X- = -^ — I ; et par suite, /• = i

lombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expéiences de cet Auteur, sur un prisme dont la longueur était le triple eniron de sa largeur réduite; de sorte qu'en adoptant la valeur A'= 5A, H)ur de tels prismes en repos, et la valeur A' = 6,46 pour les mêmes Nismes en mouvement, les formules très-simples

732 HfiGANIQUE 1NBU8TR1BLLB.

représenteraient assez fidèlement la marche et les valeurs de la résisi relative à ces deux cas, pourvu qu*on eût égard aux observations ci-d relatives aux prismes très-courts et aux plans minces ; car s'il s*agi de prismes très-longs^ le frottement latéral ferait diminuer p et augme X- avec L, d'après les formules analytiques (/) qui donnent les valeurs ces deux coefficients; ce qui est conforme aux indications de TexpérieDO

(h). Prismes avec proues sans poupes. — Prenant, en particulier, pflli les prismes de moyenne longueur, fi = i, ce qui les suppose armés d'iri proue raccordée favorablement avec leurs faces latérales, la formule d Tart. (/) donne X* = o,56 , pour le cas où ces prismes sont immobîlei et X' = o,4o, pour celui où ils choquent le fluide en repos. Or ces valeur sont un peu moindres que celles qui ont été obtenues plus haut [e) pou les surfaces minces et convexes, considérées dans des circonstances ana logues, et la dernière s*accorde assez bien avec les données de rexpériencc relatives (424) aux prismes mobiles, armés de proue mais sans poupe Que si l'on voulait d'ailleurs, comme on l'a déjà propq^ [e) pour les plan et surfaces minces, rejeter la diminution de résistance, dans le cas de fluides en repos, sur la diminution même de la contraction plutôt qu sur la grandeur relative du rapport de A' à Â, il faudrait aussi attri buer à /x des valeurs proportionnellement un peu supérieures à celles qu( donnent les expériences de Michclotti sur les tubes additionnels. Dan toutes les hypothèses, on est conduis à admettre que les valeurs de o rapport, et par conséquent celles de X-, tendent vers l'égalité, pour le deux cas des fluides en repos ou en mouvement, à mesure que la Ion gueur L des prismes augmente.

Mais nous ne pousserons pas plus loin cette discussion et ces rappro chements fondés sur un trop petit nombre de faits exactement établis pour conduire à des conséquences exemptes de toute objection, et nou passerons à l'examen de l'influence qui peut être exercée par l'additioi d'une poupe à l'arrière' des prismes.

(i). jéppréciation de r influence exercée par les poupes, — En admet tant que l'addition d'une poupe n'influe que très-peu sur la direction rec tiligne des parois fictives LM, L'M' (PLIlI^fig, 8a), on s'apercevra, d suite, que les phénomènes de mouvement qui s'accomplissent dans la régioi postérieure du canal limité à ces parois, doivent offrir la plus grande ana logie avec ceux des ajutages coniques diver^ents^ déjà anciennemen soumis à l'expérience par Bernoulli et Venturi. Ainsi la pression y de vient négative^ c'est-à-dire inférieure à la pression statique, à peu prè comme cela arrive latéralement, vers l'amont ( PI. Uî^ fig, 55 ), en m et m' sauf qu'ici le parallélisme des côtés du prisme empêche le défaut de près sion de devenir nuisible ou d'augmenter la résistance. D^un autre côté, 1; vitesse moyenne, U, je suppose, conservée par les filets à leur sortie d* l'évasement ou en quittant le corps, diminue à peu près en raison inver»

DBS EÉSISTAIfCBS. 733

b l'aire des 3ections, et cette vitesse, quand la poupe est suffisammeRt Boucie et allongée, comme l'exprime lay^. 82, PL III, peut se réduire ■laleinent à celle du milieu ambiant; or cela tend à faire disparaître, dans Kquation des forces vives, relative à ce cas, le terme qui concerne la Htésse d'affluence V, du Quide, dans la partie d*amont, et par suite, à lîminuer la résistance.

