AE *' ' ~ AE ' I

ce qui fera connaître/, on le rayon CîS = (ID', et ]>artant la viU^so V, qui entre dans la première des équations du n° 310, laquelle «lonnera inimfJuleinenl

expression où I*' est supposé plus fjraud (juc Q, de même que r ou CD', J rtf

DES KÊSISTANCeS. 44'

D'ailleurs les choses se passeraient tout diffcremmeiil si la charge Q, au lieu d'ôtre solidemenl rix('*e à lexiréinité inrérieure du prisme, n*y était simplement retenue que par une saillie qui lui laissât la liberté de s'élever. £n etlet, cette charge, dans l'oscillation ascendante ou en retour, et à son passage par le point B (PI. II,Jig, 5i], qui correspond à l'état naturel du prisme, reprenant une vitesse égale et précisément contraire à la vitesse initiale, V|, tandis qu'au même instant l'elTort de réaction, la résistance élastique P de ce prisme devient nulle pour changer ensuite de sens ou de signe, il arriverait, dans cette circonstance, que le ])oids Q abandonnerait entièrement son support, et rejaillirait, en vertu de sa vitesse

acquise, Vi, jusqu'à la hauteur Hi — — ^» d'où il retomberait

en reprenant de nouveau la vitesse V, en B; de là aussi résulterait un choc vif qui donnerait lieu, comme on le verra bientôt, à une perte de force vive, et serait immédiatement suivi d'une oscillation du prisme , et ainsi de suite alternativement. Mais comme, en réalité, le mouvement des parties matérielles du prisme ne peut, à cause de l'inertie, ^'éteindre brusquement à chacun des instants où le poids Q vient à quitter son point d'appui inférieur, on voit que, pendant la montée de ce poids et sa descente de la hauteur H,, le prisme exécute des vibrations plus ou moins rapides qui entraînent avec elles une certaine dépense de force vive, et ne permettent ni de supposer que la vitesse de rejaillissement de Q soit égale à la vitesse primitive Vi, ni de déterminer ù prion\ du moins par un calcul facile, le lieu et l'époque où s'opérera chacun des chocs; question étrangère, au surplus, à l'objet des applications que nous avons ici en vue.

Quoi qu'il en soit, il ne faut pas oublier que les diverses circonstances du mouvement oscillatoire, jusqu'ici examinées, dérivent essentiellement de l'hvpothèse que les eilbrts de

Mipposé plui (rrand qut^ l' ou CJ), vt (|iii, par h.i substitution duiis les formules du numéro déjà cité, permettra (K* calculer toutes les circonstances du mou- Tpmcnt osciUiitoiro qui succède a l'instant où l'en'ort P \ient û ccsst^r, abso- Jument comme si l'un s'était d(»nné, à priori, la valeur de la vitesse initiale V,, corrtwpondtnte à ta position B du poids Q.

réaction du prisme demeurent exactement proportionnels aux allongements il, qu*il subit pour les positions correspondantes de son extrémité inférieure B. Or il est bien clair que ces mêmes circonstances se reproduiront toutes les fois que la force qui tend à ramener un corps matériel quelconque vers la position naturelle d'équilibre, dont il aurait été primitivement dérangé, sera soumise à une semblable loi, par rapport à la grandeur relative du déplacement que subit son point d'application; et, en particulier, les lois du mouvement oscillatoire, qui nous ont jusqu'ici occupé, sont aussi, pour de trèspetits déplacements des molécules, celles qui régissent le mouvement dont il a été parlé au n*" 226, et auquel nous eussions pu dès lors appliquer les divers calculs et consid(^ rations qui précèdent, si nous n'avions craint de délounier trop longtemps Tallention du lecteur et de faire un double emploi.

321. Lois du mouvement des points intermédiaires du prisme {PI. Il, Jig. 5i). — Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupé des circonstances que présente le meuvemenf de l'extrémité inférieure B du prisme, qui est directement soumise à l'action de la, charge Q; mais il est facile de voir que celles de divers autres points de ce prisme, tels que h, par exemple, se déduiront sur-le-champ de cette considéralion très-simple, conséquence nécessaire de nos premières hypothèses (313), que : les allongements, en chacun Je ces points, demeurent, à tous les instants, proportionnels à leur distance A 6 de Vext rémité A, toujours supposée fixe.

Nommant, en effel, z l'allongement absolu que subil, à la fin du temps T, la partie A 6 de la tige, dont l'étendue sera représentée par la lettre x, et soit pareillement v la vitesse acquise par le point b, au même instant, on aura simplemeni

A6 X kh X

pour calculer ;: cl v, au moyen des valeurs correspondantes/ et V, relatives à l'exlrémilé inférieure B, dont le mouvemenl est, d'après ce qui précède, exactement connu pour chacune

5 valeurs de T, ou du nombre de secondes écoulées depuis rigine du mouvement.

En particulier, il résulte de cette considération que si les rers points 6 sont tous au repos à l'origine du mouvement» y reviendront en même temps ou simultanément avec Tex- (mité B; qu'ils atteindront pareillement leur plus grande esse à un même instant, et qu'enOn leurs oscillations enres, comme leurs demi-oscillaiions ascendantes et descenntes, seront de même durée, s'accompliront dans le même mps; ce qui constitue véritablement ce qu'on est convenu nommer : mouvements isochrones^ isochronisme des oscillions.

