DES FLUIDES INDÉFINIS

PRINCIPALEMENT FONDÉE SUR LA GONgiDËRATIO.N DBS FORCES VIVES.

(/i). Notions préliminaires et fondamentales. — On a pu voir, par Texposé des n°' 373 et suivants de cet Ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides laissent encore de vague et d'obscurité, et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique, par un lien plus solide, et qui, en Tabsence d'une théorie mathématique rigoureuse, permit, au moins, de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de Texpérience. Or cela ne nous paraît nullement impossible, si, en considérant ces résultats dans leur ensemble, on essaye de les déduire, d'une mâniène plus explicite qu'on n'a pu le faire dans le n"* 381 du texte, de l'application du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu, par BernouUi et Borda, dans leurs recherches physico-mathématiques sur l'écoulement des liquides.

Rappelons-nous, en effet, cette remarque importante due à Fesprit ingénieux de Dubuat, et qui s'est présentée en plusieurs endroits du t«xte, notamment aux n^ 378 et 379, 392 et 418 : Quand un corps est exposé à l'action directe d'un fluide, les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultant de l'obstacle que présente ce corps à leur libre passage, que dans une certaine région de part et d'autre de Taxe du corps, parallèle à la direction du mouvement; elles se meuvent comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois LM, L'M' [Jig. .53, 55, 8o, etc., PI, III) seraient parallèles et à peu près équidistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit luimôme au corps, suivant la direction du mouvement absolu ou relatif;

724 MÉGANIQUB IVDfJSTllBLLB.

de sorte qu'en amont de ce corps, l'écoulement se ferait comme dans un vase qui offrirait, sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice annulaire déterminé par Tintervalle compris entre les extrémités du corps et les parois fictives dont il vient d*ètre parlé, parois qu*il serait d'ailleurs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu'à la région où les tourbillons et mouvements excentriques quelconques viennent à se propager (375) dans les masses latérales du fluide.

Cette mamère d'envisager le phénomène de la résistance est si naturelle, que Dubuat Ta formellement indiquée au n^ 437 du tome II de ses Principes d^ Hydraulique^ et que les expériences subséquentes de M. Duchemin, consignées dans ses Mémoires (373) suC'Cessivement présentés à l'Académie des Sciences, Vont conduit à comparer, du moins pour le cas où le corps en repos reçoit le choc de l'eau en mouvement, les phénomènes d'accélération et de déviation présentés par les filets liquides, sur le pourtour entier du corps, à une contraction renversée, qui, dans le cas des prismes, prendrait, jusqu'à un certain point, les caractères du phénomène si connu des ajutages cylindriques ou tuyaux additionnels ^ adaptés aux orifices d'écoulement des vases (413 et Note). Mais, loin de poursuivre cette idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Duchemin s'est contenté d'en déduire, par une comparaison un peu forcée, par une sorte d'empirisme, la formule d'interpolation rapportée dans la Note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu'elle a de représenter les qu«tre résultats des expériences de Dubuat (ii3) vérifiées par celles de l'Auteur, nous paraît d'autant moins admissible en elle-même, que l'analogie sur laquelle elle se fonde n*aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu'il deviendrait alors nécessaire (414) de changer à la fois de principes et de formules. Or on arrive à des conséquences très-différentes, lorsqu'en adoptant sans résen'e l'idée ingâiieuse de Dubuat, on lui applique, comme on l'a indiqué ci-dessus, les belles théories de Bernoulli et de Borda.

[b). Hypothèses admises. — Dans cette application du théorème des forces vives, on suppose ordinairement que les pressions et les vitesses des molécules fluides sont égales, dans certaines régions où le mouvement est parallèle, comnte par exemple en amont aux points L, L', àe&Jîg. 53, 55, 80, etc. ^ PL IH, ce qui est évidemment ici permis, ou vers les points m et ;?, m' et n' qui appartiennent à la section contrttctée, pour laquelle la convergence des filets, au sortir du vase, devient la plus forte et l'hypothèse beaucoup moins évidente, bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (*) sur le choc des veines liquides, soit entre elles, soit contre l'ori-

(■) Annales de Chimie et de Phxsiqtœ, t. LY, i83.^.