EnGn, le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du ^lyau limité aux parois fictives LM, L'M', dans la partie évasée formée par la proue, donne lieu à une nouvelle perte de force vive analogue à jCelle qui est occasionnée par le rétrécissement de la section contractée niny m'rt'(Pl, IHyJig. 55), dans le cas des prismes sans proue ; perte qui pourra ici être représentée parle produit M/ï'*{U — U,)*; si UetU, désignent toujours les vitesses moyennes de régime, ou censées uniformes, dans les sections prismatiques en amont et à Textréroité postérieure de Tévasement, n'^ ie nombre, supérieur à Funité, par lequel on doit multiplier les forces vives MU' et MUJ possédées par le fluide dans ces n^i&mes sections, afin , de reproduire les forces vives effectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d'une poupe convenablement adoucie et allongée, mais sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales, il y aura une /double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur résistance, il suffira de considérer séparément ce qui se passe dans les régions, antérieure et postérieure, du courant ou canal compris entre le corps et les parois ûcUves LM^ L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédemment admises, et désignant, pour la deuxième, par P,, la pression qui est aussi celle du fluide à l'arrière du corps, enfin par Â,, pour plus de généralité, Taire de la face postérieure de la poupe, supposée perpendiculaire à l'axe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé [PL III, ^g. Si), celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux, etc. ; négligeant, au surplus, le frottement le long de cette poupe, comme on l'a fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (/), la suivante

el, à cause des relations de continuité (A'— A)U = (A' — A,)U, = A'V, elle donne

pi p __ „ Z

ag'fA'^(A'-A)=''

en posant de nouveau, afin d'abréger,

734 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLB.

facteur qui devient nul, comme cela doit être, quand on suppose l'aire du pan coupé, égale à celle A de la section transversale la plus large la partie prismatique du corps, tandis que si Ton y suppose A, = o, qui convient au cas des proues effilées représentées par la 7^. 8a, PI. f| ce même facteur prend la valeur

''"rv-Â^)^;?"''

très-faible et essentiellement positive, à cause que Â' surpasse au m<Hi quatre fois A. Or cela prouve que la pression moyenne d'aval P„ qui dil différer alors très-peu de la pression statique du milieu, surpasse, confor mément aux indications de Texpérience relative aux tuyaux divergents celle qui a lieu vers la partie prismatique du corps, pour toutes les valem de A, comprises entre zéro et A.

La pression P, qui agit contre A^ donne incontestablement lieu à um diminution de résis|ance mesurée par le produit A,P, ; mais on n'aperçoii plus aussi bien comment on doit évaluer celle qui est due aux pressions exercées par le fluide contre la surface de Tévasement formé par la poupe, pressions qui décroissent de la section d'aval où elles ont pour valeur P,, jusqu'à celle de la partie prismatique du corps où elles deviennent égales à P'. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remarquée cidessus, pour la proue elle même; le principe des forces vives ne suffirait pas pour la lever, puisqu'il est impropre à faire découvrir les pressions partielles et variables dont il s'agit. Or il parait qu'il faut, ici encore, considérer P, comme une pression moyenne agissant sur toute la partie postérieure du corps, et le produit A (P,— P') comme la diminution qu'éprouve la résistance par suite de la présence de la poupe.

(y). Formules relatives aux prismes armés de poupes avec ou sans proues, — D'après les observations précédentes, si l'on retranche de l'expression de R, déjà trouvée pour la partie d'amont, la valeur du produit A (P, — P') dont le facteur P, — P' vient d'être obtenu en dernier lieu pour la partie évasée du canal, il en résultera cette nouvelle expression de la résistancp

à laquelle on arrive, de suite, si, en conservant toutes les dénominations précédemment admises, on pose, d'après le principe des forcer: vives, l'équation

DBS RÉSISTANCES. 735

qui exprime la loi de Técoulement du Quide entre les sections extrêmes A', A'— Â et de laquelle M a disparu comme facteur à tous les termes, mais où, pour plus d'exactitude, on devrait affecter U et U' d'un coeflBcient numérique différent de celui «', qui convient à W, si la poupe n'était pas assez allongée et bien disposée pour ramener les filets fluides au parallélisme.

