R=A(P-PO-:/-/?A— , /-==— -^L-^^-I

à laquelle on arrive, de suite, si, en conservant toutes les dénominations précédemment admises, on pose, d'après le principe des force.* vives, l'équation

DBS RÉSISTANCES. ^35

qui exprime la loi de récoulement du fluide entre les sections extrêmes X'^ A'— A et de laquelle M a disparu comme facteur à tous les termes, mais où, pour plus d'exactitude, on devrait affecter U et U' d*iin coeflScienl numérique différent de celui n\ qui convient à W, si la poupe n'était pas assez allongée et bien disposée pour ramener les filets fluides au parallélisme.

La formule qui donne, pour ce cas général, la valeur de R, revient donc toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail, par la demi-somme des pertes des forces vives, et son facteur /• doit encore pouvoir être conclu de l'observation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages, d'une forme analogue à celle du canal fictif, si on les adaptait, à la manière ordinaire, à l'une des parois planes d'un réservoir vertical rempli d'eau uniquement soumise à l'action de son propre poids, mais dont les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l'ajutage.

Pour rendre, en «ffet, l'équation des forces vives ci-dessus, applicable à ce dernier cas, et propre à donner la vitesse U, d'écoulement par l'orifice extérieur A'— A,, en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à l'axe de la veine, il suffit d'y supprimer le terme en V^ et de remplacer le deuxième membre, par le produit ag^H; d'où il résulte que si Ton nomme /x, le coefficient de réduction de la dépense hypothétique

Q = (A' — AJv^a^H, et qui porte essentiellement sur la vitesse /ag-H, on devra avoir, d'une part,

de l'autre,

ce qui permettra de calculer immédiatement la valeur de la résistance au moyen du coefficient p, fourni par les expériences des tubes divergents dont il vient d'être parlé.

(A-). Comparaison du résultat des formules avec ceux de P expérience. — Supposant, en particulier, la proue et la poupe disposées (/'Z. III ^fig, 82) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval, le coefficient m de cette contraction deviendra l'unité, et A, nul ; si, de plus, comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L, de la partie prismatique du corps,, est très-petite, on pourra négliger le frottement latéral, et (/) l'on aura /x = i, ce qui

736 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

donnera simplement pour le coefficient de la résistance,

Prenant, comme dans le cas ci-dessus des plans minces, «'*= 1,149, et observant que « — «' doit être ici une très-petite fraction dont il devient permis de négliger le carré; prenant en outre, A'= 4A pour la limite inférieure de A', relative au cas des corps en repos choqués par un fluide en mouvement, et A' = 6, 46 A pour celle des mêmes corps en mour vement dans un fluide en repos, on trouvera approximativement, dans les hypothèses actuelles où l'on néglige l'influence dii frottement latéral,. en même temps qu'on suppose au corps la forme la plus avantageuse possible, /' = o,i3 et X^ = 0,04, pour le coefficient de la résistance dans ces deux cas respectifs ;ce qui n'off're rien de contradictoire avec les résultats connus de l'expérience (417 et 423).

Il y a plus même, on doit pressentir, d'après les conditions qui viennent d'être assignées au maximum de réduction de la résistance, que, pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas une continuité parfaite, pour les prismes rectangles, par exemple, armés de proues et de poupes d'ailleurs disposées et raccordées avec les faces latérales, aussi bien qu'il est possible, on ne saurait éviter entièrement les effets de contraction, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans la marche naturelle des filets, vis-à-vis des parties anguleuses ou tranchantes; et de telles perturbations sont la source inévitable, soit d'une perte de force vive, soit d'une diminution de la section contractée tn(k'—'A) d'amont, équivalente à un accroisement (i — m) (A'— A), de la section transversale correspondante du corps.

