I -f- sin'a

dont la composition fort simple' appartient à M. le colonel Duchemin, et se trouve justifiée dans le Mémoire qu'il a présenté au concours de TAcadéniie des Sciences, pour le prix sur la résistance des fluides, par la comparaison des résultats qu'elle fournit avec la moyenne de ceux qui se déduisent des données ci-dessus de l'expérience.

Quant aux nombres ou rapports inscrits dans les deux dernières colonnes de la Table, les différences qu'ils offrent, soit entre eux, soit avec ceux des précédentes, sont d'auunt plus dignes de remarque, que le dispositif, auquel ils correspondent, se rencontre dans plusieurs mécanismes où les volants à ailettes servent à régulariser le mouvement.

kOk. Roues ou volants à ailettes multiples. — Dans les expériences de Hutton, faites avec l'appareil à axe vertical de Robins, le volant ne portait qu'une seule ailette; il en portait deux symétriquement placées par rapport à Taxe, dans les dispositifs à axes horizontaux employés par Borda et M. Thibault; enfln dans celui du D^ Vince, le volant portait quatre ailettes montées sur autant de bras égaux, croisés à angles droits. Malgré les observations contraires émises par Dubuat, dans les Principes d'Hydraulique, on peut croire que le rapprochement des ailettes, dans ce dernier système, n'a pas dû exercer d'influence sensible sur l'intensité de leur résistance individuelle; mais il n'en serait plus ainsi évidemment du cas où ces ailettes se trouveraient beaucoup plus resserrées et multipliées, comme cela a lieu dans certaines roues ou moulinets,

DBS RÉSISTANCES. 6^3

dont les paleties sont souvent rapprochées à une distance moindre que leur largeur dans le sens du rayon.

D*un autre côté, on sent, à priori, que les phénomènes de mouvement, présentés par la masse fluide, doivent ici se trouver modifiés d'une manière notable, et qu'à une certaine limite de rapprociiement des ailettes, l'action de la force centrifuge (391) doit, pour ainsi dire, être la seule cause d'ébranlement du milieu, tandis que la force vive imprimée à ses molécules et la résistance du volant doivent, de leur côté, dévenir à peu près indépendantes jdu^nombre des ailettes. Le principe des forces vives laisse encore apercevoir que cette résistance doit croître toujours à peu près comme le carré de la vitesse du centre des ailettes; mais, dans des phénomènes aussi compliqués, il ne convient pas de s'en rapporter simplement aux indications de la théorie et du raisonnement, et il est préférable de recourir aux données de l'expérience directe.

Résultats des expériences de MM, Piobert, Morin et Didion (Mémoire cité). — Pour une roue de i",3o de diamètre extérieur, dont les ailettes carrées, au nombre de vingt, avaient o'^yso de côté, et dont par conséquent la surface totale A, était de c^'iyS, la résistance, dans l'air, a pu être représentée par la formule

défalcation faite de la résistance des bras, et la vitese uniforme Y, du centre des ailettes, demeurant comprise entre 3 et 8 mètres par seconde.

Pour la même roue portant successivement cinq, dix et vingt ailettes rectangulaires des dimensions ci-dessus, la résistance, dans l'air, se trouve représentée généralement par la formule

R'=: o^»,ioo + (0,0068 -f- 0,1 i79/ia)V%

V étant la vitesse du centre de ces ailettes, n leur nombre, et a leur aire commune. Mais, ainsi qu'on l'a fait remarquer, n ne peut augmenter dans celte formule, au delà d'une certaine limite, sans que le coefficient 0,1179 diminue, et que

6^4 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLE.

le nombre 0,0068 lui-même augmente, de sorte que la seule chose démontrée par ces expériences, c'est qu'à cela près de la constante o^*, 100 qu*il est permis de négliger dans les applications ordinaires, à cause de sa petitesse, la résisiance demeure sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse.

Résistance des plans minces dans le mouvement rectUigne

et parallèle.

