AE^ V A'E

AE V A'E» AE g^L

Effort qui correspond à V allongement maximum. — L'effort P, qui serait capable de produire et de maintenir, d'une manière statique ou permanente (312), le plus grand allongement du prisme, étant mesuré (236), par le produit AEI, en deçà de la limite où Télasticité cesse de demeurer parfaite. Il en résulte que Ton aura, en outre, pour calculer cet effort.

de sorte que Texcès de cet effort sur celui de la charge Q, aussi

/ V^ bien que Texcès d'allongement 1/ '' + -ît> ^^^^ P^** '^ prisme

sous l'influence du mouvement acquis, croîtront, l'un et Tautre, a\ec la grandeur de la vitesse initiale, Vi, mais croîtront d'une manière d'autant plus lente ou moins sensible que la longueur absolue, L, de ce prisme, sera, elle-même, plus considérable.

Rien ne sera plus facile d'ailleurs que de s'assurer, dans chaque cas, au moyen de ces différentes formules, si la limite d'élasticité n'a pas été atteinte ou entièrement dépassée.

Application numérique. — Prenant pour exemple les don-

nées (lu n^ 317, où Ton a

/' z= o»»i002, It^ = 9l^ - 4qo4,5,

on irouvera, en supposant seulement la vitesse initiale de la charge, V, r= o'",2o, par seconde,

et, pour le plus grand allongement subi par le prisme,

BD'=:o'",oo2 -i- y/o, 000012 i5=:o"*,oo2 -4-o'",oo35 = o™,Go55;

ce qui répond, attendu qu'ici L.:=io", à un allongement proportionnel ou par mètre, I, de -nr^"»^^^^ = o^jOooSS, sous lequel l'élasticité serait, en effet, sensiblement altérée (292) pour certains fers, quoique ici la charge soit seulement de ^ kilogrammes par millimètre carré (310), et que la vitesse initiale V, =0", 2, corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine o™,oo2 ou 2 millimètres.

On Irouvera de même, pour l'effort P, qui serait capable de produire ce plus grand allongement,

P=: AEI ■=r=. Sooooooo'^'X 0,000 55 = 27500^»,

dont l'excès, 17500 kilogrammes /siir le poids Q= 10 000 kilogrammes, de la charge, représente proprement la part qui doit être attribuée à l'influence de l'inertie ou du mouvement acquis par cette charge.

Maximum de contraction, — Revenons à nos premières considérations, et remarquons que la partie BB' de l'oscillation en retour ou ascendante, de l'extrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse où la charge Q lui serait invariablement attachée, à un véritable accourcissement, à une véritable contraction subis par ce prisme, et pourra à son tour être calculée par la formule

BB' =: B'C - BC =r CN — /' = \Jv' "^ 1^ "" ^''

436 MÉCANIQUB INDUSTRIELLE.

qui, dans le cas parliculier ci-dessus, donnera simplement

BB' = o™,oo35 — o'^yooi = o*",ooi5,

ou un accourcissemeni de o"*,oooi5 par nïèlre de longueur seulement. Mais nous reviendrons, d'une manière plus particulière sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul, quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles de la question.

Énoncé et forme particulière des résultats. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d'un énoncé très-simple en

langage ordinaire; car si Ton observe (313) que /i^= yj-» ei si

Ton nomme H, la hauteur —^ due à la vitesse V,, il en résul-

lera, par exemple, pour le plus grand allongement que subil le prisme, sous Tinfluence de celte vitesse,

BD' =:=/'-+- l//'^ H- 2 g-H. ^ = /'-4- v^/'(/'-f-2H,);

ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de l'allongement de stabilité, V y relative à la charge Q, d'une quantité égale à la mo}'enne proportionnelle entre /' et sa valeur augmentée du double de Ui : moyenne qui donne ainsi la mesure directe de l'influence exercée par l'inertie ou le mouvement de Q,