La formule qui donne, pour ce cas général, la valeur de R, revient doac toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail, par la demi -somme des pertes des forces vives, et son facteur X- doit encore pouvoir être conclu de Fobservation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages, d'une forme analogue à celle du canal fictif, si on les adaptait, à la manière ordinaire, à Tune des parois planes d'un réservoir vertical rempli d'eau uniquement soumise à l'action de son propre poids, mais dont les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l'ajutage.

Pour rendre, en effet, l'équation des forces vives ci-dessus, applicable à ce dernier cas, et propre à donner la vitesse U^ d'écoulement par Torifice extérieur A'— Â,, en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à l'axe de la veine, il suffit d'y supprimer le terme en V, et de remplacer le deuxième membre, par le produit 2^H; d'où il résulte que si l'on nomme fA, le coefficient de réduction de la dépense hypothétique

Q = {A'-- AjJv^âJH, et qui porte essentiellement sur la vitesse /ag^H, on devra avoir, d'une part.

?i--(fc^;){a-)'(^)'-'^

bL

de l'autre,

^ 2 A V' A^ * 1 1 I f\'-Ay

R^VA-, ^-^îjA'-A.)'-" f.'-p-;i;Vr:=Tj '

ce qui permettra de calculer immédiatement la valeur de la résistance au moyen du coefficient p, fourni par les expériences des tubes divergents dont il vient d'être parlé.

(X). Comparaison durésuUat des formules avec ceux de P expérience, — Supposant, en particulier, la proue et la poupe disposées (P/. III ^fig, 82) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval, le coefficient m de cette contraction deviendra l'unité, et Â, nul ; si, de plus, comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L, de la partie prismatique du corps, est très-petite, on pourra négliger le frottement latéral, et (/) l'on aura fit = i, ce qui

donnera simplement pour le coefficient de la résistance,

Prenant, comme dans le cas ci-dessus des plans minces, /i''= 1,149, et observant que n — n* doit être ici une très-petile fraction dont il devint permis de négliger le carré; prenant en outre, A' =.4 A pour la limite inférieure de A', relative au cas des corps en repos choqués par un fluide en mouvement, et A' = 6,46A pour celle des mômes corps en mouvement dans un fluide en repos, on trouvera approximativement, dans les hypothèses actuelles où l'on néglige Tinfluence du frottement latéral, en même temps qu'on suppose au corps la forme la plus avantageuse pos- 'sible, /• = o,i3 et /• = 0,04, pour le coefficient de la résistance dans ces deux cas respectifs ;ce qui n'off're rien de contradictoire avec les résultats connus de Texpérience (417 et 423).

Il y a plus même, on doit pressentir, d'après les conditions qui viennent d*èlre assignées au maximum de réduction de la résistance, que, pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas une continuité parfaite, pour les prismes rectangles, par exemple, armés de proues et de poupes d'ailleurs disposées et raccordées avec les faces latérales, aussi bien qu'il est possible, on ne saurait éviter entièrement les effets de contraction, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans la marche naturelle des (ilets, vis-à-vis des parties anguleuses ou tranchantes; et de telles perturbations sont la source inévitable, soit d'une perte de force vive, soit d'une diminution de la section contractée //2(A' — A) d'amont, équivalente à un accroisement (\ — m) (A'— A), de la section transversale correspondante du corps.

(/). Remarques sur la théorie précédente. — L'application du principe des forces vives pourrait, avec des modifications convenables, s'étendre évidemment au cas des corps flottants ou en partie plongés dans les liquides; mais, comme on le voit, ce principe ne mettant point en état de découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des filets, résultant d'une forme déterminée du coi*ps, il no saurait non plus servir à résoudre Timporlant problème des surfaces de moindre résistance, qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il peut«bien indiquer en bloc^ qu'on me passe l'expression, la marche générale de la pression, de la résistance totale, en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps; mais c'est, comme on l'a vu, en admettant la détermination expérimentale de certains coefficients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets ou à l'inégalité d'intensité et de direction de leurs vitesses dans certaines sections du courant. En rattachant, de celte manière, le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéfinis aux phénomènes mieux étu-

DBS RÉSISTANCES. 787

diés de leur écoulement dans les vases, les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simplification véritable apportée à la question, et, sous ce rapport, les formules auxquelles elles conduisent peuvent oflrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Bernonlli et Euler (373), en considérant d'une manière fort incomplète le mouvement des molécules comme se faisant dans autant de filets ou tuyaux indépendants. ' ^

