Deuxième question sur ce sujet; exemple relatif à

l'art des constructions, — Imaginez un homme placé, debout, sur un support horizontal fixé à l'extrémité inférieure du prisme vertical dont il vient d*étre parlé et pour lequel ce support représentera la charge constante qui, dans les questions précédentes, a été nommée Q, tandis que le poids de cet homme représentera, si Ton veut, celui de la charge additionnelle nommée Q'. Supposez, en outre, que ce même homnne, en fléchissant et se redressant alternativement sur les genoux, abaisse et élève périodiquement la partie supérieure de son corps; il fera naître ainsi, dans le prisme, un mouvement oscillatoire dont l'amplitude ira sans cesse en croissant, s'il a su, adroitement encore, mettre le mouvement de sa masse en harmonie avec celui que peuvent prendre le prisme et le support, c'est-à-dire si, la durée de ses alternatives d'action étant précisément égale à celle des oscillations naturelles de ces derniers, il s'arrange de manière que les plus fortes ou les plus faibles pressions qu'il exerce par son inertie et son poids aient précisément et respectivement lieu dans les oscillations descendantes ou ascendantes du support, ce qui arrivera inévitablement s'il s'élève ou s'élance de bas en haut, quand ce support baisse, et s'il se laisse, au contraire, retomber en ployant les genoux, quand celui-ci vient à son tour à remonter. On se rendra parfaitement compte de ces effets, en observant que, dans ce double mouvement, l'effort de réaction que l'homme fait éprouver au support, se compose du pgids total

de son corps, augmenté delà résistance ou M —(130),

due à l'inertie de la majeure partie de ce poids, quand il s'élève rapidement par la forme musculaire des jambes et des reins, tandis que cette même réaction est simplement réduite

à l'excès de Q' sur M' — , pendant les instants où il se laisse,

au contraire, retomber en fléchissant les genoux. Or, puisque la force musculaire dont il vient d'être parlé permet à l'homme de quitter entièrement le point d'appui de ses pieds, lorsqu'il est à terie, on conçoit que ce dernier effort de réaction, cet excès pourra devenir complètement nul dans certains instants, tandis que, dans l'autre, l'excès contraire pourra dépasser de beaucoup le double du poids, Q', de cet homme. «

Il est cerlain que l'un et l'autre de ces efTorts variables de réaction seraient très-difficiles, pour ne pas dire impossibles, à cù\cu\eT à priori ou à déterminer par expérience, quand bien même on parviendrait à découvrir la loi des mouvements que l'homme peut ainsi imprimer à son corps. Mais ce calcul n'est pas nécessaire pour se faire une idée approximative du maximum de travail ou d'effet utile qu'il pourrait développer dans un semblable exercice. Car, si Ton estime à o'yS, par exemple, la hauteur dont il abaisse, dans chaque période, le poids de la partie supérieure de son corps, supposé seulement de 5o kilogrammes, et à o*,3, pareillement, la hauteur totale à laquelle il peut élever, au-dessus du sol, par sa force musculaire, le poids entier de son corps supposé de 70 kilogrammes, il en résultera que le travail, relatif à la totalité de o",6 de son ascension, sera mesuré par la somme

C'est à cette quantité qu'il faudra ici égaler celle,

dont il a été question ci-dessus (329) pour obtenir la valeur de /. ou lm — l\ à la fin de chacune des oscillations entières du prisme, si, comme on le suppose toujours, et en raison de la lenteur plus ou moins grande de ces oscillations (*), l'homme emploie de la manière la plus favorable possible, c'est-à-dire sans chocs ni contre-coups, l'action musculaire par laquelle il parvient à développer constamment, ou à chaque alternative, les 36 kilogrammètres dont il s'agit.

(*) Leur durée, sous U charge coobUnle Q, étant doDuée ^319) par la formule T = a:r \/ —-=^t tandis que celle des alternatives d*action de Thomme V ^AE

ne peut guère être muindrt* qu'une ou deux secondes, cette condition fixe la relation à établir entre les quantités Q, 1^ A et E qui se rapportent spécialement au prisme. Ainsi, par exemple, eu prenant T = 3*, ou aura pour deler-

miner la longueur L, de ce prisme, tout le reste étant connu, L = — rrr = o,633 -rr ;

7t Kl V

AE étant la résistance élastique de ce même prisme, et Q le poids du support.

DES RÉ61STANCBS. 4?^

En effectuanl le calcul pour un exemple particulier> il sera facile de s'assurer que Tamplilude des oscillations du prisme irait continuellement en augmentant, mais d'une manière beaucoup moins rapide que dans les hypothèses de l'exemple précédent, où faction motrice croissait elle-même sans cesse avec cette amplitude, tandis qu'ici elle en est supposée indépendante. Si l'on nomme, en effet, pour plus de généralité,

B* la valeur toute connue de la quantité j^ Sô*"»" = -^-^ qui

ne dépend que des dimensions et de l'élasticité du prisme, on trouvera par un raisonnement fort simple, mais dont le développement serait trop long à rapporter, que l'allongement In subi par le prisme, au bout de n oscillations entières, est donné par la formule

/, = )/l'^ -h nB%

dans laquelle /' = ^, représente (237 et suivants) l'allongement de stabilité que le prisme acquiert sous le poids seul de son support.

Le premier de ces allongements croit donc d'une manière d'autant moins rapide, que B* est plus petit vis-à-vis de /'%

ou que le rapport de B* à /'S égal à y^ai = r\n ^st luimême moindre par rapport à l'unité; mais on voit aussi que la valeur de ce dernier allongement ne saurait, en aucun cas,

surpasser celle de v^nB% qui croît seulement comme la racine carrée du nombre /i, des oscillations ou secousses successives de la puissance.

