PRINCIPES ET FAITS GÉNÉRAUX CONCERNANT LA RÉSISTANCE

DBS MILIEUX.

372. Notions préliminaires , — On appelle spécialement milieu, un assemblage plus ou moins étendu de molécules contiguês ou sans autres vides que les pores (12 et 27), et qui néanmoins est susceptible d'être traversé, pénétré dans tous les sens, par des corps plus ou moins durs, obligeant ainsi les molécules de ce milieu à Igur faire place, le long de la roule qu'ils parcourent. Les liquides et les gaz considérés sous de grandes masses, telles que celles de nolre.aimosphère, de la mer, des lacs et des grandes rivières, sont ce qu'on nomme des milieux indéfinis relativement aux ballons, aux vaisseaux et aux bateaux qui les parcourent; mais on considère aussi comme indéfini tout milieu dont les dimensions absolues sont assez grandes, par rapport à celles du mobile, pour que ses molécules n'éprouvent à se déplacer, ni plus ni moins de résistance que si sa masse offrait efTeciivement une étendue illimitée.

L'extrême mobilité dont jouissent les molécules des liquides et des gaz, les a aussi fait appeler des fiuides parfaits, par opposition aux milieux consistants, de la nature des sables et des terres, auxquels on donne quelquefois la dénomination de fluides imparfaits ou de demi-fluides; mais, en général, nous réserverons le nom de fluides pour les liquides et les gaz. proprements dits, tels que l'air et l'eau.

Enfin ces différents milieux sont souvent nommés milieux résistants, pour les distinguer des fluides ou milieux impondérés, tels que Téleclricité, la chaleur, la lumière ou plus spécialement encore Vét/ier, fluide éminemment élastique et subtil, qu'on suppose remplir loutTespace, et jusqu'aux pores qui séparent les derniers atomes des corps, mais dont Texistence, bien que démontrée par certains faits, n'offre pas jusqu'ici, sous le rapport de la matérialité, tous les caractères ordinairement attribués aux fluides même les plus rares. Et, pour le dire en passant, c'est aux vibrations d'un tel fluide que l'on attribue, assez généralement de nos jours, la perception de la lumière, comme nous avons vu (19) qu'on attribuait celle des sons aux vibrations de l'air atmosphérique, etc. A la vérité, on ne conçoitguère de milieu sans inertie, sans résistance absolue, mais les calculs des astronomes et des géomètres de noire époque, appliqués au mouvement des comètes, ne permettent pas encore de décider si1e fluide éthéré, dont l'élude appartient à la Physique proprement dite, est lui-même soumis à la loi générale.

Quoique les résultats de certaines expériences semblent établir qu'il y a lieu, dans quelques cas, de distinguer la résistance opposée, par les milieux en repos, aux corps en mouvement, de l'effort que supporteraient ceux-ci dans des circonstances d'ailleurs semblables, si, étant au repos, ils venaient, au contraire, à recevoir l'action d'un milieu en mouvement, cependant on comprend généralement, sous le nom de résistance, l'un et l'autre de ces effets, et l'on est d'autant plus fondé à en agir ainsi, que ces deux modes d'action se confondent quand le milieu et les corps sont tous deux animés d'un mouvement absolu ou relatif.

373. Recherches théoriques et expérimentales relatives à la résistance des milieux, — La question de la résistance que les fluides opposent aux mouvements des corps solides, surtout celle qui concerne l'influence de la forme de ces derniers, offre de très-grandes difficultés sous le point de vue mathématique, et elle n'en offre guère moins sous celui des expériences, à cause de la complication du phénomène. Newton, auquel on doit, après Galilée (116), les premières expériences précises

566 HÉCANIQUi; INDUSTRIELLE.

sur la résistance des fluides, en donna aussi le premier (*^) deux théories dont la moins imparfaite suppose le corps directement choqué par chacune des molécules du milieu qui se trouvent sur sa route. Daniel Bernoulli (**) et, après lui, L. Euler (***), introduisirent la considération du mouvement ^diT filets y sur le pourtour antérieur du corps; mais, quoique cette théorie rendît mieux compte de certains faits de Texpérience, relatifs au choc des veines fluides isolées, cependant elle n'a point été admise dans les Écoles, où Ton continua à enseigner celle de Newton, sans doute à cause de sa simplicité; car les expériences multipliées de Robins, de Borda, de Bossut, de Hutton, et surtout celles de notre célèbre Dubuat, en avaient suffisamment démontré Timperfection. On peut lire,' dans la nouvelle édition du premier volume de V J rchitecture hydraulique de Bélidor^ un lumineux article sur la résistance des fluides, par M. Navier, article dans lequel ce savant donne un exposé de la théorie d'EuIer et des idées que Dubuat s'était formées, à priori, sur la question, d'après le résultat de ses propres expériences {Principes d'hydraulique, t. II).

Au fait, cette théorie d'Euler critiquée par un géomètre tel que d'Alembert, est bien peu satisfaisante dans ses applications^ et le moindre de ses défauts, c'est de supposer connues 1» forme des filets fluides et la vitesse à l'instant où les molécules quittent la face antérieure du corps; car on y néglige, pour ainsi dire entièrement, la considération de ce qui se passe sur les faces latérales et la face postérieure du corps, dont les belles expériences de Dubuat ont suffisamment constaté l'influence dans certains cas.

Les données fournies par ces expériences et les vues émises à leur sujet, par Dubuat, étaient d'ailleurs bien loin de satisfaire à toutes les exigences de la question ; et c'est ce qui porta l'Académie des Sciences de Paris à la proposer pour sujet du grand prix de Mathématiques, à décerner en 1828; mais, tout

(*) Principes mathématiques de la philosophie naturelley t. I, liv. 2.

(**) Commentaires^ de l'Académie de Saint-Pétersbourg^ t. VIII, année 1736.

(***) Nouveaux principes d'artillerie de B. Robins, avec des remarques de Léonard Euler, 1745, traduit de l'allemand par Lombard, 1783, p. 3o6 et sui- Tantes.

en accordant, à cette époque, une mention honorable au Mémoire de M. le colonel d'artillerie Duchemin, elle jugea. qu'il n'y avait pas lieu à décerner le pri\, et la question fut maintenue au concours jusque dans ces dernières années, où les expériences sur les bateaux rapides de l'Angleterre ont de nouveau et plus vivement encore appelé l'attention de l'Académie et des ingénieurs sur l'imperfection des anciennes théories de la résistance des fluides. Les Mémoires présentés en i836 et i838, par MM. Duchemin, Russel,.Piobert, Morin et Didion, sont venus augmenter le nombre des données expérimentales déjà possédées sur cette épineuse matière (*). Pour nous, fîdèle à la marche élémentaire suivie dans la première édition de cet Ouvrage, et en nous appuyant uniquement sur la considération du travail et des forces vives, qui s'applique à un assemblage quelconque de molécules soumises à des forces d'attraction et de répulsion mutuelles, nous nous efforcerons de rendre un compte exact des principaux faits ou résultats de l'expérience, ainsi que des notions systématiques qui les coordonnent.

374-. Notions physiques sur les phénomènes qui accompagnent la résistance des fluides. — Quand un corps solide se meut dans un milieu indéfîni, parallèlement à lui-même, sans tourner et avec une vitesse constante (48 et 52), il éprouve de la part des molécules de ce milieu et dans le sens même de son mouvement, une pression, une résistance mesurable à chaque instant, en kilogrammes, et qui varie, comme on l'a déjà dit à l'occasion de l'air (113), suivant la forme, les dimensions e). la vitesse du corps; cette résistance ou réaction ne peut évidemment provenir que de deux causes distinctes : i° du mouvement imprimé, en commun, aux molécules du milieu, c'est-à-dire de l'inertie; 2° de leurs déplacements relatifs, de

( * ) La Commission chargée de rexamen des pièces adressées au concours, a décidé qu'il n'y avait pas lieu à décerner le prix, mais que les recherches de MM. Piobert, Morin et Didion méritaient, à cause de leur utilité pratique, que la somme aflectée au prix leur fût accordée à titre d'encouragement ; en même temps, elle a mentionné honorablement le travail de M. Duchemin, à cause des nouvelles expériences et des faits nombreux qu'il renferme sur les questions indiquées au programme.

leur séparation mutuelle, qui mettent en jeu les forces de cohésion et d'adhérence. Mais, pour bien apprécier Tinfluence de ces causes et les lois d^j phénomène, il est nécessaire de se former, d'après l'expérience, des idées plus nettes sur les circonstances physiques qui l'accompagnent.

Supposons qu'un corps (A) [PL III, Jig, 5i)y de forme quelconque, entièrement plongé dans un fluide indéfini, se meuve uniformément, de A vers B, avec une certaine vitesse V, et de manière, par exemple, à décrire constamment (48) le chemin ^ = V X ^ dans chacun des éléments égaux /, du temps; il est évident que ce corps poussera devant lui, directement ou indirectement, un certain nombre de molécules fluides, et les forcera à se dévier, à s'éloigner de part et d'autre de sa face antérieure, avec une certaine vitesse qui croîtra avec V, et avec les dimensions transversales du' corps. Les molécules ainsi placées sur la route de ce corps, suivront elles-mêmes certaines roules distinctes de la sienne, et dans lesquelles elles seront remplacées successivement par les molécules situées à la place qu'elles avaient primitivement occupée, en avant ou sur les côtés du corps. Ces routes forment autant de/Hets, de sortes de tuyaux contigus les uns aux autres, et dont la représentation fictive sur \esjig, 52 et 53, est très-propre à donner une idée du phénomène dans le cas des faibles vitesses : la première, comme l'indique la flèche placée dans l'intérieur même du corps, se rapportant au mouvement uniforme de celui-ci dans un fluide supposé en repos, et la seconde comme l'indiquent pareillement les flèches extérieures, étant relative au cas d'un fluide en mouvement, agissant contre un corps supposé au repos.

On voit que, dans la première circonstance {Pl.III,Jig.5i), les filets qui, à partir d'une petite dislance de la face antérieure du corps, sont d'abord perpendiculaires à l'axe AB, de son mouvement, s'infléchissent ensuite, de manière à devenir parallèies à ses faces latérales, puis se courbent de nouveau pour se rapprocher de leur première direction, mais qu'étant parvenus vers l'arrière de ce corps, ils s'y infléchissent de plus en plus, perpendiculairement et circulairement, pour venir remplir continuellement l'espace vide qui tend à s'y former, et d'où résulte, sur la route suivie par le corps, un courant

qui raccompagne, et qu'on nomme proprement le sillage de ce corps.

