i-iVl jV, ^^^,M V -Q^Q,MV -Q^Q

au lieu de M' V'S et à laquelle correspond une perte antérieure mesurée, à son tour (161 ), par l'expression

^ M^V^^irr Q .,M VS

puisque les corps sont ici censés ne point se quitter après l'instant qui suit la première impression (159).

Que si d'ailleurs la masse M était, elle-même, déjà animée d'une vitesse V", dirigée où non dans le sens de V, et à laquelle correspondrait une certaine valeur donnée de l'allongement / du prisme, alors on aurait ( 163) pour mesurer, dans les mêmes hypothèses, la vitesse et la force vive communes à ces

4^2 MÉCANIQUE II>)DUSTRIELLE.

deux corps, à Finstant où le choc a cessé,

(MV'dzMV)» (O'V'+OV")* v^-^^J^.- M + M' g(Q + Q')

les signes supérieurs de l'ambiguité ±, devant être adoptés dans le prennier cas où Q marche dans le sens de Q', et les signes inférieurs dans le deuxième.

Ces préliminaires étant admis, rien n'est plus facile, comme on va le voir, que d'appliquer au cas général qui nous occupe les différentes considérations exposées dans les numéros qui précèdent.

324. Méthodes et formules pour apprécier les effets d'un tel choc. — Sous le point de vue de la résistance des prismes, on n'a point à s'occuper de ce qui survient après la première période de l'allongement, puisqu'on sait, par l'expérience, que, si la limite d'élasticité naturelle n'y a point été atteinte, elle ne le sera pas, à fortiori, dans les oscillations suivantes, où l'amplitude des excursions de la charge va sans cesse en diminuant ; du moins, il ne paraît pas qu'on doive ici admettre cette cause, encore mal définie (249 et suivants), et qui ferait dépendre la résistance élastique, de Tinfluence du temps ou du nombre, de la répétition des effets, même en deçà de la limite dont il s'agit.

Méthode générale, — Ayant appris, ci-dessus, à calculer approximativement la force vive initiale

(M + M')Vî, ou (Q-hQ')^.

commune aux deux masses, M et M', à la fin du choc dont la durée est censée extrêmement petite par rapport à celle de la ï>remière période du mouvement, où l'allongement du prisme, de /' qu'il était d'abord sous l'influence de la charge permanente, Q (313 et 318), devient, je suppose, L', à l'instant où la masse M + M' est réduite au repos; il ne s'agira, en vertu du principe des n®* 136 et 137, ainsi que des observations

déjà faites aux n<*' 312 el suivants, que de rechercher si la moitié de cette force vive, augmentée de la quantité de travail (Q + Q')(L' — /') qu'y ajoute la pesanteur pendant la descente effective des deux corps de la hauteur U — /', plus encore, de celle que suppose rallongement primitif, /', du prisme, et qui, dans Thypothèse d'une élasticité parfaite, et où la masse M se trouverait au repos à l'instant du choc, peut

être mesurée (312) par le produit \Ql' = ÎQ jg O" tAELT»,

il ne s'agira, disons-nous, que de voir si la somme de ces quantités surpasse ou non la résistance vive d'élasticité. Te =: T; AL, ou la résistance vive de rupture, ïr~ T,. AL(247), dont les coefficients, T^, T^, sont donnés par les Tables des n''* 275, 296 et suivants, pour être en mesure de reconnaître, à l'aide d'un calcul facile et dont nous offrirons un exemple dans la partie des applications, s'il y a chance que l'élasticité du prisme soit énervée par les effets qui succèdent au choc, ou que la rupture immédiate s'ensuive. A l'aide du principe déjà cité, et des courbes qui expriment {PL Il^fig. 4? ©l 48, n*** 274 et 290) la loi des allongements des prismes de diverses substances, on pourra également étudier, par des constructions ou des tâtonnements faciles, les particularités essentielles du phénomène de l'allongement produit sous l'influence de la vitesse initiale et des efforts exercés par les poids réunis des deux charges. Mais, en supposant, comme au n*» 318 et comme il convient généralement de le faire dans les projets d'établissement des constructions, qu'on limite la question au cas où ces effets doivent laisser l'élasticité du prisme intacte, il deviendra possible encore de soumettre directement ces circonstances au calcul.

