VALEURS

DÉSIGNATION DE L ESPÈCE DE ROUES. ,. r «„ -« -

» (ie/i,oa rapport

et de Pétat des surfaces en contact. du frottement;

à la pression.

Roues de voitures garnies de bandes de fer, cheminant :

Sur une chaussée, en sable et cailloutis nouveaux o,o634

Id. en empierrement, à l'état ordinaire o,o4i4

Id. id. en parfait état o,oi5o

Id. en pavé, bien entreténu: au pas o,Oi85 '

Id. id. au trot 0,0288

Id. en planches d6 chêne, brutes 0,010a

Roues es fonte sur rails en bois saillants et reclilignes (Gerstner). o,oo23^

Id. sur ornières plates en fer 0 ,oo35

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation de graisse,

ordinaire ., 0,0012

Id. sur ornières saillantes, avec alimentation île graisse,

continue o , 00 1 o

Rouleau d'orme sur pavé uni (Régnier) 0,007^

Id. sur chêne parfaitement dressé (Coulomb) 0,0016

Id. sur gayac (Id.) 0,0010

Rouleau de fonte sur granit uni 0,0010

(*) Dupull fait remarquer que le frottement de roulement consiste en ce que, lorsqu'un cylindre roule sur un plan, la réaction normale de ce dernier passe à uné*pelite distance £ en avant de la génératrice du contact supposé géométrique, du côté du mouvement. Il résulte de là que, si la loi de Coulomb était exacte, la distance userait constante, pour les mômes corps en contact, et égaie à /t , quel que fût le rayon. Cette loi ne peut pas être admise en général, puisque 5 doit toujours être plus petit que le rayon. Dupuit a conclu de ses expériences que, pour les mêmes substances en cod-

tact, 5 est proportionnel à la racine carrée du rayon, et que, par suite, on a R —■—: •

Vr

D'après M. Uorin, la loi de Coulomb est plus approchée de la vérité, dans les cas ordinaires de ta pratique ; il a trouvé, en outra, que le rapport t^ augmente quand, toutes cboxes égales d'aillour», la longueur de la génératrice de contact diminue. ( K.)

DBS RÉSISTANCES. 549

gnanl par E Tespace qu'il a décrit à la fin du temps ï, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement retardé dont il s'agit, les formules

V = V,-/g'T. \' = Y]-2fgE, E = V.T-i/g'T'.

4ans lesquelles/est le coefficient du frottement des corps en contact, et qui dérivent immédiatement des principes et considérations géométriques exposées dans la première Partie de cet Ouvrage (112, 130 et suivants, 136 et 137).

Pour s'en convaincre, il suffit de remarquer : ï° qu'on doit avoir ici, à chaque instant,

<;e qui donne

pour le degré de vitesse infiniment petit, détruit à chacun des instants ^ dans le corps mobile ou traîneau, et, par conséquent, fgT pour la vitesse totale détruite au bout du temps' T, et V, — /g-T pour la vitesse V conservée au bout de ce temps; 2° que le produit/P.E exprime la quantité de travail développée, par le frottement, en sens contraire du mouvement, dans toute l'étendue de la course E, et que la force vive, M Vf, diminuée de celle, MV% doit être précisément égale (137) au clouble de cette quantité, etc.

Ces différentes formules ou lois du mouvement sont, comme on voit, entièrement indépendantes du poids absolu, P, du traîneau, qui a disjTaru comme facteur commun à tous les termes des équations, mais il n'en serait plus ainsi du cas où <;e traîneau serait sollicité par une puissance étrangère, d'intensité également constante, comme celle qui résulterait de l'action d'un poids Q, décomposée ou ramenée, dans le sens horizontal, par un moyen quelconque, par exemple à l'aide <i'une corde passant sur une poulie de renvoi; dans ce cas, pour arriver aux formules qui donnent la loi du mouvement, il suffirait d'ajouter au frottement, /P, du traîneau, ou d'en retrancher, l'effort constant Q; ce qui revient évidemment à augmenter ou à diminuer, dans les équations ci-dessus, le

