DES MOUVEMENTS DES PRISMES

326. Résumé des principales de ces conséquences* — En rapprochant entre eux les divers résultats auxquels on vient de parvenir dans le Chapitre qui précède, il en découle deux principes généraux vérifiés par Texpérience, qu'il est essentiel de retenir pour l'explication de plusieurs faits relatifs au mouvement oscillatoire, et dont la connaissance mettra à même de résoudre, sans nouveaux calculs, diverses questions qui se présentent dans les applications de la Mécanique:

I" Le nombre et la durée des oscillations des prismes sont, dans les limites où l'élasticité demeure parfaite, entièrement indépendants (319 et 325) de l'intensité des chocs ou de la vitesse imprimée, et uniquement relatifs à la valeur de la résistance élastique naturelle, AE, de ces prismes, à leur longueur absolue, L, et à leur tension primitive ou naturelle, c'est-àdire aux poids, aux efforts, Q ou Q -f-Q', qui les sollicitent, d'une manière constante, pendant le mouvement;

2« Les mêmes choses ont lieu également à l'égard des divers points (321) qui, pendant ce mouvement, indiquent la

cipe de superposition mentionné à la fin de la Note du n° 322; car ici le poids Q doit être nul dans le premier terme de la parenthèse, puisque nous supposons le prisme en équilibre, sous l'action de ce poids, à l'instant où le choc s'opère. Quant au cas où Q posséderait, à cet instant, une certaine vitesse, à laquelle correspondraient un allongement et un état du prisme, déterminés par

les lois d'un mouvement oscillatoire antérieur au choc, l'établissement des

nouvelles formules ne serait guère plus difficile.

position moyenne de chacun des éléments des prismes, et qu'on pourrait ainsi nommer leurs centres d'oscillation^ si ce mol n*éiail pas déjà employé en Mécanique pour désigner toute autre chose.

La position de ces divers points ou centres, par rapport à celle qui correspond à Tétat naturel de chaque prisme, est, comme on Ta vu (314-, 318, 321 et 325), donnée par la position même d'équilibre que prendrait l'élément correspondant de ce prisme, sous l'influence de la charge constante qui sollicite son extrémité inférieure, et dont, par hypothèse, les efforts se propagent d'une manière à peu près instantanée, à ses différentes parties. Ces mêmes points milieux ou centres indiquent aussi, comme on Ta vu, notamment aux n**" 312 et 314-, la position pour laquelle la vitesse de l'élément correspondant du prisme cessant de varier pendant un très-petit instant, atteint sa limite supérieure à chacune des demi-oscillations de la

charge; l'influence de l'inertie et la force m-, qui la repré-

sente, devenant ainsi nulles au même instant.

Quant à la durée et au nombre des oscillations isochrones et simultanées, exécutées par les divers points matériels du prisme, ils dépendent essentiellement (315, 319, 321, 325) du nombre k ou /r, , dont la valeur est généralement donnée par la racine carrée du rapport de g ou 9^,809, à la dislance qui sépare la position moyenne de chacun de ces points matériels, de sa position relative à l'état naturel : celle durée, ce nombre des oscillations entières par seconde, sont eux-mêmes donnés dans chaque cas : la première, par le quotient de 277 = 6,2832 divisé par k ou /r, , le second, par le quotient de ce même nombre divisé par 27:; ce qui en rend le calcul très-simple et, redisons-le, tout [à fait indépendant de l'intensité de la vitesse en chacun des points du prisme.

Faits d'expériences et questions relatives à l'extinction et à V accumulation du mouvement vibratoire,

