AE
on obtiendra les sommes 8*«™,845 et 12*^, 146, auquel il conviendra encore d'ajouter, afin d'obtenir les résistances vives demandées, le travail développé par les poids Q et Q\ pendant que s'opère le surplus de l'allongement des fils, dont, d'ailleurs, la valeur maximum n'a point été observée ici directement, quoiqu'elle exerce une influence appréciable et susceptible de varier, non-seulement avec la longueur absolue L des fils, mais encore avec leur degré de ductilité ou de dureté relative.
En adoptant néanmoins, pour terme de comparaison, la valeur moyenne, o™,oo4 par mètre^ du plus grand allongement obtenu par M. Dufour (*), lors de la rupture des mêmes fils, sous de simples pressions, ce qui donne o'^jOoS pour la longueur entière de chacun de ceux dont il s'agit ; remarquant, au surplus, que l'allongement absolu subi^ antérieurement au choc, par ces derniers fils, a pour valeurs respectives :
QL 104.5 X 2 69,7 X ^ ,n. „^,^
les quantités à ajouter seront pareillement :
1 1 4"», 5(0", 008 — o", 0034) =r ii4*^B,5x o",oo46= o''«™,527.
(*) Voyez le tableau de la page 33 du Mémoire cité.
4g2 HÉGANIQUB INDUSTRIELLE.
et
79"*, 7 (o°,oo8 — o",oo!ia) = o''»",462;
ce qui donnera pour la quantité de travail absolue ou totale, absorbée par la rupture des deux fîls :
1* Dans le cas d'une chute de o^jqS,
8*^»", 845 4- o"^, b'iy = g'^»", 37a ;
a^ Dans celui d'une chute de i^iSS,
la^"», 146 -h o^«", 46a = ia'^«™,6o8.
Divisant enfin ces résultats par le produit AL = 3,464 x a = 6,9a8, on obtiendra les valeurs respectives
r=i''»",35 et r=i*^'",8a, p 7 fit
pour les résistances vives (247) des deux fils, par millimètre carré de section et par mètre de longueur : résultats qui diffèrent notablement Tun de l'autre, et qui diffèrent encore plus de ceux que fournit le tableau du n*" 296, pour les fils forts, à la classe desquels appartenaient, très-probablement, ceux dont il s'agit.
341. Réflexions critiques sur les résultats fie ces calculs et les mét/iO€ies d'expérimentation relatives au choc des prismes, — Nous n'entreprendrons pas de discuter et d'interpréter les causes des différences qui viennent d'être signalées; trop de chances d'erreurs et d'incertitudes accompagnent, comme on l'a vu, les résultats du calcul et de l'expérience; mais nous croyons utile d'insister .sur quelques-unes des suppositions que nous avons été obligé d'admettre afin de rendre ces calculs possibles.
En premier lieu, pour évaluer les premiers effets occasionnés par la charge permanente Q, des fils, il nous a fallu recourir à l'hypothèse d'une élasticité parfaite; ce qui, certes, ne serait pas permis pour des fils ductiles ou recuits même inégalement. Si donc il s'agissait de faire une comparaison exacte des données du calcul et de l'expérience, il conviendrait d'observer directement ces premiers effets, qui se compliquent encore de ceux qui peuvent être dus à l'état naturel d'inflexion ou de torsion dans lequel se trouvent ordinairement les fils passés à la filière.
Il ne serait pas moins indispensable, comme on a l'a vu, d'observer directement , dans le cas des fils ductiles, le maximum de l'allongement qui se produit sous le choc et à l'instant de la rupture, au lieu de le déduire, ainsi qu'on l'a fait, du résultat moyen d'expériences étrangères; ce qui pourtant n'offrait point ici d'inconvénients graves, à cause de la faible valeur du travail développé par les poids Q et Q', pendant l'allongemeni des fils durs.
D'un autre côté, nous avons totalement négligé l'influence due au poids
et à l*înertie des fils qui, ici encore, if exerçaient aucune influence appréciable; à cause de la grandeur de Q. Mais il pourrait être nécessaire d'en t«nir compte pour quelques autres circonstances ; et cela se fait approximativement, en augmentant la valeur de Q, du poids de la partie du fil, qui, ayant été entièrement rompue ou détachée, peut être censée faire corps avec sa masse.
