PRINCIPALEMENT FONDÉE SUR LA CONSIDÉRATION DES FORCES VIVES

(a). Notions préliminaires et fondamentales. — On a pu voir, par t'expose des n"" 373 et suivants de cet Ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides laissent encore de vague et d'obscurité, et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique, par un lien plus solide, et qui, en l'absence d'une théorie mathématique rigoureuse, permit, au moins, de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de Tex^érience. Or cela ne nous parait nullement impossible, si, en considérant ces résultais dans leur ensemble, on essaye de les déduire, d'une manière plus explicite qu'on n'a pu le faire dans le n° 381 du texte, de l'application du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu, par BernouUi et Borda, dans leurs recherches physico-mathématiques sur l'écoulement des liquides.

Rappelons-nous, en effets cette remarque importante due à l'esprit ingénieux de Dubuat, et qui s'est présentée en plusieurs endroits du texte, notamment aux n"*' 378 et 379, 392 et 418 : Quand un corps est exposé à l'action directe d'un fluide, les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultant de l'obstacle que présente ce corps à leur libre passage, que dans une certaine région de part et d'autre de l'axe du corps, parallèle à la direction du mouvement; çlles se meuvent^ comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois LM, L'M' [fig, 53, 55, 8o, etc., PL III) seraient parallèles et à peu près équidistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit luimême au corps, suivant la direction du mouvement absolu ou relatif;

.724 MÉGÀIfIQUS INDUSTRIELLE.

de sorte qu'en amont de ce corps, Técoulement se ferait comme dans un vase qui offrirait, sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice annulaire déterminé par Tintérvalle compris entre les extrémités du corps et les parois fictives dont il vient d'être parlé, parois qu'il serait d'ailleurs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu'à la région où les tourbillons et mouvements excentriques quelconques viennent à se propager (375) dans les masses latérales du fluide.

Cette manière d'envisager le phénomène de la résistance est si nalurelle, que Dubuat l'a formellement indiquée au n*^ 437 du tome II de ses Principes d* Hydraulique, et que les expériences subséquentes de M. Duchemin, consignées dans ses Mémoires (373) successivement présentés^ à l'Académie des Sciences, l'ont conduit à comparer, du moins pour le cas où le corps en repos reçoit le choc de l'eau en mouvement, les phénomènes d'accélération et de déviation présentés par les filets liquides, sur le pourtour entier- du corps, à une contraction renversée, qui, dans le cas des prismes, prendrait, jusqu'à un certain point, les caractères du phénomène si connu des ajutages cylindriques ou tuyaux additionnels, adaptés aux orifices d'écoulement des vases (413 et Note). Mais, loin de poursuivre cette idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Duchemin s'est contenté d'en déduire, par<.une comparaison un peu forcée, par une sorte d'empirisme, la formule d'interpolation rapportée dans la Note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu'elle a de représenter les quatre résultats des expériences de Dubuat (413) vérifiées par celles del'Âute.ur, nous paraît d'autant moins admissible en elle-même, que Tanalogie sur laquelle elle se fonde n'aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu'il deviendrait alors nécessaire (414) de changer à la fois de principes et de formules. Or on arrive à des conséquences très-difl'érentes, lorsqu'on adoptant sans réserve l'idée ingénieuse de Dubuat, on lui applique, comme on l'a indiqué ci-dessus, les belles théories de Bernoulli et de Borda.

[b). Hypothèses admises. — Dans cette application du théorème des forces vives, on suppose ordinairement que les pressions et les vitesses des molécules fluides sont égales, dans certaines régions où le mouvement est parallèle, comme par exemple en amont aux points L, L', ÙQsfig, 53, 55, 80, etc., iP/.///, ce qui est évidemment ici permis, ou vers les points m et /i, m' et n' qui appartiennent à la section contractée, pour laquelle la convergence des filets, au sortir du vase, devient la plus forte et l'hypothèse beaucoup moins évidente, bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (*) sur le choc des veines liquides, soit entre elles, soit contre Tori-

(*) Annales de Chimie et de Physique, t. LV, i833.

