W = 2U-V, W'=2U, ^^ MV

W=V-2U, W'=aU, M-hM'

159. Remarques relatives à Vapplication des formules, — 11 est une infinité de circonstances où les corps marchent forcément de compagnie, avec la même vitesse, après le choc, sans que, pour cela, ces corps aient été entièrement privés d'élasticité avant le choc, ou qu'ils la perdent complètement par l'effet de ce choc : c'est ce qui arrive, par exemple, quand une balle d'argile ou de cire molle, lancée contre un corps résistant et élastique, demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique, lancée contre un bloc de bols suspendu librement au bout d'une corde ou d'une barre, demeure enfoncée dans l'intérieur de ce bloc. Or il est bon de remarquer que les conséquences qui précèdent, relatives au cas des corps totalement privés d'élasticité, demeurent alors exactement applicables, parce qu'elles ne supposent uniquement que l'égalité de la vitesse U conservée, par ces

l6o 1IÉG4NIQUB INDU9TEIBLLB.

corps, à la fin du choc. Quelle que soit en effet la cause ou la force qui oblige ces corps à demeurer réunis, comme cette force ne peut agir sur Tun d'eux» sans qu'une force égale et directement contraire agisse au même point et en même temps sur l'autre (6&)» on conçoit que, pendant toute la durée du choc, les quantités de mouvement perdues ou acquises par chaque corps seront les mêmes pour tous deux; de sorte que finalement (A') aura encore gagné précisément ce que (A) aura perdu (156).

Quant au cas où les corps se séparent après le choc, on ne peut jamais affirmer que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-dessus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement, leur forme primitive; car cela suppose encore que leurs molécules n'aient point conservé de vitesses relatives à l'instant de la séparation, ou ce qu'on nomme des moui/ements vibratoires (id), lesquels absorbent toujours une certaine portion du mouvement primitif; en outre, il peut bien arriver, par exemple, que, pendant le débandement des ressorts, les corps soient retenus momentanément, l'un contre l'autre, par leur adhérence réciproque ou par tout autre obstacle qui empêcherait que les quantités de mouvement, imprimées alors, soient aussi grandes que celles qui l'ont été en premier lieu. Enfin il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur intérieur, des altérations moléculaires plus ou moins grandes, sans qu*aucune trace s'en manifeste quant à la forme extérieure, etc. *

Ces considérations, jointes à ce qu'il n'existe, en réalité (17 et suivants), qu'un irès-pelit nombre de corps qu'on puisse regarder comme parfaitement élastiques, expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse, à la fin du choc des corps solides, diffèrent toujours plus ou moins de celles que donnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles qui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés d'élasticité. Cependant il est des corps élastiques, tels que les billes de verre, d'ivoire, etc., qui, dans certaines circonstances de leurs chocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s'accordent, à peu de chose près, avec ce qu'indique le calcul.

APPLICATIONS, ETC. l6l

160. Exemples particuliers. — Faisons maintenant connaître quelques-unes des conséquences de nos formules. Supposons, parexemple, que la masse M'du corps choqué(A')(/'/. U,fig, 35) soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (A);

la valeur de U sera sensiblement égale à -rr- ou V, c'est-à-dire

que la vitesse de M sera très-peu altérée à Tinstant de la plus grande compression; et comme, dans le cas des corps parfaitement élastiques (158), on a

on voit qu'à la On du choc, elle ne le sera pas davantage, mais que le petit corps s'éloignera de l'autre avec une vitesse W'=2V double de celle de (A). Supposons, au contraire, que la masse M du corps* choquant soit très-petite par rapport à celle M' du corps choqué; on voit que le dénominateur M -i- M' de U sera aussi très-grand par rapport au facteur M de son numérateur, et que par conséquent la vitesse U, à l'instant de la plus grande compression, sera également une très-petite fraction de la vitesse V que possédait le corps choquant; de sorte que, si M' est, pour ainsi dire, infiniment grand, par rapport à M, la vitesse U pourra être considérée comme sen siblement nulle. Si donc les deux corps étaient doués d'une élasticité parfaite, la vitesse W, acquise par le corps choqué, serait elle-même infiniment petite, tandis quecelleW=V— 2 U du corps choquant serait V, c'est-à-dire précisément égale et contraire à celle qu'il possédait avant le choc.