(/). Remarques sur la théorie précédente. — L'application du principe des forces vives pourrait, avec des modifications convenables, s'étendre évidemment au cas des corps flottants ou en partie plongés dans les liquides ; mais, comme on le voit, ce principe ne mettant point en état de découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des filets, résultant d'une forme déterminée du corps, il ne saurait non plus servir à résoudre l'important problème des surfaces de moindre résistance, qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il peut bien indiquer en blocj qu'on me passe l'expression, la marche générale de la pression, de la résistance totale, en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps; mais c'est, comme on l'a vu, en admettant la détermination expérimentale de certains coefficients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets ou à l'inégalité d'intensité et de direction de leurs vitesses dans certaines sections du courant. En rattachant, de cette manière, le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéfinis aux phénomènes mieux étu-

diés de leur écoulement dans les vases, les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simpliHcalion véritable apportée à la question, et, sous ce rapport, les formules auxquelles elles conduisent peuvent oflrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Bernoulli et Euler (373), en considérant d'une manière fort incomplète le mouvement des molécules comme se faisant dans autant de filets ou tuyaux indépendants.

(///). Examen critique de la théorie de Bernoulli et d' Euler. — Nommant toujours/? la densité constante du fluide, etV sa vitesse d'affluence uniforme en amont du corps, dk Taire de la section transversale de Tun

des tuyaux formés par les filets au point où la vitesse est V, dm = ^ dAY

g la masse qui s'écoule uniformément par cette section dans l'unité de

temps, enfin a T angle formé par le tuyau avec Taxe du corps, censé

parallèle à V, en un point où la vitesse est U, c'est-à-dire l'angle de V

et de U; la pression élémentaire due au changement d'intensité et de

direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant

estimée dans le sens de V, sera, d'après Euler et Bernoulli, donnée par le

produit

W U \ dm (V — Ucosa) = apr/A — I i — r? cosa )

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le même sens, en chaque seconde, par la réaction de la portion du filet comprise entre les deux points mentionnés; et par conséquent, pour l'ensemble des portions analogues des filets que l'on considère comme ayant subi les effets de la déviation en amont du corps, la pression totale P est donnée par l'expression

où U et a sont fonctions des variables qui fixent la position des filets ou de leur section d'arrivée r/A, l'intégration devant avoir lieu depuis l'axe central de la veine, jusqu'aux filets extérieurs qui, restant rectilignes et parallèles, cessent d'être mûuencés par la présence du corps. Or on voit que cette formule laisse, pour ainsi dire, tout arbitraire ou indéterminé, et qu'on ne peut lui donner une forme plus explicite, à moins d'admettre, avec Euler et Bernoulli, que U et a soient indépendants de la position de r/A, ou d'attribuer à ces variables une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par l'expérience; ce qui est précisément le point de la difficulté; car on arrive à des résultats très-différents selon

qu'on rapporte a et U aux points d'inflexion même de Blets ou à des points situés au delà, vers les extrémités du corps.

D'un autre côté, rien ne fixe, à priori, les limites de Tintégration; et si, pour sortir de cette nouvelle indétermination, on prend, avec quelques auteurs, pour ces limites, celle de la section transversale du cylindre circonscrit à ce corps, section dont l'aire serait représentée par A, ce qui donne la formule

R = ipk ( I — rrCOSa I,

on tombe dans un nouvel arbitraire, puisqu'on sait bien que la présence du corps se fait sentir à une distance de son axe central, égale à i ^ fois, au moins, sa largeur réduite, de sorte que / dk ne serait jamais audessous de 4 A. Ce n'est donc que par une sorte de compensation d'erreurs que cette expression de la résistance représente assez fidèlement la marche du phénomène, et je ne pense pas que M. Bidone, ainsi qu'il a prétendu le faire dans son intéressant Mémoire sur la percussion des veines d'eau^ imprimé en i836, parmi ceux de l'Académie des Sciences de Turin (t. XL, p. 8i), je ne pense pas, dis-je, qu'il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse, mathématiquement parlant, l'application de cette même formule aux fluides indéfinis, sans tenir aucun compte de ce qui se passe sûr les faces postérieure et latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de ne pouvoir rendre compte des effets dus à l'allongement des prismes, explique suffisamment les motifs qui ont dirigé l'Académie des Sciences de Paris, lorsqu'en 1826 elle a, de nouveau, remis au concours la question de la résistance des fluides, en exigeant qu'elle fût appuyée sur l'étude expérimentale de la marche que suivent les vitesses et les filets au pourtour du corps; mais peut-être ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut se rendre compte par cette considération, d'une manière un peu plus claire qu'on ne l'a fait jusqu'ici, des principaux phénomènes relatifs aux changements de pression observés dans les expériences.

