Influence de la proximité des corps par rapport aux

M. Navier(*], que ces forces sont proportionnelles à la vitesse du déplacement relatif des molécules, dont l'intensité doit croître ici, en effet, proportionnellement à la vitesse V, selon les hypothèses et données expérimentales du n** 379, Quant à l'explication mise en avant par Coulomb lui-même, dans le Mémoire déjà cité (art. 11, p. 261 de ce Mémoire), et qui consiste à dire, suivant les raisonnements empruntés à Tancienne théorie, que la résistance occasionnée parla cohérence des molécules doit, si cette cohérence est constante , être directement proportionnelle au nombre de celles qui se séparent dans un temps donné ou à la vitesçe même du corps, il paraît peu nécessaire de la discuter ici; car aucun principe de Mécanique n'autorise, ce nous semble, une pareille conséquence, qui pourrait tout aussi bien s'appliquer au glissement réciproque de solides, pour lequel Coulomb admet cependant (348 et 349) que la résistance due à la cohésion demeure constante.

Enfin Tindépendance du frottement des fluides de la pression du milieu, de la nature des surfaces et du degré de leur poli, se justifie par des considérations physiques analogues à celles que nous avons exposées aux n°* 377 et-385. Dans le frottement des corps solides, comme on l'a vu (349), la force de cohésion joue un tout aulre rôle, à cause que le déplacement relatif des molécules est insensible, même pour des molécules situées à de très-petites distances des surfaces de contact dans l'intérieur dé chaque corps; de sorte que les forces d'élasticilé rapidement variables avec l'éial de compression et le changement de forme sont seules mises en jeu, et ne peuvent occasionner que de simples vibrations indépendantes de la vitesse même du mouvement.

A la vérité, il résulte des considérations exposées au n*'377, qu'une partie de la force vive développée dans les fluides, par

(*) Mémoire sur les lois du mouvement des Jluides^ lu à l'Académie des Sciences, le 18 Diars 1820. II est facile de s'assurer, en effet, que si les résultats de la savante analyse de ce géomètre conduisent, dans le cas des canaux et des tuyaux servant à écouler les liquides, à une expression de la résistance, proportionnelle à la vitesse moyenne des filets, cela tient uniquement à l'introduction de l'hypothèse dont il s'agit, dans les équations ditfércntielles mêmes du mouvement.

DES RÉSISTANCES. 5q3

suite de la communication latérale du mouvement, pourrait être également dissimulée, en raison des oscillations particulières imprimées aux molécules; mais ces oscillations, cette perte de force vive, ne sauraient être considérées comme indépendantes de la vitesse générale, qu'autant qu'elles résulteraient des pertes mêmes de travail, dues à la séparation des molécules, pertes qui deviendraient ainsi, contrairement aux indications fournies par les expériences de Coulomb, la- source d'une résistance constante, analogue à celle du frottement des solides, quoique sans rapport nécessaire avec l'intensité de la pression.

388. Incertitudes relatives à la véritable loi dit frottement des fluides. — Les récentes expériences de MM. Piobert, Morin et Didion (*), les ont généralement conduits à rejeter, de la formule qui exprime la loi de la résistance des fluides, le terme proportionnel à la simple vitesse, pour le remplacer par un autre qui en est absolument indépendant, même dans le cas de l'air atmosphérique, où, néanmoins, il paraît difficile d'admettre l'influence des forces de cohésion ou de toute polarîlé des molécules (377). Quant aux liquides proprement dits, on serait d'autant moins fondé à repousser ce dernier résultat, ^ /?r/o/7, que les expériences de Coulomb se rapportent au mouvement circulaire, alternatif et par conséquent variable, de disques et surfaces cylindriques autour de leurs axes naturels; circonstances qui peuvent, comme on le fera bientôt sentir (391), apporter des différences notables dans la nature des mouvements excités à Tintérieur des milieux, et, par suite, dans les lois de la résistance.

Mais il ne faut pas oublier, d'une autre part, une considération très-grave, qui milite en faveur de la loi expérimentale de Coulomb : c'est l'application heureuse qui en a été faite par M. de Prony d'abord, puis ensuite par M. Eytelwein, à l'établissement d'utiles formules qui représentent, avec un degré d'exactitude on ne peut plus satisfaisant, les données de l'expérience, relatives au mouvement des fluides dans les canaux

(*) Mémoire, présenté au concours pour le grand prix de mathématiques de rinstitul, sur la résistance des fluides,

6o4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

diocres sous lesquelles Bossut a opéré» raugmentatton de résistance a été peu sensible, et il est d*autant plus permis d'en négliger la considération dans les cas ordinaires, qu*elle pouvait fort bien provenir du mode d'expérimentation mis en usage.

Quant aux vitesses qui surpassent sensiblement i à 2 mètres, par seconde, les expériences récemment entreprises en Angleterre, par MM. Macneill (*) et J. Russell (**), sur des bateaux longs dont la forme est représentée en élévation oblique, PL III, Jig. 57, et en plan,^g-. 58, ces expériences semblent établir, malgré les nombreuses anomalies qu'elles présentent, que la loi de la résistance, d'abord plus rapide que celle du carré de la vitesse, devient ensuite plus lente quand cette vitesse dépasse une certaine limite (3 à 4 mètres), susceptible d'ailleurs de varier avec les circonstances. Suivant M. Russell, celte loi éprouverait même, vers la limite dont il s'agit, un changement brusque, par suite duquel la courbe qui a pour abscisses horizontales les vitesses, et pour ordonnées les efforts ou résistances, au lieu de conserver la forme parabolique ABC {Pl.IIIfJig. 59), qui convient à l'expression ordinaire p\Y^, dans laquelle on supposerait A constant, prendrait celle qui est indiquée en AB'C'D' (même figure). Ces déviations remarquables sont d'ailleurs attribuées à différentes circonstances sur lesquelles nous croyons devoir insister dès à présent et avant d'exposer les résultats particuliers de l'expérience, parce qu'elles se rattachent au point de vue général de la résistance des fluides.

