AE

Supposant dans celle formule, n ou le nombre des pas exécutés par la troupe, qui est d'ailleurs censée occuper l'étendue entière du pont, égal à 10 seulement, l'allongement loial subi par la lige de 10 mètres dont il s'agit ici, s'élèverait déjà à

v/ 0,00000177 4- 0,00017633 = o™, 01334, ou à o™, 001334 P^r mètre de longueur; résultat supérieur à celui qui a élé obtenu au n** 331, et qui prouve, non-seulement que l'élasticité des tiges serait dès lors complètement énervée, mais que leur

488 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

rupture, ei par conséquent la chute entière du pont, ne larderait pas à s'ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si Ton supposait, au contraire, w =o dans la formule, elle redonnerait simplement l'allongement /„ = /' = o™,ooi33, correspondant au cas où la troupe serait immobile, et qui n'est pas même le dixième du précédent.

Expériences et calculs relatifs à la résistance longitudinale

des prismes au choc.

339. Données particulières fournies par les expériences (le M, G,- H. Dufour^ de Genève, — On doit à cet ingénieur distingué quelques expériences ayant trait à cet objet, et dont il a consigné les résultats dans son Ouvrage sur les ponts en fil de fer, imprimé à Genève, en iSaS (§5, p. 2o). Ce sont, à ma connaissance, les seuls dont les détails aient été jusqu'ici mis au jour, et, attendu le but restreint dans lequel elles ont été entreprises, il y a lieu de regretter qu'un sujet de recherches aussi intéressant et aussi neuf ait encore si peu attiré l'attention des physiciens et des ingénieurs.

Dans une première série d'épreuves, M. Dufour s'est servi d'un fil de fer de Saint-Gingolf, n^ 13, ayant i"*"',9 de diamètre, ou a""*ï,835 de section, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre^ une charge de ig6 kilogrammes, à raison de ^^^,i par millimètre carré. Ce même fil, après avoir été chargé verticalement d'un poids de 70 kilogrammes, un peu moihdre que les 0,4 de celui qui en représente la force de ténacité moyenne, a été ensuite soumis à l'action de divers chocs produits par une masse de fer pesant 10 kilogrammes, et tombant successivement, de 2, de 4? de 6,..., de 100 centimètres de hauteur, sur la caisse qui contenait les poids formant, avec le sien propre, la charge permanente, 70 kilogrammes, du fil. Mais, bien qu'il ne soit résulté, de ces chocs, aucun effet apparent, aucune rupture sensible, il n'est pas moins regrettable que l'Auteur ait négligé de constater, à chaque fois, par des mesures précises, les plus grands allongements auxquels les fils sont parvenus, et les allongements permanents qui ont pu s'ensuivre, toutes oscillations étant terminées; car ils eussent mis à même de comparer les résultats de l'expérience à ceux du calcul, et de découvrir la véritable influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

Au surplus, nous avons vainement cherché, dans l'Ouvrage de M. Dufour, la longueur absolue des fils sur lesquels il a opéré; donnée dont, à la rigueur, on peut se passer quand il s'agit simplement d'obtenir une limite de la résistance absolue, sous l'action lente d'une force directe de traction (244), mais qui devient, au contraire, indispensable dans toutes

les questions relatives au choc, puisque la résistance vive des prismes croît^ sinon proportionnellement, du moins très- rapidement, avec leur longueur.

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des n*** 323 et suivants, nous supposerons cette longueur des fils soumis à Texpérience par M. Dufour, égale à a mètres, de sorte qu'on aura ici

L = a™,o, A = a-'^^SaS, Q = jo»'», Q' = lo'^», V = v'i9,6i8H',

H' représentant la hauteur d'où sont tombés successivement les lo kilogrammes dans les expériences dont il s'agit.

Prenant d'ailleurs E = 18000 kilogrammes, par millimètre carré, pour le fil de fer (292), il en résultera (324), pour l'allongement permanent avant le choc :

et, pour celui qui serait occasionné par la charge Q', si elle agissait seule.