Quant aux autres circonstances du mouvement relatives à acun des points b du prisme, il sera également très-facile I les discuter au moyen des relations ci-dessus entre les laotités Zy l et :r, v^ V et Xj qui changent continuellement ec la durée du temps T, écoulé depuis l'époque où l'extréité inférieure du prisme était en B. «

En effet, 6^tant censé la position initiale contemporaine à ille de B du point de la tige dont on veut particulièrement scuter la loi du mouvement, il ne s'agira que de porter de b rs B, sur AB, la distance

6cz=:BCf = /'^'

h, à tous les instants, demeure, avec BC, ou /', dans le rap- 'l invariable de A6 à AB, pour obtenir l'allongement de bililé (312) qui aurait lieu, au point 6, sous l'action pernenle de la charge Q. Prenant ensuite le point c ainsi trouvé ir centre d'un nouveau cercle ayant bc pour rayon, ce de qui sera semblable au premier, et semblablement situé rapport au point A, aura toutes ses lignes homologues portionnelles et parallèles; et par conséquent à rallongent Bm, à l'ordonnée ou sinus mn et à l'arc Bn, qui apparment au point B, à la fin du temps quelconque T. corresidront, pour le cercle (c), un allongement, br=z, une onnée rs et un arc bs, qui leur sont homologues ou propormels, et qui auront entre eux et avec l'angle

bcs=BCn=:kT (314),

précisément les mêmes relations ou rapports que les premiers dans le cercle (C); de sorte que la discussion des n* 314 el suivants, relative à la périodicité, à la loi du mouvement, leur est immédiatement applicable, la grandeur absolue des lignes étant seule changée.

Quant au cas (318 et suiv.) où cette charge, au lieu d'être en repos à Torigine du mouvement, reçoit une vitesse initiale V,, comme on néglige ici complètement l'influence de Tinertie des parties niaiérielles du prisme, ou que le mouvement est censé se transmettre instantanément de Tune à l'autre de ses extrémités, il est é\ident que les mêmes Considérations lui seront encore applicables, et qu'en particulier, si du point c, comme centre, avec la ligne cb' ou ci\ proportionnelle à CD', pour rayon, on décrit une nouvelle circonférence de cercle homologue à celle lyNB'iy, elle mettra en état encore de discuter directement toutes les ci^ constances du mouvement dont est animé le point 6, comme on Ta fait pan le moyen de celte dernière, dans les endroits déjà cités.

322. Formules analytiques qui représentent ces lois, ^ D'après les indications précédentes, rien ne sei*a plus facile que d'arriver à ces formules dont l'expression concise offre à ceux qui savent les lire une interprétation non moins fidèle que les relations intuitives dos figures, de tous les phénomènes de mouvement qu'elles sont destinées à reproduire par le calcul.

allongement absolu et vitesse. — Ainsi, par exemple, dans la question du n° 31 'i- (|ui se rapporte au cas oii la charge 0 agit sans vitesse acquise, on aura, pour déterminer à chaque instant les valeurs de rallongement et de la vitesse qui se rapportent au point quelconque />,

Ix Vx hr ou 2 — -p — — (i — cos/rT),

vzr^X^^ hl^ =- /, / ^ sin/rT r^ kz sinAT.

lesquelles on a toujours

AL y /' y QL '

i se déduisent immédiatement de celles du même nu- , en y multipliant les valeurs de / et de V qu'elles don-

par le rapport 7- = -^5' conformément à ce qui a été

L AJI

ué au commencement du n"" 321.

aura de même, pour exprimer à tous les instants les lu mouvement dans le cas du n"" 318 et suivants, où la :e Q possède la vitesse initiale V,, les formules plus gé* es,

J=:J^[/'-rcosA(T-f-T')] = ^(i-cosA^Tj-f-^sin>iT,

Vj = ^:c sinA (T-f. ï') z^^xsinA-T -f- ^ cosA-T,

e déduisent, de la même manière, de celles du n" 319 et

Note qui raccompagne.

nsion des éléments du prisme. — Les expressions de P et ju n** 319, ne dépendant explicitement que du temps T,

que d'angles et de rapports de lignes qui restent les es dans les cercles relatifs aO point quelconque b [PL Ily Si), il en résulte que les valeurs de ces quantités sont pendantes de la position particulière de ce point; conséice nécessaire encore des hypothèses d'où nous sommes s, et qui n*aurait plus lieu, avec une exactitude suffisante,

masse du prisme devenait comparable à celle de la ;eQ, ou en était, par exemple, le dixième ou le vingtième, lu'alors l'influence de la gravité et de l'inertie, sur ses res parties, commencerait à devenir appréciable (*).

ta solution générale de la quefttion qui nous occupe dépend de l'analyse iflerentielles partielles, dont M. Navier a oflert de belles applications dans «portant OuTroge, sur les ponts suspendus^ publié en i833. En conservant b les dénominations jusqu'ici admises, et désignant, de plus, comme au 0, par D, la densité ou le poids de Tunité de volume de la substance qui

446 MÉCANIQUE INOUSTRIKLLI.

Influence particulière du poids des éléments. — Il sen toujours facile d'en tenir compte au moyen des formules

cunstitiic la ti|;e, les équations ii inté[jrcr reviennent aux deux suivantes :

fi*z ^ Ed*z d*z AE dz

La première exprime Tétat varié de la tranche située à la distance x de l'ei' trémité supérieure A du prisme, et la deuxième une condition qui doit Mre satisfaite, à tous les instants, pour l'extrémité inférieure B, où Ton a jrsL, et où l'on suppose que la char(;e Q ait été appliquée, dès l'origiDe du nosvemcnt, avec la vitesse Y,, la tige elle-même étant, à cet instant, au repos dani toute son étendue, cVst-à-dire dans l'état d'allongement où on l'a cunsidérK au no 310.

On satisfait complètement à ces équations et conditions au moyen de la val«tr générale

ADL AD . Q