VV U

dm ( V — Ucos X ) -- ipd\ - - ( I — - ^7 cosa )

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le même sens, en chaque seconde, par la réaction do ta portion du filet comprise entre Mes deux points mentionnés; et par conséquent, pour l'ensemble des portions analogues des filets que Ton considère comme ayant subi les effets de la déviation en amont du corps, la pression totale P est donnée par l'expression

où u et a sont fonctions des variables qui fixent la position dos filets ou de leur section d'arrivée r/A, l'intégration devant avoir lieu depuis l'axe central de la veine, juscju'aux filets extérieurs qui, restant rectilignes et parallèles, cessent d'ôtre influencés par la présence du corps. Or on voit que cette formule laisse, pour ainsi dire, tout arbitraire ou indéterminé, et qu'on ne peut lui donner une forme plus explicite, à moins d'admettre, avec Euler et Bernoulli , que U et x soient indépendants de la position de ^/A, ou d'attribuer à ces variables une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par l'expérience; ce qui est précisément le point de la difiiculté; car on arrive à des résultats très-différents selon

•^38 HÊGANIQUB INDU8TB1BLLE.

qu*on rapporte a et U aux points d'inflexion même de filets ou à des points situés au delà, vers les extrémités du corps.

D'un autre côté, rien ne fixe, à priori, les limites de Tintégration; et

si, pour sortir de cette nouvelle indétermination, on prend, avec qaelqoei

auteurs^ pour ces limites, celle de la section transversale du cylindre

' circonscrit à ce corps, section dont Taire serait représentée par Â, ce qui

donne la formule

R = '2/?A-^(i-^C0Saj,

on tombe dans un nouvel arbitraire, puisqu'on sait bien que la présence du corps se fait sentir à une distance de son axe central, égale à i } fois, au moins, sa largeur réduite, de sorte que S dk ne serait jamais aadessous de 4 Â. Ce n*est donc que par une sorte de compensation d*erreurs que cette expression de la résistance représente assez fidèlement b marche du phénomène, et je ne pense pas qu»M. Bidone, ainsi qu*il a prétendu le faire dans son intéressant Mémoire sur la percussion des veines d'eau, imprimé en i836, parmi ceux de TAcadémie des Sciences de Turin (l. XL, p. 8i), je ne pense pas, dis-je, qu'il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse, mathématiquement parlant, TapplicalioD de cette même formule aux fluides indéfinis, sans tenir aucun compte de ce qui se passe sur les faces postérieure et latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de no pouvoir rendre compte des effets dus à rallongement des prismes, explique suffisamment les motifs qui ont dirigé TAcadémie des Sciences de Paris, lorsqu'on i8a6 elle a, de nouveau, remis- au concours la question de la résistance des fluides, en exigeant qu'elle fût appuvtV «ur l'étude expérimentale de la marche (jue suivent les vitesses vl les tileU au pourtour du corps; mais peut-être ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut se rendre compte par cette considération, d uno manière un peu plus claire qu'on ne l'a fait jus(ju'iri, des principaux phénomènes relatifs aux changements de pression observés dans les e\ji»'riences.

(//). E.rnmen de la nuirihr des pressions en amont des corps r.rpurK à ftictiori des fluides. — Orcupons-nous d'abord de qjo qui se passe dans l'intérieur de l'espèce de vase formé, en amont du corps [Pi. 111, fit;. 55 et 8o), par les parois liclives LM, L'M', qui, on ne doit pas l'oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pre>sion exercées du dehors au dedans, si de telles différences étaient possible? ou s'il n'arrivait pa«^, dans la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément éizales à la pression hydrostatique du milieu. Si l'on se rappelle bien le contenu des n"' 37 i et 378 de cet Ouvrage, concernant la marche des fdets qui, par la présence du corps sup-

