V:V::g:g\ ou - = —• ^ S g

C'est donc à ce rapport invariable - > et non au poids P lui-

même, que s'applique véritablement, en Mécanique, la définiiîon de la masse d'un corps; et l'on commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves, en prenant le poids pour la mesure de la masse.

126. Expression abrégée de la masse et de la force vive^ dans les calculs, — Ordinairement on représente la valeur de la masse par la lettre m ou M : on a donc

et, par suite,

P = Mxg^=Mg^;

P exprimant Feffort absolu exercé, par la pesanteur, sur \\\\

certain corps, et g la vitesse qu'elle lui imprime, dans le

même lieu et dans le vide, au bout de la première seconde de

sa chute verticale.

p D après celle convention, la valeur ci-dessus — V' de h force

vive d* un corps (121) se trouve aussi représentée, dans les calculs mécaniques, par

MxV> ou MVS

c'est-à-dire par le produit de la masse de ce corps et du carré de sa vitesse acquise ou actuelle,

127. Quantité de mouvement des corps. — Les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d'un corps, le produit de sa masse, définie comme on vient de le dire, par la vitesse simple et actuelle que possède cette niaue; c'est-à*dire que

MxV ou -xV,

qu'on écrit aussi

PV MV ou —

pour la simplicité, est ce qu'on nomme une quantité de mouvement en Mécanique. Cette quantité est, comme on voit, très-différente de ce que nous avons appelé (80) la quantité d* action ou de travail des moteurs; et on ne peut la confondre avec cette dernière qu'autant (%k) que Ton confondrait aussi TefTort d*un moteur avec le poids réel, ou plutôt avec la masse d'un corps; ce qui n'est évidemment pas permis (*).

128. Observations générales. — Dans le fait, c'est principalement pour abréger et simplifier tout à la fois les calculs et les raisonnements, qu'on emploie les dénominations de niasse^ de quantité de mouvement, et qu'on les représente par des lettres particulières ; on pourrait aisément s'en passer, ainsi que du mot force vive, dans l'exposition des principes de la Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en ont fait usage, il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification, et de ne pas oublier (fb'elles se rapportent toutes à des corps matériels et au mouvement véritable

(*) Nommons Q la valeur, en nombre, de - X V, on aura Q = - x V, ou,

ce qui revient au même, Q:P :: V:^. Mais P est le poids véritable d'un certain corps; g^ ou 9°*, 8088 est la vitesse que la pesanteur imprime à ce corps au bout de la première seconde de chute et dans le lieu où nous sommes ; donc Q n'est autre chose que le poids absolu du même corps dans le lieu où la gravité serait capable de lui imprimer la vitesse V au bout de la première seconde de chute, c'est-à-dire reflfort qui soutiendrait le corps contre l'action de cette gravité. On voit aussi que la force vive M V* ou MV x V n'est elie-mème que le produit de ce dernier poids, de cet eflfort, par la vitesse V, ou par le chemin que décrirait (48) uniformément le corps, dans l'unité de temps, en vertu de sa vitesse actuelle. Ces observations peuvent servir à distinguer entre elles, d'une manière absolue, la quantité de mouvement et la force vive, ainsi qu'à montrer l'identité de nature que, sous un certain point de vue, les mécaniciens ont attribuée à ces deux sortes de grandeurs, ainsi qu'au poids et au travail mécanique véritables; elles expliqueront aussi comment on se permet quelquefois de regarder la quantité de mouvement comme une Jorce morte (124), comme un effort simple ou sans énergie, et la quantité de travail comme une force vive. Au surplus, nous n'avons nullement besoin de nous inquiéter de ces distinctions qui, à le bien prendre, sont de vraies subtilités.

PHineiPES FONDAMENTAUX. 123

de ces corps; ou plutôt qu'elles sont des expressions purement conventionnelles pour exprimer, d'une manière com« mode, certaines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique, quand il s'agit du mouvement des corps.

DE LA COMMUNICATION DIRECTE DU MOUVEMENT PAR LES FORCES MO*- TRICES EN GÉNÉRAL, ET DU CHANGEMENT DU TRAVAIL EN FORCE VIVE.

129. Rapport des forces motrices au mouvement imprimé. — Nous venons de voir (125) que la pesanteur communique, à un même corps et au bout de la première seconde de chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Hais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie, en effet, très-peu(61) dans touie la hauteur de cette chute; de sorte que la vitesse totale, acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés dans chaque élément du temps (107 et suiv.). Lorsque la force motrice, au lieu d'être constante, varie à chaque instant, il est évident qu'alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse totale qu'elle imprime dans le sens propre de son ac^tion, à un même corps et au bout de l'unité de temps, mais qu'elle dépend uniquement, pour chaque instant, du degré de vitesse infiniment petit qu'elle lui communique à ce moment.

L'observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans les mouvements de notre système planétaire, prouve que

Les forces sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse qu* elles impriment, dans des temps égaux infiniment petitSy à un même corps qui cède librement à leur action, et dans le sens propre de cette action.

Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement, et il doit être considéré comme une loi générale des forces motrices de la nature.