Cette accumulation du mouvement oscillatoire par la répétition des mêmes effets, est un autre moyen d'emmagasiner, dans les corps élastiques, le travail des forces motrices naturelles, et de produire, comme dans le cas du choc (179), des résultats dont elles seraient incapables par leur application directe à la résistance. C'est ainsi, par exemple, qu'en faisant osciller alternativement l'extrémité la plus faible d'une grosse et longue poutre horizontale, reposant sur un appui solide, vers son autre extrémité, armée, à cet effet, d'une bride en

474 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLEr

fer embrassant la tête d'un pilot, c'est ainsi qu'on parvient, au bout d'un temps souvent fort court et à l'aide d'un petit nombre d'hommes, ài'arracher du sol où il avait été enfoncé à coups de mouton redoublés, etc. Mais, celte application, comnne plusieurs autres que nous pourrions citer, sont un peu étrangères à notre objet actuel, et nous passerons à un exemple qui y a plus directement trait.

331, Explication d'un fait observé par M, Savart dans ses expériences sur la vibration des verges élastiques, — Dans un Chapitre intéressant du Mémoire que nous avons cité au n"* 299, cet habile physicien s'est proposé de démontrer l'extrême facilité avec laquelle les vibrations longitudinales peuvent être excitées dans les verges élastiques, lorsqu'en les fixant vers le milieu ou à l'une de leurs extrémités, on vient à passer légèrement, mais à plusieurs reprises différentes, les doigts mouillés le long de leur surface. Il arrive alors, comme l'observe M. Savart, que le mouvement se propage, de proche en proche, des couches externes aux couches centrales, de façon • que les effets de la friction répétée, se communiquant bientôt à la masse entière des verges, les oscillations finissent par acquérir une amplitude qui ne parait nullement en rapport avec la faiblesse de la cause.

Parmi les expériences délicates qu'il a spécialement entreprises dans la vue de constater les efforts qui seraient capables de produire directement le maximum des allongements observés, nous citerons celles dont il a lui-même soumis les résultats au calcul à la page 898 du tome LXV des Annales de Chimie et de Physique, et nous y ajouterons, d'après ce qui précède, l'évaluation des quantités de travail qui correspondent à ces mêmes efforts.

Dans une première expérience sur une verge de laiton de i°*,4o7 de longueur et 34"", gS de diamètre, rallongement, sous l'influence des vibrations, s'est élevé à 0^,00026, ce qui donne, pour calculer l'effort correspondant, P, par la formule P = AEi dun»236,

o'",ooo26 0/0 A 7r(34,Q5)' ^ ^^^ ^

et, partant,

P = 959,37 X gSiS''* X o«,oooi848 = i7o4''«,7,

en prenant pourE la valeur déduite du résultat des expériences de M. Savart, et qui se trouve rapporté dans la Table du n» 300.

Multipliant ensuite ce résultat, qui coïncide, à très-peu de chose près, avec celui de ce physicien, par la moitié de rallongement correspondant, o",oooî6, de la tige, conformément à ce qui a été établi au n^ 247, on trouvera pour la quantité de travail ou la résistance vive, que cet allongement suppose

On voit combien ce résultat est faible, puisqu'en supposant Teffort longitudinal, nécessaire pour vaincre la friction des doigts dans l'expérience dont il s'agit, égal à.o^Si seulement, il suffirait de répéter cette friction deux fois de suite, dans le même sens et sur une étendue de i*,ii, pour développer une quantité d'action égale à celle qui vient d'être trouvée. Le raisonnement et le calcul sont donc parfaitement d'accord avec les faits de l'expérience, bien que, à considérer les choses d'un peu plus près, on aperçoive qu'une certaine quantité d'action et de travail doit nécessairement être employée, en pure perte, à détruire une portion correspondante de la force vive acquise par les molécules dans leurs mouvements vers le point d'encastrement de la tige, et une autre portion également appréciable, employée à transmettre le mouvement vibratoire aux corps environnants, par l'intermédiaire du support.

En refaisant les mêmes calculs pour la seconde des expériences citées, relative à un cylindre de verre, de 0^,9^6 de longueur, et 29"",! de diamètre, qui s'ftst allongé de o™, 00021, sous l'influence des frictions répétées, ou des vibrations qui en ont été la suite, si Ton refait, dis-je, ces calculs, on trouvera

P = goo^« environ, et T,= o^^'^^ogS,

en prenant, d'après la Table de l'article 300, £ = 6200^» pour

la lige de verre n** 3. Or le dernier de ces résultais offre une nouvelle preuve de la faible dépense de travail qui est néces* saire pour engendrer, dans les tiges élastiques, les oscillations ou vibrations longitudinales les plus puissantes.

On peut même voir, par les résultats exposés aux ii"** 296 et 298, qu'il n'en coûterait pas beaucoup plus pour amener ces verges au point de la rupture, et, chose remarquable, qu'il en coûterait d'autant moins que leur substance serait plus raide ou plus dure, c'est-à-dire moins ductile. Ces mêmes résultats donnent aussi une* idée de la puissance des effets physiques qui pourraient être produits à la longue par l'accumulation du mouvement vibratoire dans certains corps solides, soumis à l'action réitérée des plus faibles forces ou des plus faibles causes» qui viendraient ainsi à suppléer l'énergie primitive de cette action, par l'étendue du chemin sur lequel elle se trouverait répartie (71 et 72).