Dans le cas de la^?^. 53, PL III y les mêmes choses ont lieu, avec celle différence que les filels, après s'êlre infléchis en arrière du corps, reprennenl bieniôl la marche parallèle qu'ils possédaient en avani, et laissent inimédialemenl contre sa face postérieure un espace occupé par une masse fluide en apparence immobile, rtiais qui, au fond, est douée de mouvements concentriques ou circulaires indiqués sur la figure et nommés remous ou tourbillons.

Ceci arrive principalement, comme on Ta dit, pour les petites vitesses du fluide ou du corps. Mais, quand le mouvement est très-rapide, quand la vitesse surpasse i ou 2 mètres par seconde, le fluide vient former en arrière de ce corps, par suite de Texcès de force vive qu'il y possède, une série de tourbillons marchant par couples, comme on le voit ^g*. 54 et 55, PL III y et qui se succédant les uns aux autres dans des directions alternatives et contraires, finissent bientôt par s'écarter de la route du corps, en s'étendant et se disséminant dans toute la masse fluide.

Enfin on peut remarquer qu'il se forme aussi parfois, latéralement au corps et dans le cas oii celui-ci offre une certaine longueur dans le sens du mouvement, d'autres petits tourbillons ou remous m et m', qui restent comme fixés à ce corps, et remplissent l'espace dont le fluide tend à se détacher en vertu de la vitesse qu'il a acquise transversalement, et dont il se détache en etfet, dans certaines circonstances favorables, comme celles, par exemple, que présente le mouvement de l'eau aux abords des piles de ponts, dans le temps des grandes crues, époque à laquelle la formation des tourbillons est rendue manifeste ainsi que beaucoup d'autres phénomènes, sur lesquels nous reviendrons par la suite, et qui accompagnent, en général, le mouvement des corps flottants à la surface de l'eau, ou en partie plongés. 11 nous suffira ici de faire observer que les circonstances offertes par le fluide aux points m et m', sont absolument semblables à celles qui accompagnent le phénomène de la contraction éprouvée, par les veines, aux débouchés des réservoirs, dans les canaux et tuyaux de conduite.

570 MÉCANIQUE IIÏBUSTRIELLE.

D*ailleurs les apparences générales, oflferies par la marche des filets, sont à peu près les mêmes dans les deux cas distincts 011 c'est le corps {PL III, fig. 54) ou le fluide {Jig. 55) qui se meut, Tautre demeurant en repos; seulement les tourbillons qui, pour le premier, tendent à être entraînés dans la roule du corps, dans son sillage d'arrière, le sont, pour le second, dans le mouvement général même du courant.

Ënfîn on observera que si le corps se trouve entièrement plongé dansle milieu, les tourbillons se forment non-seulement dans le sens latéral, mais aussi en dessus et en dessous, et qu'en particulier, s'il s'agit de corps flottants, tels qu'un bateau, par exemple, les tourbillons qui surgissent du fond, et dont l'action n'est plus contre-balancée par ceux de la partie supérieure, viennent s'épanouir à la surface du liquide, à une certaine distance du corps, en y donnant lieu au phénomène connu sous le nom de bouillons, et dont l'apparence est trèsdislincte de celle qu'offrent les tourbillons à mouvements horizontaux.

375. Remarques sur la formation des tourbillons et la manière dont la force vive s'éteint dans le^ fluides. — Ces phénomènes bien connus, et que nous avons eu l'occasion d'observer en 1828 et 1829, dans des circonstances favorables, relatives aux corps en partie plongés dans l'eau, sont, comme on voit, beaucoup plus compliqués qu'on ne se l'imagine ordinairement, et ils laissent peu d'espoir devoir la question de la résistance des fluides soumise à une analyse mathématique rigoureuse. Néanmoins cette extrême complication n'empêche nullement que le mouvement des tourbillons et leur production successive ne soient assujettis à des lois régulières, consistant principalement dans la périodicité de celle production, et dans l'accord des mouvements de circulation dont sont animées leurs molécules, accord tel, qu'ils ne font, pour ainsi dire, que rouler les uns sur les autres sans se nuire réciproquement. On peut croire que l'étude de ces singuliers phénomènes n'a pas été étrangère aux anciens, et l'on sait qu'elle a particulièrement occupé le célèbre peintre Léonard de Vinci, dans un Ouvrage physico-mathématique du xv* siècle, dû à un esprit observateur et philosophique. Il esl bon de

rappeler aussi que Descartes et ses disciples avaient mis en

honneur l'élude des lois des tourbillons, et que le grand Newton, lui-même, n'a pas dédaigné de s'occuper de quelquesunes de leurs propriétés dans le liv. II, secl. 9, de ses Principes mathématiques de la Philosophie naturelle, auquel nous renvoyons (*). Enfin M. F. Savart les a pareillement observés et rendus manifestes dans des circonstances où ils étaient excités par des vibrations transversales imprimées à des plaques en partie plongées dans la masse d'un liquide.

En général, la production des tourbillons est l'un des moyens dont la nature se sert pour éteindre, ou plutôt, dissimuler la force vive dans les changements brusques de mouvement des fluides, comme les mouvements vibratoires eux-mêmes (315) sont une autre cause de sa dissipation, de sa dissémination dans les solides. Pour bien concevoir comment la formation des tourbillons devient, dans les fluides, une source de perte de force vive qui, dans les circonstances ordinaires, cesse de pouvoir être utilisée comme force motrice, on doit considérer, d'une part, qu'une fois produits, ils se propagent, s'étendent, de plus en plus, en vertu de leur réaction ou frottement réciproque et de celui qu'ils exercent sur les masses environnantes, auxquelles ils communiquent, ainsi qu'on le verra bientôt, une portion plus ou moins grande de leur mouvement giratoire; d'une autre part, que, si le milieu est animé d'un mouvement de transport général, les tourbillons sont comme autant de corps étrangers qui, tout en participant à ce mouvement, tourneraient cependant sur eux-mêmes avec une vitesse indépendante de celle du courant, et incapable d'en augmenter l'intensité d'action sur les corps étrangers. Car, si une certaine portion de la masse d'un tourbillon se meut dans le sens du mouvement général, une autre portion de cette masse, symétrique à la première, se meut précisément en sens contraire, et doit être considérée comme détruisant ou balançant ses

(*) D'après les observations de Léonard de Vinci et les considérations théoriques de Newton, la vitesse des diflerentes couches des tourbillons croit , à mesure qu'on se rapproche du centre, inversement à la longueur du rayon correspondant : dans une roue, au contraire, les vitesses croissent proportionnellement à la distance au centre.

effets (*). Si donc il s'agissait d'évaluer, comme on Ta fait, par exemple, au n°149, la puissance motrice dont serait animé un courant d'eau ainsi constitué, il conviendrait de faire abstraction de tous ces mouvements giratoires, et de ne tenir compte que de la vitesse de transport général qui leur est commune avec la masse entière du courant.

Ces mêmes phénomènes offrent d'ailleurs une image exacte de ce qui se passe dans nos rivières et nos fleuves, qui transportent avec eux, jusque dans la mer, les tourbillons et mouvements désordonnés quelconques, produits parles différents obstacles dont leurs cours sont tous plus ou moins hérissés. En particulier, ils sont un des moyens que la nature emploie pour modérer la vitesse générale des courants au passage des chutes d'eau naturelles ou artificielles, comme celles des cataractes et des écluses de navigation. Enfin l'observation attentive des faits autorise suffisamment à croire qu'indépendamment de ces mouvements giratoires communs à toute une portion de la masse fluide, il s'en produit aussi de secondaires ou de moins apparents, qui embrassent un groupe plus ou moins grand de molécules, et qui se distribuent dans les intervalles des [vécédenls, suivant la loi d'harmonie indiquée. Mais on peut aller au delà et admettre sans trop s'aventurer, que de pareils mouvements de rotation ou d'oscillation imprimés aux molécules individuelles ou aux derniers groupes de molécules sont, après l'adhérence et la cohésion sur lesquelles nous reviendrons bientôt, l'une des causes les plus puissantes de la déperdition du mouvement dans les fluides (**), et notam-

(*) ^ojez à la (in de ce volume, V addition relative à une théorie de la résistance des tluides, fondée sur le principe des forces vives.

(**) Pour se former une idée de la vivacité et de la complication extrême des mouvements dont les molécules des fluides peuvent être le siège, il n'y a qu'à interi)Oser entre l'œil armé d'une loupe et la flamme d'une bou[;ie ou d'un quinquet, une plaque de verre transparente et bien nettoyée, sur laquelle se trouve étendue une couche mince de sirop d'orjjeat délayé, à la manière ordinaire, dans une eau bien pure, on sera surpris de la bizarrerie des mouvements présentés })ar les particules étrangères, mouvements qui se rapportent, au surplus, à la classe nombreuse de ceux que les naturalistes désignent sous le nom de browmieiiSy et qu'ils attribuent à une sorte de vitalité des dernières particules organiques.

ment de la résistance que leurs filets éprouvent à glisser les uns sur les autres ou sur la surface des corps solides.

376. De la communication latérale du mouvement dans les fluides, — Ce phénomène dont nous venons de dire un mot à l'occasion de la dissémination et de Textinction des mouvements giratoires, a été Tobjet d'une étude spéciale de la part de Venturi, célèbre physicien italien (*), et de M. A. Lechevalier(**). Il se produit, en général, lorsqu'une portion plus ou moins grande d'une masse fluide se trouve animée d'un mouvement commun, parallèle, recliligne ou circulaire, différent de celui du milieu ambiant. L'expérience démontre, par exemple, que, pour le cas d'un plan mince dirigé dans le sens de son propre mouvement, au milieu d'une masse fluide indéfinie et en repos, ou d'une veine isolée se mouvant par filets parallèles dans une pareille masse constituée ou non des mêmes molécules, l'entraînement latéral a lieu (Mémoire cité de M. Lechevalier) suivant des routes convergeant vers la surface du plan ou de la veine, ainsi que l'indique la fig, 56, PL III, tandis que, dans le cas où cette même veine se trouye resserrée entre les parois d'un canal ou tuyau solide, les filets dont elle se compose cheminent à peu près parallèlement entre eux, en s'influençant réciproquement, de manière que la vitesse décroît progressivement en allant du centre à la surface des parois.

