GLISSEMENT

361. Exemple relatif au frottement des tratneaux, — Supposons, en premier lieu, un traîneau, en bois, chargé d'un poids total de 1 5oo kilogrammes, y compris le sien propre, et glissant sur un chemin horizontal pareillement en bois; on demande : i° l'effort nécessaire pour faire partir ce traîneau; tP le nombre de chevaux nécessaire pour le faire cheminer sous dilTérentes vitesses et d'une manière continue.

En recherchant dans la première colonne de gauche de la Table du n"" 355, l'article relatif au frottement des bois sur bois, à l'instant du départ, on trouve, sur les trois lignes horizontales qui lui correspondent, différents nombres en regard de chacune des têtes de colonnes, qui, vers la droite, indiquent l'état des surfaces ou de l'enduit; cela annonce (/6/rf.)que la résistance est susceptible d'éprouver, dans chaque cas, des variations d'intensité dépendantes de la nature des bois, du degré de leur poli et de la direction des fibres ou du mouvement. Mais, en supposant qu'il s'agisse ici de surfaces assez mal dressées, on devra prendre le maximum des rapports ou coefficients de chaque espèce; et, comme on aperçoit, parles nombres de la troisième colonne, que la résistance augmente, en général, quand les surfaces sont ou simplement humides ou complètement imprégnées d'eau, on devra, afin de ne pas rester au dessous de la réalité, adopter le chiffre 0,71, qu'on

rencontre parmi ceux de celle colonne ; nous aurons donc, pour le frollemenl au dépari du iraîneau :

0,71 X i5oo^«= io65^«.

Un bon cheval ne peut guère exercer, d'après Régnier (5® cahier du Journal de l'École Polytechnique), un effort de plus de 400 kilogrammes contre un obstacle immobile, il ne pourrait donc vaincre directement la résistance dont il s'agit. Mais, en attelant au traîneau deux chevaux de cette force, et les faisant agir par secousses en vertu de leur quantité de mouvement antérieurement acquise (131, 133 et suiv.), il y a lieu de croire qu'ils en viendraient à bout, bien que l'inertie leur oppose, dans ce cas, une très-grande résistance (146 et suiv.); car nous savons ( 355 ) qu'un ébranlement, assez léger, imprimé aux corps en contact, suffit pour produire leur départ sous un effort bien moindre, et à peu près égal à celui qui correspond aux instants où le mouvement est déjà acquis. Or on voit, par la Table du n** 357, relative à ce cas, que la résistance serait, tout au plus, égale aux o,48 de la charge, c'est-à-dire

0,48 X iSoo''*^: 720^6;

mais il est clair que les deux chevaux ne pourraient pas traîner fort loin celte charge, sous un pareil effort; et comme, d'après la Table du n° 205, le tirage moyen ou le plus avantageux d'un cheval, dans un travail soutenu, est de 70 kilogrammes environ, on voit qu'il faudrait en atteler au moins dix au iraîneauy pour qu'ils pussent le faire cheminer conve-

720^ nablement, en exerçant moyennement un effort de == 72^»

environ, sous une vitesse qui, d'après les données de celte

même Table, doit être, au plus (206), de — r=o^",87 P^^ ^^^

conde; celle vitesse n'ayant d'ailleurs (34.9) aucune influence sur rintensilé absolue de la résistance à vaincre, celle-ci restera toujours égale à 72 kilogrammes pour chaque cheval allant, soit au pas, soit au trot. Enfin, puisque, à cette dernière allure, qui correspond à une vitesse d'environ 2*^,2 par seconde, l'effort de tirage des chevaux doit être réduit moyennement à 44 kilogrammes, toujours d'après la Table du ^^205,

54o MÉGANIQUE INDUSTRIELLE^

on voit que, dans ce cas, il en faudrait, au moins, -^77- = i6,36,

pour traîner convenablement la charge.

Supposons, maintenant, les surfaces frottantes parfaitement dressées et graissées dans toute leur étendue; d'après les chiffres moyens 4>es colonnes 4 et 5 de la Table du n° 357, la résistance sera réduite aux 0,08, au moins, de i5oo kilogrammes ou à 120 kilogrammes; ce qui n'exigerait plus que remploi de deux médiocres chevaux, s'ils devaient cheminer au pas, pendant dix heures chaque jour, ou celui de trois chevaux pareils, cheminant au trot, pendant seulement quatre heures et demie, puisque la dépense de travail, par mètre de Chemin, demeure indépendante de la vitesse, ou égale à lao^^^x 1°"= lao^*"*, pour les deux cas. Les chiffres des mêmes colonnes, 4 et 5, de la Table dont il s'agit, montrent, au surplus, qu'il n'y aurait de l'avantage à substituer des ornières ou des languettes saillantes, en fer ou en fonte, à celles en bois, qu'autant qu'on voudrait éviter la dépense de l'enduit, ainsi que la trop prompte altération des surfaces.

