R = 0,06253 A- AV

DES RÉSISTANCES. ^oS

du n*» 431, laquelle devient ici, à cause de A = 78"'', 54,

R = 4,9iiÂ'V^

Quant à la masse tolale mise en mouvement parla force motrice ci-dessus, elle se composera à la fois (440) : 1° de celle du fluide entraîné dont le poids absolu a été trouvé égal k385^',5; 2° de celle du poids pareil du ballon et de son équipage, c'est-à-dire de 35o kilogrammes, augmenté du poids du volume d'air déplacé, puisque ces 35o kilogrammes ne sont pas censés avoir élé ramenés au vide ; mais, à cause de la grande densité de ces objets, dont la résistance n'a point non plus été appréciée, nous ne tiendrons pas compté d'une pareille différence; 3° enfin de la masse de l'hydrogène enfermé dans le ballon^ et qui pesant dans le vide 42^S94» est pareillement soumis à la loi d'inertie. La somme de ces masses sera donc égale au quotient du poids

divisé par

g- = 9^8,809, ou à 79,36;

et, par conséquent, on aura ici, pour calculer toutes les circonstances du mouvement,

F=249^56-4,9iiA-V% ^= -J^=3,l447-o,o6I76A'V^

Le ballon partant de terre avec une vitesse V d'abord nulle, on voit que, tant que la résistance 4,91 1 /<" V' restera au-dessous de 249^', 56, cette vitesse augmentera de plus en plus, et de quantités qui, à la vérité, iront sans cesse en diminuant pour des instants égaux t. Mais si cette résistance pouvait devenir égale à 249^'» 56, ce qui exigerait que la vitesse atteignît ellemême la valeur fournie par la relation

249>^«,56 = 4,9ii/rV», ou 3,1447 = 0,061 76 A-V»,

à laquelle on satisfait en prenant à la fois /c = Oy6^j d*après la Table du n® 428, et V=8°*,9i par seconde, alors la force accélératrice F deviendrait nulle, aussi bien que l'accroissement

correspondant (^ de la vitesse, et le mouvement cessant de varier, il se continuerait uniformément en vertu de Tinerlie (55) ou de la vitesse acquise par le ballon, si toutefois les circonstances restaient, dans les régions supérieures de l'atmosphère, les mêmes qu'à la surface de la terre.

La discussion de cette particularité remarquable du mouvement ascensionnel des ballons, étant fort délicate et se reproduisant dans d'autres questions qui reviendront plus loin, je n'insisterai pas en ce moment, et me contenterai de faire observer que, pour un fluide quelconque et un corps spécifiquement plus léger, dont la résistance, à l'ascension, pourrait être exprimée par la formule du n"* 382, la vitesse limite, dont il s'agit, serait généralement fournie par l'équation

F=z:F-P-.R=F-P-A^pA — -o, ou V=:\/^-l?^=li.';

2g V np\

A* et V devant avoir ici des valeurs qui se correspondent dans la Table du n"* &'28, ne peuvent ainsi être obtenues que par la méthode des approximations successives, nommée règle de fausse position. Mais, il est évident que le phénomène dont il s'agit est indépendant de la nature particulière de la loi de résistance, et, dès que celte loi sera donnée, on pourra toujours trouver la vitesse limite du corps par une équation analogue à la précédente, que nous avons rapportée simplement pour fixer les idées.

Ce qui diminue d'ailleurs l'intérêt qui pourrait s'attacher à la question dans le cas particulier des ballons, c'est la nécessité où l'on est, comme on la vu, de négliger l'influence, assez grande, exercée par la résistance des parties accessoires, et de supposer les circonstances atmosphériques constantes à toutes les hauteurs; ce qu'il n'est pas permis d'admettre, même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aériens. La hauteur de ces ascensions surpasse souvent, en efl'et, 2000 à 3ooo mètres, et l'on a vu, dans un pareil voyage, entrepris uniquement pour le progrès des sciences, deux illustres physiciens français, MM. Biot et Gay-Lussac, s'élever verticalement dans les airs, à une hauteur de près de 4000 mètres ; puis ce dernier, dans un second voyage, atteindre seul la hauteur

DBS RÉSISTANCES. 707

-énorme de 7015 mètres au-dessus du niveau des mers, la plus grande de celles auxquelles se soient jamais élevés les hommes, même en gravissant les montagnes (*). Or ces courageuses expériences constatent, ainsi que des observations antérieures ou postérieures, dont les plus importantes sont dues à MM. A. de Humboldt et Boussingault, qu'à de telles hauteurs, la température, la pression et la densité de Tair éprouvent, ainsi que l'action de la gravité, une diminution très-sensible, et dont il serait nécessaire de tenir compte dans des calculs rigoureux ; ce que les savantes recherches de M. Biot, sur la constitution de l'atmosphère {Connaissance des Temps pour 1841), rendrait possible d'une manière approximative, si la question qui nous Wcupe en valait la peine.