L'action latérale, en vertu de laquelle cet entraînement s'opère, de proche en proche, de co.uches en couches ou de filets en filets, ne suppose pas essentiellement l'intervention de forces analogues à celle que les physiciens nomment la viscosité des fluides, et dont ils attribuent l'existence (Note de la page 272) à une sorte de polarité conservée par les molécules; car cet entraînement a lieu, avec la même énergie, pour les gaz, où rien n'autorise à admettre l'influence de telles forces. Pour s'en rendre compte, sans recourir d'ailleurs à l'hypothèse du contact immédiat des molécules, il suffit de supposer au milieu une constitution élastique, une stabilité

(*) Recherches expérimentales sur le principe de la communication latérale du mouvement dans les fluides; Paris, 1797.

(**) Mémoire sur le mouvement des fluides ; Metz, 1828.

d*équJlibre dans l'étal naturel ou de repos, telles (222) qu'une molécule ne puisse s'approcher ou s'écarter de ses voisines, sans qu'il naisse aussitôt entre elles l'équivalent d'une répulsion ou augmentation de pression dans le premier cas, et d'une attraction ou diminution de pression dans le second; circonstance qui a lieu en effet, même pour les gaz permanents, en vertu de la chaleur et des pressions extérieures qui, transmises du dehors au dedans, s'opposent à leur écartement mutuel, et jouent ainsi le rôle d'une véritable force attractive, dont les effels s'ajoutent, dans tous les cas, à celui de l'attraction proprement dite des molécules.

Il paraît évident, en effet, d'après ces hypothèses, que si (a), par exemple, est l'une quelconque des molécules d'une certaine couche fluide, (b) et {c} deux molécules voisines de la couche suivante, situées Tune en arrière, l'aulre en avant de la molécule (a), celle-ci ne peut se déplacer, d'un mouvement relatif, dans le sens de la couche dont elle fait partie, sans tendre à se rapprocher de (b) et à s'écarter de (c), c'est-à-dire sans repousser (6)etattirer (c), actions qui, toutes deux, conspirent également à entraîner ces dernières molécules dans la direction du mouvement de ( « ), et dont les effets, sous ce rapport, peuvent être d'ailleurs en partie neutralisés parla liberté que conservent les molécules (6) et(c), mais surtout celle des deux qui est en avant, de pivoter légèrement autour de («), et de dévier aussi latéralement de la route parallèle qu'elle serait, sans cela, forcée de suivre.

On voit aussi, parla, que la communication latérale du mouvement ne peut avoir lieu dans les fluides, sans qu'il résulte du déplacement relatif des molécules, un changement de densité, une inégalité quelconque dans la distribution des pressions autour de chaque point. Celte inégalité, qui n'a pas lieu dans l'état de repos et de mouvement parallèle et uniforme des fluides, est due essentiellement à l'inertie opposée par leurs molécules à ,iout changement de mouvement, comme on l'a fait remarquer en plusieurs endroits de cet Ouvrage, et elle se trouve confirmée par les expériences déjà citées de M. Lechevalier et l'analyse des géomètres (*j.

(*) Voyez notamment le Mémoire inséré, par M. Poisson, dans le 20* Cahier

377. Du rôle particulier qui peut être attribué à la viscosité et à la cohésion dans ces phénomènes, — L'influence de la cohésion dans le cas des liquides tels que Teau et Thuile, ne saurait être mise en doute d'après l'ensemble des faits déjà connus, et il semble naturel d'admettre qu'ici, comme pour les solides, son rôle consiste essentiellement à diminuer la mobilité des molécules par l'obstacle qu'elle apporte à leur rotation, à leurs déplacements ou à leurs séparations réciproques, obstacle d'où résulte inévitablement une perle de travail ou de force vive, qui paraît être sans compensation nécessaire, soit parce que la cohésion, après avoir été détruite ainsi dans les molécules, ne peut renaître qu'au moyen de l'application de nouvelles forces (223), soit parce que les quantités de travail développées par cette cohésion, dans le déplacement relatif des molécules, sont purement employées, comme dans le cas du frottement des solides, à exciter des mouvements vibratoires particuliers ou relatifs dont la force vive se trouve dissimulée par rapport au mouvement d'entraînement général du système. Ainsi, par exemple, on peut trèsbien comparer l'action d'une rnolécule en mouvement relatif par rapport à une autre, retenue en vertu de sa liaison avec les voisines, à l'action qui aurait lieu pour deux aimants dont l'un serait suspendu verticalement à un point fixe au moyen d'un fil, tandis que l'autre recevrait un mouvement rectiligne quelconque; la force vive de celui-ci subirait une diminution nécessaire par suite du partage qui s'en opérerait entre les deux corps.

Enfin, il est digne de remarque que la mobilité des fluides et les forces d'attraction qui animent leurs molécules, paraissent dépendre fort peu, du moins entre certaines limites, de leur état de compression naturel, c'est-à-dire des pressions qui auraient lieu en chacun de leurs points, dans l'état d'équilibre ou de repos (38), et qui constituent ce qu'on nomme ordinairement la pression statique ou hydrostatique du milieu en ces

<iii Journal de l'Ecole Polj technique y ou les n®' 576 et 645 du tome II de son Traité de Mécanique^ q« édition. M. Cauchy a été conduit, depuis, aux mêmes conséquences (^Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences^ t. IX, p. 588, 2« semestre de 1839).

576 MÉCANIQUE INBUSTBIBLLE.

points. Celle circonstance peut évidemment s'expliquer par la faible variation qu'éprouve la dislance des molécules dans le cas des liquides proprement dits (13)» et par Tinfluence insensible qu'exercent dans les gaz permanents, tels que Tair, les forces d'attraction des molécules, même sous des compressions assez fortes. On ne saurait donc être surpris non plus de la faible intluence exercée par celte pression statique, dans toutes les expériences qui ont concerné l'intensité de l'action dos fluides sur les corps, ou leur résistance.

378. Répartition des vitesses et des pressions autour des corps soumis à l'action d'un fluide. — Voici, principalement d'après les expériences de Dubuat (*), les notions générales qu'on peut se former à ce sujet.

La pression exercée perpendiculairement sur chacun des points d'un corps [PL III ^ fig. 52, 53, 54 et 55), exposé à l'action directe d'un fluide, varie avec la position de ce point, avec la vitesse et la direction des fîlels avoisinants : elle est la plus forte pour les points a, de la face antérieure, de la proue où la déviation des filets et ta dimin.utlon de leur vitesse relative dans le sens AB, du mouvement général, sont elles-mêmes les plus grandes; elle est, au contraire, la plus faible dans tous les points où, par leur divergence, les filets ont une tendance naturelle à quilier le corps, et à y former un vide, comme cela arrive particulièrement en 6, vers Tarrière, la poupe et latéralement, en m et m', où le corps atteint sa plus grande largeur transversale. Ainsi elle va coniinuellemeni en diminuant depuis le milieu a de la face antérieure du corps, jusqu'à ses extrémités; mais, remarquons-le bien, celte diminution plus ou moins rapide de la pression antérieure, se trouve accompagnée d'un accroissement pareil de la vitesse absolue des filets, qui atteint son maximum vers les points m et m', et celle accélération lient essentiellement à l'obstacle apporté par l'inertie de la masse ambiante, à la déviation, à l'échappement latéral des molécules, lesquelles resserrées entre celle masse et le corps, se meuvent comme dans une sorte de tuyau

(*) Principes d'hydrauîiqiiey t. II, 3^ Partie, art. !\i-) et suivants.

OU de canal qui serait limité à des parois solides telles que LM, LM', et dont la section vive, prise sur tout le pourtour de ce corps, est, ainsi que le constate l'expérience, nécessairement moindre que la section transversale des Olets qui, en amont, sont soumis directement aux effets de la déviation.

A regard de ce qui se passe le long des faces latérales et de la face postérieure, c'est-à-dire à compter des points m et m', qui correspondent à la plus grande section transversale du corps, l'expérience n'a point encore prononcé d'une manière assez positive pour qu'on soit en état de se former des idéea nettes sur la manière dont les pressions et les vitesses s'y trouvent réparties, même dans le cas des prismes droits exr posé^ directement au choc d'un liquide; seulement on sait, à l'égard de ceux-ci, que la pression, après avoir atteint sa plus petite valeur en m' et m', augmente rapidement ensuite pour décroître de nouveau, et redevenir bientôt inférieure à la pression statique ( 377 ), vers l'arrière du corps où le vide tend continuellement à se former, et où les pressions sont trèsdifficiles à mesurer, à cause des alternatives offertes par les remous et tourbillons dont il a été parlé. Suivant Dubuat, la pression le long des faces latérales des mêmes prismes serait notablement moindre que la pression statique et suivant M. Duchemin, elle lui serait, au contraire, égale; ce qui pourtant ne doit s'entendre que des points situés au delà des remous m et m' (PL Illfjig. 54 et 55), où le régime, le mouvement du fluide redevient uniforme.

•Il existe d'ailleurs plusieurs autres dissidences d'opinion entres ces expérimentateurs, que nous ferons connaître en leur lieu, et qui, toutes, proviennent de la manière d'interpréter les indications fournies par le tube de Pitoty sorte de manomètre (39) formé d'un tuyau vertical recourbé horizontalement, ouvert par les deux bouts, et dont l'orifice inférieur est présenté à l'action directe ou oblFque du courant. Mais il nous est impossible d'entrer ici plus avant dans cette discussion, et il nous suffira de remarquer que les incertitudes relatives à la mesure des vitesses effectives en chaque point des filets liquides, ne sont guère moindres que celles qui concernent les pressions elles-mêmes, et qu'elles réclament la découverte de moyens d'expérimentation plus directs, plus délicats.

