y' + z') (a' x' + b' y' + c^ z') — [a» x^ (b^ + c') + ô^ y^ (a^ + c') + c^ z^ (a» -f *')1 + «' *' c» = 0, à laquelle^ avec Hamilton^ on peut donner cette forme :
ar^ -|-y2^2»a^ • a^i |-. y^ ^^^—i^ i x' -{-y^ ^z"" —c'
Points singuliers de la surface de l'onde. L'équation de la surface de l'onde en coordonnées ordinaires doit évidemment nous faire connaître^ aussi complètement que par les coordonnées paramétriques^ les propriétés de celte surface; mais pour éviter les répétitions inutiles^ nous lui demanderons seulement la nature des points en question ^ et cette recherche;, d'après les remarques générales de la page 275^ doit être tout à fait analogue à celle qui nous a fait connaître les plans tangents singuliers.
Les coordonnées des points singuliers doivent satisfaire aux équations suivantes :
j^ = 0ou2y[a2a?^ + 6'y* + c^2» + *M'''— «'— <^')l = 2yB=:0 ay
^=Oo\x^z[a' X' +b' y' ^c' z' +c' (r' - a' — b')]^^zC = 0. dz
Or cela n'aura lieu que pour les points réels de la surface pour lesquels on
aura :
y=0 A = <r = ou
Les deux dernières équations peuvent se remplacer par celles-ci qui en proviennent : • .