/applications relatives à l'emploi du fer dans lès ponts

suspendus.

332. Données essentielles de la question. — On sait que les liges verticales de ces ponts, soutenues, vers le haut, par des chaînes en fer, qui vont d'une rive à l'autre en passant quelquefois sur des piles intermédiaires, sont destinées à supporter les extrémités de poutres horizontales, perpendiculaires à Taxe, sur lesquelles reposent à leur tour les solives ou longrines qui reçoivent le plancher ou tablier du pont, etc. Chacune de ces tiges se trouve ainsi chargée de la moitié du poids total qui agit sur la poutre ou traverse correspondante, cl ce poids peut toujours être calculé, à priori, par la connaissance du système. Nous supposerons que la charge permanente, et ordinairement uniforme ainsi calculée , soit de 2450 kilogrammes, et qu'en conformité de la règle des constructeurs, indiquée au n''288, on ail donné à chaque tige une section

nA5o d'environ —î — = 1225 millimètres carrés, répondant à 35 millimètres de côté; la charge par millimètre étant ainsi réduite à 2 kilogrammes seulement.

D'ailleurs, comme dans toutes les circonslances où cette charge reçoit une impulsion , une vitesse initiale étrangère à l'action de son propre poids, la longueur absolue des liges doit jouer un rôle nécessaire et d'autant plus appréciable qu'elle est plus petite (317), il y aura lieu d'en tenir compte dans les calculs; ce qui, en s'arrêtant au premier aperçu, conduirait à choisir, pour les y soumettre, les tiges les plus courtes parmi celles qui supportent le tablier du pont; mais comme leurs extrémités supérieures, au lieu d'é\re fixes, sont liées par un gros boulon à des chaînes qui possèdent une assez grande flexibilité, il en résulte que les effets des chocs simultanés ou successifs qu'elles subissent doivent être d'autant plus atténués, qu'elles sont elles-mêmes plus voisines du milieu du pont^ où les oscillations, les abaissements atteignent nécessairement leur limite supérieure.

En considérant même les choses d'un peu plus près, il est aisé d'apercevoir que cette mobilité du point d'attache supérieur des tiges reproduit, en réalité, l'effet qui aurait lieu si on les prolongeait au-dessus de ce point, d'une quantité telle, que l'allongement subi par la partie excédante, à compter du nouveau point d'attache supposé entièrement fixe, fût exactement égal à l'abaissement qu'éprouve le premier dans l'état naturel ; du moins peut-on admettre une semblable hypothèse, lorsqu'il y a pareillement lieu de négliger (321) l'inertie et le poids des parties matérielles de la tige ainsi prolongée.

D'un autre côté, comme le calcul et l'expérience sont d'accord pour prouver que les abaissements, vers le milieu des chaînes, sont très-grands par rapport aux allongements que peuvent subir les plus longues barres de fer dans les limites de l'élasticité naturelle, il en résulte que les tiges de suspension qui éprouvent le plus de fatigue dans les ponts dont il s'agit, correspondent précisément aux points d'appui des chaînes, et que, par conséquent, c'est en ces points, où elles ont souvent jusqu'à lo mètres de hauteur, qu'il est surtout intéressant de vérifier leur solidité.

Lors du levage ou montage des matériaux du pont, la pose des diverses pièces s'effectue d'une manière successive; et, quoique cette opération soit nécessairement accompagnée de mouvements plus ou moins vifs, on conçoit qu'il n'en ré-

suite aucun effet dangereux pour la solidité. Mais il en est tout autrement lorsque le pont étant une fois établi, il vient à être surchargé passagèrement ; et c'est dans la prévision des accidents fâcheux qui peuvent en résulter que rAdminisiration des Ponts et Chaussées oblige les entrepreneurs à soumettre le pont à une épreuve préalable, qui consiste à le surcharger uniformément d'un poids de 200 kilogrammes par mètre carré, représentant à peu près celui du plus grand nombre de per- j sonnes qui puissent y être contenues, à raison également de trois par mètre carré. Sur un pont de 8 mètres de largeur, el dont l'espacement des tiges serait de i"*,5, par exemple, cela donnerait 12 fois 100^^ = 2400^» de surcharge par couple de liges, ou 1200 kilogrammes par tige, et augmenterait d'environ moitié en sus, la charge permanente de 2450 kilogrammes que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés à cette épreuve se fait d'une manière progressive, il en résulte que les tiges de suspension sont bien loin de subir l'amplitude d'allongement qu'elles recevraient, en réalité, de la part d'une masse pareille, ou même moindre, qui serait animée d'une certaine vitesse, ou qui viendrait envahir le pont d'une manière plus ou moins rapide : telle serait, par exemple, une troupe d'hommes ou d'animaux, un croisement de voitures lourdement chargées, et dont l'action deviendrait d'autant plus dangereuse qu'elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d'appui.