( /^ ) . Examen de la marche des pressions en amont des corps exposés à Faction des fluides. — Occupons-nous d'abord de ce qui se passe dans l'intérieur de l'espèce de vase formé, en amont du corps (PI. III, ^^.55 et 80), par les parois fictives LM, L'M', qui, on ne doit pas l'oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pression exercées du dehors au dedans, si de telles différences étaient possibles ou s'il n'arrivait pas, dans la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément égales à la pression hydrostatique du milieu. Si l'on se rappelle bien le contenu des n®" 374 et 378 de cet Ouvrage, concernant la marche des filets qui, par la présence du corps sup«

DES BÉSISTANGES. 789

posé immobile dans les fig, 53, 55 et 80, sont contraints de s'infléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leur convexité à la face CD du corps et à leur axe central aB, tandis que dans la seconde, ils lui opposent leur concavité ; si Ton se rappelle çfi outre que, dans l'écoulement des fluides le long des petits tuyaux analogues à ceux qui sont formés par les filets, la pression élémentaire ou différentielle, eu chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle, est nécessairement dirigée de la concavité vers la convexité, et croît avec la courbure et la vitesse; si enfin on considère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l'angle B«C ou Ba D, et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une surface lieu des points ^'inflexion des filets, on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois fictives L/2, L'n\ et va sans cesse en augmentant et en s'ajoutant à elle-même, à mesure que l'on s'avance vers la paroi solide CD et l'axe aB, où elles s'entre-détruisent de part et d'autre, ou, plus spécialement encore, à mesure que l'on s'avance vers le point milieu a de cette paroi. De là d'ailleurs résulte une accélération correspondante de vitesse, de a vers C ou D, accompagnée d'une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois L/2, L'/i', est nécessairement égale à la pression statique, elle lui devient supérieure dans toute la région comprise entre le point a et la surface des inflexions dont il a été parlé.

(0). Région des pressions négatives^ limitée par la surface des points d^injïexion des filets, — Pour la région postérieure du vase, comprise entre celte surface et les sections contractées w/i, m'n\ la courbure des filets étant dirigée en sens contraire, la pression totale, celle qui résulte de l'accumulation des pressions partielles, s'exerce du dedans vers le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu'on s'éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives L/î, L'w'; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique, il faut qu'elle soit moindre ou négative dans toute la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales du corps, où la veine contractée vient à s'épanouir, à rejoindre ces parois, et les filets à subir [PL III, fig. 53 et 55) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules, elle doit, sous l'influence de ces pressions croissantes du dedans vers le dehors, tendre à s'accélérer dans le même ordre, c'est-à-dire dans l'ordre précisément inverse de celui qui avait lieu dans la région antérieure du vase, et ceci semble justifier l'hypothèse précédemment admise [b et d) relativement aux limites assez étroites dans lesquelles se trouvent renfermées les inégalités de vitesse des filets qui franchissent les sections contractées mn^ m'n'.

D'un autre côté, il semblerait également permis d'admettre que^ pour

74o ^ HÊGANIQOE INDUSTRIELLE.

les points de la surface des inflexions, où la courbure des filets et les forces centrifuges deviennent nulles en changeant de sens et de signe, Ie& pressions totales et les vitesses dussent redevenir elles-mêmes sensiblement égales à celles du fluide ambiant, par suite de raccélération éprouvée antérieurement par ces dernières ou de la diminution subie en, même temps par les pressions, mais ce serait admettre implicitement le parallélisme des filets dans tous les points d'inflexion dont il s'agit, ce que rien n^autorise à supposer.

(/?). Analogie de ces phénomènes avec ceux que présente V écoule ment par les jorifices des vases ordinaires, — Il ne sera pas inutile de remarquer que les considérations précédentes pourraient, tout aussi bien, s'appliquer aux phénomènes de l'écoulement des liquides par les orifices des vases ordinaires, et que M. Lechevaller, dans des Mémoires approuvés par l'Académie des Sciences, a démontré l'existence d'une surface ellipsoïdale interne, voisine de l'orifice, qui doit avoir de l'affinité avec celle des inflexions dont il vient d'être parlé, et à partir de laquelle les filets commencent à être soumis à des changements de courbure et à une accélération de vitesse sensibles. On pourrait ainsi rendre compte de quelques-unes des particularités offertes par la veine extérieure où la force centrifuge paraît jouer im grand rôle tant que la courbure des filets n'est pas redevenue complètement nulle ; et notamment de pareilles considérations serviraient très-bien à expliquer pourquoi les formules relatives à récoulement des fluides élastiques, dans lesquelles M, Navier a eu égard à la détente, conduisent, en apparence, à des résultats erronés pour le cas de très-grandes difl'érences de pression ou de très-grands changements de vitesses.