(tfi). Examen critique de la théorie de BernouUi et d^ Euler. — Nommant toujours /? la densité constante du fluide, et Y sa vitesse d'affluence uniforme en amont du corps, dk Taire de la section transversale de Tun

des tuyaux formés par les filets au point où la vitesse est Y, dm = - dXV

S la masse qui s'écoule uniformément par cette section dans Tunité de

temps, enfin a l'angle formé par le tuyau avec Taxe du corps, censé

parallèle à Y, en un point où la vitesse est U, c'est-à-dire l'angle de Y

et de U; la pression élémentaire due au changement d'intensité et de

direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant

œtimée dans le sens de Y, sera, d'après Euler et BernouUi, donnée par le

produit

W U \ dm (Y — Ucosa) := %pdk — ( ' — v ^^* )

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le même sens, en chaque seconde, par la réaction de la portion du filet comprise entre les deux points mentionnés; et par conséquent, pour l'ensemble des portions analogues des filets que l'on considère comme ayant subi les effets de la déviation en amont du corps, la pression totale P est donnée par l'expression

où U et a sont fonctions des variables qui fixent la position des filets ou de leur section d'arrivée ^A, l'intégration devant avoir lieu depuis Taxe central de la veine, jusqu'aux filets extérieurs qui, restant rectilignes et parallèles, cessent d'être influencés par la présence du corps. Or on voit que cette formule laisse, pour ainsi dire, tout arbitraire ou indéterminé, et qu'on ne peut lui donner une forme plus explicite, à moins d'adr^ettre, avec Euler et BernouUi , que U et a soient indépendants de la position de r/À, ou d'attribuer à ces variables une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par l'expérience; ce qui est précisément le point de la difficulté; car on arrive à des résultats très-différents selon

<j38 MÊCANIOUB INDCSTRtELLE.

qu'on rapporte a et U aux points d'inflexion même de ûlels ou à des points situés au delà, vers les extrémités du corps.

D'un autre côté, rien ne fixe, à priori, les limites de rintégration; et si, pour sortir de celte nouvelle indétermination, on prend, avec quelques auteurs^ pour ces limites, celle de la section transversale du cylindre circonscrit à ce corps, section dont Taire serait représentée par Â, ce qui donné la formule

on tombe dans un nouvel arbitraire, puisqu'on sait bien que la présence du corps se fait sentir à une dislance de son axe central, égale à i y fois, au moins, sa largeur réduite, de sorte que /r/A ne serait jamais audessous de 4 A. Ce n'est donc que par une sorte de compensation d'erreurs que cette expression de la résistance représente assez fidèlement la marche du phénomène, et je ne pense pas que M. Bidone, ainsi qu'il a prétendu le faire dans son intéressant Mémoire sur la percussion des veines (Vcau^ imprimé en i836, parmi ceux de l'Académie des Sciences de Turin (t. XL, p. 8i), je ne pense pas, dis-je, qu'il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse, mathématiquement parlant, l'application de cette même formule aux fluides indéfmis, sans tenir aucun compte de ce qui se passe sur les faces pos'térieure et latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de ne pouvoir rendre compte des effets dus à l'allongement des prismes^ explique suffisamment les motifs qui ont dirigé l'Académie des Sciences de Paris, lorsqu'on 1826 elle a, de nouveau, remis au concours la question de la résistance des fluides, en exigeant qu'elle fût appuyée sur l'étude expérimentale de la marche que suivent les vitesses et les filets au pourtour du corps; mais peut-être ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut se rendre compte par cette considération, d'une manière un peu plus claire qu'on ne l'a fait jusqu'ici, des principaux phénomènes relatifs aux changements de pression observés dans les expériences.

