MOTRICES CONSTANTES

107. Notions générales. — Le cas le plus facile et le plu simple de la communication du mouvement est celui d'ui corps qui est poussé, à chaque instant, par une force motric constante, égale et directement contraire (66) à la résistanc

PRINCIPES FONDAMENTAUX. lOI

opposée, par Tinerlie, dans la direction propre du mouvement. Or il est clair que, la pression étant la même à chaque instant, l'accroissement ou le décroissement très-petit de la vitesse (53) sera aussi le même, ou constant, pour le même corps. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, la vitesse, à partir d'un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant : c'est ce qu'on appelle \q mouvement uniformément varié en général; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé, selon que la force motrice constante agit pour augmenter ou pour dimi-nuer la vitesse du corps.

Si l'action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps, c'est-à-dire à partir de l'instant où il était au repos, la vitesse totale acquise, au bout d'un temps quelconque mesuré depuis cet instant, sera proportionnelle à ce temps; ou, si l'on veut, elle sera double pour un temps double, triple pour un temps triple, etc. Si, au contraire, l'action de la force motrice ne commence qu'à compter d'un certain instant, ou que le corps ait déjà une vitesse acquise à cet instant, cette vitesse, qu'on nomme ordinairement la vitesse initiale du corps, aura, au bout d'un temps quelconque, augmenté ou diminué d'une quantité qui sera encore proportionnelle à ce temps, et qu'on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse que la force motrice imprime ou détruit constamment, dans un certain temps pris pour unité, par exemple dans une seconde, etc. En effet, il ne s'agira que de multiplier le temps total écoulé, par la vitesse qui répond à cette unité de temps; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l'en retranchant selon les cas, on aura la vitesse même du mouvement au bout du temps que l'on considère.

Mais, pour bien saisir l'objet de ces calculs, il est nécessaire de se rappeler que, dans le mouvement varié, la vitesse acquise à un certain instant est mesurée (53) par le chemin que décrirait le corps, dans Tunilé de temps et à compter de cet instant, si, la force motrice cessant tout à coup son action, le corps continuait à se mouvoir uniformément; ce qu'il ferait véritablement en vertu de son inertie (55) et du degré de vitesse qu'il possède déjà.

108. Du mouvement uniformément accéléré. — Occuponsnous d'abord du cas où le corps pari du repos sous Taction de la force moirice constante, et proposons-nous de découvriu toutes les circonstances du mouvement de ce corps.

Nous pouvons encore représenter ici, par le dessin, la loi qui lie, aux temps, les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps, en traçant [PL /, Jig. 27) une ligne Oa'b' , • .Aa dont les abscisses Oa, 06,..., O/i représentent les temps écoulés depuis l'origine du mouvement, et dont les ordonnées aa' , hb'y cc\. . .^hh* représentent les vitesses acquises^ la fin de ces temps respectifs.

Cela posé, puisque dans le cas du mouvement uniformémem accéléré, les vitesses ««', W, ce*',..., hh' sont proportion-^ nelles aux temps respectivement écoulés Oa, 06, Oc, .. ., 0/a il est clair que la ligne Oa'b'c' *. .h' est une droite qui pass« par l'origine 0 des abscisses; car le mobile étant ici cens« partir du repos à l'instant où la force motrice commence so « action, le temps et la vitesse sont nuls à la fois a cet instanr Supposez qu'on ait partagé l'axe OB des abscisses ou des teraiiz en un grand nombre de parties égales très-petites, puis qu'o« ait élevé les ordonnées correspondantes, et qu'enfin on a-^ mené, par les extrémités de ces ordonnées, des parallèles l'axe des abscisses, on formera une suite de petits triangle Oaà!, a'b'b", b'c'c"^... égaux et rectangles. Les côtés aa^ b'b'\ c*c" . .. de ces triangles marqueront les accroissementî successifs de la vitesse, accroissements qui seront égaux comme les durées qui leur correspondent 0«, «6, 6c,..., conformément à la définition du mouvement uniformément ac* céléré.

Les intervalles de temps successifs 0«, «6, ic,... étant donc supposés extrêmement petits, on peut regarder le corps comme se mouvant, d'une manière sensiblement uniforme, pendant l'un quelconque cd=^v'd" de ces intervalles, et avec une vitesse moyenne égale à la demi-somme des vitesses cd^ dd' qui répondent au commencement et à la lin de chacun d'eux. Or, dans le mouvement uniforme (W), l'espace décrit en un temps quelconque est mesuré par le produit de la vitesse et de ce temps; donc l'espace décrit ici, pendant le temps élémentaire cdy sera égal à cd multiplié par la vitesse

PRINCIPES FONDAMENTAUX. lo3

moyenne --[cc'-hdcl'), qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n'étant autre chose que la mesure de Taire du petit trapèze cc'd'd, celui-ci pourra ainsi représenter l'espace parcouru pendant l'espace de temps cd : pour un autre intervalle quelconque de, égal au premier, l'espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd' e* e\ donc l'espace parcouru^ pendant le temps OA par exemple, a sensiblement pour mesure la somme ou surface totale des trapèzes élémentaires aa'b'b, bb' c'cy. . ., gg'h'h, augmentée du petit triangle Oaa qui mesure évidemment l'espace décrit dans le premier instant Oa'; c'est-à-dire la surface même du trj^angle correspondant Ohh\ Donc enfin cette dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse du chemin décrit pendant le temps total OA, puisqu'on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre infini de parties égales et infiniment petites, le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (72) pour trouver la mesure du travail quand l'effort est \ariable.

109. Lois du mouvement uniformément accéléré, — Le chemin décrit pendant un temps quelconque, et à compter du repos, étant, pour le mouvement dont il s'agit, représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise à la fin de ce même temps, on en peut déduire, de suite, plusieurs conséquences importantes, et qui permettent de calculer les circonstances de ce genre de mouvement.

D'abord, puisque la surface de tout triangle OAA' a pour mesure la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uniformément durant un temps égal à OA et avec la vitesse AA' acquise au bout de ce temps, on voit que :

I" Dans le mouvement uniformément accéléré ^ le chemin parcouru, au' bout d*un temps quelconque et à partir de Vinstant du repos, est la moitié de celui que décrirait le mobile, dans un temps égal, s'il se mouvait uniformément avec la vitesse acquise pendant ce temps.

Ensuite, puisque les chemins décrits^ au bout de deux temps quelconques 06, Oe sont représentés par les aires des

lo4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

triangles Obb', Oee', puisque ces triangles sont semblables, et que, d'après les principes démontrés en Géométrie, leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues, il en résulte encore que :

2° Dans le mouvement uniformément accéléré, les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques et à compter de l'instant du repos, sont entre eux comme les carrés de ces temps;

3® Enfin ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les. carrés des vitesses acquises au bout des temps correspond dants.

110. Formules relatives au mouvement uniformément accé-léré. — Lorsque, dans le mouvement que nous considérons, on se donne la vitesse ee' acquise au bout d'un temps quelconque Oe, par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite OA' qui la représente, est entièrement déterminée; c'est-à-dire qu'on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l'espace qui répondent à un autre temps quelconque donné.

En effet, représentons par f?,, Vy le chemin et la vitesse qui répondent à la première seconde; soient E, V le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l'origine du mouvement; on aura d'abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,

e,=z\v,>^i''z=:\v,, E=:iVxT=:iVT;

puis, en venu de la deuxième,

e,:E::i"xi":TxTou P;

d'où Ton tire

E=:e,XÏ'=it',XP=ic^,T%-

puis enfin, en vertu de la troisième,

^, ouït', :E:: t^.^rV^;

d'où •

V»=2t',xE = 2i;.E.

PRINCIPES FONDAMENTAUX. Io5

Nous avons d'ailleurs, en vertu même de la définition du mouvement uniformément accéléré (107),

i'.rV:: i'':T; d'où

Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités E, V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin ^i ou la vitesse Vi qui correspondent à Tunité de temps i seconde; il ne s'agira que de remplacer chaque lettre par le nombre des unités de temps ou de longueur qu'elle représente, et d'effectuer les opérations indiquées ( * ).