578 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

379. Pression antérieure et postérieure y forme et proportion des filets, — D'après la manière dont nous venons d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, on voit que, par exemple, pour les prismes droits {PL III, fig. 54 et 55) dont Taxe est parallèle à la direction du mouvement, celte résistance doit principalement se composer de la pression totale, de la somme des pressions souffertes par la face antérieure, diminuée de celle des pressions contraires souffertes par la face postérieure; ou, si Ton veut, en négligeant, avec Dubuat, la considération des pressions statiques qui auraient lieu sur ces deux faces, dans Tétat de repos, et qui, étant égales, doivent s'entre-détruire, la résistance dont il s'agit est égale à la pression antérieure, augmentée de la non-pression postérieure. D'ailleurs, pour les corps symétriques, tels que les prismes, les sphères, etc., dont les pressions latérales se détruisent réciproquement, et pour une même proue, la pression antérieure est indépendante de la longueur du corps et de la forme de la poupe; mais, au contraire, la non-pression postérieure est susceptible de diminuer à mesure que le corps s'allonge, bien que la forme de cette poupe et de la proue ne change pas; ce que Dubuat attribue à la diminution même éprouvée par la vitesse et la divergence des fllets fluides qui circulent autour du corps et latéralement à sa surface.

A l'égard de la forme affectée, en général, par ces filets, et de l'intensité absolue de la vitesse en chacun de leurs points, Dubuat et les Auteurs des théories citées au commencement de ce Chapitre admettent, d'après quelques-unes des indications de l'expérience : i" que cette forme reste invariable pour un corps donné, quand bien même la vitesse relative, uniforme, de ce corps et du fluide vient à changer; 2" que la vitesse des molécules fluides, ou chacun des points des filets, conserve toujours un même rapport avec celle dont il vient d'être parlé; 3® enfin que, pour des corps semblables dans toutes les parties, et dirigés semblablemeni, les dimensions absolues des filets sont seules modifiées, mais non leurs rapports de grandeur et de positions relatives.

Ces hypothèses, que les récentes expériences de M. le colonel Duchemin paraissent confirmer, servent à expliquer plusieurs faits généraux de la résistance des fluides, sur lesquels

«lous reviendrons bientôt. II nous a paru utile de les indiquer 4ci brièvement, quoiqu'elles appartiennent au point de vue compliqué de la question, et que nous soyons bien loin encore de répoque où il sera permis d'analyser, de démêler ainsi, •dans chaque cas, les effets qui peuvent être dus séparément à l'influence de la forme et de la position des différentes parlies du corps.

380. Masses qui accompagnent constamment les corps soumis à l'action des fluides. — il importe à notre objet que nous ne passions pas sous silence un autre fait très-important, observé, en premier lieu, par Dubuat (*), et qui concerne la proue et la poupe fluides dont les corps sont toujours accompagnés, soit qu'ils se meuvent dans un milieu en repos, soit qu'étant, au contraire, immobiles dans ce milieu, ils en re- -çoiveni l'action directe. Ce phénomène est essentiellement produit par. la déviation qu'éprouvent les molécules fluides en circulant dans les canaux ou filets, de forme invariable, qui accompagnent, comme on l'a vu, constamment le corps; ou, ce qui revient absolument au même, il consiste en ce que les molécules du milieu, qui sont contraintes de cheminer dans le sens perpendiculaire à l'axe du mouvement, aussi bien que celles qui tourbillonnent latéralement ou a l'arrière du corps, etc., sont comme en repos par rapport à ce corps, et forment, en quelque sorte, partie de sa propre masse.

Les expériences de Dubuat sur les oscillations des pendules •dans l'air et dans l'eau prouvent que le volume de ces proues et poupes fluides, ou, ce qui revient au même, le volume des filets déviés et entraînés uniformément dans chaque unité de temps, peut être fort considérable et s'élever au delà de vingt fois le volume du corps, quand celui-ci est un plan mince, frappé perpendiculairement à sa surface. Mais le rapport de ces mêmes volumes, qui est indépendant de la nature et de la densité du fluide ou du corps, est susceptible de varier iavec la forme de ce dernier, suivant des lois qui ont été spécialement étudiées par Dubuat, pour le cas des prismes et des cylindres droits mus, parallèlement à leur axe, dans des fluides

{*) Principes d'hydraulique, t. II, scct. 1, chap. 7, et sect. 2, chap. i.

58o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

en repos. Pour de tels corps, le rapportn, du volume du fluideenlraîné, à celui du corps, est représenté, très-approximalivement, par la formule

L étant la longueur et y/A la racine carrée de Taire des sections transversales du prisme; ce qui donne pour le volume absolu du fluide entraîné,

« puisque AL est celui du prisme.

Ainsi, pour L nul ou très^petit, c'est-à dire pour les plans^ minces, le volume dont il s'agit se trouve mesuré par la quantité 0,705 A/Â, indépendante de leur épaisseur ou de la longueur des prismes; et, pour L, au contraire très-grand, ou A assez petit pour qu'on puisse négliger la valeur du premier terme de la formule vis-à-vis du second, le volume du fluide entraîné devient sensiblement proportionnel à cette longueur, A restant le même; ce que Dubuat attribue, soit à Taccroissement de la poupe fluide, à la diminution progressive de la convergence des filets à l'arrière du corps, soit aux effets de l'adhérence et du frottement du fluide le long de ses faces latérales, effets que nous examinerons plus lard.

Les sphères ont été plus spécialement l'objet des expériences répétées de Dubuat, et il a trouvé, soit pour l'air, soit pour l'eau, que le volume du fluide entraîné s'écartait alors fort peu des o,585 ou 0,6 environ de celui de ces sphères.^ Ce résultat s'accorde, à quelques différences près ressortant de la nature et des dimensions des appareils, avec ceux qui ont été obtenus tout récemment dans des expériences, sur les oscillations du pendule, entreprises par MM. Bessel, Sabine et Baill}' ; ce même résultat a été également vérifié par M. Poisson, au moyen d'une savante analyse, qui a été publiée dans le tome XI des Mémoires de VJcadémie des Sciences de V Institut, Mais il nous suffit ici d'avoir appelé l'attention du lecteur sur un phénomène en lui-même très-digne d'intérêt, et qui doit exercer une influence nécessaire toutes les fois que

la vitesse du corps change, el que, par conséquent, l'inertie de la masse fluide entraînée doit jouer un rôle appréciable.

Au surplus, les résultats qui viennent d'être rapportés, sont uniquement relatifs aux oscillations du pendule, el Ton sent fort bien que les circonstances d'un pareil mouvement sont très-distinctes de celles qui se rapportent au mouvement rectiligne et parallèle des corps; mais, comme Dubual a eu l'attention de donner aux tiges de ses pendules de très-grandes longueurs, et de ne leur laisser faire qu'une simple oscilla* tion, on doit provisoirement les considérer comme applicables à ce dernier mouvement, avec d'autant plus de motifs que, dans de récentes expériences sur la descente verticale des plans minces et des parachutes dans Tair, dont les résultats seront rapportés plus loin (405), M. le capitaine d'artillerie Didion, observateur très -consciencieux, est arrivé à des conséquences analogues à celles de Dubuat, iTont même il parais* sait ignorer entièrement l'existence.

381. Lois de la résistance directe des fluides dans le mouvement uniforme. — L'ensemble des expériences connues apprend que, pour des corps semblables et semblablement dirigés par rapport au sens du mouvement supposé toujours parallèle, la résistance dont il s'agit demeure sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse relative, à la densité du milieu et à l'aire de la projection transversale du corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement; cet ensemble démontre, en outre, que la résistance reste indépendante de la nature du corps et de la pression statique ou naturelle du milieu, qui, en effet, redisons-le (377), ne saurait, entre certaines limites, modifier par elle-même, d'une manière sensible, la mobilité de ses différentes parties, non plus que le mode de leur action sur le corps. Le petit nombre des restrictions souffertes par ce principe, ressort de la nature même du phénomène et de la manière dont les choses se passent, dans chaque cas, autour du corps; nous aurons soin de les faire connaître dans le Chapitre suivant, mais, pour le moment, il nous suffira de faire saisir par le raisonnement, et, en quelque sorte, de justifier par la considération des forces vives, la loi générale de la résistance telle qu'elle vient d'être énoncée.

Nous avons vu ci-dessus (379) que le corps (A) [PI, III, fig. 5:» el 53], soil qu'il demeure en repos dans un fluide en mouvement, soit qu'il se meuve lui-même dans un fluide immobile, considéré comme à peu près indéflnî, contraint les molécules de ce milieu à dévier de part et d'autre de sa surface antérieure et à affluer vers sa partie postérieure avec des vitesses qui dépendent essentiellement de la vitesse même du mouvement relatif, et doivent, à chaque instant, lui demeurer proportionnelles. Considérant ici spécialement le cas où le milieu résistant est en repos, et où le corps chemine parallèlement et uniformément en décrivant des espaces rectilignes e = V/, dans chacun des instants inflniment petits / du temps, il paraît évident qu'à circonstances égales d'ailleurs, la somme des molécules déviées ou entraînées sera d'autant plus grande que le corps occupera lui-même un plus grand espace dans le sens perpendiculdTre au mouvement; c'est-à-dire que si Ton projette, par exemple, ce corps sur un plan CD perpendiculaire à AB, ce qui revient à lui circonscrire un cylindre parallèle à la direction du mouvement, et à couper ce cylindre par le plan CD, la quantité totale des molécules déplacées ou repoussées, pour des surfaceà ou corps semblables dans toutes leurs parties, el qui seraient mus de la même manière dans le fluide, croîtra précisément en raison de l'étendue ou de l'aire de la projection dont il s'agit.

Mais elle croîtra aussi comme l'espace ou le chemin e, décrit dans chacun des instants égaux à t\ nommant donc Q le volume total, en mètres cubes, de ces molécules entraînées par le corps (A), et A l'aire ou la surface, en mètres carrés, de sa projection sur CD, on conclura, par un raisonnement analogue à celui qui a été mis en usage dans les n"* 71 et 78, que Q croîtra comme Ae, c'est-à-dire deviendra double, triple,, etc., quand ke sera double, triple, etc., pour le même corps ou pour des corps différents dont la surface serait semblable et semblablemenl dirigée par rapport au mouvement.

Plus généralement et plus simplement encore, on démontre parles principes de la Géométrie (*), que le volume de l'espace

(*) Ce principe est pour ainsi dire évident en lui-même et par la considé—

DES RÊSISTA.NGES. 583

envahi, déplacé en avant du corps, pendant qu'il décrit le chemin e, et par conséquent celui de Tespace qu'il abandonne en arrière, sont, tous deux, équivalents au volume de l'espace cylindrique qui serait décrit par l'aire A, dont il s'agit, si cette aire faisait réellement partie du côtps et se transportait parallèlement à elle-même avec lui; ce qui démontre que le nombre, le volume Q, des molécules fluides déplacées en avant du corps ou replacées, entraînées en arrière, est bien proportionnel au produit ke.

