COEFFICIENT

d'élasticité £,

par Diillim. carré.

Fil de cuivre, N® 1 .

Id. No 2 .

Id. NO 3 . .

Fil de laiton

Fil d'acier . .

Fil de fer

Tige de verre, N® 1 .

Id. NO 2 .

Id. NO 3

14 3oo 10 400 20000 17900

5 5oo

valeurs

moyennes

ou réduites.

Pour le laiton, le fer et l'acier, ces nombres s'accordent très-bien avec les moyennes insérées dans la table du n" 298 ; et, ce qu'il y a de remarquable, le fer en fil continue (292) à donner ici un coefficient d'élasticité 17900 kilogrammes, un peu inférieur à celui qui se conclut des expériences sur les prismes non étirés ou passés à la filière.

Quant aux valeurs de E, relatives aux tiges de verre, elles sont, tout au plus, les I de celles qui ont été déduites, au n° 267, du résultat des expériences de MM. Sturm et Colladon, expériences que ce dernier physicien se propose, au surplus, de répéter. Cette grande différence ne peut tenir évidemment qu'à des erreurs d'observation ou de mesure, à moins qu'on admette, entre les verres, une différence de constitution élastique (233), analogue à celle que présentent, eux-mêmes (293), les aciers, selon qu'ils sont plus ou moins trempés et recuits ; et, comme les résultats des expériences répétées, de M. Savart, sur les premiers, s'accordent suffisamment bien avec la moyenne d'entre eux, on devra provisoirement adopter, pour le verre, celte moyenne qui réduira ainsi (242 et 267) à

— = 0,000001 75 = /, et a - 0,000001 75 = 0,000002 63 = - /,

les valeurs respectives des dilatations ou contractions linéaire et cubique de cette substance, par atmosphère de traction ou de pression (*).

(*) Voir les Notes des n*^» 242 et 243. (K.)

Questions particulières relatives a la résistance

des matériaux.

301. Observations préliminaires. — Nous nous sommes beaucoup élendu, dans loul ce qui précède, sur ce qui concerne la résislance directe des corps à Texlension et à la compression, parce que ces notions , non-seulemeni forment la base des plus importantes applications de la Mécanique à la science des machines et des constructions, mais encore sont indispensables pour bien saisir et apprécier le rôle que jouent, dans une infinité de circonstances, les forces d'élasticité et de ténacité, soit des molécules individuelles, soit de leur ensemble constituant les divers corps solides en usage dans les arts.

En remplaçant, comme on le fait quelquefois, cette expos!*» tion circonstanciée des résultats de Texpérience, par des tableaux résumés qui ne continssent que les moyennes générales relatives à chaque espèce de corps; en négligeant de les accompagner d'éclaircissements propres à en montrer le véritable esprit, ou le degré de précision et de certitude, quant aux diverses applications, nous eussions craint, dans une matière aussi grave, d'inspirer au lecteur une fausse sécurité, une confiance trop aveugle dans les résultats, qui ne serait pas moins dangereuse sous le point de vue de la solidité, que sous celui de l'exagération même des dimensions et de la dépense. C'est dans un but semblable que nous croyons devoir faire suivre ces données expérimentales, de quelques applications particulières, en elles-mêmes fort simples, mais qui nous offriront l'occasion d'appeler l'attention du lecteur sur divers faits d'expérience ou de théorie, qui ne sont point dénués d'un certain intérêt, et qui eussent difficilement trouvé place dans un exposé général.

302. Des plus grandes charges à faire supporter aux piliers en maçonnerie. — Demandons-nous d'abord* quel est le maximum de la hauteur qu'il serait possible de donnera un pilier, cylindrique ou prismatique, appareillé en pierres de taille, de

Jaitmont, en usage dans la ville de Meiz (259), afin d'être assuré qu'il ne s'affaissera pas sous sa propre charge.

Il est évident que les sections horizontales du pilier étant censées égales dans toute sa hauteur, il sgfiîra de considérer (258) ce qui a lieu pour l'unité de surface de ces sections, sauf ensuite (264) à réduire les résultats dans la proportion indiquée par l'usage ou l'exemple des constructions existantes. Or nous voyons, par la dernière des colonnes du tableau du n° 259, que le calcaire oolithiquede Jaunîont, de première qualité, peut supporter, avant de rompre, une pression de 180 kilogammes par centimètre carré; et, parl'avant-dernière colonne, on trouve que son poids spécifique est 2,20; ce qui donne (35), pour sa densité ou le poids du mètre cube, 2200 kilogrammes. Donc, si nous nommons x la hauteur cherchée, en mètres, nous aurons pour calculer sa valeur

d'où l'on tire j;=:8i8'",i8, pour la hauteur qui produirait la rupture instantanée du pilier. Mais, à cause des motifs énumérés au n"264', on devra, dans une construction permanente, et attendu qu'il s'agit ici d'un assemblage de blocs de pierres, réduire cette hauteur au sixième au moins, ou, pour plus de sécurité, au 70, c'est-à-dire à 82 mètres environ, afin d'être assuré que les premières assises du pilier pourront supporter la charge des assises supérieures, d'une manière indéfinie, ou telle que l'indique l'expérience des anciennes constructions. Si ce même pilier devait porter, en outre de son propre poids, une charge additionnelle de 70000 kilogrammes, par exemple, sur chaque mètre carré, on poserait l'équation