111. Cas où le corps part avec une vitesse déjà acquise, — Dans ce qui précède, nous avons supposé que le mobile partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite OA', qui donne la loi de son mouvement, passait par l'origine 0 des temps; maïs, s'il possédait déjà une vitesse antérieurement acquise, cette droite passerait par le point 0' (PL I,Jig' 28), extrémité de l'ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse c&y qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mouvement, se composera (107) de la vitesse ce'' y égale à la vitesse initiale 00', augmentée de la vitesse c'&\ que le corps acquerrait sous l'action de la force motrice constante et au bout du temps Oc ou O'c" relatif à cc\ si ce corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent; car la droite 0' d' donnerait encore, par rapport à O'B', prise pour axe des temps, la loi de l'accélération du mouvement. Connaissant donc la vitesse que

(*) La relation E = | t', X T*, et la relation V'= Sf^ X E, qui indique que la intesse V est moyenne proportionnelle entre 2 r^ et E, ou entre le double du chemin décrit dans la première seconde et celui qui est décrit ait bout du temps T, présentent seules quelques difficultés pour le calcul de T et de Y; mais on peut parvenir au résultat par le moyen des constructions graphiques connues, ou par les Tables que nous ferons bientôt connaître (119), ou enfin par Vextraction directe de la racine carrée du quotient de aE par r, et du produit ^v^X E, qui donnent en chiffres les valeurs de T' et de V*.

lo6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

la force imprimerait au corps au bout de la première seconde s'il partait du repos, on aura tout ce qu'il faut pour construir Orf' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à Orf d'où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mou vement, et de les calculer même au moyen des propriété géométriques de la figure, si Ton se rappelle les diverses no tions déjà établies précédemment.

Qu'il s'agisse, par exemple, de calculer le chemin décr. par le corps, au bout du temps Od, chemin ici représenté ps l'aire du trapèze Odd'O' ; on apercevra, de suite, qu'il se con pose du chemin 00'c/"</, qui, pendant ce temps, serait décr uniformément, en vertu de la vitesse initiale 00', augmem de celui 0' d'd'\ qui, dans le même temps, serait décrit d*im mouvement uniformément accéléré, sous V action de la fore motrice constante commençant à agir au moment du dépar Or nous avons appris ci-dessus à calculer l'un et ra4lre de ce deux chemins.

112. Du mouvement uniformément retardé. — Si nous su] posons maintenant que la force motrice constante, au lie d'augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiée. 00' (PL Iffig. 29), la diminue au contraire à chaque instan le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce', qui répond un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mo« vement, n'est autre chose que la vitesse primitive 00' ou ca diminuée de la vitesse c' c" que le corps acquerrait, sous l'a tion de la force motrice et au bout du temps Oc, si ce cor; partait du repos.

L'aire du trapèze OO'c'c étant encore ici la représentatif du chemin décrit, au bout du temps Oc, en vertu du mouv" ment retardé, on voit que ce chemin est égal à celui 00' cr qui serait décrit uniformément, pendant ce temps et avec vitesse primitive 00', moins celui 0' c'c'\ qui, dans ce mér temps, serait décrit d'un mouvement uniformément accéié^ sous l'action de la force motrice constante commençant à a^ au moment du départ. On pourrait donc encore calculer, da le cas actuel et au moyen de la figure, toutes les circonstance du mouvement, si seulement on connaissait la vitesse initia

00' ainsi que la diminution de vitesse c'c'\ due à la force relardalrice, au bout d'un temps quelconque Oc, ou, si Ton veut, à la fin de la première seconde de temps écoulé.

Supposons, entre autres, qu'on veuille trouver le temps Ôe au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la viiessedu corps ; on aura, par les triangles semblables O'cV et OO'e, la proportion

cV : OV r= Oc = i" :: 00' : Oc ;

d'où

OO^Xi^^ 00^ c'c" "" c'c"^

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis Tinstant où la force retardatrice a commencé son action jusqu'à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné (108] parla surface du triangle OO'c, ou par le produit

ce" 2 C^ c"

Une remarque très-importante à faire, c'est que, si l'on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti Complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en 'yi imprimant, à chaque instant, des degrés de vitesse égaux 3 ceux qu'elle avait détruits d abord, le corps retournera dès 'ors en arrière en reprenant les mêmes vilesses quand il repassera par les mêmes positions. C'est ce qu'indique la ligne O'e, en supposant que lés temps soient comptés à partir de e vcps 0, c'est-à-dire de l'instant où le mouvement du corps ^si éteint; car la force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé, en sens contraire, la vitesse dd! au bout ^^ temps edy la vitesse cd au bout du temps ec^ etc.

Lois du mouvement vertical des corps pesants,

ii3. Causes qui influent sur le mouvement des corps dans Vair, ^ L'un des exemples les plus importants du mouve- ™cïïl uniformément accéléré est celui que nous présente la

I08 MËCANIQtJB INDUSTRIELLE.

chute des corps pesants, suivant la direction de la verticale ou de l'aplomb. Mais, avant de l'exposer, faisons connaître les circonstances qui, à la surface de la terre, accompagnent et modifient ce mouvement.

Déjà nous avons vu (61 ) que la pesanteur pouvait être con sidérée comme une force sensiblement constante dans l'éten due ordinaire des travaux de l'industrie. Mais, à la surfac de notre globe, tous les corps sont plongés dans l'air, et ce air lui-même (3 et 4) est un corps matériel qui les presse d» toutes parts (37), et qui, en vertu de son énergie, de soi impénétrabilité s'oppose avec plus ou moins d'énergie à tout espèce de mouvement (66). Nous ayons vu (M) que Teffe de la pression de l'air sur les corps solides se réduit sensi blement à diminuer le pioids de ces corps d'une quantité égal au poids du volume, de fluide qu'ils déplacent; de sorte qu< cette diminution est d'autant plus sensible que, à égalité d volume d'un corps, son poids est moindre. Quant à la résis tance que l'air oppose au mouvement de§ corps, en vertu dson inertie et de sa force de ressort (63), l'expérience ap prend que celte résistance varie selon l'étendue et la fono de la surface extérieure des corps, mais surtout selon la rapî dite plus ou moins grande du mouvement. — En frappant l'ai avec une palette plane et mince, la résistance qu'on éprouv est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plu considérable, tandis qu'elle est à peine sensible quand 1 mouvement s'opère avec lenteur. Si, au lieu de frapper l'a avec toute la surface du plan de la .palette, on fait mouvo cette palette de biaîs, la résistance est moindre à vitess égale, et elle est la plus petite possible quand on oppose toi à fait le champ ou le côté mince de la palette à l'action d l'air; c'est-à-dire quand on dirige sa face plane dans le set même du mouvement.

Des choses analogues se passent à l'égard de tous les cor| qui se meuvent dans l'air; et Ton observe que la résistanc croît généralement : i° avec l'étendue de la surface antériem des corps, ou qui se présente directement à l'action de Taii 2® avec la difficulté plus ou moins grande que, par suite de '. forme même de ces corps, l'air éprouve à glisser le long d leur surface, Jr se dévier ou à leur faire place; 3° avec la grar

(leur de la vitesse qu'ils possèdent, et cela dans un rapport qui croit plus rapidement que cette grandeur, et qui surpasse même un peu son carré (*).

114. Chute verticale des corps dans l'air, — On conçoit, d'après tout ce que nous venons de dire, que la présence de l'air doit apporter des modifications plus ou moins sensibles aux lois de la chute verticale des corps qui sont abandonnés librement à l'action de la pesanteur; et Ton peut même prévoira l'avance et expliquer une infinité de faits que Texpérience journalière confirme; tels que Vixscension spontanée ou naturelle (31) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans r^tmosphère, la chute plus ou moins rapide des corps solides, etc. — En laissant tomber dans l'air et d'une même hauteur des corps solides, on observe, en effet, flueceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface àraction directe de l'air et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu'une balle de plomb creuse ou qu'une balle de bois pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi (plus vite qu'une balle de liège, etc.; enfin, un même poids de la même substance peut aussi tomber plus ou moins vite selon que cette substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée. La raison en est toute simple : dans le premier cas, la diminution du poids des différents corps et la résistance de l'air sont les mêmes pour chacun d'eux, tandis que (35 et il) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide, qui mesurent véritablewieni l'énergie de la pesanteur, sont très-différents ; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, due à la pression de l'air, et la résistance de cet air qui croît avec la surface extérieure des ^^^ps, sont aussi moins sensibles pour les corps plus compactes que pour les autres.