Pour éviter désormais des répétitions inutiles, nous rap-

1^4 afiCAniQUE IKBU8TBIBLLB.

pellerons qu*ici, comme dans ce qui précède et dans ce qui va suivre, les forces sont censées agir d'une manière directe sur les corps, c'est-à-dire dans le sens propre du mouvement qu*ils prennent ou tendent à prendre, et que, dans ce mouvement, les diverses parties de ces corps sont aussi censées cheminer parallèlement et de la même quantité, ainsi qu*il arrive dans une infinité de circonstances. Si Ton veut encore, on peut considérer les corps comme dépouillés de leurs dimensions, ou leur matière, leur masse, comme concentrée en un seul point sur lequel agit immédiatement la puissance.

130. Mesure des forces motrices et d'inertie par la vitesse imprimée et réciproquement, — Soit F la mesure, en kilogrammes, d*une certaine force qui agit directement sur un corps cédant librement à son action; soit v le degré très-petit de vitesse qu'elle imprime à ce corps, à une époque quelconque et pendant le temps infiniment petit t; soit pareillement P le poids ou la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu, sur ce même corps, et v' le petit degré de vitesse qu'elle tend à lui imprimer, ou qu'elle lui communiquerait, en effet, pendant la durée de /, s'il était parfaitement libre de céder à son action. On aura, selon ce qui précède,

d'où

-, P Pi^

Mais, d'après la première loi de la chute des corps (117), nous avons

f':gr:: t\ \''\ d'où

donc

-, Pf -- c

F=— =MX-.

M étant la masse du corps (125j.

Ainsi, quand on connaîtra le degré de vitesse c imprimé, dans le temps infiniment petit t, par la force F, on pourra calculer cette force, qui est égale et contraire à la résistance

PBIKGIPBS FONDAMENTAUX. 125

qu'oppose, au mouvement (66), l'inertie de la matière du corps; résistance que nous avons nommée simplement /orce d'inertie, et qu*on pourrait aussi appeler (123) \b force dynamique des corps, parce qu'on attache ordinairement au mot dynamique l'idée d'un changement de mouvement. La relation

F=ll X - = M -1 nons apprend donc que

La force d'inertie Y crott proportionnellement à la masse du corps et aux degrés de vitesse v qu 'il reçoit dans des temps élémentaires /, égaux et infiniment petits.

De la relation ci-dessus, on lire réciproquement la valeur

Txt , V = 5 donc

Les degrés de vitesse qu'une force motrice imprime à un corps, pendant un même temps élémentaire infiniment petit, sont proportionnels à l'intensité de cette force et inversement à la masse du corps.

On remarquera d'ailleurs que tout ce qui précède s'applique aussi bien au cas où la force F ralentit le mouvement acquis du corps qu'à celui où elle l'accélère; seulement, au lieu de degrés de vitesse acquis, on a à considérer des degrés de vitesse détruits dans ce corps, et la force F devient une résis- Uince véritable, qui s'oppose à l'action de l'inertie devenue puissance (58). C'est généralement ainsi qu'on devra entendre les choses dans tout ce qui va suivre.

131. Rapport des forces mot tices aux quantités de mouvement imprimées. — D'après nos définitions (127), le produit Mxv ou Mi' n'est autre chose que ce qu'on nomme une quantité de mouvement, en Mécanique. On voit donc que la première des propositions ci-dessus revient à dire que

La force d'inertie crott proportionnellement à la quantité de mouvement communiquée ou détruite dans un même instant infiniment petit ;

Ou que

Les forces motrices communiquent ou détruisent, dans des distants égaux et infiniment petits, des quantités de mouvement qui leur sont proportionnelles.

1^6 MÊGAIIIQUB INDUSTRIELLE.

Soient, en effet, F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant, pendant un même instant infiniment petit /, sur deux corps différents, de masses H et M'; soient v et / les degrés de vitesse qu'elles leur impriment respectivement, à la fin de cet instant, on aura, selon ce qui précède.

et par conséquent

F:F::M^:M'^ ::Mv:MV\

Si donc les forces motrices F, F', ou les forces d'inertie qui leur sont directement opposées, avaient la même intensité, la même valeur en kilogrammes, les quantités de mouvement qu'elles imprimeraient, dans le même instant très-petit /, seraient aussi égales ; ce qui résulte immédiatement de ce qu'on aurait alors

ÎA' = M'j ou Mi'^MV.

On voit enfin que« si deux forces appliquées à deux corps libres différents, demeurent sans cesse égales entre elles pour les mêmes instants c'est-à-dire si elles varient de la même manière, les quantités de mouvement totales et finies qu'elles auront imprimées à ces corps, entre deux instants quelconques, seront aussi égales entre elles; car chacune d'elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Vivy MV, qui ont les mêmes valeurs pour les divers instants successifs et égaux dont se compose la durée entière de Tac* tion.

C'est ainsi qu'il faut entendre le principe par lequel les auteurs admettent quelquefois que des forces motrices égales impriment les mêmes quantités de mouvement ^/iiVf ou totales à des corps quelconques, principe qui conduit à considérer ces quantités comme des forces véritables, tandis qu'elles expriment uniquement des sommes de produits tels que F/, relatifs aux forces ordinaires de pression (59 et 60) et à la durée du temps pendant lequel elles agissent. En effet, quelle que soit la petitesse de cette durée, elle n'est pas nulle (57), et,

PRINCIPES FONDAHBNTAUX. I27

quelle que soit la grandeur ou l'intensité des forces, elles ne sont pas infinieSy elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression ou de traction. Au surplus, je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous, qui n'admettons le mot quantité de mouvement que pour désigner un certain résultat des calculs, et pour abréger les énoncés des principes (127 et 128).

