MV

da laquelle an tire sans difBcnltë, à chuâc di^? relalio en posant, pour abréger, le facteur numérique

fi repréBenlanl lui-même ce qu'on nomme improprement le mcffin"» dr la mniraciitin, dans le css des njutaget ou tuyaus additionnels irttcourls, mais coulant à gneiile-bée, puisqu'il pofle ici, plus spécialempalsur In réduction éprouvtic par la vitesse de sortie U, en raison des loofbillonnemoDls et des résistances intérieurs.

Nota. Les résultats auxquels on arrive pour fi et U, dans le cas de» tuyaux d'écoulemonl ordinaires, s'accordent, comme on sait, dune manière trës-snlisfaisante avec ceux de l'expérience, -pourvu qiie la longncar de ces tuyaux soit au moins triple de leur diamètre; mais cela n'a plus lieu dans le cas contraire, où le coefficient [i suit, par rapport à celle longueur, la marche rapidement décroissante, indiquée dans la Noie du n* 413, ce qui parait tenir essentiellement à ce qne la vile^ moyenne U, supposée, dans le calcul, égale à mW, en diOère alon d'autant plus que l'extrémité du tuyau où elle se mesure, est elle-mène plus voisine de la section contractée, à partir de laquelle, en cBet, la voine va en s'épanouissant et prend des sections vivet très-distincies de celle de ce tuyau, et qu'il serait probablement plus exact de lui sub' stituor dans l'application du principe des forces vives. Hais, au lieu d'introduire de pareilles modifications dans les formules, où il reste encore ks inderminées n et n' qu'on pourrait supposer égales à la valeur 1,07, déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préférable de substituer è fi , dans ces formules, les nombres tels que les donne ,1a résultat des expériences de Hichelotti, sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs; ce qui montrera, tout au moins, que ees mëmee for-

DES mfiSlSTANCBS. 78 I

mules marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance des prismes.

{g). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de Vexpé' rience, — Considérant d*abord le cas où le prisme étant en repos et sa longueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite, les expériences de Dubuat (413) assignent au coefficient de la résistance la vale,ur minimum A- = i,3!à3, tandis que celle du coefficient ^i des courts ajutages atteint, d'après les expériences de Michelotti, le maximum de la sienne p = o,8a, il en résulte que l'expression analytique ci-dessus de X', ne pourrait s'accorder avec l'expérience , qu'autant qu'on aurait

p— j.= pt^i-l-X = o,8av/a,3a3 = 1,25 ou A'= 5A,

qui se rapprocherait davantage encore de celle Â'=r 44 qui a été mesurée directement par M. Duchemin, dans le cas des prismes en repos, si l'on attribuait à fi une valeur un peu plus grande que 0,82, comme il parait naturel de le faire, puisque les contractions intérieures sont ici réellement un peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

Maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de X-, données par la formule du précédent article, à partir du plan mince, suivront très-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Dubuat, tandis que, pour des longueurs de prismes supérieures au triple de la largeur, les valeurs de X iront continuellement en augmentant, comme celles de» |x, à cause du frottement latéral. Néanmoins, dans les calculs relatifs aux prismes très-courts, il deviendrait indispensable d'avoir égard à la condition qui rend A'= 6,46 A et p = m = 0,76 pour les plans minces, etc., et il ne s'agit ici, je le répète, que de l'interprétation générale du phénomène de la résistance au moyen des formules déduites du principe des forces vives.

A l'égard des prismes de longueur moyenne, en mouvement dans un fluide en repos, il y a tout lieu d'adopter la valeur A'= 6,46 A, telle que Va obtenue Dubuat pour un cas analogue, et alors on trouve

X = -^ — 1 ; et par suite, X = i ,082,

nombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expériences de cet Auteur, sur un prisme dont la longueur était le triple environ de sa largeur réduite; de sorte qu'en adoptant la valeur A'= 5 A, pour de tels prismes en repos, et la valeur A' = 6,46 pour les mêmes prismes en mouvement, les formules très-simples

repréKHlerawat mmb Sdèlemeal la mardie et les nlean de h léÉ rébuitei cesdnaus, poamqn'oacAtAjv^»» alavmiHaâ rdalîTa m priana iiiè»«oarta et anx ptaw ninoa; car rï i*! de prMBMs tite-lcnp, le rratleBMt blétil fcrail dinûBucr p et am X atec L, d'aptfe les foraala v^fliqBes (/) qui dooncnt ' GHdeueoeOcieats; cequiett cooIbnMaHX îadicatin— da Tetphàt