DBS lÊMSTANCIS. 7^5

fice du tube manomélrique de Pi tôt (378), prouvent que Je fait est vrai dans le cas où de telles veines, sont produites par Fécoulement permanent d'un liquide au travers d'orifices circulaires, pratiqués dans les parois minces de réservoirs très-grands par rapport aux dimensions de ces orifices; et cela résulte aussi de la yérificàtion à posteriori des formules oblenoes dans cette hypothèse, pour la vitesse et la dépense de liquide, Mais, dans le cas qui nous occupe où une masse fluide indéfinie vient rencontrer un corps solide en repos, il ne paraît pas que la même hypo* thèse s(Nt permise ; tout porte à croire, au contraire, comme on le verra plus loin, que la vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus petite vers l'intérieur de la veine contractée en m et m\ qu'à l'extérieur en n et n\ où elles doivent être simplement égales à celles du milieu ambiant. D'un autre côté, en considérant ce qui se passe à une petite distance, en amont de Torifice d'écoulement, c'est-à-dire dans l'espace que l'on assimile à un véritable réservoir, on ne voit pas que l'on soit plus fondé à y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets, et dont l'excès sur celles qui ont lieu en aval du corps, détermine certainement Taccélération de vitesse reçue par le fluide en mn et m'n'.

Cependant, nous admettrons, dans l'application du principe des forces vives à ce mode d'écoulement, l'hypothèse ordinaire du parallélisme des tranches, ou des vitesses et des pressions moyennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales, par l'aire de ces tranches respectives, non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes, mais pour avoir des rapports, des relations qui, au moyen dé certains coefficients à déterminer par l'expérience, indiquent approximativement les lois du phénomène, ainsi que cela a lieu, par exemple, dans le cas des déversoirs, où le principe des forces vives conduit à des formules de cette espèce. Seulement il ne faudra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à l'égard des pressions, elle tend, quant aux vitesses, à diminuer l'expression de la somme des forces vives, d'une fraction numérique de sa valeur, qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et leurs directions respectives varient dans chacune des sections ou tranches planes à considérer.

Enfin, il est bon de le remarquer, cette manière d'envisager la question de la résistance des fluides ne diffère, au fond, de celle du n° 381, qu'en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement, au lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et, si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitesses individuelles, c'est afin d'arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses pertes de forces vives qui, dans le cas d'un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour l'entretenir à un même état de mouvement, travail dont la valeur est alors, en effet, clairement indiquée par le produit dont les facteurs sont : l'aire de la projection du corps sur un

plan perpendiculaire à la direction de sa vitesse, Texcès de la pression moyenne d'amont sur celle d'aval, et la distance uniformément parcourue dans chaque élément du temps ou dans chaque seconde. Mais quoiqu'on n'aperçoive plus aussi bien, dans le cas d*un corps en repos choqué par un fluide en mouvement, la relation entre les pertes de forces vives et le tn^vail moteur qui, en réalité, se trouve alors représenté par celui des pressions censées appliquées aux tranches extrêmes de la masse liquide, il n'en est pas moins évident, h priori, que l'un de ces cas peut être ramené à l'autre par la considération des mouvements relatifs; c'est pourquoi nous ne traiterons ici que la question du choc, sans nous préoccuper, en aucune manière, dans nos raisonnements, de celle qui concerne spécialement la résistance.