132. Autre mesure des forces motrices et d* inertie. — Revenons maintenant à la considération simple d'une force unique f, agissant sur un corps de poids P ou de masse M (130), et supposons qu'à une certaine époque du mouvement, cette force cesse tout à coup de varier, ou continue d'agir sur le corps avec l'intensité qu'elle possède à cette époque; la vitesse augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps (107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu'elle imprimerait au corps, à la fin de la première seconde, s'il partait du repos au commencement de cette seconde.

Désignant par Vi cette vitesse finie, on aura

V, :i'::i'':/; d'où

\^ = y et F==Mx^ = MV..

Ainsi, dans le mouvement varié, en général, la force motrice, égale et contraire à la force d'inertie, à la force dynamique, est mesurée y à chaque instant, par la quantité de mouvement qu^elle imprimerait, au bout d'une seconde, si, au lieu de vaner, elle demeurait ce qu'elle est à cet instant. Mais, de ce que les quantités de mouvement sont propres à servir de mesure aux forces, ce n'est pas une raison de les confondre avec ces forces; car ici la durée, la constance qu'on suppose à l'action, est une condition essentielle et qu'il ne faut pas perdre de vue.

133. Calcul des mêmes forces par la loi géométrique du mouvement, — Ces dernières considérations sur la force motrice, <^ans le mouvement varié, sont analogues à celles qui con-

128 ■ÉCANIQUB I^DUSTBIBLLB.

cernent la vitesse même du mouvement (53), et on peut les reproduire également à l*aide d'une figure. Soit tracée [Pi, A Jig. 32 )y ainsi qu*il a déjà été dit (108) à l'occasion du mouvement uniformément accéléré, la ligne O'a'b'. . ./', qui représente la loi des temps et des vitesses; soient ce', dd' les vitesses qui répondent au commencement et à la fin du trèspetit instante^ ou /. Menons, par c'y la parallèle c'd^nt à Taxe des temps OB; elle retranchera, de l'ordonnée dd', la petite longueur d'd", représentant le degré de vitesse imprimé, par la force motrice, dans la durée de l'élément de temps cd^dd"^ degré dont nous avons désigné la valeur en nombre par v. Or, si l'on suppose qu'à partir du commencement de cd ou /, la force motrice devienne constante, ou (107) qu'elle imprime, dans les instants successifs égaux à /, des degrés de vitesse aussi égaux à d' d"; la loi des vitesses acquises sera expri* mée (108) par une droite dn, prolongement de c'd\ et qui sera tangente à la courbe O'a'b'. . ./', si l'intervalle crfou t est censé excessivement petit. Prenant donc dm^zi", ei élevant l'ordonnée mn terminée à c^/t, celle-ci ne sera autre chose que la vitesse Vi, acquise, au bout de l'unité de temps, par le corps, en vertu de la force motrice supposée constante; et l'on aura, à cause des triangles semblables c'd'd" et c'mn, la proportion

c'rf^'ou / : d'd" ou V :: c'mou i" : mn ou V,;

d'où Ton tire, comme ci-dessus.

Ainsi, quand on connaîtra la loi qui lie les temps aux vitesses

imprimées, ou la courbe qui représente cette loi, on pourra,

pour chaque instant et par le tracé d'une tangente de cette

courbe, déterminer la vitesse V„ et, par suite, calculer, comme

il a été expliqué précédemment (130 et 132), la valeur

p MV,= - xVi de la force motrice F qui produit l'accélération

de mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose (130), la résistance égale et contraire, que l'inertie de la matière du corps oppose, à chaque instant, à l'action de cette force.

134. Trouver la loi du mouvement quand on a celle de la force. — Réciproquement, si Ton connaît, pour chaque instant et par le moyen d'une table ou d'une courbe, la valeur de la force motrice F par rapport aux temps révolus ou aux chemins décrits, on en déduira les valeurs correspondantes xle

F i?.F V, = trj = ^^r-5 inclinaisons des tangentes c'n de la courbe

des vitesses ; car la mesure de ces inclinaisons est donnée par

la valeur du rapport -; — = V|. Si Ton connaît d'ailleurs la r/-

tesse initiale 00' du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de tracer la courbe des vitesses successivement acquises sous l'action de la force motrice; car, ayant l'inclinaison de la tangente relative à chaque abscisse ou à chaque temps Oa, 06, Oc,. . . , on pourra, de proche en proche, construire les positions consécutives O'a', a! V y b'c'y. . ., des éléments rectilignes de cette courbe, et en déduire les ordonnées aa\ bb\ cdy qui mesurent les vitesses acquises par le corps à la On des temps correspondants.

Par exemple, la vitesse initiale du corps étant 00', on mènera O'm' parallèle à OB et égale à l'unité de temps; puis, ayant calculé la valeur de Vi relative à l'intensité de F au moment où l'action commence, on portera celle valeur sur l'or- . donnée m'n' ^ de m' en n'; traçant O'/i', ce sera la direction de l'élément 0'«'; et l'ordonnée aii', qui répond au premier instant Oe, donnera, en la terminant à la droite O'/i', la grandeur de la vitesse à la fin de cet instant : en répétant les mêmes opérations pour le pointa', on en déduira 6' et 66', etc. On diminuera d'ailleurs la longueur des tracés, en construisant quelque part (P/. hfig* 33) les inclinaisons successives />n,/;n', P^^y- des tangentes relatives aux divers instants; car elles donneront, de suite, les degrés de vitesse tv, //, tv", . . . imprimés, par F, dans les instants successifs Oa, ahy bcy. . . représentés ici par/?/.