55o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

coefficient/ du frouement de la quantité —^ selon que Teffort

Q agit pour favoriser ou pour empêcher le frottement, c'està-dire pour relarder ou accélérer le mouvement du traîneau; le seul changement à opérer dans les formules ci-dessus, consistant ainsi à remplacer/ par /± ^j pour passer du premier

cas au second. Toutefois, s'il arrivait, dans cette dernière hypothèse, que Teffort Q surpassât le frottement/P, il pourraijt aussi arriver que lé traîneau, après avoir cheminé pendant un certain temps dans sa direction primitive, retournât bientôt en arrière, pour continuer ainsi indéfinimentdans le sens de Q; ce qui suppose qu'à rinsiant de cette rétrogradation la vitesse V s'évanouisse, et que sa valeur change de signe dans les équations, le mouvement, d'uniformément relardé qu'il était, de«venant ainsi uniformément accéléré. Or on sera averti, par la discussion même des formules, de cette circonstance tout à fait analogue à celle que nous a offerte (120) l'ascension verticale des corps pesants, et sur laquelle il devient ainsi inutile d'insister.

Quant au cas où la puissance constante, Q, toujours supérieure à/P, agirait dans le sens même de la vitesse initiale, Vj, il va sans dire que le mouvement serait, à tous les instants, uniformément accéléré, comme cela a lieu pour la chute des corps graves, l'intensité et le sens du mouvement étant seuls changés; ou, si l'on veut, l'action, P=:Mg",de la gravité^ se trouvant remplacée par celle d'une force horizontale égale à Q — /P> la vitesse initiale, V,, serait augmentée d'une quantité mesurée par ( ^ —/) ^T, au lieu de ^T, après un temps quelconque, T, écoulé.

366. Vérification de ces lois par l'expérience directe, procédé pour obtenir l* intensité du frottement des corps en mou-vement, — Ce qui vient d'être dit, en dernier lieu, peut donner une idée de la manière dont Coulomb et M. Morin sont parvenus à constater les lois du frottement après l'instant du premier ébranlement des corps, et principalement son indépendance de la vitesse absolue du mouvement; car elle a

DES RÉSISTANCES. 55 i

précisément consisté à rechercher, par des moyens plus ou moins délicats ou précis, et à peu près comme l'avait fait, avant eux, Galilée (116), dans des circonstances analogues quant au but, quoique très*distinctes pour le fond, quelle était la relation existante entre les espaces décrits par les corps et les temps successivement écoulés, puis à s'assurer que cette relation est précisément celle qui convient au mouvement uniformément accéléré ou retardé; ce qui ne peut avoir lieu sans que la résistance soit constante à tous les instants. Mais aujourd'hui, que la loi est connue, et peut être admise à peu près sans restriction, il ne serait nullement nécessaire de recourir à l'emploi d'appareils dispendieux pour obtenir, avec un degré de précision très-suffisant, l'intensité relative du frottement, dans des cas où il serait intéressant de le déterminer d'une manière directe : il suffirait de lancer le traîneau, sur son chemin horizontal, disposé de manière à l'empêcher de tourner, avec une vitesse quelconque, V,, et d'observer seulement le nombre de secondes, T', qu'il a mis à décrire l'espace, E', au bout duquel il s'est arrêté. •

En effet, si Ton exprime, dans les équations ci-dessus (364), que la vitesse finale, V, est nulle, elles conduisent, sur-lechamp, aux nouvelles formules:

v,=/grT', v; = 2/grE', E=y,T^ifgT\

dont la troisième est une conséquence nécessaire des deux

premières, qui serviront immédiatement à calculer les valeurs

de V, et de /, ainsi que toutes les autres circonstances du

mouvement. Par exemple, en divisant, membre à membre, la

deuxième par la première, elles donneront, pour calculer V„

2E' la relation Vi=-7pr» Q"® "ous eussions pu écrire de suite

(109 et suivants), d'après les lois bien connues du mouvement uniformémeut accéléré ou retardé, et dont on conclura immédiatement aussi la valeur du coefficient du frottement

•^ "" êrT' ~ gT^

relative au cas du mouvement.