2C»00*^« X ^ -f- 70 000'^8 :=: 1 i 8oOOOO*'« = 180OOO,

d'où l'on tirerait

X == = 5o mètres ,

hauteur un peu moindre que celle des piliers qui supportent le clocher de Mutte de la cathédrale de Metz.

303. Observations relatives à Vélasticité des pierres. — Il nous serait impossible, dans le cas actuel ^nde calculer le tassenient (261) ou raffaissement d'un semblable pilier sous la charge qu'il supporte; mais nous ne devons point passer sous silence un fait qui s'observe sur le clocher dont il vient d'être parlé, fait qu'on peut également remarquer dans beaucoup d'autres, et qui prouve jusqu'à quel point les pierres, en général, sont douées d'élasticité : lorsqu'on met en branle la grosse cloche placée à la moitié environ de sa hauteur, et qui pèse près de iiooo kilogrammes, les oscillations des parties les plus élevées, situées à 85 mètres environ au-dessus du sol, sont tellement grandes, que c'est à peine si l'on peut s'y tenir debout (*). Des expériences, dans lesquelles on tiendrait note du nombre, de la durée des oscillations, et qui seraient faites à l'aide d'un pendule ou d'un instrument à niveau, convenablement disposé, seraient très-propres à faire connaître l'étendue de ces excursions du clocher, de part et d'autre de la verticale; et elles mettraient ensuite à même de déterminer, approximativement, la compressibilitéet le coefficient d'élasticité des matériaux qui constituent ce remarquable édifice.

On arriverait encore plus directement au but, si, lors d'une construction nouvelle, on se servait du moyen déjà indiqué au n" 262, pour obtenir directement les accourcissements ou tassements éprouvés successivement par les premières assises d'une pile, en pierres de taille fichées, avec beaucoup de soin, en mortier ou ciment, dont on pourrait, dans tous les cas, négliger la faible influence, d'après les observations de M. Vicat.

Au surplus, les calculs ci-dessus supposent que les piliers, dont on avait à déterminer la limite de hauteur, étaient composés uniquement d'assises en pierres de taille bien dressées; mais s'ils devaient être simplement parementés en pareilles pierres, et que leur intérieur dût être garni en moellonnage, alors il conviendrait d'avoir égard à cette circonstance, dans

(*) Des oscillations de même nature, produites par la simple action du vent, peuvent facilement être constatées au sommet des grandes cheminées d'u* sine. (K.)

4oO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

les calculs, et de réduire, suivani la proporlion indiquée au n" 264, la charge4)ermanenle à faire porter aux piliers dont il s'agit.

304-. De la forme la plus avantageuse à donner aux piliers ou supports isolés des édifices, — Le problème qui vient de nous occuper dans Tarticle précédent, donne lieu à une question fort intéressante concernant la loi suivant laquelle on doit agrandir Taire des sections ou assises horizontales des piliers, pour que la charge qu'elles supportent soit la même en tous les points.

Soit {PL Ilyfig* 49) flWc une assise ou tranche très-mince d'un pilier en pierre, dont ABDC représente le profil. La surface de la base supérieure, ab, de celte tranche, aura à supporter tout le poids de la partie, abhk du pilier, et de la surcharge en AB, s'il en existe. Celle de la base inférieure, crf, aura à supporter les mêmes poids, plus celui de la tranche abcd que Ton considère; donc l'aire de cd, devra surpasser celle de «6, de toute la quantité relative à ce dernier poids. Or, si, pour fixer les idées, nous supposons les différentes sections du pilier circulaires, et ayant leurs centres situés sur l'axe vertical IL, la tranche abdc pourra être considérée comme un petit tronc de cône, ayant pour volume le produit de sa section moyenne, mn, par son épaisseur ai, mesurée sur la ver-

ticale du point a, c'est-à-dire iz.mo .«/;'7r étant égal à 3,i4i6, et o étant le centre du cercle moyen dont il s'agit.

