V A.E A.EJ- A.E ^^ 2A.E

résultai auquel on arriverait directement encore par la considération de la figure.

Allongement total. — Considérant, en particulier, l'allongement total de la barre AB ou L, sous Tinfluence réunie de son poids et de la charge Q, on aura, d'après Tune ou l'autre des formules ci-dessus, pour calculer cet allongement que nous représenterons par /', l'expression

qui se compose de deux termes distincts, dont le premier est relatif à rallongement que produirait la charge Q, indépendamment du ppids des parties du prisme, et dont le second se rapporte essentiellement à ce dernier poids, considéré, à son tour, comme s'il agissait seul, et abstraction faite de Q. Or ce poids étant mesuré par le produit pL, on voit que, pour avoir égard à son influence, il suffira, comme cela a été indiqué au n° 243, d'en ajouter la moitié à celui de Q, pour obtenir, surle-champ, la valeur de l'allongement total du prisme; ce qui n'empêche nullement que l'allongement proportionnel, i, subi par l'élément situé en y^, ne soit dû à la charge entière Q-hpL.

Application numérique, — Supposons, afin d'offrir un exemple,

JB ou L^io"*, A ^o'"*!, 002 5 ou îSoo"™*', et Q = ioooo^«,

, , , j lOOOO ,,, ,

ce qui correspondra a une surcharge de — -r — = 4 ,o seulement par millimètre carré. Soit, de plus,

Dr=78oo''« ou /> = 7 SOO'^K X 0^^<ï, 0025 X I™:f:I9''S5,

E = 20000000000^^ par mètre carré,

valeurs qui conviennent indistinctement (292) au fer forgé ou laminé, on aura, pour la première partie de l'allongement,

pour la deuxième,

p , iq,5 X 100 g.

— f-— L'= -^^ = o'",ooooiq5.

On voit, par ce dernier résultat, combien peu le poids propre de la barre exerce d'influence pour le cas du fer; mais, en refaisant les mêmes calculs sur un prisme de plomb pareil, on trouverait que cette influence, quoique assez faible encore, devient néanmoins sensible, de même qu'elle le serait évidemment aussi pour une barre de fer chauffée au rouge vif, etc.

311. Limites relatives et absolues, de la hauteur des prismes suspendus verticalement à un point fixe. — Parmi les questions intéressantes dont la solution se rattache au point de vue qui nous occupe, nous mentionnerons celles où Ton demande le maximun de hauteur qu'il serait permis de donner à un prisme suspendu verticalement à un point fixe, pour que sa force de ténacité ne pût être vaincue, ou son élasticité être altérée sous Faction du poids de ses propres parties.

Limite relative à rélasticité. — L'élément supérieur de ce prisme devant supporter la charge pL, tout entière, subirait un allongement proportionnel i', qu'on trouverait évidemment (236 et 310) par la formule

puisque /; = A.D, et que l'élasticité est supposée parfaite; ce qui donnerait réciproquement, dans la même hypothèse, et en prenant seulement (298) i'= o,ooo5,

AEi' E./' 20000000000^* ^ ^ -

L = = -=-- = 5 — r- o'",ooo5 = 1282™,

p D 78oo''«

pour la limite de la hauteur qu'on devrait donner à la barre de fer, afin d'éviter que son élasticité ne fut énervée sous l'action, même momentanée (295), de son propre poids.

En recherchant, dans les mêmes 'h;\poihèses, quel serait l'allongement total, /', subi par cette barre de 1282 mètres de hauteur, on trouverait

/' = |/'L = j o ,ooo5 X 1282'" = o", 32o5,

valeur qu'on obtiendrait directement aussi par les formules

., pU __ DL^ ~~2AE"~ 2E '

qui se déduisent très-simplement, soit de la formule générale du n° 310, dans laquelle on supposerait Q = 0, soit de la for-

4Tiule /'=: ji'L, dans laquelle on mettrait pour i' sa valeur—^ DL

Limite relative à la ténacité. — Pour obtenir le maximum de la hauteur sous laquelle la force de cohésion des parties de la barre se trouverait vaincue, il suffira (244) de poser l'équation

R.A = pLrr:D.AL; d'où Ton tire

<:e qui montre que la hauteur dont il s'agit, s'obtiendra en divisant la force de cohésion de la substance, sur i mètre carré de section, par sa densité ou son poids sous Tunité de volume correspondant.

Prenant ici, pour la valeur moyenne de cette cohésion, B =3 4o ooo ooo""* (284), on trouvera

4ooooooo^« ^ o L = - — 5 — r- — = 5 1 20'*^ environ ; 7 8oo''«

-c'est-à-dire que la barre devrait avoir plus d'une lieue el quart de hauteur, pour rompre sous son propre poids. On peut juger, d'après cela, combien la force, qui unit entre elles les molécules des corps solides, doit surpasser celle qui les sollicite en raison de la pesanteur; car la valeur de R se rap* porte à la seule action subie par les molécules de la tranche où se fait la rupture, de la part des molécules qui en sont immédiatement voisines, tandis que le poids /;L, auquel R fait équilibre, se trouve réparti sur toutes les molécules du prisme.

