XII
ou i34 environ par seconde» le nombre des demi-oscillation étant lui-même porté à 267 ,48» dans le même temps. '
Lois du mouvement oscillatoire des prismes dans le cm où la charge pouède une vitesse initiale.
318. Données fondamentales de la question. — Dans ceqri précède, nous avons supposé que la charge Q était poiée i l'extrémité du prisme AB {PL Ilffig. 5i), avec beaucoup ëe douceur ou sans vitesse acquise; mais, s'il en était autremeal, il est évident que l'étendue des excursions ou des oscillatioos du poids Q, serait augmentée, de sorte que l'élasticité n* turelle pourrait être forcée. Afin de s'en assurer directeoieaii il faudra être en état (312) de calculer le plus grand alloog^ ment subi, par ce prisme, à l'instant où la vitesse de la ch»|B se trouvera éteinte dans la première période du mouvemeoL
Équation du maximum d* allongement. — Pour l'obtenir, fl suffira d'exprimer, toujours d'après le principe du n"* 136, que
la moitié de la force vive Initiale, possédée par la masse -de
la charge, augmentée de la quantité de travail Q.ILquicoh respond (312) à la descente de son poids Q, de la bauteiv L' = IL, relative à ce plus grand allongement, e*st précisémeat égale à la quantité de travail \ ALEP, développée, en sens contraire (247), par la force élastique du prisme, ou que
V. étant la vitesse initiale dont il s'agit. Cette relation, comme on voit, permettra toujours de cil-
;u1er I ou IL, par les niolliodes ronnues, quand on se sera lonné les diverses autres quanlilés qui y cnlrcnl; mais on > parviendra plus dircclemenl en remarquant que, si la limite réiasticilé ne se trouve efTectivèment pas dépassée, la churge, iprès avoir atteint sa position extrême ou la plus basse D', •evîendra en arrière, pour exécuter une série d'oscillations entièrement semblables à celles qui ont été considérées dans le cas précédent, et qui seront d'ailleurs assujetties à la même loi, si ce n'est que l'étendue CD' ou CB' des excursions du point d'application B, de cette charge, de part et d'autre du point C, qui en demeurera le milieu ou centre, se trouvera augmentée.
Considérations géométriques. — Sans recommencer la série des raisonnements et des démonstrations relatives au cas particulier où la vitesse initiale Vi est nulle, on peut remarquer qu'on a toujours (312), pour déterminer l'allongement HC ou l\ à l'instant où la plus grande vitesse est acquise, la relation
Q = AEr, qui donne BC ou rz=i'L=%j
AL
même valeur que ci-devant. Et, comme l'horizontale ou ordonnée EN, correspondante à B, dans le cerchî B'ND', qui donne la loi du nouveau mouvement, doit avoir, avec la vitesse \^ la relation déjà trouvée (323)
V,==A.BN,
k ayant une valeur indépendante de V, et toujours égale a \/p = v fïf~» ^" ^^*^ qu'après avoir pris BC = /', d'après
ce qui est indiqué ci-dessus, et BN - -.-', il ne restera qu'à
décrire, du point C, comme centre, avec CN pour ravon, une circonférence de cercle coupant AB, prolongée, aux points B' et D', pour être en état de calculer et de discuter toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui nous
Occupe.