D'un autre côté, le corps (A), en cheminant dans le fluide, imprime aux moJécuies de Q une vitesse d'autant plus grande que la sienne l'est elle-même davantage : il est clair, par exemple, que, si le corps décrit, dans le même temps élémentaire /, un chemin double 6u triple, il faut bien aussi, toutes choses égales d'ailleurs, que les molécules de Q décrivent des chemins doubles ou triples, dans ce temps, pour lui faire place ou pour remplir l'espace en arrière. Conséquemment la vitesse de chacune de ces molécules croît comme V, et leur force vive comme V'; nommant donc p la densité (33), le poids, en kilogrammes, d'un mètre cube du fluide, observant (35) que le poids total du volume Q de ce fluide est mesuré par /?Q, la force vive qui lui a été imprimée par le corps sera

proportionnelle (122) à. ^ x V* ou à ^— ^ X V% puisque Q

est lui-même proportionnel au produit Ae.

Le corps ayant donc communiqué une telle force vive au fluide qu'il chasse devant lui, il faut bien aussi (135 et suiv.) que l'inertie des molécules de ce fluide ait opposé au mouvement uniforme du corps et dans le sens de AB une résistance totale R, qui restant la même pour la langueur infiniment petite e du chemin décrit par ce corps, aura détruit (71)

ration des portions de volumes qui restent communes aux deux positions successives occupées par le corps ou par le cylindre circonscrit; mais on le démontre directement aussi en observant que les trois volumes élémentaires à considérer, et qui ont pour mesure le produit Ae, peuvent être censés composés d'une infinité de petits prismes, de même base et de même hauteur, dont les arêtes parallèles à la direction du mouvement sont dans le prolongement les unes des autres.

une quantité de travail Re proportionnelle à* -- — V*; de

sorte qu'il faut bien encore que le nombre des kilogrammes, R, contenus dans cette même résistance, soit proportionnel à

i pke ** V^

- - — V% divisée par «, c'est-à-dire à pk — ? ou simplement

à pAV*, puisque ag- a la même valeur (117) pour tous les cas.

Donc enfin :

La résistance qae r inertie des fluides, en repos ^ oppose au mouvement direct et uniforme des corps défigures semblables^ dirigés de la même manière, crott comme la densité p de ces fluides , comme le carré de la vitesse V de ces corps et comme l'aire A de la projection de ces mêmes corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement.

382. Règles ou formules pour calculer la résistance directe des fluides. — On se rappellera (118 et 119) que la quantité

— est précisément la hauteur due à la vitesse V du corps; de sorte que le produit de cette quantité par Taire A repré-

sente le volume d'un prisme ou cylindre qui a — pour hau-

I pA V^

leur, et A pour base : -^— V^ ou pA — est donc (35) le poids

1 g '^ ig

d'un tel volume du fluide; ce qui fait dire ordinairement que :

La résistance des fluides est proportionnelle au poids d'un prisme de ces fluides, qui a pour base la projection transversale du corps sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, et, pour hauteur, la hauteur due à la vitessse.

Cas du mouvement absolu et uniforme des corps. — Soit

H == — celte dernière hauteur, telle que la donnerait la ig

Table placée à la fin de ce volume, R la résistance mesurée en "kilogrammes; d'après ce qui précède, le rapport de R à

/?AH =;?A — sera à très-peu près constant pour un même

corps ou des corps semblables mus, dans un même fluide ou dans des fluides différents en repos, avec des vitesses V, rigoureusement uniformes, quoique distinctes. Nommant donc k

DBS RÉSISTANCES. 585

ce rapport constant, qui, dans chaque cas, devra être fourni par les données immédiates de Texpérience, et dépendra essentiellement de la forme du corps, ainsi que de quelques autres circonstances que nous ferons bientôt connaître, on aura pour calculer la résistance R, quand le multiplicateur ou coefficient k sera connu,

Vi = kpk — =:ikpk— ou R=:A-dAH;

d'où il sera ensuite facile de déduire, comme on Ta indiqué (350) pour le frottement ordinaire et comme on le verra dans les applications, la valeur du travail absolu ou relatif détruit par la résistance et que devrait développer, en sens contraire, la force motrice pour entretenir l'uniformité du mouvement du corps dans le fluide. Pour le cas, par exemple, d'un corps mobile dans un fluide en repos, le travail dont il s'agit rapporté à f unité de temps, croîtrait comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière extrêmement rapide par rapport à celui que réclamerait le- simple frottement (350), ou même l'inertie relative au premier ébranlement du corps (14.6).

Cas du mouvement relatif uniforme, — Les raisonnements qui nous ont fait parvenir (380) à la formule précédente, se rapportent essentiellement au cas d'un corps mû parallèlement à lui-même dans un fluide en repos; lorsque le fluide, animé d'un mouvement parallèle dans toutes ses parties, vient à l'inverse choquer un corps en repos, ou lorsque l'un et l'autre sont animés de mouvements rectilignes parallèles, les raisonnements dont il s'agit cessent d'avoir lieu, à moins qu'on n'admette, à priori^ avec tous les Auteurs, en principe que les actions et réactions des corps ne dépendent (85 et 163 j que des chemins relatifs et nullement des vitesses absolues de ces corps. Raisonnant ici, en effet, à peu près comme on l'a fait (163) dans le cas général du choc direct des solides : V et V étant les vitesses constantes et absolues du corps et du fluide par rapport aux objets fixes, aux rives, par exemple, s'il s'agit d'un courant d'eau, il suffira de remplacer la vitesse V, de la formule ci-dessus, par la vitesse relative du corps et du fluide, c'est-à-dire par la différence V — V ou V — V de leurs

vitesses absolues quand ils marchent dans le même sens, ou par la somme V -i- V de ces mêmes vitesses quand ils marchent en sens contraire.

Mais, d'après le résultat de quelques-unes des expériences de Dubuat, qui seront rapportées plus loin, il ne paraît pas qu'il soit permis de raisonner pour le cas des fluides ou d'un assemblage de molécules très-mobiles, comme cela paraît incontestablement permis pour les solides, où la propagation du mouvement s'opère (57, 65, 153 et 313), dans un temps souvent inappréciable, et l'on doit provisoirement admettre que le coefficient k peut prendre des valeurs très-différentes, selon qu'il s'agit d'un corps mobile dans un fluide en repos, ou vice versa; la différence ne pouvant porter que sur l'intensité effective de la résistance, et non sur sa loi en raison du carré des vitesses absolues ou relatives.

Cas du mouvement varié, — On se rappellera que ces formules sont uniquement relatives au cas où le mouvement est parvenu à une rigoureuse uniformité, et que lorsqu'il varie à chaque instant, comme cela a lieu, par exemple, dans le cas des projectiles, il devient nécessaire d'avoir égard (380) à la masse du fluide qui accompagne le corps et en augmente l'inertie de manière à accroître la résistance quand le mouvement s'accélère, et à la diminuer quand il vient, au contraire, à se ralentir. Le volume de cette masse ayant, dans chaque cas, avec celui du mobile, un rapport déterminé, indépendant de sa densité et de sa vitesse, il ne s'agira que d'ajouter la valeur M' de cette même masse à celle M du corps, dans la relation qui exprime la loi du mouvement; ou, ce qui revient au même, il ne s'agira que d'augmenter, dans le cas de Vaccélératioriy et de diminuer dans celui du ralentissement, la valeur

R^/f^AH=:/r/?A — de la résistance uniforme, de la quan-

tité M'- qui représente (130) la force d'inertie de M', et dans

laquelle v exprime l'accroissement ou la diminution subis, pendant l'instant infiniment petit /, par la vitesse V, qui, de son côté, désigne ici, soit la vitesse absolue du fluide ou du corps, soit leur vitesse relative dans le mouvement parallèle.

DBS RÉSISTANCES. 687

CAUSES ET CIRCONSTANCES PARTICULIÈRES QUI MODIFIENT l'iNTENSITÉ ET LA LOI DE LA RÉSISTANCE DES FLUIDES.

383. Des effets de la cohésion des fluides. — Toutes les expériences connues s'accordent à prouver que, pour des mouvements très-lents, la résisiànce des fluides décroît moins rapidement que le carré de la vitesse, et que cette déviation de la loi ordinaire devient surtout sensible pour les corps qui présentent une certaine étendue dans le sens du mouvement, réunie à de faibles dimensions transversales. Ces circonstances sont généralement attribuées à l'adhésion des molécules, soit entre elles, soit avec la surface du corps, ou plus spécialement, à la difficulté qu'elles éprouvent à se séparer, les unes des autres, dans leurs mouvements relatifs, et à prendre de nouvelles positions de stabilité (377). Si l'on suppose, en etTet, que, pour les liquides tels que l'eau, par exemple, ces forces dépendent très-peu ou point du tout de la vitesse avec laquelle la séparation des molécules s'opère (*), il en sera de même du travail résistant qu'elles font naître pour chaque élément de chemin parcouru; de sorte que la part de résistance qui leur est due, pourra conserver une valeur très-appréciable encore, dans les mouvements lents, quand celle qui provient des forces \ïwes directement impriméesaux molécules liquides sera devenue insensible. Mais peut-être est-il aussi exact de dire que, dans ces mouvements, les forces de cohésion des molécules ont plus de temps pour propager la vitesse de proche en proche, dans l'intérieur du liquide, et pour augmenter ainsi le nombre, la masse totale des molécules entraînées; ce qui tend également à faire croître la somme des forces vives ou la dépense de travail moteur, un peu plus rapidement que ne l'indique la loi du carré de la vitesse. Quoi qu'il en soit, pour se former des idées un peu nettes

{*) L'influence de cette vitesse pourrait certainement devenir sensible pour les gaz, dans le cas de changements brusques (224); mais, d'après les ingénieuses expériences de MM. Colladon et Sturm^ il ne parait pas qu'il soit nécessaire d'y avoir égard pour l'eau et la plupart des liquides.

sur le rôle joué par les forces de cohésion dont il s'agit, il est nécessaire de distinguer, d'une manière plus précise que nous ne l'avons fait jusqu'à présent, Taclion directe et normale du corps sur le milieu, de son action tangenlielle ou latérale, qu'on nomme proprement \q frottement des fluides.