333. Appréciation des effets produits sur les tiges de suspension^ par la rencontre de voitures lourdement chargées. — Pour se convaincre des dangers qui peuvent en résulter pour la solidité, il n'y a qu'à supposer la rencontre, en un point déterminé du pont, de deux voitures pesant chacune 8000 kilogrammes tout compris : comme les poutres longitudinales, qui entrent dans ce pont, n'enf>brasseront généralement guère plus de quatre travées ou cinq couples de tiges, et que les couples, qui correspondent directement aux roues, porteront au moins deux ou trois fois la charge des autres, on n'exagérera certainement pas en élevant à 2600 kilogrammes celle que supporte chacune d'elles, même aux derniers instants de l'allongement qu'elles devront subir, et où elles seront le

BBS RÉSISTANCES. . 4^9

plus soulagées par leurs voisines. Supposant^ en outre, ces voitures animées d'une certaine vitesse, et rencontrant les obstacles, les inégalités dont les planchers des ponts sont toujours hérissés; mettant enfin en ligne de compte les effets dus au choc occasionné par la marche des chevaux, il sera facile de Juger, d'après les calculs déjà établis aux n°* 317 et 318, que, malgré la faiblesse de la charge permanente supportée par les liges verticales du pont, et l'épreuve préalable qu'on fait subir, il pourrait bien arriver, dans certaines circonstances, que l'élasticité de ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée.

Afin d'offrir un nouvel exemple de ces calculs et de fixer davantage les idées, nous supposerons que la surcharge de 2600 kilogrammes vienne choquer la tige iqui la supporte, avec une vitesse de o"", 70 par seconde, due à une chute de 25 millimètres seulement de hauteur, et nous admettrons de plus que cette tige ait la longueur de 10 mètres, que nous considérons comme un maximum. D'après ce qui a été expli* que ci-dessus, on aura donc ici

A = 1225™% L = io"', Q = 245o^«, Q'=26oo^«, V'=o'»,7o;

ce qui donne d'abord, pour la vitesse initiale commune à Q et Q', à la fin du choc (323),

vitesse qui correspond elle-même à une chute de très-peu supérieure à o",oo6 . On trouvera ensuite, par les formules du n* 32fc, et en prenant toujours E = 20000^»,

/' = ^=0",OOI, r=^=0«,00106, /'-*-/" = 0«,00206,

A£ Ah

*"• == y t^Jt^ = ^^^761 ,65 =69,0,

ce qui donnera, pour le plus grand allongement subi par la lige

L' ou IL=/'4-/''+i/r'-hTT = o">oo2o6-+-v'ô,oooo2834; =:o*,oo2o6 H- o", 00532 = 0"", 007 38,

48o MÉCANIQUE I?(DUSTRIBLLE.

et, pour rallongement proportionnel I, ou par mètre,

-j'y o", op7 38 = o»", 000 74 ,

résultat qui montre que Télasticité des liges de suspension pourrait en effet être altérée (298) dans les hypothèses dont il s*agit, et qu'on ne saurait d'ailleurs considérer comme exagérées (*).

Les réflexions que ce résultat suggère, ainsi que le mode d'épreuve qu'on fait actuellement subir aux ponts suspendus sur chaînes en fer, feront l'objet de l'article suivant.

334. Réflexions concernant la stabilité des ponts suspendus, — Les conclusions auxquelles nous ont conduit nos précédents calculs, si elles étaient prises à la lettre, donneraient lieu de craindre que, par suite de la répétition plus ou moins fréquente des accidents occasionnés par la rencontre de lourdes voitures, sur ces sortes de ponts, l'altération élastique des tiges verticales n'allât sans cesse en augmentant ainsi que leurs allongements permanents, et que, bientôt, il n'arrivât une époque où leur énervation complète entraînerait la ruine pa^ tielle ou totale du système. Ce danger, si l'on s'arrêtait à un premier aperçu, paraîtrait bien plus imminent encore pour les immenses chaînes auxquelles toute la charge du pont et des tiges se trouve suspendue, et qui sont composées de longues barres, de longs anneaux dont le fer est soumis à des efforts

(*) On peut, à U vérité, objecter, d'une part, que la simultanéité «lu chor de deux voitures à l'instant de leur croisement sur le pont, offre, en ellemême, peu de probabilité; d'une autre, que les roues ne peuvent retomber, avec une certaine vitesse, sur le tablier du pont, qu'autant qu'elles cesseraient d'agir sur lui pendant toute la durée de leur chute, et qu^alors il pourrait bien arriver que les extrémités inférieures des tiges de suspension, eussent eu le temps de se relever ou de se détendre d'une quantité plus ou moins grande, etc. L'unique réponse à ces questions, c'est que les hypothèses contraires, tout improbables qu'on les suppose, sont néanmoins possibles; car il peut se faire que le choc surprenne les tiges dans un état d'allongement supérieur à leur allongement moyen, en raison des oscillations mêmes qui naissent de leur détente élastique. Or, dans ces sortes de questions, il est d'usage d'admettre précisément l'hypothèse des chances les plus défavorables, pour^'u qu'elle soient possibles rationnellement.

DBS RÉSISTANCES. * 4^1

permanenis, qui s'élèveni quelquefois à 8 ou lo kilogrammes par millimètre carré, mais que les ingénieurs prudents réduisent, conformément à la règle du n"* 288, à 5 ou 6 seulement, de manière que, lors de Tépreuve dont il a été parlé ci-dessus [332), la charge soit, au plus, de g ou lo kilogrammes également par millimètre carré. Or on doit remarquer que, si la lension de ces chaînes est susceptible de croître proportionnellement à la charge qui se trouve uniformément répartie sur le plancher du pont, il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi pour une surcharge isolée, même en considérant les chaînons qui supportent immédiatement cette surcharge par l'intermédiaire des tiges; le calcul démontre, en effet, que l'excès de tension, qui en résulte, est toujours une fraction extrêmement faible de celui que reçoit chaque tige, dé sorte qu'il est permis d'en négliger l'influence dans la question qui nous occupe.