DBS RÉSISTANCES. 725

fice du tube maDométrique de Pitot (378), prouvent que le fait est vrai dans le cas où de telles veines sont produites par Fécoulement permanent d'un liquide au travers d*oriûces circulaires, pratiqués dans les parois minces de réservoirs très-grands par rapport aux dimensions de ces orifices ; et cela résulte aussi de la vérification à posteriori des formules obtenues dans cette hypothèse, pour la vitesse et la dépense de liquide, Mais, dans le cas qui nous occupe où une masse fluide indéfinie vient rencontrer un corps solide en repos, il ne paraît pas que la même hypo« thèse soit permise ; tout porte à croire, au contraire, comme on le verra plus loin, que la vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus petite vers IHntérieur de la veine contractée en m et m\ qu'à Textérieur en n et n\ où elles doivent être simplement égales à celles du milieu ambiant. D'un autre côté, en considérant ce qui se passe à une petite distance, en amont de l'orifice d'écoulement, c'est-à-dire dans l'espace que l'on assimile à un véritable réservoir, on ne voit pas que l'on soit plus fondé à y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets, et dont l'excès sur celles qui ont lieu en aval du corps, détermine certainement l'accélération de vitesse reçue par le fluide en mn et m'n\

Cependant, nous admettrons, dans l'application du principe des forces vives à ce mode d'écoulement, l'hypothèse ordinaire du parallélisme des tranches, ou des vitesses et des pressions moyennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales, par l'aire de ces tranches respectives, non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes, mais pour avoir des rapports, des relations qui, au moyen de certains coefficients à déterminer par l'expérience, indiquent approximativement les lois du phénomène, ainsi que cela a lieu, par exemple, dans le cas des déversoirs, où le principe des forces vives conduit à des formules de celte espèce. Seulement il ne faudra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à l'égard des pressions, elle tend, quant aux vitesses, à diminuer l'expression de la somme des forces vives, d'une fraction numérique de sa valeur, qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et leurs directions respectives varient dans chacune des sections ou tranches planes à considérer.

Enfin, il est bon de le remarquer, cette manière d'envisager la question de la résistance des fluides ne difl'ère, au fond, de celle du n° 381, qu'en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement, au lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et, si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitessea individuelles, c'est afin d'arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses pertes de forces vives qui, dans le cas d'un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour l'entretenir à un même état de mouvement, travail dont la valeur est alors, en eflet, clairement indiquée par le produit dont les facteurs sont : l'aire de la projection du corps sur un

726 HÉGINIQUB INDUSTRIELLE.

plan perpendiculaire à la direction de sa vitesse, Fexcès de la pression moyenne d'amont sur celle d'aval, et la distance uniformément parcourue dans chaque élément du temps ou dans chaque seconde. Mais quoiqu'on n'aperçoive plus aussi bien, dans le cas d'un corps en repos choqué par un fluide en mouvement, la relation entre les pertes de forces vives et le travail moteur qui, en réalité, se trouve alors représenté par celui des pressions censées appliquées aux tranches extrêmes de la masse liquide, il n'en est pas moins évident, à priori, que l'un de ces cas peut être ramené à l'autre par la considération des mouvements relatifs; c'est pourquoi nous ne traiterons ici que la question du choc, sans nous préoccuper, en aucune manière, dans nos raisonnements, de celle qui concerne spécialement la résistance^

( c). Plan mince soumis au choc direct d'un fluide» — Ces préliminaires étant établis, considérons d'abord un plan mince CD (PL Illyfig, 80), de surface A, et qui se trouve plongé, au repos, dans un fluide indéfini de densité /?, animé de la vitesse uniforme Y, perpendiculaire à sa direction. Nommons :