D'un autre côté, si nous supposons qu'on projette verticalement le cercle ab sur le plan de la section c</, on verra que l'excès de cette dernière sur ab sera mesuré par une couronne circulaire ayant pour surface le produit de sa largeur constante ci, par la circonférence moyenne qui répond au dian^tre mn, c'est-à-dire ci.iTi.mo, Donc, si nous nommons/? le poids du mètre cube de la matière du pilier, et A* == -f^ R (24/i. et 264.), la charge permanente qu'on veut faire supporter, par mètre carré de surface, aux différentes sections horizontales de ce pilier, on devra avoir, d'après la condition indiquée cidessus.

p.K.mo .ai =^ k,ci.9.7:.mo.

quelle que soit Tassise ou la tranche horizontale que Ton veuille considérer.

En divisant les deux membres de cette égalité par le produit 71. mo, qui en est facteur commun, elle deviendra

*?4 n ci

p.mo.ai =^2k.ciy ou mo=- r?

'^ p ai

et elle pourra, dans chaque cas, servir à calculer mo, quand le rapport de ci à ai, ou Finclinaison de la génératrice ac, sur Taxe IL, c'est-à-dire l'inclinaison de la tangente en m, à la courbe de profil du pilier, sera donnée à priori y et réciproquement. Or nous allons voir que cela suffit pour qu'on soit en état de tracer cette courbe, de proche en proche, avec un degré d'approximation très-suffisant pour la pratique.

Prolongeons, en effet, la direction de c« jusqu'à sa rencontre en t, avec l'axe IL du pilier; le triangle cai, semblable au triangle mto, donnera, par les principes de Géométrie connus,

ai : ci :: ot : mo^ ou mo X ai = ci X ot.

Remplaçant donc le produit nio.ai, par sa valeur dans l'équation ci-dessus, et observant que ci devient facteur commun aux deux membres, et peut être supprimé, on aura

o If

p.otzzzihx d'où l'on tire o^ = — •

Ainsi la distance ot, qu'on nomme la sous- tangente de la courbe AmC du profil, par rapport à l'axe IL, doit être une quantité constante et facile à calculer dans chaque cas.

Par exemple, dans celui de la pierre de Jaumont dont il a déjà été parlé (302), on aura, en prenant le mètre pour unité,

p -zrr. 2 200*^*, ti Z^ ~ 1 8oOOOo'^« z=. iSoOOo'^»,

et par conséquent

ik 180000 ^ .

ot--- — = 3=r i63™ ,64 ;

ce qui annonce que les inclinaisons des éléments de la courbe,

sur Taxe IL, ou la verticale, seront extrêmement faibles, et d'autant moindres que les rayons mo des sections correspondantes, seront eux-mêmes plus petits. D'après celle donnée, rien ne serait plus facile que de construire, de proche en proche, la courbe du profil AmC du pilier, soit en parlant du sommet AB, s'il y a surcharge, soit en parlant de la base CD, s'il ne doit point y en avoir. Sans nous arrêter à ces détails, auxquels le lecteur suppléera facilement, nous ferons remarquer que la courbe dont il s'agit est précisément celle que les géomètres nomment logarithmique ^ parce qu'elle est lelle, que ses abscisses ol, prises par rapport au sommet I du pilier, ont un rapport déterminé avec les logarithmes hyperboliques des ordonnées correspondantes (198). C'est ce qu'il est facile de démontrer (*) à l'aide de l'équation p.mo.ai = 2k.ci.

(*) Pour s*en convaincre, il n'y a qu'à tirer de Téquation p,mo,ai = zA.ci dont il s*a3;it, la valeur de ai\ égale à l'accroissement rs de l'abscisse I r de a, et à laquelle correspond l'accroissement ci qu'a subi, de a en c, l'ordonnée ar, de la courbe, qui peut être substituée à l'ordonnée moyenne /«o, dans l'équation ci-dessus, si l'on suppose l'intervalle ai ou rs infiniment petit. On

aura ainsi

'iA ci ai ou rs = — X — ; p ar

ce qui montre que, pour obtenir l'abscisse entière 1 5, il faudra faire la somme cor-

Cl . . I .

respondante des valeurs du quotient — -ou du produit — ^'tv, relatives aux di -

férents accroissements infiniment petits ci reçus, par l'ordonnée ar, depuis A jusqu'au point déterminé c, puis multiplier le résultat par le facteur commun

et constant — > opération qui, ici encore, s'effectue approximativement par la

P méthode du n'' 180; c'est-à-dire en calculant l'aire de la courbe qui a pour

ordonnées les difierentes valeurs de — » et, pour accroissements d'abscisses, les

valeurs correspondantes de c/, qui sont les accroissements mêmes des perpen» diculaires ou rayons ar de la colonne. Or, la courbe dont il s'agit ne sera évidemment autre chose (181) que l'hyperbole équilatère construite sur ces mêmes ordonnées et abscisses ; d'où il est aisé de conclure, d'après les observations du n** 198, qu'en eflet, la longueur Ir ou l5, des abscisses propres du profil de la colonne, ont les rapports indiqués avec les ordonnées correspondantes, ar ou C5, etc.