(c). Plan mince soumis au choc direct (V un fluide, — Ces préliminaires étant établis, considérons d'abord un plan mince CD (P/. Illyfig, 80), de surface A, et qui se trouve plongé, au repos, dans un fluide indéfini de densité /^, animé de la vitesse uniforme V, perpendiculaire à sa direction. Nommons :

A' l'aire de la section transversale du canal formé par les parois fictives LM, L'M ;

m le coefficient de la contraction effective éprouvée par les filets en ////z, m'n\ c'est-à-dire le rapport de l'aire de leur section transversale, à celle A'— A, de Torifice annulaire du réservoir;

W la vitesse moyenne du fluide dans la section contractée mn^ m'n% dont l'aire est m (A'— A);

n le facteur numérique, supérieur à l'unité, par lequel doit être multipliée la vitesse W, pour redonner la somme des forces vives effectives dans ces mêmes sections ;

P et P' les pressions moyennes, par unité de surface, qui ont lieu en amont et en aval du plan CD ;

Q enfin le volume et M = p - la masse du fluide qui, dans l'unité de

temps, s'écoule uniformément par chacune des sections transversales A' et m ( A'— A) :

on aura, en appliquant le principe des forces vives à la question, comme on le fait ordinairement dans l'hydraulique, et sans s'inquiéter aucunement ici de la manière dont les pressions partielles se trouvent distribuées dans les tranches extrêmes A' et w(A'— A), en amont ou en aval du corps,

DBS EÉSISTANCE8. 727

d'où Ton tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la différence des pressions absolues supportées par le plan CD, sur Tétendue. A, de ses deux faces,

Mais, à cause de la continuité, ou parce qu'il doit s'écouler dans Tunité de temps, la même masse de fluide par la section contractée m (A'«-A), qu'il en afflue uniformément par la section d'amont A', on a aussi, dans l'hypothèsiK où ce fluide n'éprouverait qu'une variation de volume insensible, en passant de la pression P d'amonf^à la pression P' d'aval, dont la première est supérieure et la deuxième inférieure à la pression naturelle ou statique du milieu,

.(A'-A)W = A'V, W^^j^jV;

ce qui donne finalement

pour la valeur du coefficient k (382) de la formule R = X/> AH.

[d). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de V expérience. — Si Ton admet le résultat des recherches expérimentales de Dubuat, qui donnent ici (406), ^ = i,86 pourle coefficient de résistance des plans minces^ et A'= 6,46A pour la limite (418) au delà de laquelle le fluide ambiant cesse d'exercer de l'influence, on déduira de l'expression ci -dessus de A-,

^fj^^rzi^^ = 0,4895, - = 0,700:

on satisfera à cette condition particulière en prenant, par exemple, le coefficient de contraction m = 0,75, comme le donne Texpérience, dans le cas où la contraction est ^ulle sur trois faces, et /i = 1,0714, /t'= 1,1 49 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que Thypothèse d'une vitesse moyenne pourrait avoir ici d'inexact.

La relation A'=: 6, 46 A, admise par Dubuat, pour le cas des prismes entièrement plongés (Principes d'Hydraulique y t. Il, n*'58i ), suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu'à une distance du corps, égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais, si d'après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à o,5 (392), ce qui revient à prendre k'= ^k. seulement, on trouverait m = 0,7884/1 et il faudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que

728 HÉCàflIQUI IHDUSTMISLLB.

l'unité, et partant inadmissible. Il ne paraît donc pas que Ton puisse supposer A' de beaucoup inférieur à 6,46 A, pour le cas des plans minces choqués directement par un fluide.

D'un autre côté, on voit, par l'expression générale ci-dessus de X-, que si, comme le voulait Dubual (407 et 413), la déviation se fait réellement de plus loin pour les corps en mouvement dans un fluide en repos, le rapport de A' à A' — A venant à diminuer, il en sera de même de la résistance; ce qui s'accorde avec le résultat des expériences de cet Auteur ^ confirmées depuis par celle de M. Duchemin.

.Par exemple, il suffira de supposer A'= 12A, pour retomber ^à très-peu près, sur la valeur X- = i,433Mlonnée par les expériences de Ddbuat (405) dans le cas dont il s'agit. On interpréterait plus facilement encore ce résultat, en supposant que la contraction latérale des filets diminue dans ce même cas des fluides en repos, ou que le coefficient m, qui entre au carré dans l'expression de X-, y augmente d'une très-pelite quantité, par exemple devienne 0,81 ou 0,82; mais alors, comme on va le voir^ on tomberait dans d'autres difficultés concernant le cas des surfaces convexes, et Ton ne pourrait expliquer aussi bien la diminution de leur résistance, à moins de prendre le facteur n beaucoup plus près de Tunité; ce qui ferait diminuer en même temps m pour le cas des fluides en mouvement ; nous continuerons donc à raisonner dans l'hypothèse avancée par Dubuat, sans nier toutefois qne le facteur numérique n^ ne s'approche un peu plus de l'unité que nous ne l'avons supposé précédemment.

