DANS UN CRISTAL A DEUX AXES

pouvons aussi en second lieu, remplacer la lumière partiellement polarisée par

un rayon de lumière naturelle d'intensité (f — Sin. y)% et un rayon de

lumière polarisée en ligne droite, dont les vibrations sont dans la direction primitive de vibrations et dont l'intensité est — - ^ Sin. y. La mesure de la po-

larisation partielle (le rapport de l'intensité de la lumière polarisée à celle d% la lumière naturelle) est :

2 f Sin. ^ i

(f — Sin. tfY 7 Sin. o

2 Sin (f 3 (p

2 Sin f Enfin pour Tintensité totale on obtient la valeur :

Nous voyons d'après cela que, quelle que soit la forme de la partie éclairée de la seconde surface, en tous les points d'un cercle concentrique à CC on aura la même lumière. Et suivant que r<R, r = R, r>R l'éclat, sur le même rayon, diminue d'une manière continue ou vers les deux bords, ou bien du centre vers le bord extérieur, ou enfin de la circonférence du cercle du rayon r — R vers l'extérieur.

La lumière est partiellement polarisée et ses vibrations dominantes sont dans la direction primitive des vibrations, de sorte que les vibrations de tous les points d'un rayon sont parallèles à la ligne qui joint l'intersection du rayon et du cercle CC avec le point A, .

La mesure de la polarisation partielle suit presque la même marche que l'intensité. Vers le bord externe et, si r < R, vers le bord interne, la polarisation partielle se rapproche graduellement de la polarisation complète et l'atteint entièrement sur ces bords. Mais 8irs=:Rour>Rla lumière du point central ou celle du cercle intérieur de rayon r — R, est constituée tout à fait comme la lumière incidente, par'conséquent d'un éclat uniforme et non polarisée. Dans le premier de ces cas (r = RUl y a dans l'intensité et la polarisation un saut brusque du centre aux points voisins. Mais dans le second cas (r > R) du bord du cercle de rayon r — R, aux limites extérieures de la partie lumineuse, l'éclat d'intensité a^ se change en obscurité, et de l'absence de toute polarisation, on passe graduellement par tous les degrcs de polarisation partielle jusqu'à la polarisation rcctiligne complète.

310 TASSAGE DE LA LUHIËBE d'uH HILIEU IBOTnOPE

Les données enacleB que ta Ibéorie nous a fouroies dans ce qui précède, n'ont pas encore été vériflées par l'expérience dans toutes leurs particularités.

Nous signalerons aussi la simplification que l'on peut' faire, si, comme dans les cas examiaéB jusqu'à présent, ie rayon r n'a pas une valeur importante par rapport à R. On obtient alors un anneau lumineux et, comme il est facile de le voir par ce qui précède, on peut admettre sans erreur sensible que, si la lumière incidente est polarisée, les vibrations sont exactement dans le plan primitif des vibrations, et que l'intensité s'annule complètement sur le rayon Oo, qui fait avec A.O un angle deux fois plus grand qu'avec It.

Si en second lieu la lumière iacidenle n'e^ pas polarisée, on peut aussi, sans erreur sensijjle, négliger entièrement la lumière naturelle qui se mêle en général à la lumière polarisée.

Ayant suivi les ondes réfractées dans l'inlérieur du cristal jusqu'à la seconde surface, nous allons voir maintenaot comment elles repassent dans le milieu isotrope, où l'on pourra de nouveau les observer. Chaque onde pénètre dans le milieu moao-réfringeot au point oii elle rencontre la seconde surface, et reprend sa vitesse initiale, en mÉme temps que chaque point de sa limite, qui du reste ne chan^ pas de forme, s'avance suivant uue ligne perpendiculaire à l'onde.

Représentons-nous le cas intéressant où la seconde face est éclairée sur un espace annulaire (figure 189) ; alors les ondes deux fois réfractées se compo- Fig 189.

DANS UN CRISTAL A DEUX AXES. ^3fi

sent en une onde annulaire qui^ en tous points^ coïncide avec l'anneau lumineux en question. De la plaque sort donc un faisceau de rayons limité par deux cylindres de révolution dont les axes sont communs et qui reposent sur les limites interne et externe de Tanneau, L'épaisseur du faisceau cylindrique creux est égale à celle du faisceau incident et son diamètre moyen est celui cb& cercle CC. Nous distinguerons dans ce faisceau^ comme plan rero&Fquable^ là> section menée par Taxe parallèlement aux axes optiques^ et comme arête remarquable de son cylindre moyen (celui qui repose sur CC) celle qpi coincide^ avec la direction de l'axe optique AA,. Le plan remarqpable partage le faisceau en deux moitiés qui sont symétriques quant à ce qui regarde la polarisation. Si nous menons par Faréte remarquable et par une secondé arête s$^ du cylindre moyen^ un plan S et par cette dernière ss et Taxe^ un autre plan ^^