Le premier correspond à un allongement proportionnel de

Jo"',ooa7 = 0,001 35,

sous lequel l'élasticité serait certainement énervée (292), s'il s'agissait d'un fil de fer recuit, ou même inégalement recuit. Mais, en admettant que le contraire ait eu lieu ici, nous rechercherons l'effet qui a pu résulter du cRoc des 10 kilogrammes tombant, par exemple, de la plus grande. H' = i", des hauteurs relatives aux expériences citées, et à laquelle correspond (119) une valeur de

V'=r,43 et de V, = ^-^, V' = |î 4",43 = o"',554,

dont la dernière est, dans nos hypothèses (323), la vitesse par seconde, commune aux deux masses vers la fin de la première période du choc. Attendu d'ailleurs qu'on a ici

^■ = 7-Î7«=^3 = ^'^^'«7 ou /. = 55,99, il en résulte pour la valeur du plus grand des allongements subis, par' le

49^ MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

fil, SOUS les influences réunies de ce, choc et des deux poids Q et Q',

= o",oo3i3 -h y/o ,0000001 52 ■+■ 0,000097935 = o",oi3o.

Cette valeur correspondant, d'après l'hypothèse faite sur celle de L, à

un allongement, I, de — '—^ — = 0°*, oo65 par mètre, il est certain que

l'élasticité des fils, fussent-ils même parfaitement écrouis, n'a pu être ici conservée, pas plus que la loi de la proportionnalité des allongements aux forces ou tensions, sur laquelle tous nos calculs et formules sont implicitement fondés. A plus forte raison, ces formules cesseraient d'être applicables aux deux autres séries d'expériences dont il sera parlé dans l'article suivant.

340. Données et calculs concernant spécialement la résistance vive des fils de fer à la rupture, — Dans les deux dernières séries d'expériences de M. Dufour, des fils de fer de 2"^,i de diamètre, 3°*™ï,464 de section, auxquels on supposera également 1 mètres de longueur, ont été rompus sous le choc d'un poids de 10 kilogrammes, qui n'avait besoin de tomber que d'une hauteur de o",95, quand la charge permanente du fil égalait la moitié de sa charge maximum, 209 kilogrammes, c'est-à-dire io4''«^,5, et de i", 38 moyennement, quand elle n'en était que le tiers ou 69'''^, 7; de sorte qu'on avait dans le premier cas,

Q= 104^5, H'=o™,95, V'=4™,33; dans le deuxième cas,

Q = 69"», 7, H' = 1™, 38, V = 5™, 20 ; et, dans tous les deux à la fois,

L = 2™, 00, A= 3»'"^464, Q'= lo''^;

ce qui donne respectivement, pour les vitesses communes aux deux corps, immédiatement après le choc,

Mais le calcul de ces vitesses devient inutile dans la question présente où il s'agit simplement d'évaluer la résistance vive opposée par les fils, la quantité de travail effective qui a produit leur rupture, que nous supposerons opérée, dans chaque cas, sous le plus petit choc possible, c'est-àdire de manière que le mouvement soit sensiblement éteint vers l'instant

DBS RÉSISTANCES. 49^'

de cette rupture. En effet, d'après le n** 323, la demi-force vive commune aux deux corps, Q et Q', à l'instant où la première période du choc est terminée, a pour valeur dans le premier cas

i (M +M') V; = ç-^ Q'E'= i^ io"x o",95 = 8'-, 670, dans le deuxième cas

' Qh-Q 79,7

Ajoutant à ce résultat, le travail relatif à rallongement /', subi antérieurement, par les fils, sous TinQuence de la charge permanente Q, et qui, dans r hypothèse d'une immobilité parfaite, ici permise, a également pour valeurs respectives (324) dans le premier cas

dans le deuxième cas

on obtiendra les sommes 8*'»", 845 et la''^"*, 146, auquel il conviendra encore d'ajouter, afin d'obtenir les résistances vives demandées, le travail développé par les poids Q et Q', pendant que s'opère le surplus de l'allongement des fils, dont, d'ailleurs, la valeur maximum n'a point été observée ici directement, quoiqu'elle exerce une inûuence appréciable et susceptible de varier, non-seulement avec la longueur absolue L des fils, mais encore avec leur degré de ductilité ou de dureté relative.