*^^* Chute dans le vide, mode d'action de la pesanteur. "" ^' l'on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace

"fyyez le Chapitre relatif aux lois de la résistance des fluides en général.

IIO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

enlièremeni vide ou privé d'air, chacun d'eux, en descendai toujours de la même hauteur, arriverait nécessairement c moins de temps ou plus vite au bas de sa chute; car l'actio de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L'eî périence qui confirmerait un tel aperçu n'aurait donc rien qi dût nous surprendre; mais il n'en serait pas de même si ell nous apprenait que les corps tombent tous également vil d'une même hauteur, car nous sommes naturellement porte à croire que les corps qui ont le plus de poids, étant soliiciti avec une force plus énergique, doivent aussi acquérir li degré de vitesse plus grande; nous ne faisons pas attention, e effet, que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre e mouvement dans le premier cas que dans le second, de son que la résistance de l'inertie (66) est réellement plus grande

Or c'est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vie (36) dans un grand tube de verre {PI. I,Jig. 3o), après y avo préalablement introduit des corps solides de diverses espèce depuis les plus légers jusqu'aux plus denses : ces corps pa: venaient tous à la fois au bas de leur chute quand, par u moyen quelconque et facile à imaginer, on les lâchait e même temps et de la même hauteur. Ils ont, de plus, rema: que que ces corps tombaient dans le même ordre et conse: valent les mêmes distances respectives dans toute la durée c leur chute; ce qui prouve que la pesanteur leur imprimait, chaque instant, le même degré de mouvement; nous poi vons donc admettre, comme parfaitement démontré, ce prii cipe général qu'il est important de retenir :

La pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes T particules de la matière quelle qu'en soit la nature particB lièrey et leur imprime, à chaque instant y le même degré c vitesse dans le même lieu et dans le vide.

On s'assure d'ailleurs très-simplement que la pesanteur ag aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sl celles du dehors, en observant qu'un même corps pèse égah ment à l'air libre ou placé dans l'intérieur d'un autre corps par exemple, dans une chambre, dans une boite; ce qui n peut avoir lieu qu'autant que l'action de la pesanteur se fass sentir à travers la matière même de cette chambre, de cet! boite.

On voit aussi que le poids absolu d'un corps n'est autre

chose que le résultat de toutes les petites actions réunies de

la pesanteur sur les molécules matérielles de ce corps. Il ne

faut donc pas confondre le poids avec la pesanteur, qui est

véritablement la force élémentaire qui sollicite ces diverses

molécules à se mouvoir avec le même degré de vitesse.

116. Expérience sur la chute des corps, — Nous venons de voir que les corps les plus denses, tels que l'or, le plomb, le cuivre, sont ceux qui, à égalité de surface, tombent le plus vile dans Tair, parce que la résistance est alors très-faible par rapport au poids* total du corps. Mais, quand la hauteur de chute ne surpasse pas 5 mètres, par exemple, on trouve, par l'expérience, que des balles de ces diverses substances tombent dans le même temps, et qu'elles ne tombent même guère plus vite que des balles de marbre et de cire, égales en volume, dont le poids est sept fois, vingt fois moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de l'air exerce réellement, pour de petites chutes, une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu'on peut trèsbien admettre, par exemple, que la loi que suit la balle d'or, en tombant, dans l'air, d'une hauteur moindre que 5 mètres, est, à très-peu de chose près, la même que celle qu'elle suivrait si elle tombait de celte hauteur dans un espace entièrenient vide.

Galilée, célèbre physicien italien, qui a le premier découvert celte loi par des expériences directes et suffisamment précises, a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesanteur est donc (107) une force motrice constante, agissant ^vecune intensité égale à chaque instant et quelle que soit la ^'lesse déjà acquise par le corps. Alwood, physicien anglais, ^û reprenant depuis les expériences de Galilée avec des 'doyens plus ingénieux encore et plus précis, a oblenu les '^êmes résultats. Nous pouvons donc poser les principes gé- '^^'^ux qui suivent (109).

**'^. Lois de la chute des corps dans le vide, — Lorsqu'un ^^P^ tombe verticalement et d'une certaine hauteur dans le vide,

I® Les vitesses acquises aux divers instants sont propor n elles aux temps écoulés depuis le commencement de là a

2? Les . espaces totaux parcourus aux mêmes instante les hauteurs de chute, sont proportionnels aux carré temps écoulés;

3° Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carré vitesses acquises au bas de chacune d'elles ;

4** La vitesse acquise au bout de la première unité de t est égale au double de la hauteur de chute déjà parce pendant cette même unité de temps.

Pour le point du globe où nous nous trouvons, la hai verticale parcourue, dans la première seconde de sa chu dans le vide, par un corps qui est abandonné librei à l'action de la pesanteur, est égale à 4">9o44; ^^r vitesse acquise au bout de ce temps est deux fois 4'"» 9^4 9",8o88. Cette dernière vitesse est ordinairement représe par g- dans les Traités de Mécanique : ainsi g-^g^jSoSS: la connaissance de cette grandeur qui sert à calculer ( toutes les circonstances du mouvement accéléré des c tombant d'une certaine hauteur dans le vide, ou des c très-denses tombant d'une petite hauteur dans Tair.

118. Formules et exemples de calcul. — Ordinairemen représente par la lettre h ou H, la hauteur, en mètres, d'( corps est tombé à un certain instant; en nommant toujoi le temps employé par ce corps à décrire le chemin vertic ou à tomber de H, et V la vitesse qu'il a acquise à la fi ce temps, on aura, d'après ce qu'on a trouvé (110) po cas général :

H = iVxï, H = i^xT% V'=2g^xH,

V = ffXT, ff=:9",8o88, ou

H = ;VT, H=:ig^P, V^=2gH, \ = gT,

formules fréquemment rappelées en Mécanique, et d'un g usage pour calculer les circonsiance§ de la chute des c pesants.

Supposons qu'on veuille trouver la vitesse acquise V,

PRINCIPES FONDAMENTAUX. Il3

chemin H décrit au bout de 7 secondes de cliulc; T représenlam ici les 7 secondes on aura

V = gx T = 9", 809 X 7 = 68"», 66 environ, H = Tg- X T»=: 4"», 9044 X 49 — 23o'",4i6.

Si l'on se donnait seulement la hauteur H de chute, on calculerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au nioyen delà relation V*= ag^XH. Supposons, par exemple, H = 10'", on aurait

V*=i9'»,6i76x ïo'»= i96"»i, 176:

elll ne s'agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donnerait cetle quaniiié. Or cette racine est ici 14 mètres environ, puisque i4Xi4 ou i4'= 196.

Pour montrer une nouvelle application des principes cidessus, nous supposerons que deux corps différents tombent verticalement d'un même point A (P/. 7, yîg-. 3 1), où ils se trouvaient d*abord au repos, mais ne tombent que Tun après Tauire, et à un intervalle de temps qui soit seulement de 777 de seconde ou o'',oi. Cela posé, nous nous demanderons à quelle dislance A'B' se trouveront entre eux ces deux corps, à la fin de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis Hnsiantdu départ du second corps.

Puisque ce corps ne part du point A, que o",oi après le premier, il en résuite que celui-ci aura déjà parcouru un certain espace AB avant l'instant où Taulre aura été lâché de A; cherchons d'abord cet espace au moyen de la formule

T = o",oi; aonc

^esi-à-dire que la distance AB, entre les deux corps, n'est pas '"^'^e de {- millimètre.

Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront, "'* ^e l'autre, les mêmes corps, à l'inslant où une seconde

Il4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

entière se sera écoulée depuis Tinstant du départ du deuxièmi corps ; et, pour cela, calculons séparément les chemins AB', AA décrits par chacun de ces corps, à partir du point A, en ol servant que, puisque la durée de la chute AA' du second corp est de I seconde, celle de la chute AB' du premier est

'/ i ^if ^ , //

r -4-o",oi = r',oi; on aura

espace AA' = 4"*, 9044 X i " X i " = 4", 9o44» et

espace AB' = 4'", 9044 X 1,01 x 1,10 i^S^jOoS;

donc pour l'intervalle A'B' ou AB' — AA'

A'B' = 5°», oo3o -« 4™, 9044 = o", 0986.