les vibrations de tous les rayons qui sont dans Ë sont parallèles au plan S. Sur Tarête remarquable elle-même les vibrations sont perpendiculaires à la section remarquable ; elles s'inclinent de plus en plus sur cette section à mesure qu'on s'avance sur la circonférence du cylindre moyen en partant de l'arête principale et elles s'inclinent avec une vitesse angulaire moitié de celle avec^ laquelle on avance. En effet est-on arrivé en s', on a décrk l'angle sOs% les vibrations ont tourné de l'angle sAis', mais sQs' est double de sAsK Si Ton arrive à l'arête diamétralement opposée à l'arête remarquable^ si l'on a parconséquent avancé de iSO''^ les vibrations sont dans la section remarquable et ont par conséquent tourné de 90''.

Cette espèce particulière de réfraction que nous venons d*étudier^ fut reconnue par le professeur Hamilton comme une conséquence nécessaire de la forme qui caractérise la surface de l'onde d'un cristal à deux, axes^ et fut désignée du nom de réfraction conique intérieure. A la demande d'Hamilton le physicien anglais Lloyd entreprit d'en démontrer expérimentalement l'existence^ ce à quoi il réussit. Dans cette prédiction du calcul vérifiée a posteriori,, on a vu avec raison une preuve des plus convaincantes de l'exactitude de la théorie ; cette dernière n'a pas seulement expliqué les faits déjà connus^ mais encore elle a conduit à en découvrir de nouveaux.

L'arragonite se prête fort bien à l'observation de la réfraction confque ; c'est de ce cristal que s'est servi Lloyd dans ses recherches^ que nous citermis plus tard^ parce que les choses ne s'y passent pas aussi simplement que dans les cas que nous avons examinés. L'arragonite appartenant.au système isoklinique^ cristallise en prismes rhombiques mm^ (figure 190)^ avec des angles de 116® i 6' et de 63® 44'. Les cristaux portent un biseau sur la base par les faces gg^ qui tronquent les angles trièdres aigus du prisme. La face k, qui est la face de clivage^ coupe les angles dièdres aigus du prisme.

! Dl. L* LVnitRE H'Vtf MILIEU ISOTIOPE

Dans l'arragoailc l'aie du prisme mm' est la bissectrice de l'angle ai^ des aies optiques et h graflde diagonale de la bese est la bissectrice de l'angle

Fig. 190.

obtus. Les aies optiques font un angle d'environ 20°. Si donc on taille dans l'amgonite deux faces formant avec les faces k un angle de iW, la plaque qui en résulte est sensiblement perpendiculaire à l'un des aies optiques. On a soin de lui laisser une grande épaisseur et en l'introduisant dans rinstniment représenté figure 191, on peut fadlement observer la réfraction ctHiique comme nous allons le dire, La plaque est entassée dans du Irége filé dans la douille h. Celle-ci tmime autour de son aie dans le cjlindre ce et ce dernier, au moyen du bouton S, peut tourner autour d'un aie qui traterse perpendiculairement à l'aie le cylindre CC contenant les pièces pricédentes. Le cylindre CC porte k l'une de ses extrémités la plaque métallique PP avec une ouverture j^, derrière laquelle eat fiiéeune feuille d'étain percée dans l'aie de Ilnsirufflent d'un trou fait avec une aiguille fine. A l'autre bout du cylindre CC est un tube contenant une lentille et un trou oculaire. La lentille est disposée de telle manière qu'en regardant vers une source de lumière (le ciel ou une lampe), les deui images du trou de la lame d'étain, formées par la double réfraction de l'arragonite, soient vues nettement. En tournant la douille A dans le cylindre ce, or arrivera facilement à faire qu'en tournant le bouton 9 aucune des images ne sorte du plan perpendiculaire à l'aie de S ; ce plan se confond alors avec celui des aies optiques. Quand on y est parvej^u, an moins approximativement, çn employant le boulon et en dirigeant Jbnvena- ' blcnicnt l'instrument, on arrive bientdt à rapprocher les deux images, au moment où l'on croit qu'elles vont se couvrir; alors on obtient un petit anneau brillant (ligure 192, I), qui est produit par les ondes annuldres, par le faisceau lumineui cylindrique et creui, en lequel se changent, par laréfraction conique, les rayons incidents qui pénètrent par la petite ouverture de la feuille d'étain. Un peu avant de se mêler en un anneau lumineui, les deux images preiinenl les formes de ménisque, représentées dans la ligure 192, 2, et présentent dans la direction de la section principale des axes optiques les couleurs de la

. A DKLK AKBS,

dispersim quand on emploie de la lumière blanche. Mais ces couleurs dispaitiatent quand la lumière forme l'anoeau complet.