394. Causes prétendues de la diminution relative de la résistance des bateaux rapides. — On a généralement attribué cette diminution dont, comme on le verra au Chapitre suivant, on s'est fort exagéré l'importance, à trois causes principales : 1° l'inclinaison sous laquelle s'effectue ordinairement la irac-

(*. ) Sur la résistance de l'eau à la marche des bateaux^ i833, par J. Macneill (yi finales des Ponts et Chaussées j deuxième semestre, i834, extrait par M. Minard).

(**) Recherches expérimentales sur les lois de certains phénomènes hydrodynamiques, etc. y par John Russell {Annales des Ponts et C haussées j premier semestre, i838; traduit par MM. Emmery et xMary).

DES RÉSISTÂNCBS. 6o5

lion des bateaux rapides nommés bateaux-poste, elqui tendrait à soulever, à dégager la proue, en diminuant ainsi rétendue de la surface de celle proue, directement en prise avec le liquide; 2® Taclion normale même que le liquide exerce de bas en haut, sur la surface inclinée de celle proue, et dont l'effet est également de soulever l'avant du bateau, en le forçant à prendre une inclinaison qui croît avec la vitesse, et sous la* quelle il serait sollicité, de plus en plus, à sortir de Teau, et à échapper à l'influence de son action directe, toujours proportionnelle à la section transversale maximum Â, de la partie réellement plongée; 3** enfin la position que le bateau tend à prendre {PLIIIyJig. 60, 61 et 62), sous certaines vitesses, par rapport à une vague ou onde principale que son mouvement excite à la surface du liquide, qui occupe toute la largeur du canal, et dont, suivant M. Russell, la vitesse, indépendante de celle du bateau ainsi que de celte largeur, serait, irès-approximalivement, la vitesse due (119) à la moitié de la profondeur du liquide, mesurée du sommet de l'onde.

On conçois en effet, que dans ces dernières suppositions, et selon que le bateau marchera un peu moins vite, un peu plus vite, ou avec la vitesse même de Tonde, il tendra à se placer (PI. III, Jig. 61) sur la rampe ascendante qu'elle form^à la surface du canal, ou sur sa rampe descendante {PL III , fîg, 62), ou sur son sommet même(P/. III , Jig. 60), auquel, d'ailleurs, correspond une véritable position d'instabilité.

Dans le premier cas, celui des petites vitesses, le bateau aura une tendance à s'immerger dans l'onde, et il offrira d'autant plus de résistance à toute accélération de mouvement, que la force motrice sera obligée d'en soutenir ou soulever le poids enlier le long de la rampe. Dans le second, celui où le bateau marche en avant de l'onde, il tendra naturellement à descendre le long de la rampe contraire, en vertu de son propre poids; mais bientôt il excitera en avant de lui, une nouvelle onde qui lui présentera de nouveaux obstacles à vaincre, tandis que l'ancienne onde disparaîtra, et ainsi de suite. Enfin, dans le troisième cas, celui où le bateau se trouve établi sur le sommet de l'onde et se meut avec sa vilesse propre, il s'en trouvera dégagé en avant comme en arrière, ce qui doit produire une très-grande diminution de résistance relative ; mais, comme

6o6 HfiCàNIQUE INDUSTRIELLE.

cette position se rapporte à un véritable état d'instabilité du corps, cela explique, suivant M. Russell, toutes les anomalies et bizarreries offertes par le résultat particulier de ses expériences, notamment les changements brusques qui s'observent lors des vitesses de 3 à 4 mètres par seconde.

395. Examen critique de ces causes, — A l'égard de la ptemière des opinions ci-dessus, relative à l'influence de l'angle du tirage, l'expérience ne permet pas de l'admettre; car l'inclinaison des traits, de bas en haut, loin de favoriser la marche du bateau, lui est, au contraire, nuisible dans les cas de proues raccordées, en dessous, par un plan incliné, et c'est à tel point que, pour diminuer l'inconvénient attaché au soulèvement dû à cette inclinaison, les bateliers ont soin, généralement, de placer le point d'attache du cordage à l'extrémité supérieure d'un mât plus élevé que les rives, d'où sVffectue le halage ; disposition dont l'influence pour contre-balancer l'action oblique sous la proue, est suffisamment sentie aussi bien que les inconvénients inhérents au soulèvement même de»la proue, lequel est toujours accompagné d'un enfoncement équivalent de la partie postérieure, et d'où résulte, non pas une diminution, mais un accroissement de l'aire A, de la plus grande section verticale de la partie réellement plongée.