Quant aux élévations de 4^° ^ 5oo mètres, par exemple, Il serait peu nécessaire de s'en inquiéter pour les ballons, et en- <îore moins s'il s'agissait des projectiles très-denses de l'artillerie, et qui, tels que les bombes, sont élevés dans l'air, parla force de la poudre, à des hauteurs généralement médiocres.

4-50. Valeur de la force dynamique , accélératrice ou rctardatrice dans le mouvement vertical descendant, — Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement des corps ou devient accélératrice toutes les fois que la densité moyenne 11(44.0) de ceux-ci surpasse celle du fluide, comme cela a lieu, par exemple, pour les projectiles de l'artillerie : elle se compose évidemment alors du poids absolu P du mobile dans le vide, poids qui mesure proprement l'action de la

(*) Nous saisissons cette occasion de rappeler que les ballons aérostatiques furent découverts en 1782, par le célèbre Montgolfier, d*Annonay,et que Pilastre Des Rosiers, physicien distingué, né à Metz, périt en 1786, victime de son zèle pour les progrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir le détroit qui sépare la France de l'Angleterre. 11 fut aussi le premier qui, ail mois d'octobre 1 783, c'est-à -dire quelques mois seulement après l'époque où.les frères Montgolfier firent leur brillante expérience d'Annonay, eut le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à l'aide des ballons. La ville de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle eut lieu la chute de Des Rosiers, a fait élever, à sa mémoire, un monument modeste, naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorant ainsi, une seconde fois, le courage malheureux d'un savant qui lui fiit étranger. {Note, de l'éduion de 1829.) .

^o8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

gravité sur ses différentes parties, diminué et du poids du volume de fluide qu'il déplace, et de la résistance R, qu'il éprouve, à chaque instant, de la part de ce fluide. On a donc^ dans de telles hypothèses,

ce qui donne (WO)

(; P — F— R n — P gR

t ~"^(nH-/i/?)Q""^n4-/i/> (n-f-/i/>)Q'

et le mouvement de descente s'accélérera continuellement tant que le poids P — P' du corps, dans le fluide, surpassëVa la résistance R, opposée par ce dernier. Mais, de même que pour le cas ci-dessus des ballons, il s'accélérera de moins en moins, attendu que R croît très-rapidement avec la vitesse V du corps; il arrivera même bientôt un instant où il ne s'accélérera, pour ainsi dire, plus du tout, quand R approchera d'être égale à P — P', ou que V différera très-peu de la valeur fournie par l'égalité

V* f P — PM

P — P':=R=rA-pA— , OU A-V^ — 2g^ /%

s\ l'on continue à admettre la loi de résistance du n° 382.

Ainsi, encore, le rapport de t' à ^, variant désormais de quantités extrêmement petites, le mouvement tendra à devenir uniforme, et il le deviendrait rigoureusement, si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse limite dont il s'agit. Mais, comme le rapport inverse du temps t à l'accélération correspondante v de la vitesse, converge, dè$ lors, vers l'inflni, on se trouve ici dans des circonstances analogues à celles qui nous ont occupé au n" 4.42, circonstances dont nous renverrons la discussion approfondie à l'un des articles ci-après.

D'ailleurs ces mêmes circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R, dès l'origine du mouvement, ou à l'instant de la descente du mobile; s'il en était autrement, si la vitesse initiale rendait R plus grande que P— P', P continuant à surpasser P', comme on vient de le supposer, la vitesse, loin de s'accroître, serait évidemment diminuée ou re-

tardée par une force

Fr=R-(P-P'),

el le serait continuellement jusqu'à Tinstant où la résistance R se trouverait assez amoindrie pour n'être plus égale simplement qu'à l'excès du poids absolu P du corps, dans le vide, sur le poids P' du volume de fluide qu'il déplace; ce qui arriverait précisément pour la vitesse fournie par Tune ou l'autre des équations de condition déjà posées ci-dessus.