ksprwBCsde motcnne kngaear, fi = i,ce qui le» soppoae pnme nceoidée bronUaDenl arec leon Caces lat^nles, k ina^è Tait. (/) doiyw t = o,56 , pour le eas o& cm ' ' M i = o^D, poor c«hii oà ils cboqtKot le fluide eo repos, (k ces lAa ■oslim pea noiodres qoe cèdes q^ ont M obtenaes piMksst U}|W les iwrfiieee nuBces el coaTeses, I08sas,et)a n>Um!s(42i)

Qseai l'oa TooUtd'ailleiin, comme oo l'a d^ proposé (e)pa«lâ|lNi et safbeea wdocs. nîeter la dimânutioB de résUtasee. dMS la Soides en repos, aar la diaûnution même de Is ooutnctias |Wtfi ma h gnadw retaUm dn lapport de A' à A, il iMdnit aaM«t bser à p <fcs Tsleora proportîoDMilenmt ■■ pen snpérievras i «Aifi

talH ks hypetWoea, «m eat condatt à adaatire qos rapport, et par oonaéqimt celles de i, leadcnt ven féplilé, |ovli dÀix cas des flnides en repos on es moaremeDt, è aaesun qaekl» gueur L des prismes aDgmeDle.

Hais noua ne pousserons paâ plus loiu Ktle diâcnaùoo et m i^fi» cbements fondés sur un trop petit nombre de lailâ esactcmcat MIbi posr conduire à des coDâùquences exemptes de toute objeclioa. H m pasèerons à l'eumen de rinfluence qui peut être exercée par l'itfaM d'une poupe i l'arrière des prismes.

( J) . appréciation de rin/laencf rxerrée par let poapet. — En itafr tani que l'addition d'une poupe n'influe que lrë»-pea eor la dirMkai» tiligne des parois fictives LM, LU' {PI. III, fig. Sa), on s'apercera,* suite, quelos phénomènes de mouvement qui s'accomplissent damlirépa postérieure du canal limité à ces parois, doiveal offrir la plus gnoàaalogie avec ceux d«s njataget caai^aes dîvcrgemU, déjà anciemaM soumis à leipérience par Bernonlti et Ventnri. Ainsi la piiMiMjèvient négative, c'est-à-dire inférieure à la prassOQ statique, i;M|di comme cela arrive latéralement, vers l'amont (P/. f//,^.U),sBSfla', sauf qu'ici le paialléliaroe des côtés du prisme etnpéclw ladibaldt|«non de devenir naiùbleon d'augmenter la résistance. D'as aatnçil^h B BojrsDiiB, n,jaaH^^«M>Berrèepar ks fileteiltar: '~*~

DBS RftSISTANCBS. 733

de l'aire des sections, et cette vitesse, quand la poupe est suffisamment adoucie et allongée, comme l'exprime \à/îg, 8a, Pi. III, peut se réduire finalement à celle du milieu ambiant; or cela tend à faire disparaître, dans l'équation des forces vives, relative à ce cas, le terme qui concerne la vitesse d'aflluence Y, du fluide, dans la partie d'amont, et par suite, à diminuer la résistance.

Enfin, le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du tuyau limité aux parois fictives LM, L'M', dans la partie évasée formée par la proue, donne lieu à une nouvelle perte de force vive analogue à celle qui est occasionnée par le rétrécissement de la section contractée mn, m*n'(Pl, III, fy;. 55), ô^ns\e cas des prismes sans proue ; perle qui pourra ici être représen tée par le produit M /i''(U — U,)'; si UetU, désignent toujours les vitesses moyennes de régime, ou censées uniformes, dans les sections prismatiques en amont et à l'extrémité postérieure de l'évasemcnt, n'' le nombre, supérieur à l'unité, par lequel on doit multiplier les forces vives MU' et BfUJ possédées par le fluide dans ces mêmes sections, afin de reproduire les forces vives effectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d'une poupe convenablement adoucie et allongée, mais sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales, il y aura une double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur résistanoe, il suffira de considérer séparément ce qui se passe dans les régions, antérieure et postérieure, du courant ou canal compris entre le corps et les parois fictives LM, L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédemment admises, et désignant, pour la deuxième, par P,, la pression qui est aussi celle du fluide à l'arrière du corps, enfin par A,, pour plus de généralité. Taire de la face postérieure de la poupe, supposée perpendiculaire à l'axe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé (PL III, ^g, 8a), celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux, etc. ; négligeant, au surplus, le frottement le long de cette poupe, comme on Ta fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (/), la suivante