Allongement maximum. — D'après ces données, on aura
434 MfiCANIQUB INDUSTRIELLE.
immédiatement, pour calculer le plus grand allongemeDt, IL, la formule
Vï
BU : :BC4-CD' = /'4-CNz=/'4-v/B(:»-+-BN»=r4-v//Vjt
qui, on remplaçant /' et /' par leuris valeurs ci-dessus, prend la forme plus générale
BIV ou lLr=r!^-h
Q'L' , QL
sous laquelle rel allongement eût été obtenu directement,» résolvant l'équation ri-dessus, du deuxième degré, par rapport n IL. On a donc aussi, pour le plus grand allongement prop(» tionnel,
AE
Q Vf
AEg^L
Ejfori qui correspomi ù rallongement maximum. — L'rffort r« qui serait capable de produire et de maintenir, d'uM maniore statique ou permanente (312), le plus grand allongement du prisme* étant mesuré (i36}, par le produit AEI, eo dooà de la limite où IVlasticité cesse de demeurer parfaite. B en rt^ulio que Ton aura, en outre, pour calculer cet elTori,
1>: 0-y 0>-OAEl==Q-Qy'.^^:
de sorte que Teves «ie cot etTv^ri sur celui de la charge 0, aui>si
bien que Tv^x >*> d'jIK n^-^m«i»nt % ^ — -tt» subi par le prisme
>v^u< rînf'.io: - 0 * .: ui;u • ornent a :quis. croîtront, l'un ^l Tauire, | ,ï>- .* *ji <r,îr .ît^;ir .:-; !j \:tr>>^ [r.îlùle. V , mais croîtront d*ufle m4:îïer-o vî^viuri ; 'us îetiie ou rjoins sensible que la longueur -^^k'-v.t\ l. Jf v-^ rr^sr.^v sfri. ■*!!-?-méme. plus considérable.
K;'v v:^ >:'-j v*.:> O.-iV' fill'T^ur? que de s'assurer, dans ;'* JE .;,:;* ;j<, i : :v \x-'** .v' •-;■< ii^-erer.îr'-s r^miules. si la liiniw ■ :^\«>; ' :; : ; rj> t.:f^ j;:-,: :■» :u er.tieremeni dépassée.
'.' , :. .'T xt.-^-^-' ziLf, — Prvriint poar exemple les doD-
lées du n** 317» où l*on a
/'=:0'",002, h^ = ^' ^ =4qo4,5,
>n trouvera, en supposant seulement la vitesse initiale de la :harge, Vi r= o"*,2o, par seconde,
/'»=:o,ooooo4, ~fi = — -^-ô =0,0000001 5,
el, pour le plus grand allongement subi par le prisme.
Biy=o",oo2 -h v'^0,000012 i5=:o"*,oo2 -r o"',oo35 = o'",oo55;
-ce qui répond, attendu qu'ici L:=io", à un allongement proportionnel ou par mètre, I, de -,-.-o«,oo55 =-: o"», 000 55, sous lequel l'élasticité serait, en effet, sensiblement altérée (293P) pour certains fers, quoique ici la charge soit seulement de 4 kilogrammes par millimètre carré (310), et que la vitesse initiale V, =0™, 2, corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine o'",oo2 ou 2 millimètres.
On trouvera dé même, pour Teffort P, qui serait capable de produire ce plus grand allongement,
P = AEI = Sooooooo'^'X 0,000 55 = 57500^*,
iionl l'excès, 17600 kilogrammes sur le poids Q = 10000 kilogrammes, de la charge, représente proprement la part qui doit être attribuée à l'influence do Tinertie ou du mouvement acquis par cette charge.
Maximum de contraction. — Revenons à nos premières ^considérations, et remarquons que la partie BB' de l'oscillatfon €n retour ou ascendante, de l'extrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse où la charge Q lui serait invariablement attachée, à un véritable accourcissement, i une véritable contraction subis par ce prisme, et pourra à son tour être calculée par la formule
bb: = b'c-bc = cn— /'==\//'^-h^-/',
qui, dans le cas parliculîer ci-dessus, donnera simplement
BB' = o™, oo35 — o", 002 = o", 001 5,
ou un accourcissemeni de o", 0001 5 par mèlre de longueur seulement. Mais nous reviendrons, d'une manière ptus.particulicre sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul» quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles de la question.
Énoncé et forme particulière des résultats, — Les formules qui précèdent sont susceptibles d'un énoncé très-sinople en
langage ordinaire; car si Ton observe (313) que A*=-§>eisi
Ton nomme H, la hauteur —^ due à la vitesse V,, il en résul-
tera, par exemple, pour le plus grand allongement que subii Ift prisme, sous l'influence de cette vitesse,
BD'=:/'-4- \JV'
-h2^H. - = /'-+- v^/'(/'-f.aH.);
ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de I allongemem de stabilité, /', relative à la charge Q, d'une quantité égale à la moyenne proportionnelle entre /' et sa valeur augmenlée du double de H, : moyenne qui donne afnsi la mesure direcie de rinfluence evercéc par Tinertic ou le mouvement de Q.