Dans les bateaux rapides où la proue est terminée [PL III^ fig' ^1 ^^ 58) par une arête aiguë presque verticale, raccordée aux flancs par des courbes à inflexion très-adoucies, l'action oblique dont il vient d'être parlé, quoique moins sensible, n'en exerce pas moins une certaine influence que, dans l'état actuel de la navigation rapide sur le canal de l'Ourcq, on a soin de combattre au moyen d'un petit mât, élevé de o",g à i mètre au-dessus des plats bords et servant à maintenir le trait de halage à peu près horizontal, ce qui soulage beaucoup les chevaux tout en diminuant la hauteur du remou antérieur. Bien mieux, il résulte des renseignements qui nous ont été communiqués par M. Morin, qu'un nouveau bateau, de même forme que les anciens, mais dans lequel la répartition des poids porte le centre de gravité un peu plus vers l'avant, de manière à l'abaisser, est plus facile à maintenir, à conduire, et n'exige pas des vitesses aussi grandes, surtout à la descente. Mainte-

DBS RÉSISTANCES. 607

nanl, doil-on admellre, avec M. Russell el quelques autres personnes, le soulèvement général, Vémersion de ce genre de bateau à de grandes vitesses, el doil-on atlribuer à celle circonstance la diminution correspondante de la résistance? On le pensera d'autant moins que celte prétendue émersion n'a été observée que par des méthodes expérimentales indirectes et peu précises (*); qu'elle n'a pu être constatée d'une manière absolue dans les récentes expériences de M. Morin, où souvent le soulèvement, l'émersion et la vitesse semblaient marcher en sens contraire; qu'enfin une pareille cause de diminution de la résistance devrait se faire sentir aussi bien pour les petites que pour les grandes vitesses; ce qui est en contradiction formelle avec les données les plus certaines de l'expérience (392).

Tout ce qu'il est permis d'inférer de l'ensemble des faits déjà connus, c'est que l'angle sous lequel s'exerce la traction des bateaux, la hauteur et la position du point d'attache du câble, la forme, mais surtout l'inclinaison de la surface inférieure de la proue, enfin le mode même du halage, peuvent exercer une influence plus ou moins appréciable, sur leur marche et leur résistance, influence nécessairement variable avec l'intensité de la vitesse ou de l'effort moteur, et qui, réunie à l'instabilité naturelle aux corps flottants, à l'énorme influence que peut ici exercer l'inertie de leur masse et de celle du fluide entraîné quand le mouvement change (380), doit aussi apporter les plus grands obstacles à la rectitude des résultats, surtout dans le cas des bateaux ordinaires à fond plat, terminés par une proue à p\jan incliné par-dessous.

C'est d'ailleurs, comme l'ont très-bien remarqué MM. Duchemiu, Pioben, Morin et Didion, dans leurs Mémoires à l'Institut, à cette même cause qu'il faut attribuer, en majeure partie, les incertitudes offertes par le résultat des expériences de Bossut, sur des bateaux de cette forme, et de celles qui ont été

(*) M. Russell s'est servi de tubes manométrîques analogues à ceux dont il a déjà été parlé vers la fin du n^ 378, mais qui, au lieu d'être recourbés horizontalement, n'offraient qu'une seule branche verticale implantée sur le fond du bateau; or les expériences de M. Morin prouvent que l'abaissement de l'eau dans les tubes n'a qu'une relation indirecte et fort compliquée avec la vitesse et l'immersion effectives eh chaque point.

6o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

exécutées déjà anciennement, en Angleterre, sous la direction du colonel Beaufoy, sur 4a résistance de différents corps maintenus à une certaine hauteur au-dessous du niveau de l'eau, par le moyen de tiges verticales fixées à un bateau flottant, à proue inclinée par-dessous (*).

La. formation, à certaines vitesses, de Tonde principale ou solitaire, comme l'appelle M. Russell,.et son influence sur le phénomène de la résistance des corps flottants, notamment l'avantage qu'elle offre d'augmenter la section d'eau et de faciliter la navigation dans des canaux peu profonds et étroits (392), ne peuvent être l'objet d'aucun doute; un grand nombre d'observateurs en ont constaté l'existence sur les bateaux rapides en Angleterre et en France; mais nous ne pensons pas qu'il y ait lieu d'admettre toutes les propositions et les conséquences que cet ingénieur s'est cru autorisé à établir dans son intéressant Mémoire, et Ton nous permettra d'émettre, dans le nu-, méro suivant, les idées qui nous ont été suggérées par la vue des phénomènes, et par le résultat d'observations que nous avons eu occasion de faire, en 1828 et 1829, sur la production des rides ou ondes permanentes, à la surface des liquides en repos ou en mouvement (**).

396. Des rides ou ondes excitées à la surface libre des liquides, par les corps qui y sont en partie plongés, — Lorsqu'on approche de la surface supérieure d'un courant d'eau réglé, uniforme, ou qu'on promène, avec une vitesse constante, à la surface d'un liquide en repos, l'extrémité inférieure d'une tige déliée, maintenue dans une position verticale, il se forme aussitôt, à celte surface, une série de rides saillantes ou d'ondulations permanentes, dont la forme et la disposition^ par rapporta la position A, de la tige et à la direction BA, du» mouvement, sont représentées dans les//g*.63 et 65, P/. ///^ten projection liorizonlale, et dans lay?^. 64, en profil suivant une direction parallèle à celle de ce mouvement. Les apparences du phénomène restent les mêmes quand c'est la tige qui se meut

(*) JSautical and hrdrauUc experiments^ t. K'', in-4** de 68$ pages, publié à Londres en i83^, par les soins et aux frais de M. Henri Beaufoy, fils de l'Auteur.

