AE

autre produit iALE/'= - \—\ d'oii il résulte que l'exci'N

«'-îL^'-fo-rc')'-

de la première de ces quantités, qui appartient à la puissan'^e, sur la seconde qui correspond à la résistance, mesure, dans nos hvpoihèses, le travail employé à vaincre l'ineriie de b

»iS ASSISTANCES. 4^'

isse M ou -^ du poids Q. Donc , en vertu du principe du 136, on devra avoir régalilé

^ laquelle il est facile de lirer la valeur de la viiesse V, reia* be à chacun des allongements /, supposés donnés. On la mettra sous une forme un peu plus simple» en remarjant que, si Ton a déjà calculé, d*après ce qui est e\pi)sé à

tin du précédent article, rallongement /' ou y > correspon-

int à l'instant où la vitesse acquise est la plus grande, et qui >tla moitié de rallongement maximum ou final, il sera inutile

p calculer, sur de nouveaux frais, la ({uantité ^-|— qui entre ans celte équation. Car, puisqu'on a

Q = AE/ =: AEî-5 on aura aussi -p- — J; ]

equi permettra de supprimer le facteur Q, devenu commun lous ses termes, de sorte qu'elle deviendr.'^ simplement

-=/(2--^^) ou V'=^(2/'-/)/;

yii Ton tire, par l'extraction de la racine carrée, et en pont pour simplifier,

A, racine carrée du rapport entre deux longueurs, g et esl un simple nombre ou coefficient facile à calculer, et

-2^1' — 1)1 est la moyenne proportionnelle entre les longueurs ' — / et /. qu'on pourra également calculer ou construire onuHriquement quand on se sera donné / à priori ; donc, ?n ne sera plus simple que de se représenter la loi qui lie s allongements variables, /, du prisme, avec les vitesses

4^4 MÉCANIQUE INDUSTBIELLB.

correspondantes, V, de la charge Q, suspendue à son extrémité inférieure.

314. Représentation des lois de ce mouvement par des formules ou constructions géométriques. Expression de la vitesse. — Soit AB {PI. Il^Jîg. 5i), la longueur de la tige donl il s*agit; BC son allongement de stabilité» V, sous la charge Q ; BD = 2BC n= 2/' son allongement maximum sous la vitesse acquise par cette charge (312); enfln Bm, rallongement K qu'elle a pris n l'instant où la vitesse est V; il résulte , de ce qui précède, que, si, sur BD-=r2/', comme diamètre» on décrit un demi-cercle, il rencontrera l'horizontale menée par m, en un* point «, tel qu'on aura

\/mJ).mB = V T^iT^wTf jmB = v'(2/' — /)7,

et par conséquent

V = k,mn.

Rapport des espaces aux temps élémentaires. — Supposanl que mm' représente l'allongement infmiment petit, reçu par mB ou /, pendant le temps élémentaire, /, on aura aussi (1^ et 133)

\ —/HHL. , l^^nin; d'où . — ,

/ K.mn

(^.ello dernière expressiort indiquant que le temps croît proportionnellemonl au rapport do mm' à mn, on en déduira un résullal encore plus simple, en observant que mm' e>t épalà la perpondiruilaire ou verticale np, abaissée de /?, sur l'ordonnée m' ti', du cercle, infiniment voisine de mn. Car, si l'on mène le r.i\on (]/7 ^1- /' qui est perj)endiculaire à l'extrémité w, de l'arc Inliniment petit, nn\ de ce cercle, on aura, parles triangles, rectangles et semblables, nn'p, Cmn, à cause que leurs col('*s sont respeclivenient perpendiculaires,

np mm' nn' nn'

ou - -rr^^T- -.,\

mm' . ,. . mm'

mn mu C/i /

ce qui donn(» lacilement

nn' nn' , ,,

/ II- 7— - 1 ou hl y

li.l t

el prouve, aliendu que kl' = l' yjr^^ V S^' ^^^ ""^ quaniiié

constante pour toutes les positions de l'extrémité R : i"* que les accroissements infiniment petits, /, du temps sont protionnels aux accroissements /i/i', de Tare Bn qui correspond à l'espace B/n=:/, déjà décrit, par le point d'application de la charge Q, à Tinstani où la vitesse est V; 2" que la vitesse de

circulation (48), du point n, sur le cercle auquel il appartient, est ici constante et égale à /r/', de sorte que son mouvement est rigoureusement uniforme, encore bi«n que celui du point m, auquel il correspond à chaque instant, varie sans cesse.

Expression géométrique du temps, — Nommant donc T le nombre des secondes écoulées depuis l'origine du mouvement, où m était en B, on aura, pour calculer T, la formule

^ arcB/i

OU, ce qui est la même chose, on aura, pour calculer l'arc Bn ety par suite, Bm ou /,

arcB/i = Â7'T.