Fig. 193.

Si l'on interpose eolre l'œil et l'oculaire de rinstniment un prisme de Nicul, on peut F.^fe '^^^■L^u.^^l toujours obserter l'anneau et on peut en |^vB^^^B|||BH i^i^ étudier sa polarisation. On s'apercevra alors (figure 19^, 3), que des deux extrémité d'un certain diamètre de l'anneau, une est complètement obscure tandis que l'autre a un maximum d'éclat et qu'à partir de ce dernier point, l'éclat diminue graduellement de la même manière des deux côtés jusqu'à l'autre point. Quaill à la position de ce diamètre, il se cotirond avec la direction des vibrations dans le prisme, quand celle-ci tombe dans le plan des axes optiques, et alors l'extrémité obscure du diamètre est sur l'arêle remarquable du faisceau cylindrique, par conséquent au point d'émergence de l'aie optique normal à la plaque, tandis que l'extrémité lumineuse ne se confond ni avec la bissectrice ni avec le second axe optique. Si l'on tourne le prisme de Nico) autour de son aie à droite ou à gauche, le diamètre en question tourne dans le même sens, mais avec une vitesse angulaire double de celle du prisme, d'après quoi la position du diamètre sera déterminée sitôt que te plan des vibrations sera donné dans le polarisateur.

Toutes ces apparences s'expliquent complètement d'après tes rapports de polarisation que nous avons indiqués dans le faisceau creux. En effet, soit dans la ligure 193, ce une section de son cylindre moyen perpendiculairement à l'axe, A, le point d'émergence de son arête remarquable, et tt la direction des vibrations du polarisateur. Si A , est perpendiculaire sur ^f et que A «lui soit parallèle, il est évident que le rayon passant en <i, dont la direction des vibrations eet A u, ne sera pas affaibli par le iwlarisaleur, tandis qu'au contraire celui qui passe en o, qui vibr?

314 PASSAGE DE LA LUMifcRB D*UM MILIEU ISOTROPE

suivant A,o perpendiculairement à tt, sera Complètement éteint. Tout autre rayon dont la direction des vibrations sera plus ou moins inclinée sur tt, sera plus ou moins affaibli. Ainsi pour le point b, la direction des vibrations est A,(. Soit a l'amplitude de la lumière. La vibration en b peut se décomposer en deui dont Tune est parallèle kkiO, Tautré à A,u. Celle-là a pour amplitude a Cos. bkiO = a Cos. ^ bOo, et est complètement détruite par le polarisateur. La seconde a pour amplitude a Sin. (A^o = a Sin. ~ bOo, et passe par le polarisateur sans être affaiblie. Pour Tintensité en un point quelconque jt nous aurons donc : a* Sin» i bOo, et Ton voit d'après cela qu'en partant du point o où elle est nulle^ elle diminue graduellement de la même manière des deux c6tés sur le contour de l'anneau^ qu'enûn au point «, diamétralement opposé à o, elle atteint sa valeur maiimum a\

Le diamètre o» qui partage ainsi l'anneau lumineux en deux parties symétriques forme^ avec le plan des a&es optiques ou sa trace A.OA.^ l'angle A,Oo double de l'angle A.O^ formé par la direction des vibrations du polarisateur et la ligne A,0. Si nous tournons celui-ci uniformément autour de son a&c^ le diamètre ota se meut aussi uniformément dans le même sens^ autour du point 0^ mais avec une vitesse angulaire toujours double. Chaque fois que tt coïncide avec A|0^ le point obscur et le point lumineux ont parcouru tout le contour de l'anneau^ et le premier est en A,. Si Ton polarise la lumière avant son entrée dans le cristal^ l'anneau lumineux présente les mêmes phénomènes que dans le cas présent. En effet cela doit encore arriver dans les limites que nous avons posées^ car^ ainsi que nous l'avons vu page 310^ si la lumière incidente est polarisée^ il y a obscurité à l'extrémité du rayon qui fait avec A,0 un angle double de celui formé par la direction des vibrations du rayon incident^ et l'intensité augmente des deux

côtés comme Sin.' — 5. L'apparence de l'anneau aussi bien que ses changements par la rotation du polarisateur^ seront les mêmes que si on fait passer à travers un polarisateur la lumière qui sort du cristal.