384. Influence de la cohésion dans V action directe ou normale. — Cette action des solides sur lès fluides se distingue essentiellement, comme on l'a vu (374 et suivants), de leur action latérale ou tangentielle, en ce que, dans la première, il y a déviation générale, et, dans la seconde, séparation et glissement réciproque des filets. Néanmoins cette déviation ne pouvant avoir lieu sans que les molécules des filets voisins se rapprochent ou s'écartent entre elles, il en résulte que les forces de cohésion se trouvent également mises en jeu dans les deux cas; mais les faits déjà connus tendent à prouver que la part de résistance due à cette cause est très-faible dans le premier, et peut, en général, être négligée. Toutefois, en raisonnant comme on l'a fait au n°381, et considérant que, pour rétendue du chemin élémentaire e, décrit par le corps, le nombre des molécules directement ébranlées ou déviées est proportionnel au volume A ^ de sa course cylindrique dans le milieu, on sera conduit à représenter cette même portion de la résistance, par un terme de la forme a AT, a étant un coefficient numérique à déterminer par expérience, et T ou aï une quantité relative à la dépense de travail que supposent la séparation, le déplacement mutuel des molécules voisines des filets, et qui pourra être constante si les forces qui unissent ces molécules sont, en effet, indépendantes de leurs vitesses de séparation.

Ainsi la résistance totale, due à l'action directe et normale du corps ou à la déviation antérieure des filets, pourrait être représentée par une expression de la forme

akT ^bpk\'= k[alL ^ bpy');

dans laquelle b est un nouveau coefficient numérique, analogue au coefficient /r (382), et qui dépend essentiellement des forces vives directement communiquées aux molécules du

milieu, ou du rapport de leurs vitesses effectives à la vitesse V du corps supposé seul en mouvement.

385. Influence de la cohésion dans raction tangentielle ou le frottement des fluides. — Cette action peut être attribuée à différentes causes, soit qu'on la considère comme le résultat

de la rencontre directe et successive des molécules fluides

avec les aspérités qui tapissent la surface des corps solides même les mieux polis, soit qu'on suppose ces molécules simplement sollicitées par celles d'entre elles qui remplissent mécaniquement les pores de ces surfaces, ou qui s'y trouvent retenues, extérieurement, en vertu de cette force particulière nommée adhérence, et dont l'action ne saurait d'ailleurs se faire sentir qu'à une très-petite dislance du corps, comme le démontrent beaucoup de phénomènes. De toutes manières, le nombre des molécules ainsi ébranlées doit, sous une vitesse relative V donnée, demeurer proportionnel à l'étendue S de la surface sur laquelle le glissement* s'opère; et, comme pour un corps de forme également donnée, ou pour des corps de forme semblable, les vitesses V et les chemins élémentaires e' = V'/, dépendant de ce glissement, doivent aussi (379) demeurer proportionnels à la vitesse V, et au chemin élémentaire e, du mouvement absolu ou relatif du fluide et du corps, on voit que le nombre des molécules directement ébranlées, par l'action latérale, dans chacun des éléments t du temps, ou pour chacun des chemins e, deviendra, à son tour, proportionnel au produit S^, qui représente un volume aussi bien que le produit Ae relatif à l'action normale.

Ainsi, en partageant, comme on l'a fait (384) pour cette dernière action, le travail relatif à l'action latérale, en deux autres dont l'un, représenté parleproduit a' SeT, serait dû aux forces de cohésion qui naissent du déplacement relatif, de la séparation continuelle des molécules, et dont l'autre, représenté par le produit analogue 6'S<?/?V% concernerait les forces vives imprimées, détruites ou dissimulées (376 et 377), soit directement dans la région voisine du corps, soit de proche en proche en vertu delà communication latérale du mouvement, en faisant, dis-je, ce partage et raisonnant toujours comme au n° 381, on sera conduit à représenter la résistance latérale par

5gO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

une expression de la forme a'ST -h b'Sp\^=S(a'T -h b'pY*); a! y V etX a^vant une signification semblable (384<) à celle des coefficients a et 6 et de la quantité T, sans rien préjuger du reste sur leurs valeurs absolues, qui peuvent changer avec la nature du milieu et la forme du corps, quoiqu'elles soient censées indépendantes (379) de la vitesse uniforme, des dimensions absolues de ce dernier, ainsi que de Tintensité de la pression statique du milieu (377).

386. Expression générale de la résistance des milieux, — Pour analyser complètement les diverses causes de résistances qui s'opposent au mouvement des corps dans l'intérieur d'un fluide, il conviendrait encore de prendre en considération le frottement latéral éprouvé, parla masse qui circule autour de ces corps, de la part du fluide ambiant, non soumis directement aux effets de la déviation (378); il faudrait également établir des distinctions entre les frottements relatifs aux faces latérales de ces corps, et ceux qui concernent leurs faces antérieure et postérieure, lesquels dépendent de mouvements bien plus compliqués. Mais, au point de vue physique où nous sommes placés, ces différentes circonstances ne peuvent exercer d'influence que sur l'appréciation de la quantité S, qu'il faudrait, tout au moins, prendre égale à la somme des surfaces antérieure et latérale du corps, etc.

En résumé, la résistance totale provenant tant de l'action directe d'un corps sur un fluide, que du frottement tangentiel, serait, dans nos hypothèses, représentée par la somme

A(aï + 6/;V')-4-S(«'T-h6>V^) = (aA + «'S)T-+-/?(6A-h*'S)VS

dont la première partie dépend essentiellement de la loi que suit l'intensité des forces de cohésion, et la seconde du rapport des vitesses ou des forces vives communiquées aux molécules fluides.

Ces considérations à priori, auxquelles nous sommes loin d'attacher aucune importance théorique, ont au moins l'avantage de faire sentir la nature des difficultés qui se sont offertes aux expérimentateurs pour démêler, dans chaque cas, le rôle des deux espèces de résistances qui viennent de nous occuper, et dont celle qui est relative au frottement a été Tobjet de

quelques recherches spéciales que nous croyons utile de faire connaître dès à présent, afin de n'avoir plus à y revenir par la suite, puisqu'elle ne peut exercer d'influence appréciable que dans des circonstances tout à fait particulières (383).

387. Données expérimentales relatives à la loi du frottement des fluides. —On admet ordinaixement, d'après les ingénieuses expériences de Coulomb (*), que ce frottement est entièrement indépendant de la nature particulière de la surface solide, de son degré de poli, de la nature de l'enduit qui la recouvre et de la pression naturelle ou statique du milieu : circonstances d'abord remarquées par Dubuat {Principes d* hydraulique y 1. 1, art. 34 et suivants), lors de ses belles et nombreuses expériences sur les lois de l'écoulement des liquides dans les tuyaux et les canaux de conduite. Quant à l'intensité même de cette résistance, on la suppose, toujours d'après le résultat particulier des expériences de Coulomb, représentée, pour le cas des surfaces planes, par une expression de la forme

dans laquelle p désigne, comme précédemment, la densité du milieu, S l'étendue de la surface en contact avec lui, V la vitesse du mouvement relatif dans le sens de cette surface, a et b enfin deux coefficients numériques, dont le premier dépend essentiellement des forces d'adhésion des molécules fluides entre elles, et dont le seconS en serait tout à fait indépendant jusqu'à ce point de conserver la même valeur pour l'eau et l'huile, par exemple, tandis que le coefficient a prendrait au contraire, suivant ces mêmes expériences de Coulomb, des valeurs qui varieraient dans le rapport de i à 17.

On explique généralement la présence du terme en V^dans l'expression de la résistance, par la considération de l'inertie des molécules fluides entraînées; mais il n'est pas aussi facile de se rendre compte de celle du terme en V, qui provient des forces de cohésion du milieu, à moins d'admettre, avec

(*) Mémoire sur la cohérence des liquides , t. III (1801) àe^ Mémoires de l* Institut national f p. q6i.

592 MÉCANIQUE IKBIISTUELLE.

M. Xavier (*], que ces forces sont proportionnelles à la vitesse du déplacement relatif des molécules, dont Tintensité doit croître ici, en effet, proportionnellement à la vitesse Y, selon les hypothèses et données expérimentales du n* 379. Quant à l'explication mise en avant par Coulomb lui-même, dans le Mémoire déjà cité (art. 11, p. 261 de ce Mémoire), et qui consiste à dire, suivant les raisonnements empruntés à l'ancienne théorie, que la résistance occasionnée parla cohérence des molécules doit, si cette cohérence est constante, être directement proportionnelle au nombre de celles qui se séparent dans un temps donné ou à la vitesse même du corps, il paraît peu nécessaire de la discuter ici ; car aucun principe de Mécanique n'autorise, ce nous semble, une pareille conséquence, qui pourrait tout aussi bien s'appliquer au glissement réciproque de solides, pour lequel Coulomb admet cependant '348 et 349) que la résistance due à la cohésion demeure constante.

Enfin l'indépendance du frottement des fluides de la pression du milieu, de la nature des surfaces et du degré de leur poli, se justifie perdes considérations physiques analogues à celles que nous avons exposées aux n*** 377 et-385. Dans le frottement des corps solides, comme on Ta vu (349), la force de cohésion joue un tout aulre rôle, à cause que le déplacement relatif des molécules est insensible, même pour des molécules situées à de très-petites distances des surfaces de contact dans l'intérieur dé chaque corps; de sorte que les forces d'élasticité rapidement variables avec Télai de compression et le changement de forme sont seules mises en jeu, et ne peuvent occasionner que de simples vibrations indépendantes de la vitesse même du mouvement.

A la vérité, il résulte des considérations exposées au n® 377, qu'une partie de la force vive développée dans les fluides, par

(*) Mémoire sur les lois du mouvement des Jluides, lu à l'Acadéiiiie des Sciences, le i8 mars 1820. Il est facile de s'assurer, en effet, que si les résultats de la savante analyse de ce géomètre conduisent, dans le cas des canaux et des tuyaux servant à écouler les liquides, à une expression de la résistance, proportionnelle à la vitesse moyenne des filets, cela tient uniquement à l'introduction de l'hypothèse dont il s'agit, dans les équations différentielles mêmes du mouvement.

DES RÉSISTANCES. 5q3

suite de la communication latérale du mouvement, pourrait être également dissimulée, en raison des oscillations particulières imprimées aux molécules; mais ces oscillations, cette perle de force vive, ne sauraient être considérées comme indépendantes de la vitesse générale, qu'autant qu'elles résulteraient des perles mêmes de travail, dues à la séparation des molécules, pertes qui deviendraient ainsi, contrairement aux indications fournies par les expériences de Coulomb, la- source d'une résistance constante, analogue à celle du frottement des solides, quoique sans rapport nécessaire avec l'intensité de la pression.