( /î ) . Examen de la marche des pressions en amont des corps exfXisés à Vnction des fluides, — Occupons-nous d'abord de ce qui se passe dans l'intérieur de l'espèce de vase formé, en amont du corps ( PL III ^ fig. 55 et 80), par les parois fictives LM, L'M', qui, on ne doit pas l'oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pression exercées du dehors au dedans, si de telles différences étaient possibles ou s'il n'arrivait pas, dans la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément égales à la pression hydrostatique du milieu. Si l'on se rappelle bien le contenu des n^ 374 et 378 de cet Ouvrage^ concernant la marche des Glets qui, par la présence du corps sup-

DBS BÉSISTANGBS. 789

posé immobile dans les fig, 53, 55 et 80, sont contraints de s'infléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leur convexité à la face CD du corps et à leur axe central aB, tandis que dans la seconde, ils lui opposent leur concavité ; si Ton se rappelle en outre que, dans Técoulement des fluides le long des petits tuyaux analogues à ceux qui sont formés par les filets, la pression élémentaire eu différentielle, eu chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle, est nécessairement dirigée de la concavité vers la convexité, et croît avec la courbure et la vitesse; si enfin on considère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l'angle B^C ou B/z D, et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une surface lieu des points di inflexion des filets, on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois fictives L/z, \Jn\ et va sans cesse en augmentant et en s'cijoutant à elle-même, à mesure que l'on s'avance vers la paroi solide CD et l'axe aB, où elles s'entre-détruisent de part et d'autre, ou, plus spécialement encore, à mesure que l'on s'avance vers le point milieu a de cette paroi. De là d'ailleurs résulte une accélération correspondante de vitesse, de a vers C ou D, accompagnée d'une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois L/i, L'/z', est nécessairement égale à la pression statique, elle lui devient supérieure dans toute la région comprise entre le point a et la surface des inflexions dont il a été parlé.

(o). Région des pressions négatives ^ limitée par la surface des points d*inflexion des filets. — Pour la région postérieure du vase, comprise entre celte surface et les sections contractées w/z, m'n\ la courbure des filets étant dirigée en sens contraire, la pression totale, celle qui résulte de l'accumulation des pressions partielles, s'exeree du dedans vers le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu'on s'éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives La, L'//; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique, il faut qu'elle soit moindre ou négative dans toute la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales du corps, où là veine contractée vient à s'épanouir, à rejoindre ces parois, et les filets à subir {PI. llly fig, 53 et 55) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules, elle doit, sous l'influence de ces pressions croissantes du dedans vers te dehors, tendre à s'accélérer dans le même ordre, c'est-à-dire dans l'ordre précisément inverse de celui qui avait lieu dans la région antérieure du vase, et ceci semble justifier l'hypothèse précédemment admise [b et 1/) relativement aux limites assez étroites dans lesquelles se trouvent renfermées les im^galités de vitesse des filets qui franchissent les sections contractées //i/z, m'n'.

D'un autre côté, il semblerait également permis d'admettre que> pour

74o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

les points de la surface des inflexions, où la courbure des filets et les forces centrifuges deviennent nulles en changeant de sens et de signe, les^ pressions totales et les vitesses dussent redevenir elles- nnémes sensiblement égales à celles du fluide ambiant, par suite de Taccélération éprouvée antérieurement par ces dernières ou de la diminution subie en même temps par les pressions, mais ce serait admettre implicitement le parallélisme des filets dans tous les points d'inflexion dont il s*agit, ce que rien n'autorise à supposer.

(/?). Analogie de ces phénomènes avec ceux que présente V écoule ment par les orifices des vases ordinaires. — 11 ne sera pas inutile de remarquer que les considérations précédentes pourraient, tout aussi bien, s'appliquer aux phénomènes de Técoulement des liquides par les orifices des vases ordinaires, et que M. Lechevalier, dans des Mémoires approuvés par TÂcadémie des Sciences, a démontré Texistence d'une surface ellipsoïdale interne, voisine de l'orifice, qui doit avoir de l'afiinité avec celle des inflexions dont il vient d'être parlé, et à partir de laquelle les filets commencent à être soumis à des changements de courbure et à une accélération de vitesse sensibles. On pourrait ainsi rendre compte de quelques-unes des particularités offertes par la veine extérieure où la force centrifuge paraît jouer un grand rôle tant que la courbure des filets n'est pas redevenue complètement nulle ; et notamment de pareilles considérations serviraient très-bien à expliquer pourquoi les formules relatives à l'écoulement des fluides élastiques, dans lesquelles M, Navier a eu égard à la détente, conduisent, en apparence, à des résultats erronés pour )e cas de très-grandes diflerences de pression ou de très-grands changement» de vitesses.