(**) Jnnales de Chimie et de Phjsiquey 2® série, t. XLVI, p. 5 (i83o).

OU la masse liquide, dont les dimensions absolues paraissent d'ailleurs exercer peu d'influence. La Jig. 65 est spécialement relative au cas d'une vitesse de o^jSo environ par seconde, et \^Jif[. 64 à celle de 2 à 3 mètres. Lorsque le mouvement devient de plus en plus rapide, les rides se multiplient et se resserrent sans cesse jusqu'au point de se superposer en une seule, dirigée dans le sens du mouvement, ce qui nous a semblé avoir lieu pour des vitesses indépendantes des dimensions de la masse liquide, et que, dans nos premières expériences, nous avions estimées de 5 à 6 mètres environ par seconde; chiffre qui nous paraît trop élevé, et qu'il serait plus exact, sans doute, de réduire à celui de 4 à 5 mètres, tout au plus.

Le nombre, l'espacement des rides, leur forme et leur orientation par rapport à la direction du mouvement, étant ainsi susceptibles de varier avec l'intensité et la direction mêmes de la vitesse, peuvent servir à étudier, à priori^ le régime d'un couraiit, en chacun des points de sa surface, sans y apporter un trouble sensible. Quoiqu'elles naissent ou disparaissent, pour ainsi dire instantanément, quand la tige atteint ou quitte la surface supérieure du liquide, les rides ne s'en maintiennent pas moins sous une forme immuable tant que l'état du mouvement ne change pas, et pourvu seulement qu'une portion quelconque de la tige demeure en contact avec la surface dont il s'agit; car elles disparaissent également dès qu'elle se trouve entièrement plongée dans le liquide: c'est donc un phénomène excité à la couche de séparation de l'eau et de l'air. Du reste, plusieurs systèmes différents de ces rides peuvent se croiser et s'entrecouper sans se nuire réciproque ment, précisément comme les ondes mobiles et circulaires provoquées à la surface d'un bassin en repos, par un ébranlement quelconque (*). Seulement ici les rides ne se réfléchissent point à leurs intersections avec les parois du bassin ou

(*) On sait qu'indépendamment de ces ondes à mouvement lent et uniforme, il s'en produit d'autres aux premiers instants de l'ébranlement, qui cheminent avec une vitesse uniformément accélérée (108 et 109) : celles-ci nous paraissent appartenir à la classe des rides que nous avons observées, et c'est probablement à leur présence qu'est due l'agitation des eaux, mentionnée dans le Mémoire de M. Russeil, comme servant de signe précurseur à l'arrivée des bateaux, etc.

6lO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

canal qui renferme le liquide; elles s'y trouvent interrompues brusquement, et y donnent lieu à une série de proéminences et de creux, qui semblent se mouvoir avec la vitesse propre de la tige, ou qui sont immobiles en même temps qu'elle.

Ces phénomènes se reproduisent également pour les corps d'une grande dimension, tels que les bateaux mus à la surface de l'eau, sauf que les rides sont plus saillantes, plus larges et manifestent leur présence par une agitation, un clapoiage, souvent nuisibles, sur les rives, et dont les effets sont trèsbien représentés par la ^g*. 66, PL III, que nous empruntons au Mémoire cité de M. Russell. On voit ici les ondes se recourber, s'infléchir à peu près perpendiculairement à la direction des bords du canal; mais cela paraît teilir uniquement à la faible vitesse et à la faible profondeur du courant le long de ces bords; car on peut aisément vérifier le fait par soi-même, en promenant, verticalement et uniformément, un fétu de paille long et flexible, à la surface d'une flaque d'eau large, assez profonde et dont le lit présente une pente fortement adoucie vers les rives.

397. Examen particulier du phénomène de l'onde solitaire qui accompagne la marche des bateaux rapides. — L'expérience démontre que, pour les bateaux, de même que pour les tiges déliées, les longues branches des premières rides venant à se resserrer de plus en plus, suivant leur axe de symétrie, à mesure que la vitesse augmente, finissent par se confondre d'une manière sensible, et cessent de rencontrer les rives et d'y produire le clapoiage dont il a été parlé ; mais bientôt aussi, comme l'a observé M. Russell, à la multitude de ces rides ou ondes secondaires, succède l'onde calme, allongée et solitaire (394.), dont jusqu'alors elles masquaient, dissimulaient la forme, et qui, tout en accompagnant le bateau, tend, ainsi qu'on l'a vu, à en modifier considérablement l'allure et la résistance. Les observations que nous avons eu l'occasion de faire en i838, sur la marche d'un bateau-poste, soumis à l'expérience par M. Morin, dans l'une des branches du canal de Saint-Denis, nous ont, de plus, démontré que la vitesse sous laquelle les ondes clapoieuses disparaissaient, était précisément celle pour laquelle il en arrivait ainsi à l'égard des petites

DES RÉSISTANCES. 6ll

rides excitées, par la présence d'une lige déliée, à la surface supérieure du liquide, non loin du bateau.

