MOTRICES CONSTANTES

107. Notions générales. — Le cas le plus facile et le plus simple de la communication du mouvement est celui d'un corps qui est poussé, à chaque instant, par une force motrice constante, égale et directement contraire (66) à la résistance

PRINCIPES PONDAHENTÀUX. lOI

opposée, par TinerUe, dans la dîreciion propre du mouvement. Or il est clair que, la pression étant la même à chaque instant, V accroissement ou le décroissement très-petit de la vitesse (53) sera aussi le même, ou constant, pour le même corps. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, la vitesse, à partir d'un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant : c'est ce qu'on appelle le mouvement uniformément varié en général; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé, selon que la force motrice constante agit pour augmenter ou pour diminuer la vitesse du corps.

Si l'action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps, c'est-à-dire à partir de l'instant où II était au repos, la vitesse totale acquise, au bout d'un temps quelconque mesuré depuis cet instant^ sera proporiionnelle à ce temps; ou, si l'on veut, elle sera double pour un temps double, triple pour un temps triple, etc. Si, au contraire, l'action de la force motrice ne commence qu'à compter d'un certain instant, ou que le corps ait déjà une viteue acquise à cet instant, cette vitesse, qu'on nomme ordinairement la vitesse initiale du corps, aura, au bout d'un temps quelconque, augmenté ou diminué d'une quantité qui sera encore proportionnelle à ce temps, et qu'on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse que la force motrice imprime ou détruit constamment, dans un certain temps pris pour unité, par exemple dans une seconde, etc. En effet, il ne s'agira que de multiplier le temps total écoulé, par la vitesse qui répond à cette unité de temps; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l'en retranchant selon les cas, on aura la vitesse même du mouvement au bout du temps que l'on considère.

Mais, pour bien saisir l'objet de ces calculs, il est nécessaire de se rappeler que, dans le mouvement varié, la vitesse acquise à un certain instant est mesurée (53) par le chemin qu^ décrirait le corps, dans l'unité d« temps et à compter de cet Instant, si, la force motrice cessant tout à coup son action, le corps continuait à se mouvoir uniformément; ce qu'il ferait véritablement en vertu de son inertie (65) et du degré de vitesse qu'il possède déjà.

I02 MfiCANlQUB INDUSTRIELLE.

108. Du mouvement uniformément acc^/^r<î. — Occuponsnous d'abord du cas où le corps part du repos sous Taciion de la force moirîce consiante, et proposons-nous de découvrir toutes les circonstances du mouvement de ce corps.

Nous pouvons encore représenter ici, par le dessin, la loi qui lie, aux temps, les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps, en traçant [PL I, fig. 27) une ligne Où' 6'. . .h' dont les abscisses Oa, 06,..., Oli représentent les temps écoulés depuis l'origine du mouvement, et dont les ordonnées aa\ 66', ce' y. . ., hh' représentent les vitesses acquises à la fin de ces temps respectifs.

Cela posé, puisque dans le cas du mouvement uniformément accéléré, les vitesses aa', 66', ce',..., A A' sdnt proportionnelles aux temps respectivement écoulés Oa, 06, Oc, . . ., O/i, il est clair que la ligne Oâ'6'c'. . .A' est une droite qui passe par l'origine 0 des abscisses; car le mobile étant ici censé partir du repos à l'instant où la force motrice commence son action, le temps et la vitesse sont nuls à la fois à cet instant. Supposez qu'on ait partagé l'axe OB des abscisses ou des temps en un grand nombre de parties égales très-petites, puis qu'on ait élevé les ordonnées correspondantes, et qu'enfin on ait mené, par les extrémités de ces ordonnées, des parallèles à Taxe des abscisses, on formera une suite de petits triangles Ckia!, a'b'b", b'c'c",.., égaux et rectangles. Les côtés aa!, Vb'^y c'c" . .. de ces triangles marqueront les accroissements successifs de la vitesse, accroissements qui seront égaux comme les durées qui leur correspondent Oa, ab, bc,...y conformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.

Les intervalles de temps successifs Oa, ab, bc,.,. étant donc supposés extrêmement petits, on peut regarder le corps comme se mouvant, d'une manière sensiblement uniforme, pendant l'un quelconque cd = c'd'' de ces intervalles, et avec une vitesse moyenne égale à la demi-somme des vitesses ce', dd' qui répondent au commencement et à la fin de chacun d'eux. Or, dans le mouvement uniforme (48), l'espace décrit en un temps quelconque est mesuré par le produit de la vitesse et de ce temps; donc l'espace décrit ici, pendant le temps élémentaire cd, sera égal à cd multiplié par la vitesse.