(q). Bégions latérales et postérieures du corps, — Maintenant si l'on considère, par exemple dans le cas des prismes (PI. III ^ fig. 55), la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction faite des tourbillonnements partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant brusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée, il est évident que la prf^ssion doit se trouver la même en tous les points, c'est-à-dire égale à la pression statique du milieu, puisqu'il n'existe plus de courbure dans les filets et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux extrémités des courants latéraux, près de la face postérieure du corps, les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qui les ramène vers Taxe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu'en mn et mV, la pression totale, due à la somme des pressions individuelles des filets, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM, L'M où elle est toujours celle du milieu ambiant, jusqu'aux filets intérieurs des

DBS RÉSISTANCES. 'J^l

tourbillons où elle redevient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression statique dont il s*agit.

(r). Influence spéciale des proues et des poupes, — D'après ce qui précède, on conçoit très-bien que TinQuence d'une proue continue et courbée vers le dehors [PI, IJI,fig, 53 et 82), ajoutée à un prisme, doit être de reporter vers le milieu a^ du corps, ou le sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare, en amont, la partie soumise à des pressions négatives de celle qui Test à des pressions positives, tandis que l'addition d'une poupe, courbée de même, n'a d'influence, pour diminuei*la pression, qu'autant qu'elle offre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filets qui tendent à former les tourbillons de rarrière, et dont la vitesssé est d'ailleurs déjà fort affaiblie dans le cas •où le corps, manquant d'une proue, a, par lui-même, une certaine longueur.

En appliquant à cette manière d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, les considérations sur lesquelles se fonde la formule de BemouUi et d'Euler, on arriverait à des résultats moins entachés d'arbitraire, et peut-être plus propres à représenter les données de l'expérience ; mais, au lieu d'insister sur cet aperçu , nous indiquerons rapidement comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d'un plan mince, exposé obliquement à l'action d'un fluide indéfini.

(s). Des plans minces exposés à l* action oblique des fluides [PL III ^ fig, 81). — En admettant toujours, comme un fait de l'expérience, que le mouvement des filets s'opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives L/t et L'/i', et dont le fluide s'écoulerait par l'orifice annulaire formé par Tintervalle compris entre le plan CD et ces parois, on devra remarquer : que la contraction n'est plus la même sur tout- le pourtour de l'orifice; qu'elle est plus forte sur l'arête C du plan, la plus avancée vers l'amont, plus faible sur l'arête D qui l'est le moins, et à peu près égale à ce qu'elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire à la figure; que d'un autre côté, l'axe central aB de la masse fluide soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l'arête G que de l'arête D, conformément au résultat des expériences du docteur Àvanzini {Instituto nationale itaiiano, t. I, part. 1), citées dans le Mémoire (403^ de M. Duchemin, lequel observe, avec raison, que cet axe et par conséquent le centre de pression tz, sur la surface antérieure du plan, doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités de mouvement détruites dans les filets, parallèlement à ce plan, soit égale tout autour ou de part et d'autre de sa direction. Il est clair, en effet, d'après les considérations exposées en dernier lieu, que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent aux angles aigus formés par Taxe ^ïB, avec le plan CD, que pour ceux qui appartiennent aux angles

obtus supplémentaires, il doit en être ainsi des pressions que ces filets engendrent respectivement soit sur le plan CD où elles s'ajoutent, soit sur Taxe aB où elles tendent à se détruire en se contrebutant.

De là résulte aussi que la masse des filets qui s*écoulent vers la partie aC, allant toujours en diminuant, par rapport à celle des filets qui s'écaulent vers nD, à mesure que Tangle d'incidence BaC devient plus aigu, Tinfluence de Taccroissement de contractiop subie par les premiers doit aussi s'affaiblir rapidement avec cet angle; de sorte que le coefficient moyen m, de la contraction sur le pourtour du plan CD, doit généralement augmenfer, mais moins rapidement que celui qui conviendrait à la diminution de la convergence des filets en D ou en m'n'.