Formules trigonométriques. — Ordinairement on nomme, dans le cercle dont le rayon BC, ou Cn, serait pris pour l'unité : mn le sinus d'un arc tel que B/t, qui est aussi la mesure de l'angle au centre correspondant BCw, Bm son sinus-verse, et Cm son cosinus. En adoptant ce langage des géomètres, et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui sous-tendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, aussi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants, on aura donc

• I i>n arcB» jrj.

angle BCn = ur - r ~ '*^'

Bm ou 1 = 1' sin. vers. BCn ^= l' sin.vers.A T,

Ou bien

/ = BC — Cm = /' - /' COS.* T=:= /' (i - cos./fT).

4^6 MÉCANIQUE IMDUSTRIELLK.

Ces formules, après y avoir subsUlué les valeurs de it ei de /', d'après le n*» 313, permeilroni de calculer, au mo\« des Tables trigonométnques connues, celles des allongemeois /, qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés; ce qui, avec la formule

V = /i . nin :r=: /r . /. sin A"T,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de découvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de b charge Q, ou de son point d'ailache, B.

313. Principales circonstances du mouvement oscillatoin des prismes. — Pour en acquérir une idée précise, il faotf remarquer que le point m {PL II, Jig, 5i), une fois parveoi en 1), rétrogradera ensuite, tandis que le temps T, qui devient alors é^al à

arcB/iD izl' t, /U__ /J

QL

r, étant le rapport Z,\^\ù de la circonférence au diamèlre, croîtra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, B/iD.r, comptés toujours dans le même sens, à partir dv point B, qui pourront embrasser plusieurs demi-circoiif»^ renccvs ou circonférences entières, et au\(|uelscorrespoiidron! des vitesses constamment proportionnelles aux ordonnées.oa sinus mn, xy, de leurs extrémités, et des allongements cgal^ ment proportionnels aux abscisses .ou sinus-verses Bw, Br. relatifs à ces arrs respectifs.

On voit d'ailhMirs que, quand le point j ou jraura allcinlE. ce qui arrivera au bout d'un temps mesuré par la ciicimlerence entière BwDorB, divisée par la longueur /r./', c'est-àdire au bout d'un nombre de secondes égal à

II' ^ •/ QL

et, par conséquent, double de celui de la demi-périoije de?rondante, les mêmes choses reviendront régulièrement, daiB le même ordre, et ainsi alternativement et indénnimenl.Tou-

DBS RÉSISTANCES. 4*^7

>is on suppose ici que l'élasticité demeure parfaite, et Ton égard ni à la résistance opposée par Fair» ni aux ébranlenis, aux mouvements vibratoires qui, en se transmettant à masse du point d'attache, A, par l'intermédiaire des molées de la tige de suspension AB, détruisent ainsi coniinuellent des portions de plus en plus sensibles de la force vive miiivement acquise dans la demi-oscillation descendante de :harge Q, et finissent, comme l'expérience le démontre, par luire le prisme au repos, en très-peu de temps. émplitudcy durée y nombre et vitesse moyenne des oscilla' ns. — Le plus grand allongement, 2/', subi par le prisnie lis ses mouvements altei^natifs, n'est ici autre chose que ce 'on nomme, en général, l'amplitude des oscillations de la arge ou de son point d'application, B, et, par conséquent, llongement permanent, /' ( 310], qui aurait lieu sous l'action celle charge, n'est lui-même que la demi-amplitude de s oscillations, ou ce qu'on peut nommer l'amplitude des cursions de cette charge, de part et d'autre de sa position ovenne de stabilité, C. Donc, d'après ce qui précède, la durée *s oscillations entières du prisnie est proportionnelle à la rU" ne carrée du rapport de cette dernière à la vitesse, g, que la nvité imprime aux corps en chaque lieu (117). Quant au *mbre de ces oscillations, de ces retours de la charge à une hue position, pendant la durée d'une seconde sexagésimale, valeur que nous nommons, en général, N, sera évidemment nnée par la formule

N = ll = ± = -i-i/4=:-i-i/^;

271 271 27:V /' 27:V. Ql-

sorie que ce nombre croîtra précisément dans le rapport er>e de celui qui précède, ou, pour nous énoncer d'une maire plus explicite : il croîtra directement comme la racine •rée de la résistance élastique naturelle, AE, du prisme , et ersement comme la racine carrée du produit , QL, de sa \gueur, par la charge qui lui est constamment appliquée. ilnliii, la vitesse moyenne des oscillations de cette charge nt ici égale(W)au quolientdu double de leur amplitude, 2 A',

^tB aftCAinQDi imtmMtLu.

par leur durée, ou au produit de J^P, ptr le nombre N, celle vitesse sera également fournie par Texprenloii ^

aTT ~" TT ""tt^*' ""îrV Al"'

toujours dans l'hypothèse où rélastieité demeurerait parfiiitei et où le mouvement se conserverait, luUmdme, indéflaimeai et sans perte. Hais nous verrons par h suite qae ces diveis résultats sont Indépendants de cette derai&re cireonsiance» oi du décroissement plus ou moins rapide de la vitesse effeclln et de l'amplitude des oscillations. *