En général, on voit que, si la différentielle ou l'accroissement infiniment petit dy d'une quantité^, variable avec une autre j:, dont elle dépend, doit

demeurer proportionnelle au produit -dx^ de sa valeur inverse par l'accrois-

trouvée ci-dessus, el de considérations géométriques semblables à celles que nous avons mises en usage dans les n°* 181 el 198; mais nous nous contenterons d'indiquer ici les résultats, pour ceux des lecteurs qui désireraient les appliquer en se servant de la Table (n°II), placée à la fin de ce volume. Dans le cas d'une surcharge, de Q kilogrammes, placée sur le sommet de la colonne, on aura, en nommant b le rayon AI, de ce sommet, qui sera déterminé par la relation

/r.TT.A'^Q, d'où b

oI=-Xlog. -g-;

et, dans celui où il n'existe pas de surcharge et où l'on se donne, à priori, le rayon CL = B, de la base du pilier, on auraj à l'inverse,

oL = — X log.

p ^ mo''

relations qui serviront à calculer les distances ol el oL, répondant à un rayon quelconque mo, au moyen de la Table déjà citée.

Il est parfaitement évident, d'ailleurs, que tous les résultats qui précèdent sont indépendants de la forme, pleine ou évidée, des sections du pilier, pourvu que ces sections soient, pour les diverses assises, semblables et semblablemenl disposées autour de l'axe IL.

305. application particulière; limite de V élévation des édi- Jices, — Prenons toujours pour exemple, la pierre de Jaumonl qui donne

^l supposons que le pilier doive ^porter une surcharge de

sèment correspondant dx de cette autre, la première peut toujours être déterminée par Taire d'une certaine portion d'hyperbole équilatère, o» par le Jogarithme népérien qui représente cette aire.

4o4 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

25oooo kilogrammes sur le sommet. On calculera le rayon 6^ par la relation

/r7r6'=: 25oooo^«, ou i8oooo*'*X 3,i4i6.6* = aSoooo^*'";

ce qui donnera

à très-peu près. Mettant cette valeur et celle de — dans Tavani-^

P dernière des formules du n** 304, elle deviendra

oI = i63'",64xlog. "^^

Cela posé, demandons-nous à quelle hauteur, au-dessous de AB, se trouve placée la section mn dont le rayon mor= 2^,28. On aura à chercher dans la Table (n° II) le logarithme du quotient de 2,28 et de 0,67, quotient qui est 3,4o4 environ; on trouvera, pour celui du nombre 3,4o qui en approche le plus, en dessous, 1,22378; mais, comme le nombre proposé lui est supérieur de 0,004, et qu'une différence de 0,01, pour ceux de la Table, en donne une de 0,00293 dans les logarithmes correspondants, nous devons augmenter notre premier résultat des 0,4 de 0,00293, ou de 0,00117 environ; ce qui donne finalement, pour la valeur approchée du logarithme de 3,4o4, le nombre 1,22495, ou 1,225, avec une exactitude très-suffisante. Ainsi on aura

ol — i63«',64x 1,225 = 200^'*, 46.

On trouverait de même les autres coordonnées de la courbe, soit dans le cas dont il s'agit ici, soit dans celui qui répond à la dernière des formules du n**304.

La hauteur qui vient d'être trouvée paraîtra énorme, el néanmoins elle croîtrait indéfiniment, quoique lentement, avec mo : par exemple, pour mo == dix fois p",67 =6™, 7, oft trouverait

ol =: 1 63'", 64 X 2,3026 = 376^,8,

toujours en se servant de la Table; ce qui semblerait prouver -qu'avec de Tari, il serait possible de donner à nos édifices publics beaucoup plus de légèreté et de hardiesse qu'ils n'en possèdent actuellement. Mais il ne faufpas trop se hâter de tirer de pareilles conséquences, du résultat de calculs fondés sur des suppositions plus ou moins abstraites, et dans lesquels on ne tient pas compte de toutes les circonstances inQuentes, de toutes les chances de rupture et d'instabilité. Toutefois, ce ne saurait être un motif de négliger les indications de la théorie : lorsqu'elles peuvent s'accorder avec les prescriptions du goût et des convenances locales, elles conduisent toujours à des économies de construction qu'on n'oserait se permettre à frioriy sans le secours du calcul.