PaiNCIPBS fordavbmtàox. io3

moyenne i{cc'-h'dd'), qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n'étant autre chose que la mesure de l'aire du petit trapèze ct/d'd, celui-ci pourra ainsi représenter l'espace parcouru pendant l'espace de temps cd : pour un autre intervalle quelconque de, égal au premier, l'espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd'e'fi; donc l'espace parcouru, pendant le temps O/i par exemple, a sensiblement pour mesure la somme ou surface totale des trapèzes élémentaires a a' 6' &, bV&c^. . ., gg'h'h, augmentée du petit triangle Oaa qui mesure évidemment l'espace décrit dans le premier instant Oa'; c'est-à-dire la surface même du triangle correspondant Ohh'. DoncenQn cette dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse du chemin décrit pendant le temps total Oh, puisqu'on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre InOni de parties égales et infiniment petites, le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (72) pour trouver la mesure du travail quand l'effort est variable.

IW. Lois du mouvement uniformément accéléré. — Le chemin décrit pendant un temps quelconque, et à compter du repos, étant, pour le mouvement dont il s'agit, représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise à la un de ce même temps, on en peut déduire, de suite, plusieurs conséquences importantes, et qui permettent de calculer les circonstances de ce genre de mouvement.

D'abord, puisque la surface de tout triangle Ohh' a pour mesure la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uniformément durant un temps égal à O/i et avec la vitesse h h* acquise au bout de ce temps, on voit que :

1* Daru le mouvement uniformément accéléré ^ le chemin parcouru, au bout d'un temps quelconque et à partir de l'instant du repos, est la moitié de celui que décrirait le mobile, dans un temps égal, s* il se mouvait uniformément avec la viiesse acquise pendant ce temps.

Ensuite, puisque les chemins décritSs au bout de deux temps quelconques Ob, Oe sont représentés par les aires des

lo4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

triangles ObV, Oee', puisque ces triangles sont semblables, et que, d'après les principes démontrés en Géométrie, leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues, il en résulte encore que :

2** Dans le mouvement uniformément accéléré, les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques et à compter de l'instant du repos, sont entre eux comme les carrés de ces temps;

3^ Enfin ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les carrés des vitesses acquises au bout des temps con^spon-dants.

110. Formules relatives au mouvement uniformément accé^ léré, — Lorsque, dans le mouvement que nous considérons, on se donne la vitesse ee' acquise au bout d'un temps quelconque Oe, par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite Oh' qui la représente, est entièrement déterminée; c'est-à-dire qu'on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l'espace qui répondent à un autre temps quelconque donné.

En effet, représentons par /?,, Vi le chemin et la vitesse qui répondent à la première seconde; soient £, Y le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l'origine du mouvement; on aura d'abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,

e,=:i(;.Xi" = ii'., E=iVxT=|VT; puis, en venu de la deuxième,

e,:E::i''xi":TxTou P;

d'où l'on lire

E = e,xT'=if,XP=ii'.T';

puis enfin, en vertu de la troisième,

e, oujv, :E::(^»':V»; d'où

V'=:2i',XE = 2</,E.

PBINCIPBS FOlfDÀHBKTAUX. Io5

Nous avons d'ailleurs, en vertu même de la dénnition du mouvemenl uniformément accéléré (107),

v.rV::!":!; d*où

Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités E, V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin e, ou la vitesse v^ qui correspondent à l'unité dé temps i seconde; il ne s'agira que de remplacer chaque lettre par le nombre des unités de temps ou de longueur qu'elle représente, et d'effectuer les opérations indiquées ( * ).

111. Cas oà le corps part avec une vitesse déjà acquise, — Dans ce qui précède, nous avons supposé que le mobile partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite Oh', qui donne la loi de son mouvement, passait par l'origine 0 des temps; mais, s'il possédait déjà une vitesse antérieurement acquise, cette droite passerait par le point 0' {PL I,Jig* ^6), extrémité de l'ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. £n menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce*, qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mouvement, se composera (107) de la vitesse c&'f égale à la vitesse initiale 00', augmentée de la vitesse c'c"^ que le corps acquerrait sous l'action de la force motrice constante et au bout du temps Oc ou O'c'' relatif à ce', si ce corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent ; car la droite O'd' donnerait encore, par rapport à O'fi', prise pour axe des temps, la loi de l'accélération du mouvement. Connaissant donc la vitesse que

( *) La relation E=:{v^ X T', et la relation V'= ai^i x E» qui indique que la vitesse V est moyenne proportionnelle entre a i', et E, ou entre le double du chemin décrit dans la première seconde et celui qui est décrit au kout du temps T, présentent seules quelques diflicultés pour le calcul de T et de V ; mais on peat parrenir au résultat par le moyen des constructions graphiques connues, oo par les Tables que nous ferons bientôt connaître (119), ou enfln par Yextraction directe de la racine carrée du quotient de aE par \\ et du produit o»", X E, qui doonent en chiffres les râleurs de T' et de V*.