A l'égard des tiges de suspension qui peuvent momentanément se trouver soumises, comme on l'a vu, à des allongements surpassant d'une quantité notable la limite assignée, par l'ensemble des expériences connues, à l'élasticité naturelle du fer, on est conduit à reconnaître que l'absence des accidents que pourrait entraîner, avec elle, une pareille altération, si elle était souvent répétée, doit tenir à quelque propriété physique du métal , qui n'a pu encore être mise en parfaite évidence dans les expériences d'une courte durée, et qui doit ^ire analogue à celle dont il a été parlé au n*" 300, à l'occasion des intéressantes recherches de M. Ardant. On a vu, en effet, que des fils métalliques dont l'élasticité paraissait comme ^niièrement énervée sous l'influence d'un chargement brusque, ou d'une succession de charges additionnelles, qui ne laissaient, pour ainsi dire, aucun repos à ces fils, reprenaient ensuite, en grande partie, leur élasticité, leur énergie primiilives, quand Us demeuraient soumis à l'action permanente ou frolongée, de ces mêmes charges; de sorte qu'il peut bien

fnver, à fortiori^ pour le cas des ponts de fer, que les tiges suspension reprennent, après une série d'oscillations occa-

onnées par le passage de lourdes voitures, etc., une portion table de l'élasticité qu'elles avaient momentanément perdue,

^ que leurs molécules reviennent même complètement à leur

^82 IIÊCAKIQCB IHBCSTBIBLLE.

ancien éiai, à leur élal moyen de siabililé sous rinOuence de temps, ou des actions lentes qui les sollicitent.

Celte opinion est d'ailleurs conforme à celle qu'a émise M. Savart, à la page 385 du Mémoire cité au n« 299, ei d*après laquelle des tiges métalliques, en s'allongeant, d'une manière progressive et permanente, sous l'influence d'une charge -constante, et de vibrations excitées dans le sens de leur longueur, finissent néanmoins par acquérir un eut de stabilité, une sorte é'écrouissage, qu'elles conserveraient ensuite indéûnîment sous l'influence des mêmes conditions.

335. Du mode d'épreuve qu'il conviendrait de faire subir aux ponts suspendus. — Quoi qu'il en soit de ces dernières réflexions, il ne résulte pas moins, de nos précédents calculs, que l'épreuve, en quelque sorte statique, à laquelle on s€ contente ordinairement de soumettre les ponts suspendus, bonne, en elle-même, pour mettre en évidence les défauts accidentels des chaînes et autres matériaux de la construction, ne saurait ofifrir, pour la suite, toutes les garanties de solidité désirables. De plus, les fôcheux accidents qu'elle entraîne parfois, et contre lesquels on s'est élevé avec de justes raisons, doivent la. faire entièrement proscrire par l'Administration: mais par quel genre d'épreuves pourrait-on la remplacer avec sécurité et de manière à atteindre le but désiré ?

Dans deux lettres successivement adressées à rAcadéraic des Sciences de Paris,>l. le docteur Gourdon a proposé soit d'effectuer le chargement d'épreuve ordinaire, en se servam de cabestans, fixés à l'une des rives, pour amener successive ment les matériaux sur le tablier du pont, soit de faire pa^ courir, par le même moyen, toute la longueur de ce dernier, à une voiture chargée deux ou trois fois autant que les pltf lourdes voitures de roulier : la vie des hommes préposés i cette manœuvre serait ainsi préservée de tout danger. Mais, d< ces deux procédés, le premier, à cause de son excessive lenteur, paraît peu susceptible d'application, et il exigerait toi*jours la présence, sur le pont, d'un certain nombre d'homm« pour le déchargement et le placement des matériaux; l< second offrirait l'inconvénient d'exagérer, outre mesure, h charge instanunée, et il ne permettrait pas de juger de Teffcl

les forces vives imprimées aux diverses parties , dans l'état ordinaire.

Il nous semble qu'on atteindrait plus sûrement et plus |»romptement le but, si Ton faisait traîner par des chevaux et i la vitesse voulue la voiture ou les deux voitures destinées I l'épreuve au moyen d'une chaîne ou d'un cordage de prolonge suffisamment étendu ; à peu près comme cela se pratique, pour les canons, dans certaines manœuvres d'artillerie. Dn mettrait d'ailleurs les chevaux à l'abri de tout accident, en Elisant passer la prolonge sur un tambour à gorge, monté sur l'une des rives, et qui. serait muni de saillies et de rockets eonvenables, pour rendre impossible le mouvement de recul les chaînes lors de la rupture du pont. Quant au placement de la surcharge uniforme, qui parait éire indispensable pour éprouver les parties les plus solides de la construction, nous ne voyons aucun moyen suffisamment simple de l'effectuer nos compromettre l'existence de quelques hommes.

336. Des accidents qui peuvent résulter du passage d'une troupe sur les ponts suspendus, — Il est peu de personnes qui De soient au courant d'une ancienne disposition des ordonnances militaires, qui prescrit de faire rompre le pas à la troupe,, lux abords des ponts. On sent parfaitement bien que cette mesure, pleine de sagesse, a pour objet d'éviter l'influence des secousses simultanées qui seraient le résultat de la marche cadencée d'une pareille troupe ; mais il n'est peut-être pas inutile, et cela rentre spécialement dans l'objet de ce Chapitre, d'expliquer comment cette simultanéité d'action peut, au bout d un temps plus ou moins long et par sa répétition, devenir réellement dangereuse ; car il parait évident aussi qu'une seule de ces secousses, fût-elle-même instantanée, ne saurait produire, en chaque point, un effet équivalant à celui de lourdes voitures dont il a été parlé au n^ 333, à moins de supposer des colonnes marchant au pas de charge, serrées en masse et occupant toute la largeur du pont et de ses trottoirs. Lorsqu'en effet, les hommes viennent, dans leur marche ordinaire ou même accélérée, à poser à la fois et alternativement chacun de leurs pieds sur le plancher du pont, ils ne le choquent certainement pas avec la vitesse et l'intensité d'action que nous