327. Utilité des principes qui précèdent, pour les applications, — Pour en offrir tout d'abord un exemple, nous rappellerons ce fait d'expériences déjà énoncé au n° 315, et d'après lequel les oscillations des corps considérés dans leur étal naturel, loin de se perpétuer indéfiniment, comme le suppose la théorie, vont, au contraire, sans cesse en diminuant et finissent "bientôt par s'éteindre complètement; car on conclura sur-le-champ, des principes généraux énoncés au n"326, celte conséquence : que si l'élasticité d'un prisme n'a pas été altérée à la fin de la première période du mouvement, ou du plus grand allongement, la durée de ses oscillations, leur nombre en un temps donné, et la position moyenne de chacun de ses éléments, ont dû rester les mêmes jusqu'aux derniers instants de ce mouvement, quoique l'amplitude même des oscillations ait sans cesse varié jusqu'à devenir complètement nulle. Or cette conséquence, ce nouveau principe est non-seulement vérifié j!)ar l'expérience, pour le cas particulier des prismes, mais il s'étend généralement, comme le démontre le calcul, à tous les mouvements oscillatoires ou vibratoires dont l'amplitude est assez faible pour que la force qui anime les parties n'ait pas été modifiée dans sa nature, c'est-à-dire dans la loi de proportionnalité qu'elle suit par rapport aux dislances.

Supposez, maintenant, qu'un corps suspendu à l'extrémité d'un prisme vienne, au milieu de ces oscillations régulières, produites par une cause antérieure quelconque, à subir un nouveau, choc de la part d'un corps étranger, et dont l'action ne dure que pendant un certain temps, on saura, à l'avance, que le mouvement oscillatoire qui succédera à cette première impression, suivra les mêmes lois que le précédent; que l'étendue des excursions des molécules de part et d'autre de leur position moyenne sera seule modifiée; qu'en un mot, cette position, le nombre et la durée d«es oscillations ou vibralions seront demeurés tels qu'ils étaient en premier lieu.

S'il s'agit notamment d'un choc vif survenu en un point

quelconque de la course du corps suspendu au prisme; connaissant d'ailleurs là vitesse V de ce corps au point où le choc s'opère, il deviendra possible, au moyen des principes établis dans les n**" 323 et suivants, et en procédant spécialement comme on Ta fait au n** 325, de découvrir, non-seulement la vitesse Vi qui succède iftimédiatement à V, mais encore la nouvelle amplitude des oscillations, les plus grands allongements ou accourcissements qui en résultent, toujours dans rhypothèse d'une élasticité parfaite; car (326) la valeur du nombre kt n'ayant pas changé, non plus que le centre du cercle qui appartient au nouveau mouvement, on sera en état de calculer ou de construire le rayon r, de ce cercle, au moyen de l'ordonnée relative au point où le choc a lieu, et qui est toujours donnée par le rapport de la vitesse V,, commune, en ce point, aux deux masses choquantes, et du nombre A-, dont il vient d'être parlé.

Lorsqu'au premier choc, il en succédera un deuxième, un troisième, et ainsi de suite, on pourra calculer de même successivement, les amplitudes croissantes ou décroissantes des nouvelles oscillations dont la durée ne sera nullement changée, pourvu toujours que Ton reste dans les anciennes hypothèses d'élasticité. Mais, afin de préciser davantage les idées, nous offrirons, dans les numéros ci-après, quelques exemples particuliers des lois par lesquelles peut s'opérer celle accumulation ou celte soustraction progressive du mouvement dans les prismes.

328. Examen des circonstances qui accompagnent le choc en retour des prismes, — Nous avons annoncé dans le n° 324 que nous reviendrions sur les circonstances que présentent, dans le mouvement de retour du prisme vers l'état naturel, les deux masses M et M', censées libres de s'élever, en glissant le long de ce prisme. Le phénomène des chocs et vibrations successives qu'il éprouve en raison de cette indépendance des masses est très-compliqué dans le cas où celles-ci pourraient se détacher à la fois de son extrémité inférieure, puisqu'il conviendrait alors ( 320 ) de ienir compte du rôle que joue l'inertie de ses parties matérielles dans le mouvement vibratoire qui succède à sa séparation d'avec les masses M et M'; nous sup-

poserons que la dernière de ces masses soit seule libre de se détacher, et que Tautre, au contraire, fasse système avec la partie inférieure du prisme dont le poids, pAL (310), sera ici encore censé très-petit par rapport à celui des deux masses, hypothèses qui, au surplus, se réalisent presque toujours dans les cas d'application. Mais, comme il peut aussi arriver que la masse M' se trouve liée d*une manière accidentelle quelconque à la masse M, nous chercherons préalablement quel est le plus grand des efforts qui tendent à les séparer Tun de l'autre, dans les instants où le prisme vient à se contracter, de plus en plus, après avoir dépassé, dans Tosciilation ascendante, sa position naturelle AB (P/. //,/g-. 5i).

