U- ÎL V
en vertu de laquelle le mouvement retardé de la masse totale M -f- M' a lieu suivant les lois ordinaires (382), et d'où résulte, d'ailleurs, une perte de force vive initiale mesurée (161) par l'expression
,Mv;.
Ainsi, par exemple, le volume du liquide entraîné étant (380) les o,6 environ de celui du projectile, et la densité de ce dernier étant supposée (35) 7,2 fois environ celle de l'eau, on aura M : M':; 7,220,6 X i et partant
M'= ^ M = — M, U = iî V, = 0,9a V„ — Uy\ = ~ VMJ,
• de sorte que laf perte de force vive serait le yî de la force vive initiale du projectile, et la vitesse qu'il conserve avec la proue fluide les J-j de celle qu'il possédait avant le choc. Dans la réalité, la perte de vitesse et de force vive doivent être pjus grandes, à cause de la- réaction des masses environnantes et du rejaillissement brusque du liquide, qui aurait lieu, en sens contraire du mouvement, dans le cas où le projectile serait introduit dans le milieu, normalement à sa surface libre ou de niveau.
Ces dernières expériences ont, de plus, donné lieu à diverses remarques fort curieuses sur la nature des mouvements excités, soit à la surface, soit à l'intérieur du milieu, dont Tincompressibilité presque parfaite a, ici, occasionné des effets de réaction très-puissants, sur les parois solides et libres du bassin. En ce qui concerne particulièrement les effets subis par les projectiles, les Auteurs ont trouvé qu'à la vitesse de 3oo à 4oo mètres, par seconde, pour les obus creux de 12, et à celle de 25o mètres environ pour les obus de 6 pouces, ils étaient presque tous brisés dans leur choc contre le liquide. £nûn ces expériences ont montré clairement Tinflueiice de la masse liquide qui accompagne les projectiles dans leur mouvement, ou plutôt celle du courant postérieur qui constitue leur sillage : ce courant les a entraînés bien au delà de la position qu'ils eussent naturellement atteinte, et, parfois, il les faisait dévier latéralement et dans une direction presque perpendiculaire à celle de la vitesse initiale, vers la fin de leur course.
Lois de la résistance de Vair à de grandes vitesses.
428. Recherches de Robins et de Hutton. — Les résultats jusqu'ici exposés pour Taîr, ne concernent que de médiocres vitesses, comprises depuis i jusqu'à 7 ou 8 mètres, par seconde; mais nous avons averti (389) que la loi de la résistance changeait, d'une manière sensible, pour des vitesses Beaucoup plus grandes, telles que celles des projectiles sphériques de l'artillerie. Robins et, surtout, son continuateur, Hutton ont entrepris des expériences suivies dans la vue de découvrir cette loi. D'après ce dernier Auteur, les valeurs du coefficient k de la formule
R=:A'/;AH = /r/?A— , •seraient données approximativement, par cette Table :
5oo
Coo
Hutton a aussi essayé de représenter le résultai de ses expériences par une formule empirique, mais cette formule, de même que les nombres ci-tiessus, a été obtenue à Taide de méthodes d'interpolation qui laissent beaucoup à désirer, et dont les résultais ne s'accordent pas exactement avec les effets nalurels, surtout lors des faibles et des grandes vitesses. Pour celles-ci, comme J'a remarqué M. Piobert, le coefficient k a principalement été déterminé par les plus faibles des résultais de l'expérience et non par leur moyenne, de sorte que Texislence du maximum de k n'est rien moins que démontrée. Quant aux petites vitesses, on peut juger, par ce qui précède (426), que les valeurs de k, indiquées au lableau ci-dessus, par cela même qu'elles ont été obtenues au moye« d une machine de rotation, sont sensiblement trop fortes quand il s'agit du mouvement rectiligne. Enfm ces données ne mettenl point en mesure de tenir compte de l'influente qui, d'après les expériences assez peu certaines de Hutton (426), pourrait être du^e à l'agrandissement du diamètre des projectiles.
Sous ces différents points de vue, et pour l'avantage des personnes qui s'occupent de balistique, nous croyons utile de mentionner les résultats des recherches spéciales entreprises par MM. Piobert et Duchemin sur cette matière, résultats qui se trouvent consignés dans les Mémoires qu'ils ont présentés au concours de i836, pour le grand Prix de Mathématiques de TAca'démie des Sciences.
429. Recherches de M, Piobert. — La discussion approndie et comparative des résultats fournis directement par les expériences de Robins et de Hutton, sur les projectiles d'un petit calibre, lancés dans l'air à de grandes vitesses, et par celles de Newton, Désaguilliers, Borda, sur les sphères d'un plus grand diamètre, mues circulairement à de petites vitesses, cette discussion a conduit M. Piobert à représenter leur ensemble avec une approximation très-suffisante pour les applications pratiques, parla formule
R =z o,oo3A -h A(i -h 0,0017V) V Vo,oi2A -{- 0,00121,
sous la température et la pression atmosphérique ordinaires ou moyennes, pour lesquelles la densité p de l'air est sup-
posée de —^ X i ooo^«, ou i^S 1 76 environ, V représentant toujours la vitesse par seconde, et A la surface d'un grand cercle du projeclile, évaluées en mètres linéaires ou carrés.
Le premier terme, le terme indépendant de la vitesse dans celle formule, proviendrait essentiellemenl du frottement ou de Tadhérence du mobile et de l^air; il varierait essentiellement avec la nature de la substance et le d.egré de poli de ce
mobile; le facteur v/0,0 12X4-0,001-21, également indépendant de la vitesse, serait relatif à l'accroissement de la résistance, par rapport à retendue des surfaces frottantes (4-26); enfin le facteur «n- 0,0017 V devrait, conformément à ce qui a été exposé au n** 389, provenir spécialement de l'accroissement de densité subi par le fluide, en avant du boulet.
Nous ne nous permettrons qu'une seule remarque sur cette formule; c'est qu'en y faisant entrer la considération des résultats de Borda et de Hutton, relatifs à la résistance dans les mouvements circulaires, il est à craindre qu'elle n'attribue une influence, tantôt trop grande et tantôt trop faible, aux dimensions transversales des projectiles. L'Auteur, au surplus, a reconnu par lui-même, que cette formule donnait des résultats un peu trop forts pour les plus gros calibres de l'artillerie et les petites vitesses; il pense qu'en attendant la fin des nouvelles expériences entreprises, à Metz, par la Commission du tir des bouches à feu y on pourra s'en servir avantageusement pour les calibres en usage, toutes les fois qu'il s'agira de grandes vitesses initiales.
430. Reclierclies de M, Ducliemin. — Cet officier supérieur, qui n'admet nullement, comme on l'a vu (391), l'influence des dimensions absolues des projectiles, est arrivé, à l'aide de considérations fondées en partie sur le raisonnement, en partie sur les données de l'expérience, à la formule
/ V\ V^ R = /rA/7 (^i -H ^j — = o,5i2Ap
applicable également aux projectiles sphériques de l'artillerie, et dans laquelle /r, A, /?, V ont les significations que nous leur avons constamment attribuées, et V' = 4'^"'>34 représente la vitesse de rentrée de l'air dans le vide absolu, pour les circon-
Stances atmosphériques ordinaires (Note du n" 389). Mais ce
résultat, dans lequel le facteuri i + ^ J porte principalement
sur la densité p de l'air, n'aurait lieu que pour les vitesses V inférieures à V; et, passé ce terme, il conviendrait de remplacer ce facteur variable par le nombre constant 2, attendu que M. Duchemin suppose, avec Robins, Euler, Hutton et Lombard, que la densité du fluide cesse elk-même de croître à l'instant dont il s'agit. Les résultats ci-dessus de Hutton semblent indil|uer, en effet, qu'aux environs de cette même vitesse Y' = 4i6",34, les valeurs du coefficient k atteignent leur limite supérieure; mais, en admettant l'existence de cette limite, qui n'est nullement démontrée comme on l'a vu, il répugne mathématiquement de supposer que les valeurs de k demeurent ensuite constantes au lieu de décroître pour des vitesses de plus en plus grandes, conformément aux hypothèses de Hutton; il est évident que la continuité ne peut être ainsi rompue, et que, sous ce point de vue tout au moins, l'hypothèse de M. Duchemin demanderait à être soumise à des vérifications ultérieures, aussi bien que la formule ci-dessus de M. Piobert, où le facteur (i-f- 0,0017 V) est censé croître indéfiniment avec la vitesse du projectile. Les expériences délicates et précises commencées depuis plusieurs années, à Metz, sous la direction spéciale de ce savant officier et de M. Morin, expériences continuées avec la même persévérance et le même succès par M. Didion, aidé principalement de MM. Ferronnier, Boileau et Virlet, ces expériences viendront bientôt, sans doute, dissiper toutes les incertitudes relatives à la véritable loi de la résistance des projectiles dans les mouvements rapides (*).
(*) M. le Général Didion (Traité de Balistique; Paris, 1860), en interpolant les résultats obtenus à Metz par la Commission des principes du tir (1839 à 1840), a été conduit à la formule suivante, pour des vitesses comprises entre 3oo et 5oo mètres :
R = Ax 0,027 V'(i H- 0,0023 V).
M. Hélie (Traité de Balistique expérimentale) propose les deux formes suivantes :
et
Questions concernant la résistance et le mouvement uniformes des corps dans Veau et dans Vair,
431. Préparation de la formule ^ calcul de la densité des gaz. — Les applicalions les plus ordinaires des règles du n° 382 concernent Tair el Teau; il est donc nécessaire de déterminer d'abord la valeur de la densité p qui leur correspond. Nous avons vu (34) que, pour Teau, on a sensiblement JE? = 1 Goo''* dans les cas ordinaires; quant au poids du mètre cube d'air, il varie (40) avec la température et la pression barométrique, et il devient nécessaire de le calculer dans chaque cas particulier, comme il suit.
Supposons que la température actuelle de Tair soit de 12 degrés centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre, mesure la tension de cet air, soit de 76 centimètres, CQ qui est, à peu près, la température et la pression moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Suivant la Table du n" 40, la densité ou le poids du mètre cube d'air à zéro de température et 76 centimètres de pression est de i^«, 2991; cherchant donc, d'après la loi de Marioiie (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26), quel volume occuperait cette même quantité d'air à la pression et à la température ci-dessus, nous en conclurons aisément sa densité, son poids sous Tuniié de volume. Supposons d'abord que la pression o™, 76 restant la même, la température s'élève
d'après les résultats, de nouvelles expériences, faites par la Commission du tir (i856 à iSj;), à l'aide de l'appareil électro-balistique, on aurait
R = A xo,oooi/|i6 V.
Des recherches expérimentales, entreprises de 1859 à 18G1 par la Commission de la Marine, sur des boulets allongés, ont conduit à la formule R = AKV*, A représentant la section de la partie cylindrique; le coefficient K varie un peu avec la forme du projectile {Traité de Balistique de M. Hélie).