306. Observations relatives à la forme de quelques parties des édifices et des objets naturels. — On peut croire, sans trop s'aventurer, que des considérations du genre de celles qui viennent d'être mises en avant n'ont point été totalement étrangères à l'établissement de quelques-unes des parties essentielles des édifices modernes, qui sont généralement constituées de blocs disjoints d'assez faibles échantillons, ou d'assises de pierres simplement unies par du mortier. La fornve -conique ou conoïdale, adoptée pour les colonnes isolées, notamment celle que le célèbre ingénieur anglais, Smeaion, a donnée à la tour et aux contre-forts extérieurs du phare d'Edystone, nous semblent tirer leur origine d'idées plus ou moins analogues à celles qui viennent d'être exposées. A la vérité, les édifices isolés, du genre des phares, et surtout celui d'Edystone, dont* le pied est violemment battu par les vagues de la mer, sont soumis à l'action de causes destructrices en apparence beaucoup plus puissantes que celles qui dérivent de la simple compressibilité des matériaux, et parmi lesquelles on doit particulièrement citer le choc de l'air en mouvement ou du vent, dont nous apprendrons plus tard à apprécier l'influence, mais il y a cela d'heureux, que l'élargissement suc- <îessif et rapide de la base des édifices, en raison de l'accroissement de leur hauteur, favorise la stabilité contre l'action de l'air et les causes d'ébranlement quelconques, avec d'autant plus d'efficacité que cette hauteur est elle-même plus consi-

4o6 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

dérable; de sorte qu'en adoptant la forme logarithmique dont il s'agit, et qui, d'après l'observation déjà faite, s'applique tout aussi bien aux massifs pleins qu'à ceux qui sont évidés, il est toujours possible dô satisfaire, à la fois, à toutes les conditions de stabilité.

Au surplus, cette même forme s'observe également dans la structure des tiges verticales des grands végétaux, notamment dans celle des arbres, dont le tronc, surmonté d'une tête épaisse, ofTre presque toujours une grande prise à l'action 6\i vent, réunie à un grand'poids. Le principe qui consiste dans l'agrandissement progressif de la base des corps, semblerait donc être l'une des conditions d'économie que la nature s'impose dans ses œuvres, et dont elle offre d'ailleurs beaucoup d'autres exemples non moins remarquables, dans l'évidement des liges des roseaux et des graminées en général.

On vient de voir comment, dans un support isolé, composé* de diverses assises indépendantes, la pression croissant du sommet à la base, il devient nécessaire d'adopter pour leur profil une forme conoïdale ou logarithmique. Mais il n'en est pas tout à fait ainsi des colonnes monolithes ou composées d'un seul bloc de pierre, supposées chargées ou non au sommet. Car, dans un solide homogène de cette espèce, dont la forme serait, par exemple, cylindrique, la section de moindre résistance, celle pour laquelle le renflement transversal serait le plus grand avant l'instant de la rupture, se trouve, d'après le raisonnement et l'expérience (240, 258 et 281), située tantôt vers le milieu de sa hauteur, lorsqu'on peut négliger son poids propre, vis-à-vis de celui de la surcharge, tantôt un peu audessous de ce milieu, lorsqu'il devient nécessai're de tenir compte de l'influence de ce poids dans le cas de colonnes trèsélevées. Il en résulte que ce ne sont pas précisément les parties voisines de cette base qu'il faut le plus fortifier, mais bien celles qui se trouvent situées un peu au-dessus, vers la section de moindre résistance dont il s'agit. Or celte observation, fort simple, donne une explication plausible des motifs qui ont pu conduire les Grecs, ce peuple si plein de goût et de véritable génie, à renfler le fût de leurs colonnes suivant la forme de la conchoïde, dont le tracé est bien connu des architectes, et qui se rapproche beaucoup de celle de la logarith-

mique, vers la partie élevée de la colonne, où elle a pour asynipioie Taxe même de celle colonne. En général, on aperçoit que les formes, les proportions et les principales dispositions adoptées dans les monuments de l'antiquité, ne sont point le résultat d'un pur caprice ou d'un simple esprit d'imitation, comme on pourrait l'admettre d'après un premier examen ; mais qu'elles dérivent, pour la plupart, de règles qui ont leur source dans les faits de l'expérience et la puissance du raisonnement. L'architecture gothique elle-même, si bizarre qu'elle paraisse, est fondée, comme on l'a aussi reconnu, sur les principes d'économie et de stabilité des diverses parties des édifices, combinés avec ceux qui dérivent des idées religieuses et mystiques de l'époque.

307. Calcul de Véqiiarrissage à donner aux supports enbois{*). — Considérons un poteau carré, en chêne, posé debout, et qui doit supporter une portion connue du poids dont est chargé un plancher ou une construction supérieure quelconque. Supposons notamment que ce poteau, vertical, doive avoir S^jgo de hauteur, et porter une charge de 28000 kilogrammes à son sommet; cela posé, demandons-nous quelles sont les dimensions horizontales qu'il conviendra de lui donner, non-seulement afin de l'empêcher de rompre ou de fléchir transversalement, mais encore pour être certain que son élasticité ne sera aucunement altérée; enfin demandons-nous aussi quel sera le tassement ou raccourcissement que sa hauteur pourra subir, et assignons-lui des limites convenables.