Noiions directes sur la nature du mouvement» — On se foh mera une idée très-claire du mouvement oscillatoire, poof ainsi dire théorique, dont nous nous sommes jusqu'ici œ* cupé, si Ton imagine que le point ji, dont Textrémité infi^ rieure du prisme représente, & chaque instant^ la prajecdoi sur le diamètre vertical, BD, du cercle, BmDjpB {PLIl,Jtg.Si], chemine d'un mouvement rigoureusement uniforme, et avec

une vitesse mesurée (323) par kl' = ^gPf sur le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait l'extrémité de raiguille d*une montre, h mesure, la marche régulière du temps. Le système d'une imnivelle qui se meut circulairement et uniformément autour d'un axe sur lequel elle est implantée, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par l'intermédiaire d'une longue bielle, ottre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, à priori, une notion géométrique également précise, en construisant la courbe qui a pour abseisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses correspondants (314), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu'on nomme sinusoïdes.

316. Recherches de la force motrice variable qui sollicite le prisme pendant le mouvement. — Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire des prismes, dans le cas élémentaire qui nous occupe, il est nécessaire de monircr

DES BÊSISTANCE8. 4^9

comment on peut obtenir et calculer direclemeni les ctlorlsqui s'exercent réellemcnl à leur extrémité inférieure B {PL II, fis* ^0> pendant la durée de chacune des périodes d'oscillation de la charge Q, elToris qui sonl dus, évidemment (130 et suivants), à l'excès du poids de celle charge sur la force d'iner-

Ue 9 à tous les instants où il y a accélération de mou-

g ^ vementy et à l'excès contraire de celle-ci sur le môme poids,

lorsqu'il y a simple ralentissement.

En nommant P, TelTorl dont il s'agit, et que nous savons déjà (312) être égal à Q, aux instants où l'oscillation commence et finit, et devenir précisément nul quand Textrémité B est arrivée au milieu, C, de sa course, BD, nous aurons, en particulier, pour calculer P, dans toute la partie BC de Toscillation descendante où le mouvement s'accélère, et plus spécialement pour la position m de B,

P = Q-Qi'.

Mais, comme nous savons aussi Càik) que le temps inliniment peut, /, est mesure par le rapport -j-n-» et que la vitesse V,

ni

lie la charge supposée parvenue en m, est mesurée par le produit k.mn, ou son accroissement v, par /r./i'/;, il en résulte immédiatement

t nn' ^ nn' ^ Cn V

attendu que /»*==-- ^,(313), et que les triangles, semblables et

rectangles, nn'p, wC/i, donnent n'pmn' ::Cm:Cn=z l\ DonCy enfin, la force cherchée,

« /x r. Cm r^//' — C/«\ ^ mB / ^

P = Q — Q.-^ = Q(^ — j-, — j^Q. ^, ^jrQ,

Ou bien, en adoptant (31!^) les notions de la Trigonométrie,

P = Q(i — cosAT) = Q — Q.cosAT;

43o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

ce qui prouve que rintensiié de celte force suit la même loi de pcriodicilé que les allongements mêmes du prisme, fall que nous eussions pu considérer comme évident à priori, puisque ces allongements doivent, d'après nos hypothèses, demeurer exactement proportionnels aux efforts qui les produisent.

£n effet, si on continue ici à nommer r, rallongement proportionnel ou par mètre que subissent les divers éléments du prisme, sous Taction variable de P, allongement qui, dans dos hypothèses encore (312 cl 313), est le même pour tous, à un ' instant donné, et ne dépend uniquement que de rintensitp de P, on aura, pour le déterminer,

/ = j- = y (i — cos/rT);

ce qui donne immédiatement

P=rAEi=^^'(i~cos/rT) = Q(i-cos/.T;,

attendu qu'ici (313) QL = AE/'; mais nous avons été bien aise de montrer comment on pouvait arrivera cette expression par la voie directe.

Ces résultais penneltent d'ailleurs de calculer et de disculer, à priori, les diverses valeurs que prennent P et / aux insiaoïs successivement écoulés depuis l'origine du mouvement; mais celte discussion est trop facile pour qu'il devieunc nécessaire de s'y arrêter. Nous ferons seulement remarquer que res\aleurs oscillent périodiquement autour de leurs moyennes re>pectives, en changeant de sens ou de ^/g-n^, absolument comra« le fait, lui-même, rallongement, /ou //iB, du prisme, aux divers instants du mouvement (314^).

317. application à un exemple particulier, — Considerafil notamment la barre de fer mentionnée au n" 310, et pour laquelle on a

L — lo'", A = o'"*ï,oo25, Qiii-ioooo^S

on trouvera, en vertu des formules exposées dans les trois précédents numéros, où l'on suppose la charge Q, simplement

DES RÊSISTAICCGS. 4^^

pendue à l'extrémité inférieure de la tige AB» sans vitesse érieurement acquise :

* Pour l'allongement de stabilité, T, lequel se rapporte à un iple effort agissant sans vitesse appréciable,

Q laooo

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