M. Le Roulengé (£r//</e5 de Balistique eapérimentale ; Bruxelles, i8<>8) propose la formule
R = Axo,oooo6'^68V».
M. Magnus (Berlin, i832), M. Rutzky (Vienne, 1861), et le Général russe Magesski {Revue technologique militaire; 1865) ont étudié l'influence de la résistance de l'air sur la déviation des projectiles. (K.)
DES BÉSISTÀNGES. 667
à 12 degrés, le volume, à zéro, deviendra (26), puisqu*ici le gaz est libre de se détendre sous celle pression,
i°»<^-f- 12 X o«»%oo375 r= i"*^-h o"So45 = i«»%o45.
Cherchanl, de même, ce que ce dernier volume devienl à la pression de o"", 75, on aura, d'après la première des lois cilées, la proporlion
Mais ce volume d*air pèse 1^^,2991; donc i mètre cube
d'air pareil pèsera — '— ^-=21^^,116'], el par conséquenl,
c'esl là aussi la densilé de Tair à la lempéralure de 12 degrés el sous une pression barométrique de 76 ceniiaièlres; celle de l'eau élanl 1000 kilogrammes, on voil que la première est environ les ^\\\\^ 1=10,001227, ou -5— de la seconde, tandis qu'à zéro et sous 76 centimèlres de pression elle en est les -^^^^^ = ■5— à très-peu près, d'après le résullat des pesées
rigoureuses de MM. Biol et Arago.
La plupart des Auteurs qui se soni occupés de balistique^ ont pris la densité moyenne de l'air égale à jfj de celle de l'eau, comme on peut le voir par l'exemple du n® 429; ce qui suppose la température un peu plus forte et la tension barométrique un peu moindre que 12 degrés et 76 centimètres.
En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de l'air, et h la hauteur barométrique, en centimètres, qui répond à sa tension, on trouvera, en raisonnant absolument comme on vient de le faire dans un cas particulier, que la densilé p, ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité
formule qui donnera de suite celte densilé sans passer par la série des raisonnements ci-dessus, et qui permettra aussi de .calculer la densilé d'un autre gaz quelconque, en y rempla-
çant le poids i^^yiggi de Tair à zéro ei 75 cenlimèlres de pression, par celui qui, dans la Table du n° 40, répond au gaz dont il s'agit. 11 est d'ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 5), que leur quantité est supposée rester la même (16); c'est-à-dire, que cette quantité n'est ni augmentée par la vaporisation d'une nouvelle portion de liquide, ni diminuée parla condensation d'une portion même de la vapeur.
D'après ces données, la formule générale du n® 382, qui sert à calculer la résistance uniforme des fluides, deviendra pour l'eau ordinaire, V étant toujours la vitesse relative et H la hauteur qui correspond,
R = 1 000 /r AH = ^^^^-Tjô /^ AV^ = 5i A-AV%
à très- peu près. Pour l'air considéré dans les circonstances atmosphériques ci-dessus, c'est-à-dire à 12 degrés centigrades de température et 75 centimètres de pression barométrique, on aura
R = 1, 2267 A^AH = -^-^^A *• AV^ = o,o6253A-AV» ; ^ 19,6176
ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.
432. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières à grande section, — Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est à peu près telle que l'indique la Jig, 74, PI- III j en plan, coupe et élévation. Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de Teau ou de \di flottaison, soit de 3 mètres; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau, ou le tirant d'eau, soit de 0^,70; Taire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que 3'" X o"*, 7 r= 2™*i, 10; soit i^'^ijôo la valeur exacte de celle aire, <:|u'il sera toujours facile de calculer, dans chaque cas (190) rigoureusement. Les bateaux dont il s'agit ont une longueur qui surpasse notablement six fois leur plus grande largeur; s'ils étaient sans proue ni poupe, ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe, la valeur du multiplicateur k serait (415) au plus-
1,10, attendu qu*îci le bateau est censé se mouvoir dans un fluide en repos. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord (416) diminuer ce nombre de tô de sa valeur, c'est-àdire de o,ii, ce qui donne A* = 0,99. En outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées, par des arcs de cercle, avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d'environ - d'angle droit, raccordé pareillement avec le fond; on peut donc croire que la résistance ou la valeur de k se trouve réduite (ibid.), au moins à j de 0,99 ou à o,33, nombre qui paraîtra, en effet, bien fort, si on le compare à celui (422) que M. Morin a obtenu pour des bateaux d'une forme analogue. Prenant néanmoins A* = o , 33, pour les bateaux dont il s'agit, la résistance aura ici pour valeur particulière
Ri=ioooXo,35xi°'S6H=528H, ou R=:26,93V»;
le canal étant censé offrir une largeur et une profondeur telles qu'il devienne inutile (4-18) de s'ocuper de l'influence de la proximité de ses parois par rapport à celles du bateau.
Supposant donc que celui-ci se meuve dans une eau tranquille, avec la vitesse uniforme de i mèlre, par seconde, on aura, parle calcul direct, ici très-facile, V^= 1™ X i™ =i'"*i et R = 26^8,93 : par la Table des hauteurs dues aux vitesses, placée à la fin de ce volume, on trouverait H = o",o5i, et par conséquent, R=: SaSx o,o5i = 26''»,93; valeur qui coïncide exactement avec la précédente, mais qui aurait pu en différer d'une très-petite fraction, attendu que les coefficients des formules ci-dessus et les nombres de la Table n'offrent que des valeurs purement approximatives.
La quantité de travail que devraient dépenser directement des hommes employés à haler le bateau avec la vitesse uniforme de I mètre, serait donc de26''8,93Xi" = 26''«",93, qui, d'après le tableau de la page 262, ne réclamerait guère moins de quatre hommes si le mouvement devait être continué une journée entière à cette vitesse : à la vitesse de o™,6 seulement qui est celle (205) de l'allure ordinaire des hommes tirant horizontament, la résistance se réduirait à o,36x 26^S 93 = 9^^695, et le travail à o™,6x 9,695 = 5''»"*,82, quantités dont la dernière n'est que le 7 de sa correspondante ci-dessus, et pourrait être facilement donnée par un seul homme.
Ces circonstances auraient lieu, à peu près, dans les canaux intérieurs de la ville de Metz, où la Moselle n'a qu'une vitesse insensible; mais s'il s'agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l'eau atteint t"", 2 par exemple, en faisant toujours avancer régulièrement le bateau, de 1 mètre à chaque seconde, par rapport aux rives, ce bateau étant alors choqué (382) avec une vitesse relative V, de i",2 -M" = 2", 20, la résistance deviendrait 26,93 x( 2,2)' = i3o^«, 34, et la dépense de travail, pendant le même temps, i3o kilogrammètres, en nombre rond, ce qui réclamerait {voyez la Table du n® 305 déjà cité) deux chevaux, au moins, si la marche devait être soutenue de huit à dix heures par jour.
Supposant, au contraire, que le bateau descende le même courant avec la vitesse de i"',2 propre à ce dernier, il n'y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R; mais s'il devait descendre avec une vitesse de 2"^, 2 par seconde, la vitesse relative étant de 2",2 — i",2=:i»', la résistance absolue serait, comme dans le premier cas, égale à 26^^98, tandis que le travail aurait pour valeur 26^«,g3 X 2",2 = 59*'«°', 25, en le supposant directement effectué des rives où le moteur devait prendre la vitesse absolue de 2°*, 2.
La différence de ce résultat avec les précédents, montre bien toute l'influence exercée par la vitesse relative du corps, du fluide et des rives, sur la dépense du travail moteur, qui, dans les hypothèses du n° 382, est généralement exprimée par le produit/?A(V±V')^X V; V étant la vitesse absolue du bateau ou du moteur et V celle du fluide. Ainsi, par exemple, on voit que, même pour une eau stagnante, ou V'=i:o, le travail dont il s'agit, représenté par/?AV% croît ou décroît comme le cube de la vitesse, c'est-à-dire d'une manière bien plus rapide encore que la résistance simple.
433. Remarques concernant V effet utile du transport par bateaux, — Cet effet se déduit aisément de la connaissance du tirant d'eau, que nous avons supposé ici de o™,7 et de celle des dimensions du bateau d'où dépend le volume de l'eau déplacée, et, par suite, la charge totale, qui, d'après le principe d'Archimède, doit être égale au poids de ce volume. Suppo-
sant, par exemple, que, pour le bateau ci-dessus, à forme sensiblement prismatique ou cylindrique, la longueur réduite de la carène, prise du milieu de la partie plongée, soit de 25 mètres, sa section d'eau A, étant d'ailleurs de i"**i,6 environ, le volume du fluide déplacé sera de 25™ x i"''i,6 = 4°"*% et son poids 4© ooo kilogrammes ou 4o tonnes ( 31 ). Supposant, d'un autre côté, que, par un calcul analogue effectué pour le cas où le bateau est déchargé , on ait trouvé, d'après le tirant d'eau que le poids du volume de liquide déplacé soit de 16000 kilogrammes, il en résultera que* la charge utile, le tonnage, sera de 40 — 16 = 24 tonnes ou 24000 kilogrammes, poids qu'il faudrait d'ailleurs (212) multiplier par la distance parcourue pour obtenir l'effet utile ou pratique. Cet effet ne dépend nullement, comme on voit, de la vitesse du transport non plus que de la dépense de travail moteur, qui peut être indéfiniment amoindrie, ainsi qu'on la dit au n® 93, pourvu qu'on réduise convenablement la vitesse relative du bateau et du fluide, et cela, quels que soient d'ailleurs la charge, le tirant d'eau et les dimensions du bateau. Ces données n'exercent, en réalité, d'influence que sur le facteur A, de l'expression de la résistance, et le moteur n'ayant, par hypothèse, à vaincre que l'inertie du fluide et du bateau, il peut toujours produire son effet dans un temps suffisamment long, quelque faible que soit d'ailleurs l'énergie de son action ; mais cela n'aurait plus lieu évidemment si le système se trouvait soumis à des résistances, à des frottements, indépendants de la vitesse du mouvement, comme sembleraient l'indiquer quelques-uns des résultats d'expériences rapportés dans ce Chapitre.
Au surplus, nous avons admis jusqu'à présent que le bateau se mouvait dans un canal à peu près indéfini, en largeur et en profondeur, par rapport à ses dimensions transversales; il nous reste à montrer, par un exemple emprunté à l'excellent Traité d'Hydraulique de M. d'Aubuisson (p. 820), comment on peut tenir compte, dans les calculs, de l'influence respective de ces dimensions.
434. Exemple concernant la navigation sur les canaux étroits. — MM. d'Aubuisson et Maguès ont fait, sur le canal du Midi ou canal de Languedoc, près de Toulouse, des expé-
riences qui lendeni à rectifier, en quelques points, Tapplicalion des formules de Dubuat exposées dans le n® 418.