( </ ). Bégions latérales et postérieures du corps, — Maintenant si l'on considère, par exemple dans le cas des prismes [PL III,, fig, 55), la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction faite des tourbillonnements partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant bcusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée, il est évident que la pression doit se trouver la même en tous les points, c'est-à-dire égale à la pression statique du milieu, puisqu'il n'existe plus de courbure dans les filets et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux extrémités des courants latéraux, près de la face postérieure du corps, les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qui les ramène vers l'axe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu'en mn et m'n\ la pression totale, due à la somme des pressions individuelles des filets, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM, L'M où elle est toujours celle du milieu ambiant, jusqu'aux filets intérieurs des

DES RÉSISTANCES. 'J^l

tourbillons où elle redevient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression statique dont il s'agit.

(r). Influence spéciale des proues et des poupes. — D'après ce qui précède, on conçoit très-bien que l'inQuence d'une proue continue et courbée vers le dehors {PL III, fig, 53 et 82), ajoutée à un prisme, doit être de reporter vers le milieu «, du corps, ou le sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare, en amont, la partie soumise à des pressions négatives de celle qui l'est à des pressions positives, tandis que l'addition d'une poupe, courbée de même, n'a d'influence, pour diminuer la pression, qu'autant qu'elle offre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filets qui tendent à former les tourbillons de l'arrière, et dont la vitessse est d'ailleurs déjà fort affaiblie dans le cas où le corps, manquant d'une proue, a, par lui-même, une certaine longueur.

En appliquant à cette manière d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, les considérations sur lesquejles se fonde la formule de Bernoulli et d'Euler, on arriverait à des résultats moins entachés d'arbitraire, et peut-être plus propres à représenter les données de l'expérience ; mais, au lieu d'insister sur cet aperçu , nous indiquerons rapidement comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d'un plan mince, exposé obliquement à l'action d'un fluide indéfini.

(s). Des plans minces exposés à V action oblique des fluides [PL III, Jig, 81). — En admettant toujours, comme un fait de l'expérience, que le mouvement des filets s'opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives L/i et \Jn\ et dont le fluide s'écoulerait par l'orifice annulaire formé par l'intervalle compris entre le plan CD et ces parois, on devra remarquer : que la contraction n'est plus la même sur tout le pourtour de l'orifice; qu'elle ost plus forte sur l'arête C du plan, la plus avancée vers l'amont, plus faible sur l'arête D qui l'est le moins, et à peu près égale à ce qu'elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire à la figure;, que d'un autre côté, l'axe central «B de la masse fluide soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l'arête C que de l'arête D, conformément au résultat des expériences du docteur Avanzini (Instituto nationale italiano, t. I, part. 1), citées dans le Mémoire (403^ de M. Duchemin, lequel observe, avec raison, que cet axe et par conséquent le centre de pression a, sur la surface antérieure du plan, doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités de mouvement détruites dans les filets, parallèlement à ce plan, soit égale tout autour ou de part et d'autre de sa direction. Il est clair, en effet, d'après les considérations exposées en dernier lieu, que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent aux angles aigus formés par Taxe aB, avec le plan CD, que pour ceux qui appartiennent aux angles

obtus supplémentaires, il doit en être ainsi des pressions que ces filets engendrent respectivement soit sur le plan CD où elles s'ajoutent, soit sur l'axe aB où elles tendent à se détruire en se contrebutant.

Dé là résulte aussi que la masse des filets qui s'écoulent vers la partie aCy allant toujours en diminuant, par rapport à celle des filets qui s'écoulent vers «D, à mesure que l'angle d'incidence B^C devient plus aigu, l'influence de l'accroissement de contraction subie par les premiers doit aussi s'affaiblir rapidement avec cet angle; de sorte que le coefficient moyen /w, de la contraction sur le pourtour du plan CD, doit généralement augmenter, mais moins rapidement que celui qui conviendrait à la diminution de la convergence des filets en D ou en m'n'.