U est évident que plus sera grand le nombre des parties ^les dans lesquelles on aura divisé le temps total 0/ [PL /, ^g. 32), où l'on considère l'action de la force [motrice, plus la courbe ainsi construite s'approchera de représenter la vé-

l3o HÉCANIQUB INDDSTRIBLLB.

riuble loi du mouvement communiqué par celle force. Enfin, les trapèzes fcftVc, cc'd^d,.,, représeniant encore ici (108) les chemins élémentaires successivement décrits, par le corps, dans les petits temps correspondants bc, cd,.,., on obtiendra le /chemin total parcouru par ce corps au bout d'un temps quelconque 0/et sous Faction de la force motrice F, en mesurant Taire totale de tous les petits trapèzes relatifs à ce temps, c'est-à-dire la surface même du trapèze curviligne 00'/'/. Or celte surface se calculera aisément à Taide du procédé déjà mentionné (72), à l'occasion de la mesure du travail mécanique variable*

De la force vive des corps en général et de sa relation avec

le travail mécanique,

135. Mesure du travail des forces motrices et d* inertie. — A l'aide des notions qui précèdent, nous pouvons calculer la quantité de travail que doit dépenser, contre un corps de poids P ou de masse M (126), une force de pression qui varie à chaque instant en demeurant sans cesse égale et contraire à la force d'inertie (130), pour imprimer à ce corps une certaine vitesse, ou plus généralement, pour augmenter ou diminuer sa vitesse d'une quantité donnée.

En effet, pour chaque instant infiniment petit / du mouvement, le travail de la force motrice est mesuré (72) par le produit de sa valeur moyenne durant cet instant, valeur que nous nommerons F, et du chemin élémentaire qui a été décrit, dans ce même instant, par le corps ou par le point d'application de la force. Ce petit chemin, ainsi qu'on Ta remarqué au n° 13i, est donné, pour \2ifig. 3î, PL /, par l'aire du trapèze élémentaire cc'd'd, par exemple, qui serait formé sur cd représentant le temps /, et sur la vitesse moyenne (108) correspondante {(ce' -*- rfrf'), que nous nommerons V; c'est-àdire que ce chemin est égal au produit V x /. Donc le travail élémenulre dont il s'agit est F x V X /, ei la même chose aura lieu dans chacun des instants infiniment petits égaux à /. Or nous avons trouvé (130) que, v étant le degré de vitesse d'd" imprimé au corps pendant le temps /, la valeur de F était

nawciras roHDAiisNTAtix. ,3,

mesurée par^*^. donc enfin la quantité de travail clierchée est

Mx f

— ^— XVx/ = MxVXf.

C'est la somme de toutes ces quantités de travail partielles qu. composent le travail total, et cette somme est facile à

irïï'' '" ^''"f ^"^'«" "•""« ««"re, en remarquant que comme M est un facteur commun et invariable, cela revlëm simplement à trouver la somme des produits Vx .An S t^:eV^ ^'''•/•^^•^4), pris pour origine. po«o:;.\n

Ss 0« r* rT"'!,""^.'' •'^'"'^^ accroissements su cess.f.O«, ab, bc cd,...de la vitesse, répondant aux divers nstanis égaux t écoulés depuis. celui du départ des côrns

ccroissements qui seront inégaux dans le cas du mouvemen;

ane; les longueurs Oa. 06. Oc. Orf,. . . seront les vUesses

u es acquises à la fin desdits instants. Porton ces même longueurs sur les ordonnées correspondantes aa', bb',Tc' "rf ,.... de telle sorte qu'on ait aa'= Oa. bb'= Ob ce'- O^ !

S t,lT ^' '''' *.'' '"'■: " '"^-"^^ "-'•'«- ^'^

ne, née a 45 degrés sur l'axe des abscisses OB. Cela posé ons derons en particulier l'accroissement de vitesse Trf' u a ete nomme .. le produit V x . de cet accroissement P»rla v,tesse moyenne correspondante V. ou Ucc'+dd')

Tsl' ''P;^''".'^ "!■• •'"•'■" ^" P«''' "-«Pè^e <=c'd'd. Donc a somme cherchée de tous les produits Vx.' a nour m.

"..celle des petits trapèzes correspondants^ou l'air com" Pnse entre la droite 0/', l'axe OB des abscisses et T« ordonnées qui représentent la vitesse au commeTcemen et à

ra iU rr"'"' ''•^"•"^ P^"-" '«''"«• «" veutc" ule/le •«^vaii de la force motrice.

<<"' o^Ttau-S sT'' ^" «"■""•"■ "■'"' ''"^ "^ '^«'•P^ porte Vx?rl. ^ .^"'^ ''^^ "'**"'"'' '^ ^"'"'"^ «l<^s produits

V'^c uet ' '""'' ''^"'^^ '^^' ^"«^ >■'«"« nommerons 'Currere ^'""""^'^ '^^ ''"'" '" ^-"«'e O^rf'!

ïrfrf'XOrf ou i rfrf' X rfrf' = J V».

lZ?L MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

Donc aussi la quantité de travail correspondante à la vitesse acquise V et consommée par l* inertie du corps sera mesurée ( 135 ) par M X { V" = ^ M V», ou par la moitié de la force vive communiquée à ce corps depuis l* instant de son départ (122 et 126). Ce principe a donc lieu aussi pour un mouvement varié quelconque et pour une force motrice différente de la pesanteur.