La positiou du canal dont il s'agit offrait moyennement une section de 26^^1,55; une barque marchande, traînée par deux chevaux, chargée de 108 tonneaux, et dont la section transversale d'immersion, au repos, avait 6"**!, 84 de surface, a parcouru uniformément, avec une vitesse moyenne de o°*,8i7 par seconde, un espace de 3676 mètres; on avait donc (418)
V=o^8i7, Az=6°^i,84, A' = 26«^q, 55, 4' ==3,88.
Cette dernière valeur moindre que 6,46, montre qu'il serait ici nécessaire d'avoir égard à l'influence de la proximité des parois du canal sur l'intensité de la résistance.
Conformément au résultat des expériences de Bossut (415), M. d'Aubuisson prend /r = i,oo pour le coefficient de la résSstance d'un bateau sans proue, mû dans un fluide indéfini; ce qui donne (428) R = 5i A-AV» = 5ix6«»s84(o,8i7)» = 233''« pour la valeur de cette résistance, et, par la première des formules du n® 418,
pour la résistance qu'éprouverait le même bateau, sans proue, s'il était mû dans le canal ci-dessus avec les circonstances indiquées. Enfin, M. d'Aubuisson prend, pour l'introduire dans la dernière des formules du n° 418, q=:o,^^ à cause de la forme obtuse et peu favorable de la proue et do la poupe des bateaux soumis à l'expérience; ce qui lui donne
L'effort moyen exercé par les deux chevaux et mesuré directement à l'aide d'un dynamomètre (60) soumis à d'assez faibles oscillations, cet effort, ramené à la direction du chemin parcouru parle bateau ayant été de 12.0 kilogrammes ou les o, 52 seulement de celui que fournit la formule de Dubuat, M. d'Aubuisson en conclut que celte formule n'est point applicable aux grosses barques marchandes qui naviguent sur le canal de Languedoc, et ce fait lui paraît confirmé par l'observation
DBS RÉSISTANCES. 678
journalière de la marche de ces mêmes bateaux : il pense que l'exagération du résultat donné par la formule, doit principalement porter sur la valeur du facteur o,i83(i — 9) qui y entre, et qu'il propose de porter, en conséquence, à 0,26 pour les bateaux en question; ce qui revient à remplacer le coefficient numérique o,i83 par o,44 environ.
Quant à l'explication d'une aussi énorme différence, elle peut, suivant nous, se trouver dans les faits déjà exposés au n*^ 415, ou, plus spécialement, dans la différence«du mode de halage, dans la difficulté que les bateaux, soumis à l'expérience par Bossut, et qui ont été l'objet des calculs de Dubuat, éprouvaient à céder à l'action des forces qui tendaient à les soulever, etc. Le même motif donne lieu de croire que leS valeurs assignées, par la formule de Dubuat, à la résistance R' (418), sont également exagérées, et peut-être même, si l'on en juge par le résultat {422) des expériences de M. Morin, sur des bateaux d'une forme plus ou moins analogue, devrait-on rejeter une partie de la différence sur l'exagération de la valeur 0,4, attribuée, par M. d'Aubuisson, au rapport q. Quelle que soit, au surplus, l'opinion qu'on adopte, on voit combien il serait utile que de pareilles expériences fussent répétées sur des bateaux de la forme ordinaire, mus alternativement dans un canal à très-petite ou à très-grande section.
435. Exemples concernant les volants à ailettes, — Les tournebroches et les horloges qui reçoivent le mouvement par la descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, de volants à ailettes planes et minces, fixées à l'extrémité de tiges ou de bras montés sur des axes de rotation : ces ailettes, en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui crott rapidement avec la vitesse que leur imprime le poids moteur, par l'intermédiaire de rouages, et elles servent ainsi à régulariser le mouvement ou à empêcher qu'il ne s'accélère indéfiniment, comme cela aurait lieu (113 et suivants), si aucune résistance ne s'opposait à la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages, etc.t était constamment au-dessous de l'action qu'il éprouve de la part de la gravité.
Soit A = o",o5Xo"»,o6 = o"Soo3, l'aire de l'une des pa-
lelles censées perpendiculaires à la direction du chemin qu'elles décrivent circulairement autour de Taxe; on prendra moyennement, d'après les expériences de Borda, de Hutton et de M. Thibault (400), k = 1,4 pour des vitesses comprises depuis zéro jusqu'à 5 mètres par seconde; mais il faudra augmenter ce nombre (428) dans le rapport de 0,60 à 0,64 environ, pour des vitesses comprises depuis 5 jusqu'à 10 mètres; de 0,60 à 0,68 pour des vitesses de 25 à 5o mètres, etc. Supposons, par exemple, le rayon moyen du volant de i pied ou o"',325, ce qui donne o"*,65x 3,1416 = 2™, o4 pour la circonférence décrite par le centre de la palette à chacune des révolutions, dont le nombre observé directement sera, en outre, supposé régulièrement de 1 14 à la minute, ou de 1,9 par seconde; on aura ainsi, à irès-peu près :
et (431)
R = 0,06253 X 1,4 X o°^Soo3x (3,88)' = o^SooSgS,
pour les circonstances atmosphériques ordinaires, résistance en elle-même assez faible, mais qui deviendrait
18 fois plus grande si la vitesse était quadruple ou de i5™,52 par seconde, et qu'il faudrait doubler s'il y avait deux ailettes de même surface, oclupler au moins (400) si, en outre, les dimensions, les côtés de ces ailettes étaient eux-mêmes doublés, etc. Multipliant ensuite ces résultats parles vitesses correspondantes, on obtiendrait les quantités de travail détruites par les résistances dans chaque seconde.
Ainsi , par exemple , à la vitesse de 3™, 88, 2 tours environ par seconde, et pour 2 ailettes de o"**i,oo3 de surface chacune, la résistance étant de o'^SooSgS X 2=10^6^0079, le travail détruit par la résistance serait de o''Soo79 x 3'",88 =::o*'8'",o3o65 dans le même temps. Admettant que le contre-poids qui met en mouvement la machine, décrive uniformément un chemin de o'",o6 par minute ou o'",ooi par seconde, et divisant les o'^8"*,o3o65, obtenus ci-dessus, par cette dernière vitesse, il
viendra 3o*^%65 pour la porlion du conire-poîds(71 ) qui serait employée à vaincre celle seule résistance, dont la valeur devrait, en outre, être augmentée d'une quantité proportionnelle due au frottement des rouages intermédiaires, etc.
Ces résultats suggèrent d'ailleurs plusieurs réflexions qui n'échapperont pas aux esprils attentifs, et sur lesquelles il deviendrait peu nécessaire d'insister. D'un autre côté, il est bon de faire observer que, dans presque tous les mécanismes du genre de celui qui nous occupe, et qui servent de régulateur ou de modérateur, on se réserve, par un dispositif très-simple, la faculté de diminuer la résistance, pour ainsi dire à volonté, en donnant aux ailettes, par rapport à la direction du mouvement, diverses inclinaisons dont la Table du n® 4>02 permettrait de déterminer assez exactement l'influence; mais nous nous dispenserons également d'offrir un exemple d'un pareil calcul qui n'a rien de difficile.
436. Calcul du travail absorbé par la résistance de l'air sur les roues hydrauliques. — Dans le n* 363, nous avons donné une idée de l'influence qui peut être exercée par le seul frottement des tourillons de ces roues ou des volants qui servent à régulariser le mouvement; afin de la comparer à celle qui provient de la résistance de l'air, nous considérerons une roue verticale armée de.So ailettes planes et rectangulaires ayant 3 mètres de longueur dans le sens parallèle, de l'axe, o"»,4 de largeur dans le sens des rayons, et dont le centre est situé à 3 mètres de distance de l'axe; ce qui donne
de circonférence moyenne à la roue, dont le dispositif est censé analogue à celui des roues qu'on rencontre fréquemment dans certaines usines hydrauliques. En supposant que le nombre régulier des révolutions ait été ici trouvé de dix-neuf en trois minutes, la vitesse à la circonférence moyenne dont il s'agit, sera, à très-peu près, de 2 mètres par seconde, et l'on calculera la résistance correspondante de l'air sur la circonférence moyenne décrite par les ailes, au moyen de la deuxième des formules du n" 404, dans laquelle on devra prendre ainsi
V=ï™, n = So, a = 3">Xo'»,4=;i"*'ï,2,
B76 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
ce qui donnera, abstraction faite de la résistance des bras, etc.,
R^zo'^Sioo-f- (0,0068 -h o,ii8x5oX i,2)x4 = ^-8^S45>
pour la résistance rapportée au centre des ailettes planes, et
pour le travail correspondant par seconde, quantité assez faible si on la compare (363) à celle qui pourrait être détruite par le frottement des tourillons d'une roue d'aussi grande dimension, supposée exécutée en fer ou en fonte, mais qui acquerrait une influence prépondérante si la vitesse venait à être doublée, comme il arrive dans quelques cas. En eflfel, la formule dont il s'agit donnerait alors, pour la résistance toujours rapportée à la circonférence moyenne ou du centre des ailes, R = ii3^»,5 environ, ce qui entraîne une perte de travail de II 3^«, 5 X 4™ = 454^*"* = ^ chevaux-vapeur de 75 kilogrammètres par seconde, perte qui se réduirait à un peii moins de la moitié, comme le montre la formule, si la largeur horizontale des ailes était elle-même réduite à cette proportion, et au 7, à peu de chose près, si le nombre des révolutions restant le même, celui des ailes et le diamètre de la roue étaient également réduits de moitié. Cette application démontre suffisamment l'inconvénient attaché à l'agrandissement de la vitesse et des dimensions des roues à ailes planes, inconvénient qui, probablement, n'a pas lieu, à beaucoup près, au même degré pour les roues à aubes cflindriques, emboîtées latéralement dans des couronnes parallèles, et raccordées à peu près tangentiellement avec la circonférence extérieure de ces roues, de manière à éviter le choc direct ou normal contre la convexité ou la concavité des aubes.
437. Divers exemples relatifs aux moteurs animés, etc, — La surface qu'un homme de taille ordinaire présente à l'action du vent, ou l'aire A de sa projection verticale sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, soit qu'il chemine ou qu'il reste en repos, cette surface peut être évalué moyennement à 0,35 X i"',7 = o™*i,6o; mais à cause de l'inclinaison que prend naturellement tout son corps, il conviendrait, sans
doule de la supposer un peu moindre lôrs des courses ou des vents irès-rapides; de plus, celle surface et la résistance seraient sensiblement accrues si ses vêtemenls se trouvaient mal ajustés au corps. Le coefficient A*, de cette résistance, pour un prisme droit d'une faible épaisseur, étant d'au moins lyâTdans le cas de l'immobilité (413) et de 1,2 dans celui du mouvement (414.), on conclura des expériences de Borda, citées au n° 424, et qui concernent les surfaces cylindriques à base circulaire ou elliptique, opposées directement à l'action du vent, que la valeur de k doit différer assez peu de o, 5 X 1,5 = 0,75 pour l'homme en repos, choqué en face par l'air en mouvement, ou deo,5x 1,2 = 0,6 pour l'homme en mouvement dans l'air en repos. La pression ou résistance éprouvée par cet homme serait donc : dans le premier cas,
R = 0,06253 X 0,75 X c^^fjôV = 0,028 V^
et, dans le deuxième,
R:^^Xo,o28V^ = 0,0274V».