362. Exemple relatif à la stabilité des constructions, — Supposons, en second lieu, qu'il s'agisse de reconnaître quel est l'elfort horizontal que peut supporter un mur de soutènement, en maçonnerie ordinaire, de 10 mètres de hauteur, 2"», 5 d'épaisseur au sommet, et 3°™,5 à la base, afin d'être assuré qu'il ne glissera pas sur ses assises horizontales; l'effort, dont il s'agit, devant être, tout au plus, égal a celui de la poussée des terres ou de l'eau qui s'appuient derrière ce mur; poussée dont le calcul repose d'ailleurs sur des principes de Mécanique, dont l'exposition ne rentre pas dans le plan de cet Ouvrage (*).

Remarquons d'abord que l'assise des fondations étant la plus chargée de toutes, et celle qui présente, à la cohésion des moriiers, la plus grande étendue de surface, ce n'est pas elle qui court le plus de chances d'être désunie par glissement;

(*) L'Auteur a fait une étude complète de cette importante question, dans son Mémoire sur la stabilité des revêtements et de leurs fondations {^Mémorial de 'Officier du Génie, n» Xm). (K.)

mais, comme la poussée croît elle-même rapidement avec la hauteur des terres à soutenir, nous admettrons ici que la base du mur soit réellement Tassise de plus faible résistance relative. D'un autre côté, la poussée et la .résistance étant les mêmes pour chaque unité de longueur du mur, ou leur rapport étant indépendant de cette longueur, il suffira de considérer ce qui a lieu pour une portion comprise entre deux tranches verticales, ou profils distants de i mètre, par exemple. Cela posé, on trouvera, sans difficulté, pour le poids du mur, en admettant (35) que le mètre cube de maçonnerie pèse 2000 kilogrammes, le chiffre

io"X

^ — '- '- — ' X 1°* X 2ooo'^« = 60 oooJ^«.

La Table du n** 356 (première partie) donne ici /= 0,66, pour la plus faible des valeurs du coefficient du frottement, relatives aux briques' et aux pierres non polies, avec ou sans interposition de mortier frais, qui, dans quelques cas, favorise le glissement; donc la résistance est, au moins, de |6oooo''«^ = 4oooo''«, par mètre courant de longueur, et, par conséquent, la poussée ne devrait pas surpasser cet effort. Mais, à cause des ébranlements auxquels le revêtement peut être soumis, immédiatement après sa construction, il convient de consulter la Table du n° 358, relative au cas où le mouvement est déjà acquis, sous l'influence de cet ébranlement; or ici, l'on voit que, sauf pour le cas des pierres dures, bien dressées, le frottement ne descend point au-dessous des 0,6, de la pression; donc on pourra adopter le chiffre

comme valeur minimum de la résistance que le frottement des assises inférieures du mur oppose à son glissement horizontal. Reste à voir maintenant, si cette résistance peut, au bout d'un certain temps, être surpassée par l'adhérence ou cohésion produite par la solidification des mortiers, auquel cas (356) il conviendrait, non d'ajouter, mais de substituer celle-ci à la première, dans les calculs relatifs à la stabilité, si toutefois il était permis d'admettre que les causes d'ébran-

lemenl, dont on vient de parler, soient insuffisantes pour détacher les surfaces, et réduire de nouveau la résistance à celle qui est due au simple frottement.

L'aire de la portion d'assise ou de base, que nous considérons, est de 3",5x i™ = S^'jS, par mètre courant de revêtement; et, d'après la dernière des colonnes de la deuxième partie du tableau (356) cité en premier lieu, on ne peut guère compter, même pour les bons mortiers, sur une résistance moyenne qui surpasse 9 à loooo kilogrammes par mètre carré, ce qui donne une résistance totale de

3, 5 X goGo"^» = 3 1 5oo''« à 3, 5 x i o ooo^« = 35 oooS

un peu inférieure à celle qui a été trouvée dans Thypothèse du frottement. On voit donc que, dans cette question, il serait inutile d'avoir égard à la cohésion des mortiers, et cela avec d'autant plus de raison : 1° qu'il ne serait pas prudent de compter sur la moyenne, ni même sur la plue petite des données fournies par l'expérience; 2° que les surfaces en contact étant ici très-grandes, il peut arriver que des mortiers, en chaux ordinaire, soient loin d'avoir acquis, même au bout d'une ou de deux années, le maximum de leur dureté relative; 3° qu'enfin le mur peut être soumis, avant cet instant, à tous les accidenls qui naissent du chargement des terres, de l'application de la poussée, etc.