Allongement maximum dans r/ifpothèse d'une élasticité parfaite. — En limitant la question au cas où la charge Q se trouve au repos à l'instant du choc, et nommant toujours L le plus grand allongement subi par le prisme, ou I l'allongement proportionnel qjui lui correspond, sa valeur s'obtiendra au moyen de l'équation

(Q4-Q')^ + (Q + Q')(I-r)L-f-iAEL/'»~|AELP,

454 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

qui exprime précisément que l'égalité a lieu entre les diverses quantités dont il vient d'être parié ci-dessus, attendu que, dans l'hypothèse d'une élasticité parfaite, le produit j AELP mesure (24.7) la résistance vive totale, T,, du prisme.

On mettra cette équation, sous une forme plus simple et plus commode pour le calcul ou la discussion géométrique, si^

après avoir multiplié tous ses termes par la fraction -r^» on

observe que l'on a

L':..IL.Q = AE.' = AE^, ou ^= /'= ^, ^ = /',

et qu'on pose, en outre, par analogie,

i" et /^ représentant ainsi l'allongement proportionnel et l'allongement effectif que subirait le prisme sous un effori permanent égal au poids Q' du corps choquant. Cette équation prendra, en effet, la forme

et donnera, par les méthodes connues, en posant de nouveau,, pour abréger (322),

g^AE

\] ou IL z= /' -4- l"±i k/v" + p,

double valeur dont la plus grande doit, comme au n" 318, correspondre toujours au maximum de l'allongement, et la plus petite à son minimum si elle est positive, ou au maximum de raccourcissement subi par le prisme, dans son oscillation en retour, si elle est, au contraire, négative; c'est-à-dire si elle doit être portée [PL H^fig- 5i) en sens opposé par rapport à l'extrémité inférieure, B, du prisme considéré dans son étal

naturel. Mais, d'après ce qui a déjà été remarqué au n" 320, ce dernier résultai est sujet à restriction, et suppose, tout au moins, que les poids Q et Q', demeurent assez unis entre eux et avec la barre, par suite des déformations ou résistances accidentelles qui naîtraient du choc, pour qu'ils ne puissent se séparer au\ instants où la réaction élastique du prisme vient à s'exercer en sens contraire du mouvement acquis dans Toscillation en retour. Afin d'éviter d'interrompre le fil des idées, nous ferons, pour le moment, abstraction de ces circonstances particulières, sauf à y revenir plus tard, quand il s'agira des applications spéciales de cette théorie du mouvement oscillatoire.

Equation fondamentale du mouvement, — Le principe des forces vives (136 et 137) mettra pareillement à même de découvrir, pour le cas dont il s'agit, la relation qui sert à calculer la vitesse V, commune aux deux masses M et M', à un instant quelconque de leur mouvement, par exemple, à celui qui correspond à un allongement donné, /=: /L, pourvu qu'il soit ici permis encore (313) de négliger l'influence due è l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme. Car l'accroissement (M -h M')( V — VJ j qu'aura reçu la force vive de ces masses, depuis l'origine du mouvement, devra être égal au double de la quantité de travail ( Q H- Q' ) ( / ~ /' ) développée, sur elles, par la pesanteur, pendant leur descente de la hauteur / — /', diminuée du double de la quantité de travail,

qui est développée, en sens contraire, par la résistance élastique, AEz, du prisme, pendant la durée de cette même descente ; c'est-à-dire qu'on aura, pour déterminer V, au moyen de /, la nouvelle relation

^Q-^^'V-(Q+Q'Vî=a(Q+Q')(/-n-^(/'ln

qui, en multipliant tous ses termes par -p-? et en ayant égard

aux observations et conventions ci-dessus, devient successi-

vemenl

par des transformations algébriques bien connues, mais qu'il nous eût été très-facile d'éviter, ou plutôt de suppléer entièrement, tant dans cette question que dans la précédente, si nous n'avions voulu montrer, par un nouvel exemple, comment l'application du principe des forces vives peut conduire directement au but, sans recourir aux données que nous avons précédemment acquises sur la nature du mouvement oscillatoire des prismes.