Hauteurs des modules d'élasticité et de ténacité. — La hauteur qui vient d'être obtenue en dernier lieu, de même que

celle ^ /'^^i-xSa"» qui l'a été ci-dessus, sont très-propres à

caractériser les forces de ténacité et d'élasticité de chaque substance, ou plutôt les limites respectives de ces forces, indépendamment des unités de mesure adoptées ou des di-

4l3 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

mensions considérées dans chaque cas en particulier. Or, en

étendant pareillement cette observation au quotient =7> du

coefficient d'élasticité divisé par la densité, lequel représente, de son côté, la hauteur d'un prisme vertical qui serait capable de produire, en vertu de son propre poids et sur sa tranche supérieure, rallongement proportionnel défini au n° 237, on se rendra compte des motifs qui ont conduit les Autours anglais (*) à appliquer une dénomination particulière à ce dernier résultat qu'ils appellent : hauteur du module d'élasticité. On pourrait nommer également : hauteur du module de té-

nacité ou de cohésion, la valeur de jr^ et limite de la hauteur

du module d'élasticité, la valeur de la quantité jr /'.

EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT OSCILLATOIRE DES PRISMES SOUS l'iNFLUENCE DE CHARGES CONSTANTES ET DE CHOCS VIFS. •

Dans tout ce qui précède, nous avons fait, à peu près complètement, abstraction de l'influence qui peut être due à la vitesse acquise par les charges suspendues à l'extrémité inférieure des prismes; ou plutôt, nous n'avons considéré que les simples efforts capables d'amener ces prismes à un état d'allongement ou de stabilité déterminé. Maintenant il s'agit de revenir, avec quelques détails, sur le rôle joué par l'inertie dans tous les phénomènes relatifs aux allongements et à la rupture des prismes, rôle que nous avons seulement cherché à faire pressentir dans le Chapitre servant d'introduction à l'exposé des résultats de l'expérience, et qui concerne les premières notions ou principes sur la résistance élastique des solides. On verra, dans la partie des Applications, que cette matière offre un vaste champ de recherches théoriques ou

(*) Essai pratique sur la force du fer coulé ^ etc. y par Tredy(>l(l, traduction do T. Duverne, p. 167, n* 74.

expérimentales, dont nous n'avons fait, pour ainsi dire, qu*effleurer les plus simples éléments.

Lois de ce mouvement , dans le cas oà la charge ne possède

aucune vitesse initiale,

312. Injluence du mouvement acquis par cette charge, sur la résistance et rallongement maximum du prisme, — Dans les exemples qui précèdent, nous n'avons considéré que ce qui a lieu après l'instant où le prisme solide est parvenu à son état de stabilité sous Tinlluence de la charge qui le sollicite. Mais on doit se rappeler (256) que, lorsqu'il s'agit de tiges verticales soumises à l'action de leur propre poids ou d'un poids étranger, les premiers allongements s'opèrent en vertu d'un mouvement continu et accéléré, qui est dû à la prépondérance de la charge, dans ces premiers instants, et qui est tel, que l'ensemble des diverses parties acquiert rapidement une vitesse ou une force vive finie, sous laquelle la charge atteint et dépasse ensuite la position de stabilité ci-dessus mentionnée. Il en résulte aussi que les allongements vont continuellement en augmentant, jusqu'à l'instant où le mouvement se trouve complètement anéanti, pour recommencer en sens contraire, et ainsi alternativement.

allongement maximum, — D'une part, la quantité de travail développée, par l'ensemble des ressorts moléculaires, à ce dernier instant où les forces d'inertie des molécules ne jouent plus aucun rôle, est donnée (247) par la formule

t,==t;.al = ial.e/%

qui s'applique à un allongement proportionnel quelconque 1 = 1, subi par le prisme, en deçà des limites pour lesquelles l'élasticité demeure parfaite.

D'une autre part, le travail développé par le poids, Q (310), de la charge étrangère, sur la hauteur de l'allongement maximum et effectif que nous représenterons par IL, ayant pour mesure le produit Q.IL, on devra avoir l'égalité

iALEP^QlL, ou lAEl^Q;

en divisant par le facteur commun IL, et négligeant l'influence peu sensible, qui pourrait être due au poids des parties matérielles du prisme, dont le travail serait facile à évaluer d'après ce qui a déjà été exposé au n° 310 ci-dessus.

Mais AEl est précisément (236) la mesure de Teffort P, qui serait capable de produire ou de maintenir, d'une manière stable et permanente, l'allongement I, par mètre, que le prisme a reçu sous l'influence de la charge Q et de la vitesse acquise; donc, cette dernière charge n'est que la moitié de celle dont il s'agit, ou, ce qui revient absolument au même : le plus grand allongement subi sous l'influence de la vitesse acquise, est le double de rallongement stable qui correspondrait à la charge effective, si Von venait à s'opposer à toute accélération sensible du mouvement ; ce qui peut se faire par divers moyens faciles à imaginer.