Cette vitesse étant la même que celle du cas précédent, quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que, en général, quelle que soit V énergie avec laquelle un corps serait lancé verticalement, de haut en bas, dans un fluide indéfini et homogène d*une densité moindre que la sienne propre^ la vitesse de ce corps convergerait , tendrait sans cesse vers une même limite, qu'il est possible de calculer à l'avance, mais qu'il n'atteindrait pour ainsi dire jamais.

Enfin si le poids spécifique du mobile était inférieur à celui du fluide ou que P' surpassât P, la vitesse serait de plus en plus retardée, tant par l'action de P' que par celle de la résistance R; de sorte qu'on aurait alors, pour la force retardatrice effective,

quelle que -fût la valeur de cette résistance ou dé la vitesse, La somme R + P' surpassant donc constamment P, il est clair que le mouvement finira par s'éteindre complètement; et, comme on aura à cet instant

V=o, R = o, F=rF-P,

force toujours dirigée de bas en haut, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin, ou à remonter en vertu de cette autre force, désormais accélératrice,

Fz=F~(Ph-R):

il suivra donc dès lors absolument les mêmes lois que celles qui se rapportent à l'ascension des ballons (H8 et 449); ce qui nous dispense de poursuivre davantage l'examen de son mou-

vemenl. Ce même cas est d'ailleurs analogue à celui que présente un corps dense lancé, de bas en haul, avec une certaine vitesse, et qui, parvenu à sa plus grande élévation, redescend ensuite par l'action prépondérante de son poids sur celle des pressions extérieures, ou du poids du volume d'air déplacé.

451. Exemples particuliers et faits généraux relatifs à la plus grande vitesse de chute des corps dans l^s fluides. — Dans le cas particulier du boulet de 24 du n"" 438, dont le poids». dansTair, P — P'= i2^«, le mouvement, s'il était suffisamment prolongé, deviendrait uniforme à Tintant où l'on aurait

Or on voit de suite, d après la Table du numéro déjà cité^ que cette condition est satisfaite par une vitesse d'environ laS mètres par seconde, à laquelle correspond (425) une valeur du coefficient k de la résistance, qui doit peu différer de 0,71-1- 7X0,06= 0,725. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu'un boulet, de ce poids et de cette dimension, puisse acquérir en tombant verticalement dans l'air; et c'est aussf vers cette limite inférieure que tendrait la vitesse d'un boulet quelleque fût la rapidité de son mouvement initial de descente.

Cette même vitesse limite diminuerait évidemment avec le poids spécifique du projectile par rapport au milieu. Par exemple, on la trouverait respectivement de 207, 4^ et 4^ mètres par seconde environ, pour des boules de même grosseur, en platine, en glace ou eau congelée et en bois d'orme, dont les poids seraient à très-peu près, de 36 kilogrammes, 7^^,! et 1^^,36. Elle diminuerait pareillement avec la grosseur ou le diamètre, quoique dans une moindre proportion : ainsi, pour des globes de même densité, mais dont le diamètre serait seulement de 2tXo»^i4^ ^u 5'"*", 9, elle se trouverait réduite à I environ des valeurs ci-dessus, et plus particulièrement, à |X 4^'° == 9"*> 2 pou^ ^^^ t>ille de glace dont la grosseur serait à un peu près celle des grêlons ordinaires, lesquels, en réalité, doivent acquérir des vitesses de chute beaucoup moindres, à cause de l'excédant de résistance occasionné par leur forme anguleuse et la rotation qui peut en résulter.

DES RÉSISTAJ^GBS. 7II

Au surplus, l*influence du diamètre et delà densité devient tout à fait explicite et manifeste quand, dans la relation gé-« nérale

P-Fz=R = A-oA— , ou k\' = 'ig^ /S

2g pk

on remplace, comme on Ta fait au n° kk% pour une autre circonstance, P, P' et A, par leurs valeurs analytiques dans Thy-^ pothèse où le mobile serait sphérique. Elle devient, en effet, si Ton conserve aux lettres la même dénomination et qu'on suppose toujours, pour le lieu où nous sommes, g" = 9"", 809,

ce qui montre que, dans les exemples ci-dessus, où le rapport de n à p n'est pas descendu au-dessous de 600, les vitesses limites V sont^ 'à très-peu près, proportionnelles à la racine carrée du diamètre du mobile et du rapport de sa densité à celle du milieu.