A cet effet, on remarquera que M' n*a de tendance à quitter M, qu'en raison de ce que la réaction élastique, P = AEi, du prisme, ayant changé de sens ou de signe dans tous ces instants, agit pour retarder, de plus en plus, le mouvement de celle-ci par rapport à celui de l'autre, qui ne saurait en être influencé autrement qu'en vertu de leur liaison réciproque, et qui cesserait de l'être dès l'instant où cette liaison viendrait à être détruite par suite de l'accroissement d'intensité de leur réaction commune. D'ailleurs, cette question, où il s'agit de déterminer l'effort de séparation des deux masses M et M', est entièrement analogue à celle qui nous a déjà occupé (323), pour le cas inverse du choc de ces masses; et, comme en négligeant ici encore, par rapport au mouvement commun dû aux contractions du prisme, le mouvement relatif qu'elles peuvent prendre, en raison de la déformation, de l'extension subies par certaines de leurs parties, ou, plus spécialement, par les courts liens qui les unissent accidentellement, les accroissements élémentaires, (^ et v', de leur vitesse, devront être censés les mêmes à tous les instants de la réaction; de sorte qu'il deviendra, pour le cas qui nous occupe, également possible de déterminer les valeurs de F, à ces divers instants, par la connaissance de la loi du mouvement commun dont il vient d'être parlé.

Raisonnant donc ici, à peu près comme on l'a fait dans cet endroit, si ce n'est que F devient l'effort de réaction qui s'oppose, de bas en haut pour la masse M, et de haut en bas pour la masse M', à leur séparation mutuelle, ou aura évidemment,.

pendant la durée entière de cette réaction,

¥ -hQ' = W j pour la i«, et F h- M j = Q -f- P pour la 2%

attendu, je le répète, que ces masses cheminent de compagnie, et qu'on néglige la faible déformation qu'elles peuvent subir sous Finfluence de F, ce qui rend v'= v.

On aura donc aussi, à tous les instants de la réaction,

ce qui donne

(^P-^Q-f-Q^ gP

pour calculer, à chacun de ces instants, le degré c, du ralentissement éprouvé par les masses, ainsi que Teffort de réaction F, qui en résulte, et dont la plus grande valeur correspondra évidemment au maximum même de raccourcissement, / ou I, donné par la formule

iLz=i/r' + -^-(/'-+-r

des n*** 324- et 325, laquelle permettra ainsi de calculer rigoureusement ce plus grand effort dans chaque cas.

Il est évident d'ailleurs que ces formules mettront en mesure, non-seulement de découvrir la loi du mouvement pendant la durée des accourcissements du prisme, loi qui sera immédiatement donnée (325) par la partie du cercle B"N'D"B" (PI. Ilyfigf 5i), comprise entre B" et le prolongement de NB, mais encore de déterminer, soit le degré de résistance que, dans cerlains cas, il faudra procurer aux attaches, pour empêcher que la masse M' ne quille M, soit Tintensiié de leur vitesse commune à l'instant où cette résistance, supposée donnée à priori, se trouve être entièrement vaincue.

Considérant maintenant ce qui arrive après cette séparation, dont l'époque pourra également être assignée par le calcul, ou,