Les calculs qui précèdent ne présentent, comme on voit, que des approximations grossières, des à peu près bien éloignés de la rigueur mathématique qui plaît tant à l'esprit dans les sciences rationnelles; mais cette incertitude tient à la nature physique même des choses, et ne doit pas nous porter à dédaigner les données du calcul et de l'expérience, qui nous mettent au moins à même d'obtenir des .limites, et d'éviter des mécomptes d'autant plus fâcheux, qu'ils n'intéressent pas seulement l'amour-propre et la fortune des individus.

Passons maintenant à d'autres exemples, qui nous offriront des résultats plus satisfaisants sous le rapport de la précision des chiffres.

363, Calcul du travail absorbé par le frottement des tou^ rillons des roues hydrauliques et des volants. — On se sert souvent dans les machines, de grandes roues en fonle, irès-pesantés, destinées, les unes, à donner le mouvement, les autres à le conserver et à le régulariser, de manière à remplir ainsi les fonctions de réservoirs de force vive (124 et 144); il n'est peut-être pas inutile d'appeler Tattention de quelques-uns de nos lecteurs, sur l'énorme consommation de travail qui peut résulter 'du seul frottement des tourillons de ces gigantesques appareils. 11 existe, en effet, des usines à fabriquer le fer, dont les roues à eau ne pèsent guère moins de 80000 kilogrammes, et qui font de 6 à 8 tours, moyennement, par minute, tandis que leurs volants, dont le poids excède souvent csoooo kilogrammes, font jusqu'à 5o et 60 révolutions pendant le même temps; d'ailleurs, les tourillons, en fonle, de ces masses, tournent sur des coussinets en bronze, bien graissés avec du suif, et qui ont environ o",3o de diamètre dans le premier cas, o",2o dans le second.

D'après ces données, il ne sera pas difficile de calculer le travail absorbé par le frottement de pareils tourillons, au moyen du tableau du n" 359, et des règles ou formules établies au n° 350; car on peut admettre, et l'on démontre d'ailleurs directement par les principes qui se rapportent à la composition ou combinaison des forces, que, dans tous les cas semblables, la pression normale, N, supportée par les tourillons, diffère généralement très-peu du poids même de la roue o*u du volant; ce qui n'aurait plus lieu si ce poids était très-petit, ou si seulement il était comparable à l'intensité de la force motrice qui entretient le mouvement. . Pour les tourillons de la roue hydraulique, en particulier, on trouvera quele frottemenl/N = o,o54x8oooo*'«r=432oS dans le cas d'une alimentation de graisse continue, et qu'il est deo, 076 X Soooo*'* = 6000^*^, dans celui où ilsseraienialimentés à la manière ordinaire; la roue faisant, je suppose, 6 tours à la minute, et le diamètre 2r, des tourillons, étant de o™,3o, il en résulte, à la circonférence, une vitesse

par seconde; ce qui donne, pour la dépense correspondante

de travail : RV = o™, 0942 x ^^26^^ = ^06^^"", ç)^ = 5,4 chevauxdynamiques environ, dans le cas d'un parfait entretien, et o",0942x6ooo''8 = 565''«",2 = 7,5 chevaux, dans celui d'un entretien ordinaire. De semblables consom'mations de travail seraient suffisantes pour faire mouvoir un ou deux tournants de moulins à farine, et elles deviendraient intolérables dans des machines qui n'auraient pas, au moins, la puissance de4o à 5o chevaux.

Pour le volant, le frottement, sur les tourillons, sera seulcrment de o,o54x 20000''* ==1080^», dans le cas d'un entretien parfait, et de 0,075 X 20000^*^= i5oo''8, dans celui d'un entretien ordinaire; mais, comme la vitesse est ici de 5o tours, au moins, à la minute, ce qui pour un diamètre de 0,20, donne un chemin de o™, 5236, décrit, dans chaque seconde, à la surface des tourillons, il en résulte une consommation de travail, équivalente à o™,5236 x i o8o''« = 565''«"* = 7,5 chevaux environ pour le premier cas, et deo"", 5236 Xi5oo^« =583''»™=: 10, 5 chevaux pour le second.