A la fin de la deuxième, de la troisième seconde de chute les deux corps seraient déjà à une distance Tun de l'autre d( près de 20, de 3o centimètres, etc.

Ces résultats expliquent très-bien pourquoi les jets d'eai des jardins, des pompes à incendie, qui s'élèvent verticale ment ou sous une certaine inclinaison, en filets compactes e continus, retombent, au contraire, en se divisant en goutte: lettes, en pluie plus ou moins fine: car la résistance de l'aii loin de séparer les parties, comme on pourrait le croir d'abord, tend au contraire à les réunir en diminuant la rap~ dite du mouvement de celles qui redescendent les première= C'est aussi là l'explication très-simple de l'effet si connu Am cascades naturelles, dont l'eau, en se précipitant du haut da montagnes, se divise en une pluie tellement fine, qu'elle re semble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suit, que de telles remarques ne sont pas seulement un objet c curiosité, mais qu'elles peuvent aussi recevoir des applics tions dans les arts.

119. Observations diverses. — L'opération par laquelle s'agit de trouver la vitesse V, acquise à la fin de la chute ve ticale d'un corps, quand on a la hauteur H de cette chute, S

PRINCIPES FONDAMENTAUX. Il5

reproduit très-fréquemment dans la Mécanique pratique; aussi a-i-on construit exprès une Table qui fournit immédiatement la vitesse répondant à une Iiauteur donnée : son utilité toute particulière dans les applications nous a décidé à la rapporter à la fin de cet Ouvrage.

On dit ordinairement que la vitesse V est due à la hauteur H, el réciproquement que cette hauteur est due à la vitesseY, expressions abrégées qu'il est bon de retenir.

On doit se souvenir que, dans Tair, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement diffèrent très-peu des véritables, dans les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (116). Nous ferons d'ailleurs connaître, dans la partie de cet Ouvrage qui est consacrée aux applications, les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air; ce^ calculs conduisant, de suite, à la théorie des parachutes et des ballons, pourront servir à démontrer l'utilité immédiate des principes de la Mécanique.

120. Ascension verticale des corps pesants. — Lorsqu'un corps, une balle de fusil par exemple, est lancé, de bas en àdut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, 3vec la même intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vilesse primitive; le mouvement sera donc uniformément re- ^ardé, et, d'après ce qui précède (112), la vitesse finira par s'éteindre,' quand le corps sera arrivé à une certaine hauteur,. P^is il redescendra, en vertu de l'action de la gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse qu'il possédait en montant ^tpour les mêmes positions. Ainsi à i, a et 3 mètres au-dessus ^c terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, soit dans l'ascension, soit dans la chute ; il n'y aura que la ^•rection du mouvement de changée : par exemple, lors de sa <îhute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui '^ura précisément restitué la vitesse qu'il avait primitivement. Nommant V celte vitesse et H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, on aura

V'=2gH;

Il6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

(1*011 il sera facile de déduire H de V, ou réciproquement, avec [^ Table (119).

On pourra aussi calculer toutes les autres circonstances de l'ascension verticale du corps, par les méthodes du n** 112; mais il ne faudra pas oublier, je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que l'air n'existe pas ou n'exerce aucune influence sensible sur le mouvement. Car, dans la réalité, les corps s'élèvent à une hauteur un peu moindre que celle qui répond ou est dueklenv vitesse initiale, et, de plus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou deMeur ascension.

Force vi^e, masse et quantité de mouvement.

121. Travail relatif à la vitesse de chute des corps. — Nous ^ pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d'ac-^ — . tion que dépense la pesanteur pour engendrer une certainc^^ vitesse dans un corps, ou pour vaincre l'inertie de ce corps. ^ Nommons, en effet, P le nombre des kilogrammes que pèse J^ corps, c'est-à-dire l'effort total (60 et 115) que la pesanteu exerce sur ce corps, et qu'il faudrait employer pour le soi tenir; ce sera aussi là mesure de l'effort constant exercé si ce corps pendant sa descente de la hauteur H. La quantité (K e travail, développée par la pesanteur et consommée par l'inerti e (66), pendant cette chute, sera donc représentée (78) par ■ e produit PH; et cette quantité de travail aura engendré, dar:»s le corps, la vitesse V calculée (118) par l'équation

Mais, si l'on divise le produit ^g-xH ou V par l'un de s^^s facteurs 2g^, on aura l'autre facteur

et, par conséquent, P X U est la même chose que P X

■ni

ou -- X\'.

Ainsi la quantité de travail, développée par la pesanteur povir Imprimer une certaine vitesse V à un corps, dans la direction verticale, est égale à la moitié du produit obtenu en multipliant le carré de cette vitesse par le poids P de ce même corps, divisé par la vitesse g ou 9", 8088, que la pesanteur imprime à tous les corps (117), au bout de la première seconde de leur chute.

122. Force vive des corps; sa relation avec le travail méca" nique, — Le produit

- X V' ou - V^

^st précisément ce que les mécaniciens sont convenus de ï^ommer \2i force xnve du corps dont le poids est P et la vitesse actuelle V; on voit donc que /« quantité d'action ou de tra- ^(iil, dépensée par la pesanteur pour produire la chute verticale d'un corps, est la moitié de la force vive imprimée au bas rfe cette chute; ou, si Ton veut, la force vive imprimée est le double de la quantité de travail dépensée par la pesanteur. Lorsque le corps est lancé verticalement, de bas en haut, avec une certaine vitesse,le travail de la pesanteur, toujours mesuré par le produit du poids et de la hauteur à laquelle le corps a été élevé verticalement, est employé, au contraire, à détruire cette vitesse. Par conséquent, dans les deux cas de U descente et de la montée, la moitié de la force vive acquise ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre l'inertie du corps; c'est-à-dire que cette mesure Teste la même, soit que la pesanteur imprime une certaine vitesse à un corps, soit qu'elle détruise une vitesse égale et qy'il possédait déjà.

Nous prouverons bientôt que ce principe a lieu, quelles que

soient et la force motrice et la nature du mouvement qu'elle

communique au corps, dans sa direction propre. Mais il est

nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et de

poser quelques autres définitions généralement admises par

^^s mécaniciens.

^23. Comment on doit entendre la force vive — L'ex-

Il8 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

pression àe force vive, employée pour* désigner le produit

îxv,

pouvant induire en erreur beaucoup de personnes, il est 1 de remarquer ici que, d'après noire manière de voir, ce n' point, à proprement parler (59), une force, pas plus qu< quantité P X H, que nous avons nommée, en général, qu4 tité d* action, quantité de travail ; c'est tout simplemen résultat de l'activité d'une force motrice ou de pression, ex^ mable en poids, qui a été employée, pendant un temps f ou moins long (57), à vaincre l'inertie de la matière d corps, à imprimer un certain mouvement, une certaine vile à ce corps. Sous ce point de vue, la force vive serait véri

blemenl Veffet dynamique [%(^) de la force motrice, ou plu

le double de cet effet, puisque - x V'= ^P x H.

Lors donc que nous emploierons le mot force vive, ce sera' jamais que pour désigner la valeur numérique d'une c taine quantité essentiellement relative au mouvement acf d'un corps, ou au mouvement qu'il pourrait réellement quérir dans des circonstances déterminées; et, sans s'ar aucunement à la signification propre des* mots par lesque l'indique dans le discours, il faudra seulement se soi que sa valeur, en nombre, équivaut au produit du carr vitesse effective d'un corps, par le poids de ce corps par g ou 9"*,8o88. Ainsi nous ne confondrons pas, con le fait quelquefois (80), la force vive des moteurs quantité de travail qu'ils développent contre des ré' qui leur sont opposées; et, s'il nous arrivait, par exe parler de la force vive d'un homme ou d'un cheval, tendrions uniquement spécifier le produit ci-dessi nant leur vitesse et leur poids réels, produit bien c celui qui mesure la quantité de travail mécanique f loppée par ces moteurs, à chaque instant ou certain temps, lorsqu'ils sont appliqués à une m outil quelconques (74 et 77).