Pour offrir une application numérique (*), nous supposerons qu'un traîneau, armé à sa surface inférieure de patins en acier poli, soit lancé, toujours de manière à l'empêcher de tourner, sur la surface glacée d'un étang ou d'une rivière, avec une vitesse de quatre minutes par seconde, et nous nous demanderons : i" le temps au bout duquel le mouvement de ce traîneau, abandonné à lui-même, s'arrêtera, en raison du frottement qu'il éprouve de la part de la glace; 2<> l'espace total qu'il aura parcouru. Nos tableaux ne contiennent aucune donnée relative à ce genre de frottement, mais nous admettrons, d'après les expériences de M. Rennie ( **), que son coefficient soit

{*) Une méthode analogue peut être employée pour déterminer l'intensité du frottement des tourillons sur les coussinets; on en déduit un procédé expéditif que nous avons eu souvent occasion d'appliquer, pour déterminer la valeur relative de divers enduits. L'appareil se compose d'un volant ou d'un disque en fonte, de grand poids, disposé de manière à offrir peu de résistance à l'air et monté sur un arbre reposant sur deux coussinets ; un compteur inscrit le nombre de tours effectués. On graisse les coussinets, et l'on fait tourner l'arbre jusqu'à ce que l'enduit se trouve dans les conditions normales; on débraye ensuite ; à un instant donné, on met le compteur en marche, et l'on

note le temps T' écoulé depuis ce moment jusqu'à l'arrêt. Si N est le nombre

N de tours effectué pendant ce temps, on trouve F = K ^=^^9 K est une constante

qu'il est facile de déterminer pour chaque appareil, et dont la connaissance est du reste inutile quand il s'agit simplement de comparer divers enduits.

Lorsqu'il est possible de donner à l'arbre exactement les mêmes vitesses initiales dans les divers essais, on peut se dispenser de mesurer les temps; on reconnaît facilement que les valeurs du frottement sont en raison inverse du nombre N de tours effectués. Ce second procédé est déjà indiqué dans le Mémoire cité de M. Hirn sur lès frottemeuts médiats,

Wous devons faire remarquer que, dans tout ce qui précède, nous avons admis, d'après Coulomb, que le frottement est indépendant de la vitesse. Dans les cas où cette indépendance n'existe pas {'voyez la Note des pages ii5, 116), les procédés décrits peuvent encore fournir des indications sur la valeur relative de divers enduits, mais ils ne permettent pas de déterminer les rapports exacts des frottements qui en résultent. (K.)

(**) Suivant ces mêmes expériences, faites à la température de 2°, 25 centigrades au-dessous de zéro, le coefficient de ce frottement diminuerait, avec la pression, ainsi qu'il suit : pour des pressions de o''S,5, 2 et 18 kilogrammes par centimètre carré, il serait respectivement o,o4; o,o3; 0,014. Pour la glace glissant sur de la glace, M. Rennie a trouvé, dans les mêmes circonstances, le coefficient du frottement égal à o,o3 et 0,02 pour des pressions respectives de o''S,i5 et o''S,fio par centimètre carré. Le résultat des recherches de cet ingé- Bieur, se trouve consigné dans les Transactions philosophiques de la Société rojale de Londres ^ pour l'année 1829.

réduit aux o,o4 environ de la pression, de sorte qu'on aura ici :/=o,o4, V, = 4°*5 ce qui donnera, en substituant cette valeur dans les formules, et attendu que §• = 9^,81 environ, .

fg 0,04x9,81 ^^

E'zrr -^ =:T'X— = 10,194X2»'=: 20"^, 388,

c'est-à-dire que la durée du mouvement serait de 10", 2, et l'espace parcouru 20*", 4, à très-peu près.

Supposant qu'à l'inverse, on ait obtenu cette durée et cet espace d'après l'observation directe, on en eût déduit immédiatement les valeurs de/et de V,, ainsi que cela a été indiqué ci-dessus. On voit d'ailleurs, par les données de la Table du n° 357, que les résultats, auxquels on vient de parvenir, offrent comme une sorte de limite par rapport à ceux qu'on obtiendrait pour d'autres corps que la glace, et cela donne une idée de l'extrême rapidité avec laquelle le frottement doit, dans les circonstances ordinaires, éteindre le mouvement à la surface de la terre; mais nous verrons, par la suite, que la résistance de l'air et des fluides, en général, est une autre cause qui contribue puissamment à la production de cet effet, surtout dans les premiers instants du mouvement et lorsque la vitesse est très-rapide.

Questions et formules concernant les pertes de force vive dues au frottement pendant le choc,