Comme nous ne connaissons pas, à priori, le côté des sections horizontales de cette pièce, dont le rapport à la hauteur exerce ici (269) une influence très-appréciable, faisons une hypothèse : supposons-le de o"»,5o, ou égal à \ environ de sa hauteur totale; on trouvera, d'après les observations de ce numéro, que chacun des millimètres carrés de la section dont il s'agit pourra supporter, d'une manière permanente, un poids d'au moins o'^SSo. Nommant donc x, le nombre, inconnu, des millimètres contenus dans le côté de la pièce, x^ sera celui des millimètres carrés contenus dans Taire de sa section, et

(*) Voir la Note du nP 269. (K )

4o8 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

Ton aura, pour calculer x^ la relation

o,3^'=:28ooo'^«; d'où ^=: v/93333 =:3o5'»'»,5.

Mais ces 305""", 5 ne sont guère que le treizième de la hauteur de la pièce; donc on devra augmenter de quelque chose réquarrissage trouvé. Afin de le découvrir, on remarquera, toujours d'après le h** 269, que, pour une telle proportion entre la hauteur et le côté de la section, la résistance doit être supposée réduite aux | environ de o^»,3o ou à o''*,25 par millimètre carré; refaisant, en conséquence, les calculs dans cette hypothèse, on trouvera

X = ay/aSooo =1 334*"", 6.

Pour calculer la quantité dont la pièce s'accourcira, on remarquera que, sous la faible charge de o^«,ti5 par millimètre carré, sa force d'élasticité ne saurait être aucunement altérée, et qu'elle peut être supposée (236 et 269) la même, à peu près, que si les fibres se trouvaient allongées au lieu d'être accourcies. On aura donc, d'après les n°* 271 et 275, la formule

de laquelle, en faisant P = 28ooo^«, et A =(335)' = 112200""**! environ, on tire: / = 0,00021 pour raccourcissement proportionnel de la pièce; ce qui donne finalement, pour son tassement total, 3",9X 0,00021 = 0'", 0008 environ. Ce tassement est trop faible évidemment pour qu'il soit nécessaire de s'en inquiéter dans les constructions, quand bien même on y comprendrait celui qui provient du refoulement inévitable des fibres aux deux bouts de la pièce, et qui ne peut guère être inférieur au premier, lorsque les faces n'ont pas été exactement dressées et dégauchies. Au surplus, s'il ne s'agissait que d'une construction provisoire, et qui ne dût, par exemple, subsister que pendant le cours d'une seule année, on pourrait évidemment (270 et suivants) diminuer de beaucoup l'équarrissage obtenu par ces calculs, et courir la chance d'un plus grand tassement des fibres sans compromettre la solidité de l'édifice.

Dans celle hypothèse, il n'y aurait certainement aucun danger (268 et 272) à porter jusqu'à l'^Soo = j4^»,oo, par millimètre carré de section, la charge absolue de la pièce que précédemment on avait prise égale à o^«,3o seulement, et, en répétant les calculs de tâtonnement ci-dessus, on trouvera finalement xz=L 220 millimètres environ, attendu encore qu'ici l'épaisseur de la pièce n'excédant pas le ~ de sa hauteur, on doit réduire la charge (269) à 0,6 X i^^oo = 0*^8^60 à très-peu près.

308. Question relative aux effets mécaniques de la chaleur, — Proposons-nous de rechercher quel est Teifort de traction qui serait exercé, par une barre de fer de 5"*, 5 de longueur, 60 millimètres de largeur et 3o millimètres d'épaisseur, contre deux supports invariables, dans lesquels ses extrémités auraient été solidement encastrées, à la température atmosphérique de 28 degrés centigrades, lorsque celte même température vient ensuite à s'abaisser à 10 degrés au-dessous de zéro, c'est-à-dire diminue, en totalité, de 38 degrés centigrades. On trouve, en premier lieu, d'après la Table du n*» 26, que l'allongement ou la dilatation, par mètre, étant de o»", 00 122 pour 100 degrés d'élévation de température, il sera de

également par mètre, pour 38 degrés; et, comme les contractions et dilatations correspondantes aux mêmes abaissements ou élévations de température, sont égales, on voit que o™,ooo464 sera aussi raccourcissement que tendrait à prendre la barre, si elle était parfaitement libre. Mais, par hypothèse, elle reste allongée de toute cette quantité, par mètre courant de longueur, en raison de la résistance des supports; elle les sollicitera donc en vertu d'un certain effort qu'on trouvera (236) par la formule

attendu que l'allongement dont il s'agit ne dépasse pas la limite d'élasticité naturelle du fer (298).