124. Réflexions sur la force vive et les force -"^nAral, — Ce qui a porté autrefois les mécanic

le xTïoi force vive, c'est qu'ils ont confondu Veffet avec la cctë^ssy le résultat du travail d'une force motrice avec ce travctil même; par la seule raison que les mesures, en nombres, de ce travail, de cet effet ou de ce résultat, sont directement comparables entre elles, ou ont une certaine relation numérique. Ayant d'ailleurs admis l'expression Aq force pour désigner les effets, les résultats de l'activité d'un moteur qui travaille, et voulant les distinguer de V effort ou pression simple [if\))(\MQ le moteur exercerait sur un corps qui resterait en repos ou céderait très-peu (89) à son action, ils ont dit que c'était une force vive, et celte pression, cet effort, ils Vont nommé force morte. De là aussi la dispute qui s'est élevée, parmi les géomètres du dernier siècle, sur la manière de mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles; dispute fort oiseuse et qui n'a fait qu'embrouiller des choses très-claires par elles-mêmes, puisqu'il est impos* sible de confondre l'effort, la pression simple qu'exerce un Moteur sur un corps, avec son travail mécanique, et ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d'un corps.

A la vérité, un corps mis en mouvement, un certain effet dynamique (Vi^) peut, à son tour, devenir une cause, une source de travail : c'est ainsi, par exemple, qu'un corps lancé verticalement, de bas en haut, est élevé, en vertu de sa vitesse, à une certaine hauteur, tout comme il le serait par l'action d'un moteur animé. Mais il arrive ici la même chose que lorsqu'une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élastique (97) : l'inertie de la ïnaiière a été mise en jeu de la même manière que les forces moléculaires Font été dans ce dernier cas; cette inertie (106), quand elle a été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le ressort qui a été bandé. En un mot, l'inertie comme les ressorts (96), sert a emmagasiner le travail mécanique, en le transformant en force vive, et réciproquement, de sorte que la force vive est ^^ véritable travail disponible,

Nous avons vu (102) qu'on peut en dire tout autant d'un

corps qui a été élevé à une certaine hauteur, par un moyen

^^^Iconque; ce corps, sollicité par la pesanteur, est la source

^^e quantité de travail, dont on peut disposer subséquem-

I20 HÉCAPilQUE INDUSTRIELLE.

meni pour produire effectivement dû travail mécanique. Mais, de même que nous ne disons pas, en termes absolus, que ce corps, actuellement élevé à une certaine hauteur, est une

forccy qu'un ressort bandé est une force; de même aussi il

est peu exact d^e dire qu'un corps en mouvement, que - V*

est xxxït force. Ces réflexions sont également applicables aux hommes et aux animaux en général, aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (99), aux cours d'eau, au vent, etc.; ce sont des agents de travail, des moteurs si Ton veut, mais non de simples forces, de simples pressions (59). L'objet de la Mécanique industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations que peut subir le travail des moteurs par le moyen des machines ou des outils, à com* parer entre elles les quantités de ce travail, à les évaluer em argent ou en ouvrage de telle ou telle espèce, etc.

125. Définition de la masse des corps. — Puisque la pesan . teur agit indistinctement sur toutes les particules matériellea d'un corps, et tend, à chaque instant, à leur imprimer \m même degré de vitesse dans le même lieu (115), on voit qu» le poids de ce corps, qui est le résultat de toutes ces action partielles, peut donner, jusqu'à un certain point, une idée d ]a quantité de matière qu'il renferme ou de sa masse. SuivaiK cette notion, la masse serait donc proportionnelle au poidss souvent même on prend, dans les applications, les poids poi« les masses. Mais, comme l'intensité de la pesanteur varie d'u lieu à un autre (61), et que la quantité de matière ou la masm absolue d'un même corps ne varie pas, on voit que cette de* nière serait, dans certains cas, mal définie par le poids simpH de ce corps. Or l'expérience apprend que la vitesse imprimés par la pesanteur, au bout de la première seconde de chute

demeure constamment proportionnelle à son intensité; c'es^

p à-dire (117 et 121) que le rapport - reste le même pour toi*

les lieux; Ainsi, P et P' étant les poids absolus (60) et dans 1 vide, d'un même corps transporté, par exemple, à deux hau: teurs différentes; g* et g' les vitesses qu'à ces hauteurs, Ipesanteur imprime, dans le vide et à la fin de la premièri

seconde de chute, à chaque particule de matière, on a

*' *-' or o'

C'est donc à ce rapport invariable - ) et non, au poids P lui-

roêine, que s'applique véritablement, en Mécanique, la définition de la masse d'un corps; et IJon commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves, en prenant le poids pour la "mesure de la masse.

126i Expression abrégée de la masse et de la force vive, dans les calculs. — Ordinairement on représente la valeur de 1^ masse par la lettre m ou M : on a donc

S et, par suite,

P = Mxg=^Mg;

P exprimant reffort absolu exercé, par la pesanteur, sur un certain corps, et g la vitesse qu'elle lui imprime, dans le même lieu et dans le vide, au bout de la première seconde de

sa chute verticale.

D'après cette convention, la valeur ci-dessus — V de h force

v/fe d'un corps (121) se trouve aussi représentée, dans les calculs mécaniques, par

MxV* ou MV%

c est-a-dire par le produit de la masse de ce corps et du carré "^*û vitesse acquise ou actuelle.

^'"^^ Quantité de mouvement des corps, — Les mécaniciens •^ont également convenus de nommer quantité de mouvement

^" corps, le produit de sa masse, définie comme on vient ^ 'e dire, par la vitesse simple et actuelle que possède cette

'"«««e; c'est-à-dire que

M X V ou - X V,

i29s MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

qu'on écrit aussi

PV MV ou —

pour la simplicité, est ce qu'on nomme une quantité de m(^ vement en Mécanique. Cette quantité est, comme on vo^ très-différente de ce que nous avons appelé (80) la quaniï^ d* action ou de travail des moteurs; et on ne peut la coi^ fondre avec cette dernière qu'autant (84) que Ton confondra* aussi l'effort d'un moteur avec le poids réel, ou plutôt avec masse d'un corps; ce qui n'est évidemment pas permis (*).

128. Observations générales. — Dans le fait, c'est principa lement pour abréger et simplifier tout à la fois les calculs e les raisonnements, qu'on emploie les dénominations de mass^ de quantité de mouvement y et qu'on les représente par de lettres particulières; on pourrait aisément s'en passer, ain^ que du xtioi force vive, dans l'exposition des principes de 1 Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en or fait usage, il devient important de bien se pénétrer de leu véritable signification, et de ne pas oublier qu'elles se rap portent toutes à des corps matériels et au mouvement véritabl

(*) Nommons Q la valeur, en nombre, de — X V, on aura Q = — xV, o

ce qui revient au même, QjP :: V:^. Mais P est le poids véritable d*un ce

tain corps; g^ ou 9*", 8088 est la vitesse que la pesanteur imprime à ce cor

au bout de la première seconde de chute et dans le lieu où nous sommes ; àxp

Q n*est autre chose que le poids absolu du même corps dans le lieu où la gi

vite serait capable de lui imprimer la vitesse V au bout de la première secoiB.

de chute, c'est-à-dire Tefifort qui soutiendrait le corps contre l'action de ce'

gravité. On voit aussi que la force vive MV* ou MV X V n'est elle-même c|

le produit de ce dernier poids, de cet effort, par la vitesse V, ou par le chenr

que décrirait (48) uniformément le corps, dans l'unité de temps, en vertu

«a vitesse actuelle. Ces observations peuvent servir à distinguer entre ell

d'une manière absolue, la quantité de mouvement et la force vive, ainsi q«

montrer l'identité de nature que, sous un certain point de vue, les mécanicie

ont attribuée à ces deux sortes de grandeurs, ainsi qu'au poids et au trav

mécanique véritables; elles expliqueront aussi comment on se permet qu<

quefois de regarder la quantité de mouvement comme une Jorct morte ( 124

«omme un effort simple ou sans énergie, et la quantité de travail comme u:

force vive. Au surplus, nous n'avons nullement besoin de nous inquiéter de <

distinctions qui, à le bien prendre, sont de vraies subtilités.

Le ces corps; ou plutôt qu'elles sont des expressions pure- .Tient conventionnelles pour exprimer, d'une manière commode» certaines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique, quand il s'agit du mouvement des corps.

DE LA COMMUNICATION DIRECTE DU MOUVEMENT PAR LES FORCES MO- TRICES EN GÉNÉRAL, ET DU CHANGEMENT DU TRAVAIL EN FORCE VIVE.