325. Interprétation géométrique des résultats et lois du mouvement qui succède au clioc. — Rien n'est plus simple que d'interpréter dans le langage géométrique, les résultats auxquels on vient de parvenir en dernier lieu, et dont l'analogie avec ceux qui ont été exposés, pour des cas particuliers, dans les n°" 313 et suivants, est facile à saisir : BC représentant (PL 11^ fig- 5i) la quantité /', dont, par hypothèse, s'est allongé primitivement le prisme vertical, AB, sous la charge permanente Q, et CO celle, /", dont il s'allongerait par l'influence immédiate deQ', BO représentera pareillement rallongement total de stabilité, /' H- /", qui entre dans les formules ci-dessus, et que prendrait le prisme sous l'action d'une charge unique Q H- Q', allongement qui, en vertu du principe établi à la fin du n*» 312, doit correspondre aussi à l'instant où la vitesse Vi ayant atteint sa valeur maximum, l'inertie ne joue plus aucun rôle, et où l'extrémité inférieure, B, du prisme, atteint elle-même le centre au milieu de ses courses ascendantes et descendantes, dans le mouvement oscillatoire qui succède au choc.

Allongement et contraction maximum. — D'après cela, si l'on porte, sur l'ordonnée ou horizontale du point, C, qui indique la position initiale de celle extrémité, la distance

CN'^r-T^'j il est évident que l'hypoténuse

ON' = v'oc' -H CN''= i/r» + p

sera le rayon r,, d'un cercle dont les intersections, B" et D", avec la direction prolongée de Taxe du prisme, donneront les positions extrêmes de B. On aura donc aussi

BD'' = BO + OD" = /' H- /" -f- i//"^ H- " = OB" - OB zzz i//''^ + ^ - (/' + /"),

qui sont précisément, Tune la plus petite, et l'autre la plus grande des valeurs absolues de L', trouvées ci-dessus (324), par la voie purement analytique.

Vitesses et allongements quelconques, — Supposons que ^ représente Tune des positions intermédiaires de B, pendant son mouvement descendant, de sorte que Bj- soit précisément égal à /. Si Ton élève, en ce point et au cercle mentionné, l'ordonnée 7* M' dont le carré

jM' =:0M' — Qr =0N' -(jB-OB)^

celte ordonnée représentera précisément la valeur de ^, que

fournit la dernière des équations du n" 324; ce qui prouve que toutes les circonstances du mouvement oscillatoire, déjà étudiées dans les n°' 318 et suivants, pour le cas particulier d'une seule masse M, animée de la vitesse Vi , se reproduisent exactement ici, pourvu qu'ori substitue la considération du cercle B"N'D"B'' à celle des cercles BnDB, B'ND'B', etc.; conséquence évidente à priori, puisque le mouvement oscillatoire des deux masses, M et M', lorsqu'elles sont une fois réunies et que l'élasticité n'est en aucun instant altérée, ne saurait différer de celui d'une masse unique, M -f- M', suspendue à l'extrémité inférieure du prisme, AB, et qui aurait reçu, en C, une vitesse initiale, Vi, capable de lui faire atteindre l'une ou l'autre des positions extrêmes D" et B". Amplitude, durée et nombre des oscillations. — Ces rappro-

chemenls et tout ce qui a éié exposé aux n°* 318 ei suivants, nous dispensent d'entrer dans la discussion détaillée des autres particularités du mouvement, relatives au cas général qui nous occupe, et dont la plus remarquable est, sans contredit encore, Tindépendance complète qui existe entre le nombre, la durée des oscillations et leur amplitude, Fintensitédu choc ou la vitesse du mouvement. On aura, en effet (315), pour calculer celte durée,

circ.B^^N^D^^B^^ 27rr. __ arr A-,. ON' "~ A-.r. "~ A-,

V g- V g-AE

attendu qu'ici les quantités

^' = \//fr = V/(QW)L «^ '■. = \/'"'-^ = 0N''

dont la dernière exprime aussi la demi-amplitude des oscillations, remplacent celles qui ont été désignées simplement par/r et r au n** 319.

Quant au nombre N, des oscillations par seconde, on le trouvera au moyen des formules

T~"27r i-KyJ l-\-i" 27r V(Q-+-Q')L'

qui sont pareillement indépendants de la vitesse initiale, Vi, et de l'amplitude, 2r,, des oscillations du prisme, mais non pas de la charge Q H- Q', qui le sollicite d'une manière constante, à partir de l'instant du choc. Ce dernier pourrait d'ailleurs avoir lieu dans un sens contraire et pour une position, de Q ou de B, j par exemple, très-différente de C, sans qu'il y eût de changé autre chose que la valeur de V» (322) et la grandeur de la demi-amplitude ou du rayon r, , du nouveau cercle,

B''N'D"B", à considérer, lequel aurait toujours pour centre le

y point 0, et pour ordonnée ^M', en y, la nouvelle valeur de -^ :

ce qui donnerait encore

r, ou OM' =: y/oj ' + jM'' = \/0x H- ^,

et metlraii ainsi en mesure de discuter toutes les circonstances du nouveau mouvement.