(t). Formules relatives à ce cas, — Conser>'ant les mêmes dénominations que pour le cas du choc normal (r), et observant que la différence des pressions reçues par le plan oblique CD, doit être mesurée par le produit A(P— P') dans le sens perpendiculaire à ce plan, et par Âsinoc (?—?') dans le sens parallèle à l'axe AB du mouvement, on aura, en appliquant ici le principe des forces vives sans faire de distinction entre les diverses régions ou les divers modes d'écoulement,

/i'U'-V»= a^Ç-— ^', /w(A'-Asina)U =A'V;

ce qui donne pour le choc perpendiculaire,

^ .VW n'A'» • \ . r

R=zpA — ( ~^--n — r— . — Tj — ijsma, A = '^ 2g'\m'(A — A sma)' /

//i'(A' — Asina) et, pour le choc oblique sous Fangle aigu B^iC = a,

sma.

, VV /f^A" \. ,, /y'A^'sing .

a^\/« (A— Asma)' / * /w'^A' — Asina)'

Or, en se rappelant que m augmente seulement depuis m = 0,75, .qui correspond (d) à a = 90^ jusqu'à m = 0,88, qui parait convenir, en effet, aux plus petites valeurs de a, lorsqu'on prend, comme pour le cboc direct, ii'= i,i5, A'= 6,46A, en se rappelant, dis-je, cet accroissement progressif de m, il sera facile de voir que les valeurs ci-dessus du coefficient de résistance X', marchent effectivement dans le sens indiqué par les expériences dont les résultats sont reportés dans la Table du n** 4(12.

On doit comprendre d'ailleurs, d'après tout ce qui précède, pourquoi In résistance des plans minces obliques est très-différente de celle des anglee dièdres (412), formés par deux tels plans ou par les faces également planes d'une poupe triangulaire (416 ; PI. III, fi^. 68) adaptée à un prisme : dans

ces deux derniers cas, Taxe central des filets passe par le sommet de l'angle dièdre formé par les plans, et la contraction se réduit à celle qui a lieu pour les arêtes postérieures de ces mêmes plans, etc.

(u), ConsUlérations relatives aux tourbillons. — Nons terminerons cette Note par quelques remarques concernant les tourbillons qui, en différents cas, tendent à se former dans les fluides, et sont la principale source des pertes de forces vives qu*ils éprouvent lors des changements brusques de mouvement.

A cet égards il est très-essentiel de distinguer les remous, en quelque aorte stationnaires, qui se forment dans les anses et les creux d'un bassin, d'un canal traversés par un courant vif ou principal, d'avec les tourbillons proprement dits,, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers, comme on le voit exprimé en m et m' [PI. III, fi^. 54 et 55) sont simplement dus au frottement latéral (376) et révolutif d'une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s'agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation, l'incurvation éprouvée par ce courant, toutes les fois qu'il vient à atteindre une masse fluide douée d'une vitesse moindre ou contraire à la sienne propre, quoique parallèle. C'est ainsi que la rencontre de deux courants d'air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous avons de fréquents exemples ; et qu'on pourrait définir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires, ce qui n'implique pas nécessairement l'idée d'un choc direct, mais d'un choc en quelque sorte tangentiel, et par suite duquel les deux courants sont sollicités à s'enrouler, pour ainsi dire, autour d'un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C'est encore ainsi que les tourbillons se forment à l'arrière des corps en mouvement dans un fluide, par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons plus intimes qui peuvent être dus à l'épanouissement graduel d'une veine après qu'elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section, ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu'ils appartiennent ^ une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont été mentionnés au n"" 375, et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

• (c). Expression de la perte €le force vive qu^ ils occasionnent. — Considérant spécialement le cas des grands tourbillons, il est aisé de voir qu'aux premiers instants de leur formation, leurs divers anneaux ou spires sont doués sensiblement de l'excès de la vitesse V du courant qui les produit, sur la vitesse d' entraînement général U du courant postérieur; de sorte que si M est leur masse totale, ou la masse qui, dans l'unité de temps, est ainsi transformée, la force vive qu'elle eniraine ou dissimule et qui devient une source de perte de travail, doit réellement être mesurée par

l'expression M (Y— U)% admise ordinairement en se fondant, non plus comme l'avait fait anciennement Borda, sur le choc des corps durs qp n'a rien à faire ici, mais sur la vitesse relative d'afQuence d*une veîii fluide dans un vase en mouvement. Or Téquatign ordinaire des force vives ne tenant pas compte explicitement de pareilles pertes de travail non plus que de toutes celles qui proviennent des actions moléculaires il convient de les ajouter aux diminutions, en quelque sorte patentes éprouvées par la force vive, c'est-à-dire ici à la quantité MV — MU*.