Il faut, comme on voit, que l'emploi des volants présente de bien grands avantages, sous le rapport de la régularisation du travail des machines employées à la fabrication du fer, pour qu'on se décide à faire, en quelque sorte en pure perte, un aussi énorme sacrifice en frottement d'axes seulement: car il est évident que le frottement des rouages qui servent à transmettre ou à entretenir le mouvement de pareilles masses, et la résistance de l'air qui l'accompagne inévitablement, doivent, à leur tour et par suite dç l'excessive vitesse qu'on fait prendre à ces masses, être d'autres causes de déperdition du travail moteur, dont l'influence mérite d'être prise en considération.

364-. application relative au frottement des roues de voitures, — La charge réglementaire maximum, des diligences, est de 362o''«, répartie sur quatre roues, dont celles du devant onto'",485 de rayon, et celles de derrière o™,76; le rayon moyen des essieux est de o",o35; ces essieux en fer, glissent, avec un très-petit jeu, sur la surface intérieure de boîtes de roues, en cuivre, bien graissées à la manière ordinaire, et qui viennent successivement présenter tous leurs points ou

génératrices à un même point ou à une même génératrice des essieux; on prendra donc ici, d'après la première partie de la Table du n** 358,/= 0,075; ce qui donnera pour la résistance tangentielie et totale éprouvée par les quatre'roues, 0,075 X 362o''«== 27i''«,5. Ces diligences cheminant avec une vitesse de 2 lieues à Theure, ou d'environ 2°',22 par seconde, quand les chevaux vont au trot, et chacun des points des roues venant successivement s'appliquer le long de ce même chemin, il est aisé de calculer que les plus grandes d'entre

elles font : *-— — ^=: - — 7 — ' ^„ , 1=0,465 tours seule-

ment par seconde, et les plus petites : ^ — 7-77-^ — - — = 0,728: ^ » p I 3,i4i6xo"»,97 " '

de sorte que, si on les suppose également chargées, le travail consommé, dans le même temps, par les premières, sera d'environ jX 27i'^»,5x 27rXo'",o35x o,465 = i3''«",9el, par les

secondes, de i3''»",9X 777^ = 2i^«'",7.

Maison peut arriver plus simplementà ce résultat, en observant que la vitesse, ou le chemin décrit, en une seconde, par le point d'application du frottement, ou par la circonférence des boîtes en contact avec les roues, sera seulement de

pour les grandes roues, et deo'",o35 x \^,1 rrzo"',i6o2 pour

les petites; ce qui donne immédiatement les quantités de

travail :

et

qui s'accordent respectivement avec les précédentes, et don^ nent, au total : i3''8'°, 85 -f- 21^8^,74 = 35''»"',59, pour le travail absorbé par les frottements réunis de quatre roues ; travail qui paraîtra bien faible en comparaison de celui qui serait consommé dans le cas (360) d'un simple traîneau. En effet, supposons seulement, d'après les tableaux des n*'* 350 et suivants,.

546 MÉCAJiilQUE INDUSTRIELLE.

f-=, 0,33, on trouverait pour ce dernier travail :

toujouTs par seconde.

Sous le point de vue théorique, cette renoarque suffit pour montrer l'avantage de la substitution des voitures avec roues aux simples traîneaux; car les calculs qui viennent d'être établis font très-bien apercevoir que cet avantage ne réside pas uniquement dans un affaiblissement, plus ou moins grand, de Tintensilé du frottement direct, mais bien dans Taffaiblis* sèment même de la vitesse, ou dans la diminution du chemin relatif, décrit parle point d'application de la résistance, et qui est mesurée par le rapport du rayon des essieux au rayon des roues. Ainsi, par exemple, tandis que, dans le cas ci -dessus, la vitesse ou le chemin effectif de la charge, qui est aussi celui de la circonférence des roues, est de 2^,22 par seconde, celle de la boîte de ces roues est seulement, comme on Ta vu, égale à o°',io2 pour les grandes, et à o™,i6o pour les petites, c'està-dire environ 22 fois et i4 fois moindre que la première.