(t). Formules relatives à ce cas, — Conservant les mêmes dénominations que pour le cas du choc normal (c), et observant que la différence des pressions reçues par le plan oblique CD, doit être mesurée par le produit A(P— P') dans le seijs perpendiculaire à ce plan, et par Asina (? — ?') dans le sens parallèle à l'axe AB du mouvement, on aura, en appliquant ici le principe des forces vives sans faire de distinction entre les diverses régions ou les divers modes d'écoulement,

/î'U'-V^=2^^^=^', 7w(A'-Asina)U=A'V;

ce qui donne pour le choc perpendiculaire.

^ ~ ^^ 'ig\m\A'- AsmoLy~'' ) ^'^''' ~ /w^ (A' - A sin a )' *'

et, pour le choc oblique sous l'angle aigu B«C = a,

V^ / n'X'^ \ . 7?^A^^sina

^■~^^Ï^W(A'--Asina)^ ijsma, ^ ~ „,2^j^. ^^^^^^^^

2 — sma.

Or, en se rappelant que m augmente seulement depuis m = 0,76, qui correspond (d) à a = 90°, jusqu'à m = 0,88, qui paraît convenir, en effet, aux plus petites valeurs de a, lorsqu'on prend, comme pour le choc direct, /2^= i,i5, A'= 6,46A, en se rappelant, dis-je, cet accroissement progressif de m, il sera facile de vçir que les valeurs ci-dessus du coefficient de résistance /', marchent effectivement dans le sens indiqué par les expériences dont les résultats sont reportés dans la Table du n° 402.

On doit comprendre d'ailleurs, d'après tout ce qui précède, pourquoi la résistance des plans minces obliques est très-différente de celle des angles dièdres (412), formés par deux tels plans ou par les faces également planes .d'une poupe triangulaire (416 ; PI. III, fig. 68) adaptée à un prisme : dans

BBS RÉSISTANCES. 743

ces deux derniers cas, l'axe central des filets passe par le sommet de l'angle dièdre formé par les plans, et la contraction se réduit à celle qui a lieu pour les arêtes postérieures de ces mêmes plans, etc.

{u). Considérations relatives aux tourbillons. — Nons terminerons cette Note par quelques remarques concernant les tourbillons qui, en différents cas, tendent à se former dans les fluides, et sont la principale source des pertes de forces vives qu'ils éprouvent lors des changements brusques de mouvement.

A cet égard, il est très-essentiel de distinguer les remous^ en quelque sorte stationnaires, qui se forment dans les anses et les creux d'un bassin, d'un canal traversés par un courant vif ou principal, d'avec les tourbillons proprement dits, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers, comme on le voit exprimé en m et m' [PL III, fig. 54 et 55) sont simplement dus au frottement latéral (376) et révolutif d'une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s'agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation, l'incurvation éprouvée par ce courant, toutes les fois qu'il vient à atteindre une masse fluide douée d'une vitesse moindre ou contraire à la sienne propre, quoique parallèle. C'est ainsi que la rencontre de deux courants d'air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous avons de fréquents exemples; et qu'on pourrait définir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires, ce qui n'implique pas nécessairement l'idée d'un choc direct, mais d'un choc en quelque sorte tangentiel, et par suite duquel les deux courants sont sollicités à s'enrouler, pour ainsi dire, autour d'un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C'est encore ainsi que les tourbillons se forment à l'arrière des corps en mouvement dans un fluide, par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons plus intimes qui peuvent être dus à l'épanouissement graduel d'une veine après qu'elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section, ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu'ils appartiennent à une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont été mentionnés au n"* 375, et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