&05. Premier cas : le plan étant ma dans un fluide en repos. — Ce cas étant plus dimcile à soumettre à l'expérience que celui qui se rapporte au mouvement circulaire, on ne doit pas être surpris des lacunes et des incertitudes qu'il laisse encore. Voici le petit nombre de résutats qui le concernent.

Expériences de Dubuat. — Dans une suite d'expériences délicates pour déterminer la loi des pressions et des non-pressions éprouvées par un plan de i pied carré de surface, sous des vitesses comprises entre i et 2 mètres par seconde, au plus, Dubuat a Xro\j\é {Principes d'Hydraulique, 3* Partie, art. 482 et suivants) que, en représentant par m le coefficient de l'excès de pression sur la face antérieure, et par n celui de la non-pression sur la face postérieure (379), on avait, en conservant toujours à/7, A et H leur signification (382) et prenant pour formule de la résistance R=/r/>AH=mpAH-f-«/?AH,

Dubuat admet, en outre, que les valeurs de m, n et k sont indépendantes de l'étendue des surfaces; mais, hâtons-nous de le dire, ces valeurs ne sont pas le résultat d'une mesure directe et absolue de la résistance; elles ont été seulement conclues de celles des pressions partielles en avant et en arrière, obtenues à l'aide des procédés manométriques déjà indiqués et critiqués à la fin du n"" 378.

Expériences de MM. Piobert, Morin et Didion. — D'après ces récentes expériences, faites sur des plans minces de o,o3 à 0,25 de mètre carré, que, à l'aide de contre-poids, ils faisaient remonter verticalement dans l'eau en repos, de manière à leur laisser acquérir, vers la fin de leur course, un mouve-

ment sensiblemenl uniforme, dont la viiesse a varié de o à 5 mètres par seconde, la résistance serait très-exactement proportionnelle à rétendue A, des surraces; mais il y aurait lieu (388) de tenir compte d'un terme indépendant de la vitesse, pour le cas des mouvements très-lents (383 et suivants).

La formule propre à représenter la loi de la résistance serait ainsi, p, Â, H ayant toujours la même signification»

R = A(o^«,934 + 143, i5V^) = o,934A -h 2,81/? AH,

dans laquelle le terme constant devient négligeable toutes les fois que la vitesse surpasse o"*,5 à o",6 par seconde; de sorte qu'on aurait alors simplement

R = 2,8i/>AH et /f = 2,8i.

Cette valeur de k est, à peu près, le double de celle ci-dessus, trouvée par Dubuat; elle a été obtenue au moyen d appareils susceptibles d'une grande précision; mais, comme les expériences oni eu lieu sur un bassin d'eau d'une assez faible profondeur, et dans lequel les plateaux, même en leur supposant une marche bien assurée, n'ont dû acquérir une vitesse uniforme que lorsqu'ils étaient voisins de la surface supérieure du liquide, il peut se faire (393) que cette circonstance ait exercé une influence considérable sur les résultats, et, dans tous les cas, il conviendra d'en borner l'application à des circonstances analogues.

Expériences des mêmes, relatives à l'air, — Dans cette nouvelle série d'expériences sur des plateaux carrés et minces de o*i,25 et i mètre carré de surface, mus verticalement, dans l'air en repos et indéfini, avec des vitesses uniformes qui ont varié entre o et 9 mètres par seconde, l'ensemble des résultats de l'expérience a conduit à la formule générale

R=:A4(o,o3-f-o,o84V») = pA(o,o3-f-i,3574H),

dans laquelle /?' = i''«,2i4, représente la densité de l'air sous une température et une pression barométrique moyennes, de 10 degrés centigrades et o'»,76 de hauteur, p étant toujours

la densité ou le poids efTeclif du mèlre cube d'air à l'instant de l'expérience.