Ceci explique pourquoi (7) les poussières extrêmement ténues tombent dafis l'air, et à plus forte raison dans Teau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse notablement celle du fluide qui les renferme; et des considérations analogues, fondées sur les formules générales des n"* 442 et 448, relatives au mouvement horizontal ou vertical, serviraient également à expliquer comment il arrive (7) que les courants d'air ou d'eau CTitraînent les débris des corps solides d'autant plus loin qu'ils sont plus ténus, moins denses, tandis que ces mêmes parties sont, à l'inverse, celles qui parcourent le moins d'espace quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Mais la diversité de la forme des corps n'influe pas moins, comme on va le voir, sur la limite de leur vitesse, que leur densité spécifique et leurs dimensions absolues.

452. Calcul de la plus grande vitesse de descente des para-chutes dans Vair, — On sait que les parachutes à l'aide desquels les aéronautes peuvent abandonner leurs ballons et descendre sans danger, des régions supérieures de l'atmosphère.

sont à peu près disposés comme les parapluies ordinaires {PL in,Jig.']6), si ce n'est qu'ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu'ils portent, à l'extrémité infé< rieùre de leur tige verticale, une petite gondole en osier, propre à recevoir le voyageur. Il devient intéressant de se demander quelle sera la limite de vitesse qu'un pareil système pourra atteindre sous des dimensions données, dans sa descente verticale, ou quelles devraient être ces dimensions pour que la vitesse effective demeurât inférieure à une limite également assignée, et qui serait reconnue n'offrir aucun péril pour le voyageur; question analogue à celle que Dubuat avait déjà traitée dans le tome II de sts Principes d' Hydraulique (n®*552 et 557), longtemps avant que Garnerin ait eu la hardiesse de tenter, pour la première fois, sa dangereuse expérience.

Considérant, à cet effet, un plan mince circulaire et horizontal, pour lequel il suppose (i^05) Ar=:i,43, il trouve que, sous un diamètre de 18 pieds, la limite de la vitesse serait d'environ 19 pieds ou 6 mètres par seconde, qui répond sensiblement à la hauteur de 6 pieds ou 2 mètres, de laquelle un homme exercé pourrait se laisser choir sans trop de danger; mais il sera plus prudent de réduire cette même vitesse à 4 mètres, ce qui exigera simplement d'agrandir un peu la surface du parachute.

On peut juger, d'après le résultat des expériences de M. Thibault, rapportées aux n*** 409 et 410, que, pour une flèche comprise entre le 7 et le j de l'envergure ou diamètre moyen du parachute, la résistance serait, tout au plus, i,i5 fois celle d'un plan mince qui aurait pour aire la projection A, de sa surface, sur un plan perpendiculaire à son axe vertical. D'un autre côté, nous avons vu (407) que la valeur la plus probable de A-, pour ces derniers plans, était de i,3; on aurait donc, dans le

cas actuel,

en nombre rond; de sorte qu'en supposant an parachute un diamètre moyen de 8 mètres, ce qui donne

on pourrait calculer sa résistance, dans les circonstances or-

DES RÉSISTANCES. 7l3

dinaires, par la formule

Ri=: 0,06253 Xi,5AV^ = o,o938AV'' = 4, 7i5V\

Si l'on s'en référait, au contraire, au résultat des expériences spéciales de M. Didion, qui se trouvent consignées au n** 411, on obtiendrait, en supposant sensiblement p=p'y et négligeant, à cause de leur faible influence, le terme constant et celui qui provient de la masse d'air entraîné, puisque le mouvement est censé parvenu à sa limite ou à l'uniformité (448), on obtiendrait, dis-je,

R==o,i63AV^=:8,i9V%

résultat presque double du précédent auquel il nous semble convenable d'accorder la préférence dans une question de cette espèce.

D'après cela, supposant que le poids P — P' du voyageur et de tout le surplus de l'équipage, mesuré dans l'air, soit de 85 kilogrammes, la plus grande vitesse que puisse acquérir le parachute dans sa descente, sera donnée par la condition

4,7i5V»=85, ou V=r V 18,0297 x4> 25

par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte, serait assez faible pour prévenir tout accident à l'instant où la gondole toucherait terre : un procédé inverse et tout aussi simple d'ailleurs, servirait à trouver la valeur de l'aire A, propre à satisfaire à toute autre condition.

Nous venons d'ajouter: en supposant qu' elle pût être atteinte; car nous n'avons pas tenu compte de la résistance de la gon- . dole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportent qu'à la plus grande vitesse que puisse acquérir le système, à celle qui répond à l'instant où le mouvement serait devenu entièrement uniforme (449 et suivants). Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air, ne peuvent, comme on la déjà insinué au n° 450, jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu'ils en approchent sans cesse, et que, dans certains cas où la masse du corps et du fluide entraîné est

7l4 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

irès-pelile, ils puissent en approcher de fort près, même au bout d'un iniervalle de temps médiocre, comme le prouve la relation (4^0) qui donne le rappori de v k t.