388. Incertitudes relatives à la véritable loi dit frottement des fluides. — Les récentes expériences de MM. Piobert, Morin et Didion (*), les ont généralement conduits à rejeter, de la formule qui exprime la loi de la résistance des fluides, le terme proportionnel à la simple vitesse, pour le remplacer par un autre qui en est absolument indépendant, même dans le cas de l'air atmosphérique, où, néanmoins, il paraît difficile d'admettre l'influence des forces de cohésion ou de toute polarité des molécules (377). Quant aux liquides proprement dits, on serait d'autant moins fondé à repousser ce dernier . résultat, à priori, que les expériences de Coulomb se rapportent au mouvement circulaire, alternatif et par conséquent variable, de disques et surfaces cylindriques autour de leurs axes naturels; circonstances qui peuvent, comme on le fera bientôt sentir (391), apporter des différences notables dans la nature des mouvements excités à l'intérieur des milieux, et, par suite, dans les lois de la résistance.

Mais il ne faut pas oublier, d'une autre part, une considération très-grave, qui milite en faveur de la loi expérimentale de Coulomb : c'est l'application heureuse qui en a été faite par M. de Prony d'abord, puis ensuite par M. Eytelwein, à l'établissement d'utiles formules qui représentent, avec un degré d'exactitude on ne peut plus satisfaisant, les données de l'expérience, relatives au mouvement des fluides dans les canaux

(*) Mémoire, présenté au concours pour le grand prix de mathématiques de rinstituf, sur la résistance des fluides,

ei tuyaux de conduite, dont les parois occasionnent une résistance, un ralentissement de vitesse, dus aux causes mêmes qui viennent de nous occuper, pour le cas d'un corps isolé et mobile dans un fluide en repos (*). Ajoutons que, dans des

(*) D*après le résultat particulier des recherches de M. de Prony, on pourrait prendre indifTcremment, pour calculer la résistance de Tcau dans les tuyaux comme dans les canaux de conduite, à section uniforme, sans coudes sensibles,

R =/?S(o,ooooi73U-ho,ooo348U'),

p étant le poids du mètre cube du liquide, S sa surface en contact avec les parois et U une vitesse moyenne qui, étant multipliée par Taire A de la section, doit reproduire le volume uniformément écoulé par seconde, au travers de cette section ; de sorte t|uç cette valeur de U diflfère ici de la plus grande et de la plus petite de celles qui répondent aux filets les plus éloignés on les plus volsins des parois solides.

D'après les recherches postérieures de M. Eytelwein, ou aurait spécialement

pour les tuyaux de conduite, et

R=;>S(o,oooo2^3U-+-o,ooo366U-)

pour les canaux rcctilignes découverts; mais, dans le cas de vitesses un peu fortes, au-dessus de i mètre, par exemple, on pourra, sans erreur sensible, . prendre approximativement pour les canaux et les tuyaux de conduite,

Qunnt à l'air ou aux gaz eu général, dont les vitesses d'écoulement dans les

tuyaux sont toujours fort grandes et la cohésion ou l'adhérence très-faibles,

on peut négliger entièrement le premier terme de la résistance, et prendre

simplement, d'après le résultat des belles expériences de MM. d'Aubuisson et

Girard,

R = o,ooo32^SU'.

'D'ailleurs il est douteux que ces mêmes formules puissent s'appliquer, avec une suffisante cxacliUidc, au frottement d'un fluide indéfmi coulant le long des parois planes d'un solide entièrement isolé dans ce fluide; car la nature des mouvements excités, la marche des filets, l'ordre des vitesses ou ce qu'on nomme, à ])roprement parler, le régime du fluide, sont aussi très-distincts dans les deux cas (37G). Enfin, il ne paraît pas non plus que, dans le mouvement varié du fluide ou du corps, c'est-à-dire avant l'instant où le régime est parvenu h un état permanent et uniforme, la résistance puisse être représentée, encore moins mesurée par les expressions analytiques dont il s'agit.

Addition à in Note précédente. — Do nouvelles expériences ont été faites, depuis cette époque, sur l'écoulement dos fluides :

Darcy a repris en détail la question du mouvement de l'eau dans les conduites; il a déterminé, h l'aide d'observations faites sur une grande échelle.

DES RÉSISTANCES. SgS

expériences particulières, relaiivesà l'écoulement des liquides au travers de tuyaux capillaires ou d'un très-pelîl diamèlre, M. Girard a été conduit, d'un autre côté, à représenter la résistance des parois au moyen d'un seul terme proportionnel à la vitesse simple, tout terme relatif au carré de celte vitesse ayant disparu, même pour des mouvements que l'on peut considérer comme rapides. Or, celte circonstance est d'autant plus remarquable que, suivant l'analyse déjà citée de M. Navier(387), il faudrait l'attribuer essentiellement à l'adhérence du liquide avec les parois, dont l'influence, pour des tuyaux d'un aussi petit diamètre, serait ainsi devenue prépondérante par rapport à celle des forces de cohésion mêmes des molécules de ce liquide.

Ces considérations jointes aux différences spécifiques qui ressortent de la nature des mouvements excités dans chaque cas, suffisent pour montrer que la question du frottement dans les fluides et de l'influence de la cohésion est bien loin d'être arrivée à une solution satisfaisante, même sous le point de vue purement expérimental; car, on ne doit pas se le dissimuler, aucun des résultats des nombreuses expériences entreprises depuis Newton et Désaguliers, ne peut servir à décider, d'une manière certaine, si, pour le mouvement recliligne des corps dans l'intérieur des milieux, le terme de la résistance qui provient de cette cause est, ou cons|,ant comme on l'avait d'abord supposé, ou simplement proportionnel à la première puissance de la vitesse, comme on l'admet généralement d'après les expériences citées de Coulomb, et d'après celles du pendule, qui se rapportent à des circonstances de mouvement tout à fait exceptionnelles. Mais, attendu que la difficulté de

l'influence de l'état des surfaces et du diamètre {Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux, par H. Darcy; Paris, 1857). Les travaux de MM. Pecqueur, Bontemps et Zambaux, sur le mouvement de» gaz dans les conduites, ont donné lieu à une Note de Poncelet {Note sur les ^expériences de M. Pecqueur; Comptes rendus de V Académie des Sciences, ai juillet 1845), dans laquelle l'Auteur établit la formule du débit et pose des conclusions importantes sur l'écoulement des gaz au travers des orifîecs et des tuyaux. M. Rcsal {Recherches expérimentales sur V écoulement des 'vapeurs ; Annales des Mines y i865), en interpolant les résultats d'expériences exécutée» avec la collaboration de M. Minary, établit une formule pour l'écoulement des vapeui s saturées à travers les ajutages. {Voir la seconde Note de la page 597.) (K.)

découvrir la loi de celte parlie de la résistance, pour des fluide^ tels que Tair et l'eau, lient précisément à sa faible influence, cela diminue beaucoup les regrets que pourrait faire naître l'absence de toute formule rigoureuse.

Quant aux milieux cohérents, aux fluides imftbrfaits tels que les pâles, les terres, les bois de diverses espèces, l'expérience, comme nous le verrons en son lieu, a prononcé, d'une manière décisive, en faveur de l'hypothèse qui suppose la part de résistance due à la cohésion des molécules, absolument indépendante de la vitesse du mouvement.

389. Influence de la compressibilité du milieu et de la variation de sa densité. — Pour les liquides proprement dits, qui sont très-peu réductibles de volume sous l'influence delà pression, les changements de densité au voisinage du corps demeurent insensibles; mais il en est autrement des milieux gazeux tels que l'aïr, par exemple : la densité est plus forte en avant et plus faible en arrière que celle qui correspond à l'état d'équilibre du fluide; circonstances qui, on le sent bien, tiennent à l'augmeniation ou à la diminution mêmes de la pression en ces points. Dans l'opinion commune, ce fait expliquerait comment, pour de très-grandes vitesses des projectiles de rartillerie, la résistance croît d'une manière un peu' plus rapide que le carré de la vitesse, ou que ne l'indique la for-

mule R = /r/?AH = kpk — (382), dont le deuxième membre

devrait être alors augmenté d'une quantité sensiblement proportionnelle au cube de la vitesse, ce qu'on peut également expliquer en supposant que le coefficient /r, ou la densité/? du fluide, doit se trouver augmenté d'une fraclion de Tun ou de l'auire, proportionnelle elle-même à la vitesse V. Toutefois le motif fondé sur le changement de la densité ne justifie qu'imparfaitement cet accroissement relatif de la résistance, puisqu'il suppose implicilemenl qu'à vitesses égales, le nombre ^ des molécules ébranlées ou déplacées le long de la route suivie par le corps est plus grand pour les gaz que pour les liquides, ce qu'il est bien difficile d'admettre. Peut-être serait-il plus conforme aux données de la physique, d'avoir ici égard au rôle joué par la chaleur (224) dans la compression el la détente

BBS RÉSISTANCES. 5g7

rapides qui s'opèrent au voisinage du corps, ainsi qu'aux eifels qui peuventrésulier(380)de la variation même du mouvemenl des projectiles.

C'est d'ailleurs le lieu de mentionner un phénomène qui, dans l'opinion de beaucoup d'Auteurs, peut se présenler lors de ces mouVements irès-rapides : la production d'un vide plus ou moins parfait en arrière du corps; vide qui se trouverait complètement formé dès l'instant où la vitesse du projectile atteindrait ou dépasserait celle avec laquelle le fluide ambiant tendrait à s'y précipiter et s'y précipiterait (*), en effet, sous la seule influence de la pression statique (377), si les filets déviés en avant du corps, et qui ont acquis une vitesse comparable et contraire à la sienne propre, ne venaient combler, en partie, ce vidç, au fur et à mesure de sa formation. Cette, considération et l'ignorance où nous sommes des véritables lois de l'écoulement des fluides élastiques sous de fortes pressions (**), font sentir combien il serait difficile d'expliquer.