Cette attention serait surtout nécessaire dans le cas où le poids Q', qui produit la rupture par sa chute, étant lui-même assez petit, et cette chute, par conséquent, très- forte, il arriverait, contrairement aux hypothèses dont on a déduit les résultats des précédents articles, que la vitesse et la force vive, à Tinstant de la rupture, fussent comparables à celles qu'engendre cette même chute; alors il faudrait retrancher, des résultats ainsi obtenus, la demi-somme des forces vivé^ conservées, à cet instant, par les deux corps et par la partie détachée des fils.
Enfin les résultats dont il s'agit supposent encore ( 323 ) que les masses choquantes soient dénuées de toute élasticité ; ce qui pourrait bien ne pas avoir eu lieu pour la caisse mise en usage par M. Dufour, et dont le fond, plus ou moins flexible, aurait pu recevoir les impressions directes du choc de Q', en produisant ainsi son rejaillissement. Or il est aisé de se convaincre, par les principes des n°* iK8 et 161, que la quantité de travail dépensée pour produire la rupture des fils, eût pu surpasser celle que nous avons estimée par les calculs ci-dessus, attendu que le poids Q' eût entraîné, dans ce rejaillissement, une perte de force vive beaucoup moindre que celle qui résulte du défaut d'élasticité des deux corps, perte dont la valeur est donnée (158) par la formule
M'( V- .V.)- M'Y" (. - çigjp) = M'Y" t§^:,
dans le cas d'une élasticité parfaite; la demi-force vive conservée par le poids Q, et en vertu de laquelle se serait achevée la rupture des fils dans rhypothèse où Q' n'aurait^pas eu le temps de produire, par sa rechute, un nouveau choc, eût été simplement (160)
.M(aV.) =—^^^^-^^-^^^-^-^^
Cette quantité sera, en effet, supérieure à la demi-force vive,
commune, après le choc, aux deux corps, Q et Q', dans l'hypothèse d'un rejaillissement nul, toutes les fois que la condition
QT^>^ ou 3Q>Q'
se trouvera satisfaite; ce qui avait effectivement lieu dans le cas dont il s'agit.
Ces réflexions montrent combien la question qui nous occupe est délicate, et de quelles attentions on doit user, dans les expériences et les calculs, pour atteindre le but, c'est-à-dire pour parvenir, abstraction f^iite des causes d'erreur qui peuvent influencer accidentellement les résultats, à des valeurs de la résistance vive des prismes comparables, fondées uniquement sur les données de l'expérience directe du choc, et par là même entièrement appropriées à la nature du phénomène. Quant à la question où cette résistance vive étant connue à priori^ il s'agira, à l'inverse, de rechercher, par la marche tracée à l'avance, au n" 324, quels sont, en général, les effets dilaniateurs qui peuvent être produits, sur un prisme, par un choc donné, ou qifblle doit être l'intensité d'un choc pour produire un effet également assigné, etc., il nous suflira d'indiquer rapidement les principales formules en les faisant suivre de quelques exemples numériques très-simples.
Questions et méthodes de calcul spécialement relatives au cas où le choc entraîne la rupture ou Valtération élastique des prismes,
342. Circonstances principales du mouvement qui précède la rupture, — Pour plus de généralité (2W), nous nommerons Tr = T'^.AL, la quantité de travail développée, par la résistance d'un prisme, pendant qu'il s'allonge d'une quantité quelconque /= ihy à partir de son état naturel ; quantité qui sera donnée, ainsi que la valeur correspondante de cette résistance que nous nommerons P ou P'.A, autmoyen de la Table du n** 289 et de ses analogues relatives aux corps différents des métaux. Nous nommerons pareillement tr = /'^.AL, le travail
de cette résistance correspondant à l'allongement l'z={'Lf subi, antérieurement au choc, par le même prisme, sous l'action permanente de la charge Q. Cela posé, on aura, pour remplacer les dernières des formules du n° 324, dans les mêmes hypothèses et conditions, sauf que la limite de l'élasticité pourra, ici, être dépassée, la nouvelle équation
ou
DES BfiSISTAHCES.