Pour une autre vitesse//' ou V plus grande que la première, la consommation totale de travail sera également mesurée par MXyV"^ ou ^MV'; et par conséquent, pour riniervaile compris entre les positions du corps qui répondent aux vitesses V et V", la quantité de travail consommée sera mesurée par la différence jMV"*— ^MV' ou

(iMV^'-MV"),

correspondante au trapèze dd'f'f. Or MV'*et MV^^ sont les forces vives possédées par le corps au commencement et à la fin de l'intervalle de temps pour lequel on considère le ira vaîl de la force; M V"'— MY* est donc V accroissement de la force vive, la force vive communiquée ou acquise dans cet intervalle; de sorte que le principe ci-dessus peut s'appliquer aussi à deux instants quelconques du mouvement d'un corps; c'est-à-dire que :

La quantité de travail dépensée par une force motrice quel-conque qui agit {i30), dans le sens même du mouvement d'un corps libre, pour accélérer ce mouvement , est mesurée par la moitié de la force vive acquise entre les instants où l'on considère le travail.

C'est évidemment aussi la mesure même du travail con~ sommé par l'inertie du corps (130).

137. Cas oà la force motrice est opposée au mouvement. — Ce qui précède suppose que la vitesse du corps augmente sans C3sse; s'il en éiaii autrement, ce serait un signe que la force motrice serait opposée au mouvement antérieurement acquis ou serait retardatrice; de sorte qu'elle agirait alors comme une véritable résistance (58). Du reste, tous nos raisonnements demeureraient encore applicables, et l'on trou-

PBINGIPBS FONDAMENTAUX. l33

veraii que, pour un certain intervalle de temps pendant lequel la vitesse V, antérieurement acquise» aurait été réduite à V par exemple, la quantité de travail développée par la résistance, toujours égale et directement contraire à la force d'inertie devenue puissance, serait égale à

ou à la moitié de la force vive qui a été perdue ou détruite.

Ainsi la diminution de la force vive d'un corps entre deux instants suppose qu*une quantité de travail égale à la moitié de cette diminution a été développée par l'inertie de ce corps contre des obstacles ou des résistances, comme son augmentation suppose, de la part d'une puissance, une consommation de travail égale à la moitié de celte augmentation ; principe qu'on peut énoncer généralement ainsi :

La perte ou le gain de force vive éprouvé, entre deux instants quelconques, par un corps dont le mouvement varie, est le double de la quantité de travail développée dans cet intervalle par l'inertie du corps ou par la force motrice égale et directement contraire.

138. Transformation du travail en force vive et réciproquement. — On voit clairement maintenant comment, en général, l'inertie de la matière sert à transformer le travail en force vive et la forceviveen travail; ou, pour nous exprimer comme nous l'avons fait précédemment (12(i'), à l'occasion du mouvement vertical des corps pesants, on voit que l'inertie sert à emmagasiner le travail des moteurs en le convertissant en force vive, et à le restituer intégralement ensuite, lorsque cette force vive vient à être détruite contre des résistances.

Les arts industriels nous offrent une infinité de circonstances où ces transformations successives s'opèrent par le moyen des machines, des outils, etc. — F/eau renfermée dans le réservoir d'un moulin représente un certain travail disponible, qui se change en force vive quand on ouvre la vanne de retenue; à son tour, la force vive acquise par celle eau, en vertu de sa chute du réservoir, se change en une certaine quantité de travail quand elle agit contre la roue du moulin,

l34 MfiCANIQUB INDUSTRIELLE.

et celle-ci transmet ce travail aux meules» etc., qui confectionnent l'ouvrage. — L'air refoulé dans le réservoir d'un fusil à vent représente la valeur mécanique d'un certain travail dépensé par un moteur pour l'y emprisonner (96); en lâchant la détente, Talr chasse la balle et convertit une portion plus ou moins grande de ce travail en force vive : si la balle est lancée directement (95) contre un ressort ou corps élastique quelconque retenu par un obstacle, ce ressort se bande, se comprime en opposant au mouvement de la balle une résistance égale et précisément contraire à son inertie, résistant^e qui, allant sans cesse en croissant (95), finit bientôt par la réduire au repos, circonstance qui arrive quand le travail de la résistance a atteint une valeur égale à la moitié de la force vive que possédait la balle.

Supposons que le ressort soit maintenu par un moyen quelconque à la position qui correspond à cet instant, la force vive de la balle s'y trouvera emmagasinée ou convertie en quantité de travail disponible, de la même manière que s'il avait été bandé par une force motrice ordinaire (96); mais, si on le laisse réagir immédiatement, contre la balle, celle-ci sera lancée, en sens contraire, avec une vitesse telle, que la force vive qu'elle acquerra sera le double de la quantité de travail qui a été développée, sur elle, pendant la détente du ressort ( 134 ).

139. Restitution et consommation de la force vive dans le choc des corps. — Si, dans l'exemple qui précède, il était permis de supposer que la balle quittât le ressort à l'instant même où celui-ci est revenu au repos et à sa position natu* relie, et si d'ailleurs (95 et 96) ce ressort conservait toute son énergie dans la détente, la vitesse et la force vive restituées à la balle seraient précisément égales à celles que le fusil à vent lui avait d'abord imprimées dans une direction contraire. Ainsi, dans l'exemple dont il s'agit, le travail aurait été alternativement converti en force vive et la force vive en travail sans qu*il y ait eu rien de perdu ni de gagné.