À' l'aire de la section transversale du canal formé par les parois fictives LM, L'M ;

m le coefficient de la contraction effective éprouvée par les filets en m/i, m'n\ c'est-à-dire le rapport de l'aire de leur section transversale, à celle k'^k^ de l'orifice annulaire du réservoir ;

W la vitesse moyenne du fluide dans la section contractée mn^ nt'n\ dont l'aire est m (A'— A);

n le facteur numérique, supérieur à l'unité, par lequel doit être multipliée la vitesse W, pour redonner la somme des forces vives effectives dans ces mêmes sections ;

P et P' les pressions moyennes, par unité de surface, qui ont lieu en amont et en aval du plan CD ;

Q enfin le volume et M = /? - la masse du fluide qui, dans l'unité de

temps, s'écoule uniformément par chacune des sections transversales A' et m ( A'—A) ;

on aura, en appliquant le principe des forces vives à la question, comme on le fait ordinairement dans l'hydraulique, et sans s'inquiéter aucunement ici de la manière dont les pressions partielles se trouvent distribuées dans les tranches extrêmes A' et w(A'— A), en amont ou en aval du corps,

/.'W'-MV»=a^-M(?-|'), ,^'W^-V»=2^(^-^'^;

DBS RÉSISTANCES. 727

d OÙ Ton tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la différence des pressions absolues supportées par le plan CD, sur l'étendue, A, de ses deux faces,

Mais, à cause de la continuité, ou parce qu'il doit s'écouler dans l'unité de temps, la même masse de fluide par la section contractée m (h! — A), qu'il en afflue uniformément par la section d'amont A', on a aussi, dans l'hypothèse où ce fluide n'éprouverait qu'une variation de volume insensible, en passant de la pression F d'amont, à la pression F' d'aval, don( la première est supérieure et la deuxième inférieure à la pression naturelle ou statique du milieu,

ce qui donne finalement

pour la valeur du coefficient /- (382) de la formule R = //^AH.

{d). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de V expérience. — Si l'on admet le résultat des recherches expérimentales de Dubuat, qui donnent ici (406), /' = i,86 pour le coefficient de résistance des plans minces^ et A'= 6,46A pour la limite (418) au delà de laquelle le fluide ambiant cesse d'exercer de l'influence, on déduira de l'expression ci -dessus de /•,

THÂCIX)^ = °'4^9*' «=°'7«' =

on satisfera à cette condition particulière en prenant, par exemple, le coefficient de contraction m = 0,76, comme le donne l'expérience, dans le cas où la contraction est nulle sur trois faces, et /z = 1,0714, /{'= f,i 49 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que l'hypothèse d'une vitesse moyenne pourrait avoir ici d'inexact.

La relation A'= 6, 46 A, admise par Dubuat, pour le cas des prismes entièrement piongés (Principes d' Hydraulique, t. H, n**581), suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu'à une distance du corps, égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais, si d'après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à o,5 (392), ce qui revient à prendre A'= 4A seulement, on trouverait m = 0,7884/2 et il faudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que

728 MÉGàNIQUB INDUSTRIELLE.

l'unité, et partant inadmissible. Il ne parait donc pas que Ton puisse sup* poser A' de beaucoup inférieur à 6,46 Â, pour le cas des plans minces choqués directement par un fluide.

D'un autre côté, on voit, par Texpression générale ci-dessus de /•, que si, comme le voulait Dubual (407 et 413), la déviation se fait réellement de plus loin pour les corps en mouvement dans un fluide en repos, le rapport de A' à A' — A venant à diminuer, il en sera de même de la résistance; ce qui s'accorde avec le résultat des expériences de cet Auteur^ confirmées depuis par celle de M. Duchemin.