Dans les recherches que Lloyd entreprit pour découvrir la réfraction conique intérieure^ il se servit d'ujie plaque d'arragonite dont les faces n'étaient pas perpendiculaires à un des aies optiques^ mais à la bissectrice de l'angle de ces axes. Il devait donc faire arriver la lumière obliquement dans le plan des axes optiques (voyez page 299). Dès lors le cône des rayons réfractés n'était pas coupé par la seconde surface suivant un cercle, mais suivant une ellipse, et le faisceau lumineux creux émergent n'était pas un cylindre de révolution, mais un cylindre elliptique. L'excentricité de ce cylindre était

DAKS C> CRISTAL A D£t\ AXCS. 315

du reste fort petite, oomme aussi celle du o6ae lumioeui et échappait à Toblerration. En effets Uoyd^ après s'être cocvaincu en employant la lumière d'une lampe de Texistence de l'anneau lumineux^ fit tomber obliquement un rayon du soleil sur le cristal recouvert d'une mince feuille de métal percée, et reçut normalement la lumière émergente sur un écran de papier d'argent. Là apparut un anneau lumineux peu différent d'un cercle, et en inclinant récran, il conservait toujours les mêmes diamètres extérieur et intérieur. Cela prouve que le faisceau lumineux était réellement cylindrique.

Uoyd détermina le diamètre moyen de l'anneau lumineux, de même que répaisseur du cristal dans la direction de l'axe optique, il en déduiât pour l'ouverture du càae des rayons, un angle de 1"* 50\ Ce résultat est une nouvelle preuve en faveur de la théorie, car celle-ci permet de calculer Tangle du càùe. Revenons en effet à la notation de la page 304, f étant l'ouverture du dkie dans le plan des axes optiques, on a :

Tang.7=-^,= — \/(A^ —a) (c^ - à)

l^laiuteoant Rudberg a déterminé pour Tarragonite, comme pour la topaze, les in lices de réfraction des rayons qui sont dans une des sections principales et dont les vibrations sont perpendiculaires à celle section. Représentons par •t, !S, y ces trois grandeurs |iour les rayons de réfrangibililé moyenne (par eiemplt» les rayons E), on aura d après Rudberg :

Mats V étant la vitesse de la lumière dans Tair on a :

Nous obtiendrons pour déterminer ^ l'équation :

Tang. f = H^ '- î- — =

d*oti Ton déduit :

valeur qui ne diffère de celle observée que de 5*, quantité insignifiante. Cet accord entre la théorie et l'observation est d'autant plus satisfaisant, que la valeur calculée de ^ est entachée des erreurs qui portent sur les calculs de

316 PASSAGE DE LA LtMlÈRK d'CM MILIEU ISOTEOPE

«^ fi, y, La réfraction conique intérieure peut s^observer aussi facilement que dans l'arragonite^ dans une plaque de bichromate de potasse^ parallèle à la face de clivage^ laquelle est presque perpendiculaire à l'un des aies optiques.

L'angle représenté plus haut par f n'a dans la topaze qu'une valeur d'environ \&, c'est pourquoi la réfraction conique ne peut s'y observer facilement. Il est plus grand dans le salpêtre^ d'après les mesures de Miller, car il est égal à 50' 48", et dans ce sel, l'auteur cfoit avoir vu aussi l'anneau lumineux. Dans Tanhydrite sa valeur est 59' ^0" calculée d'après les indices de Miller. L'arragonite, la topaze, le salpêtre, sont les seuls cristaui à deux axes dont nous possédions les trois indices de réfraction.

Si la plaque cristalline est mince et l'onde incidente étendue, la réfraction conique peut n'être plus sensible. Les composantes se couvrent pour la plupart, et quand cela arrive, elles se combinent de nouveau en une lumière dont la polarisation coïncide exactement avec celle de la lumière incidente. Par rapport aux ondes plus étendues le cristal à deux axes se comporte donc suivant la direction des axes optiques comme un milieu monoréfringent, abstraction faite ici des bords de l'onde (1).

fié fraction conique extérieure. — Au problème ayant pour but de trouver les deux rayons réfractés en lesquels se divise uii rayon incident en passant d'un milieu isotrope dans un milieu bi-réfringent, correspond par l'échange des milieux le problème suivant : étant donné deux rayons, qui dans un milieu bi-réfringent se propagent suivant la même direction et sont limités par le même cylindre, et pénètrent ensuite par une surface plane de séparation dans un milieu isotrope, trouver les rayons en lesquels se divise ce rayon composé? Nous nous contenterons de donner sans démonstration la construction qui fournit les deux rayons cherchés ; son exactitude est évidente sans qu'il soit nécessaire de rien ajouter.

