AE "" 2E

qui se déduisent très-simplement, soit de la formule générale du n"" 310, dans laquelle on supposerait Q = o, soit de la for-

mule l'=~i'L, dans laquelle on metlrait pour /' sa valeur-. ,

A.Jfci

DL

Limite relative à Ifi ténacité. — Pour obtenir le maximum de la hauteur sous laquelle la force de cohésion des parties de la barre se trouverait vaincue, il suffira (244-) de poser réquation

R.A = pL=:D.AL;

d'où Ton tire

ce qui montre que la hauteur dont il s'agit, s'obtiendra en divisant la force de cohésion de la substance, sur i mètre carré de section, par sa densité ou son poids sous l'unité de volume correspondant.

Prenant ici, pour la valeur moyenne de cette cohésion, R = 4° ooo ooo''^ (284), on trouvera

iooooooo^» ^ rt 1,=^- — 5 — r- — =: 5120™ environ ; •^ 8oo*«

c'est-à-dire que la barre devrait avoir plus d'une lieue et quart de hauteur, pour rompre sous son propre poids. On peut juger, d'après cela, combien la force, qui unit entre elles les molécules des corps solides, doit surpasser celle qui les sollicite en raison de la pesanteur; car la valeur de R se rapporte à la seule action subie par les molécules de la tranche où se fait la rupture, de la part des molécules qui en sont imonédiatement voisines, tandis que le poids /^L, auquel R fait équilibre, se trouve réparti sur toutes les molécules du prisme.

Hauteurs des modules d'élasticité et de ténacité, — La hauteur qui vient d'être obtenue en dernier lieu, de même que

celle jri' = 1^82"* qui l'a été ci-dessus, sont très-propres à

<îaractériser les forces de ténacité et d'élasticité de chaque substance, ou plutôt les limites respectives de ces forces, indépendamment des unités de mesure adoptées ou des di-

4l8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

mensions considérées dans chaque cas en particulier. Or, en.

élendanl pareillement celte observation au quotient =r9 du

coefficient d'élasticité divisé par la densité, lequel représente, de son côté, la hauteur d'un prisme vertical qui serait capable de produire, en vertu de son propre poids et sur sa tranche supérieure, rallongement proportionnel défini au n"237, on se rendra compte des motifs qui ont conduit les Auteurs anglais {*) à appliquer une dénomination particulière à ce dernier résultat qu'ils appellent : hauteur du module d'élasticité. On pourrait nommer également : hauteur du module de té-

Vf

nacité ou de cohésion, la valeur de yr> et limite de la hauteur-

du module d'élasticité, la valeur de la quantité -^ i'.

EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT OSCILLATOIRE DES PRISMES SOUS l'iNFLUENGE DE CHARGES CONSTANTES ET DF. CHOCS VIFS.

Dans tout ce qui précède, nous avons fait, à peu près complètement, abstraction de l'influence qui peut être due à la vitesse acquise par les charges suspendues à l'extrémité inférieure des prismes; ou plutôt, nous n'avons considéré que les simples efforts capables d'amener ces prismes à un état d'allongement ou dé stabilité déterminé. Malmenant il s'agit de revenir, avec quelques détails, sur le rôle joué par l'inertie dans tous les phénomènes relatifs aux allongements et à la rupture des prismes, rôle que nous avons seulement cherché à faire pressentir dans le Chapitre servant d'introduction à l'exposé des résultats de. l'expérience, et qui concerne les premières notions ou principes sur la résistance élastique des solides. On verra, dans la partie des Applications, que cette matière offre un vaste champ de recherches théoriques ou

(*) Essai pratique sur la force du fer coulé ^ etc^ par Tredgolcl, traduction de T. Duverne, p. 167, n* 74.

expérimentales, dont nous n'avons fait, pour ainsi dire, qu'effleurer les plus simples éléments.

Lois de ce mouvement^ dans le cas oà la charge ne possède

aucune vitesse initiale.