Quand on vient à suspendre ou à ralentir brusquement la marche du bateau, Tonde solitaire continue à se mouvoir avec une vitesse qui, d'après les observations de M.Russell, serait, à très-peu près, celle que nous avons mentionnée plus haut (394.), et dont la loi, en raison de la profondeur, s'écarte peu de celle qui a été assignée, depuis longtemps, par les géomètres, aux ondes ordinaires. Mais, outre que ce fait est en désaccord avec le résultat des expériences en petit, déjà mentionnées (396), et dans lesquelles on a vu les rides ou ondes prendre la vitesse propre de la tige qui leur donne naissance à chaque instant, quelles que soient d'ailleurs, et la profondeur et les dimensions transversales de la masse liquide, il se trouve encore en opposition formelle avec les résultats de nombreuses et récentes expériences f^tes, en grand, par M. Morin, tant à Metz qu'à Paris, sur le mouvement des bateaux rapides de différentes formes. Ces résultats, consignés dans l'un des Mémoires adressés à l'Académie des Sciences, pour le concours au prix de Mathématiques, semblent établir, de la manière la plus positive, que la vitesse de la grande onde, même après l'instant où la marche du bateau a été suspendue, est précisément celle que ce dernier possédait primitivement, et qui a donné lieu à la formation de cette onde. Seulement la vitesse du bateau influerait sur la position qu'il prend par rapport au sommet de l'onde, en telle sorte qu'il se trouverait, relativement, en arrière pour les faibles vitesses, en avant pour les grandes, et sur son sommet quand le temps nécessaire à la formation com plète de l'onde, sous chaque vitesse, devient égal à la moitié de celui que le bateau met à parcourir sa longueur totale.

On peut bien accorder qu'à l'inverse de ce qui a lieu pour les simples rides, dont le mouvement est essentiellement lié à celui du bateau et en subit à peu près toutes les variations, Tonde solitaire tende, en raison de Tinertie et de la grandeur de sa masse, à persévérer d autant plus dans sa forme et son régime actuels, que la vitesse du bateau est plus approchante de celle qui correspond à la moitié de la profondeur du liquide dans le canal; mais il est, je le répèle, impossible d'admettre avec M. Russell, qu'elle ne se forme et ne se maintienne que

SOUS celle viiesse ; el, jusqu'à ce que de nouvelles expériences aienl prononcé d*une manière plus décisive encore, il ne sera pas permis d'adopler, sans une prudenie réserve, loules les conséquences que cel habile ingénieur s'esicruaulorisé à tirer de sa loi expérimentale, dans la Section IX de son Mémoire, pour rétablissement de la navigation sur bateaux rapides.

398. Observations diverses sur les phénomènes qui accompagnent le mouvement des bateaux isolés ou marchant en convoi, — Dans ce qui précède, nous n'avons point insisté sur les mouvements singuliers qui sp produisent à Tarrière des bateaux rapides, par suite de la rencontre, en sens contraire, des courants latéraux avec celui du sillage ; ni sur la dépression extraordinaire observée lors des grandes vitesses, et par suite de laquelle le lit du canal a souvent été mis à découvert; ni sur les vagues aiguës et écumantes qui accompagnent alors la marche du bateau, en menaçant de l'engloutir aussitôt qu'il s'arrête, etc.; tous ces phénomènes, bien qu'intéressants en eux-mêmes et étroitement liés à celui de la résistance du fluide, n'en sont néanmoins que les effets, la conséquence nécessaires, et Ton en prendra une connaissance suffisante en consultant \es/ig. 60, 61 et 66, PL III, empruntées au Mémoire de M. J. Russell.

Seulement, à l'égard du mouvement de transport des rides et des diverses ondes, nous croyons devoir faire remarquer, en faveur de quelques-uns de nos lecteurs, que ce transport n'est qu'apparent, une pure illusion, analogue à celle qui est produite par les ondulations d'une longue chaîne ou corde trèsflexible, ébranlée vivement et transversalement à l'une de ses extrémités, ou à celle que présente la surface d'un champ de blé dont les épis sont périodiquement agités, balancés par le vent; c'esl-à-dire qu'il réside ici, essentiellement, dans une osclllalion simple, accomplie par les molécules de la surface de l'eau, suivant des directions sensiblement verticales, et qui, pour la grande onde des bateaux rapides, ne se produit qu'une seule fois, dans chaque section transversale du canal, et disparaît sans retour.

D'un autre coté, tous les faits précédents exposés, concernent spécialement le cas d'un corps soumis isolément à l'action

DES RÉSISTANCES. 6l3

d'un milieu; mais les phénomènes de mouvemenl et d'inlensité de la résistance éprouvent des modifications notables, par suile de la présence de plusieurs corps. Quand, par exen>ple, des bateaux naviguent en convoi, l'expérience apprend qu'il y a de l'avantage à les placer à la file les uns des autres, les plus gros en avant, parce que les derniers cheminant dans la route de sillage, dans le courant postérieur, déterminé par le premier, éprouvent nécessairement une moindre résistance relative que celui-ci ou que s'ils étaient isolés; mais, comme le remarque fort bien Dubuat {Principes d* Hydraulique , t. II, n** 585), il peut arriver, quand le canal est étroit et peu profond, que les derniers bateaux manquent d'eau, tandis que les. bermes en amont, seraient inondées à cause du remou et de l'obstacle que le frottement, sur une aussi grande longueur, apporterait au prompt écoulement de l'eau, de l'avant vers l'arrière. 11 est d'ailleurs à regretter que l'expérience n'ait point encore appris la loi de la diminution de la résistance dans des cas pareils.