A la vitesse de i"*,5 par seconde, qui est celle d'un bon marcheur (214), on voit que cette résistance s'élèverait à 0,0224(1,5)*=: o^«,o5o4, et la dépense de travail moteur, par seconde, à o''»,o5o4 X i"*,5= o^»"*,o756, quantité qui n'est pas le Yï ^6 celle qu'un homme de forcé ordinaire pourrait développer, d'une manière soutenne, en tirant ou poussant horizontalement (205, p. 252), el dont la pietitesse justifie ainsi l'observation du n** 90. Mais, si la vitesse était de 6 mètres par seconde, ce qwi est à peu près la plus grande de celles que puisse s'imprimer un cpureur, d'une manière un peu soutenue, la résistance de l'air s'élèverait à o ,0224 X 6* = 0*^,8064, et le travail par seconde, à 4^**'', 84 environ; ce qui est déjà une fraction considérable du travail que peut développer continuellement un homme même robuste. Aussi l'exemple des courses les plus célèbres démontre-t-il qu'une pareille \itesse pourrait difficilement se prolonger au delà de vingt ou triple secondes.
La vitesse des plus forls ouragans dans notre climat ne peut guère être évaluée au-dessous de 4o mètres par seconde,
et il résulte de la première des formules ci-dessus, que la pression supportée par un homme debout et immobile, qui serait frappé directement par un pareil vent, peut être évaluée à o,o28x(4o)'=44''*>^» effort considérable et auquel cet homme ne résisterait qu'en inclinant fortement son corps en avant, de manière à se dérober en partie à Faction de Tair, tout en faisant intervenir celle qui est due à son poids. Au surplus, on ne pourra être surpris de voir que de pareils ouragans soient capables de renverser des arbres et des maisons, qui offrent ""e si grande surface à Taciion du vénl; car, pour un mur de 4 mètres de haulpur sur 12 mètres de longueur, choqué directement par Tair, avec la vitesse de 4© mètres dont il s'agit, la pression ne serait pas au-dessous (4-06 et 431 ) de
ce mur pouvant être ici considéré, sans trop d'erreur, comme un plan mince entièrement isolé.
Ces différents résultats devant être multipliés par 8i5 environ (431) si Tair se trouvait remplacé par l'eau, on voit quelle énorme pression doivent supporter, dans quelques cas, les
corps exposés aux torrents de ce liquide. Considérant, par exemple, un bloc cubique de marbre de i mètre de côté, posé sur un sol de niveau où il n'est retenu que par son seul frottement, et qui serait choqué par un courant d'eau perpendiculairement à l'une de ses faces, la pression qu'il supporte étant donnée (413 et 431 ) par la formule
Rz=5iXi,46xV=^=:74,46V',^
tandis que celle du frottement peut être représentée (350) par
N étant le poids du bloc diixiinué de la perte qu'il éprouve dans l'eau (41 ), /^ 0.75 le coefficient maximum de son frottement, il arrivera que le bloc sera entraîné par le courant, toutes les fois qu'on aura
75,46V^>o,75N, ou V>o,ioo4v/N.
DES RÉSISTANOES. 679
Supposant, par exemple (35),
N = 2 600*^* — I ooo^« = 1 600*^» ou s/N = 40 ;
on voîl que cela aura lieu pour toute vitesse V, supérieure à 0,1 oo4 >C 4® = 4"'>o2i psir seconde, limite qui, certainement, est souvent atteinte ou surpassée par celle de certains torrents produits par les écluses ou les lames de la mer.
Les chevaux employés à la course ne présentent pas, à Faction directe de Tair, une surface beaucoup plus grande que celle de Thomme, et, comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance qu'ils éprouvent est, au plus, égale à 0,02V*; mais, à cause de Técuyer qui les monte, on peut la supposer de o,o3V^, tout compris; ce qui, à la vitesse de 16 mètres par seconde environ, limite de celle qui est atteinte dans les courses de Newmarket, en Angleterre, et du Champ de Mars à Paris, donne lieu à une résistance de 7^S68, et suppose, de la part de l'animal, en chaque seconde, l'énorme dépense de travail de 122*^»"*, 88, presque double de celle (205) que fournissent les chevaux de roulier ordinaires, lesquels, à la vérité, cheminent pendant huit à dix heures par jour, tandis que c'est à peine si les coursiers les plus fins, les mieux exercés, peuvent soutenir leur allure pendant quatre ou cinq minutes, et renouveler une deuxième fois leur carrière après un certain temps de repos.
Nous avons donc eu raison de dire (90 et IW) que le travail extérieur dont les animaux sont susceptibles, quand ils s'impriment la plus grande vitesse possible, doit être négligé visà-vis de celui qu'ils développeraienl si la vitesse était moindre. Quand on réfléchit, en outre, à l'énorme influence que peuvent ici exercer, sur ces vitesses excessives, la délicatesse, je dirais presque la débilité des formes de l'animal, son ajustement et celui du maigre écuyer ou du léger groom qui le monte, enfin l'adresse de celui-ci à se dérober à l'action de l'air, on demeurera convaincu que ces prix, ces encouragements accordés à un exercice où l'art, objet d'un vain luxe, triomphe bien plus qu'une vigoureuse nature, on demeurera, dis-je, convaincu que de pareilles joules, de pareils amusements sont bien peu propres à perfectionner la face chevaline dans nos contrées, où le Gouvernement devrait, avant tout,
68o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
tenir à se procurer des animaux assez robustes pour soutenir les plus rudes fatigues de la guerre, sous une charge qui dépasse quelquefois 120 kilogrammes.
438. Calcul de la résistance de l'air contre les boulets de canon, — Pour dernier exemple et afin de donner une idée précise de la progression que suit la résistance opposée par lair aux mouvements plus ou moins rapides des corps, nous considérerons un boulet "sphérique de 24, en fer fondu, dont le diamètre rfest très-approximativement de o"',i48, la surface de projection A ou d'un grand cercle,
j 7:d'=zj X 3,i4i59X (o™,48)» = 0^1,0172, le volume
^ Axrf= ^ X o'"Soi72Xo'»,i48 = o"%ooi697,
et le poids de
7o65^« X 0"*% 00 1697 = i2''8 environ;
la densité de la fonte étant ici, d'après le résultat moyen d'un grand nombre de pesées directes, de 7065 kilogrammes seulement (*). D'après ces données, la résistance du boulet, dans l'air, à 12 degrés de température et 76 centimètres de pression (4-31), a pour valeur générale
R = 0,06253 X 0^*1,0172 X /rV' = G, 0010755 yi'V%
où l'on doit attribuer à k les différentes valeurs indiquées par l'expérience, et que nous supposerons fournies par la Table du n° 428, quoiqu'il soit bien démontré que ces valeurs sont un peu trop fortes pour les vitesses au-dessous de 20 mètres par seconde, et trop faibles pour celles au-dessous de 5oo mètres.
Supposant, par exemple, la vitesse de i mètre par seconde,
(*) D'après une Note qui nous a été transmise par M. Piobert, la densité des boulets anglais serait supérieure, ou de 7228 kilogrammes environ le mètre cube; ce qui doit tenir, en partie, au mode de coulage et de fabrication.
on aura
A* = 0,59 el R = o, 001 0755 X 0,59 X i^i=o^», 000635
seulement. Pour V = 3"", on aurait
A'i=o,6i, R = 0,0010755 X 0,61 X 9 = o^«,oo59,
soit o^«,oo6 approximativement. Continuant ainsi , en évaluant, s'il le faut, par les parties proportionnelles y les valeurs de k qui répondent à des vitesses intermédiaires entre celles de la Table du n° 428, on pourra former cette nouvelle Table :
Vitesses.
Résistances.
Vitesses.
Résistances.
kg
JO
3oo
5oo
On voit, par ces résultats, qu'à i25 mètres de vitesse, Teffort de Tair contre le boulet de 24 est à peu près égal au poids de celui-ci; qu'à 200 mètres, il en est près du triple, qu'à 5oo mètres de vitesse, la résistance surpasse 23 fois ce même poids; et, comme ces résultats devraient être multipliés par 8i5 environ (431), quand il s'agit de l'eau, on peut juger de l'énorme résistance qu'ont dû éprouver les boulets, dans les expériences de MM. Piobert, Morin et Didion, citées au n» 427, indépendamment du choc qui s'est opéré à l'instant de leur entrée dans le bassin d'eau où ils étaient lancés.
Si le diamètre du boulet n'était que le y de o™,i48 ou 4S9 environ, la surface A qu'il présente à l'action de l'air serait réduite au neuvième de la valeur qu'on lui attribue ci-dessus, et par conséquent, à égalité de vitesse, la résistance serait ellemême réduite au neuvième de la valeur indiquée par la Table. Pour un diamètre de 7X0^,148 ou 2'=,96, la résistance n'en serait plus que le yi* Mais le poide des boulets supposés toujours en fonte, diminuerait dans une progression bien plus rapide : il serait seulement de
-i-Xi2*'* = o^«,445 27 '^^
pour le diamètre de 4'» 9 el de
pour celui de 2^96; circonslances qui tiennent à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes (33) croissenl comme les cubes des diamètres, et les surfaces de leurs grands cercles, rcpréseniées par A, simplement comme les carrés de ces mêmes diamètres. Enfin si, au lieu de projectiles en fonte, il s'agissait de boules de bois ou d*autres substances moins denses encore, leurs poids et par conséquent leurs masses diminueraient de quantités proportionnelles, mais la résistance de Pair resterait la même pour un même diamètre, parce qu'elle ne dépend que de la forme et de l'étendue de la surface du corps, ce qui permet, dèâ à présent, de pressentir le rôle de ces données essentielles sur les circonstances du mouvement dont nous nous occuperons plus spécialement dans le Chapitre suivant.
Toutefois, il est nécessaire de le rappeler avant de passer à un autre sujet, les différents exemples de calculs qui viennent d'être présentés sur la résistance des milieux supposent essentiellement que les corps ne tournent pas, ou présentent toujours la même face à l'aclion de ce milieu, et que leur mouvement soit sensiblement parvenu à Tuniformité; car s'il variait sans cesse, comme dans la chute des corps, il conviendrait d'avoir égard à l'influence de la proue et de la poupe fluides qui les accompagnent, conformément aux observations des n°» 380 et 382.