dont on se servira pour calculer, au moyen des Tables mentionnées, les différentes circonstances du mouvement qui suc-
Q' cède au choc de la masse M' ou — i animée de la vitesse V,
g contre la masse M ou —9 supposée à l'état de repos sous rallongement donné, l', et dans laquelle on a toujours (323), pour le cas oùnl ne surviendrait aucun rejaillissement après le choc,
V — ^ V' Pi 11 — ^ H'
formules qu'il sera d'ailleurs facile {ibid») d'étendre au cas où la masse M, au lieu d'être au repos à l'instant du choc, posséderait une vitesse antérieurement acquise, d'une intensité et d'un sens quelconques.
On voit, en effet, que, si l'on attribuait aux allongements absolus, / et /', ou aux allongements proportionnels, / et 1', dans l'équation ci-dessus, des valeurs quelconques, on en déduirait immédiatement celle de la vitesse correspondante, V, supposée commune aux deux corps à tous les instants qui suivent la première impression du choc ; car les valeurs de T^ et de /',,, relatives aux unités de longueur et de section du prisme, seraient également données par la méthode des quadratures du n® 180, appliquée aux nombres fournis par la Table du n*» 289 et ses analogues, ou par les courbes des fg. 4? et 48, Pi' II9 suivant ce qui a déjà été expliqué aux n°* 279 et 296. Mais, afin de n'avoir pas à se jeter pour chacune des valeurs de / ou de 1, dans les calculs auxquels entraîne l'application de celte méthode, on fera bien de dresser, une fois pour toutes, une nouvelle Table des valeurs de T'^, relatives à
/ des valeurs de 1 = y- > ou des efforts correspondants, P', qui
croîtraient par différences constantes ; cela sera facile au moyen des courbes dont il vient d'être parlé, et permettra de construire une nouvelle courbe, servant d'annexé à la nou-
496 MÉCàNIQUE INDUSTRIELLE.
velle Table, el qui donnera rapidement les valeurs de T^., relatives à des valeurs quelconques de /, / ou P. Raisonnant ensuite à peu près comme on Ta fait pour le cas d'une élastieiié parfaite (2H, 225, ...)» il sera facile de trouver successivement les ordonnées de la courbe qui représente la loi du mouvement pour l'extrémité inférieure du prisme et qui cessera ici d'être un cercle; mais ces détails qui n'offriraient» du moins pour la première période de l'allongement, qu'une répétition continuelle de ce qui a été exposé, dans le précédent Chapitre, pour le cas où l'élasticité demeure parfaite, ces détails nous entraîneraient beaucoup trop loin, et nous nous contenterons d'avoir mis le lecteur sur la voie, afin de passer rapidement aux cas d'application qui concernent la rupture effective ou les plus grands allongements subis par les prismes.
343. Formules relatives au maximum d'allongement et auas circonstances qui accompagnent la rupture. — Pour cet allongement, que nous continuerons de nommer L' = IL, la vitesse V, des deux masses M et M', étant nulle, l'équation générale ci-dessus devient simplement, en changeant les signes,
— OU -Ji H'=^^^^ — -^ikL—iL'—l)
^i-lJzr^A-m-/')
et servira à faire trouver, par un tâtonnement facile, la valeur
de L', au moyen de la Table ou de la courbe auxiliaire déjà
mentionnées, et qui lient, en général, cette valeur ou celle
de I et I à celle de T^ et de P\ Supposons , en effet, que sur
les abscisses de la courbe dont il s'agit, censées représenter ici
les différentes valeurs que peut recevoir, dans l'équation ci-
dessus, l'inconnue I = y- > ou, plus généralement, '=|->
quand on y fait varier Vi ou H', supposons, dis-je, que, sur ces abscisses, on construise une nouvelle ligne ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du travail T^, fournies
DBS BÉSISTANCBB. 497
par cette équation dont on tire immédiatement la formule
y Q-^<y i , ^ Q-^Q\v , Ql H,
