DES CORPS

153. Considérations générales, — Quand deux corps, en mouvement, réagissent l'un sur l'autre par leurs vitesses acquises, ou se choquent, ils présentent en général plusieurs circonstances qui permettent de partager en trois époques distinctes la durée entière du phénomène : dans la première, les corps se compriment, se refoulent, ou bien se tirent mutuellement s'ils sont liés entre eux par des traits, des barres non tendues avant le choc; dans la deuxième, leur déformation est devenue la plus grande possible, et ils ont nécessairement acquis la même vitesse aux points où s'opère la réaction réciproque; dans la troisième enfin, les corps reviennent vers leur forme primitive, et tendent, de plus en plus, à se séparer en vertu de l'énergie plus ou moins grande de. leurs forces de ressort.

Comme les phénomènes du choc des corps se reproduisent, d'une manière analogue, dans tous les cas possibles, nous nous bornerons à étudier, avec quelques détails, l'un des plus simples d'entre eux, et qui se présente le plus fréquemment dans les applications de la Mécanique à l'industrie : c'est celui où un corps libre, en repos, est choqué par un autre corps déjà en mouvement; il sera très-facile ensuite d'étendre les raisonnements à des cas plus compliqués ou présentant des circonstances différentes. Du reste, afin de simplifier Tétat de

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la question, nous supposerons, conformément aux idées ordinaires, que la constitution des corps soit telle, que Taction et le mouvement s'y propagent, pour ainsi dire, instantané^ ment d'une extrémité à l'autre, ou assez rapidement pour qu'on puisse considérer leurs diverses parties comme animées sensiblement de la même vitesse à chaque instant du choc. Quoique cette supposition ne soit pas en elle-même rigoureuse (63 et suivants), elle conduit cependant à des conséquences exactes toutes les fois que les molécules d'un même corps ont repris une vitesse commune ou des distances invariahles, à l'instant du choc que l'on considère; car alors les forces ont produit tout leur effet, et le mouvement a été communiqué à toutes les parties.

154. Principe relatif au choc direct des corps, — II ne peut être ici question encore que du choc direct des corps, c'està-dire de celui oii deux corps (Aj et (A') [PL Ilffi^* 35) réagissent continuellement l'un sur l'autre, dans la direction propre leurs mouvements, de telle sorte que la perpendiculaire ou normale AA', qui est commune à leur surface au point de contact T où se fait le choc, soit précisément la direction de la vitesse de chaque corps, et cela pour tous les instants de ce choc. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, dans le cas où deux boules sphériques homogènes marcheraient parallèlement à elles-mêmes avant le choc, et de façon que leurs centres A, A' demeurassent continuellent sur une ligne droite LN. Or on peut établir, pour ce cas, un principe général qui demeure applicable, quels que soient et l'intensité et le sens du mouvement de chacun des corps aux divers instants du choc; il sufOt, pour cela, de se rappeler ce qui a été dit au n"* 131.

En effet, il naîtra (63 et suivants) de la réaction mutuelle des deux corps, une force de pression mesurable, à chaque instant, par un certain nombre de kilogrammes, et qui agira, dans le sens de la droite A A', pour repousser le corps (A) de T vers L, et une autre force de pression égale et précisément contraire (64-), qui agira pour repousser le corps (A') de T vers N. Nommant donc F la valeur commune de ces forces à un instant quelconque du choc, v le petit degré de vitesse perdu ou gagné, au même instant, par le corps (A), v' celui

l56 MÉCANIQUE INDUSTMIBLLB.

que perd ou ^agne le corps (A'), enfin P ei M, F et M' représentant respectivement les poids et les masses des deux corps (A) et (A'), on aura, d'après le principe du n<> 131,

c'est-à-dire que les quantités de mouvement, perdues ou gagnées par les deux corps, seront égales entre elles pour chaque instant infiniment petit du choc; et la même égalité aura lieu aussi entre les quantités de mouvement totales Imprimées, à chaque corps, entre deux instants quelconques de leur réaction mutuelle, c'est-à-dire entre les quantités de mouvement totales» soit perdues, soit gagnées par chacun de ces corps.

155. Du choc des corps pendant la compression. — Nous supposerons Ici que le corps (A'] était au repos à Hnstant où l'autre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie et précédemment acquise, que nous nommerons V; ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de l'inertie de (A') qui tend à s'opposer au mouvement de (A), et, dès lors, la force de pression variable F agira pour diminuer, à chaque instant, la quantité de mouvement MV du premier corps, de quantités qui seront égales à celle qu'elle fera natire dans l'autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conservera en quelqu'une de ses parties, et de L vers N, une vitesse supérieure à (A^), on voit bien qu'il arrivera une certaine époque où, la compression, la déformation des corps étant à son maximum, et le mouvement se trouvant communiqué également à toutes les parties, ces corps auront acquis la même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie, du moins pendant un très-petit instant.