319. Formules relatives aux diverses circonstances du mouvement oscillatoire de la charge. — Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on l'a feil dans les précédents numéros , on nommera en général, afin d'abréger, r la demi-amplitude, ou le rayon CNr=CB' = Q)' {PL II, f g. 5i), du nouveau cercle, et T' le temps que, dans ses oscillations périodiques, l'extrémité B de la tige met à parcourir l'intervalle BB'. Ce rayon et ce temps, qui sonl déterminés par les relations de la figure, se calculeront di^ecl^ nient au moven des formules
Ir
arcB^N angleB^CN kr - k '
dont la dernière suppose qu'on ait préalablemoni calculé l'angle B'CN, à l'aide des Tables mentionnées au n"" 3U, ei
de l'une ou de l'autre des relations
BC ou /' =- rcosB'CN, BN -^--t sinB'CN,
qui donnent
cosB'CN ou- cos/rT'=:-, sinB'CN ou sin/.T'=^.
r kr
Expression du temps et des allongements variables. — Comme, en continuant de nommer T le temps que l'extrémilé inférieure de la tige met à décrire l'espace quelconque, B/ii = /, auquel correspond l'arc MN sur le cercle B'N D'B', on a pareillement
-, arcMN angleNCM .
T = — , = — ^ > ou angleNCM = /rT,
kr k °
H en résuliera, pour calculer à un instant donné cet espace qui représente rallongement total alors subi par le prisme, la formule
Bw ou /=::BC — Cm — /'-CM.cosB'CM
=r:/'-rcos/r(T-hr), puisqu'on a
angle B' CM -^ angle B'CN -4- angle NCM, et
angle B'CN = kT , angle NCM r-: kl.
Expression de la vitesse, — Quant à la vitesse dont la «barge est animée au point quelconque, m, on la calculera, soit directement, au moyen de la formule
V = *-.mM~/f v/mc'- mC =-. k sJT^^ (1' - ly ,
soit par les Tables trigonométriques, au moyen de la formule (*)
V=*-./iiM = /r.CM.sinB'CM = /rrsin/r(T-hT').
(') Od peut mettre, i>ous une forme |i1iis explicite, les expressions de V et
438 xécànique industrielle.
Enfin on aura toujours (316), pour calculer l'effort moteur variable, P» qui agit à Tcxtrémité inférieure, B, du prïmt^ ainsi que l'allongement proportionnel, i, qui en résulte, an divers instants du mouvement
formules dans lesquelles il faudra substituer à /la valeur déji obtenue ci-dessus.
Amplitude y durée et nombre des oscillations. — S*ils'a^ en particulier des oscillations entières exécutées par le prisme et sa charge, on observera que leur durée correspond ici encore (315) à un arc, NM, devenu égal à la circonférence entière ND'B'N — 2 Tir, à un angle, NCM, devenu égal à quatre droits et mesuré par 27: sur le cercle dont le rayon est l'unité, de sorte que celle durée et le nombre N des oscillations, par seconde, seront fournis par les formules
-T='V^"\/|fe- -T'=^vf-
«le /, ri par suîto colles do P ol de /, en développant les valeurs de mhA T-rT" el cosA(T -H T'), d'après les tormulos connues de la Trigonométrio ; t-ar on aura
V z^ // sin AT cosAT' -f- // cosX T sinAT' = //' sinÂT -+- V, cosAT,
/=/'— / cosArcosAT-+-/MnArsinAT=/' — /' cosAT-t- Il sin4T.