Par exemple, il suffira de supposer A'== 12A, pour retomber, à très-peu près, sur la valeur A- = i,433 donnée par les expériences de Dubuat (405) . dans le cas dont il s'agit. On interpréterait plus facilement encore ce résultat, en supposant que la contraction latérale des filets diminue dans ce même cas des fluides en repos, ou que le coefficient m, qui entre au carré dans l'expression de A^, y augmente d'une très-petite quantité, par exemple devienne 0,81 ou 0,82; mais alors, comme on va le voir^ on tomberait dans d'autres difficultés concernant le cas des surfaces convexes, et l'on ne pourrait expliquer aussi bien la diminution de leur résistance, à moins de prendre le facteur n beaucoup plus près de l'unité; ce qui ferait diminuer* en même temps m pour le cas des fluides en mouvement; nous continuerons donc à raisonner dans l'hypothèse avancée par Dubuat, sans nier toutefois qne le facteur numérique n^ ne s'approche un peu plus de l'unité que nous ne l'avons supposé précédemment. /

La formule ci^lessus montre d'ailleurs avec quelle rapidité la résistance tendrait à croître si, au lieu d'être indéfini, le fluide se trouvait limité par des parois solides plus rapprochées du plan CD qu'on ne vient de le supposer pour les parois LM et L'M': elle indique même que cette résistance deviendrait infinie pour A' = A ; ce qui s'explique en considérant qu'alors la pression continue, éprouvée par le corps, se changerait en un choc vif produit par la colonne fluide indéfinie, comprise, en amont, entre les parois solides dont il s'agit.

(e). Surfaces minces convexes ou concaves, ^- Supposons maintenant qu'on substitue au plan mince CD une surface convexe (PI. III, fig. 53), continue ou polygonale, mais assez peu allongée dans le sens du mouvement, pour n'être point sensiblement en prise aux eflets du frottement, la contraction latérale sera diminuée et son coefficient m augmenté, sans qu'il soit nécessaire d'apporter aucun autre changement à l'expression de /-, donnée (c) par le principe des forces vives et dans laquelle A deviendra l'aire de la projection de cette surface sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, puisque les pressions normales et élémentaires supportées par le corps, doivent être estimées dans le sens même de ce mouvement, comme le sont, de leur coté, les pressions moyennes P et P'. En particulier, si cette surface possède la forme la plus avanta-

BBS RÉSISTANCES. 729

geuse possible, et qu'on adopte les valeurs «'= i,i49> A'= 6,46 A, déjà admises ci-dessus, la formule donnera, à cause de m = i^ le coefficiçnt A- = o,6i pour le cas où le fluide seul est en mouvement; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur les sphères, mentionnées au n** 426 ; mais on doit considérer qu'il s'agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos, et pour lesquelles par conséquent l'aire A' a du être augmentée, indépendamment de Tinfluence, assez faible d'ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

Enfin, il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces concaves où le coefficient m, de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0,6 ou 0,66, conformément à ce qu'on sait des expériences de Borda et de Venturi sur l'écoulement par les tubes rentrants, le coefficient k de la résistance pourrait aussi s'élever de i,3 à 1,6 fois celui des plans minces; valeurs qui ne sont nullement en contradiction avec les effets observés dans ces circonstances (408 et suiv.)-

(/). Prismes droits soumis au choc direct d'un fluide, — Passant £U cas des corps prismatiques [PL Ill^fig. 55) dont la longueur L, étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM, L'M'j il devient permis de supposer que les filets soient redevenus parallèles vers les extrémités postérieures de ces prismes, après avoir perdu, parle choc ou les tourbillonnements, l'excès de la vitesse W, qu'ils possédaient en /w/i, m'n', sur celle qu'ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps, et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense, /z'U étant cette même vitesse augmentée (6) de manière à reproduire la force vive effective des filets, comme nous l'avons admis précédemment (c) pour «W et la section contractée. Nommant, de plus, G et Q! les contours ou périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous supposerons soumis, sur toutes ses faces, de la part du prisme ou du fluide ambiant, à un frottement représenté approximativement par la formule - ^CU* pour le

premier, et par la formule | *C'{U-V)' pour le deuxième, en po-

sant, d'après la Note de la page 594, b = o,ooo,36g' = o,oo35, ou ^ = o,ooo3a^= o,oo3i, et négligeant le terme relatif à la simple vitesse; admettant d'ailleurs, comme on le fait ordinairement et comme nous le justifierons plus loin, que l'excès de la vitesse « W sur la vitesse «'U, donne lieu à une perte de force vive mesurée par l'expression M(/iW— n'Mf relative toujours à la masse M de fluide écoulée, pendant l'unité de temps, dans chacune. des sections A', A'— A, /w (A'— A), on