M/i"U,'-M/i''U'4-M/i'MU-U,)'=aM^^---'V

et, à cause des relations de continuité (A' — A)U = (A'— A,)U, = A'V,

elle donne

*^ *^'~ ''»«',«"( A'- A)'' en posant de nouveau, afin d'abréger,

^34 ■ËCàXIQVB [NbVSTKIBLLE.

futluur iim devient nul, i.oTiimc ci^ln rioil^Irr, quand on suppose Tiirel, ilu pan uoupË, ^gale à cello A de U soclion [ransvprealo la plus Urgp Ir I» partiR prismaliquo (lu i^irps, landis que si l'on y suppose A, = o,n qui convient ou cas des proues effilées représenlées par \a fig, 8a, M.70,

ce même fadeur prend lu valeur

tre&-(ttible et eMentielloinent positive, h cause que A' surpasse a quatre fois A. Or c«la prouve que la pression moyenne d'aval P„ qui doit différer alors irÈs-pou de la pression statique du milieu , surpasM, i mëmcnl aux indications de l'expérience relative aux tuyaux divertit, celle qui s lieu vcra la partie prismatique du corps, pour toutes les vslnn de A, comprises ontru zùru et A.

La pression P, qui itgit contre A,, donne ineontesLablenient lieu » VK diminution de résistanL'e mesurée par le produit A, F, ; mats on n'gper^l plus aussi bien comment on doit «évaluer colle qui est due atu presao» eiercées par le fluide contre la surface de l'i^vasennenl formé par ta poupt. pressions qui décroissent de la section d'aval oii elles ont pour valcnr P„ jusqu'à celle de la partie prismatique du corps où éliras deviennent épis i f. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remuntuée ridessus, pour la proue elle même ; le principe des forces vives ne ni&rt't pas pour la lever, puisqu'il est impropre à faire découvrir lea pressioi» partielles et variables dont il s'agit. Or il parait qu'il faut, tci enrofr, considérer P, comme une pression moyenne agissant sur toute la ptrtupostérieure du corps, et te produit A (P,— P') comme la diminuUiNi qu'éprouve la résistance par suite de la présence de la poupe.

[j). /'iirmiilcy rcInCfcs tiii.r /TÎntirt nniic» di- /m/i/ict mt, "ii !(.')■

prîmes. — D'après les observations précédentes, si l'on retranche de l'i'ipression de R, déjà trouva pour la partie d'amont, la valeur du produit A (P| — P') dont le facteur P.— P' vient d'être obtenu en dernier lieu pnur la partie évasée du canal, il en résultera celte nouvelle expression do la résistance

R ^A{P— P,)^ kpk—, i=- — ~ ■ ^

ag fi'(A'-A)' («"tA'-

e. de

l'équation

à laquelle on arrive, de suite, si, en conservant toutes les dénominations précédemment admises, on pose, d'après le principe des forces

(c.ca;,)

DIS lÉSISTAMCCS. 7 35

qui exprime la loi de Técoulement du fluide entre les sections extrêmes X\ A'— A et de laquelle M a disparu comme fapteur à tous les termes, mais où, pour plus d exactitude, on devrait affecter U et U' d'un coefficient numérique différent de celui /i', qui convient à W, si la poupe n'était pas assez allongée et bien disposée pour ramener les filets fluides au parallélisme.

La formule qui donne, pour ce cas général, la valeur de R, revient donc toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail, par la demi-somme des pertes des forces vives, et son facteur X doit encore pouvoir être conclu de Tobservation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages, d une forme analogue à celle du canal fictif, si on les adaptait, à la manière ordinaire, à Tune des parois planes d'un réservoir vertical rempli d'eau uniquement soumise à l'action de son propre poids, mais dont les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l'ajutage.