EXAMEN DES PRINCIPALES CIRCONSTANCES DU MOUVEMENT HORIZONTAL ET VERTICAL DES CORPS DANS LES FLUIDES ET PLUS SPÉCIALEMENT DANS l'air.
4^39. Considérations prélihiinaires, — Nous n'avons jusqu'ici donné que de simples aperçus (113 cl suivants ) sur la manière dont l'air agit contre les corps, pour modifier, ralentir leur mouvement; les données précédentes jointes aux principes fondamentaux exposés au commencement de cet Ouvrage
nous permettent de mieux étudier, de calculer même, les lois de ce mouvement, pour deux circonstances importantes : I** celle où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse et sans tourner, dans la direction d'un plan horizontal solide, où il serait soutenu sans frottement, ce qui est aussi, à peu près, le cas des projectiles de rartiilerie, animés d'une grande vitesse horizontale, et qui, dans une portion assez considérable de leur course rapide, n'ont pas éprouvé, de la part de la gravité, une action assez prolongée pour sortir sensiblement de la direction initiale de cette vitesse; 2" celle où le corps ayant été lancé dans une direction verticale, de bas en haut ou de haut en bas, serait ensuite abandonné librement à l'action de la gravité et de la résistance de l'air, toujours dans l'hypothèse où il ne viendrait pas à tourner par suite d'un défaut de symétrie dans sa forme extérieure, etc. Ce que nous dirons, d'ailleurs, pour l'air en particulier, s'appliquera aisément à toute espèce de fluide, à l'eau, par exemple, en introduisant dans les données delà question les modifications relatives à la densité de ce fluide et au coefficient k de sa résistance.
440. Expression de la force dynamique totale des corps soumis à l'action des fluides. — Pour étudier les lois du mouvement dans les cas très-simples dont il s'agit ici, il sera nécessaire de rechercher, à chaque fois, la valeur très-différente de la force F (130), qui accélère ou retarde ce mouvement, et doit être perpétuellement égale et contraire à la force d'inertie
- - =M-î P étant toujours le poids, M la masse, et v l'ac-
célération ou la diminution de vitesse pendant le temps infi-
niment petit /. Mais, comme en réalité le corps est toujours accompagné (380) d'un certain volume de fluide ambiant, que nous avons appris, par quelques cas, à calculer, il sera nécessaire d'avoir égard aux considérations exposées à la fin du n** 382, c'est-à-dire qu'il faudra ajouter la masse Mi, de ce volume, à celle M du corps, pour obtenir la force d'inertie totale. En représentant toujours, comme aux endroits cités, par Q le volume apparent ou extérieur de ce corps, par /iQ celui du fluide entraîné à la densité p, et désignant, de plus, par II la densité moyenne ou réduite que Ton obtiendrait en divisant le
poids P, du corps, par son volume extérieur Q, on aura
el
pour la force dynamique ou d'inertie totale; ce qui montre qu'en raison du fluide entraîné, la densité moyenne du mobile doit simplement être augmentée de la fraction n, de celle de ce fluide.
La densité dont il s'agit étant, même pour les projectiles creux de l'artillerie, au moins 5ooo fois la quantité
np = 0,6 x i^S 227 = 0*^8, 73*62 ( 380 et 431 )
pour le cas de l'air, il est évident que, dans la recherche des lois de leur mouvement, il deviendra permis de négliger la masse de l'air entraîné : mais il pourrait n'eu plus être ainsi dans d'autres cas, par exemple si le milieu résistant était l'eau ou s'il s'agissait de surfaces minces (380, 405 et 411), de corps creux tels que les ballons, etc.; circonstances dans lesquelles l'influence de la proue et de la poupe fluides se sont précisément manifestées lors des expériences. Toutefois, à moins d'un avertissement contraire, nous conviendrons, pour la simplicité, de désigner, en général, par P et M le poids et la masse réunis du corps et du fluide entraîné, en considérant ainsi ce dernier comme formant une partie intégrante de ce corps.
441. Marche à suivre dans la recherche des lois du mouvement. — Ainsi qu'on l'a expliqué aux n*** 129 et suivants, l'équation
F = M-, d'où l'on tire V=l./, t M
peut servir à faire découvrir toutes les circonstances du mouvement, el elle en contient implicitement la loi; mais la méthode géométrique indiquée spécialement au n** 134, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force dynamique F, et l'espace décrit à chaque instant par le mobile, cesse de l'être dans le cas présent où l'on n'est plus censé
connaître les valeurs de celle force à la fin des différents temps écoulés. Ces valeurs qui dépendent ici essentiellement de la résistance du fluide et de l'action de la gravité, s*il s'agit du mouvement vertical, seront simplement données au moyen des vitesses successivement attribuées au mobile dans les différents points de sa course, en s appuyant, à cet effet, du résultat des expériences et des formules exposées dans le Chapitre précédent. •
On pourra donc aussi calculer la valeur de chacun des accroissements infiniment petits /, du temps, correspondant à une diiYiinuiion ou un accroissement donnés v, de la vitesse, pour rinstan{ où celle-ci a une valeur assignée V> à l'aide de la formule générale
dans laquelle M et P représentent toujours, si cela est nécessaire, la masse et le poids total du corps et du fluide entraîné.
Or, en raisonnant ici comme on l'a fait aux n°* 72, 181, etc., à l'égard de la détente des gaz et des vapeurs, c'est-à-dire si l'on construit une courbe O'a' b' & , . -f g'h' {PL Illyfig. 79), dont les abscisses Oa, 06,..., 0/, Og-, OA, prises par rapport au point 0, comme origine, si le mouvement s'accélère, ou les abscisses AO, Aa, A6,..., A/*, Ag^, prises par rapport au point A, si le mouvement se ralentit, représentent, à une certaine échelle, les valeurs équidistantes successivement attribuées à la vitesse V, tandis que les ordonnées 00', ««', W,..., ff\ gg"' représentent les valeurs correspondantes du quotient de P par gF, le temps T, écoulé entre deux instants quelconques pour lesquels la vitesse devient 06 et 0/ou hh et A/, par exemple, sera évidemment donné par l'aire bb'f'f, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les ordonnées extrêmes 66' et jf' , relatives à ces vitesses. En appliquant donc ici le théorème des quadratures de Simpson (180), il sera possible de calculer le temps T, dont il s'agit, à un degré d'approximation aussi grand qu'on le voudra, en subdivisant l'intervalle 6/, compris entre ces ordonnées extrêmes, en un nombre pair et suffisamment grand de parties égales.
Comme on a, d'ailleurs (48 çt53), en représentant pare
rélément de chemin correspondani k t oukv
.- MV PV
on voit que la même métliode pourra servir à trouver la longueur du chemin parcouru dans Tiniervalle dont il s'agit, par la considération d*une nouvelle courbe Oa"b"c'\, .g^y construite sur les mêmes abscisses, mesurées, suivant les cas, à partir du point 0, ou du point /i, mais ^lyant pour ordonnées les valeurs correspondantes du quotient de PV par g¥.
Quant à la question où il s'agirait de trouver inamédiatement les espaces parcourus au moyen des temps écoulés, il est évident qu'elle ne saurait être résolue par les mêmes procédés, c'est-à-dire par une marche directe, puisque F ne peut se calculer que si Ton connaît V; on sera alors obligé de recourir à une sorte de tâtonnement dont nous aurons soin d'offrir un exemple dans ce qui suit.
Cas du mouvement horizontal.
44.2. Valeur de la force dynamique ou retardatrice; équations fondamentales du mouvement, — Les effets de la pesanteur sur le mobile étant censés négligeables ou détruits par une cause quelconque, et les forces étrangères à l'inertie se réduisant ici uniquement à la résistance R du milieu, qui peut être calculée pour chacune des vitesses V, possédées par le mobile aux divers instants, on aura simplement (4^0)
F ou ^-^-^ T = R ;
et, par conséquant, le corps ayant été lancé horizontalement avec une certaine vitesse initiale, celte vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti dans chacun des instants égaux à /, suivant une loi donnée par la formule
t (n-H/tp)Q'
qui exprime véritablement la force dynamique relative à Vanité de masse supposée enlièrement libre (132), ou qui serait capable de lui imprimer, dans le vide absolu, le mouvement effectif du corps. Mais attendu que la résistance K décroît très-rapidement avec la vitesse V du projectile, le mouvement ne sera pas uniformément relardé (107 et 117), comme cela arrive (365) dans le cas où. la résistance se réduit à un simple frottement exercé par le mobile, sur un plan solide horizontal; il le sera de moins en moins pour des intervalles de temps /, égaux et inlînimenl petits, comme le démontre la formule cidessus, qui donne la diminution de vitesse v pour chacun de ces instants. .
D'un autre côté, cette même formule, dans laquelle Taire A de la projection du corps sur un plan perpendiculaire à la direc- ^ tion recliligne du mouvement, entre comme facteur de R (381), d'après les résultats les plus concluants et les plus universellement admis sur la résistance des fluides, cette formule, disonsnous, montre que la diminution instantanée v^ de la vitesse, est d'autant moindre, toutes choses égales. d'ailleurs^ que la densité moyenne H du corps (WO) est plus grande aussi bien que le rapport de son volume Q à l'aire A, qui se réduit aux j du diamètre pour les sphères, à la hauteur de Vajce pour les cylindres et les prismes droits mus parallèlement à cet axe, etc.; de sorte que, pour les corps sphériques en particulier, par exemple pour les projectiles de l'artillerie^ le ralen-tissement de la vitesse initiale est d'autant plus rapide que leur densité moyenne ou réduite et leur diamètre sont moindres : fait conflrmé par l'expérience, et que démontre plus spécialement encore la formule
i. ffR o,o938Xff, k\^
relative au mouvement de ces projectiles dans l'air, pour lequel on a pris ( Wi), R = 0,06253/1 A V^ en négligeant d'ailleurs le terme /z/? relatif au fluide entraîné; prenant g- = 9™, 8088 (117) pour le lieu où nous sommes; puis remplaçant Q et A par leurs valeurs jTrrf*, \ i:d% dans lesquelles d est le diamètre et TT = 3,i4i6 son rapport inverse à la circonférence.
Considérant pour exemple le boulet de 24» dont on a recherché, à l'avance, la résistance dans Tair au n*» 438, on aura immédiatement, pour calculer toutes les circonstances de son mouvement horizontal,
F ou - - = R = o, 0010-755 A- V», 7 =0,00088 A* W
ce qui montre tout à la fois, d'une part, l'énorme influence exercée par cette résistance aux premiers instants du mouvement où la vitesse V atteint quelquefois 5o6 mètres, et où par conséquent sa diminution instantanée v devient (428) o,ooo88Xï>oïX(5oo)*=:222 fois au moins, la durée correspondante /, du temps; d'une autre part, l'extrême faiblesse de cette même influence, dans les derniers instants du mouvement, où la vitesse étant supposée réduite à o'",ooi, par exemple, en une seconde, celle de v devient, au plus, les 0,00088 X 0,59 X (0,001)^ = 0,00000000062 de ty ou t près de deux milliards ie fois plus grand que v; ce qui montre l'excessive lenteur avec laquelle le mouvement devrait s'éteindre dans les hypothèses actuelles sur la loi de la résistance.