On voit par celle formule, que, pour les gaz et des vitesses au-dessous de 4 ^ 5 mètres par seconde, il ne serait nullement permis de négliger le ternie constant, dont il parait d'autant plus difficile de s'expliquer ici l'origine (388), que sa présence n'a été signalée dans aucune des expériences de Borda, Hutton et M. Thibault, sur le mouvement circulaire des plans mincçs.

Pour les vitesses comprises entre 4 ^^ 9 mètres, limites de celles qui ont été observées, on pourrait, au contraire, prendre, sans erreur sensible,

Rrz=i,3574pAH ou /r=:i,3574;

résultat peu différent de celui ci-dessus, de Dubuat et des plus faibles de ceux qui ont été obtenus par M. Thibault, etc. (400), ce qui tend à confirmer les remarques précédentes.

Résistance de l'air dans le mouvement varié, — Ces mêmes expériences, commises, ainsi que les précédentes, aux soins particuliers de M. Didion, observateur très-consciencieux, ont montré (380) que, dans le cas où le mouvement du plateau, au lieu d'être parvenu à une parfaite uniformité, variait d'une manière sensible, la résistance devait .être représentée par la formule à trois termes (382)

R rz^ A 4 (o,o36 -K o,o84V» 4- 0,164 j\

pour toute la partie de la descente des plateaux où le mouvement s'accélérait, et

R = XR (o,o36 -h o,o84V» - 0,164 ^\

pour la partie de l'ascension où il était retardé, - étant tou-

jours le rapport de l'accroissement ou de la diminution instantanée de la vitesse à l'accroissement du temps. Malheureusement le résultat de ces expériences ne met pas

DBS RÉSISTANCES. 627

en mesure de reconnaître rinfluence des dimensions réelles Jes plateaux dans chaque expérience, et de le confronter avec celui qui se déduit de la règle établie par Dubuat (380).

406. Deuxième cas : le plan étant immobile dans un fluide PU mouvement. — D*après deux anciennes expériences de lfariolte> sur une planchette carrée de 6 pouces de côté, soumise au choc d'un courant d'eau uniforme, parallèle et rectiligne, courant dans lequel elle était entièrement plongée, et dont la vitesse a varié entre ii^,?.5 et 3p*^*,75 seulement par seconde, on aurait

R=rA-^AH, et A* = i,25 pour A = o"*î,o264;

mais ce résultat laisse beaucoup d'incertitude, à cause de l'imperfection des moyens employés par l'Auteur, pour mesurer la vitesse du courant.

Expériences de Dubuat (Princ. d'Hydr., art. 468, 4^6 et 484). — En soumettant au choc de Teau animée d'une vitesse de 3 pieds environ par seconde, le plan de i pied carré dont il a été parlé dans le précédent numéro, ce célèbre ingénieur a trouvé, à l'aide des mêmes procédés, que l'on avait

m = 1,1 86, n = 0,670, A'^i,856 pour A = o"*i,io55.

Cette valeur de h diffère, comme on voit, beaucoup de celle obtenue par Mariotte, et elle ne diffère guère moins de la valeur k = 1,433 à laquelle Dubuat est parvenu (405) dans le cas cil c'est le plan qui se meut dans l'eau en repos; mais, s'il y a lieu de concevoir des doutes, ce n'est pas à l'égard du dernier résultat qui a été vérifié, par Dubuat, au moyen d'une mesure entièrement directe de la pression, et qui l'est également par les résultats suivants.

Expériences de M, Thibault (Ouvrage déjà cité, p. 137 et suivantes).— Cet Auteur ayant exposé à l'action directe du vent, des plans minces de o"*ï, 1089 et o"'i,23o4 de surface, dont la résistance se trouvait mesurée à l'aide d'un instrument à ressort nommé anémomètre, il a trouvé, par une réduite de sept séries d'expériences, dans lesquelles la valeur de /r a varié entre i,568 et 2,125, et la vitesse du vent entre i^jS et 8", 2

63o MÊCANIQUB INDUSTRIELLE.

compte dans les calculs, du moins pour les très-petites sur> faces.