453. Démonstration géométrique de r impossibilité que le mouvement continu atteigne rigoureusement sa limite uniforme. — D'après les discussions des n*** 4.42 et 443, ce fait peut être considéré comme une conséquence évidente de la rapidité avec laquelle le rapport de t' à ^ (450), tend, dans le cas actuel, à décroître, et le rapport inverse de t à v k croître avec la vitesse V, possédée aux divers instants par le mobile; mais il ne sera pas superflu de le démontrer directement, sans calculs et par les seules considérations de la géométrie, d'autant plus que le principe est important, et s'applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans cesse, à se régulariser par l'action d'une force dynamique décroissante et dont l'intensité, uniquement variable avec la vitesse, suit une loi exactement continue et mathématique.

Traçons (PL Illyfig. 77 et 78) une courbe ABC dont les abscisses 0/', 0/", 0^'", . . ., représentent (50) les temps successivement écoulés depuis l'origine du mouvement, qui, ici, répond au point 0, et dont les ordonnées t' v', t"v'\ t"' v'\. .. correspondantes, représentent, au bout de ces temps respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force accélératrice ou retardatrice ; il est clair que, quand sous l'influence de celte même force, la vitesse augmentera [PU Illyjig, 77 ), ou diminuera [PL III,fig. 78), constamment, par succession insensible ou suivant une loi rigoureusement continue, la courbe s'éloignera ou s'approchera aussi continuellement de Taxe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la fin, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès lors, se confondre avec une parallèle à ce même axe; mais, comme une courbe continue diff'ère essentiellement, dans sa nature, d'une simple ligne droite, comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci, elle ne saurait, rigoureusement parlant, jamais dégénérer en une telle ligne, bien qu'elle puisse en approcher de plus en plus et indéfiniment, de sorte, par exemple, qu'au bout d'un temps

DES RÉSISTANCES. ^iS

excessivement long, ou à une dislance excessivement grande de l'origine 0, les vitesses ou ordonnées diffèrent aussi extrêmement peu de celles qui appartiennent à une droite DE, parallèle à Taxe OT, des temps ou des abscisses. Or cette droite est ce qu'on nomme une asymptote dans la géométrie des courbes, et c'est la valeur constante OE, TD, de ses ordonnées, que nous avons, tout à Theure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans Tair.

Telle est l'interprétation géométrique fort simple du fait qui nous a d'abord été révélé par le calcul et le raisonnement, fait qui se reproduit dans une infinité de circonstances, parce qu'il existe aussi une infinité de lois, une infinité de courbes qui donnent lieu à des asymptotes^ dont le caractère général est, comme on voit, de s'approcher continuellement et indéfiniment d'une certaine branche de ces courbes, sans néanmoins pouvoir jamais l'atteindre , droites que l'on considère aussi quelquefois, comme de véritables tangentes au point situé à l'infini sur une telle branche (*).

Les hyperboles, entre autres, dont nous avons rencontré des exemples dans divers numéros de cet Ouvrage, possèdent deux asymptotes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parties, car elles ont aussi deux branches infinies; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes : la parabole entre autres est dans ce cas. En gé-^ néral, on doit voir, par là, combien l'étude des courbes géométriques est utile pour la mécanique, puisque chacune de leurs propriétés répond essentiellement à quelqu'une des propriétés relatives aux lois du mouvement des corps ou de l'action des forces qui les sollicitent.

454. Réflexions sur la manière dont les moteurs communiquent le mouvement aux machines. — Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quel-

(*) On peut ici justifier directement cette notion en se rappelant (53) que le rapport de v a e, qui représente, en général, l'inclinaison des tangentes de la courbe sur Taxe des abscisses ou des temps, devient nul avec la force dynamique, 6u pour l'ordonnée qui répond à la vitesse limite, caractère qui appartient à une parallèle à l'axe dont il s'agit.

^f6 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

conque, il commence par la mettre en mouvement, avec un effort qui d'abord est très-grand (14.8), il détruit à la fois, au point où il opère immédiatement, et la réaction provenant de l'inertie des pièces de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles ; la force dynamique F, qui accélère le mouvement, est donc alors égale à l'excès de l'effort total du moteur sur Teffort que lui opposent directement celles des résistances dont il s'agît, qui sont indépendantes de l'inertie. Or, comme ces résistances, ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmentent de plus en plus avec la vitesse, et que l'effort du moteur décroît au contraire ( 14.8) constamment, il en résulte que le mouvement s'accélère de moins en moins, à peu près comme dans les cas qui précèdent, de sorte qu'il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme; mais ce n'est qu'au bout d'un temps, souvent fort long, que la vitesse atteint sensiblement la limite de sa valeur, à laquelle elle ne parvient même jamais, mathématiquement parlant, dans beaucoup de circonstances.

Toutefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en ce qu'ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l'intensité entière de leur effort primitif, malgré l'augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l'inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au point où elle est parvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n'est plus exactement applicable, et que la machine peut atteindre, au bout de très-peu de temps, l'état moyen du mouvement qu'elle doit conserver. Or, la même chose aura lieu (241) toutes les fois que la force motrice ou les résistances suivront une loi discontinue, arbitraire, et qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse.

455. Question particulière relative à la chute des corps dans Vair, — Les méthodes de calculs dont nous avons offert un exemple dans le n° 444, pouvant tout aussi bien s'appliquera la recherche des lois du mouvement vertical, ascendant ou descendant des corps, qu'à leur mouvement horizontal, puisqu'il ne s'agirait que de modifier, d'après ce qui a été dit aux

n*** kk^8 el 450, les valeurs de la force dynaniique, il serait peu nécessaire de revenir ici sur de semblables calculs; mais, attendu que, jusqu'à présent, nous n'avons point offert d'exemple de la manière dont on doit s'y prendre pour trouver l'espace décrit par le mobile, quand le temps est donné ou réciproque* ment, nous terminerons ce Chapitre par la question suivante, en elle-même assez digne d'intérêt.

Ayant observé expérimentalement y à l'aide d'une montre ou chronomètre, le temps qu'un corps a mis à tomber verticalement, d'une certaine hauteur, dans l'air, trouver cette hauteur.

Pour faire une telle expérience dans la vue, par exemple, d'obtenir la hauteur d'un édifice ou la profondeur d'un puits, il conviendrait, si l'on avait en 'sa possession un moyen trèsprécis de mesurer le temps, de choisir un corps sphérique exactement calibré, très-dense et d'un assez fort diamètre, afin de diminuer l'inlluence de la résistance de l'air et les incertitudes relatives à sa mesure. Dans le ras où, au contraire, il Reviendrait, par exemple, impossible d'apprécier le temps à un dixième de seconde près, on se servirait d'une boule assez légère afin d'augmenter la durée de sa chute, et c'est aussi ce que nous supposerons pour mettre le rôle de la résistance de Tair en complète évidence. Nous supposerons qu'ayant laissé tomber d'une certaine hauteur, une boule en bois d'orme de o",o3 de diamètre, et dont le poids P, mesuré directement dans l'air, aurait été trouvé exactement de o^'^ooiiS, l'observation directe du temps ait donné i",S pour la durée effective de sa chute, et nous prendrons k=zo^5i pour la valeur moyenne ou constante, la plus probable (425 et suivants), du coefficient de la résistance qu'éprouve une pareille boule, sous des vitesses qui, dans le cas actuel, ne sauraient dépasser celle de 22 à 23 mètres par seconde, comme on va s'en assurer, à posteriori, au moyen de calculs analogues à ceux du n" 451 (*).

C^) Dans cette hypothèse particulière de k constant, qui est toujours permise pour une faible étendue des variations de la vitesse V du corps (428), c'est-àdire quand on suppose la résistance exactement proportionnelle au carré de cette vitesse, on peut immédiatement calculer les lois du mouvement vertical et parallèle du corps par les formules ci-dessous, généralement connues et

718 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

Dans ces hypothèses et en supposant, de plus, les circonstances atmosphériques semblables à celles qui ont servi de base à rétablissement de la formule R = 0,06253 Ar A V* du n*» 431, on

aura

R = o, 00002298 V% à cause de

ce qui donnera (4W et iSO), pour calculer les lois du mouve-

qu'il serait facile de justifier encore à Taide de considérations purement géométriques.