(*) On prend ordinairement, d'après une formule contestable, en principe, quand il s'agit de pressions aussi fortes, pour la vitesse de rentrée de l*air dans le vide, une vitesse de 4 > 6 mètres environ, par seconde ; mais, d'après les curieuses expériences de MM. Barré de Saint-Venant et Wantzel, ingénieurs des Ponts et Chaussées, expériences dont les résultats se trouvent consignés dans un Mémoire imprimé au 27* cahier du Journal de V École Pofytech' nique, la vitesse dont il s'agit serait bien loin d'atteindre une valeur aUssi élevée^ et serait au plus de 193 mètres par seconde, pour des orifices dont la petitesse laisserait, à la vérité, soupçonner, une très>grande influence exercée par le frottement des parois. Enfin M. Navier, dans la note {db), p. 346 du premier volume de V Architecture hydraulique de Bélidory trouve que la vitesse pour laquelle l'air tend à se détacher de la face postérieure d'un plan mince, est de 265 mètres par seconde, en se fondant sur le résultat un peu incertain des expériences de Dubuat, relatives à la non-pression (378), expériences d'après lesquelles cette vitesse changerait avec la forme du corps, et serait, pour la sphère, par exemple, notablement plus grande que pour les plans minces, 342 mètres environ, suivant les calculs mêmes exposés par Dubuat, dans le n** 567 du tome II de ses Principes d'Hydraulique. On voit donc qu'il s'en faut de beaucoup que la question se trouve aussi bien éclaircie qu'un le suppose ordinairement.

\**) Depuis cette époque, les lois du mouvement et de l'écoulement des gaz et des vapeurs ont été étudiées par divers auteurs, conformément aux principes de la théorie mécanique de la chaleur. Consulter à ce sujet les ouvrages cités dans la Note de la page 98, ainsi que les Mémoires de M. Grashof, Sur le mouvement permanent des gaz dans les conduites et dans les canaux. (K.)

SgS MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

encore moins de prévoir à Tavance, tous les autres phénomènes qui peuvent accompagner des mouvements aussi rapides.

390. Influence de Informe des corps sur V intensité absolue de la résistance. — Les règles ou formules exposées dans les n" 381 et 382 ne s'appliquent qu'à la résistance exercée par les fluides contre un même corps ou des corps semblables; mais quand les corps diffèrent totalement, soit par la forme, soit par la manière dont ils reçoivent Taction de ces fluides, les résistances qu'ils éprouvent, dans des circonstances égales sous tout autre rapport, ne peuvent nullement se comparer. Ainsi, bien que pour de tels corps la densilé p du fluide, leur section ou projection transversale A, et leurs vitesses relatives V, par rapport au milieu, soient les mêmes de part et d'autre, la résistance n'en est pas moins très-distincte, et, jusqu'à présent, l'expérience peut seule faire connaître, avec une suffisante exactitude, les modifications de valeurs qu'elle éprouve pour chaque forme particulière du corps.

Néanmoins, à Tégard des plans et surfaces minces non fermées, telles que celles des voiles de navires, des parachutes, etc., la forme du contour ou périmètre paraît exercer peu d'influence, à circonstances égales d'ailleurs. Ainsi, par exemple, une palette mince de i mètre carré, qui serait mue, dans Talr ou dans l'eau, avec une vitesse donnée, éprouverait sensiblement la même résistance si son contour avait la forme d'un triangle, d'un cercle ou d'un carré. Pareille chose aurait lieu, à très-peu près encore, d'après Dubual, pour des prismes ou cylindres droits mus dans le sens de leurs axes, et qui, sous des longueurs proportionnelles à la racine carrée des aires A, de leurs sections transversales, offriraient néanmoins des formes, des contours différents dans le sens de ces sections.

On juge aisément aussi d'après les notions générales exposées aux n°' STi- et suivants, que la forme de la partie antérieure du corps ou de sa proue, doit exercer une influence très-grande selon qu'elle est plus ou moins aiguë, plus ou moins bien raccordée avec les faces latérales ; car, est-il bien nécessaire de le dire, l'acuité de cette proue favorise, en elle-même, l'écoulement du fluide le long de sa surface; elle diminue les effets

DES RÉSISTANCES. Sgg

d'une déviation trop brusque, tandis que les arrondissements qui l'unissent aux faces latérales permettent à ce fluide de reprendre progressivement, le long de ces mêmes faces, une direction parallèle à celle de son mouvement primitif, et une vitesse à peu près égale, ce qui tend à détruire les tourbillons et les perles de force vive. Toutefois, on ne doit pas l'oublier, et l'expérience aussi bien que le raisonnement le démontrent, l'acuité de la proue,» son allongement, ont une limite nécessaire, notamment dans le cas où elle se compose de faces planes; car le frottement latéral sur ces faces vient jouer un rôle d'autant plus considérable, que leur étendue dans le sens du mouvement l'est elle-même davantage.

La longueur relative du corps, dans ce même sens, paraît aussi exercer une influence très-appréciable sur la diminution de la résistance totale, et nous avons vu (378) comment cette influence se trouve expliquée d'après le résultat des ingénieuses expériences de Dubuatsur la diminution progressive de la non-pression en arrière du corps, influence en partie contre-balancée encore par celle du frottement. Il n'est donc pas permis de confondre, comme on l'avait généralement fait avant ce célèbre ingénieur, la résistance d'un plan mince avec celle d'un prisme ou d'un cube de même base, bien qu'ils soient placés dans des circonstances semblables sous tout autre rapport.

Ënfln l'influence de la forme de l'arrière ou de la poupe, quoique moins sensible que pour la proue, n'en existe pas moins, puisqu'elle peut favoriser le dégagement du fluide à l'instant où il quitte le corps, soit en diminuant la vitesse de son affluence dans l'espace continuellement abandonné en arrière, soit plus spécialement en s'opposanl à la formation des tourbillons et des remous. Mais ici encore, l'allongement produit par la saillie de la poupe paraît être la condition principale, sinon unique, de la diminution de la résistance, et cette diminution serait peu sensible, par exemple, pour des corps prismatiques offrant déjà, par eux-mêmes, une*cerlaine longueur. «

391. Influence due à la nature particulière du mouvement curviligne. — Jusqu'à Dubuat, on avait généralement admis

6oO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

que la résistance éprouvée par les corps doués d'un mouvement circulaire, ou de rotation autour d'un axe fixe, devait, à xîirconsiances semblables d'ailleurs, être la même que pour les corps animés d'un mouvement rectiligne parallèle; mais les motifs exposés par cet Auteur (*) et les expériences spéciales de M. Thibault (**), que nous ferons bientôt connaître, ne permettent plus de l'admettre. Ces expériences démontrent, en effet, que dans le mouvement circulaire, la résistance pour un même corps, demeure à la vérité proportionnelle au carré de la vitesse, mais que, pour des corps différents, semblables d*ailleurs et semblablement dirigés, cette résistance, sous une vitesse donnée, croît un peu plus que proportionnellement à rétendue A, de la projection de ces corps sur un plan perpendiculaire, à chaque instant, à la direction du mouvement, projection qui se confond ici avec la section transversale ou méridienne de la surface annulaire circonscrite à celle du corps et qui est V enveloppe de ses diverses positions. L'accroissement de résistance dont il s'agit paraît être d'autant plus rapide d'ailleurs, que le corps se trouve placé à une plus petite distance de l'axe de rotation, et que ses dimensions, dans le sens de cette distance ou des rayons des circonférences décrites, sont, au contraire, plus grandes relativement aux dimensions transversales ou parallèles à l'axe en question.

Ce n'est point ici le lieu d'entrer dans des détails sur les causes qui produisent cet accroissement relatif à la résistance, dont l'exposition complète appartient à une partie plus avancée de la Mécanique. Il nous suffit de remarquer que, dans le mouvement dont il s'agit, les différents points du corps ne sont pas tous animés de la même vitesse circulaire, et doivent donner lieu aussi à des mouvements et à des résistances partielles qui croissent rapidement avec leurs distances à Taxe de rotation; ce qui ne permet pas de prendre, comme on le fait ordinairement, pour vitesse moyenne, dans le calcul des résistances totales, celle du centre de symétrie de l'aire A, lequel doit être remplacé* par un point situé un peu au delà par rapport

(*) Principes d'Hj'draulique^ t. II, art. 5oi et 547.

(**) Recherches expérimentales sur la résistance de l'air; Erest, p. Go à GG; 22* et 23® expérience.

DES RÉSISTANCES. 6oi

à l*axe. Néanmoins celte circonstance ne paraît pas suffire pour rendre compte des accroissements de résistance observés dans chaque cas, et, selon M. Duchemin (373), il faudrait avoir égard particulièrement à l'influence d'une cause beaucoup plus puissante, nommée force centrifuge, et inhérente à la tendance qu'ont, en vertu de l'inertie (55), tous les corps soumis à un mouvement circulaire, de s'écarter du centre avec d'autant plus d'énergie, qu'ils s'en trouvent situés à une plus petite dislance. L'effet de cette force consiste ainsi, dans le cas présent, à ralentir le mouvement des molécules fluides qui circulent le long du corps, suivant des canaux ou filets dirigés vers l'intérieur ou l'axe de rotation; à accélérer, au contraire, celui des molécules qui marchent dans le sens opposé ou extérieur; enfin à déplacer, à déformer, en général, l'ensemble des filets auxquels Dubuat applique ( 380 ) la dénomination de proue ei poupe fluides; modifications qui doivent en entraîner, quant à l'intensité de la résistance, d'autres d'autant plus appréciables que le mouvement du corps diffère davantage du mouvement rectiligne, et qu'il s'acccomplit ainsi dans un plus petit cercle par rapport aux dimensions transversales de ce corps. Mais il nous suffit ici d'admettre l'existence de la force centrifuge comme une donnée de l'expérience, eCque l'on sente à peu près la nature de son rôle et de ses effets.

Quant à la résistance des corps soumis à un mouvement oscillatoire analogue à celui d'un pendule, on sent parfaitement qu'elle, ne peut nullement se comparera celle du même corps qui serait animé d'un mouvement continu, soit rectiligne et . parallèle, soit simplement circulaire; car, indépendamment de l'influence qui peut être due à la variabilité de la vitesse, il arrivç ici, de plus, que les mouvements excités dans le milieu, pendant la durée de l'une quelconque des oscillations, peuvent modifier beaucoup la résistance qui aurait lieu dans Toscillation contraire, si le corps ne rencontrait qu'une masse fluide naturellement en repos, et ceci justifie ce que nous avons dit au n° 388, touchant les incertitudes que laissent encore les expériences de Coulomb, sur la résistance latérale des fluides.