7^0 HÉGANIQUB INDUSTRIELLE.

arrivera, par Tapplication du principe des forces vives au cas actuel, et en conservant toutes les notations précédemment admises (c), à l'équation fondamentale

de laquelle on tire sans difficulté, à cause des relations de continuité

f*MA'-A)

en posant, pour abréger, le facteur numérique

p représentant lui-même ce qu*on nomme improprement le coefficient de la contraction, dans le cas des ajutages ou tuyaux additionnels trèscourts, mais coulant à gueule-bée, puisqu'il porte ici, plus spécialement, sur la réduction éprouvée par la vitesse de sortie U, en raison des tourbillonnements et des résistances intérieurs.

Nota. Les résultats auxquels on arrive pour f* et U, dans le cas des tuyaux d'écoulement ordinaires, s'accordent, comme on sait, d'une manière très- satisfaisante avec ceux de l'expérience, pourvu que la longueur de ces tuyaux soit au moins triple de leur diamètre; mais cela n'a plus lieu dans le cas contraire, où le coefficient fx suit, par rapport à cette longueur, la marche rapidement décroissante, indiquée dans la Note du u° 413, ce qui paraît tenir essentiellement à ce que la vitesse moyenne U, supposée, dans le calcul, égale à wW, en diffère alors d'autant plus que l'extrémité du tuyau où elle se mesure, est elle-même plus voisine de la section contractée, à partir de laquelle, en effet, la veine va en s'épanouissant et prend des sections vives très-distinctes de celle de ce tuyau, et qu'il serait probablement plus exact de lui substituer dans l'application du principe des forces vives. Mais, au lieu d'introduire de pareilles modifications dans les formules, où il reste encore les inderminées n et n' qu'on pourrait supposer égales à la valeur 1,07, déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préférable de substituer à /x, dans ces formules, les nombres tels que les donne le résultat des expériences de Michelotti, sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs ; ce qui montrera, tout au moins, que ces mêmes for-

BBS RfiSIST ANGES. 781

mules marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance des prismes.

{§)' Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de l'expérience, — Considérant d'abord le cas où le prisme étant en repos et sa longueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite, les expériences de Dubuat (413) assignent au coefficient de la résistance la valeur minimum k = i,323, tandis que celle du coefficient p des courts ajutages atteint, d'après les expériences de Michelotti, le maximum de la sienne /x = 0,82, il en résulte que l'expression analytique ci-dessus de /•, ne pourrait s'accorder avec l'expérience, qu'autant qu'on aurait

= p/i-l-X- = o,8av/a,3a3 = i,a5 ou A'=5A,

qui se rapprocherait davantage encore de celle A' = 4A qui a été mesurée directement par M. Duchemin, dans le cas des prismes en repos, si l'on attribuait à p une valeur un peu plus grande que 0,82, comme il parait naturel de le faire, puisque les contractions intérieures sont ici réellement un peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

Maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de k^ données par la formule du précédent article, à partir du plan mince, suivront très-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Dubuat, tandis que, pour des longueurs de prismes supérieures au triple de la largeur, les valeurs de k iront continuellement en augmentant, comme celles de fit, à cause du frottement latéral. Néanmoins, dans les calculs relatifs aux prismes très-courts, il deviendrait indispensable d'avoir égard à la condition qui rend A'= 6,46 A et p = /w = 0,75 pour les plans minces, etc., et il ne s'agit ici, je le répète, que de l'interprétation générale du phénomène de la résistance au moyen des formules déduites du principe des forces vives.