156. Fitesse des corps au moment de leur plus grande compression. — Nommons U la vitesse commune dont il s'agit, la quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera, au même instant, M'U, et celle qui a été perdue par (A) sera MV — MU, laquelle, d'après ce qui précède, devra être égale à la première M'U. La quantité de mouvement totale MV, primitivement possédée par le système des corps, se trouvant donc être augmentée, d'une part» et diminuée, de l'autre, de

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quantités égales» celle MU-f- M'U = (M-i- M'}U, qui leur reste à Tinstant dont il s'agit, sera aussi égale à cette quantité de mouvement primitive MV; de sorte qu'on aura

(M-4-M')U = MV; d*oii

M-hM'

Ainsi y sans connaître la manière dont les corps se compriment et dont varie l'intensité de F à chaque instant du choc, on n'en peut pas moins calculer exactement la vitesse qui a lieu au moment de la plus grande compression où la distance des molécules cesse de changer, et oà elles ont acquis un mouvement commun (153) : cette vitesse est égale à la quantité de mouvement possédée par ( A ) avant le choc, divisée par la somme des nuisses des deux corps.

157. Du choc pendant le retour des corps vers leur forme primitive. — La plupart des corps tendant à revenir ( 19 et 95), avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés à un certain degré, on voit que les ressorts moléculaires vont, en se débandant, forcer (A) et (A') à réagir de nouveau l'un sur l'autre, mais pour s'écarter mutuellement, ce qui tend nécessairement à augipenter le mouvement déjà acquis dé (A'), et à diminuer, au contraire, de plus en plus, celui de (A); et, comme l'action est toujours égale à la réaction, il est clair, d'après ce qui pré* cède (154), que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales à celles qui sont perdues par (A). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n'est pas nulle, on voit bien qu'il pourra arriver un instant où la quantité de mouvement MV, primitivement possédée par ( A ), soit entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue à repousser ce corps, lui imprimera, en sens contraire, un mouvement de plus en plus rapide, et qui ne cessera d'augmenter que quand la pression F sera nulle; ce qui arrivera nécessairement à l'instant où les deux corps se sépareront, Tun de l'autre, en vertu de leurs vitesses respectivement acquises.

l58 MÉCANIQini INDUSTAIBLLB.

158. Du mouvement des corps après le choc. — II est clair, d'après ce qui précède, que ce mouvement ne peui, en général» se calculer, puisque nous ne coimaissons pas non plus, en général, la loi que suivent les forces de compression F pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstances principales qui servent comme de limites à toutes les autres, et qui répondent, l'une, au cas où les corps seraient entièrement privés d'élasticité, l'autre, au cas où, au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas. — Des corps non élastiques. — Nous avons vu (17) qu'il n'existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d'élasticité, ou qui ne tendent, jusqu'à un certain point, à retourner vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, nonseulement les corps mous, les liquides, etc., sont extrêmement peu élastiques quand ils ne sont pas maintenus,. dans tous les sens, par des enveloppes solides; mais qu'aussi la plupart des corps, qu'on regarde comme plus ou moins élastiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité par suite de la grande compression, de la grande déformation qu'ils éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu'ils ne se divisent, ne se rompent, ou ne se séparent pas à Tinstant de la plus grande compression, ils continueront a cheminer ensemble, en vertu de leur vitesse acquise, sans réagir désormais l'uii sur l'autre; de sorte que cette vitesse sera donnée par la formule ci-dessus (156), toutes les fois que l'un des corps se trouvera au repos à l'instant où le choc arrive.

Deuxième cas. — Des corps parfaitement élastiques. — Toutes les fois que les corps auront sufDsamment de ressort pour revenir exactement à leur forme primitive, après l'instant de la plus grande compression, la force de réaction F reprenant, par hypothèse, dans le débandement des corps, les mêmes valeurs (95) pour les mêmes positions relatives de ces corps, il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront précisément égales à celles qui l'ont été pendant la compression, si, comme on le suppose ordinairement, les.corps se séparent à l'instant même où ils sont revenus à leur état primitif, ce

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qui n'arrîTe pas toujours. Or de là résulte un moyen de calculer, à Tavance, la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la viiesse perdue par le corps (A), à l'instant de la plus grande compression, étant (156) V — U, il perdra de nouveau (157), dans le débandement, une vitesse égale à V — U, et par conséquent la vitesse qu'il conservera, après le choc, sera U — (V— U), ou aU — V, si V — U est moindre que U, ce qui indique que ( A ) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V — U) — U = V — aU, si V — U surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A'), la force F lui a d'abord communiqué (156) la vitesse U; elle lui imprimera donc, après l'instant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U, c'est-à-dire que sa vitesse, après le choc, sera 2U. Mais nous savons calculer (156) la vitesse U; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment où ils se séparent après le choc.

Nommant WelW respectivement, ces vitesses des corps (A) et (A'), on aura, selon les cas spécifiés,