DBS RÊSISTANGB8. 789

posé immobile dans les fi^, 53, 55 et 80, sont contraints de s'infléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leur convexité à la face CD du corps et à leur axe central âB, tandis que dans la seconde, ils lui opposent leur concavité ; si Ton se rappelle en outre que, dans l'écoulement des fluides le long des petits tuyaux analogues à ceux qui sont formés par les filets, la pression cMémenlaire ou diflérentielle, eu chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle, est nécessairement dirigée de la concavité vers la convexité, et croit avec la courbure et la vitesse; si enfin on considère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l'angle B^C ou BaD, et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une surface lieu des points àUn/lexion des filets, on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois fictives L/i, L'/z', et va sans cesse en augmentant et en s'iijoutant à elle-même, à mesure que l'on s'avance vers la paroi solide CD et l'axe /7B,' où elles s'entre-détruisent de part et d'autre, ou, plus spécialement encore, à mesure que l'on s'avance vers le point milieu a de cette paroi. De là d'ailleurs résulte une accélération correspondante de vitesse, de a vers C ou D, accompagnée d'une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois L/i, L'n', est nécessairement égale à la pression statique, elle lui devient supérieure dans toute la résion comprise entre le point a et la surface des inflexions dont il a été parlé.

(o). Région des pressions négatives^ limitée par la surface des points iP inflexion des filets, — Pour la région postérieure du vase, comprise entre celte surface et les sections contractées /ti/?, m'n\ la courbure des filets étant dirigée en sens contraire, la pression totale, celle qui résulte de Taccumulation des pressions partielles, s exerce du dedans vers le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu'on 8*éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives L/i, L'/i'; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique, il faut qu'elle soit moindre ou négative dans toute la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales. du corps, où la veine contractée vient à s'épanouir, à rejoindre ces parois, et les filets à subir {PI. III, fig. 53 et 55) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules, ellb doit, sous l'influence de ces pressions croiss<'mtes du dedans vers le dehors, tendre à s'accélérer dans le même ordre, c'est-à-dire dans l'ordre précisément inverse de celai qui avait lieu dans la région antérieure du vase, et ceci semble justifier l'hypothèse précédemment admise [b et 1/) relativement aux limites assez étroites dans lesquelles se trouvent renfermées les inégalités de vitesse des filets qui franchissent les sections contractées mn, m'n'.

D'un autre côté, il semblerait également permis d'admettre que^ pour

74o HACAKtQGE II(DCBTRIELI.E.

les poinU lit* h surface des indexions , où la courbure des (JleU et la f(l^ GB5 cenlrifngRj dovienncnl nulles eu changeant de aem vl <te si|,iin, la pressions loLalea et les vitesses dussent redevenir elles- infimes s«ii»ibliy ment égales à celles du (luide ambiant, par suite de l'accÉli^ralion tpranyée anlérieuremenl par ces dernières ou de In diminurion suhic en mfti» temps par les jiressianB, maie ce sérail admettre impliciiemenl le parvlltlisme des Glels dans tous les poinls d'inflexion dont il s'agit, ce tpK rin n'auloriso i supposer.

[p]. Àniilngir de res fh-mmriirx envx etiiT qiif présenir l'êcmltintia par les iirijiees des vnse^ fnliimin-s. — Il ne sera [Uts inutile de remtrquer que les considi'-ra Lions pri^cédenles pourraient, tout au»si liîen, s'tppliquer aux phénomènes de l'écoulement des liquides par 1i% uriricndr* rases ordinaires, et que H. Lechevalier, dans des Hi^woircs apprauv» par l'Académie de^ Sciences, a démontré resisleoce d'une surbrc olli|>soïdale interne, voisine de l'orilice, qui doil avoir de l'aRluité uvk rrili des inflexions dont il vient d'èlre parlé, et à partir de laquelle les lilrU commencent à être soumis à des changements de courbure et à un« anfléraljon de vitesse sensibles. On pourrait ainsi rendre compte de quelques-unes des parliculariLés offertes par la veine eslérieiire où la fon» centrifuge parall jouer un grand réic tant que la courbure des filets n'»l pas redevcDue complètement nulle ; et notamment do fiareilles ronsuJénitions serviraient très-bien à expliquer pourquoi les Tormules relnlivts i l'écoulement des lluidos élastiques, dans lesquelles M. Navier a eu éj:jinl à la délente, conduisent, en apparence, à des résultats erronés pour le cas de très-grandes différences do pression ou de irès-grands changements de vitesses.