Quant au point de vue pratique, il conviendrait encore de considérer : i°la résistance que l'air oppose au mouvement de la voiture; 2° le frottement circulaire ou latéral (3W) qui a Heu contre les épaulements, intérieur et extérieur, du moyeu des roues, aux instants où la voiture éprouve des chocs ou oscillations transversales résultant des inégalités du sol; 3** enfin, le frottement de seconde espèce ou de roulement (ibid.) qui naît du contact même de ces roues avec le sol, ou, plutôt, de la résistance que les matériaux de la route opposent à leur déplacement, à leur compression et à leur écrasement, au moment où ils sont atteints par les bandes des roues. Faisant ici abstraction de la résistance de l'air, qui, en effet, est trèsfaible, même pour des diligences lancées au trot; observant d'ailleurs que la résistance des épaulements de roues ne peut exercer qu'une influence peu sensible, dans tous les cas où le sol est convenablement nivelé; défalquant enfin, dans chaque cas, de la quantité de travail qu'aurait fournie la mesure directe de l'effort du tirage, etc., la perte de travail occasionnée par le frottement des essieux, perte toujours calculable, à priori, par la méthode indiquée ci-dessus; en opérant, di-

DBS r£sistangss« 547

-sons-nous, cette défalcation, on voit comment il devient possible d'arriver, dans de telles hypothèses, à la mesure du travail consommé parla résistance au roulement dont il s'agit, ^t, par suite, à la valeur même de l'intensité relative, de celte résistance, dans les différents cas. Mais, ainsi que nous en ^vons déjà averti, notre intention ne saurait être de nous étendre ici sur les considérations expérimentales et physiques Cjui se rapportent à ce genre de frottement (*).

365. Lois du mouvement horizontal des corps sous Vinfluence du frottement. — Le frottement étant une force retardatrice constante toutes les fois que la pression ne change pas, il est évident, à priori {iOl et suivants), que, si un corps pesant se trouve lancé sur un plan de niveau, dans une direction rectiligne donnée, et qui demeure invariable à tous les instants, comme il arriverait, par exemple, pour un traîneau glissant dans des rainures ou sur des languettes saillantes, parallèles et rectilignes, il est évident, dis-je, que le mouvement

( * ) Frottement de roulement. — Dans les Leçons que nous avons données, «n 1829, aux ouvriers de la ville de Metz, et dans celles que nous avons professées Tannée suivante, à l'École d'application de l'Artillerie et du Génie, nous lavions exposé quelques données d'expériences et de calculs, relatives au frottement dont il s'agfit, et que, d'après Coulomb, nous supposions proportionnel il la charge N des rouleaux, et inverse de leur diamètre 2r, la puissance étant «lle-méme censée immédiatement appliquée à leur centre ou axe, ce qui donne lieu à la formule

pour mesurer ce genre de résistance. Appliquant ensuite cette considération aux données fournies par la Table du n® 213, et par les expériences mêmes de Coulomb, nous en avions déduit une nouvelle Table des valeurs du coefficient y^, que nous croyons utile de rapporter ici, en attendant que des résultats d'ex» périences plus directes et plus précises aient levé entièrement les incertitudes qui existent maintenant encore sur la véritable loi de la résistance au roulements Car, si M.Dupuit, dans un récent Ouvrage intitulé'; Essai et expériences sur le tirage des voitures (Paris, 1887), a été conduit à modifier, en partie, la loi avancée par Coulomb; d'un autre côté, les expériences encore inédites de M. Morin sont venues la confirmer pleinement; de sorte que ce n'est pas trop se hasarder que de reproduire aujourd'hui même des résultats déjà publiés en i83i, dans les lithographies de l'École d'application de Metz. Nous avons d'autant plus de motifs de le faire, que ces mêmes résultats ont été postérieurement insérés, sans notre aveu, dans un petit Ouvrage ayant pour titre : Mé'

que ce corps prendra naiurellçmenl, en vertu de sa vitesseinitiale, sera uniformément retardé; c'est-à-dire que cette vitesse ira coniinuellement en diminuant de quantités qui seront proportionnelles aux temps écoulés depuis un instant

quelconque. Nommant P le poids de ce corps, M = - sa masse,

S V, sa vitesse initiale, V la vitesse qu'il conserve au bout d'un

nombre quelconque, T, de secondes écoulées, enfin, dési-

canique des Écoles primaires ^ où ils sont présentés comme de simples donnée»^ de l'expérience.

Table des rapports du frottement à la pression^ dans le cas du roulement de surfaces cylindriques sur des surfaces de niveau (* ).