On trouv«'ra de même, pour calculer directement les valeurs de 1, au mujf» de celles de / et de V, la formule
OU bien
kr* ' ' ' ~ r« ' AV»
^'./rr— 777 — r. :/'-/),. „/'v (/'-/:V.^
sinAT=- V' *-(/'- n - —-^\=^
r- ^ Âr^ • r'A rk
tlans lesquelles on se rappellera d'ailleurs que
H' V * oi
DBS RÉSISTANCBS. 4^9
formules» qui coïncident avec celles du n"* 315, soni d'ails indépendantes de la vitesse initiale, Vi, imprimée à la 'ge Q, aussi bien que de Tampliiude B'D'=?.r, de ses Mations; par conséquent cette dernière peut décroître ou Tienler par des causes quelconques, sans que la nature du ivement en soit modifiée, tant que la charge, la tension élasticité naturelles du prisme ne seront point changées. n, il est évident, à prioriy qu'on iirriverait aux mêmes relis, si Ton considérait en général le temps nécessaire r que la charge ou l'extrémilé inférieure B du prisme nt à Tune quelconque des positions qu'elle peut successient occuper, par exemple à la position B' qu'elle avait dans l'oscillation précédente ; car ce temps serait toujours uré par la circonférence eniière, 27: r, du cercle B'MD'B', se par le produit k r,
M). Remarques et conséquences diverses. — L'accourcisent BB' (PL Il^fig, 5i), qui a été calculé à la fin du 18, et que subit le prisme dans le mouvement d'ascension a charge, à laquelle, par hypothèse, il est étroitement lié, iccourcissemeni étani généralement très-petit, par rapport llongement maximum BD',qui lui correspond dans chaque on voit qu'il sera inutile d'y avoir égard dans les questions Lives à la solidité des prismes; mais il n'en est pas moins î de remarquer qu'en vertu de la compression qui en rée, lors de ce mouvement de retour, le point d'attache sueur, A, du prisme, se trouvera lui-même pressé ou choqué ertu d'un elTort absolument analogue à celui qui le sollidans l'oscillation descendante et dans la partie BD' de ziliaiion contraire. Supposant d'ailleurs, qu'en raison de sa çueur (268, 280 et suiv.), le prisme ne puisse fléchir à >tantoii cet effort de compression atteint sa limite, on voit I sera facile de calculer l'intensité de ce dernier au moyen la formule P = AE/, qui s'applique aussi bien ( 236 ) à la traction des prismes qu'à leur extension, tant que l'élasti- ^ naturelle n'est pas forcée.
>n remarquera pareillement que, si la vitesse initiale, V,, >f)Oséc imprimée à la charge Q, dans la question du n° 318, lieu d'èire dirigée du haut vers le bas, l'était en sens con-
traire, les mêmes considérations géométriques et les mèines formules serviraient encore à faire trouver les lois du Inouv^ ment, pourvu toujours que la vitesse dont il s'agit, ou plottit TefTort maximum de compression qui en résulte, fût incapable de faire fléchir transversalement le prisme, puisqu*alors il surviendrait des soubresauts qui cesseraient d'être soumism lois indiquées par nos premières formules. Quant au cas où le prisme aurait une position renversée par rapport à son a|h pui A, la valeur de /', au lieu d'être portée de B en C, derrili l'être de B vers A ; ce qui rendrait BB' > BD', ou les accourcissements plus grands que les allongements relatifs au mouT^ ment de retour, et, par suite, la contraction et les inflexions plus dangereuses que les extensions, à l'inverse de ceqyî avaîl lieu dans les hypothèses précédentes.
Enfin, il est bien évident encore que, si, au lieu d'iniprimer une vitesse initiale à la charge Q, on eût simplomem fait subir au prisme, toujours lié Invariablement à c^ charge, un allongement primitif égal à BD', ou une contnc tion primitive mesurée par BB', et sans vitesse acquise, qu'ei- Suite on l'eut abandonné à la libre action du poids Q. liioi du mouvement, l'étendue des excursions et la durée des oscillations eussent été exactement les mêmes que dans le cas précédent (*).
(*) Soit iiolammcnt, P' ri'tt'orl qui, ajouto au ]><)icls Q i\v. la chai^o, a prj. initivcnu'ut alloii{;<' le i>risnH' do la quantité BD' = lU^ H- CD' =/'-+-/, ui» vilosse acquise, on aura évidemnient f234), si RI)' n'excèilc i>as ralloDi;«>nnt i*clatil' à la limito crélasticilv
•^-^ ^'^' 'âÎT^ L •
d'où l'on tiie, attendu que /'=-—,
At