443. Le moùi^ement ne s'éteindrait jamais si la résistance décroissait plus rapidement que la vitesse. — Pour démontrer ce principe d'une manière positive, et qui s'applique généralement à tous les cas où la force retardatrice tend à s'afl'aiblir rapidement et indéfiniment avec la vitesse, sans jamais changer le sens de son action, nous remarquerons tout d'abord que la formule générale (442)
dans laquelle M et P peuvent comprendre la masse et le poids du fluide entraîné, montre que la valeur du quotient de M par F, ou de P par gl\, croissant indéfiniment à mesure que la vitesse V du corps diminue, il faut bien aussi que le temps /, nécessaire pour détruire, dans ce corps, un degré donné de vitesse v, devienne de plus en plus grand et finisse par acquérir une valeur comparativement infinie dans les dernières périodes
du mouvement; de sorte qu'il peut bien arriver que la somme des valeurs de Taccroissement ty du temps, devienne ellemême excessivement grande ou infinie, quoique celle des valeurs correspondantes de v ne puisse dépasser la valeur aitri^ buée à la vitesse initiale quelle qu'en soit la petitesse. Mais on peut établir cette proposition d'une manière plus rigoureuse et plus sensible encore, par la considération de la courbe 0'a'6'.../'g"' (PL III, fig. 79), dont on s'est occupé au n" Wl
ci-dessus, et qui a h pour origine des abscisses ou vitesses.
En effety la valeur de la fraction — r^i se trouvant représentée
par la hauteur des ordonnées correspondantes aux diverses valeurs de V, on voit que ces ordonnées doivent croître indéfîniment à mesure qu'elles se rapprochent de l'axe parallèle qui répond à l'origine A; de sorte que l'espace compris entre cet axe et la courbe est réellement illimité, à peu près comme cela a lieu pour V hyperbole équilatère de \si /ig. 4^» ^^» ^A considérée aux n*** 181 et 198, ou celle que l'on construirait
en prenant simplement t = — if par exemple. Mais, comme*
on suppose ici que F ou R diminue plus rapidement que V, il en résulte que la courbe O'a'6'. ../'g*' se rapproche bien moins rapidement encore de l'axe des ordonnées et beaucoup plus, au contraire, de celui des abscisses que dans cette dernière hyperbole.
D'un autre côté, on sait par la géométrie des courbes et la théorie des logarithmes (198), que les aires hyperboliques comprises entre une ordonnée Oxe quelconque et une autre ordonnée qui s'approche sans cesse de Vaxe correspondant relatif à l'origine A, des abscisses, croissent indéfiniment, de manière à devenir plus grandes que toute quantité assignée; donc il en sera de même, à fortiori, des aires analogues de la courbe O'a'b'. •-f'g', qui donnent les valeurs du temps dans le mouvement retardé dont on s'occupe, et, par conséquent, quelque paradoxal que cela paraisse au premier aperçu, il peut exister de tels mouvements qui ne s'éteindraient pour ainsi dire jamais y quoiqu'à la fin ils fussent extrêmement ralentis: c'est ce qui aurait précisément lieu dans l'hypothèse de la résistance proportionnelle au carré de la vitesse.
690 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
Par contre, il doit exister aussi des mouvements qui s'accélèrent indéOniment sans jamais atteindre la limite de leur vitesse, quand la force dynamique F tend à décroître trèsrapidement à mesure que celle vitesse s'approche, elle-même, de sa limite; mais, comme la chute des graves dans Tair nous offrira bientôt un exemple de ce phénomène de mouvement, nous n'insisterons pas quant à présent.
Enfin il ne sera pas inutile de faire observer que, puisqu'on a également (Hl et 4-4-2)
MV PV
des considération3 analogues pourront s'appliquer aux espaces parcourus par le corps dans le mouvement qui nous a occupé précédemment : ces espaces tendront à devenir infinis si le quotient de MV par F croissait, lui-même, plus rapidement que la vitesse V ne diminue. C'est, au surplus, ce que nous tâcherons de rendre plus manifeste encore par la discussion du cas particulier qui suit.
4-4-4-. Exemple numérique relatif au mouvement horizontal des projectiles dans l'air. — Soit le boulet du n** 4-38, lancé horizontalement, dans Tair, avec une vitesse initiale, AO ou y [Pl.IIIyJig, 79), de 5oo mètres par seconde, je suppose, et demandons-nous d'abord au bout de quel temps sa vitesse hd ou V sera réduite à ^00 mètres, en admettant toujours que la loi de la résistance soit celle adoptée dans cet endroit.
En supposant seulement l'intervalle de Orf ou V — V=rioo", divisé en quatre parties égales aux points a, b et c, on pourra former la Table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (4-38 et 4^2), dans laquelle on a centuplé les valeurs de P, pour éviter l'écriture d'un trop grand nombre de chiffres décimaux :
Points
Valeurs de
de
Numéros
Vitesses
100 P ii37,36
subdifision.
d'ordre.
correspondantes.
gK - AV>
5oo
DES RfiSISTÀNGBS. 69 1
Par conséquent on aura, en se servant de la méthode du n*» 180,
Somme des valeurs extrêmes de —«-•••• 0,4374 h- 0,7180 = i, i554
2 fois celle des valeurs d'ordre impair 2 x o, 556i = i , 1 122
4 fois celle des valeurs d'ordre pair 4(0*4894-1-0,6297) = 4» 47^4
Total 6,7440
Celte somme divisée par 100 et multipliée par le j de Tintervalle, 25 mètres, entre les vitçsses successives, donne
pour la durée du temps pendant lequel la vitesse du boulet est réduite de 5oo à 400 mètres, attendu que g'==9",8o9 répond (117) à une seconde sexagésimale, qui est ici l'unité de temps.
Les différences consécutives de chacune des valeurs, fournies par la Table ci-dessus, du quotient de P par g-R, à la suivante, allant progressivement en croissant, on en conclut, ^priori, que la courbe est convexe vers Taxe des abscisses comme l'indique la^îg*. 79, et le résultat qui vient d'être obtenu est par conséquent un peu trop fort (180). Mais, comme ces mêmes différences croissent assez lentement, le résultat, quoiqu'un peu faible, doit néanmoins s'approcher beaucoup du véritable; et c'est ce dont on peut s'assurer directement en supposant seulement l'intervalle Od, de 5oo à 400 mètres, divisé en deux parties égales, au point b : on trouve, en effet, jpar la méthode déjà employée,
^X 5o(o,oïi554-f-4xo,oo556i) = o",5633,
résultat qui ne surpasse le précédent que de 7J7 de sa valeur. D'après ce grand degré d'approximation de la méthode pour l'intervalle de 5oo à 4*o mètres, on pourrait, sans risquer de commettre des erreurs appréciables, se contenter de diviser pareillement en deux parties égales l'intervalle de 4oo à 3oo mètres, pour en conclure la durée correspondante du temps. Et, comme les valeurs du quotient de P par g^R, relatives aux vitesses de 35o et 3oo mètres, sont respectivemet de 0,01000
692 HfiCÀNlQUB INDUSTRIELLE.
et 0,01436, on en conclut, pour la valeur de cette durée,
-X 50(0,007184- 0,01436 + 4X0, OIOOO)=:l'',0266; o
mais il serait, sans dpute, peu exact d'étendre cette règle aux intervalles égaux suivants, de 3oo à 200 mètres et de 200 à 100 mètres, parce qu'on pourrait tomber alors, dans les régions où la courbure par trop prononcée de la courbe, donnerait lieu à des différences d'ordonnées consécutiveis très-variables, et^ à plus forte raison, ne conviendrait-il pas d'étendre cette méthode à de très-grands intervalles de vitesses.
Ainsi, par exemple, si Ton se contentait de partager en quatre parties égales l'intervalle compris depuis 5oo jusqu'à 100 mètres, ou de 100 en 100 mètres, on trouverait, pour le temps nécessaire à un pareil ralentissement de vitesse, 12^, 33, qui, inévitablement, surpasserait d'une quantité notable la véritable valeur de ce temps. Cependant telle est l'excellence de la méthode pour le cas actuel, que si l'on divise ce même intervalle en huit parties égales, on trouve le nombre 1*^,77, dont la différence avec le précédent n'est pas le — ^^ sa valeur, et qui, par cela même, ne doit surpasser que de très-peu la véritable durée du temps.
W5. Extrême lenteur avec laquelle le mouvement s'éteint dans cet exemple. — Afin de mettre la chose dans tout son jour, nous rechercherons le temps nécessaire pour que la vitesse, supposée réduite à 10 mètres, ne soit plus que de 2 mètres par seconde; mais, au lieu des valeurs du coefficient A*, fournies par la Table du n® '4-28, nous adopterons, pour ces faibles vitesses, la moyenne k = o,52 (W5) qui doit s'écarter assez peu (^•26) de la véritable, dans le cas du mouvement rectiligne des globes dans l'air. D'après cela, si l'on divise seulement en quatre parties égales l'intervalle de 10 à 2 mètres, on formera le tableau qui suit :
Naméros
vitesses
Valeurs de
d'ordre.
correspondantes, m
P 2187, iS
ffR ~ V«
DBS RÉSISTANCES. 698
ce qui donne pour la durée du temps écoulé, I X 2'»[2i,87 -+- 546,81 + 2 X 60,76 -+- 4(34»î8 4- i36,7o)]
Si Ton se fût borné à diviser rinlervalle de lo à 2 mètres en deux parties égales, on eût trouvé 1082", 28, nombre qui diffère beaucoup du précédent, et prouve que la subdivision en quatre parties peut ne pas suffire; en la portant à huit, on obtient finalement 880^^,2, pour le temps que la vitesse du mobile met à passer de 10 à 2 mètres; la différence -35", 6, entre ce nombre et le premier des précédents étant assez forte, on voit qu'il y aurait lieu de multiplier davantage encore les subdivisions, si Ton tenait à une trèsgrande exactitude, mais, pour l'objet que nous avons ici en vue, il serait inutile de pousser plus loin les calculs.
Tel est d'ailleurs l'esprit dans lequel on devra constamment appliquer le théorème (180) des quadratures de Simpson.