En adoptant néanmoins, pour terme de comparaison, la valeur moyenne, o",oo4 par mètre, du plus grand allongement obtenu par M. Dufour (*), lors de la rupture des mêmes fils, sous de simples pressions, ce qui donne o°,oo8 pour la longueur entière de chacun de ceux dont il s'agit ; remarquant, au surplus, que l'allongement absolu subi, antérieurement au choc, par ces derniers fils, a pour valeurs respectives :

,, QL 104,5 XI „ , ,, 6q,7 X 2

^ =TÛ= 2 a/; = 0™,0034, /'= J Qc =0^00^2,

AE b2 352 ' 62 352

les quantités à ajouter seront pareillement :

ii4''8^5(o"',oo8 — o'",oo34) = ii4'^^5 X o"',oo46 = o''8",527.

(*) Fqxez le tableau de la page 28 du Mémoire cité.

79"», 7 (o™,oo8 — ©",0022) = o''»'",462;

ce qui donnera pour la quantité de travail absolue ou totale, absorbée par la rupture des deux fils :

I** Dans le cas d'une chute de o™, 96,

', 845 + o'^î''"', 5-27 = 9''»", 372 ; 2** Dans celui d'une chute de i™,38,

Divisant enfin ces résultats par le produit ÂL = 3,464 x 2 = 6,928, on obtiendra les valeurs respectives

r = 1*^8°», 35 et r = 1^8™, 82,

pour les résistances vives (247) des deux fils, par millimètre carré de section et par mètre de longueur : résultats qui diffèrent notablement l'un de l'autre, et qui diffèrent encore plus de ceux que fournit le tableau du n° 296, pour les fils forts, à la classe desquels appartenaient, très-probablement, ceux dont il s'agit.

3li . Réflexions critiques sur les résultats de ces calculs et les méthodes d'expérimentation relatives au choc des prismes^ — Nous n'entreprendrons pas de discuter et d'interpréter les causes des différences qui viennent d'être signalées; trop de chances d'erreurs et d'incertitudes accompagnent, comme on l'a vu, les résultats du calcul et de l'expérience; mais nous croyons utile d'insister sur quelques-unes des suppositions que nous avons été obligé d'admettre afin de rendre ces calculs possibles.

En premier lieu, pour évaluer les premiers effets occasionnés par la charge permanente Q, des fils, il nous a fallu recourir à l'hypothèse d'une élasticité parfaite; ce qui, certes, ne serait pas permis pour des fils ductiles ou recuits même inégalement. Si donc il s'agissait de faire une comparaison exacte des données du calcul et de l'expérience, il conviendrait d'observer directement ces premiers effets, qui se compliquent encore de ceux qui peuvent être dus à l'état naturel d'inflexion ou de torsion dans lequel se trouvent ordinairement les fils passés à la filière.

Il ne serait pas moins indispensable, comme on a Ta vu, d'observer directement, dans le cas des fils ductiles, le maximum de l'allongement qui se produit sous le choc et à l'instant de la rupture, au lieu de le déduire, ainsi qu'on l'a fait, du résultat moyen d'expériences étrangères; ce qui pourtant n'offrait point ici d'inconvénients graves, à cause de la faible valeur du travail développé par les poids Q et Q', pendant l'allongement des fils durs.

D'un autre côté, nous avons totalement négligé l'influence due au poids

et à rinertie des fils qui, ici encore, n'exerçaient aucune influence appréciable; à cause de la grandeur de Q. Mais il pourrait être nécessaire d'en t«nir compte pour quelques autres circonstances; et cela se fait approxi* mativement, en augmentant la valeur de Q, du poids de la partie du fil, qui, ayant été enlièrement rompue ou détachée, peut être censée faire corps avec sa masse.