Pour le mouvement vertical retardé, qui peut être aussi bien descendant qu'ascendant (450), même sous l'influence d'une vitesse initiale Y', on a généralement

relation dans laquelle a et 6 ont les valeurs numériques qui se déduisent des considérations des n"* 448 et 450, et l'on pourra calculer directement, la vitesse V et l'espace E, relatifs à un nombre quelconque T de secondes écoulées, au moyen des formules

iV'cosrT — sinrT „ , , .„, . „ ^

«V=-rrrï-: — =— ;s» «E = log(iV'sinrT4-cosrT): •

iV'sinrT-h cosrï "^ '*

où les. locrarithmes sont toujours (445, note) censés hyperboliques, tandis que i désigne la racine carrée du rapport numérique de a à ô, et r celle de leur produit \Jab, Si Ton veut calculer direcleraent le temps et l'espace qui répondent à une vitesse V donnée, on se servira de ces autres formules

rT^arctang^^.,^,^, 2aE = log ^-^^^ .

Quand, au contraire, il s'agira de trouver la vitesse V et le temps T qui correspondent à une hauteur donnée E, on recherchera dans les Tables hyperboliques, le nombre X dont le logarithme a pour valeur le produit crE, qui est aussi un nombre, et l'on calculera la valeur de V, au moyen de la formule

d'où l'on déduira finalement celle de T par l'avant-demière des formules qui précèdent.

Dans le mouvement vertical accéléré, descendant ou ascendant, la première des équations ci-dessus deviendra

- -b — ay*; t

a et b prenant de nouvelles valeurs numériques également faciles à calculer, et

ment, puisqu'il devient ici permis de négliger la considération du poids de Tair entraîné par la boule,

F = o^^Soi i3 — o, 00002298 VS

P o,ioiq47 ,r

g-F I — o,oo2o33oV*

en prenant 5^ = ^",809 et divisant, haut et bas, la valeur de t, par celle de P.

Ton aura, en supposant la vitesse initiale V nulle, comme cela arrive ordinairement,

«, , ïH-'V „ , I „ A /X'— I •

2rT = l0g y—T^, 2aE = log^----^^,, \=:^-r^^,

a, {', r, X ayant les mêmes significations que ci-dessus, et Y désignant, de plus, le nombre qui, dans les Tables hyperboliques, a pour logarithme le produit

rT ou yjabl, quand on se donne T à priori.

Nous avons réuni ici ces différentes formules pour la facilité des applications ; mais il ne faut pas oublier que les logarithmes étant hyperboliques, X et Y ne

sont autre chose que les nombres ou exponentielles e"^ ,, e^f , dans lesquelles la lettre e représente la base 2,71828*2 de ces logarithmes; de sorte que, si l'on fait usage de Tables ordinaires dont les logarithmes doivent être multipliés par 2,3o2585 pour reproduire les précédents, les valeurs X et Y, X* et Y' seront données par les nombres qui y ont pour logarithmes respectifs les produits

de aE, yjâhl, laEf 'iyJabT, multipliés par le logarithme ordinaire de 2,718282, ou par 0,4342945.

Pour la question particulière traitée dans le texte,

r = v/ôï = 0,44233, T = 2", 5, rT = I , io583, logY = 0, 4342945. rT;

ce qui donne Y = 3,02173, et, par la cinquième et la sixième des formules cidessus, relatives au mouvement accéléré,

aE= 2,3o258i) x log 1,676325 = o,5i66i, E = 25'n,899, V = 17^,796.

Dans le texte, nous avons trouvé, par une méthode de calcul qui n'est guère plus pénible et demeure applicable à une loi de résistance quelconque, E = 25"*, 976, V = 17"*, 75; résultats dont la différence avec les précédents est à peine de quelques millièmes de leurs Taleurs, et qu'il eût été facile d'obtenir à un plus grand degré d'approximation encore, sans compliquer beaucoup plus les calculs.

720 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

La limite de la vitesse que pourrait acquérir la boule dans sa chute indéfinie, devant satisfaire à la condition F = o, on obtiendra pour sa valeur

vitesse en dessous de laquelle devra se trouver sensiblement celle de la boule à l'instant où elle touche terre. D'un autre côté, si la chute se faisait dans le vide, la vitesse acquise au

bout des 2'', 5, serait (118)

quantité supérieure à la précédente, et qui, par ce motif, ne saurait être prise ici pour limite encore plus rapprochée de la vitesse effective ou de celles qui doivent entrer dans les calculs (kki), quoiqu'il puisse en être autrement dans le cas des fortes densités ou des petites chutes. Enfin la hauteur de chute dans le vide absolu ayant pour valeur

E = ig-T»=:-VT = i2^26x2",5 = 36^i8,

on est assuré, à l'avance, que la véritable lui demeurera inférieure d'une certaine quantité.