129. Rapport des forces motrices au mouvement imprimé. - Nous venons de voir (125) que la pesanteur communique, à un même corps et au bout de la première seconde de chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Mais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie, en effet, très-peu(61) dans toute la hauteur de cette chute; de sorte que la vitesse totale, acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés dans chaque élément du temps (107 et suiv.). Lorsque la force motrice, au lieu d'être constante, varie à chaque instant, il est évident qu'alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse totale qu'elle imprime dans le sens propre de son ac- ^ioiiy à un même corps et au bout de l'unité de temps, mais qu'elle dépend uniquement, pour chaque instant, du degré de vitesse infiniment petit qu'eWe lui communique à ce moment.

L'observation de ce qui se passe à la surface du globe lerfesire et dans les mouvements de notre système planétaire, prouve que

L^s forces sont réellement proportionnelles aux degrés de ^^iesse qu'elles impriment, dans des temps égaux infiniment P^tits^ à un même corps qui cède librement à leur action, et «û/w le sens propre de cette action.

Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement, et " doit être considéré comme une loi générale des forces mo- ^"cesdela nature.

Pour éviter désormais des répétitions inutiles, nous rap-

ia4 MÉCAXIQCB IKDDSTftIELLB.

pellerons qu'ici, comme dans ce qui précède et dans ce qui suivre, les forces sont censées agir d'une manière directe \ les corps, c'est-à-dire dans le sens propre du mouvement qu prennent ou tendent à prendre, et que, dans ce mouveme les diverses parties de ces corps sont aussi censées chenUi parallèlement et de la même quantité, ainsi qu'il arrive di une infinité de circonstances. Si l'on veut encore, on p* considérer les corps comme dépouillés de leurs dimensio ou leur matière, leur masse, comme concentrée en un s point sur lequel agit immédiatement la puissance.

130. Mesure des forces motrices et d* inertie par la vitesse primée et réciproquement. — Soit F la mesure, en kilogramn> d'une certaine force qui agit directement sur un corps céd librement à son action; soit v le degré très-petit de vite qu'elle imprime à ce corps, à une époque quelconque et p dant le temps infiniment petit /; soit pareillement P le pc ou la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu, ce. même corps, et (^ le petit degré de vitesse qu'elle tew lui imprimer, ou qu'elle lui communiquerait, en effet, p dant la durée de /, s'il était parfaitement libre de céder à i action. On aura, selon ce qui précède,

F:P::i:c'; d'où

P P Pi-

Mais, d'après la première loi de la chute des corps (117), n<

avons

vigiztzi":

d'où

i''=gt:

donc

F=— =Mx-.

M étai.t la masse du corps [ Ii5).

Ainsi, quand on connaitra le degré de vitesse v imprii dins le temps infiniment petit t^ par la force F, on poi calculer cette force, qui est égale et contraire à la résista

qu*oppose, au mouvement (66), l'inertie de la matière du corps; résistance que nous avons nommée simplement /orce Sinertîe, et qu'on pourrait aussi appeler ( 123) la force dyTia-miçwe des corps, parce qu'on attache ordinairement au mot dynamique l'idée d'un changement de mouvement. La relation

F=M X - = M -1 nons apprend donc que

la force d'inertie F crott proportionnellement à la masse du corps et aux degrés de vitesse v qu'il reçoit dans des temps élémentaires /, égaux et infiniment petits.

De la relation ci-dessus, on tire réciproquement la valeur f=-rj— 5 donc

Les degrés de vitesse qu'une force motrice imprime à un corpSf pendant un même temps élémentaire infiniment petit, ^ont proportionnels à l'intensité de cette force et inversement à la masse du corps.

On remarquera d'ailleurs que tout ce qui précède s'applique 8ussi bien au cas où la force F ralentit le mouvement acquis ^u corps qu'à celui oii elle l'accélère; seulement, au lieu de degrés de vitesse acquis, on a à considérer des degrés de vitesse détruits dans ce corps, et la force F devient une résistance véritable, qui s'oppose à l'action de l'inertie devenue Puissance (58). C'est généralement ainsi qu'on devra entendre ^es choses dans lout ce qui va suivre.

131. Rapport des forces motrices aux quantités de mouve-- ^ent imprimées. — D'après nos définitions (127), le produit MXf ou Mi' n'est autre chose que ce qu'on nomme une quan- ^ité de mouvement, en Mécanique. On voit donc que la première des propositions ci-dessus revient à dire que

La force d'inertie crott proportionnellement à la quantité ^^ mouvement communiquée ou détruite dans un même ^f^^tant infiniment petit;

Ou que

L^s forces motrices communiquent ou détruisent , dans des ^ estants égaux et infiniment petits, des quantités de mouve- ^ene qui leur sont proportionnelles.

Soient, en effet, F et F' deux forces motrices ou pression^ s quelconques agissant, pendant un même instant inflnimen^^t petit t, sur deux corps différents, de masses M et M'; soient ç et / les degrés de vitesse qu'elles leur impriment respectiv^^. ment, à la fin de cet instant, on aura, selon ce qui précède.

Fr=M^, r=Wy

et par conséquent

F:F ::M^:M'- ::Uv:Wv\

Si donc les forces motrices F, F', ou les forces d'inertie q uî leur sont directement opposées, avaient la même intensité, la même valeur en kilogrammes, les quantités de mouvemc^nt qu'elles imprimeraient, dans le même instant très-petit /, seraient aussi égales ; ce qui résulte immédiatement de ce qu'on aurait alors '

M-z=Wj ou Mi'^M'i''.

On voit enfin que, si deux forces appliquées à deux corps f libres différents, demeurent sans cesse égales entre elles po^f les mêmes instants c'est-à-dire si elles varient de la mêntie manière, les quantités de mouvement totales et finies qu'elle* auront imprimées à ces corps, entre deux instants qu^^^" conques, seront aussi égales entre elles; car chacune d'el*-^* sera la somme de quantités de mouvement partielles telles (g, ^^ Mi', MV, qui ont les mêmes valeurs pour les divers instai successifs et égaux dont se compose la durée entière de Tî tion.

C'est ainsi qu'il faut entendre le principe par lequel les teurs admettent quelquefois que des forces motrices égi impriment les mêmes quantités de moMwemeni finies ou ^ taies à des corps quelconques, principe qui conduit à con dérerces quantités comme des forces véritables, tandis qu'élu expriment uniquement des sommes de produits tels que K relatifs aux forces ordinaires de pression (59 el 60) et à la dur du temps pendant lequel elles agissent. En effet, quelle q soit la petitesse de cette durée, elle n'est pas nulle (57),

quelle que soit la grandeur ou l'intensité des forces^ elles ne sont pas infinies, elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression ou de traction. Au surplus, je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous, qui n'admettons le mot quantité de mouvement que pour désigner un certain résultat des calculs, et pour abréger les énoncés des principes (127 et 128).

132. Autre mesure des forces motrices et d* inertie. — Revenons maintenant à la considération simple d'une force unique F, agissant sur un corps de poids P ou de masse M (130), et supposons qu'à une certaine époque du mouvement, cette

[cf force cesse tout à coup de varier, ou continue d'agir sur le jf corps avec l'intensité qu'elle possède à cette époque; la vitesse B augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps (107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu'elle imprimerait au corps, à la fin ^e la première seconde, s'il partait du repos au commencement ^e celte seconde.

Désignant par V, cette vitesse finie, on aura

V,:t'::i":/; d'où

V, = ^, el F = Mx- = MV,.

Ainsi, dans le mouvement varié, en général, la force motrice, ^&9le et contraire à la force d'inertie, à la force dynamique, est Mesurée, à chaque instant, par la quantité de mouvement 9^*elle imprimerait, au bout d'une seconde, si, au lieu de va- '*'^r, elle demeurait ce qu*elle est à cet instant. Mais, de ce S^e les quantités de mouvement sont propres à servir de mesure aux forces, ce n'est pas une raison de les confondre avec ^^s forces; car ici la durée, la constance qu'on suppose à l'ac- ^'Oïi, est une condition essentielle et qu'il ne faut pas perdre *e vue.