Pour rendre, en effet, l'équation des forces vjves ci-dessus, applicable à c« dernier cas, et propre k donner la vitesse U, d'écoulement par l'orifice extérieur A'— A,, en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à Taxe de la veine, il suffit d'y supprimer le terme en V^ et de remplacer le deuxième membre, par le produit igll; d'où il résulte que si l'on nomme |x, le coefficient de réduction de la dépense hypothétique

0 = (A'— AJv'a^ri, et qui porte essentiellement sur la vitesse v^âjH, on devra avoir, d'une part,

de l'autre,

ce qui permettra de calculer immédiatement la valeur de la résistance au moyen du coefficient |x, fourni par les expériences des tubes divergents dont il vient d'être parlé.

(A), Comparaison du résultat des formules avec ceuxile Inexpérience. — Supposant, en particulier, la proue et la poupe disposées (P/. lll^fig. 82) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval, le coefficient /// de cette contraction deviendra l'unité, et A, nul ; si, de plus, comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L, de la partie prismatique du corps, est très-petite, on pourra négliger le frottement latéral, et (/) l'on aura pi = i^ ce qui

^36 MÉCANIQUE INDU8T1IILLB.

donnera simplement pour le coefficient de la résistance.

Prenant, comme dans le cas ci-dessus des plans minces, #1''= 1,149, et observant que 1 — /i' doit être ici une très-petite fraction dont il devient permis de négliger le carré; prenant en outre, A'= 4A pour b limite inférieure de A', relative au cas des corps en repos choqués par on fluide en mouvement, et A' = 6,46A pour celle des mêmes corps en ommvement dans un fluide en repos, on trouvera approximativement, dans les hypothèses actuelles où Ton néglige Tinfluence du frottement latéml, en même temps qu'on suppose au corps la forme la plus avantageuse possible, X' = 0,1 3 et /- = o,o4, pour le coefficient de la résistance dans ces deux cas respectifs ;ce qui n'ofl're rien de contradictoire avec les résultats connus de l'expérience (417 et 423).

Il y a plus même, on ddt pressentir, d'après les conditions qui viennent d'être assignées au maximum de réduction de la résistance, que, pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas une continuité parfaite, pour les prismes rectangles, par exemple, armés de proues et de poupes d'ailleurs disposées et raccordées avec les faces latérales, aussi bien qu'il est possible, on ne saurait éviter entièrement les effets de contraction, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans la marche naturelle des fllets, vis-à-vis des parties anguleuses 00 tranchantes; et de telles perturbations sont la source inévitable, soit dune perte de force vive, soit d'une diminution de la section contractée m(A' — k) d'amont, équivalente à un accroisement (i — /w) (A'— A), de la section transversale corrospondanlo du corps.

(/). Bf'ffuirrfurs sur In théorie prccrdcntc. — L'application du princ p*? dos forces vives pourrait, avec des modifications convenables, s'élen.;n' évidemment au cas des eorps flollants ou en partie plongés dan? I«»s I quides; mais, comme on le voit, ce principe ne mettant point en état do découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des lilels. résultant d'une forme déterminée du corps, il ne saurait non plus servir \ résoudre l'important problème des surfaces de moindre résistance, qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il |»eul bien indiquer en hloc, qu'on me passe l'expression, la marche générale de la pression, de la résistance totale, en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps; mais c'est, comme on l'a vu, en admettant la détermination expérimentale de c^^rtains coefticients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets ou à l'inégalité d'intensité et de direction de leurs vitesses dans certaine? sections du courant. En rattachant, de cette manière, le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéfinis aux phénomènes mieux étu-

diés de leur écoulement dans les vases, les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simplification véritable apportée à la question, et, sous ce rapport, les formules auxquelles elles conduisent peuvent oflrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Bernoulli et Euler (373), en considérant d'une manière fort incomplète le mouvement des molécules comme se faisant dans autant de filets ou tuyaux indépendants.

(//?). Examen critique de la théorie de Bernoulli et W Euler. — Nommant toujours /> la densité constante du fluide, etV sa vitesse d'allluence uniforme en amont du corps, dk Taire de la section transvcrsiile de l'un

des tuyaux formés par les filets au point où la vitesse est V, dm — - r/AV

la masse qui s'écoule uniformément par cette section dans Tunité de temps, enfin a l'angle formé par le tuyau avec l'axe du corps, censé parallèle à V, en un point où la vitesse est U, c'est-à-dire l'angle de V et de U; la pression élémentaire duo au changement d'intensité et de direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant estimée dans le sens de V, sera, d'après Euler et Bernoulli, donnée parle produit