Cette attention serait surtout nécessaire dans le cas où le poids Q', qui produit la rupture par sa chute, étant lui-môme assez petit, et cette chute, par conséquent, très-forte, il arriverait, contrairement aux hypothèses dont on a déduit les résultats des précédents articles, que la vitesse et la force vive, à l'instant de la rupture, fussent comparables à celles qu'engendre cette même chute; alors il faudrait retrancher, des résultats ainsi obtenus, la demi-somme des forces vives conservées, à cet instant, par les deux corps et par la partie détachée des fils.

Enfin les résultats dont il s'agit supposent encore (323) que les masses choquantes soient dénuées de toute élasticité; ce qui pourrait bien ne pas avoir eu lieu pour la caisse mise en usage par M. Dufour, et dont le fond, plus ou moins flexible, aurait pu recevoir les impressions directes du choc de Q', en produisant ainsi son rejaillissement. Or il est aisé de se convaincre, par les principes des n** 158 et 161, que la quantité de travail dépensée pour produire la rupture des fils, eût pu surpasser celle que nous avons estimée par les calculs ci-dessus, attendu que le poids Q' eût entraîné, dans ce rejaillissement, une perte de force vive beaucoup moindre que celle qui résulte du défaut d'élasticité des deux corps, perte dont la valeur est donnée (158) par la formule

MWV— aV )'— M'V'M I — —^5—1 — M'V'=' (P ""' Q ^ ,

M(V 2V.)MV y ,Q^y,j-MV ^Q^.Q.),'

dans le cas d^une élasticité parfaite; la demi-force vive consejvée par le poids Q, et en vertu de laquelle se serait achevée la rupture des fils dans l'hypothèse où Q' n'aurait pas eu le temps de produire, par sa rechute, un nouveau choc, eût été simplement (160)

Celte quantité sera, en effet, supérieure à la demi-force vive,

commune, après le choc, aux deux corps, Q et Q', dans l'hypothèse d'un rejaillissement nul, toutes les fois que la condition

^'^ ■,>i ou 3Q>Q'

se trouvera satisfaite; ce qui avait elTectivement lieu dans le cas dont il s'agit.

Ces réflexions montrent combien la question qui nous occupe est délicate, et de quelles attentions on doit user, dans les expériences et les calculs, pour atteindre le but, c'est-à-dire pour parvenir, abstraction faite des causes d'erreur qui peuvent inQuencer accidentellement les résultats, à des valeurs de la résistance vive des prismes comparables, fondées uniquement sur les données de l'expérience directe du choc, et par là même entièrement appropriées à la nature du phénomène. Quant à la question où cette résistance vive étant connue à priori^ il s'agira, à l'inverse, de rechercher, par la marche tracée à l'avance, au n" 324, quels sont, en général, les effets dilaniateurs qui peuvent être produits, sur un prisme, par un choc donné, ou quelle doit être l'intensité d'un choc pour produire un effet également assigné, etc., il nous suffira d'indiquer rapidement les principales formules en les faisant suivre de quelques exemples numériques très-simples.

Questions et méthodes de calcul spécialement relatives au cas où le choc entraîne la rupture ou V altération élastique des prismes.

342. Circonstances principales du mouvement qui précède la rupture. — Pour plus de généralité (247), nous nonnmerons Tr = T',..AL, la quantité de travail développée, par la résistance d'un prisme, pendant qu'ii s'allonge d'une quantité quelconque /= /L, à partir de son état naturel ; quantité qui sera donnée, ainsi que la valeur correspondante de celle résistance que nous nommerons P ou P'.A, au moyen de la Table du n** 289 et de ses analogues relatives aux corps différents des métaux. Nous nommerons pareillement tr = /' .AL, le travail

de celle résistance correspondant à l'allongement r=i'Ly subi, antérieurement au choc, par le même prisme, sous l'action permanente de la charge Q. Cela posé, on aura, pour remplacer les dernières des formules du n** 324, dans les mêmes hypothèses et conditions, sauf que la limite de l'élasticité pourra, ici, être dépassée, la nouvelle équation

DES RfiSISTANCBS.