ce qui revient au même, supposant désormais que la masse M' soit entièrement libre de se détacher, de M, avec la vitesse V, qu'elle a reprise, en sens contraire, au point B, dans le mouvement de retour du prisme vers Fétat naturel; il arrivera, à peu près, ce qui a déjà été expliqué au n° 320 pour le cas d'une seule masse libre elle-même de quitter son appui sur le prisme. Seulement, ici, le poids Q, qui remplacera cet appui, ayant une très-grande valeur par rapport à celle du poids/? AL de ce prisme, il deviendra possible de calculer, avec exacUtude (318 et suivants), les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède à sa séparation d'avec Q', et, par suite, tous les effets des chocs qui peuvent en résulter. D'un côté, la connaissance de la vitesse de séparation, V,, au point B, entraînera celle du cercle B'ND'B ou du mouvement oscillatoire de Q; et, comme la loi de l'ascension et de la descente de Q' sera également connue (120), on pourra, à Taide d'un tâtonnement facile ou de l'intersection des courbes qui lient les temps aux chemins parcourus, déterminer Tinslant et le point précis où Q' atteindra de nouveau le poids Q, dans sa chute de la hauteur

H, = —^1 ce qui permettra aussi (322) de calculer la vitesse

initiale, très-différente de V,, qui succède à ce choc, etc. D'un autre côté, non-seulement on sera en état, au moyen de cette dernière donnée et des principes exposés dans les n*** 324- et suivants, de déterminer la loi du nouveau mouvement oscillatoire, le plus grand accourcissement subi par le prisme, etc., mais, de plus, on saura, à priori , quelle est la vitesse avec laquelle s'opère la nouvelle séparation des deux masses en B, et ainsi de suite, en continuant les calculs jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier choc et à une dernière oscillation, pour laquelle, en raison des pertes de force vive, résultantes de chaque choc, le maximum d'accourcissement subi par le prisme se changera en minimum d'allongement; ce qui arrivera nécessairement lorsque, pour une dernière vitesse initiale, V, , qui pourra d'ailleurs, ainsi que les précédentes, être contraire à celle que la masse M, possédait avant le choc, on aura

yV^^^ </' + /", ou ^^<v//'(/'-+-2r);

condition facile à vérifier par le calcul ou la Géométrie, puisqu'elle indique simplement que le cercle B''N'D''B", relatif au dernier choc et au mouvement oscillatoire final, ayant toujours pour centre le point 0, doit passer en deçà de B, par rapport à A. Mais il nous suffit d'avoir montré la marche des calculs, dont le développement et Tapplication particulière ne sauraient offrir de difficultés sérieuses.

329. Question relative à V accumulation du mouvement oscillatoire dans les prismes. — Supposez qu'un homme, saisissant, avec adresse, les instants où le poids oscillant, Q, suspendu à l'extrémité inférieure, B, du prisme [PL Il.fign 5i), atteint la limite de sa course ascendante, ajoute à Q un nouvel effort, ou plutôt un nouveau poids, Q', qu'il abandonne d'abord à luimême, sans vitesse acquise, pendant toute la demi-oscillation descendante, et qu'il enlève ou supprime ensuite dans toute la demi-oscillation ascendante, sauf à recommencer et à continuer ainsi successivement les mêmes alternatives d'action; il est certain, d'après les principes ci-dessus établis, que la loi du mouvement restera la même dans chacune des demi-oscillations respectives, descendantes ou ascendantes, et qu'en admettant notamment les conventions du n** 324-, celles-là se feront constamment autour du point 0, et celles-ci autour du point G. Or, cette seule donnée suffit pour mettre en état de découvrir, dans les hypothèses souvent mentionnées, toutes les circonstances du mouvement régulier qui succède à un nombre quelconque d'impulsions ou d'actions pareilles de la part de la force motrice.

En effet, le mouvement ascendant, qui succède immédiatement à un mouvement descendant, devant avoir la limite inférieure, par exemple D'', commune avec lui, et cette limite devenant ainsi un point de contact commun aux deux cercles correspondants, dont le centre est G pour le premier mouvement, et 0 pour le second, il faut bien que le rayon de celuici, ou la demi-amplitude de l'oscillation ascendante, soit augmenté, à chaque fois, de la distance constante, GO, qui sépare ces centres ou points milieux. El, comme la chose aura lieu, à l'inverse, toutes les fois qu'à une oscillation ascendante, opérée sous la direction de Q, succédera une oscillation des-

cendanle, qui le sera sous les actions réunies de Q ei Q', on voit très-clairement que les demi-amplitudes de ces oscillalions alternatives, s'accroîtront successivement de quantités indiquées par la progression arithmétique