On voit aussi, d'après cela, qu'encore bien qu'un effort, Q, fût, par lui-même, incapable d'énerver l'élasticité d'un prisme solide, vertical, à l'extrémité inférieure duquel il agirait sans vitesse appréciable, cependant un poids égal, fixé, à cette extrémité, avec beaucoup de douceur, mais abandonné ensuite librement à l'action de la gravité, l'affaiblirait inévitablement si sa valeur dépassait seulement la moitié de l'effort ou de la résistance qui correspond à la limite de l'élasticité naturelle. Cette conséquence justifie complètement ce qui a été avancé, d'une manière générale, au n** 256, et elle prouve aussi combien on aurait tort de s'en rapporter, dans certains cas , à la règle qui consiste à prendre, pour la charge permanente des matériaux de construction, celle qui correspond à cette même limite, dans des expériences où l'inertie n'aurait, pour ainsi dire, point été mise enjeu (295).

Allongement relatif au maximum de vitesse, — Pour l'obtenir, on considérera que la vitesse de la charge Q, et celle des différentes tranches ou parties matérielles du prisme, devant atteindre sensiblement leur valeur maximum, c'est-à-dire cesser de croître, au même instant, et par conséquent les

forces d'inertie m- (130 et suivants) qui leur sont relatives,

devenant nulles peur chacune d'elles séparément, il faut qu'il y ait simplement équilibre entre les poids et les forces de

ressort ou résistances élastiques qui les animent, comme dans rétat de stabilité ordinaire du prisme. Négligeant donc encore ici le poids de ses différentes tranches, et nommant i' rallongement proportionnel qu'elles subissent à Tinstant du maximum de vitesse, et qui sera le même pour toutes, aussi bien que leur force élastique mesurée par le produit AEi', on aura simplement, pour déterminer T, la relation

d*où il résulte que cet allongement est seulement la moitié de

2O celui I = -r-rr> obtenu , en premier lieu, pour la fin du mou-

A.JCrl

vement descendant de Q; c'est-à-dire qu'il est précisément égal à l'allongement de stabilité sous cette même charge Q.

Nommant d'ailleurs L' = IL, /' = i'L les allongements correspondants à 1, r, et qui sont relatifs à la longueur entière L, du prisme, on voit qu'on aura, pour calculer L' et /', les formules

AE ^^ ' - AE

L' = IL = ^^ el /' = :^=^-L'.

toujours dans les hypothèses où la limite d'élasticité ne serait pas dépassée pour la première de ces valeurs, car, si elle l'était, il conviendrait alors de recourir aux données qui sont fournies (289 et suivants) parles résultats des expériences directes, relatives à chaque nature des substances; ce qui serait toujours facile, en raisonnant comme nous venons de le faire.

313. Équation fondamentale du mou\^ment. — Si l'on considère (310) combien est faible, en général, l'influence du poids des molécules du prisme, ds^ns les questions du genre de celle qui nous occupe, oii la charge Q est toujours trèsforte comparativement à ce poids, on sera conduit, non-seulement à en faire abstraction dans presque tous les cas, mais encore à négliger pareillement celle qui peut être due aux forces d'inertie et aux forces vives acquises, par ces mêmes molécules, dans le mouvement qui leur est transmis par l'in-

lermédiaire de la charge. En effei, il paraît évident en soi que, à moins de mouvements désordonnés, ces forces doivent croître depuis le point d'attache supérieur du prisme, où la vitesse est toujours censée nulle, jusqu'au point qui correspond à la charge suspendue à son extrémité inférieure, et qui est censé posséder absolument la même vitesse que cette charge. Or, si la somme des poids mg (126) des molécules du prisme est réellement négligeable vis-à-vis du poids Q, il en résulte nécessairement que la somme de leurs forces J^

d'inertie, m-? ou de leurs forces vives, mV% doit l'être, à

fortioriy par rapport à celles de ce poids. Admettant donc ces conséquence^ qui reviennent, au fond, à supposer que la tension, la force de ressort des molécules du prisme, est, à chaque instant, la même dans toute son étendue, ou s'y propage, pour ainsi dire, sans perte et avec une rapidité infinie (57 et 63), il deviendra facile de découvrir, par le calcul ou par des considérations purement géométriques, toutes les circonstances essentielles d'un mouvement, dont nous n'avons précédemment considéré que quelques particularités très-simples.

Considérant, à cet effet, le prisme, ou plutôt la charge Q, dans une des positions intermédiaires qu'elle atteint pendant le mouvement, et supposant toujours que son élasticité ne soit altérée à aucun instant, on remarquera que / ou «L, étant l'allongement total relatif à cette position, la quantité de travail développée dès lors, par la gravité, sur la charge Q, depuis l'instant où celle-ci occupait la première position, et où /était

nulle, a pour mesure le produit Q/ ou Q/L, tandis que celle de la

résistance élastique, AEi ou AE-y? est mesurée (247) par cet