I06 MÉCANIQUE INBU8TEIBLU.

la force imprimerait au corps au bout de la première seconde, s'il partait du repos, on aura tout ce qu'il faut pour construire Od' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à Orf; d'où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mouvement, et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la figure, si l'on se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu'il s'agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps, au bout du temps Od, chemin ici représenté par l'aire du trapèze Orfrf'O' ; on apercevra, de suite, qu'il se comr pose du chemin 00'rf"rf, qui, pendant ce temps, serait décrit uniformément, en vertu de la vitesse initiale 00', augmenté de celui 0' d' d", qui, dans le même temps, serait décrit d*un mouvement uniformément accéléré, sous V action de la force motrice constante commençant à agir au moment du départ. Or nous avons appris ci-dessus à calculer l'un et l'autre de ces deux chemins.

112. Du mouvement uniformément retardé^ — Si nous supposons maintenant que la force motrice constante, au lieu d'augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale 00' (PL I^fig. 29), la diminue au contraire à chaque instant, le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse cd, qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine Odu mouvement, n'est autre chose que la vitesse primitive 00' ou ce , diminuée de la vitesse c' c" que le corps acquerrait, sous l'action de la force motrice et au bout du temps Oc, si ce corps partait du repos.

L'aire du trapèze OO'c'c étant encore ici la représentation du chemin décrit, au bout du temps Oc, en vertu du mouvement retardé, on voit que ce chemin est égal à celui 00' c^c qui serait décrit uniformément, pendant ce temps et a^ec la vitesse primitive 00', moins celui &c'&', qui, dans ce même temps, serait décrit d*un mouvement uniformément accéléré, sous l'action de la force motrice constante commençant à agir au moment du départ. On pourrait donc encore calculer, dans le cas actuel et au moyen de la figure, toutes les circonstances du mouvement, si seulement on connaissait la vitesse initiale

PRINGIPKS FONDAMENTAUX. IO7

0<y ainsi que la diminution de vitesse c'c", due à la force retardatrice, au bout d'un temps quelconque Oc, ou, si Ton veut, à la fin de la première seconde de temps écoulé.

Supposons, entre autres, qu*on veuille trouver le temps Oe au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la vitesse du corps; on aura, par les triangles semblables O'cV^ et 0(ye, la proportion

c'c" : O'c' = Oc = i^ :: 00' : 0<? ;

d'où

OO^Xi^ 00^

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis l'instant où la force retardatrice a commencé son action jusqu'à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné (108] parla surface du triangle 00' e, ou par le produit

ce 2 de"

Une remarque très-importante à faire, c'est que, si l'on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant, à chaque instant, des degrés de vitesse égaux à ceux qu'elle avait détruits d'abord, le corps retournera dès lors en arrière en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C'est ce qu'indique la ligne CKe, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers 0, c'est-à-dire de l'instant où le mouvement du corps est éteint; car la force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé, en sens contraire, la vitesse dd! au bout du temps ed, la vitesse cd au bout du tempi ec, etc.

Lois du mouvement vertical des corps pesants,

113. Causes qui influent sur le mouvement des corps dans l'air. — L'un des exemples les plus importants du mouvement uniformément accéléré est celui que nous présente la

Io8 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

chute des corps pesants, suivant la direction de la verticale ou de l'aplomb. Mais, avant de l'exposer, faisons connaître les circonstances qui, à la surface de la terre, accompagnent et modifient ce mouvement.