Vf f /; , ,v ^r — tr

dont on se servira pour calculer, au moyen des Tables mentionnées^ les différentes circonstances du mouvement qui suc-

cède au choc de la masse M' ou — i animée de la vitesse V,

contre la masse M ou — » supposée à l'état de repos sous l'allongement donné, /', et dans laquelle on a toujours (323), polir le cas où il ne surviendrait aucun rejaillissement après le choc^

formules qu'il sera d'ailleurs facile (ibid.) d'étendre au cas où la masse M, au lieu d'être au repos à l'instant du choc, posséderait une vitesse antérieurement acquise, d'une intensité et d'un sens quelconques.

On voit, en effet, que, si l'on attribuait aux allongements absolus, / et /', ou aux allongements proportionnels, i et i', dans l'équation ci-dessus, des valeurs quelconques, on en déduirait immédiatement celle de la vitesse correspondante, V, supposée commune aux deux corps à tous les instants qui suivent la première impression du choc ; car les valeurs de T^ et de /'^, relatives aux unités de longueur et de section du prisme, seraient également données par la méthode des quadratures du n** 180, appliquée aux nombres fournis par la Table du n*» 289 et ses analogues, ou par les courbes des Jl g. 47 et 4s, PL II, suivant ce qui a déjà été expliqué aux n°* 279 et 296. Mais, afin de n'avoir pas à se jeter pour chacune des valeurs de / ou de i, dans les calculs auxquels entraîne l'application de cette méthode, on fera bien de dresser, une fois pour toutes, une nouvelle Table des valeurs de T'^, relatives à

des valeurs de / = y-? ou des efforts correspondants, P', qui

croîtraient par différences constantes ; cela sera facile au moyen des courbes dont il vient d'être parlé, et permettra de construire une nouvelle courbe, servant d'annexé à la nou-

4g6 MÉG4NIQUB INDUSTRIELLE.

velle Table, el qui donnera rapidement les valeurs de T^, relatives à des valeurs quelconques de i, / ou P. Raisonnant ensuite à peu près comme on Ta fait pour le cas d'une élasticité parfaite (21^,225, ...), il sera facile de trouver successivement les ordonnées de la courbe qui représente la loi du mouvement pour l'extrémité inférieure du prisme et qui cessera ici d'être un cercle; mais ces détails qui n'offriraient, du moins pour la première période de l'allongement, qu'une répétition continuelle de ce qui a été exposé» dans le précédent Chapitre, pour le cas où l'élasticité demeure parfaite, ces détails nous entraîneraient beaucoup trop loin, et nous nous contenterons d'avoir mis le lecteur sur la voie, afin de passer rapidement aux cas d'application qui concernent la rupture effective ou les plus grands allongements subis par les prismes.

34.3. Formules relatives au maximum d'allongement et aux circonstances qui accompagnent la rupture. — Pour cet allongement, que nous continuerons de nommer L' = IL, la vitesse V, des deux masses M et M', étant nulle, l'équation générale ci-dessus devient simplement, en changeant les signes,

Vî Q

— ^ ou ^

H' =^ — -^ «AL— iU— l)

(|rré*- ■+'■■)

et servira à faire trouver, par un tâtonnement facile, la valeur de L', au moyen de la Table ou de la courbe auxiliaire déjà mentionnées, et qui lient, en général, celte valeur ou celle de I et î à celle de T^ et de P'. Supposons, en effet, que sur les abscisses de la courbe dont il s'agit, censées représenter ici les différentes valeurs que peut recevoir, dans l'équation ci-

dessus, l'inconnue I = ï^? ou, plus généralement, 1=^5

quand on y fait varier Vi ou H', supposons, dis-je, que, sur ces abscisses, on construise une nouvelle ligne ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du travail T,., fournies

par cette équation dont on tire immédiatement la formule Q -h Q- Q -^ Q^ ,v ■ Ql H'

/• "" A '"^'' A AL(Qh-Q')'^'

cette seconde ligne auxiliaire, qui sera une droite (310), puisque tout est constant ou donné, sauf T'^ et i, viendra rencontrer la première en un point dont l'ordonnée et Tabscisse seront précisément les valeurs de T,. et de i ou I, qui remplissent simultanément les conditions exigées.