484 MÉCANIQUE INDCSTRIBLLB.

avons attribuées à ces voilures : la masse réellement agîssaoïi dans ces chocs, est bien loin d'égaler calle de leurs corps. I est évident qu'il faut chercher principalement la cause de accidents qui ont motivé l'ordonnance, dans Taccumulaiioi du mouvement oscillatoire imprimé au plancher des ancien ponts en charpente , et dans l'accroissement progressif é l'amplitude des oscillations qui en résulte, et dont nous aroo déjà offert des exemples, plus ou moins analogues, aux n** 31 et suivants.

Pour faire une application suffisamment exacte des principe établis dans ces numéros, au cas actuel, il est nécessaire, ai préalable, de considérer attentivement ce qui se passe, ei général, pendant la marche ordinaire de l'homme et desani maux ; le pas de course, le trot et le galop étant exceptés puisqu'à de telles allures, les dangers et l'intensité de l'actiol développée par les chocs successifs qu'occasionne la chute d la totalité ou d'une partie plus ou moins grande du poids di corps, qui a été comme lancée au-dessus du sol, ne sontpoio choses douteuses, et qu'il soit nécessaire de soumettre ai calcul.

337. Évaluation approximalwe du travail développé pa r homme, dans les oscillations verticales qu'il imprime à mi corps pendant la marche ordinaire. — Loin d'agir par UD succession de chocs vifs dans la marche lente et graduell dont il s'agit, les animaux ne font éprouver à leur corps, i droite à gauche et de bas en haut, que de légères oscillations par suite desquelles le poids en est successivement reporta sur l'une ou l'autre jambe, avec une intensité d'action variabi entre zéro et une limite qui est principalement relative (33( à l'inertie de la partie de leur masse qu'ils mettent en moi vement, soit en se portant en avant, soit en s'abaissant ou ei s'élevant au-dessus du point d'appui naturel.

Nous laisserons de côté l'influence qui peut être due au: actions opérées dans le sens horizontal^ et provenant, soildi la progression en avant, soit du balancement transversal don il vient d'être parlé, et nous tiendrons compte uniquemeo des effets qui peuvent résulter, comme au n? 330, de l'éléva tlon et de l'abaissement périodiques de la partie supérieur!

DBS RÉSISTANCES. 4^5

kl corps de l'homme, dont le poids sera supposé de 60 kilojrammes seulement, y compris la charge qu'il porte. Obserant, en outre, que dans la marche ordinaire d'un homme de ftille moyenne, l'amplitude de ces abaissements et élévations iaccessifs, ne surpasse guère 2 à 3 centimètres, on sera conluit à évaluer, tout au plus, à d",o3 x 6o^« = l'^'^jS le tranil dynamique qu'il peut ainsi développer à chaque pas ou llernative d'action ; ce qui, en estimant également à o°*,7 la ongueur du pas ordinaire, porterait, d'après le tableau du

i«214., à i^»",8x -4^ = i^'^jS X 77 142 = i38857^»» envi-

Fon, la quantité de travail que fournirait ce même homme dans la marche journalière, en terrain horizontal : le chemin total |u'îl est ainsi capable de parcourir, étant de 54ooo mètres, ou le nombre de ses pas de 77 i43, à raison de 2,1 environ par keconde.

Si l'on compare d'ailleurs la quantité de travail ci-dessus à eelle qui, d'après le tableau de la page 262, est développée par l'homme cheminant le long d'une rampe douce, on peut voir que, loin d'être exagérée, elle esta peine la moitié de cette dernière; ce qui conduirait à porter, avec quelques Auteurs, à S centimètres, au moins, la hauteur à laquelle l'homme élèverait, à chaque pas, le poids entier de son corps, si l'on n'avait point égard à l'excès de fatigue occasionné par la vitesse avec bquelle il est obligé de porter en avant les différentes autres parties de sa masse, dans la marche horizontale.

338. Calculs relatifs aux effets résultant^ dans certains cas, eu passage d'une troupe sur les ponts suspendus, — En comptant seulement deux hommes par mètre carré de la surface du pont, ce qui, d'après nos premières hypothèses (332), fait environ 24 hommes par travée, ou 12 par tige, cela réduira à 800 kilogrammes environ la charge additionnelle due au passage de la troupe, dont le poids s'ajoute, à peu près constamment ou moyennement, à celui de la charge permanente d^ '2450 kilogrammes, provenant du tablier, et élèvera à 325o kilo- ^grammes la force de tension moyenne , de chacune des tiges 4e suspension , valeur qui représentera ici simplement celle de Q; ce qui donnera, en conservant toutes les autres suppo-

486 MÉCANIQUB INDU8TBIBLLB.

sitions du n*" 332,

/ = TÊr= — 7"? = o",ooi33

pour rallongement primitif ou de subilité que subiraienlle plus longues d'entre elles» sous Tinfluence de cette seule lension.