La formule ckdessus montre d'ailleurs avec quelle rapidité la résistance tendrait à croître si, au lieu d'être indéfini, le fluide se trouvait limité par des parois solides plus rapprochées du plan CD qu'on ne vient de le supposer pour les parois LM et L'M': elle inrlique même que cette résistance deviendrait infinie pour A'= A; ce qui s'explique en considérant qu'alors la pression continue, éprouvée par le corps, se changerait en un choc vif produit par la colonne fluide indéfinie, comprise, en lunont, entre les parois solides dont il s'agit.

(e). Surfaces minces connexes ou concaves» — Supposons maintenant qu'on substitue au pian mince CD une surface convexe [PLIIIy fiç, 53), continue ou polygonale, mais assez peu allongée dans le sens du mouvement, pour n'être point sensiblement en prise aux effets du frottement, la contraction latérale sera diminuée et son coefficient m augmenté, sans qu'il soit nécessaire d'apporter aucun autre changement à l'expression de X-, donnée (c) par le principe des forces vives et dans laquelle A deviendra Taire de la projection de cette surface sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, puisque les pressions normales et élémentaires supportées par le corps, doivent être estimées dans le sens même de ce mouvement, conune le sont, de leur coté, les pressions moyennes P et P'. En particulier, si cette surface possède la forme la plus avanta-

DES RfiSISTAlfCBS. 729

geuse possible, et qu*on adopte les valeurs /i*= i,i49, A'= 6,46 A, déjà admises ci-dessus, la formule donnera, à cause de m = i^ le coefficient il- = 0,61 pour le cas où le fluide seul est en mouvement; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur les sphères, mentionnées au n^ 426; mais on doit considérer qu'il s'agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos, et pour lesquelles par conséquent l'aire k! a du être augmentée, indépendamment de l'influence, assez faible d'ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

Enfin, il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces concaves où le coefficient m, de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0,6 ou 0,66, conformément à ce qu'on sait des expériences de Borda et de Venturi sur l'écoulement par les tubes rentrants, le coefficient /- de la résistance pourrait aussi s'élever de i,3 à 1 ,6 fois celui des plans minces ; valeurs qui ne sont nullement en contradiction avec les effets observés dans ces circonstances (408 et suiv.)*

(f). Prismes droits soumis au choc direct d'un fluide, — Passant au cas des corps prismatiques (P/. 111^ fig. 55) dont la longueur L, étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM, L'M', il devient permis de supposer que les filets soient redevenus parallèles vers les extrémités postérieures de ces prismes, après avoir perdu, parle choc ou les tourbillonnements, l'excès de la vitesse W, qu'ils possédaient en m/z, m'n\ sur celle qu'ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps, et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense, /l'U étant cette même vitesse augmentée (^) de manière à reproduire la force vive effective des filets, comme nous l'avons admis précédemment (c) pour /zW et la section contractée. Nommant, de plus, C et C les contours ou périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous supposerons soumis, sur toutes ses faces, de la part du prisme ou du fluide ambiant, à un frottement représenté approximativement par la formule - ^CU^ pour le

premier, et par la formule - 6C'(U— V)' pour le deuxième, en po-

saut, d'après la Note de la page 594, b = o,ooo,36^ = o,oo35, ou ^ = o,ooo32g'= o,oo3i, et négligeant le terme relatif à la simple vitesse; admettant d'ailleurs, comme on le fait ordinairement et comme nous le justifierons plus loin, que l'excès de la vitesse /iW sur la vitesse ix'U, donne lieu à une perte de force vive mesurée par l'expression M(nW— /l'U)' relative toujours à la masse M de fluide écoulée, pendant l'unité de temps, dans chacune des sections A', A'— A, m (A'— A), (gi