Les résultats obtenus en dernier lieu montrent, conformément à ce qui a été annoncé au numéro précédent, d'après des considérations générales et purement géométriques, que la vitesse diminue ici avec une lenteur extrême, et l'on peut juger que cette lenteur serait infiniment plus grande encore pour les derniers instants du mouvement. Ainsi, par exemple, on voit sans qu'il soit nécessaire de recommencer sur de nouveaux frais les calculs, que le temps au bout duquel la vitesse serait réduite de 10 à 2 millimètres par seconde s'élèverait, au moins, à (1000)' = i million de fois 880*^, ou bien près de 28 ans^etc.
Pour obtenir les espaces successivement parcourus dans le même mouvement, il suffira (4'i!i'3) de recommencer les calculs en y remplaçant chacune des valeurs de P sur g-R, par son produit avec la valeur correspondante de V. C'est ainsi qu'on trou* vera, pour l'intervalle de 5go à 400 mètres de vitesse, l'espace
avec un degré d'approximation encore plus grand que dans le précédent exemple.
£n divisant pareillement Tinlervalle de 5oo à 100 mètres» en huit parties égales, on obtiendrait 2242 mètres pour l'espace correspondant décrit par le projectile. Enfin, pour l'intervalle pendant lequel la vitesse se réduirait de 10 a 2 mètres, l'espace décrit par le boulet s'éloignerait fort peu de 3523 mètres, et il serait environ .1000 fois plus grand dans l'intervalle de lo* à 1 millimètre, etc.; ce qui suffit bien pour faire sentir que le chemin entier parcouru par le mobile n'aurait, de même que le temps, aucune limite assignable {*),
Quant à la manière de découvrir le chemin relatif à un temps donné, comme elle peut être avantageusement suppléée, dans
( ** ) On remarquera que pour cette dernière période du mouvement où Tonsuppose A invariable, les équations du n^ 441 prenant la forme très-simple,
où C représente une constante facile à calculer dans chaque cas, on en tire,, par les procédés connus de l'analyse, qui ici, pourraient être facilement suppléés par les considérations directes de la Géométrie,
T = C(^-1), E=Clog(^), E = Clog(i+^);
E représentant, en outre, Tespace décrit et T le temps écoulé depuis Torigine du mouvement, où la vitesse V, relative à ce temps, était \'; enfin le signe abréviatif log^ se rapportant aux logarithmes hyperboliques ou népériens (198) qui, on se le rappellera, peuvent être également obtenus au moyen des Tables de logarithmes ordinaires, en multipliant ceux-ci par le nombre constant 2,3o2585. Ces dernières formules montrent bien d'ailleurs que E et T deviennent infinis en même temps que V = o; mais déjà il n'en serait plus ainsi de l'espace E, si la résistance était simplement proportionnelle à la vitesse; car à cause dee = Cf, on aurait E = C(V' — V), et par conséquent, E = CV pour V = 0, quoique T reste infini ou que le mouvement ne s'éteigne jamais. Ainsi l'espace décrit parle corps grandirait constamment sans néanmoins pouvoir atteindre la limite E := CV : à fortiori^ cet espace conserverait-il une valeur finie dans le cas où la résistance croîtrait moins rapidement encore que
la vitesse, par exemple comme sa racine carrée y/V, On aurait alors, en effet,
T = 2C(v/v'-v/v), E = iC(Vv/V-VV^V);
de sorte que le mouvement s'éteindrait complètement au bout du temps T = 2C v/V, et de l'espace E = J C V y/v^.
le cas actuel, par la Table du n'' kkl, elle serait sans intérêt^ et nous renverrons nos lecteurs à l'exemple ci-après, qui concerne la chute verticale des corps dans l'air.
446. Idée de la manière, dont le mouvement horizontal des ' corps peut s* anéantir, même en un temps fort court. — Lorsqu'un projectile est lancé horizontalement à la surface de notre globe, il y est continuellement sollicité à descendre en vertu de la pesanteur, s'il n'est point soutenu sur un plan fixe; bientôt, en effet, il atteint la surfiice du sol, où il s'enterre si le choc ne lui permet pas de rebondir, ricocher^ un nombre plus ou moins grand de fois, à chacune desquelles il perd des portions très-appréciables de sa force vive initiale, que les frottements ei obstacles quelconques, dont sa roule est parsemée, finissent promptement par lui enlever. Ces frottements, comme on l'a vu au n'* 366, sont tels que, même pour des surfaces horizontales aussi polies que la glace, quelques secondes suffisent pour éteindre complètement une vitesse initiale de 4 mètres dans un corps de masse quelconque, indépendamment de la résistance de l'air, à laquelle le frottement devrait être ajouté dans les équations fondamentales du n"" 442.
Ainsi, par exemple, /étant la valeur particulière du coefficient de ce frottement, on aura, en général,
s'il s'agit spécialement (ibid.) des projectiles de l'artillerie, mus dans l'air; ce qui montre que c'est surtout pour les faibles vitesses que le frottement exerce de l'influence, tandis que l'inverse a lieu pour la résistance du milieu qui exerce principalement la sienne à l'origine du mouvement. Or, il en résulte que ces deux seules causes réunies doivent, quelle que soit l'intensité de sa vitesse initiale, arrêter le corps en un temps généralement très-court, comme on l'observe, en effet, dans tous les cas analogues.
Il est pourtant une circonstance physique où le mouvement horizontal pourrait se perpétuer sans fin, si les lois de la résiistance des fluides étaient telles qu'on vient de le supposer dans ce qui précède : c'est celle où un corps flottant à la surface
de niveau d'un liquide immobile» tel que Teau d'un bassin soustrait à Taclion des courants d'air, viendrait à y être lancé horizontalement, sans tourner, avec une certaine vitesse ; car le corps étant ici soumis uniquement à la résistance de cette eau et de l'air, il n'existerait plus aucune force retardatrice constante étrangère aux deux fluides, et capable de détruire des portions de la vitesse initiale qui, étant proportionnelles aux temps écoulés, amèneraient promptement le corps au repos absolu. Une expérience de celte espèce, exécutée dans les circonstances les plus favorables ël en observant, avec toute l'exactitude qu'il serait facile d'y apporter, la loi du mouvement aux derniers instants, une telle expérience serait peutêtre plus propre qu'aucune autre à faire découvrir l'eîrtstence d'une pareille force retardatrice, admise par les uns et repoussée par d'autres (388), sans que les motifs ou les faits d'expériences qui servent d'appui à ces opinions contradictoires puissent être considérés comme rigoureusement établis. Mais, à causée de l'influence qui, dans ces deriiiers instants du mouvement du corps, pourrait être exercée par le sillage ou courant postérieur (374), et tend à l'entraîner au delà de la position qu'il devrait naturellement atteindre, il serait peutêtre encore plus exact de chercher à constater l'existence du terme constant, en observant avec soin le mouvement de descente vertical, dans l'air, d'un ballon vide ou rempli d'un gaz assez léger pour que son poids, dans cet air, constaté par une pesée directe, fût réduit à un degré de petitesse comparable au frottement dont il s'agit d'apprécier l'influence, et dont les effets ne sauraient manquer de se manifester, si le globe était abandonné, sans aucune entrave, à l'action de la pesanteur, comme le firent Newton et Désaguilliers (426),' lors de leurs premières expériences dans l'église de Sainl-Paul à Londres. Au surplus, quelle que soit l'opinion qui triomphe définitivement, il n'en est pas moins vrai de dire que les obstacles accidentels dont est parsemée la route des corps en mouvement dans les fluides, les particules solides qui y nagent et donnent lieu à de véritables frottements, enfin l'influence des tourbillonnements et remous qui s'y produisent, la rotation même que tendent, presque toujours, à prendre les corps non parfaitement symétriques, sont autant de causes qui parvien-
DBS RÉSISTANCES. 697
nent à anéantir leur vitesse, dans des temps infiniment plus courts que ne l'indique le calcul. Et, comme tous les mouvements sont, ici-bas, nécessairement soumis à l'influence de pareils frottements, de forces retardatrices variables ou constantes, on voit qu'ils ne peuvent s'entretenir dans les corps, même les plus subtils, sans une dépense continuelle de travail ou d'action, à laquelle les combinaisons matérielles les plus ingénieuses ne sauraient suppléer (103); et voilà aussi pourquoi le mouvement perpétuel que rêvent des hommes privés des premières notions de la Mécanique, est une véritable chimère, quand on le recherche ailleurs que dans l'action immuable des forces de la nature, qui font mouvoir les corps célestes dans un espace vide ou privé de toute résistance, et qui, à la surface de la terre, servent par leur mouvement périodique, plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.
.447. Résultats des calculs de AI, Piobert, relatifs au mouvement horizontal des projectiles dans l'air. — Dans un Chapitre intéressant du Mémoire (373) qu'il a présenté en commun, avec MM. Morin et Didion, au concours du prix de Mathématiques pour l'année i836, cet officier supérieur a calculé, avec beaucoup de soin, une Table qui permet au simple coup d'œil de se rendre compte de toutes les circonstances offertes par le mouvement des divers projectiles, en usage dans l'artillerie française, lancés horizontalement dans Tair en repos et abstraction faite de l'action de la pesanteur (439). Elle a été dressée en prenant pour base des calculs la formule du n**429, qui sert à représenter le résultat moyen des expériences relatives à la résistance de l'air sur les projectiles. Dans la formation d'une pareille Table, les méthodes directes indiquées aux n°» 440 et 444, présenteraient évidemment les plus grands avantages pour trouver successivement, par des opérations fort simples, les valeurs numériques des temps et des espaces qui correspondent à une série de vitesses équidistantes données et suffisamment rapprochées; ce qui permettrait, ensuite, de tracer de nouvelles courbes, au moyen desquelles on obtiendrait facilement toutes les valeurs intermédiaires de ces temps et de ces espaces; ce qu'on appelle en général, interpoler, dans
698 MÉCANIQUE INDVSTEISLLE.
la langue des géomètres. Mais, en réalité^ M. Piobert est arrivé aux résultats de sa Table par une voie purement analytique (*) fondée sur la formule déjà citée du n*" 429, et sans l'établissement de laquelle cette recherche eût été impossible, tandis que la méthode précédente reste applicable, au moyen d'une courbe d'interpolation ou d'une Table analogue à celle du n*" 428, quelle que soit la complication de la loi expérimentale suivie par la résistance.
( ** ) En posant, pour abréger, dans la formule du n* 429,
n = 0,0017 Ay^0|0i3A -♦- o^ooisi, n = A^0|0iaA + 0,00121^
q =. o,oo3A,
elle prend la forme très-simple
Pour les mouvements rapides des projectiles de l'artillerie, c'est4i-dire pour des vitesses supérieures à 5 mètres par seconde, on pourra négliger le dernier terme de la formule, et l'on calculera, d'après M. Piobert, en mètres et seconde» sexagésimales, l'espace E décrit et le temps T écoulé pendant que la vitesse V du mobile se réduit à Y, au moyen des formules
^-;i'°gv(V'-t-.)' ^=;iiv-FJ-r^'
où les logarithmes sont hyperboliques ^ comme dans la Note du n® 444, et P
désigne le poids, en kilogrammes, du projectile, 1 la fraction — = 588,!235S
qui, ici, comme on voit, joue un très-grand rôle, et mériterait d'être déterminée avec le plus grand soin, d'après les données de l'expérience.