Déjà nous avons vu (61 } que la pesanteur pouvait être considérée comme une force sensiblement constante dans l'étendue ordinaire des travaux de l'industrie. Hais, à la surface de notre globe, tous les corps sont plongés dans l'air, et cet air lui-même (3 et &•) est un corps matériel qui les presse de toutes parts (37), et qui, en vertu de son énergie, de son impénétrabilité s'oppose avec plus ou moins d'énergie a toute espèce de mouvement (66). Nous avons vu (H) que l'effet de la pression de l'air sur les corps solides se réduit sensiblement à diminuer le poids de ces corps d'une quantité égale au poids du volume de fluide qu'ils déplacent; de sorte que cette diminution est d'autant plus sensible que, à égalité de volume d'un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l'air oppose au mouvement des corps, en vertu de son inertie et de sa force de ressort (63), l'expérience apprend que cette résistance varie selon l'étendue et la forme de la surface extérieure des corps, mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mouvement. — En frappant Tair avec une palette plane et mince, la résistance qu'on éprouve est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable, tandis qu'elle est à peine sensible quand le mouvement s'opère avec lenteur. Si, au lieu de frapper l'air avec toute la surface du plan de la palette, on fait mouvoir cette palette de biais, la résistance est moindre à vitesse égale, et elle est la plus petite possible quand on oppose tout à fait le champ ou le côté mince de la palette à l'action de l'air; c'est-à-dire quand on dirige sa face plane dans le sens même du mouveillent.

Des choses analogues se passent à l'égard de tous les corps qui se meuvent dans l'air; et l'on observe que la résistance crott généralement : i* avec l'étendue de la surface antérieure des corps, ou qui se présente directement à l'action de l'air; a^ avec la difficulté plus ou moins grande que, par suite de la forme même de ces corps, l'air éprouve à glisser le long de leur surface, à se dévier ou à leur faire place; 3« avec la gran-

PBINCIPES FONDAMENTAUX. lOg

dear de la vitesse qu'ils possèdent, et cela dans un rapport qui croit plus rapidement que cette grandeur, et qui surpasse méroe un peu son carré (*).

114. Chute verticale des corps dans l'air. — On conçoit, d'après tout ce que nous venons de dire, que la présence de Tair doit apporter des modifications plus ou moins sensibles aux lois de la chute verticale dès corps qui sont abandonnés librement à l'action de la pesanteur; et Ton peut même prévoir à l'avance et expliquer une infinité de faits que l'expérience journalière confirme; tels que l'ascension spontanée ou naturelle (31) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans l'atmosphère, la chute plus ou moins rapide des corps solides, etc. — En laissant tomber dans l'air et d'une même hauteur des corps solides, on observe, en effet, que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface à l'action directe de l'air et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu'une balle de plomb creuse ou qu'une balle de bois pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi plus vite qu'une balle de liège, etc.; enfin, un même poids de la même substance peut aussi tomber plus ou moins vite selon que cette substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée. La raison en est toute simple : dans le premier cas, la diminution du poids des différents corps et la résistance de l'air sont les mêmes pour chacun d'eux, tandis que ( 35 et &1 ) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide, qui mesurent véritablement l'énergie de la pesanteur, sont très-différents ; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, due à la pression de l'air, et la résistance de cet air qui croît avec la surface extérieure des corps, sont aussi moins sensibles pour les corps plus compactes que pour les autres.

115. Chute dans le vide y mode d'action de la pesanteur. — Si l'on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace

( * ) ^^^* 1® Chapitre relatif aux lois de la résistance des flmdes en général»

IIO MfiCANIQUl IIVBUSTEIBLLB.

entièrement vide ou privé d'air, chacun d'eux, en descendant toujours de la même hauteur, arriverait nécessairement en moins de temps ou plus vile au bas de sa chute; car Taction de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L'expérience qui confirmerait un tel aperçu n'aurait donc rien qui dût nous surprendre; mais il n'en serait pas de même si elle nous apprenait que les corps tombent, tous également vite d'une même hauteur, car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont le plus de poids, étant sollicités avec une force plus énergique, doivent aussi acquérir un degré de vitesse plus grande; nous ne faisons pas attention, en effet, que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre en mouvement dans le premier cas que dans le second, de sorte que la résistance de l'inertie (66) est réellement plus grande.

Or c'est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vide (3^ dans un grand tube de verre {PI, Lfig. 3o), après y avoir préalablement introduit des corps solides de diverses espèces, depuis les plus légers jusqu'aux plus denses : ces corps parvenaient tous à la fois au bas de leur chute quand, par un moyen quelconque et facile à imaginer, on les lâchait en même temps et de la même hauteur. Us ont, de plus, remarqué que ces corps tombaient dans le même ordre et conservaient les mêmes distances respectives dans toute la durée de leur chute; ce qui prouve que la pesanteur leur imprimait, à chaque instant, le même degré de mouvement; nous pouvons donc admettre, comme parfaitement démontré, ce principe général qu'il est important de retenir :

La pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes les particules de la matière quelle qu'en soit la nature particulière, et leur imprime, à chaque instant, le même degré de vitesse dans le même lieu et dans le vide.