133. Calcul des mêmes forces par la loi géométrique du mou- ^^ment. — Ces dernières considérations sur la force motrice, ^^ïïs le mouvement varié, sont analogues à celles qui con-

cernent la vitesse même du mouvement (53), et on peut les reproduire également à Taide d'une figure. Soil tracée {Pi. J, Jig, 32), ainsi qu'il a déjà été dit (108) à l'occasion du mouvement uniformément accéléré, la ligne O'a'6'. . ./', qui représente la loi des temps et des vitesses; soient cd^ dd' \^^ vitesses qui répondent au commencement et à la fin du Irè^^ petit instant ce/ ou /. Menons, par c'y la parallèle c'd^m à l'ai^ ^ des temps OB; elle retranchera, de l'ordonnée dd', la peiir^* longueur d'd", représentant le degré de vitesse imprimé, pari force motrice, dans la durée de l'élément de temps cd=<fd* degré dont nous avons désigné la valeur en nombre par v. Or**^ si l'on suppose qu'à partir du commencement de cd ou /, \^^ force motrice devienne constante, ou (107) qu'elle imprime ^ dans les instants successifs égaux à /, des degrés de vitess^^ aussi égaux à d'd"; la loi des vitesses acquises sera expri— ^ mée (108) par une droite c'/i, prolongement de c'd\ et quS sera tangente à la courbe O'a'b' .../', si l'intervalle cd ou t es! censé excessivement petit. Prenant donc c'm=z i", et élevani l'ordonnée mn terminée à c' /i, celle-ci ne sera autre chose la vitesse Vi, acquise, au bout de l'unité de temps, par I4 corps, en vertu de la force motrice supposée constante; et l'on^ aura, à cause des triangles semblables c'd'd" et c'mn, la pro — portion

c'd" ou / : d'd'^ Oii V :: c' mou i" : mn ou V. ; d'où Ton tire, comme ci-dessus,

Ainsi, quand on connaîtra la loi qui lie les temps aux vitesses

imprimées, ou la courbe qui représente cette loi, on pourra,K ^

pour chaque instant et par le tracé d'une tangente de cett^^

courbe, déterminer la vitesse V,, et, par suite, calculer, commet

il a été expliqué précédemment (130 et 132), la valeur*

p M V,= - X Vi de la force motrice F qui produit l'accélération^

de mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose (130),-— la résistance égale et contraire, que l'inertie de la matière du ^ corps oppose, à chaque instant, à l'action de cette force.

134. Trouver la loi du mouvement quand on a celle de la force. — Réciproquemenl, si Ton connaît, pour chaque instant et parle moyen d'une table ou d'une courbe, la valeur de la force motrice F par rapport aux temps révolus ou aux chemins décrits, on en déduira les valeurs correspondantes de

F fi". F V, =:-- = 'ï— , inclinaisons des tangentes c'n de la courbe

des vitesses; car la mesure de ces inclinaisons est donnée par

la valeur du rapport -r— = Vi. Si l'on connaît d'ailleurs la v/-

^^ cm

i^sse initiale 00' du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de tracer la courbe des vitesses successivement acquises sous l'action de la force motrice; car, ayant l'inclinaison de la tangente relative à chaque abscisse ou à chaque temps Oa, 06, Oc,. . . , on pourra, de proche en proche, construire les positions consécutives O'a', û'é', i'c', . . ., des éléments rectilignes de cette courbe, et en déduire les ordonnées aa', bb', ce', qui mesurent les vitesses acquises par le corps à la fin des temps correspondants.

Par exemple, la vitesse initiale du corps étant 00', on mè- '^eraO'/w' parallèle à OB çt égale à l'unité de temps; puis, ^ym calculé la valeur de V, relative à l'intensité de F au mo- '^ent où l'action commence, on portera cette valeur sur l'ordonnée m'/i', de m' en /i'; traçant O'/i', ce sera la direction de l*ôlément 0'«'; et l'ordonnée aa\ qui répond au premier m- ^taniO^, donnera, en la terminant à la droite O'/i', la grandeur de la vitesse à. la fin de cet instant : en répétant les mêmes opérations pour le pointa', on en déduira 6' et 66', etc. On diminuera d'ailleurs la longueur des tracés, en construisant ^vielque part (PL I, Jig. 33) les inclinaisons successives/?n, j^/i', P^%,.. des tangentes relatives aux divers instants; car elles donneront, de suite, les degrés de vitesse tv, //, tv",. . . imprimés, par F, dans les instants successifs Oa, ab, bc,, . , représentés ici par/?/.

Il est évident que plus sera grand le nombre des parties égales dans lesquelles on aura divisé le temps total 0/ [PLI, fi^' 32), où l'on considère l'action de la force [motrice, plus ^3 courbe ainsi construite s'approchera de représenter la vé-

l3o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

rîuble loi du mouvemenl communiqué pai* celle force. Enfin les irapèzes 66V c, cc'd'd,,,. représeniani encore ici (108 les chemins élémenlaires successivemenldécriis, par le corps dans les peiils lemps correspondants 6c, cd,..., on obliendr: le chemin loial parcouru par ce corps au boui d'un lempi quelconque 0/el sous Taclion de la force moirice F, en me suranl Taire loiale de lous les pelits Irapèzes relaiifs à c< lemps, c'esl-à-dire la surface même du irapéze curviligm 00'/'/. Or celle surface se calculera aisémeni à Taide du procédé déjà menlionné (72), à l'occasion de la mesure du iravaij mécanique variable.

De la force vive des corps en général et de sa relation ave%

le travail mécanique.

135. Mesure du travail des forces motrices et d* inertie, — A Taide des noiions qui précèdenl, nous pouvons calculer! quanlilé de Iravail que doil dépenser, conire un corps di poids P ou de masse M (126), une force de pression qui varfi à chaque insianl en demeurant sans cesse égale et conirair à la force d'inerlie (130), pour imprimer à ce corps une cch laine vitesse, ou plus généralement, pour augmenter c^ diminuer sa vitesse d'une quantité donnée.

En effet, pour chaque instant infmimenl petit / du mouv^ ment, le travail de la force motrice est mesuré (72) par " produit de sa valeur moyenne durant cel instant, valeur q»nous nommerons F, et du chemin élémentaire qui a été A crit, dans ce même instant, par le corps ou par le point d'à ] plicalion de la force. Ce petit chemin, ainsi qu'on l'a remarqv. au n** 134, est donné, pour la //^. 32, PL /, par l'aire du tc*^ pèze élémentaire cdd'dy par exemple, qui serait formé sur ^ représentant le temps /, et sur la vitesse moyenne (108) cc^ respondante 7( ce' -h rfû?'), que nous nommerons V; c'esl—dire que ce chemin est égal au produit Vx /. Donc le Irav^ élémentaire dont il s'agit est F X V X /, et la même chc^^ aura lieu dans chacun des instants infiniment pelits égaux à Or nous avons trouvé (130) que, v étant le degré de vites^ d'd" imprimé au corps pendant le temps /, la valeur de F ét^

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aesurée par — - — 5 donc enfin la quantité de travail cherîhée est

C'est la somme de toutes ces quantités de travail partielles qui composent le travail total, et cette somme est facile à trouver par la considération d'une figure, en remarquant que, comme M est un facteur commun et invariable, cela revient simplement à trouver la somme des produits V X i'. A partir du point 0 {PI. If/lg' 34), pris pour origine, portons, sur la droite OB, les diverses valeurs de i/ ou des accroissements successifs O/i, ab, bcy cdy . de la vitesse, répondant aux divers instants égaux, t écoulés depuis celui du départ des corps, accroissements qui seront inégaux dans le cas du mouvement varié; les longueurs Oa, 06, Oc, Od,. . . seront les vitesses totales acquises à la fin desdits instants. Portons ces mêmes longueurs sur les ordonnées correspondantes aa\ bb\ cc\ rfcf',..., de telle sorte qu'on ait aa=z Oa, 66'= 06, cc'=i Oc,,..; la suite des points 0, a', 6', c',... va former une ligne droite inclinée à 4^ degrés sur Taxe des abscisses OB. Cela posé, considérons en particulier Taccroissement de vitesse d'd" qui a été nommé v, le produit V X i' de cet accroissement parla vitesse moyenne correspondante V, ou \[cc'-\- dd'), sera ici représenté par l'aire du petit trapèze cc'd'd. Donc ia somme cherchée de tous les produits Vxc^ a pour mesure celle des petits trapèzes correspondants, ou Taire comprise entre la droite 0/', Taxe OB des abscisses et les ordonnées qui représentent la vitesse au commencement et à ^3 fin de l'intervalle de temps pour lequel on veut calculer le ^''avail de la force motrice.