' 312. Influence du mouvement acquis par cette charge^ sur la résistance et l'allongement maximum du prisme, — Dans les exemples qui précèdent, nous n'avons considéré que ce qui a lieu après l'instant où leprisme solide est parvenu à son état de stabilité sous Tinlluence de la charge qui le sollicite. Mais on doit se rappeler (256) que, lorsqu'il s'agit de tiges verticales soumises à l'action de leur propre poids ou d'un poids étranger, les premiers allongements s'opèrent en vertu d'un mouvement continu et accéléré, qui est dû à la prépondérance de la charge, dans ces premiers instants, et qui est tel^ que l'ensemble des diverses parties acquiert rapidement une vitesse ou une force vive finie, sous laquelle la charge atteint et dépasse ensuite la position de stabilité ci-dessus mentionnée. Il en résulte aussi que les allongements vont continuellement en augmentant, jusqu'à l'instant où le mouvement se trouve complètement anéanti, pour recommencer en sens contraire, et ainsi alternativement.

Allongement maximum. — D'une part, la quantité de travail développée, par l'ensemble des ressorts moléculaires, à ce dernier instant où les forces d'inertie des molécules ne jouent plus aucun rôle, est donnée (247) par la formule

T,= T;.AL = |AL.Ei%

qui s'applique à un allongement proportionnel quelconque I = I, subi par le prisme, en deçà des limites pour lesquelles l'élasticité demeure parfaite.

D'une autre part, le travail développé par le poids, Q (310), de la charge étrangère, sur la hauteur de l'allongement maximum et effectif que nous représenterons par IL, ayant pour mesure le produit Q.IL, on devra avoir l'égalité*

iALEI'^QIL, ou iAEl = Q;

en divisant par le facteur commun IL, et négligeant l'influence peu sensible, qui pourrait être due au poids des parties matérielles du prisme, dont le travail serait facile à évaluer d'après ce qui a déjà été exposé au n** 310 ci-dessus.

Mais AEI est précisément (236) la mesure de Teffort P, qui serait capable de produire ou de maintenir, d'une manière stable et permanente, rallongement I, par mètre, que le prisme a reçu sous l'influence de la charge Q et de la vitesse acquise; donc, celle dernière charge n'est que la moitié de celle dont il s'agit, ou, ce qui revient absolument au même : le plus grand allongement subi sous l'influence de la vitesse acquise f est le double de rallongement stable qui correspond drait à la charge effectwe, si Von venait à s'opposer à toute accélération sensible du mouvement ; ce qui peut se faire par divers moyens faciles à imaginer.

On voit aussi, d'après cela, qu'encore bien qu'un effort, Q, fût, par lui-même, incapable d'énerver l'élasticité d'un prisme solide, vertical, à l'extrémité inférieure duquel il agirait sans vitesse appréciable, cependant un poids égal, fîxé, à cette extrémité, avec beaucoup de douceur, mais abandonné ensuite librement à l'action de la gravité, raffaiblirait inévitablement si sa valeur dépassait seulement la moitié de l'effort ou de la résistance qui correspond à la limite de réiasticité naturelle. Cette conséquence justifie complètement ce qui a été avancé, d'une manière générale, au n** 256, et elle prouve aussi combien on aurait tort de s'en rapporter, dans certains cas, à la règle qui consiste à prendre, pour la charge permanente des matériaux de construction, celle qui correspond à celle même limite, dans des expériences où l'inertie n'aurait, pour ainsi dire, point été mise enjeu (295).

Allongement relatif au maximum de vitesse, — Pour l'obtenir, on considérera que la vitesse de la charge Q, et celle des différentes tranches ou parties matérielles du pris;ne, devant atteindre sensiblement leur valeur maximum, c'est-à-dire cesser de croître, au même instant, et par conséquent les

forces d'inertie /ii--(130 et suivants) qui leur sont relatives,

devenant nulles pour chacune d'elles séparément, il faut qu'il y ait simplement équilibre entre les poids et les forces de

DES RfiSISTÀNCBS. V 4^'

ressort ou résistances élastiques qui les animent» comme dans l'étal de stabilité ordinaire du prisme. Négligeant donc encore ici le poids de ses différentes tranches, et nommant i' l'allongement proportionnel qu'elles subissent à l'instant du ma\i- ' muai de vitesse, et qui* sera le même pour toutes, aussi bien que leur force élastique mesurée par le produit AE/', on aura simplement, pour déterminer/', la relation