Pour les mouvements très-lents, au contraire, ou au-dessous de 5 mètres par seconde, on peut négliger le terme mV de la résistance, par rapport aux deux autres, et alors on a
E = log — î T = =^ ( arc tang -— — arc tang -—
2nff
~^ ^ S yjqn \ \fr
fr)
formules dans lesquelles encore, r exprime en nombre le rapport de 7 à «, et l'abréviation arc tang^ l'arc du cercle dont le rayon, égal à l'unité abstraite, a pour tangente trigonométrique, la valeur numérique du rapport qui la suit, et dont la connaissance entraine celle de l'arc au moyen des Tables trigonométriques connues.
Telles sont d'ailleurs les formules par lesquelles M. Piobert a calculé les nombres inscrits dans le tableau du texte.
DBS BËSISTàNCBS. 699
Malgré les reproches adressés dans le n® &29 à la formule dont il vient d'être parlé, et qui portent principalement sur les faibles vitesses et les gros calibres de projectiles, la Table dressée par M. Piobert, pouvant fournir des indications souvent précieuses comme moyens d'approximation, dans les questions qui concernent le mouvement horizontal de ces corps, nous avons cru faire une chose utile, en la rapportant ici d'après l'autorisation qu'a bien voulu nous en donner l'Auteur. L'usage en est d'ailleurs si facile que nous ne croyons pas nécessaire de nous étendre longuement sur son contenu; il nous suffira de remarquer qu'elle ne donne pas seulement les temps écoulés et les espaces parcourus pour la vitesse initiale de 600 mètres par seconde, mais bien pour toutes celles qui se trouvent rapportées dans la ligne horizontale supérieure de la Table, et, par suite, pour les vitesses intermédiaires quelconques, au moyen de l'interpolation, ou du tracé continu des courbes mentionnées ci-dessus; méthode qui, sous le rapport de l'exactitude, aura surtout l'avantage dans l'intervalle correspondant aux vitesses de loo à 200 mètres, et pour lequel les ordonnées ou valeurs du temps et de l'espace éprouvent des variations très^sensibies.
■ ECARIQOI initUSTBIlLLB.
|iîr=..j. = ..4
C e»J:,-J s Si-OJ-O 1-3
1% % s.sis ssi-â*^
IIÎÎ4II !:p|I!f Jll!-
lîiiiffî imi m
IM
i^è'i-Vi'i^''Ji^'i^é^i^
ift*i"à ^êS-aïiS' jl:s,sïâ|i
-jB|i|;|-*|3|&"i:â|gl2|3-|»
1 s, a :■ si 1!;= 3 1 îf 1 1 ï = 1 3, Ëf 1
ssi; 2 "iî'ïSi sÇjf ïf i-êï ii si f
1 sî%-|ïi"'S. "* - »ï 4 - JH ^
|ëiÉ| ijaïii Si Si lï iîivt
^î-"iîi-it«lvlfBJ-sl-î;t|4 A:Hi,r=.fiiïfïis|ï|rrr|
llirfUiIfllifïîiyil
DES RÉSISTAMGBS. 7OI
Voulant» par exemple, trouver le temps que la résistance de Tair mettrait à réduire à loo mètres la vitesse initiale de 5oo mètres supposée au boulet du calibre de 24» question dont nous nous sommes déjà occupés au n** hkk, on trouvera, dans les colonnes verticales qui répondent à 5oo et 100 mètres de vitesse et à la première des lignes horizontales relatives au boulet dont il s'agit, o",324 et 11", 65 respectivement; ce qui donne pour le temps cherché 1 1 ", 65 — o", 824 = 11", 826, dont la différence aux ii'',77 obtenus dans le même numéro, provient essentiellement de la légère différence entre les lois de résistance admises dans les deux cas. En opérant d'une manière analogue pour les espaces, on trouvera que celui qui est décrit par le projectile dans. l'intervalle dont il s'agit, est de 2321^ — 178"* = 2143", au lieu des 2242 mètres obtenus dans le numéro déjà cité; mais il s'en faut de beaucoup que la différence des résultats demeure toujours circonscrite dans des limites aussi étroites pour d'autres hypothèses.
Enfin si, au lieu de supposer la' vitesse réduite précisément à 100 mètres, comme dans la Table, on voulait la prendre égale à 120 mètres par exemple, il faudrait alors recourir aux courbes d'interpolation déjà mentionnées, et qu'il suffirait de tracer pour les abscisses ou vitesses, de 200, i5o, 100 et 5o mètres, voisines de 120 mètres ; on trouverait ainsi 9^,04 et 2047 "hêtres respectivement, pour les valeurs cherchées et que nous avons effectivement obtenues au moyen d'un tableau de semblables courbes tracées, dans toute leur étendue, par M. Piobert, qui a bien voulu nous en donner communication. Les mêmes procédés serviraient évidemment à faire découvrir l'espace relatif à un temps donné, ou réciproquement; c'est pourquoi il de-* vient inutile d'insister.
Cca du mouvement vertical.
448. Valeur de la force dynamique, retardatrice ou accélératrice, dans le mouvement ascendant, — Pour les corps trèsdenses, ce mouvement sera évidemment à la fois retardé, et par la résistance R du milieu, et par l'action de la pesanteur sur le corps, dont le poids P = Qn (440) devra d'ailleurs
702 MÉGANIQUE INDUSTBIBLLE.
(&.1, 113 et suivants) être diminué de tout celui du volume Q de Taîr qu'il déplace, poids que nous nommerons P' = Qp, et qu'il sera facile de calculer au moyen de la densité p du fluide (^31). Nous aurons donc ici {hW)
F = R-f-P-P' ou (iL±iîeiQ^=R-f.(n— ;?)Q;
ce qui donne pour le rapport de (^ à ty dans le mouvement ascensionnel du corps, ou pour la force dynamique relative à l'unité de masse,
v R -4- P — F gR IL-^p
7 "~ ^ (H -4- /i/>)Q "" (n -4- /i/?)Q "^ ^ n -f-/ij[?'
quelle que soit d'ailleurs la loi suivie par la résistance du milieu.
Pour les projectiles sphériques de l'artillerie lancés verticalement dans l'air, de bas en haut, on pourra négliger le terme npy relatif au fluide entraîné (HO), et, comme leur poids P, même en les supposant creux, est au moins Sooofois celui P' du fluide déplacé, on pourra aussi ne point tenir compte de ce dernier dans les calculs; ce qui, pour les hypothèses des n*** 431 et hk% donnera simplement
formule qui met en évidence l'influence respective du diamètre rf, de la densité moyenne II du projectile, et de la gravité ou de g*, sur le ralentissement plus ou moins rapide du mouvement ascendant.
Plus spécialement encore, on aura pour le boulet de 24, qui nous a déjà occupés aux n°' 438, 442 et 444, les formules
F := R H-P =o,ooio755A'V^H- 12, - = 0,00088 A-V^-f- 9*", 809,
dans lesquelles il ne reste plus que h et V d'indéterminés, et qui montrent que le mouvement sera de plus en plus relardé comme pour les projectiles lancés horizontalement, mais d'une
DBS EÉSISTàNGES. . 708
manière bien autrement rapide» et à peu près comme si ce projectile étant soutenu par un plan horizontal matériel (ï&>6), son frottement venait à se joindre à la résistance de Tair. On voit, en effet, que la force retardatrice F, conservant, à tous les instants, une valeur qui surpasse 12 kilogrammes, il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement, même en un temps fort court.
Si, au lieu de posséder une densité moyenne II, supérieure à celle/? de l'air, le corps en avait une beaucoup-moindre, il ne serait évidemment plus permis d'agir et de raisonner comme on vient de le faire. Dans le cas, par exemple, d'un ballon en taffetas verni, gonflé par du gaz hydrogène dont la densité est environ le jj de celle de l'air à circonstances atmosphériques égales (40), ou, plus exactement, 0,0688 x i^»,227 = o^»,o82 pour I mètre cube, le poids de l'enveloppe réuni à celui du gaz qu'elle renferme, c'est-à-dire P, loin de surpasser celui de l'air entraîné ou déplacé, en serait une fraction assez faible; et alors aussi, non -seulement il ne faudrait pas imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-même, à s'élever avec une force mesurée par P' — P, et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir.
La même chose pouvant se dire, en général, de tous les corps qui sont spécifiquement plus légers ( 35 ) que le fluide qui les contient, on voit que la force dynamique ou accélératrice totale, dont ils sont animés, deviendrait alors
de sorte qu'on aurait généralement aussi
v p — n gR
formules qui ne diffèrent des précédentes que par l'inversion des signes. Mais, au lieu de raisonner dans ces hypothèses générales, il vaudra mieux revenir à l'exemple particulier des ballons, qui est assez intéressant en lui-même, pour que nous consacrions l'article suivant, tout entier, à l'examen des particularités que son mouvement peut offrir. '
•^o4 MÉCANIQUE INDUSTEIBLLB.
449. Exemple relatif à l'ascension verticale des ballons, limite de leur vitesse^ — Supposons ( PL III y Jig. ^5) un ballon sphérique de lo mètres de diamètre, son volume sera, à trèspeu de chose près, de 523™% 6; par conséquent le poids du volume d'air qu'il déplace dans les circonstances atmosphériques indiquées au n"" 431, aura pour valeur
523™% 6 X i^S227 = 642^», 5; celui dii gaz hydrogène qu'il contient,
seulement; et enfin le poids absolu du fluide qu'il entraîne (442),
poids énorme comme on voit, et qui doit exercer une trèsgrande influence sur les lois du mouvement.
Ordinairement les ballons destinés aux voyages aériens portent, suspendue à un système de cordes, une nacelle ou gondole, en osier, très-légère et dans laquelle se placent lesaéronautes; nous supposerons que le poids de ces objets et de tout le surplus de l'équipage soit de 35o kilogrammes, mesuré dans Tair, ce qui est une charge considérable. Enfin, pour être parfaitement rigoureux, il conviendrait encore d'avoir égard à la résistance de l'air contre la gondole, les cordages, etc., ainsi qu'à la masse de fluide qu'ils entraînent; mais, comme ces quantités seraient impossibles à évaluer d'une manière précise, et qu'elles doivent être très-petites vis-à-vis de celles qui se rapportent au ballon, nous en ferons abstraction, sans perdre de vue néanmoins la faible part d'influence qu'elles peuvent exercer sur les lois du mouvement. D'après cela, le ballon serait enlevé avec une force constante
qui sera diminuée, à chacun des instants du mouvement ascensionnel, de toute la résistance opposée par l'air, et que nous continuerons à évaluer au moyen de la formule