399. Influence de la proximité et de la disposition des corps sur Vintensité de leur résistance. — Dubuat avait supposé que quand deux ou un plus grand nombre de surfaces minces telles que celles des voiles de navire, se trouvaient situées dans un même plan, avec de légers intervalles entre elles, la résistance de l'ensemble devait en être sensiblement augmentée, à cause de la difficulté que le fluide, supposé indéfini, éprouvait à s'échapper parles bords de chaque surface; mais les expériences de M. Thibault, déjà citées au n" 391, n'ont point confirmé positivement cet aperçu : la résistance semblait diminuer constamment avec l'intervalle des surfaces, formées ici de rectangles de mêmes hauteurs, et dont les bases inégales étaient rangées sur une même droite. Il n'en paraît pas moins naturel de penser qu'un plan unique, percé de diverses ouvertures, doit éprouver une diminution de pression, proportionnellement moindre que l'étendue des vides qui s'y trouvent pratiqués.

Lorsque deux surfaces ou corps quelconques égaux, se trouvent placés, l'un derrière l'autre, dans la direction de leur mouvemenl commun ou de celle du fluide, la résistance totale en est certainement amoindrie, mais pas autant qu'on pourrait

le supposer au premier aperçu. Les expériences de M. Thibaull (Ouvrage cité, p. 66 et 71), prouvent que, pour deux carrés minces, égaux, en carton, placés à une dislance égale à leurs côtés parallèles et de manière à se recouvrir, à s'abriter exactement, la résistance directe ou perpendiculaire est environ 1,7 fois celle d'un seul plan isolé. Cette proportion allait constamment en augmentant, à mesure que la surface postérieure, placée toujours parallèlement, à la même distancé de la première, mais latéralement à Taxe du mouvement, offrait des portions de plus en plus fortes de sa surface, démasquées par rapport à celle de Taulre; mais, chose remarquable, la résistance éprouvait un premier maximum représenté par le nombre 1,95, quand le plan postérieur se trouvait découvert de 0,4 environ de sa surface, après quoi elle diminuait à mesure que cette fraction augmentait, jusqu'à se réduire au chiffre 1,84, quand elle devenait 0,9 : terme passé lequel la somme des résistances allait de nouveau en croissant, pour atteindre le chiffre représentatif 2,00, correspondant au cas de l'isolement complet des deux plans.

On sent toute l'importance de pareils résultats, pour les questions qui se rattachent à la voilure des vaisseaux ou des ailes de moulins à vent, et c'est par des motifs semblables que nous appellerons l'attention du lecteur sur la diminution de résistance qu'éprouvent, de la part de l'air, les voitures ou wagons qui marchent en convoi, sur les chjemins de fer, à des distances fort rapprochées entre elles. D'après le résultat d'expériences entreprises en Angleterre, par M. de Pambour (*), celte diminution, sauf pour la voiture placée en tête de toutes les autres, serait moyennement équivalente aux f de la résistance qui aurait lieu sur la section transversale de chacune d'elles, considérée comme un plan mince entièrement isolé. Mais ces expériences, dans lesquelles on a beaucoup exagéré l'influence de la résistance de l'air, aux dépens de celles des frottements ordinaires, n'offrent point une appréciation exemple de toute chance d'incertitudej et, en réduisant convenablement la part qui doit être attribuée à celte influence, le rapport de

(*) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. IX, p. 212 (1839).

DBS RÉSISTANCES. 6l5

la résistance des wagons postérieurs au wagon de la tête, a été trouvé beaucoup plus grand, conformément au résultat cidessus des expériences de M. Thibault.

RÉSULTATS DE l'kXPÉRIENCE CONCERNANT LA RÉSISTANCE

DE l'air et de l'eau.

Les considérations générales, exposées dans ce qui précède, nous ont appris à distinguer le cas où le mouvement du corps est uniforme de celui où il est varié, celui où il est circulaire du cas où il est simplement rectiligne et parallèle; enfin elles avertissent que la résistance des corps est, à vitesses et à projections d'aires égales A, sur un plan perpendiculaire à la di-. rection du mouvement, susceptible de varier avec la longueur, la forme de ces corps, et suivant qu'ils sont entièrement plongés ou simplement flottants à la surface des liquides, etc.

Ces circonstances nous obligent à subdiviser, en de nom- ^ breux paragraphes, les données fournies par le résultat des expériences connues; mais on verra que, malgré les efforts de beaucoup d'observateurs habiles, ces données, par les contradictions et les divergences qu'elles offrent, sont encore loin de présenter un ensemble satisfaisant, même sous le point de vue des applications pratiques. Peut-être est-il peu nécessaire d'ailleurs de faire observer que les résistances dont il s'agit ne comprennent nullement la perte de poids que les corps éprouvent toujours (4.1) de la part des milieux dans lesquels ils sont plongés, et qui provient, comme on l'a vu (4-1, Note), de ce que le corps est poussé, de bas en haut, par une force totale égale au poids du volume de fluide qu'il déplace à l'état de repos. Nous verrons bientôt comment cette force influe pour modifier le mouvement dans le sens vertical; mais, pour le moment, il est inutile de s'en occuper, attendu que les divers expérimentateurs y ont eu égard dans les calculs, pour en ramener, quand cela était nécessaire, les^ résultats à ceux qui, par exemple, concernent le mouvement horizontal où la force dont il s'agit ne peut modifier sensiblement la résistance. Généralement aussi, on devra supposer, à moins d'un avertissement contraire, que cette résistance se rapporte à un mouvement parfaitement uniforme.