Dans la réalité (96), il est peu de corps qui jouissent d'une élasticité parfaite sous de grandes compressions, et l'hypothèse que la balle quitte le ressort à l'instant même où il a

PRINCIPES FONDAMBfCTAUX. l35

repris son élat ordinaire est purement gratuite ; car il est, au contraire, évident, qu'en se séparant, ils auront acquis, en leur point de contact, une vitesse comnoune en vertu de laquelle une partie du ressort continuera à chenniner, comme la balle, jusqu'à ce que sa tension le ramène en arrière pour lui faire exécuter une série d'oscillations de plus en plus faibles (19), et dans lesquelles les forces d'attraction et de répulsion des molécules (63) joueront, par rapport à leur force d'inertie, absolument le même rôle que la réaction totale du ressort par rapport à l'inertie de la balle. Une portion plus ou moins grande de la force vive primitive de cette balle aura donc été employée, soitè détruire les forces moléculaires du ressort, soit à lui imprimer un mouvement oscillatoire propre. Or, cette portion étant comparable à la quantité de travail même développée dans la réaction du ressort, ou à la force vive transmise à la balle, on voit que, dans le choc des corps élastiques animés d'une grande vitesse et ayant une grande masse ou un grand poids, il peut se faire, dans un temps fort court, une perte de force vive ou de travail très-appréciable, et voilà pourquoi, je le répète (98), il est surtout essentiel d'éviter les chocs et secousses dans les machines de l'industrie. Au surplus, nous reviendrons sur ce sujet dans la partie des applications^ et nous entrerons dans des développements qui ne seraient pas ici à leur place et qui troubleraient la marche naturelle des idées.

140. Réflexions nouvelles sur V impossibilité d'augmenter fe travail mécanique. — On voit, par ce qui précède, qu'il est «ussi impossible de se servir de la force de ressort que de celle de la gravité (120) pour imprimer à un corps une vitesse plus grande que celle qu'il possédait primitivement, et qu'au contraire, cette vitesse restituée sera toujours moindre que la vitesse primitive. Or il en serait de même de tous les agents Matériels qu'on pourrait employer, dans les arts, pour convertir le travail d'une puissance en force vive, puis cette force vive en travail; en un mot, la force vive acquise sera tout au plus égale (136 et 137) au double du travail dépensé, ou le travail produit tout au plus égal à la moitié de la force vive conisommée. Par conséquent, loin de gagner, on ne peut que

l36 MfiCANlQUB INDUSTRIELLE.

perdre en se servant de la force d'inertie des corps pour opérer un travail mécanique quelconque*

Il n'en est pas moins vrai de dire (138) que la force vive actuelle d'un corps représente intégralement une quantité de travail égale à la moitié de sa valeur numérique, ou que la force d'inertie restitue en entier, comme la pesanteur ( 102], le travail primitivement dépensé pour la mettre enjeu; car, dans le cas ci-dessus, par exemple, d'une balle qui vient choquer un ressort retenu contre un obstacle, la perte de force vive éprouvée par cette balle a été réellement employée à vaincre certaines résistances moléculaires, à imprimer certains mouvements qui représentent une quantité de travail égale à la moiiié de sa valeur; seulement il arrive encore ici que ces résistances, ces mouvements sont étrangers à l'effet qu'il s'agit de produire et que Ton considère comme constituant seuls l'effet utile (104 et suiv.].

1&.1. Examen particulier du mouvement périodique. — Nous venons de montrer, par des exemples, comment le travail mécanique peut être transformé alternativement en force vive, et la force vive en travail par le moyen des ressorts ou des machines qui les emmagasinent et les restituent successivement. Ces transformations se présentent, en général, toutes les fois que le mouvement d'un corps, sollicité par une puissance motrice, est, par sa liaison avec d'autres corps, contraint de varier à chaque instant, de manière à devenir tantôt accéléré et tantôt retardé : genre de mouvement que nous avons déjà examiné et défini en lui-même (i-O), et qui se rencontre spécialement dans les pièces des machines qui oscillent, vont et viennent entre deux positions extrêmes qu'elles ne peuvent dépasser, et pour lesquelles leur vitesse devient forcément nulle en changeant de direction. Le mouvement des scies et des rabots, celui des limes, des pistons de pompe et de la plupart des outils employés dans les arts manuels sont évidemment dans ce cas.

Or, lorsque la vitesse du corps augmente, ce qui arrive nécessairement au commencement de chaque période ou alter^ nation, c'est un signe (136) qu'une certaine portion du travail moteur opère dans le sens du mouvement pour accroître la

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force vive d'une quantité égale au double de cette portion, le surplus du travail étant absorbé par les autres résistances. Lorsque, au contraire, la vitesse du corps vient à diminuer vers la fin de chaque période, c'est un signe (137) qu'une certaine portion de la force vive précédemment acquise a été dépensée, contre les mêmes résistances, pour augmenter le travail du moteur d'une quantité égale à la moitié de cette portion ; et ainsi de suite selon le nombre des alternatives du mouvement.