136. Relation entre le travail dépensé et la force vive ocquise. — Supposons, en premier lieu, que le corps parle '^"ï'epos, et qu'il s'agisse de trouver la somme des produits ^Xf, relative à la vitesse acquise dd' que nous nommerons ^'î celle somme, étant représentée par l'aire du triangle Orfrf', ^^^a pour mesure

;v| idd'xOd ou idd'xdd'=\\'\

l3s>. MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

Donc aussi la quantité de travail correspondante à la vites acquise V et consommée par V inertie du corps sera mesura ^ ( 135) par M X \\"={My'\ ou par la moitié de la force v\^^ communiquée à ce corps depuis V instant de son départ (1^^ et 126). Ce principe a donc lieu aussi pour un mouvemers varié quelconque et pour une force motrice différente de I pesanteur.

Pour une autre vitesse//' ou V plus grande que la pr mière, la consommation totale de travail sera également m surée par MXjV"^ ou IMV^; et par conséquent, po Tiniervalle compris entre les positions du corps qui répo dentaux vitesses V et V", la quantité de travail consomm sera mesurée par la différence ^MV"' — ^MV'' ou

(iMV"»-MV"),

correspondante au trapèze dd'f'f. Or MV'^et MV"^ sont h forces vives possédées par le corps au commencement et à la fin de Tintervalle de temps pour lequel on considère le irs^ • vail de la force; MV"'— MV* est donc raccro/wewe/i/ de la force vive, la force vive communiquée ou acquise dans (^^^ intervalle; de sorte que le principe ci-dessus peut s'appliqi» ^i aussi à deux instants quelconques du mouvement d'un corpus; c'est-à-dire que :

La quantité de travail dépensée par une force motrice qu ^s/conque qui «g-f^ (130), dans le sens même du mouvement d" ^^f' corps libre f pour accélérer ce mouvement, est mesurée par ^^ moitié de la force vive acquise entre les instants où Von cc^^' sidère le travail.

C'est évidemment aussi la mesure même du travail cc:^^' sommé [iixr l'inertie du corps (130).

137. Cas où la force motrice est opposée au mouvements " Ce qui précède suppose que la vitesse du corps augme^^^^ sans C3sse; s'il en était autrement, ce serait un signe qu^ '' force motrice serait opposée au mouvement antérieurem^^*^ acquis ou serait retardatrice ; de sorte qu'elle agirait al^^^ comme une véritable résistance (58). Du reste, tous nos r^^* sonnemenls demeureraient encore applicables, et l'on trcr ^

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veraii que, pour un certain intervalle de temps pendant lequel la vitesse V, antérieurement acquise, aurait été réduite à V par exemple, la quantité de travail développée par la résistance, toujours égale et directement contraire à la force d'inert'e devenue puissance, serait égale à

i(MY"^-MV'»),

ou à la moitié de la force vive qui a été perdue ou détruite. Ainsi la diminution de la force vive d'un corps entre deux

'estants suppose qu'une quantité de travail égale à la moitié .fe cette diminution a été développée par Tinertie de ce corps contre des obstacles ou des résistances, comme son augmentation suppose, de la part d'une puissance, une consommation <^e travail égale à la moitié de celte augmentation ; principe flu*on peut énoncer généralement ainsi :

-La perte ou le gain de force vive éproui^é, entre deux ifistants quelconques, par un corps dont le mouvement varie, f^i le double de la quantité de travail développée dans cet ^^tervalle par l'inertie du corps ou par la force motrice égale ^^ directement contraire.

138. Transformation du travail en force vive et réciproquement, — On voit clairement maintenant comment, en géné- •"^l, l'inertie de la matière sert à transformer le travail en force ^ive et la force vive en travail ; ou, pour nous exprimer comme . ûous l'avons fait précédemment (124-), à l'occasion du mou- ^^rnent vertical des corps pesants, on voit que l'inertie sert à ^^nmagasiner le travail des moteurs en le convertissant en torce vive, et à le restituer intégralement ensuite, lorsque ^^Ite force vive vient à être détruite contre des résistances.

t.es arts industriels nous offrent une infinité de circon- ^^nces où ces transformations successives s'opèrent par le '^^oyen des machines, des outils, etc. — L'eau renfermée dans ^^ réservoir d'un moulin représente un certain travail disponible, qui se change en force vive quand on ouvre la vanne ^^ retenue; à son tour, la force vive acquise par celte eau, en vertu de sa chute du réservoir, se change en une certaine ^vianiiiéde travail quand elle agit contre la roue du moulin.

l34 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

et celle-ci transmet ce travail aux meules, etc., qui confectionnent Touvrage. — L'air refoulé dans le réservoir d'un f«sil à vent représente la valeur mécanique d'un certain travail dépensé par un moteur pour l'y emprisonner (96); en lâchant la détente, l'air chasse la balle et convertit une portion plus ou moins grande de ce travail en force vive : si la balle est lancée directement (95) contre un ressort ou corps élastique quelconque retenu par un obstacle, ce ressort se bande, se comprime en opposant au mouvement de la balle une résistance égale et précisément contraire à son inertie, résistance qui, allant sans cesse en croissant (95), tinit bientôt par la réduire au repos, circonstance qui arrive quand le travail de la résistance a atteint une valeur égale à la moitié de la force vive que possédait la balle.

Supposons que le ressort soit maintenu par un moyen quelconque à la position qui correspond à cet instant, la force vive de la balle s'y trouvera emmagasinée ou convertie en quantité de travail dispoliible, de la même manière que s'il avait été bandé par une force motrice ordinaire (96); mais, si on le laisse réagir immédiatement contre la balle, celle-ci sera lancée, en sens contraire, avec une vitesse telle, que la force vive qu'elle acquerra sera le double de la quantité de travail qui a été développée, sur elle, pendant la détente du ressort (134).

139. Restitution et consommation de la force vive dans le choc des corps. — Si, dans l'exemple qui précède, il était permis de supposer que la balle quittât le ressort à l'instant même où celui-ci est revenu au repos et à sa position natu* relie, et si d'ailleurs (95 et 96) ce ressort conservait toute son énergie dans la détente, la vitesse et la force vive restituées à la balle seraient précisément égales à celles que le fusil à vent lui avait d'abord imprimées dans une direction contraire. Ainsi, dans l'exemple dont il s'agit, le travail aurait été alternativement converti en force vive et la force vive en travail sans qu'il y ait eu rien de perdu ni de gagné.

Dans la réalité (96), il est peu de corps qui jouissent d'une élasticité parfaite sous de grandes compressions, et l'hypothèse que la balle quitte le ressort à l'instant même où il a

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repris son étal ordinaire est purement gratuite; car il est, au contraire, évident, qu'en se séparant, ils auront acquis, en leur point de contact, une vitesse commune en vertu de laquelle une partie du ressort continuera à cheminer, comme la balle, jusqu'à ce que sa tension le ramène en arriére pour lui faire exécuter une série d'oscillations de plus en plus faites (19), et dans lesquelles les forces d'attraction et de répulsion des molécules (63) joueront, par rapport à leur force d'inertie, absolument le même rôle que k réaction totale du ressort par rapport à l'inertie de la balle. Une portion plus ou 'ïioins grande de la force vive primitive de cette balle aura donc été employée, soit à détruire les forces moléculairjes du ressort, soit à lui imprimer un mouvement oscillatoire propre. Of> cette portion étant comparable à la quantité de travail ïûême développée dans la réaction du ressort, ou à la force yive transmise à la balle, on voit que, dans le choc des corps ^fesiiques animés d'une grande vitesse et ayant une grande ^asse ou un grand poids, il peut se faire, dans un temps fort ^ouri, une perte de force vive ou de travail très-appréciable, ®^ voilà pourquoi, je le répète (98), il est surtout essentiel ^'éviter les chocs et secousses dans les machines de l'indus- *We. Au surplus, nous retiendrons sur ce sujet dans la partie ^es /applications^ et nous entrerons dans des développements ^^i ne seraient pas ici à leur place et qui troubleraient la *^9rche naturelle des idées.