319. Formules relati^^es aux diverses circonstances du mouvement oscillatoire de la charge. ~ Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on Ta fait dans les précédents numéros, on nommera en général, afin d'abréger, r la demi-amplitude, ou le rayon CN=:^CB' = CD' (PL II, fg. 5i), du nouveau cercle, et T' le temps que, dans ses oscillations périodiques, l'extrémité B de la tige met à parcourir l'intervalle BB'. Ce rayon et ce temps, qui sont déterminés par les relations de la flgure, se calculeront directement au moyen des formules

â///.^VÎ ., arcB^N angleBTN

dont la dernière suppose qu'on ait préalablement calculé l'angle B'CN, à l'aide des Tables mentionnées au n° 314, et de Tune ou de Tautre des relations

BC ou /'=:rcosB'CN, BN = ^ = rsinB'CN, qui donnent cosB'CN ou cosAr = -i sinB'CN ou sinAï'=^.

Expression du temps et des allongements variables. — Comme, en continuant de nommer T le temps que Textrémilé inférieure de la tige met à décrire l'espace quelconque, B/n =1 /, auquel correspond l'arc MN sur le cercle B'ND'B', on a pareillement

,-, arcMN angleNCM , ^^^, ,^

ï=r — , = — ^ , ou angleISCM = /fT,

kr k

il en résultera, pour calculer à un instant donné cet espace qui représente rallongement total alors subi par le prisme, la formule

Bm ou /zurBC — Cm=:/'— CM.cosB'CM

• =/'- rcos/i(T-hr), puisqu'on a

angleB'CM =r angleB'CN -h angleNCM, et

angleB'CN = /.T, angleNCM =^ /rT.

Expression de la vitesse. — Quant à la vitesse dont la charge est animée au point quelconque, m, on la calculera, soit directement, au moyen de la formule

y=:k.mM=:k v/mc'- mC z=:k sjr^ — {'l' — l)\

soil par les Tables trigonométriques, au moyen de la formule (*)

V=A-./nMm/r CM.sinB'CM = /rrsin/r(T H- T').

(') On peut mettre, sous une forme pins explicite, les expressions de V et

438 MÉCAIIIQUE INDUSTRIELLE.

Enfin on aura toujours (316}, pour ralculor l'effort moteur variable, P, qui agit à rexlrémité inférieure, B, du prisme^ ainsi que l'allongement proportionnel, /, qui en résulte, aux divers instants du mouvement

formules dans lesquelles il faudra substituer à / la valeur déjà obtenue ci-dessus.

Amplitude, durée et nombre des oscillations. — S*il s*agit en particulier des oscillations entières exécutées par le prisme et sa charge, on observera que leur durée correspond ici encore (315) à un arc, NM, devenu égal à la circonférence entière ND'B'N == 2Trr, à un angle, NCM, devenu égal à quatre droits et mesuré par 27: sur le cercle dont le rayon est runitc, de sorte que cette durée et le nombre N des oscillations, par seconde, seront fournis par les formules

de /, et par suite ccUes do P et de i, en dc'voloppant les valeurs de sin A(T -HT') et C08A(T -+- T'), d'après les formules connues de la Trigonométrie; car on aura

V = Ar sin AT cosAT' -+- Ar cosAT sin AT' = A/' sin AT H- V, cosAT,

1=1'— r cos AT'cos AT -+- r sin AT'sin AT =/' — /' cosAT h- ^ sin AT.