Comment se comporte l'inertie dans ce mouvement. — On voit, d'après cela, que, quand la vitesse ou la force vive d'un corps oscille entre certaines limites, c'est une preuve que Tinertie absorbe et restitue successivement des portions du travail de la puissance, qui sont égales pour tous les instants où la vitesse est redevenue la même; c'est-à-dire que, dansl'intervatie de deux quelconques de ces instants, il n'y a eu rien de perdu ni de gagné, et que la puissance doit être considérée comme ayant été entièrement employée à vaincre les résistances autres que l'inertie. Mais, si, dans un intervalle de temps quelconque, la vitesse, après avoir subi également des alternatives de grandeur, ne redevient pas ce qu'elle était d'abord, la moitié de la différence des forces vives qui répondent à la fin et au commencement de cet intervalle mesure (136 et 137) la quantité de travail qui a été réellement consommée ou restituée par l'inertie du corps. Par conséquent, si ce corps était parti du repos, le travail absorbé par l'inertie, à un instant quelconque, serait mesuré seulement par la moitié de la force acquise à cet instant.

142. Démonstration des mêmes choses par la Géométrie, — On remarquera que tous les raisonnements qui précèdent peuvent être reproduits directement à l'aide de \^fig. 34, PL /, ci-dessus et des considérations du n" 136. Car, lorsque la vitesse du corps diminue après avoir augmenté pendant un certain temps, il en est de même de l'abscisse et de l'ordonnée de la droite Of, qui représentent cette- vitesse : ainsi l'ordonnée jQT' par exemple, après s'être éloignée de l'origine jusqu'à un certain point, en balayant des aires triangulaires Oaa\ 06é',...,0jQr', proportionnelles à la quantité de travail absorbée

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par rineriiey ou k la moiiié de la force vive acquise par le corps, se rapproche ensuite de cette même origine, en soustrayant, de la plus grande aire ou du plus grand triangle Oj^, des surfaces trapézoidesjQTW, ee'dd\... qui diminuent, de plus en plus, l'aire de ce triangle relatif à la plus grande force vive; de sorte que, l'ordonnée étant arrivée au point O, qui correspond à une vitesse nulle, le travail absorbé par l'inertie sera également nul. Si ensuite la vitesse augmente de nouveau, le travail consommé par l'inertie croîtra, comme dans la première période, de quantités mesurées, à chaque instant, par l'aire du triangle qui correspond à la vitesse acquise à cet instant; et ainsi de suite alternativement.

Enfin, si l'on considère le mouvement entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse serait bV et ee', par exemple, il est bien clair encore que le travail absorbé ou développé par l'inertie aura pour mesure l'aire du trapèze bb'e'e formé sur ces vitesses et sur la diminution ou l'accroissement be qui leur correspond.

i k3. Exemples particuliers relatifs au mouvement périodi^ que. ~ Une voiture qui chemine avec une vitesse tantôt plus grande, tantôt plus petite , offre l'exemple de ce que nous venons de dire : d'abord les chevaux dépensent une certaine quantité de travail pour la mettre en mouvement au pas ou au trot ; puis, lorsque la vitesse de la voiture vient à ralentir par suite de l'augmentation des résistances ou de la diminution de l'effort des chevaux, cette même inertie développe, contre ces résistances, une portion du travail qu'elle avait d'abord absorbé, et qui est égale à la moitié de la diminution qu'a éprouvée la force vive. Si Ton suppose que les choses continuent ainsi alternativement, et qu'à la fin la voiture soit remise au repos, la quantité de travail restituée par l'inertie se trouvera précisément être égale à la quantité de travail même qu'elle a consommée d'abord ; de sorte qu'en réalité, il n'y aura rien eu de perdu. Il est entendu d'ailleurs que les diminutions de vitesse éprouvées par la voiture ne proviennent pas du fait même des chevaux, comme cela arrive quelquefois dans les descentes rapides où on les fait retenir, ni de ce qu'on aurait enrayé les roues, puisqu'alors ces chevaux

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OU Venrayure auraieni contribué à augmenter les véritables résistances, et à consommer la force vive, d'abord acquise, sans utilité immédiate pour l'objet du transport.

Lorsqu'un moteur est employé à élever verticalement des fardeaux, il prend le corps au repos; de là une consommation de travail pour vaincre l'inertie de ce corps, et l'amener à un certain état de mouvement; arrivé à la* hauteur voulue, le moteur ralentit sa propre vitesse pour remettre de nouveau le corps au repos. Dans ce ralentissement, la force vive acquise par le corps est employée à détruire une portion de reffet de la pesanteur sur ce même corps, ou plutôt elle sert a rélever verticalement d'une certaine hauteur; c'est ce qu'on aperçoit très*bien, par exemple, dans les mouvements d'ascension tant soit peu rapides; ainsi donc l'inertie a réellement rendu ce qu'elle avait absorbé primitivement.

Les tnèmes réflexions peuvent être appliquées encore au travail du limeur, du scieur, etc., puisqu'à la (In de chaque oscillation de l'outil, la vitesse devient nulle comme elle rélait au commencement.

On remarquera que, dans tous ces exemples, le mouvement est censé nattre ou s'éteindre par des degrés insensibles, c'est-à-dire lentement et sans secousses, de sorte que les pertes de force vive provenant de la réaction mutuelle des parties qui communiquent ou reçoivent ce mouvement (95 et suiv.) sont réellement inappréciables. Mais il n'en serait pas ainsi du cas où, la vitesse changeant brusquement à la fin et au commencement de chaque période, il y aurait choc entre corps plus ou moins élastiques, ainsi qu'il arrive dans cer^ laines dispositions vicieuses des pièces qui entrent dans la composition des machines; et Tonne doit pas oublier qu'alors une portion notable (139) de la force vive est employée inutilement à détruire la force d'agrégation des molécules, ou à leur imprimer des mouvements d'oscillation et de vibration.