Résistance des surfaces minces concaves et convexes;

voiles et pamchutes,

W8. Plans minces avec rebords. — Lorsqu'on adapte au pourtour antérieur d'une plaque mince, des rebords formant saillie sur cette plaque, la déviation des filets s'y trouvant augmentée, il en doit être ainsi de la résistance : ce lait a été prouvé par les expériences de Morosi, répétées depuis par M. F. Savart (*), sur le choc des veines d'eau isolées, pour lesquelles la résistance a été presque doublée. Les expériences de Christian [Mécanique industrielle, t. P',p. 270 et suivantes), sur une plaque recevant le choc, dans un coursier qu'elle remplissait presque en entier, lui ont donné une augmentation de pression de -jV environ pour un Jeu latéral très-faible, et de ~ pour un jeu du ~ de la largeur de la plaque ; mais on peut croire que la résistance serait augmentée suivant une proportion plus grande encore, dans le cas d'un fluide ou d'un jeu pour ainsi dire indéfini.

409. Surfaces cylindriques minces, concaves. — M. Thibault, dont nous avons déjà si souvent cité les recherches expérimentales sur l'air, a constaté qu'une surface mince de carton, courbée cylindriquement, de manière à présenter sa concavité à l'action de ce fluide, et mue circulairement sous différentes vitesses, à l'extrémité du bras d'un volant de i",37, donnait lieu à des résistances dont la loi était à peu près la même que celle des plans minces, sous les mêmes vitesses et inclinaisons, sauf pour les très-petits angles d'incidence BANtP/. /^A fig. 67, n** W2), où les sufaces courbes ont présenté comparativement, des résistances un peu plus fortes.

Un plan mince et trois surfaces cylindriques concaves, a peu près circulaires, dont les arcs offraient respectivement 10, ^o et 60 degrés de courbure, tarfdis que les aires, sensiblement

(*) Jnnahs de Chimie ri de Phjsiquc^ a® série, t. LV, p. 2J7 et 283 (i833).

égales, de leurs projections A, sur un plan perpendiculaire à celui du mouvement, étaient d'environ o™*i,io24> ces surfaces, disons-nous, ont donné, pour la valeur comparée de leurs résistances, celle du plan mince étant représentée par i ,000 :

I** la surface courbée de 20 degrés i,o3o

2"* la surface courbée de 4^ degrés i,o54

3*" la surface courbée de 60 degrés 1,070

Ces expériences n'ont pas mis à même de constater la limite d'accroissement de la résistance avec la courbure.

4.10. Surfaces minces à double courbure, voiles de'nat^lres. — M. Thibault ayant soumis à l'expérience une autre surface concave, à double courbure, d'environ 5o degrés, couverte de toile et offrant à l'action de l'air la même projection A, que ci-dessus, il a obtenu un résultat un peu supérieur même à celui qui concernait le cylindre courbé sur un arc de 60 degrés. Enûn des surfaces de toiles enverguées à la manière ordinaire (celle des voiles de navires), et dont la courbure a varié de 5o à 60 degrés, ont offert des résultats analogues. Mais, de plus, l'expérience a montré que la résistance directe et oblique de ces voiles, dont la flèche était environ le \. du rayon, différait très-peu de celle d'un plan mince, de même surface développée et de même inclinaison, sauf pour les petits angles où cette première résistance devenait un peu plus forte, fait trèsremarquable et déjà soupçonné par Dubuat. Ainsi on pourra calculer (&02) la résistance des voiles de vaisseaux à peu près pour tous les angles au-dessus de 4^ degrés d'inclinaison, en les supposant remplacées par des plans de même étendue développée.