[7). Bégions Ifitdriilcn ri ixiilprieiini du roi-pi. — Maint^nanl tilonrcnsidëre, par exemple dans le cas des prismes (PI. UI,fig.ib}, la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction Taite des tourbdlonnemenls partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant brusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée, il est évident que la pression doil ie trouver la même en tous les poinls, c'est-à-dire égale à la pression statique du milieu, puisqu'il fl'exislc plus de courbure dans les filels et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux exirémilés des courants latéraux, près de la face postérieure du corps, les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qoi les ramène vers l'axe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu'en iiin et m'n', la pression totale, due à la somme des pressions individuelles des filels, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM, L'U où elle est toujours celle du milieu ambiant, jusqu'aux filels intérieurs des

tourbillons où elle redevient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression 5tatique dont il 8*agit.

(r). Influence s]}€cuile des proues et des poupes, — D'après ce qui précède, on conçoit très-bien que l'influence d'une proue continue et courbée vers le dehors (PL III, fig, 53 et %%)^ ajoutée à un prisme, doit être de reporter vers le milieu /?, du corps, ou le sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare, en amont, la partie soumise à des pressions négatives de celle qui Testa des pressions positives, tandis que l'addition d'une poupe, courbée de même, n'a d'influence, pour diminuer la pression, qu'autant qu'elle oGfre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filets qui tendent à former les tourbillons de rarrière, et dont la vitessse est d'ailleurs d^'jà fort affaiblie dans le cas où le corps, manquant d'une proue, a, par lui-même, une certaine longueur.

En appliquant à cette manière d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, les considérations sur lesquelles se fonde la formule de Bernoulli et d'Etiler, on arriverait à des résultats moins entachés d'arbitraire, et peut-être plus propres à représenter les données de l'expérience; mais, au lieu d'insister sur cet aperçu, nous indiquerons rapidenoent comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d'un plan mince, exposé obliquement à l'action d'un fluide indéfini.

(s). Des plans minces exposés ii V action oblique des fluides (PI, III ^ Jig, 8i). — En admettant toujours, comme un fait de l'expérience, que le mouvement des filets s'opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives Lw et \ln\ et dont le fluide s'écoulerait par l'orifice annulaire formé par l'intervalle compris entre le plan CD et ces parois, on devra remarquer : que la contraction n'est plus la même sur tout le pourtour de l'orifice; qu'elle est plus forte sur l'arête C du plan, la plus avancée vers l'amont, plus faible sur l'arête D qui l'est le moins, et à peu près égale à ce qu'elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire â la figure; que d'un autre côté, l'axe central r/B de la masse fluide soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l'arête C que de l'arête D, conformément au résultat des expériences du docteur Avanzini {Instituio nationale italiano, t. I, part. 1), citées dans le Mémoire (403) de M. Duchemin, lequel observe, avec raison, que cet axe et par conséquent le centre de pression ^, sur la surface antérieure du plan, doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités do mouvement détruites dans les filets, parallèlement à ce plan, soit égale tout autour ou de part et d'autre de sa direction. Il est clair, en efl'ot, d'après les considérations exposées en dernier lieu, que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent au}& angles aigus formés par Taxe <7B, avec le plan CD, que pour ceux qui appartiennent aux angles

^4'' MËCA^rQUE INDUSTMRLLE.

(iblus supplémenuirre, il doit en èlre ainsi des pressions que c«s Glele engendrent respectivement soil sur le plan CD où elles s'ajoutonl, «oit ur l'axe fiB où elles tendent à se détruire en se conlrcbutsnt.

De là résulte ausei que 1» masse des Blets qui s'écoalent ver& la ptrtie aC, allant toujours en diminuant, par rapport h celle des filets qui &'écoulent vers nD, à mesure que l'angle d'incidence BnC devient t>lus nigu, rinfluence île l'accroissement de contraction subie par les premiers d«it aussi s'affaiblir rapidement avec cet an^e; de sorte que le roelficieDt moyen m, de la conlraclîon sur le pourtour du {^an CD, doit généraleoMat augmenter, mais moins rapidement que celui qui conviendrait A la diminution de la convergence des filets en D ou on ai'n',