Cela posé, on commencera par rechercher, à l'aide d'un tâtonnement plus long qu'il n'est difficile, la vitesse finale qui, dans l'air, répond effectivement à la durée de 2'',5; car on en déduira ensuite sans hésitation (441) celle de E. A cet effet, on supposera arbitrairement cette vitesse finale de 16 mètres par seconde, c'est-à-dire plutôt trop faible que trop forte, et partageant ensuite l'intervalle de o à 16 mètres, en quatre parties égales, d'après la marche déjà employée au n** 444, on dressera la Table suivante des valeurs du quotient de P par g^F, facteur de v dans t :

Vitesse. Valeurs de -t; -

BE8 BÉSISTANGB8. ']2l

-ce qui donnera pour le temps qu^fié^ mobile met à acquérir la vitesse de 16 mètres dont il s'agit,

valeur un peu forte, mais qui probablement est exacte à 0^^,01 près, puisque la division en deux parties égales seulement, donnerait 2",o893 pour première approximation.

La durée des 2",o633 étant surpassée par les 2",5o données, d'une quantité moindre que le | de sa valeur, et les différences <;onsécutives des quotients fournis par la Table ci-dessus, ne pouvant (4.44.), à cause de leur marche croissante, appartenir qu'à une courbe qui s'écarte rapidement de Taxe des abscisses auquel elle tourne sa convexité, il en résulte que la vitesse <;herchée sera de beaucoup inférieure à i6™4^|x 16 ou 20 mètres, et qu'il deviendra nécessaire de resserrer davantage les intervalles d'abscisses. On formera donc celte nouvelle Table :

Vitesse. Valenrfl de —^ •

OÙ l'intervalle de 16 à 20 mètres se trouve divisé en quatre parties égales; ce qui donne i'',2966 pour le temps écoulé dans cet intervalle, ou i",3o3o, si l'on se borne à la division en deux parties égales; résultat qui montre que la première valeur doit être exacte jusque dans la troisième décimale au moins.

Celte même valeur, ajoutée à celle 2",o633, déjà trouvée, donnant, en somme, 3",36oo, on voit qu'en effet elle est beaucoup trop forte; et, comme elle correspond à une vitesse de no mètres, fort voisine de la vitesse limite 22", 18, on doit en conclure que, bien que celle-ci ne puisse jamais être atteinte par le mobile, cependant il faut à ce dernier assez peu de temps pour en acquérir une qui en diffère peu. D'un autre côté, s! l'on considère l'intervalle de 16 à 18 mètres, on trouve

•iXi"(o,2i265 -1-0,29887 +4 X 0,24726) =:o'',5oo2;

^22 MÉCANIQUE INDUSTBIELLE.

ce qui donne 2''y5635 poai|^ temps que la boule met à at^ teindre la vitesse de i8 mètres. Ainsi cette vitesse, encore trop forte, doit difiFérer très-peu de la véritable, qu'on découvrira en observant que, si Tintervaile de 2 mètres entré les 16 et 18 mètres de vitesse, donne un accroissement de temps de o",5oo2, l'intervalle qui répond à la difiFérence o'',o635 entre les temps 2", 5635 et 2",5ooo, doit différer fort peu de

o,5ooo ^

que nous réduirons à o",25 puisqu'en substituant ici la corde à l'arc (4.47), nous devons trouver une valeur un peu trop forte. Finalement donc, la vitesse correspondante aux 2", 5 données, est, à une petite fraction près,

Maintenant que cette vitesse est connue, on trouvera l'espace qui lui correspond, en multipliant, comme on Ta fait au n** W5, les valeurs déjà trouvées du quotient de P sur g-F, par les valeurs respectives de V, afin d'obtenir celles des facteurs de V dans l'expression de e (4.41 ), etc. En procédant à ces nouveaux calculs, dans Tordre qui a été précédemment suivi, on trouvera : i** iS^jSiipour la hauteur de chute relative aux 16 premiers mètres de vitesse acquise; 2° 8™, 532 pour celle qui répond à riniervalle compris entre la vitesse de 16 à 18 mètres; 3** y X 0,25 X 8"', 532= i'°,o67 pour celle que décrit le mobile pendant qu'il passe de la vitesse de 17"", 75 à celle de 18 mètres; ce qui donne, pour la hauteur de chute effective,

valeur qui ne doit supasser la véritable que de quelques centimètres. On trouverait, par une marche exactement inverse, la durée relative à une hauteur de chute donnée, et il va sans dire que des calculs absolument semblables serviraient à faire découvrir toutes les particularités du mouvement ascensionnel des corps dans Tair ou dans des fluides quelconques.

DBS BÉ8I8TAlfCS8. 7^3