411. Résistance des parachutes. — On admet assez généralement que la flèche ou le creux d'une surface concave, telle que celle des voiles de vaisseaux et des parachutes, ne doit pas surpasser le tiers ou le quart de sa largeur moyenne, mesurée entre les bords opposés, lorsqu'on veut rendre un maximum la résistance de ces surfaces, sous une étendue donnée. MM. Piobert, Morin et Didion ont entrepris des expériences dans la vue de découvrir spécialement l'intensité et la loi de

la résistance rclalive à une suface de cette espèce. Ils se sont servis, à cet effet, d'un parapluie, recouvert, à la manière ordinaire, en taffetas, qui avait 1*^,27 de diamètre moyen ou d'envergure, o*", 373 = 0,31 xi"*,2i de flèche réduite, el i"*",»> de surface A, en projection sur un plan perpendiculaire à son axe ou à sa tige. L'ayant fait descendre et monter alternativement à Tair libre, sous différentes vitesses dans le sens vertical, parallèle à cette tige, et de manière à lui faire opposer, tantôt sa concavité et tantôt sa convexité, à Faction du fluide, ils ont conclu du résultat des expériences dirigées principalement par M. Didion :

I" Que si Ton représente par i, la résistance uniforme d'un plan mince de même étendue horizontale A, celle du parapluie ou parachute devenait, dans les mêmes circonstances de mouvement, 1,94 environ, quand la concavité se trouvait dirigée en avant, et 0,77 quand c'était la convexité qui se trouvait l'être à son tour;

2® Que, relaiivement à la loi de la résistance dans le cas où le mouvement était parvenu sensiblement à l'uniformité, elle se trouvait, pour les vitesses de o à 8 mètres, soumises à l'expérience, représentée fort exactement par la formule

quand la concavité est dirigée en avant, et

quand l'inverse avait lieu, les lettres ayant ici d'ailleurs la même signification que pour la formule correspondante du n» 405 ;

3^ Enfin, que, dans le cas où le mouvement varie à chaque instant, il devenait nécessaire, comme pour les plans minces ( ibid,), d'ajouter aux formules un terme dépendant du rapport

-; de sorte qu'on avait, en particulier, pour le cas de la des-

DBS BÊ91STANCBS. 633

cente des parachutes, qui intéresse spécialement l'aérostation,

4-12. Résistance des angles dièdres. — Les Auteurs que nous venons de citer ont aussi soumis, dans les mêmes circonstances, à l'action de Tair, un angle formé par deux plans rectangulaires réunis à charnière, et qu'ils ont fait mouvoir verticalement, sous différentes ouvertures et différentes vitesses, dans le sens même du plan qui divise cet an^le en deux parties égales : a représentant ici, en degrés sexagésimaux, l'angle aigu de chaque plan avec la direction du mouvement ou avec le plan médian dont il s'agit, A la somme des aires des deux plans, ils ont trouvé, pour le cas où la vitesse était devenue sensiblement uniforme et où l'angle agissait par son tranchant,

formule qui se réduit à sa correspondante du n^ TO5, quand a = go% et que les deux plans n'en forment plus qu'un seul, perpendiculaire à la direction du mouvement.

Cette résistance, comme on le voit, suit des lois très-distinctes de celle des plans minces, obliques et isolés (402), et il n'y a là rien qui doive surprendre, si l'on réfléchit à la diversité des mouvements imprimés au fluide dans les deux cas.

Résistance des corps prismatiques dans un fluide

indéfini,

413. Prismes droits immobiles dans un fluide en mouve-ment, — Pour de tels prismes, terminés aux deux bouts par des faces planes (fig. 55^ PL III), et dont l'axe est dirigé dans le sens du mouvement, la résistance peut toujours être exprimée parla formule R = frpAH; mais le facteur k est susceptible de varier, avec le rapport de la longueur L, de ces prismes, à la racine carrée de leurs «ires transversales A, ainsi qu'il suit.

Selon Dubuat, qui remplace (405) le facteur /r, par la somme m -h /», des coefficienis m et n de l'excès de pression antérieure

634 MfiCiUiilQUB INDUSTBIBLLB.

et de la non-pression postérieure, on a, pour

A =0"'', 10, — = 0,00, m = 1,186, /i=: 0,670, Ar= 1,856,