{r). Formules rtlatiee» à ce cas. — Conse^^-ant les mêmes déoMniiBtions que pour le cas du choc normal (c), et observant que la diHrence des pressions reçues par to plan oblique CD, doit élro mesurif p«r le produit A(P— P') dans le sens perpendiculaire h ce plan, et [*r A»in«(P — F') dans le sens parallèle à l'axe AB du mouvement, m aura, en appliquant ici le principe des furces vires sane^faire de dislin:' tion entre les diverses régions ou les divers modes d'écoulement,

B--U'-V'=a^?^^', Hi(A'-ABina)U=A'V:

ce qui donne pour le choc perpendiculaire,

, V / n'A" \ . ,, fl'A"

«-''*7i(.«.lA'-Asin=.)'-')^""'' ' = -«'(V-Asm,r''

et, pour le choc oblique sous l'angle aigu BaC = a,

. VV n'A" \ . ,, n'A-'sIna

R = pA — —,— .-, — r— : — rî — 1 1 sma, A = 1, ., — ■■■■ ■■■ — sini.

Or, en se rappelant que m augmente seulement depuis m = o.-jS, qui correspond {rf} à a = 90°, jusqu'à m = o,B8, qui paraît convenir, eo effet, aux plus petites valeurs de a, lorsqu'on prend, comme pour le cboc direct, r'~ i,)5, A'= G,46A, en se rappelant, dis-je, cet accroissement progressif de m, il sera facile de voir que les valeurs ci-dessus du coefficient de résistance A', marchent effectivement dans le sens indiqué par les expériences dont les résultats sont reportés dans la Table du n* J(&

On doit comprendre d'ailleurs, d'après tout ce qui précède, pourquoi It résistance des plans minces obliques est trës' différente do celle des anglw dièdres (412), formés par deux tels plans ou par les Taces également |daiM« d'une poupe triangulaire (416 i i>/. ///, ^f. 68) adaptée à un prisme : dsM

DBS RÉSISTANCES. 743

ces deux derniers cas, l'axe central des filets passe par le sommet de Tangle dièdre formé par les plans, et la contraction se réduit à celle qui a lieu pour les arêtes postérieures df ces mêmes plans, etc.

(a). Considérations relatives aux tourbillons, — Nons terminerons cette Note par quelques remarques concernant les tourbillons qui, en différents cas, tendent à se former dans les fluides, et sont la principale soorce des pertes de forces vives qu'ils éprouvent lors des changements brusques de mouvement.

A cet égards il est très-essentiel de distinguer les remous, en quelque sorte stationnaires, qui se forment dans les anses et les creux d'un bassin, d'un canal traversés par un courant vif ou principal, d*avec les tourbillons proprement dits, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers, comme on le voit exprimé en m et m' [PL III, fig. 54 et 55) sont simplement dus au frottement latéral (376) et ré volulif d'une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s'agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation, l'incurvation éprouvée par ce courant, toutes les fois qu'il vient à atteindre une masse fluide douée d'une vitesse moindre ou contraire à la sienne propre, quoique parallèle. C'est ainsi que la rencontre de deux courants d'air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous'avons de fréquents exemples; et qu'on pourrait définir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires, ce qui n'implique pas nécessairement l'idée d'un choc direct, mais d'un choc en quelque sorte tangentiel, et i)ar suite duquel les deux courants sont sollicités à s'enrouler, pour ainsi dire, autour d'un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C'est encore ainsi que les tourbillons se forment à l'arrière des corps en mouvement dans un fluide, par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons plus intimes qui peuvent être dus à l'épanouissement graduel d'une veine après qu'elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section^ ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu'ils appartiennent à une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont été mentionnés au n*' 375, et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

(p). Expression de la perte de force vive quUls occasionnent, — Considérant spécialement le cas des grands tourbillons, il est aisé de voir qu'aux premiers instants de leur formation, leurs divers anneaux ou spire^s sont donés sensiblement de l'excès de la vitesse V du courant qui les produit, sur la vitesse d'entraînement général U du courant postérieur; de sorte que si M est leur masse totale, ou la masse qui, dans l'unité de temps, est ainsi transformée, la force vive qu'elle eniratne ou dissimule et qui devient une source de perte de travail, doit réellement être mesurée par

nCC«niQllB INDUSTKIBLLE.