\kk. Du rôle que joue l'inertie dans divers procédés des arts. — Afin de donner une idée plus complète encore du rôle que joue l'inertie des corps dans les travaux industriels, et de montrer comment elle peut servir à expliquer une infinité de procédés des arts, nous allons ajouter quel-

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ques exemples à tous ceux qui ont été rapportés jusqu'à cette heure.

Pour faire sortir le ciseau d'une varlope, l'ouvrier frappe le bois sur le derrière; en imprimant ainsi brusquement de la vitesse à ce bois, le ciseau et son coin résistent par leur inertie, ou ne cèdent qu'en partie au mouvement. — En frappant brusquement sdr la douve qui porte Ik bonde d'un tonneau, on imprime pareillement à cette douve un mouvement très-rapide auquel résiste la bonde comme si elle était retenue fortement par sa tète; en conséquence, elle est séparée de la douve, en vertu de sa seule inertie, avec un effort supérieur *à celui qu'on pourrait obtenir par des moyens plus directs et cependant très-puissants : c'est à peu près de la même ma* nière encore que les clous; les boulons d'assemblage, etc., sont arrachés .par l'effet des chocs et des secousses. — On emmanche souvent un ouiil, par exemple un mart%au, en frappant la queue du manche dans le sens de sa longueur; ce manche chemine, et l'inertie de la matière, qui tend à maintenir le marteau au repos, résiste au mouvement imprimé comme si ce marteau était réellement appuyé contre un obstacle flxe.

Voici des exemples d'une espèce toute différente, de la manière dont l'inertie des corps sert à changer le travail en force vive et la force vive en travail. — La toupie^ lancée à terre, tourne et chemine en vertu de la force vive qui y a été primitivement accumulée par le déroulement accéléré de la ficelle, déroulement produit par le travail de la main qui tend celte ficelle tout en lançant la toupie. — Le diable est un autre exemple du moyen qu'on peut employer pour accumuler, de plus en plus, la force vive dans un corps mobile autour d'un axe horizontal. — Le jouet que les enfants nomment tourniquet reçoit d'abord sa vitesse par le déroulement du 01 enveloppé autour de son axe et tiré rapidement avec la main; en vertu de l'inertie du volant placé sur cet axe, le mouvement continue et sert à enrouler le fil, en sens contraire, en le tirant avec un efi'ort semblable à celui qu'a d'abord exercé la main : ce moyen peut même être employé dans les grandes machines pour transformer le travail des moteurs en force vive, puis la force vive en travail ordinaire. — On se

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sert avec avantage, dans les arls, du tour à pédale et à ressort pour les pièces légères et de petites dimensions, parce que Tincrtie exerce alors, peu d'influence malgré les variations alternatives de la vitesse ; mais l'emploi de ce tour aurait des inconvénients fort graves pour les grosses pièces et surtout pour les pièces de métal : c'est ce qui fait qu'alors on se sert du tour à mouvement de rotation continu, qui chemine toujours dans le même sens.

145. Observations sur ces exemples. — Nous engageons le lecteur à méditer attentivement ces divers exemples, que nous ne faisons en quelque sorte qu'indiquer, et à en agir de même à l'égard de tous ceux que la pratique des ans pourrait offrir à ses méditations : ils serviront à lui faire bien concevoir comment l'inertie de la matière se comporte, tantôt comme une simple résistance, tantôt comme une véritable puissance, absolument de même que la pesanteur des corps et les ressorts élastiques (95 et 102).

Au surplus, nos derniers exemples concernent principalement l'inertie des pièces qui ont un mouvement de rotation, et tout ce que nous avons dit jusqu'à présent de la force vive est uniquement (129 et suiv.) relatif au mouvement de transport des corps dont les diverses parties sont animées de la même vitesse. Mais nous verrons plus tard que les principes qui précèdent sur la force vive et le travail mécanique peuvent s'étendre à tous les cas, et nous apprendrons même à calculer rigoureusement la valeur de ce travail, de cette force vive, quel que soit le mouvement d'un corps ou d'une machine. Pour le moment, il nous suffira de donner une série d'applications numériques relatives au mouvement du transport parallèle, afin de faire apprécier, à sa juste valeur, l'influence de l'inertie dans les travaux industriels, et de montrer l'exactitude, l'utilité des principes de k Mécanique dans les questions variées que présente la pratique des. divers arts.

Ces applications doivent être considérées, par nos lecteurs, comme une partie essentielle de ce Cours et comme un exercice indispensable pour bien saisir le but et l'esprit des vérités fondamentales de la science. Il s'en présentera, par la suite, un grand nombre d*aulres très-importantes; mais, avant de les

exposer, il sera nécessaire d'entrer plusavanl dans l'étude des lois du mouvement et de l'action des forces; car dans loute cette première Partie, nous supposons constamment les choses ramenées à cet état final de simplicité où des forces, quoique variables à chaque instant en direction et en intensité, exercent néanmoins leurs actions réciproques suivant une droite qui est unique pour ce même instant, et qui se confond avec la direction propre du chemin décrit par le point d'application où l'on suppose, en quelque sorte, ces actions et le mouvement des corps concentrés. Les principes subséquents montreront d'ailleurs comment cette supposition, jusque-là gratuite, est rigoureusement permise.

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