Plans minces mus circulai rement, volants et roues à ailettes.

Nous commençons par exposer le résiillal des expériences relatives au mouvement circulaire, parce qu'il a été le mieux étudié, et qu'il fournit des indications précieuses pour combler les lacunes que laissent encore les expériences relatives au mouvement recliligne el. parallèle.

400. Résistance directe des plans mus circulai rement dans un fluide en repos, — D'après les anciennes expériences de Borda (*), qui a opéré sur des plans mobiles autour d'un axe vertical situé à une distance de a", 20 environ du centre de ces surfaces, et dont la vitesse uniforme, dans l'air, n'a pas excédé 3 à 4 mètres par seconde, la résistance pourrait être sensible-

ment représentée parla formule R = kpX — =/r/?AH (382);

^ mais le coefficient k serait susceptible de varier avec l'étendue de la surface A, supposée dirigée perpendiculairement au sens du mouvement ou suivant l'axe de rotation, et l'on aurait pour

mq

A = 0,012 environ ^==1,39

Ces résultats présentent quelques incertitudes, parce qu'on n'y a pas tenu compte, d'une manière exacte, des changements de densité de l'air à chaque expérience, non* plus que des résistances ou frottements inhérents à la nature de l'appareil, et qui croissaient nécessairement avec l'intensité des efforts et des vitesses auxquels il était soumis dans chaque cas.

Dans d'autres expériences, faites au moyen d'un appareil à rotation et à contre-poids, imaginé par Robins et dont le volant avait, à peu près, i'",36 de rayon, Hutlon a trouvé (**), pour

raq

A = 0^01 1 environ /r = i ,24

(*) Mémoires de V Académie des Sciences de 1763.

(**) Xoiii'elles expériences d'Artillerie, traduction de O. Terqiiem, p. 117 et suivantes

nombres un peu plus faibles que leurs correspondants ci-dessus, parce que, dans la méthode expérimentale de Robins, on défalque, en l'exagérant un peu, Tinfluence des résistances étrangères.

Ce sont ces résultats particuliers, concernant le mouvement circulaire, et quelques autres dont il sera bientôt parlé, qui avaient fait supposer généralement que la résistance dés surfaces planes croissait, même dans le mouvement rectiligne, en plus grand rapport que leur étendue; principe qui n'offre en soi rien d'absurde, puisque des plans ou palettes minces ne sont pas des corps semblables, mais que les expériences positives de M. Thibault ne permettent plus d'admettre dans sa généralité.

Suivant ces expériences (*), faites sur des carrés en carton mince, placés à l'extrémité d'un volant de i",37 de rayon, les vitesses étant comprises entre o",5 et ii mètres par seconde, on aurait moyennement pour

mq

A = o , 026 h = ij 525

A=:o,io3 /r = 1,784

La résistance, pour une même surface plane, croissait un peu plus rapidement que le carré de la vitesse, comme Hutton l'avait aussi remarqué dans ses expériences; mais cet accroissement était tout à fait négligeable pour des vitesses au-dessous de 8 mètres par seconde. L'Auteur ayant d'ailleurs tenu un compte suffisamment exact de la densité de lair et des résistances particulières de la machine, on ne peut mettre en doute l'accroissement progressif de la résistance avec l'étendue des surfaces, qui a été nié par quelques personnes, même pour le cas du mouvement circulaire. Néanmoins il est difficile de s'expliquer pourquoi les valeurs de /r, obtenues par M. Thibault, sont comparativement aussi jgrandes, par rapport à celles de Hutton et même de Borda.

401. Données particulières i*elatives à V influence du mouvement circulaire, — Pour mettre cette influence dans tout son

(*) Recherches expérimentales sur la résistance de l'air^ p. iij Ga, 128 et suivantes.

6l8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE. .

jour, M. Thibault a fait mouvoir, dans des circonstances identiques et sous l'action d'un même contre-poids, trois plans en carton mince, de o"^,io3o4 de surface chacun : le premier était un carré, et les deux autres des rectangles égaux, mais dont le long côté, double de l'autre, fut alternativement dirigé dans le sens du rayon du volant et dans le sens perpendiculaire, de manière que les centres se trouvassent, pour les trois cas, situés à la même dislance, i"*,37, de Taxe de rotation. Il a ainsi obtenu : pour

Le carré ... 1 /r =^ i , 784

Le rectangle dans le sens du rayon /r = 1,900

Le rectangle dans le sens perpendiculaire. . Ar = 1,677

Hutton, auquel on doit des expériences analogues (p. 118 et 119 de rOuvrage cité), sur l'influence de la position d'un rectangle dont la base était également double de la hauteur, n'a point remarqué cette influence; mais, comme il a opéré à des jours différents sans tenir compte, dans les calculs, des circonstances atmosphériques, on ne saurait accorder le même degré de confiance à ses résultats, contre lesquels s'élève d'ailleurs la singulière coïncidence même d'une durée de I seconde, observée dans les deux cas, pour une révolution entière du volant.