Dans le cas particulier où le plus grand allongement devrait correspondre précisément à l'instant de la rupture, T,., et L' ou IL, se trouveraient immédiatement déterminés au moyen de la Table du n^ 296 ou de ses analogues, et les équations cidessus serviraient, par un calcul beaucoup plus simple, à faire trouver la hauteur de chute H', au moyen de Q' et de Q, censés alors donnés, ou, réciproquement, celle de Q' au moyen de la valeur assignée à cette chute, sous laquelle, par hypothèse, la rupture du prisme dojt s'opérer sans vitesse ou force vive surabondante. Ces équations donneront, en effet, par la résolution directe : pour la première hypothèse,

H' = ^^^ [(n - O AL - (Q + Q') (L' - /')];

pour la deuxième,

(t:.-/:.)al + 2qh'

formules dont nous ferons bientôt l'applijcation à un exemple particulier.

Quant au cas où la rupture du prisme s'opérera avec une certaine vitesse que nous continuerons de nommer V, il est aisé d'apercevoir, en se reportant aux raisonnements du n** 324, ou au principe des n°* 136 et 137, que la première des équations rapportées ci-dessus (342) demeurera applicable, pourvu qu'on

49^ MÉCANIQUE INDUSTBIELLE.

y remplace / par L' = IL, et T,. par la résistance vive du prisme que fournissent directement les Tables ou les données de l'expérience; c'est-à-dire qu'on aura la relation

V» V fT' — t' )AL / V — f

qui fera connaître immédiatement V, ou sa hauteur due, H= — ï au moyen de V,, ou de sa hauteur due (342),

H, = jjc ^^7-r^ H', quand tout le reste sera donné à priori.

Cette même relation permettra, à l'inverse, de calculer la résistance vive, T,., du prisme, quand il sera possible d'observer directement, dans des expériences, la valeur finale de V et de /ou L' ; ce qui peut se faire au moyen de procèdes faciles à imaginer, et sur lesquels il serait ici inutile d'insister. La relation dont il s'agit donne, en effet, par des transformations algébriques très-simples, cette autre formule :

'' '■ AL AL* \2g- 2g-/

qui est, ainsi que les précédentes, susceptible d'une interprétation très-claire, et propre à en faciliter les applications et Tintelligence. Il suffit, pour cela, de remarquer que le rapport

j indique la charge, f>ar millimètre carré, qui a lieu après

l'instant du choc; que — = — =1 — î' exprime la différence

des allongements proportionnels, relatifs à la rupture et à la charge permanente, Q; qu'enfin le facteur, dans lequel entrent V et V,, représente simplement la différence H, — H, des hauteurs dues à ces vitesses.

344. Questions particulières concernant la rupture des prismes par le choc, — Soit, en premier lieu, un barreau de fer de loo millimètres carrés de section, de 3 mètres de longueur, soumis préalablement à l'action permanente de 200 kilogrammes, sous laquelle il a déjà pris un allongement de

DES RÉSlSTANCfeS. 499

0,000 1 X 3'" =:o'",ooo3, le coefficienl d'élasticité, E, étant supposé de "20 000 kilogrammes par millimètre carré; on demande quel est le poids qui, en tombant sur cette charge, de la hauteur H' = 2", ou avec la vitesse verticale, V = 6'", 26 par seconde, serait capable de rompre instantanément ce barreau, dont le fer est d'ailleurs supposé très-ductile, et d'une qualité comparable à celle du fer qui a été soumis, par M. Bornet, à une expérience dont les résultats sont consignés dans le tableau du n*> 289?