Soit 80 (figure 194) la direction du double rayon donné. Autour de o comme centre, construisons la surface de l'oude du milieu cristallin. Elle sera rencontrée par so en deux points /?, et;? 2. Par ces points menons à lasUrface deux plans tangents qui coupent la surface réfringente suivant deux lignes, soit ^, ^, et t^ t^. Décrivons maintenant autour de tt et ti comme axes deux cylindres de révolution, dont les rayons sont égaux à la vitesse de la lumière dans le milieu isotrope, et menons enfin à ces cylindres par le point o, dans le

(1) On trouve quelques nouvelles parJicularilés sur la réfraction conique dans le mémoire de Tauleur intitulé : Détermination de» rapports dUntensité et de polati- Mation de ranneau lumineux produit par la réfraction conique. Ann. Pogg. LXXX V.

»AKaj;N cmsTAi. a dkix axes. 317

milieu isotrope deiii plans langents E, el E.; ceux-ci sont les ondes des rayous cherthéîi. Pour oblenir res Uerniers PLix-m^meo, nmis n'nvons qu'à

Fig. i94.

construire deux cylindres, perpendiculaires aux ondes planes trouvas, et qui passenl par la ligne Euivant laquelle la face réfringente est rencontrée par lu surface limite du double rayon. Ces cylindres limitent les rayons réfractés. &i général on eu obtient deux. Mais de même qu'au passage d'une onde d'un milieu isotrope dans un cristal, celle-ci se partage en un nombre indéiini d'ondes réfractées, quand le plan tangent mené à la surface de l'onde devient un plan tangent singulier; de même, dans le problème qui nous occupe, nous aurons un nombre indéiini de rayons réfractés quand la ligne so rencontrera la surface de l'onde en un point singulier. Alors so sera parallèle à un axe optique secondaire, tandis que plus haut la normale des ondes réfractées est parallèle à un axe optique réel.

Nous allons examiner de plus près ce cas extraordinaire, qui se réalise dans la réfraction conique exiériewe, ainsi que l'appelle Hamilton, en admettant pour simplifier que l'ste optique seeondaire est perpendiculaire à la face réfringente. Soit dans la figure 193 (1) A, Ai l'intersection de la face réfringente et du fian des aies optiques; @, St la section principale de la surface

(I) Dan* celte figure, an », pour plui de dirié, ttptri h flgqrc de la Mdioa prin- «iptta S 3t, la eoDtlTsetioa dei nyon litnetit, et U conilmcllMl du (uKeiu rifraeté.

318 PiSSAGE DE LA LLHltRE D UN MILIEU 1

de l'onde, qui coincïde avec ce plao, en sorle que os esl parallèle i o's'. Menons mnintenanl en s à la surface de l'onde des plans tangents; ceni-ci.

comme nous l'avons tu page 288, enveloppent un cône du second degré. Son sommet est en s, une de ses sections principales coïncide avec le plan des axes optiques, et des deui lignes droites de celte section, l'une, celle qui est tangente au cercle £, est parallèle à la face réfringente. Le cane coupe donc cette dernière suivant une parabole PP, dont l'axe esl A, A,, et dont on obtient le sommet en prolongeant la tangente à l'eJUpse @ au point t, jusqu'à sa rencontre avec la face réfringente. Menons par le point s et une tangente tt à cette parabole un plan, il sera évidemment tangent à la surface de l'onde. Pour obtenir maintenant un des rajons, menons, comme l'indique la construction générale, autour de la tangente tt à la parabole un cylindre de révolution de rayon v, v étant la vitesse de la lumière dans le milieu isotrope, qui sera l'air par eiemple. Le plan tangent ott au cylindre est alors fonde réfractée qui correspond à l'onde Hs dans le cristal. Soient Ouj et on' les normales auï ondes its, et tzo; elles sont avec la normale op au point dlncidcnce dans un même plan. Les normales seront rencontrée en n et en n' par un plan mené par p parallèlement à la face réfringente ; et l'on aura, si v' est la vitesse de l'onde tts dans le cristal :

Sin. pon' : Sin. pon ^=v:v'e% approximativement : Sin. pon' : Sin. pon = pn' : pn d'où ptt' : pn:=vv'. On remarque en outre que les normales on à chaque onde des rayons «o, forment le cône supplémentaire K' du cône K. Une arête de ce cône est sp, une de ses sections principales est le plan des axes optiques, et il est coupé suivit un cercle k, par un plan passant par p (voyez page 293). On voit enfin de plus que la valeur de v' diaoge, il est vrai, d'un plan tangent en s i