A l'égard des prismes de longueur moyenne, en mouvement dans un fluide en repos, il y a tout lieu d'adopter la valeur A'= 6,46 A, telle que l'a obtenue Dubuat pour un cas analogue, et alors on trouve

/• = -^ — I ; et par suite, /• = i ,082,

nombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expériences de cet Auteur, sur un prisme dont la longueur était le triple environ de* sa largeur réduite; de sorte qu'en adoptant la valeur A'= 5A, pour de tels prismes en repos, et la valeur A' = 6,46 pour les mêmes prismes en mouvement, les formules très-simples

732 MÉCANIQUE INDVSTRFBLLE. '

représenleraient assez fidèlement la marche et les valeurs de la résistance relative à ces deux cas, pourvu qu*on eût égard aux observations ci-dessus relatives aux prismes très-courts et aux plans minces ; car s'il s'agissait de prismes très-longs^ le frottement latéral ferait diminuer p et augmenter k avec L, d'après les formules analytiques (J) qui donnent les valeurs de ces deux coefficients; ce qui est conforme aux indications de l'expérience.

(A). Prismes avec proues sans poupes. — Prenant, en particulier, pour les prismes de moyenne longueur, p = i , ce qui les suppose armés d'une proue raccordée favorablement avec leurs faces latérales, la formule de l'art. (/) donne k = o,56 , pour le cas où ces prismes sont immobiles, et k = 0,40, pour celui où ils choquent le fluide en repos. Or ces valeurs sont un peu moindres que celles qui ont été obtenues plus haut [e) pour les surfaces minces et convexes, considérées dans des circonstances analogues, et la dernière s^accorde assez bien avec les données de l'expérience, relatives (424) aux prismes mobiles, armés de proue mais sans poupe. Que si l'on voulait d'ailleurs, comme on l'a déjà proposé [e) pour les plans et surfaces minceç, rejeter la diminution de résistance, dans le cas des fluides en repos, sur la diminution même de la contraction plutôt que sur la grandeur relative du rapport de A' à A, il faudrait aussi attribuer à fx des valeurs proportionnelleisent un peu supérieures à celles que donnent les expériences de Michelotti sur les tubes additionnels. Dans toutes les hypothèses, on est conduit à admettre que les valeurs de ce rapport, et par conséquent celles de /-, tendent vers l'égalité, pour les deux cas des fluides en repos ou en mouvement, à mesure que la longueur L des prismes augmente.

Mais nous ne pousserons pas plus loin cette discussion et ces rapprochements fondés sur un trop petit nombre de faits exactement établis, pour conduire à des conséquences exemptes de toute objection, et nous passerons à l'examen de l'influence qui peut être exercée par Taddition d'une poupe à l'arrière des prismes.

(/). Appréciation de V influence exercée par les poupes, — En admettant que l'addition d'une poupe n'influe que très-peu sur la direction rectiligne des parois fictives LM, L'M' (PI, Ill^fig, %i\ on s'apercevra, de suite, que les phénomènes de mouvement qui s'accomplissent dans la région postérieure du canal limité à ces parois, doivent ofTrir la plus grande analogie avec ceux des ajutages coniques divergents^ déjà anciennement soumis à l'expérience par BernouUi et Venturi. Ainsi la pression y devient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression statique, à peu près comme cela arrive latéralement, vers l'amont ( PI, III, fig^ 55 ), en m et m\ sauf qu'ici le parallélisme des côtés du prisme empêche le défaut de pression de devenir nuisible ou d'augmenter la résistance. D'un autre côté, la vitesse moyenne, U, je suppose, conservée par les filets à leur sortie de l'évasement ou en quittant le corps, diminue à peu près en raison inverse

DBS ftiSISTANGBS. 733

de Taire des sections, et cette vitesse, quand la poupe est sufi&samment adoucie et allongée, comme l'exprime lay?^. 82, PI. III ^ peut se réduire finalement à celle du milieu ambiant; or cela tend à faire disparaître, dans réquation des forces vives, relative à ce cas, le terme qui concerne la vitesse d'affluence Y, du fluide, dans la partie d'amont, et par suite, à diminuer la résistance.