On trouvera de même, pour calculer directement les valeurs de T, an moyen de celles de / et de V, la formule

r* Ar" ^ ^ ■^ f* A'r*

ou bien

anAT= 1 Vr> -(/'-/)« - ^Li V. = i^ - ^ ./s r* ' A/' ' r'A r'A

dans lesquelles on se rappellera d'ailleurs que

DBS RÉSISTANCES. 4^9

Ces formules, qui coïncident avec celles du n*" 315, soni d'ailleurs indépendantes de la vitesse initiale, Vi, imprimée à la charge Q, aussi bien que de TampHiude B'D'=2r, de ses oscillations; par conséquent cette dernière peut décroître ou augmenter par des causes quelconques» sans que la nature du mouvement en soit modifiée, tant que la charge, la tension et l'élasticité naturelles du prisme ne seront point changées. Enfin, il est évident, à priori^ qu'on arriverait aux mêmes résultats, si Ton considérait en général le temps nécessaire pour que la charge ou l'extrémité inférieure B du prisme revint à l'une quelconque des positions qu'elle peut successivement occuper, par exemple à la position B' qu'elle avait déjà dans l'oscillation précédente ; car ce temps serait toujours mesuré par la circonférence entière, 2 7rr, du cercle B'MD'B', divisé par le produit kr.

320. Remarques et conséquences divenes, — L'accourcissement BB' (PL Il^fig, 5i), qui a été calculé à la fia du n*' 318, et que subit le prisme dans le mouvement d'ascension de la charge, à laquelle, par hypothèse, il est étroitement lié, cet accourcissement étant généralement très-petit, par rapport à l'allongement maximum BD', qui lui correspond dans chaque cas, on voit qu'il sera inutile d'y avoir égard dans les questions relatives à la solidité des prismes; mais il n'en est pas moins utile de remarquer qu'en vertu de la compression qui en résulte, lors de ce mouvement de retour, le point d'attache supérieur, A, du prisme, se trouvera lui-même pressé ou choqué en vertu d'un effort absolument analogue à celui qui le sollicite dans l'oscillation descendante et dans la partie BD' de l'oscillation contraire. Supposant d'ailleurs, qu'en raison de sa longueur (268, 280 et suiv.), le prisme ne puisse fléchir à l'instant où cet effort de compression atteint sa limite, on voit qu'il sera facile de calculer l'intensité de ce dernier au moyen de la formule P = AEi, qui s'applique aussi bien (236) à la contraction des prismes qu'à leur extension, tant que l'élasticité naturelle n'est pas forcée.

On remarquera pareillement que, si la vitesse initiale, Vi, supposée imprimée à la charge Q, dans la question du n"" 318, au lieu d'être dirigée du haut vers le bas, l'était en sens con-

traire, les mêmes considérations géométriques et les mêmes formules serviraient encore à faire trouver lés lois du mouvement, pourvu toujours que la vitesse dont il s'agit, ou plutôt Teffort maximum de compression qui en résulte, fût incapable de faire fléchir transversalement le prisme, puisqu*alors il surviendrait des soubresauts qui cesseraient d*être soumis aux lois indiquées par nos premières formules. Quant au cas où le prisme aurait une position renversée par rapport à son appui A, la valeur de /', au Heu d'être portée de B en C, devrait rêtre de B vers A; ce qui rendrait BB' > BD', ou les accourcissements plus grands que les allongements relatifs au mouvement de retour, et, par suite, la contraction et les inflexions plus dangereuses que les extensions, à l'inverse de ce qui avait lieu dans les hypothèses précédentes.

Enfin, il est bien évident encore que, si, au lieu d'imprimer une vitesse initiale à la charge Q , on eût simplement fait sifbir au prisme, toujours. lié invariablement à cette charge, un allongement prinlitif égal à BD', ou une contraction primitive mesurée par BB', et sans vitesse acquise, qu'ensuite pn l'eût abandonné à la libre action du poids Q, la loi du mouvement, l'étendue des excursions el la durée des oscillations eussent été exactement les mêmes que dans le cas précédent (*).

(*) Soit notamment, P' l'effort qui, ajoute au poids Q de la charge, a primitivement allon^ré le prisme de lu quantité BD' = BC -+- CD' = /' -h r, sans vitesse acquise, on aura évidemment (234), si BD' n*excède pas rallongement relatif à la limite d'élasticit«