CO, 2CO, 3C6,..., 2/iCO;

in étant leur nombre, ou n celui des oscillations entières, à partir de celle où Q' s'ajoute, pour la première fois, à Q. Et, par conséquent, CD' étant la demi-amplitude, supposée constante, des oscillations exécutées antérieurement par Q,

BD' + 2/iCO = CD' + BC 4- 2/iCO, BB' + 2/iCO = CD' — BC -+- 2/1 CO,

sera l'allongement ou raccourcissement subi fmalement par le prisme, c'est-à-dire au bout des n alternatives d'action du poids Q', si l'élasticité est demeurée parfaite, et que l'on continue à négliger la faible part d'influence qui peut être due à l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme, ainsi qu'aux pertes de force vive, occasionnées par la transmission du mouvement oscillatoire aux corps extérieurs, perle insensible pour chacune des alternatives d'action.

Supposons, à l'inverse, que le moteur trouvant le prisme dans l'état de n^ouvement qui est relatif au centre 0 et aux poids réunis de Q et de Q', vienne à soustraire, à chaque oscillation descendante, ce dernier poids, tout en le rétablissant dans l'oscillation contraire, sans lui permettre d'ailleurs (328) de quitter Q, aux instants où les allongements du prisme se changent en accourcissements, on voit que les amplitudes de ces oscillations iront en diminuant précisément suivant la progression arithmétique indiquée ci-dessus, et que le mouvement oscillatoire finira bientôt par s'éteindre complètement pour recroître ensuite dans le sens opposé, si la puissance continue la marche régulière de ses alternatives d'action. Supposant d'ailleurs que, dans l'une ou l'autre hypothèse, cette même puissance ajoute à la fois à Q, un poids Q', dans les oscillations ascendantes du prisme, et l'en retranche dans l'oscillation contraire, ou inversement, alors il est bien évident encore que la vitesse d'accroissement ou de décroissement

i'jO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

des amplitudes de ces oscillations sera précisément double de ce qu'elle était précédemment. Enfin, remplaçant ces actions lentes de la force motrice par une succession de chocs ou d'actions vives quelconques, mais qui se reproduisent à des intervalles convenables et déterminés (326) par l'énergie de la tension naturelle ou moyenne qu'éprouvent les éléments du prisme, avant ou après chaque réaction, il ne paraîtra pas moins évident que des circonstances absolument semblables se reproduisent sous l'influence de ces chocs vifs, sauf qu'ici le centre ou point milieu des oscillations, ascendantes et descendantes, ne variera, pour ainsi dire pas, si le corps choquant rejaillit ou quitte la charge permanente Q, aussitôt après le choc; le rayon seul de ces cercles se trouvant instantanément augmenté ou diminué (319 et 325) d'une quantité relative à l'intensité et au sens de l'action.

Ce sont là, au surplus, des résultats auxquels on parvient directement par le principe de la transmission du travail et des forces vives (136 et 137), qui s'applique même au cas où le moteur agit d'une manière quelconque dans chacune des alternatives de mouvement. Car, en raisonnant ici comme on l'a fait.en particulier aux n*** 313 et 324, il paraîtra évident, puisque la force vive de la masse oscillante M devient nulle au commencement et à la fin de ces alternatives, que si /' représente le plus grand éloignement au départ, et /„, en général, celui qui a lieu après un nombre quelconque n d'actions motrices, le travail mécanique que suppose, en lui-même, l'excès d'allongement/»— /', étant d'ailleurs mesuré (324) par l'expression

{ — — ( l^ — /'2), celle-ci devra être précisément égale à la somme

des quantités de travail fournies par la puissance dans le sens du mouvement, moins la somme de celles qui Tont été dans le sens contraire, plus encore la demi-somme des forces vives imprimées, effectivement, au corps oscillant, lors des chocs vifs, c'est-à-dire abstraction faite des pertes qui en résultent et qui peuvent toujours s'évaluer approximativement, d'après les formules du n« 323, ou les principes des n°» 161 et suivants.