Dans celte formule d'ailleurs, on devra prendre

4lO MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

si Ton adopte le millimèlre carré pour Tuniié d'aire de la section ; ce qui donnera pour Teffort P, attendu qu'ici / =0,000 464,

P=r 20000 X ï8oo X 0,000464 = 16700^».

Par conséquent, si, au lieu d'être inébranlable, chacun des supports n'est susceptible que d'une résistance limitée il cédera jusqu'à l'instant où cette résistance sera précisément égale à la force de traction correspondante de la barre, force que, pour un déplacement donné des points d'aitache, on pourra calculer au moyen de la formule ci-dessus ou de celle-ci :

en ayant soin de diviser ce déplacement total, mesuré dans le sens de la barre, par la longueur entière de cette barre, afin d'en conclure l'allongement /, par mètre, qui entre dans la formule.

Quant au cas où, au lieu d'une contraction, la barre, déjà encastrée à ses extrémités, subirait une dilatation par suite d'une élévation ultérieure de température, le petit nombre des données que Ton possède sur la résistance des métaux à la compression (281 et suivants), même aux températures ordinaires, ne permettrait pas de calculer, avec une suffisante exactitude, les efforts qui seraient dus à celle dilatation, et qui pourraient être accompagnés, dans quelques cas, d'une flexion transversale, d'une altération moléculaire dont il deviendrait bien difficile de tenir compte dans l'état actuel de nos connaissances.

309 Remarques diverses sur l'application du calcul à ces effets, — Les calculs que nous venons d'exposer donnent une idée de la manière dont on peut avoir égard aux effets mécaniques dus à l'application de la chaleur aux pièces métalliques qui entrent dans la constitution des édifices, et dont nous avons cité plusieurs^exemples dans les préliminaires de cet Ouvrage (25). Les changements de température que nous avons eu à considérer dans ces calculs, étaient assez faibles, en effet, pour qu'il nous fût permis de supposer la résistance élastique de la barre à peu près constante dans les deux états. Mais, si

DES RÉSISTAT«CES. 4' >

la variation de lempéralure à laquelle se trouve soumise une pièce ,de fer était capable d'amener un changement notable dans sa constitution moléculaire, si, par exemple, on prétendait appliquer ces calculs au cas des bandes ou frettes de roues, aux ceintures des dômes des grands édifices, etc., pour la pose desquelles on fait usage d'une assez haute température, alors il deviendrait nécessaire d'avoir égard à ce changement d'état moléculaire, lors du refroidissement du fer, soit sous le rapport de l'affaiblissement de la ténacité provenant du recuit, soit sous celui de l'aliéralion de l'élasticité qui résulte de rétendue même des allongements ou des contractions subis par chaque pièce; et c'est à quoi ou parviendrait, d'une manière approximative, à l'aide des données de la Table du n" 289, ou d'une Table analogue, si la loi des dilatations relatives à de hautes températures était suffisamment bien connue. Or il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi ; et l'on sait, par les savants travaux de MM. Dulong et Petit, dans lesquels le platine, le fer et le cuivre notamment ont été soumis à des températures de 3oo degrés centigrades, que les dilatations suivent une marche progressivement croissante, variable avec la nature et l'état moléculaire de chaque corps. Toujours est-il que les effets dus à la contraction et à la dilatation des métaux par suite des changements de la température, doivent être d'autant plus considérables, que ces changements le sont euxmêmes davantage.

Quant aux allongements qui répondent à la limite de l'élasticité naturelle de chaque métal, on peut s'assurer, par la comparaison des nombres de la Table du n° 298, avec ceux qui sont rapportés en détail dans les Traités de Physique, et dont nous avons donné un simple extrait au n° 26, que, pour le plomb, le laiton, et le fer ductile, ou recuit en particulier, ces allongements correspondent toujours à des tempéiatures inférieures à ïoo degrés, et auxquelles par conséquent les calculs ci-dessus demeurent applicables. En effet, pour les métaux dont il s'agit, les allongements relatifs à la limite d'élasticité étant respectivement de 0,00067, o>ooi35 et o,ooo54, on trouvera, pour les limites correspondantes de la température, les nombres 23**, 5, 69^,8 et 46°, 6 environ.