On aura donc aussi (319 et 325)

fr = fr. = t/9i»?| 85.88, V o,ooi33

et par conséquent, pour le nombre N, des oscillations enlièrei que ces mêmes tiges sont susceptibles d'exécuter dans la duré< de chaque seconde et sous l'influence d'une vitesse initiah quelconque (326),

^ kl 85,88 ^ >,

Le nombre des pas exécutés par la troupe ayant été trouW ci-dessus de a,i seulement pour le même temps, c'est-à-din 6,5 fois moindre environ, on voit qu'il s'en faut, de beaucoa]>, que les alternatives d'action , relatives à la marche ordinaiit des hommes, coïncide avec celles des oscillations qui son) naturelles aux tiges de suspension, et que ce ne pourrait êtn que par le plus grand des hasards, que la coïncidence arri\il au bout de chacune des treize vibrations exécutées par leui extrémité inférieure; de sorte qu'il y a tout lieu de suppose) que la majeure partie des i^<'",8 fournis par les hommes, pendant la durée, 1^^,05 environ, de chacun de leurs pas, serai détruite par l'efTet des chocs et contre-coups qui nattraieoi du défaut de coïncidence , de l'opposition des deux mouvements.

. Ainsi, dans l'hypothèse de rigidité qui vient d'être admise pour les tiges de suspension, il serait à peu près inutile de s'inquiéter de l'accumulation de mouvement qui pourrait ètrt occasionnée parles effets de la marche cadencée de la troupe; et, àforiiori, en serait-il ainsi du cas où, celte troupe aj^Dl

rompu le pas, les alternatives d'action de chacun des individus qui la composent seraient en complet désaccord avec les oscillations naturelles des tiges. Mais les choses se passeraient tout différemment si les oscillations devenaient plus lentes en raison ( 317 ) de l'augmentation de leur longueur, de celle de la charge Q qu'elles supportent, ou de la mobilité de leur point d'attache supérieur avec les chaînes. M. Navier a, en effet, démontré dans son savant Ouvrage sur les ponts suspendus (voyez spécialement l'art. 295 -de cet Ouvrage), que la durée des oscillations éprouvées par ces chaînes et, en conséquence, par la totalité des tiges et du tablier du pont, peut s'élever, dans certains cas, à 5", 7 ; ce qui ferait moins de 7 d'oscillation par seconde. Or, on conçoit qu'il est telle circonstance de l'établissement d'un pont où l'isochronisme entre les oscillations et la marche de la troupe pourrait en effet s'établir; et alors l'amplitude des premières augmenterait progressivement, suivant une loi analogue à celle qu'indique la formule du n"* 330. Afin d'en offrir au moins une application numérique, et de montrer l'influence de la répétition des effets sur la progression des allongements, nous supposerons que la durée de chaque pas ail, en réalité, un rapport exact avec celle des oscillations naturelles des tiges de suspension ; remarquant, d'ailleurs, que le travail fourni pendant cette durée, par les 1^ hommes qui agissent simultanément sur chaque tige, est égal à 12 X 1,8 = 21^»", 6, la formule en question deviendra, à cause qu*on a ici

B» =. -T^ ai^«'°,6 =: -7-F — = 0,000017633,

AE 24 5oo 000 '

Supposant dans cette formule, n ou le nombre des pas exécutés par la troupe, qui est d'ailleurs censée occuper l'étendue entière du pont, égal à 10 seulement, l'allongement total subi parla tige de 10 mètres dont il s'agit ici, s'élèverait déjà à

/o, 00000177 -h 0,00017633 = o™, 01334, ou à o™, 001334 par mètre de longueur; résultat supérieur à celui qui a été obtenu au n°331, et qui prouve, non-seulement que l'élasticité des liges serait dès lors complètement énervée, mais que leur

488 MECANIQUE llfDUSTKlELLE.

rupture, et par conséquent la chute entière du pont, ne tarderait pas à s'ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si l'on supposait, au contraire, n = o dans la formule, elle redonnerait simplement rallongement l„ = r = o™,ooi33, correspondant au cas où la troupe serait immobile, et qui n'est pas même le dixième du précédent.

Expériences et calculs relatifs à la résistance longitudinale

des prismes au choc,

339. Données particulières fourmes par les expériences de M, G,- H, Dufour^ de Genève, — On doit à cet ingénieur distingué quelques expériences ayant trait à cet objet, et dont il a consigné les résultats dans son Ouvrage sur les ponts en fil de fer, imprimé è Genève, en iSsS (§5, p. 2o). Ce sont, à ma connaissance, les seuls dont les détails aient été jusqu'ici mis au jour, et, attendu le but restreint dans lequel elles ont été entreprises, il y a lieu de regretter qu'un sujet de recherches aussi intéressant et aussi neuf ait encore si peu attiré l'attention des physiciens et des ingénieurs.

Dans une première série d'épreuves, M. Dufour s'est servi d'un fil de fer de Saint-Gingolf, n" 13, ayant i"'",9 de diamètre, ou a"™»,835 de section, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre^ une charge de ig6 kilogrammes, à raison de 69^^,1 par millimètre carré. Ce même fil, après avoir été chargé verticalement d'un poids de 70 kilogrammes, un peu moindre que les 0,4 de celui qui en représente la force de ténacité moyenne, a été ensuite soumis à l'action de divers chocs produits par une masse de fer pesant 10 kilogrammes, et tombant successivement, de 2, de 4» de 6^..., de 100 centimètres de hauteur^ sur la caisse qui contenait les poids formant, avec le sien propre, la charge permanente, 70 kilogrammes, du fil. Mais, bien qu'il ne soit résuUé, de ces chocs, aucun effet apparent, aucune rupture sensible, il n'est pas moins regrettable que l'Auteur ait négligé de constater, à chaque fois, par des mesures précises^ les plus grands allongements auxquels les fils sont parvenus , et les allongements permanents qui ont pu s'ensuivre , toutes oscillations étant terminées ; car ils eussent mis à même de comparer les résultats de l'expérience à ceux du calcul, et de découvrir la véritable influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

Au surplus, nous avons vainement cherché, dans l'Ouvrage de M. Dufour, la longueur absolue des fils sur lesquels il a opéré; donnée dont, à la rigueur, on peut se passer quand il s'agit simplement d'obtenir une limite de la résistance absolue, sous l'action lente d'une force directe de traction (244), mais qui devient^ au contraire, indispensable dans toutes

DES RÉSISTAKCBS. 4^

les questions relatives au choc, puisque la résistance vive des prismes croit> sinon proportionnellement, du moins très-rapidement, avec leur longueur.