Formules analytiques du mouvement, — Il nous suffira ici de faire connaître celles qui concernent spécialement le temps, et qui peuvent être immédiatement déduites de leurs correspondantes des n*»" 319 et suivants. Remarquant à cet effet que, dans le cas actuel, ce temps doit être compté à partir de l'époque où Texlrémité inférieure, B, du prisme, est en C, on verra (319) que, si Ton nomme, en général, T sa valeur, en secondes, relative à la position quelconque, j, de celte extrér mité, ou à rallongement total, Bj = /, subi par le prisme, sa relation avec Tare N'M', ou Tangle N'OM', sera ici donnée par les formules

^ arcN'M' arcN'M' angleN'OM' , .„^^,, . ^

^ = k;7ÔW = -ïï;ir = -^. ' angleN'OM':=/ûT.

Nommant, de plus, T' le temps qui correspond à Tare B"N', ogu à Tangle B"ON', et qui est également donné par le rapport inverse du nombre constant, /r,, à cet angle censé mesuré toujours dans le cercle qui a l'unité pour rayon, il sera aisé d'apercevoir quelle est la nature des changements à effectuer, tant dans les formules du n° 319 que dans toutes celles du n*" 322, pour obtenir les expressions qui appartiennent au cas actuel.

Ainsi, par exemple, on aura pour calculer, à un instant quelconque indiqué par la valeur de T, l'allongement / ou Bj, subi par le prisme entier, AB,

l^BO-hOx = l'-^l" — OM' . cosB'' OM' ::=/' + r.r.cos/r,(T-t-T'),

attendu que le cosinus de l'angle obtus B"OM', doit ici changer de signe.

En employant les transformations trigonométriques indi-

46o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

quées dans la Note du n® 319, et observant qu'ici encore on a

or ]' NT V

cosA'.r=:cosB"ON'=^ = -, et sinA-.r = ^=-^,

ON' rt ON' kxVi

celte formule prendra la forme plus explicite

/ = /'-+-r(i-cosA*.T)4-~sinA-.T.

On aura donc aussi (321 et 322), pour calculer, en général, l'allongement z, subi, au même instant, par la partie quelconque kb:=x un prisme, la formule

z = / J = ^ [/' -h r - r. cosA-, (T -f- r )]

= -^-37 H- -ï-a;(i — cosA^, T) H- V-rSin/r,T; dans laquelle /', l" et V, ont les valeurs

AE' AE' ''•-Q + Q''^ — /' + r ^ '

déjà indiqués précédemment (322 et 324) , et où il serait facile de tenir compte (322) des termes relatifs à l'influence exercée par le poids des parties matérielles du prisme (*).

(*) Pour le cas qui nous occupe, l'expression générale de z, déduite d'une analyse semblable à celle qui est indiquée dans la Note du n" 322, et où Ton tient compte de l'inertie des molécules du prisme, devient, en conservant toujours à B^ la même signification

ADL AD (Q + QO

^-"ÂT^'^^ÂË'' "^ AE "^

forme sous laquelle elle conduit k des résultats qui cadrent également avec

ADL

ceux du texte ci-dessus, quand — j^ ou m sont censés des quantités trèspetites.

C'est, au surplus, un résultat auquel on arrive directement d'après le prin-

DBS RÉSISTANCES. 4^1

On remarquera, au surplus, que, pour rentrer dans les conditions des n~ 318 et suivants, il suffirait de «supposer /' et Q nuls, dans les formules ci-dessus, sauf ensuite à remplacer, dans les résultats, V et Q' par /' et Q, puisqu'on exprimerait, par là, que le mouvement du prisme est simplement produit par le choc d'une masse, M' ou M, animée de la vitesse V ou V, , et qui viendrait rencontrer verticalement un obstacle, une saillie quelconques, placés à Texirémité inférieure, B, de ce prisme.