(p). Expression de la perte de force vive qu'ils occasionnent. — Considérant spécialement le cas des grands tourbillons, il est aisé de voir qu'aux premiers instants de leur formation, leurs divers anneaux ou spires sont doués sensiblement de l'excès de la vitesse V du courant qui les produit, sur la vitesse d'entraînement général U du courant postérieur; de sorte que si M est leur masse totale, ou la masse qui, dans l'unité de temps, est ainsi transformée, la force vive qu'elle entraîne ou dissimule et qui devient une source de perte de travail, doit réellement être mesurée par

l'expression M(V— U)*, admise ordinairement en se fondant, non plus, comme l'avait fait anciennement Borda, sur le choc des corps durs qui n'a rien à faire ici, mais sur la vitesse relative d'affluence d'une veine fluide dans un vase en mouvement. Or l'équation ordinaire des forces vives ne tenant pas compte explicitement de pareilles pertes de travail, non plus que de toutes celles qui proviennent des actions moléculaires, il convient de les ajouter aux diminutions, en quelque sorte patentes, éprouvées par la force vive, c'est-à-dire ici à la quantité MV* — MU^.

Mais en dehors du cas dont il s'agit, par exemple dans celui du choc des veines isolées contre des surfaces d'une certaine étendue, il ne parait pas qu'on soit autorisé à le faire, à l'imitation de Borda, du moins en s'appuyant sur les mêmes motifs, et on ne serait guère plus en droit de comparer ce qui se passe dans une telle circonstance, ou en général dans l'épanouissement, la déformation des veines liquides, à ce qui a lieu même dans le choc des corps mous; car la cohésion joue, à l'égard de ceux-ci, un rôle qui ne paraît nullement avoir lieu pour les liquides, du moins dans les hypothèses où l'on se place ordinairement, et où l'on prétend tenir compte séparément de la force vive conservée par les molécules après la déviation.

(x). Perte de quantités de mouvement. — Quand on veut, au contraire, raisonner en s'appuyant sur la considération des quantités de mouvement perdues ou gagnas, dans le choc des fluides, il devient absolument inutile d'avoir égard à celles qui résultent des tourbillonnements; car la perte se réduit intégralement à la différence absolue MV — MU, puisque les signes des quantités partielles de mouvement, des filets ou spires qui composent ces tourbillons, estimées dans le sens de U et de V, étant donnés par les signes mômes des vitesses qui entrent en facteurs dans leurs expressions, la somme algébrique de toutes ces quantités devient naturellement nulle; ce qui n'a pas lieu pour celle des forces vives correspondantes, puisqu'elles conservent le signe positif sur le pourtour entier des spires. Mais, ainsi qu'on l'a expliqué au n"* 375 du texte, la force vive giratoire des tourbillons, telle qu'on l'a exprimée ci-dessus, est complètement perdue pour les effets ultérieurs du courant qui les emporte dans son mouvement rccliligne et parallèle.

[y). Changements subis par la vitesse des tourbillons de la part du niilîru ambiant. — Pour en finir sur ce sujet, nous ferons remarquer que si la vitesse circulatoire est sensiblement la même, dans toute l'étendue des tourbillons, aux premiers instants de leur formation, il s'en faut que les choses demeurent dans cet état après un certain temps où ces tourbillons, détachés du courant producteur et entraînés dans le mouvement général du milieu, sont soumis, de sa part, à l'action d'un frottement latéral qui tend à ralentir leur mouvement de proche en proche, ou d'une

Spire à l'autre, d'une manière d'autant moins sensible que l'on s'approche davantage de leur axe central , ce qui explique la loi observée par Newton et Léonard de Vinci (375, p. 570). Il résulte d'ailleurs de ce mouvement giratoire des tourbillons, que la pression doit, à cause de la force centrifuge, y augmenter de Taxe à la circonférence, et qu'étant égale à la pression du milieu ambiant, en ce dernier point, elle doit être moindre ou négative sur l'axe. Mais nous n'étendrons pas plus loin cette discussion, qui conduirait à l'explication mécanique du phénomène, si généralement connu, des trombes, sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre occasion.

I. — Table des hauteurs dues à différentes vitesses, les unes et les autres étant exprimées en mètres, et la seconde sexagésimale étant prise pour unité de temps.

(Extrait de la Table donnée par H. Nat ier, dans les Jdditions à l'Architecture hydraulique de Bélidor, et corrigée en quelques points, d'après les indications de U. de Prony.)

II.— Table des logarithmes hyperboliques, calculée de 100^ en iOO*' d'unité, depuis 1,00 jusqu'à 10,00; et d'unité en unité depuis 10 jusqu'à 100.

( D'iiprèft M. de Prony, Annales des Mines, t. Yin, i83o. )