7^0 HÊCAlflQUK INDUSTRIELLE.

arrivera, par l'application du principe des forces vives au cas actuel, «t en conservant toutes les notations précédemment admises (c), à l'équation fondamentale

M/i'»U»-MV'4-M(/iW--«'U)'4-aMj^[c + C'ri-py]u»

de laquelle on tire sans difficulté, à cause des relations de continuité

en posant, pour abréger, le facteur numérique

^ représentant lui-même ce qu'on nomme improprement le coefficient de la contraction, dans le cas des ajutages ou tuyaux additionnels trèscourts, mais coulant à gueiUe-bée^ puisqu'il porte ici, plus spécialement, sur la réduction éprouvée par la vitesse de sortie U, en raison des tourbillonnements et des résistances intérieurs.

Nota, Les résultats auxquels on arrive pour fA et U, dans le cas des tuyaux d'écoulement ordinaires, s'accordent, comme on sait, d'une manière très-satisfaisante avec ceux de l'expérience, pourvu que la longueur de ces tuyaux soit aii moins triple de leur diamètre; mais cela n'a plus lieu dans le cas contraire, où le coefficient fA suit, par rapport à cette longueur, la marche rapidement décroissante, indiquée dans la Note du n^ 413, ce qui parait tenir essentiellement à ce que la vitesse moyenne U, supposée, dans le calcul, égale à mW, en diffère alors d'autant plus que l'extrémité du tuyau où elle se mesure, est elle-même plus voisine de la section contractée, à partir de laquelle, en effet, la veine va en s'épanouissant et prend des sections vives très-distinctes de celle de ce tuyau, et qu*il serait probablement plus exact de lui substituer dans l'application du principe des forces vives. Mais, au lieu d'introduire de pareilles modifications dans les formules, où il reste encore les inderminées n et n' qu'on pourrait supposer égales à la valeur 1,07, déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préférable de substituer à p, dans ces formules, les nombres tels que les donne le résultat des expériences de Michelotti, sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs; ce qui montrera, tout au moins, que ces'mèmes for-

DBS RfiSlSTANCES. ^Sl

nies marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance â prismes.

(g'). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de Vexpéfnce. — Considérant d'abord le cas où le prisme étant en repos et sa Dgueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite, les ;périences de Dubuat (413) assignent au coefficient de la résistance la leur minimum X- = i,3i^3, tandis que celle du coefficient fi des courts otages atteint, d'après les expériences de Michelotti, le maximum de sienne /x = 0,82, il en résulte que l'expression analytique ci-dessus \ /-, ne pourrait s'accorder avec l'expérience, qu'autant qu'on aurait

= ^/i -f- /■ = 0,82 v/2,323 = 1,25 ou A' = 5A,

>i se rapprocherait davantage encore de celle A'= 4 A qui a été mesurée Irectement par M. Duchemin, dans le cas des prismes en repos, si l'on ttribuait à p une icaleur un peu plus grande que 0,82, comme il paraît aturel de le faire, puisque les contractions intérieures sont ici réellement n peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

Maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de A-, douées par la formule du précédent article, à partir du plan mince, suivront rès-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Kibuat, tandis que, pour des longueurs de prismes supérieures au triple e la largeur, les vaJeurs de k iront continuellement en augmentant, omme celles de ft, à cause du frottement latéral. Néanmoins, dans les Bleuis relatifs aux prismes très-courts, il deviendrait indispensable d'avoir gard à la condition qui rend A'= 6,46 A et |x == m = 0,75 pour les plans linces, etc., et il ne s'agit ici, je le répète, que de l'interprétation généàle du phénomène de la résistance au moyen des formules déduites du rincipe des forces vives.

A regard des prismes de longueur moyenne, en mouvement dans un bide en repos, il y a tout lieu d'adopter la valeur A'= 6,46 A, telle que a obtenue Dubuat pour un cas analogue, et alors on trouve