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des n^ 323 et suivants, nous supposerons cette longueur des fils soumis à lexpérience par M. Dufour, égale à a mètres, de sorte qu*on aura ici

H' représentant la hauteur d'où sont tombés successivement les 10 kilogrammes dans les expériences dont il s*agit.

Prenant d'ailleurs E = 18000 kilogrammes, par millimètre carré, pour le fil de fer (292), il en résultera (324), pour rallongement permanent avant le choc :

'=ÂE = M35x 18000 = ° '^'"74,

et, pour celui qui serait occasionné par la charge Q', si elle agissait seule,

r=5J==12r=o™,ooo39.

AE 70 » SF

Le premier correspond à un allongement proportionnel de

Jo'",oo27 = 0,001 35,

sous lequel Télasticité serait certainement énervée (292], s*il s'agissait d'un fil de fer recuit, ou même inégalement recuit. Mais, en admettant que le contraire ait eu lieu ici, nous rechercherons l'effet qui a pu résulter du choc des 10 kilogrammes tombant^ par exemple, de la plus grande, H' = 1™, des hauteurs relatives aux expériences citées, et à laquelle correspond (119) une valeur de

V'=r,43 et de V,= ^-^,V'=iî4",43 = o",554,

dont la dernière est, dans nos hypothèses (323), la vitesse par seconde, commune aux deux masses vers la fin de la première période du choc. Attendu d*ailleurs qu'on a ici

^•î = m"= 5^3 = 3.33.87 ou /,= 55,99, il en résulte pour la valeur du plus grand des allongements subis, par le

^gO MÉCANIQUE INDUSTRIJBLLB.

fil^ SOUS les influences réunies de ce choc et des deux poids Q et Q',

V ou IL = /'-+-/"-hi//''^-+-y;

= 0^,003 1 3 H- v/o ,0000001 Sa -h 0,000097935 = o"*,oi3o.

Cette valeur correspondant, d'après Thypothèse faite sur celle de L, à

un allongement, I, de — '—^ — = o"',oo65 par mètre, il est certain que

rélasticité des fils, fussent-ils même parfaitement écrouis, n*a pu être ici conservée^ pas plus que la loi de la proportionnalité des allongements aux forces ou tensions, sur laquelle tous nos calculs et formules sont implicitement fondés. A plus forte raison, ces formules cesseraient d'être applicables aux deux autres séries d'expériences dont il sera parlé dans l'article suivant.

340. Données et calculs concernant spécialement la résistance vive des fils de fer à la rupture. — Dans les deux dernières séries d'expériences de M. Dufour, des fils de fer de a"",i de diamètre, 3"™',464 de section, auxquels on supposera également 2 mètres de longueur, ont été rompus sous le choc d'un poids de 10 kilogrammes, qui n'avait besoin de tomber que d'une hauteur de 0*^,95, quand la charge permanente du fil égalait la moitié de sa charge maximum, 209 kilogrammes, c'est-à-dire io4''',5, et de 1", 38 moyennement, quand elle n'en était que le tiers ou 69''», 7 ; de sorte qu'on avait dans le premier cas,

0=104"», 5, H'=o",95, V'=4%33; dans le deuxième cas,

0=69'", 7. H'=i™,38, r = 5»,2o; et, dans tous les deux à la fois,

L = a'»,oo, A = 3""»^,464, Q' = lo*^» ;

ce qui donne respectivement, pour les vitesses communes aux deux corps, immédiatement après le choc,

V' = 77^ <"■''" = »"''577, V. = ^ 5»,ao = o-,653.

Mais le calcul de ces vitesses devient inutile dans la question présente où il s'agit simplement d'évaluer la résistance vive opposée par les fils, la quantité de travail effective qui a produit leur rupture, que nous supposerons opérée, dans chaque cas, sous le plus petit choc possible, c'esl-àdire de manière que le mouvement soit sensiblement éteint vers l'instant

DBS RÉSISTANCES. 49 ^

do celle rupture. En effel, d'après le n" 323, la demi-force vive commune aux deux corps Q et Q\ à l'instant où la première période du choc esl terminée, a pour valeur dans le premier cas

i (M + M')VÎ = ç^ Q'tt'= 1^ .o»'x o",95 = 8"-, 670,

dans le deuxième cas

f{MH-M')Vî= 7^-^ Q'H'= — io''»xi™,38=ia»'f",o68.

Qh-0 79,7

Ajoutant à ce résultat, le travail relatif à Tallongemenl /', subi antérieurement, par les fils, sous Tinfluence de la charge permanente Q, et qui, dans r hypothèse d'une immobilité parfaite, ici permise, a également pour valeurs respectives (324) dans le premier cas

' ^ "■ *^AE - » '""^'^ 3,464 X 18000 - "" ' '7^' dans le deuxième cas