Enfin M. Thibault ayant fait mouvoir, sous un même contrepoids, trois carrés minces de o™, 323, o™, 227 et o'",i6i de côté^ aux distances respectives de Taxe : i"',37o, o"',966 et o™,685, proportionnelles à ces côtés, les résistances, sous une même vitesse, ont été trouvées sensiblement égales entre elles; résultat d'où il est permis d'inférer, conformément à l'opinion de Dubuat, que, si le mouvement circulaire n'est pas propre à faire connaître la grandeur absolue de la résistance des surfaces, il peut, du moins, servir à en donner, les valeurs comparatives, quand étant semblables et semblablemenl dirigées, ces surfaces sont, en outre, placées à des distances de l'axe de rotation, proportionnelles à leurs côtés ou dimensions homologues, circonstances pour lesquelles les valeurs de k deviendraient ainsi, à peu près, indépendantes de l'aire A, de ces surfaces.

DBS RÉSISTANCES. 619

Si ce prirfcipe devait être admis dans sa généralité ou pour des surfaces situées à des dislances quelconques de Taxe de rotation, on en conclurait que, A' étant l'aire d'un plan mince choquant perpendiculairement la masse fluide, à une distance /' de Taxe de rotation, sa résistance, sous une vitesse donnée et pour l'unité de surface, ou la valeur du coefficient k' à lui appliquer, serait la même que celle d'un autre plan mince, semblable et semblablement placé, ayant pour aire

A = A' T7^9 et dont le centre serait situé à la dislance /, de ce

même axe; ce qui permettrait de calculer le coefficient A', au moyen des valeurs de k rapportées ci-dessus, si Ton prenait pour / les longueurs relatives à chaque expérience (*).

Les divers résultats qui précèdent ne concernent d'ailleurs que la résistance de l'air, mais l'ensemble des faits d'expériences connues montre qu'ils peuvent être appliqués, sans erreur sensible, à la résistance de l'eau, à cela près de la densité/> (381), qui prend une tout autre valeur.

402. Résistance oblique des plans minces mus circulai rement dans l'air et dans l'eau. — Quand un plan MN ( PL III, Jig, 67 ) fait continuellement, avec la direction AB de son mouvement circulaire, l'angle aigu BAN, la résistance, estimée ou mesurée toujours dans le sens AB, de ce mouvement, c'est-à-dire perpendiculairement à l'extrémité du bras du volant qui imprime la vitesse circulaire au plan, cette résistance diminue d'autant

( * ) D'après M. le colonel Duchcmin, on aurait généralement pour comparer la résistance directe R', relative au mouvement circulaire d'un plan mince de surface A, dont le centre est à la distance /, de l'axe, à celle R, du même plan, mû avec la même vitesse dans une direction rectiligne également perpendiculaire à sa surface, la formule empirique

dans laquelle A représente la valeur i ,a5/|, que M. Duchemin attribue (407) au coefficient relatif à cette dernière résistance, A' celui qu'on veut calculer, et s la distance du centre de gravité de la surface A, à celui de la moitié de cette surface, située du côté de l'axe de rotation. 11 est facile d'apercevoir que cette formule, déduite, par l'Auteur, de considérations relatives à l'influence de la force centrifuge (391), satisfait aux indications fournies par l'expérience.

plus que Tangle BAN esl plus pelil, ou que la prôjeciîon CD, de la surface résistante, sur un plan perpendiculaire à AB, devient elle-même moindre; mais elle ne diminue pas dans le rapport exact de CD à MN, ou du cosinus (3ik, p, 892) de l'angle formé par ces lignes, dont la valeur esl, comme on sait, égale au sinus du complément BAN, de cet angle à 90 degrés, c'està-dire au sinus de Vangle d'incidence du fluide sur le plan.

Lorsque le mouvement est purement rectiligne et parallèle, la résistance ne dépend évidemment, en aucune manière, de la position que peut prendre le plan MN, en formant, tout autour de la droite AB, des angles égaux à MAN; mais il paraît, d'après les expériences de M. Thibault, qu'il n'en est point ainsi dans le cas d'un mouvement circulaire, et que, notamment, celte résistance, quand le plan MN est dirigé suivant le rayon du volant passant par son centre de figure, esl très-différente de celle qui a lieu quand ce plan renferme la parallèle à l'axe de rotation, menée également par ce centre, auquel cas il est nécessaire encore dé distinguer la double manière dont le plan peut recevoir l'action de l'air ambiant, selon que sa face antérieure se trouve tournée en dedans^ \ers l'axe, ou en dehors^ dans le sens opposé à cet axe. Les considérations générales du n**.391, quoique très-imparfaites, peuvent servir à faire sentir, jusqu'à un certain point, Tinfluence de ces positions respectives sur l'iniensilé de la résistance, et Ton sent très-bien aussi que les positions symétriques que peut occuper, dans le premier cas, le plan MN, par rapport à Taxe du volant, ne sauraient, en aucune manière, modifier celle même iniensilé.

Yince (*) et Hullon (**) qui, de leur côté, avaient exéculé, dès 1778 et 1788, des expériences sur les résistances obliques de l'eau el de lair, au moyen de volants à axes verticaux, n'avaient pas songé à élablir ces disiinciions, el s'étaient bornés à considérer le cas où railetie esl dans le prolongement du bras ou rayon du volant. On trouvera les résultais de ces nombreuses expériences, rapportés dans le tableau suivant, aussi bien que ceux obtenus par M. Thibault, dans les trois

(*) Transacùons p\ilosophiques de la Société jojaîe de Londres ; 177B. (**) Nouvelles expériences d'y4rtilleriey p. U; et suivantes.

cas distincts qui viennent d'êlre mentionnés, et dont le dernier est indiqué sous le nom de résistance latérale, les deux autres l'étant respectivement sous ceux de résistance extérieure et intérieure.