Enfin, le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du Ituyau limité aux parois fictives LM, VW^ dans la partie évasée formée par la proue, donne lieu à une nouvelle perte de force vive analogue à celle qui est occasionnée par le rétrécissement de la section contractée mriy m'n'(Pl, m, fig. 55), dans le cas des prismes sans proue ; perte qui pourra ici être représentéeparle produit M/ï"(U — U,)*; si UetU, désignent toujours les vitesses moyennes de régime, ou censées uniformes, dans les sections prismatiques en amont et à l'extrémité postérieure de l'évasement, n'^ le nombre, supérieur à l'unité, par lequel on doit multiplier les forces vives MU' et MUJ possédées par le fluide dans ces mêmes sections, afin de reproduire les forces vives eflectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d'une poupe convenablement adoucie et allongée, mais sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales, il y aura une double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur résistance, il suffira de considérer séparément ce qui se passé dans les régions, antérieure et postérieure, du courant ou canal compris entre le corps et les parois fictives LM, L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédemment admises, et désignant, pour la deuxième, par Pp la pression qui est aussi celle du fluide à l'arrière du corps, enfin par A,, pour plus de généralité. Taire de la face postérieure de la poupe, supposée perpendiculaire à Taxe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé (PL 7//,^^. 82), celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux, etc. ; négligeant, au surplus, le frottement le long de cette poupe, comme on Ta fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (/), la suivante

et, à cause des relations de continuité (A' — A)U = (A'— A,)U, = A'V, elle donne

en posant de nouveau, afin d'abréger,

facteur qui devient nul , comme cela doit être, quand on suppose Taire Â, du pan coupé, égale à celle A de la section transversale la plus large de la partie prismatique du corps, tandis que si Ton y suppose A, = o, ce qui convient au cas des proues effilées représentées par la fi^. 82, PL III, ce même facteur prend la valeur

très-faible et essentiellement positive, à cause que A' surpasse au moins quatre fois A. Or cela prouve que la pression moyenne d*aval P„ qui doit différer alors très- peu de la pression statique du milieu , surpasse» conformément aux indications de Texpérience relative aux tuyaux divergents, celle qui a lieu vers la partie prismatique du corps, pour toutes les valeurs de A, comprises entre zéro et A.

La pression P, qui agit contre A,, donne incontestablement lieu à une diminution de résistance mesurée par le produit A,P, ; mais on n^perçoit plus aussi bien comment on doit évaluer celle qui est due aux pressions exercées par le fluide contre la surface de Tévasement formé par la poupe, pressions qui décroissent de la section d'aval où elles ont pour valeur P,, jusqu'à celle de la partie prismatique du corps où elles deviennent é^les à P'. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remarquée cidessus, pour la proue elle même; le principe des forces vives ne suffirait pas pour la lever, puisqu'il est impropre à faire découvrir les pressions partielles et variables dont il s'agit. Or il paraît qu'il faut, ici encore^ considérer P, comme «ne pression moyenne agissant sur toute la partie postérieure du corps, et le produit A (P,— P') comme la diminution qu'éprouve la résistance par suite de la présence de la poupe.

(y). Formules relatives aiix prismes armés de poupes avec ou sans proues, — D'après les observations précédentes, si l'on retranche de Texpression de R, déjà trouvée pour la partie d'amont, la valeur du produit A (P, — P') dont le facteur P, — P' vient d'être obtenu en dernier lieu pour la partie évasée du canal, il en résultera cette nouvelle expression de la résistance ^