Remarquons, au surplus, que, si les résultats des expé-

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riences citées au n" 285 n'ont pas jusqu'ici permis de constater, avec exactitude, les différences de ténacité du^es aux variations de température, cela lient essentiellement aux nombreuses causes d'incertitude qui accompagnent le phénomène de la rupture, et, surtout, à l'impossibilité d'opérer constamment sur un même corps ou sur des corps identiques. Or ces difficultés ne se présenteraient pas, si l'on se bornait à observer la loi des premiers allongements en deçà de la limite où l'élasticité s'altère, et l'on ne saurait trop encourager les physiciens et les ingénieurs à entreprendre de semblables expériences. Il serait possible, en effet, d'y tenir un compte exact des variations de la température, qui, pour les fils métalliques en particulier, doivent, comme on l'a vu, exercer sur ces premiers allongements une influence très-comparable à celle des poids mêmes que ces fils supportent, et desquels on conclut spécialement les valeurs du coefficient d'élasticité. A l'égard des bois, des pierres, et autres corps spongieux, on sait que l'influence des changements de la température peut être, en partie, masquée (11) par celle de l'état hygrométrique de l'air, de sorte qu'il deviendrait nécessaire d'en étudier séparément les effets, si l'on tenait à une rigoureuse exactitude. Mais, comme la quantité d'humidité ou de vapeur d'eau, contenue dans l'air atmosphérique à l'état naturel, est assez étroitement liée à l'élévation de sa température, il suffirait, quant à l'objet des applications ordinaires, de tenir note de cette dernière, dont les effets mécaniques, sur les pierres du pont de Souillac, ont été spécialement signalés et étudiés par M. Vicat, dans un intéressant article inséré aux Annales des Ponts et Chaussées.

310. Formules et calculs relatifs à Vinjluence exercée par le poids dgs prismes sur leur résistance à l'allongement. — Soit JB (Pl.II^Jig. 5o), un prisme homogène, de longueur L et de section A, suspendu verticalement à un point fixe, ^, el chargé à son extrémité inférieure, B, d'un poids Q; nommo'îfis D la densité, et p=zA.D le poids de l'unité de longueur ou du mètre courant de ce prisme. Considérons, en particulier, l'un de ses éléments, abcd, de longueur infiniment petite, ab ou cdy de poids p. a&, et situé à la distance bB, de l'extrémité

inférieure B dont il s'agit; ab ei bB se rapportant, de même que L ou ABy A et p, à l'état primitif ou naturel de ce prisme, c'est-à-dire à celui qui correspond, par exemple, au cas où il se trouverait posé, dans toute sa longueur, sur une table de niveau, sans être sollicité par aucune force. Il est évident que, pour la position verticale, l'élément ab, se trouvant chargé, dans l'état d'équilibre, du poids Q, augmenté de celui p.bBy qui correspond à toute la longueur 6i&, il s'allongera d'une fraction i, de ab, qu'on trouvera au moyen de la formule du n** 236, laquelle, en remplaçant ici P par Q -hp-bB^ dAinera

.Q-hp.bB

et, par conséquent, pour l'allongement absolu de ab, , . Q-hp,bB , / Q p.bB\ .

formule qui aura lieu pour un élément quelconque du prisme, et qui suppose seulement que la charge, Q-h p.bB, n'excède jamais la limite pour laquelle l'élasticité cesse d'être parfaite, ou les allongements, d'être proportionnels aux charges correspondantes.

Allongement de la partie inférieure du prisme, — Si Ton veut maintenant obtenir la quantité dont se sera allongée toute la partie bB du prisme, il faudra évidemment faire la somme de toutes les valeurs du produit infiniment petit, i,ab, relatives aux différents éléments semblables, qui sont compris depuis le premier, abcd, jusqu'au point d'attache, B, du poids Q. Or c'est à quoi l'on parviendra, par les méthodes dont on a fait usage notamment aux n"* 108, 110 et 135, c'està-dire en élevant aux extrémités, b, de ces éléments, des ordonnées ou perpendiculaires, 66', à l'axe du prisme, qui soient proportionnelles ou égales aux valeurs correspoiidantes de I. Car ces ordonnées se composant, d'après la formule cidessus qui donne /, d'une première quantité ou longueur con-

stanie bn = BB' = -^^j et dune autre, nb'=:^ > qui

A . b A.Ej

4l4 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

croît proporlionnellement à la distance, bB^ de chaque élément à Textrémité inférieure du prisme, ces ordonnées, disons-nous, auront toutes leurs extrémités, B' y b' , A', situées sur une même droite. A' B' y inclinée par rapport à Taxe AB, et qui formera, avec la portion bB de cet axe, et ses ordonnées extrêmes, BB' et fté', un trapèze, BB'b'b, dont Taire

^bB(BB''^bV) = bB[BB'-\-\nb') ou 65(j^-4-|^\

représentera l'allongement total subi par la partie bB. «

Allongement de la partie supérieure Ab, — Cet allongement sera évidemment donné par Taire du trapèze correspondant, bb'A'Ay qui a pour mesure

attendu qu'on a ici

et toujours

Mais bB est la même chose que AB — bA ou L— bA, et par conséquent, p.bB = p.L — p.bA; donc Tallongemenl cherché de 6A est

/2Q-^:tpL pbA\{Q-^pL) P L j.