Ceci explique, entre autres, pourquoi les cordonniers placent, sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les semelles de souliers, et comment il est possible de forger du fer sur une forte enclume posée sur le corps d'un homme ou sur le plancher flexible d'un étage supérieur, sans blesser cet homme, sans endommager sensiblement ce plancher et les murailles de la maison. On voit, en effet, que la vitesse communiquée à la pierre ou à l'enclume, et par suite aux corps qui les supportent, est extrêmement faible comparativement à celle que possède le marteau; de sorte que la flexibilité, l'élasticité natu-

l62 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

relie de ces corps suffit pour amortir les elTets du coup, sans qu'il survienne d'accidents.

On s'expliquera aussi facilement une infinité de phénomènes, relatifs aux corps élastiques ou non élastiques, qui se passent journellement sous nos yeux : il n'est personne, par exemple, qui n'ait observé que, quand une bille de billard vient à en choquer une autre directement y c'est-à-dire de la manière dont nous l'avons entendu» précédemment (15i), il arrive qu'elle s'arrête tout à coup dans la place même qu'occupait cette autre, tandis que celle-ci chemine avec toute la vitesse de la première; or, c'est ce que montrent très-bien nos formules. Les masses M et M' de deux corps sont ici égales, l'élasticité est, pour ainsi dire, parfaite; de sorte que la vitesse U, commune aux deux corps à l'instant de la plus grande compression, a pour valeur

ce qui donne, pour celle de M après le choc,

et enfin, pour celle de la bille choquée,

161. Ve la force vive des corps après le choc. — D'après ce que nous avons déjà dit (95 et 139), on peut prévoir que, dans le choc des corps parfaitement élastiques, la force vive perdue pendant la compression doit être précisément égale à celle qui est restituée dans le débandement, tandis que, dans le choc des corps qui ne reviennent pas exactement à leur état primitif après l'instant de la plus grande compression, la somme des forces vives doit être altérée d'une quantité précisément égale au double de la quantité de travail nécessaire pour produire l'altération de forme ou de constitution éprouvée par les deux corps; quantité qu'on pourrait directement calculer (136 et 137) si l'on connaissait, pour chaque instant du choc et pour chaque corps, la valeur moyenne de la force de réaction F et celle du petit enfoncement qu'elle produit

APPLICATIONS, ETC. l63

dans ce corps. 11 est évident, en effet, que le travail, relatif à cet instant, serait mesuré (72, 85 et 86) par le produit de F et de la somme des enfoncements qui lui correspondent dans les deux corps. Mais, comme on ne connaît ni la loi que suit cette force, ni celle de l'enfoncement, on n'a d'autre moyen de mesurer, soit le travail, soit la force vive développés ou perdus dans le choc des corps, qu'en les déduisant directement des vitesses que possèdent ces corps avant et après Tinstant du choc, vitesses qu'on ne peut calculer rigoureusement d'ailleurs (159) que dans un petit nombre de cas.

Par exemple, ayant appris, dans les cas ci-dessus (156), où un corps en choque un autre au repos, à calculer la vitesse U, qui leur esl commtme à l'instant de la plus grande compression, nous pourrons aussi trouver la force vive qu'ils possèdent à cet instant, et la perte de force vive due à la réaction de leurs ressorts moléculaires. En effet, la force yive totale ( 122 et 126 ) élaii, a^'ant le choc, MVS et, à l'instant que l'on considère, elle est

MU'-f-M'U' ou (M-f-M')U^

donc la perte de force vive a pour valeur

MV^ — (M-hM')U'.

Maison a trouvé (156)

donc

(M 4- M')' "M 4- M' D'une autre part, M V* est la même chose que

(M-^-MOMV='

M H- M' ou que