En consultant le tableau du n°296, qui découle directement du précédent, on trouve que la résistance vive de rupture d'un tel fer, par millimètre carré de section et par mètre de longueur, a pour valeur approximative, la quantité de travail T^ = 4^«"*,5; ce qui donne, pour résistance vive totale, Tr, du barreau,r^.AL = 4''^"'>5 X loox 3 = 1 350^'^.D'un autre côté, on lit sur la ligne horizontale correspondante au premier de ces nombres, que l'allongemerft final, ou à l'instant qui précède immédiatement la rupture, est de 132"**", 5 po*ur i mètre de longueur, ou de o™, 3975 pour les 3 mètres, allongement visà-vis duquel on peut négliger celui qui est dû à la charge per- «lanente des 200 kilogrammes, de même aussi qu'il sera permis de négliger le travail tr

ou /',..ALi= ^2oo^»Xo™,ooo3 = o^»'",o3,

relatif à cette dernière (257), par rapport à celui des i85o kilogrammètres que suppose la rupture effective. On aura donc approximativement, pour le cas qui nous occupe,

(r, - C) AL =: 1 350*^8-, L' - /' = G*», 397 , QH' = 20o'^«f X 2'" = 400^»»", Q^H' 80000

ces quantités étant substituées dans la seconde des formules du précédent numéro, qui se rapportent au cas particulier où le choc est censé produire strictement la rupture, sans force

5oO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

vive excédante, il viendra

d'où résulte, pour la valeur qui doit être donnée au poids du corps choquant, Q'=:858^So6 — 200^» =r ôSS*'», 06.

Si, tout restant d'ailleurs semblable, on se donnait, à priori, cette même valeur, et qu'il s'agît, à l'inverse, de rechercher quelle devrait être la hauteur minimum, H', d'où il faudrait laisser tomber verticalement ce poids, pour produire la rupture immédiate du prisme, on aurait recours à la première des formules mentionnées, par laquelle on obtiendrait, en effet,

ce qui peut servir de vérification au résultat de nos premiers calculs.

Si, au lieu d'un barreau de fer ductile, on en avait considéré un de fer fort ou d'acier trempé, on aurait dû s'attendre,, d'après les observations du n° 296, à des résultats trèsdifférents, c'est-à-dire beaucoup plus faibles que ceux qui viennent d'être obtenus. Et, en effet, si l'on prend, conformément aux indications du tableau de ce numéro, pour l'acier trempé et recuit au bleu de ressort, T'^. = o*"*'", o58, 1 = 0,00252,

et qu'on tienne compte, ce qui est nécessaire alors, des valeurs o",ooo3 eto^^'^joS, de / et de tr, on trouvera, en prenant, par exemple, Q'i^ôSS'^Soô,

hauteur de chute fort petite par rapport à celle qui produisait la rupture dans le cas précédent.

345. Juive question relative au cas où le choc ne serait pas suivi de la rupture immédiate du prisme, — Si Q', H' ou W

DES RÉSISTANCES. 5oi

-étaient à l'avance connus ou donnés pour le barreau de fer qui nous a d'abord servi d'exemple, on serait naturellement conduit à rechercher Fétat auquel le choc le ferait parvenir, à l'instant où le plus grand allongement se serait opéré, et, notamment, on aurait à s'assurer si la rupture immédiate pourrait s'ensuivre, et quelle serait, dans cette hypothèse, la vitesse finale, V, conservée par les masses qui se sont choquées. Or l'avant-dernière des formules posées dans le n" 34.3, donne, sur-le-champ, pour calculer la hauteur due à cette vitesse,

où il n'y aura qu'à substituer, aux différentes lettres, les valeurs qu'elles représentent, et qui, par hypothèse, sont toutes connues.

Par exemple si, tout restant le même que dans la dernière des questions du n^34'5 ci-dessus, on se donnait de plus, arbitrairement, Q'= looo''^, on trouverait

__ / I ooo \ ^

hauteur à laquelle correspond, d'après la Table (119), une vitesse de 3*^,60 par seconde.