Mais en dehors du cas dont il s'agit, par exemple dans celui du choi des veines isolées contre des surfaces d'une certaine étendue, il ne paraf pas qu'on soit autorisé à le faire, à l'imitation de Borda, du moins ei s'appuyant sur les mêmes motifs, et on ne serait guère plus en droit de comparer ce qui se passe dans une telle circonstance, ou en génér^il dans l'épanouissement, la déformation des veines liquides, à ce qui a Heo même dans le choc des corps mous ; car la cohésion joue, à l'égard de ceux-ci, un rôle qui ne parait nullement avoir lieu pour les liquides, da moins dans les hypothèses où l'on se place ordinairement, et oii Ton prétend tenir compte séparément de la force vive conservée par les molécules après la déviation.

(x). Perte de quantités de mouvement. — Quand on veut, au contraire, raisonner en s'appuyant sur la considération des quantités de mouvement perdues ou gagnées, dans le choc des fluides, il devient absolument inutile d'avoir égard à celles qui résultent des tourbillonnements; car la perte se réduit intégralement à la différence absolue MY — MU, puisque les signes des quantités partiellBs de mouvement, des filets ou spires qui composent ces tourbillons, estimées dans le sens de U et 'de Y, étant donnés par les signes mêmes des vitesses qui entrent en facteurs dans leurs expressions> la somme algébrique de toutes ces quantités devient naturellement nulle; ce qui n'a pas lieu pour celle des forces vives correspondantes, puisqu'elles conservent le signe positif sur le pourtour entier des spires. Mais, ainsi qu'on Ta expliqué au n** 375 du texte, la force vive giratoire des tourbillons, telle qu'on l'a exprimée ci-dessus, est complètement perdue pour les effets ultérieurs du courant qui les emporte dans son mouvement rcctiligne et parallèle.

(/). Changements viibis par la vitesse des tourbillons de la part du milieu ambiant. — Pour en finir sur ce sujet, nous ferons remarquer que si la vitesse circulatoire est sensiblement la même, dans toute l'étendue des tourbillons, aux premiers instants de leur formation, il s'en faut que les choses demeurent dans cet état après un certain temps où ces tourbillons, détachés du courant producteur et entraînés dans le mouvement général du milieu, sont soumis, de sa part, à l'action d'un frottement latéral qui tend à ralentir leur mouvement de proche en proche, ou d'une

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^(>3re à Tautre, d*une manière d'autant moins sensible que l*on s^approche lâftvantage de leur axe central, ce qui explique la loi observée par Newton ^X. Léonard de Vinci (375, p. 5yo). Il résulte d'ailleurs de ce mouvement raioire des tourbillons, que la pression doit, à cause de la force centrige, y augmenter de Taxe à la circonférence, et qu'étant égale à la pression du milieu ambiant, en ce dernier point, elle doit être moindre ou né- ^^ti\e sur Taxe. Mais nous n'étendrons pas plus loin cette discussion, qui conduirait à l'explication mécanique du phénomène, si généralement c^<3nnu, des trombes, sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre oocasion.

I. — Table des haateurs dues à différentes vitesses, les unes et les antres étant exprimées en mètres, et la seconde sexagésimale étant prise pour nnité de temps.

(Extrait de la Table doDoée par H. Narler, dans les jédditions à l'Architecture hydraulique de Bélldor, et corrigée en quolqoet point», d'après les Indlcalloof de M. de Prony.)

II.— Table des logarithmes hyperboliques, calculée de 100^ en 100" d'unité, depuis 1,00 jusqu'à 10,00; et d'unité en unité depuis 10 jusqu'à 100.

( D'àprèa M. de Prony, Annales des Mines, t. VIII, i83o. )

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