Mais si, au lieu d'un résultat posiiif et absolu, tel que le précédent, on eût obtenu un négatifs c'est-à-dire si la somme des termes souslraclifs de H l'eût emporté sur celle des termes additifs, alors la valeur de V, fût devenue imaginaire ou impossible, et l'on eût, par là, été averti que l'hypothèse de la rupture était absurde, et qu'il eût été nécessaire de recommencer les calculs sur une tout autre base.

Cette circonstance arriverait, en particulier, si l'on prenait

<J'r-55o^«, par exemple, au lieu de 1000 kilogrammes, et c'est

ce qu'on voit, à priori y par le résultat que nous avons obtenu

ci-dessus (3H), pour la valeur de Q', qui produit strictement

la rupture. 11 conviendrait alors de se reporter au cas général

U ( 34^3 ), où V devient nul sans que, pour cela, U ou 1 := -=- et T,

5o2 mécài«(ique industrielle.

cessent d*êlre inconnus; ce qui donnerait ici, en continuani de négliger la considération des quantités très-petites i'^ el l' ou i',

r-^Q + Q ■ . Q^^ H^-^So. . 3ooX75o

pour réquaiion de la droite dont il a été parlé dans cet endroit, et à l'aide de laquelle on effectuera les constructions ou tâtonnements qui s*y trouvent indiqués.

Supposant, par exemple, / = 0,1000, allongement proportionnel voisin de celui, 0,1 SaS, qui correspond (34.4.) à la rupture du prisme de fer dont on s'occupe, on en déduira

pour la valeur du travail que devrait développer la résistance, P', d'un prisnie de même matière, de i millimètre carré de base et I mètre de longueur, sous un effort capable d'un pareil allongement, si la valeur particulière, attribuée à ce dernier, était exacte, ou que celle de V fût réellement nulle quand il a lieu pendant le choc.

Or, d'après les résultats de l'expérience, rapportés sous la lettre (F) au n*» 289, ou donnés par la courbe (F) de la^g*. ùfi^ PL II, on trouve, par une première approximation, que la résistance P', dont il s'agit, est moyennement égale à 3i kilogrammes, pour tout l'intervalle compris depuis / = o, 1000 jusqu'à f = 0,1 325, où la courbe diffère peu d'une ligne droite; on aura donc, pour le travail correspondant,

3i^^. (o,i325 — 0,10000) = i'^*"%oo75,

lequel, retranché de la valeur maximum 4*'^"*>5o attribuée (344) à la résistance vive de rupture également par millimètre carré de section et par mètre de longueur, conduit à la quantité de travail, S''»", 4925, supérieure encore, mais de très-peu, à celle qu'a fournie directement l'équation ci-dessus; ce qui prouve que l'allongement final du prisme, sous le choc, a été pris un peu trop grand. En le réduisant d'une très-petite quan-

DES RÉSISTÀI«(CEH. 5o3

tîté, qu'il est facile de déterminer approximativement par les données de la^g*. 48, et recommençant les mêmes opérations, sauf à évaluer, cette fois, si le cas l'exige, d'une manière plus rigoureuse, Taire de la courbe (F), comprise entre les coordonnées qui correspondent au plus grand allongement, o, i SaS, et à celui dont il s'agit, on arriverait promptement, par ce tâtonnement, à une valeur de / ou de T'^, aussi exacte qu'on puisse le désirer, et qu'on obtiendrait d'ailleurs directement par la méthode graphique du n*» 342, si la courbe auxiliaire, dont il y est parlé, se trouvait tracée ainsi que la droUe représentée par l'équation, ci- dessus, en i et T',,.

Mais, quel qne soit l'attrait qui s'attache à de semblables questions, l'étendue excessive qu'a prise, comme malgré nous, l'exposé des matières traitées dans les précédents Chapitres, et dont l'utilité et l'importance, sous le point de vue pratique, pourront nous servir d'excuse, cette étendue nous oblige à terminer ici le cercle, naturellement très-vaste, des applications qui concernent la résistance directe des corps, limités, même, aux solides cylindriques et prismatiques.