On s'assure d'ailleurs très-simplement que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles du dehors, en observant qu'un même corps pèse également à l'air libre ou placé dans l'intérieur d'un autre corps, par exemple, dans une chambre, dans une botte; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que l'action de la pesanteur se fasse sentir à travers la matière même de cette chambre, de cette botte.

PBIKGIPBS FOIlDÀHBlfTACX. III

On voit aussi que le poids absolu d'un corps n'est autre chose que le résultat de toutes les petites actions réunies de la pesanteur sur les molécules matérielles de ce corps. Il ne fiiut donc pas confondre le poids avec la pesanteur, qui est véritablement \a force élémentaire qui sollicite ces diverses molécules à se mouvoir avec le même degré de vitesse.

116. Expérience sur la chute des corps. — Nous venons de voir que les corps les plus denses, tels que l'or, le plomb, le cuivre, sont ceux qui, à égalité de surface, tombent le plus vile dans Fair, parce que la résistance est alors très-faible par rapport au poids total du corps. Mais, quand la hauteur de chute ne surpasse pas 5 mètres, par exemple, on trouve, par l'expérience, que des balles de ces diverses substances tombent dans le même temps, et qu'elles ne tombent même guère plus vite que des balles de marbre et de cire, égales en volume, dont le poids est sept fois, vingt fois moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de l'air exerce réellement» pour de petites chutes, une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu'on peut trèsbien admettre, par exemple, que la loi que suit la balle d'or, en tombant» dans l'air, d'une hauteur moindre que 5 mètres, est, à très-peu de chose près, la même que celle qu'elfe suivrait si elle tombait de cette. hauteur dans un espace entièrement vide.

Galilée, célèbre physicien italien, qui a le premier découvert cette loi par des expériences directes et suffisamment précises, a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesanteur est donc (107) une force motrice constante, agissant avec une intensité égale à chaque instant et quelle que soit la vitesse déjà acquise par le corps. Atwood, physicien anglais, en reprenant depuis les expériences de Galilée avec des moyens plus ingénieux encore et plus précis, a obtenu les mêmes résultats. Nous pouvons donc poser les principes gé* néraux qui suivent (109).

117. Lois de la chute des corps dans le vide, — Lorsqu'un corpstombeverticalementetd'une certaine hauteurdans le vide.

112 M^GAlflQCB INDUSTRIELLE.

i^ Les vitesses acquises aux divers instants sont proportionnelles aux temps écoulés depuis le commencement de la chute;

2° Les espaces totaux parcourus aux mêmes instants, ou les hauteurs de chute, sont proportionnels aut carrés des temps écoulés ;

3" Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bas de chacune d* elles ;

4^ La vitesse acquise au bout de la première unité de temps est égale au double de la hauteur de chute déjà parcourue pendant cette même unité de temps.

Pour le point du globe où nous nous trouvons, la hauteur verticale parcourue, dans la première seconde de sa chute et dans le vide, par un corps qui est abandonné librement à l'action de la pesanteur, est égale à 4°',9o44; donc la vitesse acquise au bout de ce temps est deux fois 4"*y9o44 ^^ 9",8o88. Cette dernière vitesse est ordinairement représentée par g" dans les Traités de Mécanique : ainsi g'=:9"*,8o88: c'est la connaissance de cette grandeur qui sert à calculer (110) toutes les circonstances du mouvement accéléré des corps tombant d'une certaine hauteur dans le vide, ou des corps très-denses tombant d'une petite hauteur dans l'air.

118. Formules et exemples de calcul. — - Ordinairement on représente par la lettre h ou H, la hauteur, en mètres, d'où le corps est tombé à un certain instant; en nommant toujours T le temps employé par ce corps à décrire le chemin vertical H, ou à tomber de H, et V la vitesse qu'il a acquise à la Gn de ce temps, on aura, d'après ce qu'on a trouvé (110) pour le cas général :

H = }Vxï, H==i^xT% V^=:2g^xH,

V = ffXÏ, ff = 9",8o88, ou

H = ;VT, H=:igP, V»=2^H, V = grT,

formules fréquemment rappelées en Mécanique, et d'un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesants.

Supposons qu'on veuille trouver la vitesse acquise V, et le

PRINCIPES FONDAMENTAfx. Il3

chemin H décrit au bout de 7 secondes de chute; T représentant ici les 7 secondes on aura

V =: g'X T = g-jSog X 7 = 68-", 66 environ, H = ïg^ X T»= 4'">9o44 X 49= ^3o-,4i6.

Si l'on se donnait seulement la hauteur H de chute, on cal* calerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au moyen de la relation V*=:2g*X H. Supposons, par exemple, H = 10*, on aurait

et il ne s'agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donnerait celte quantité. Or cette racine est ici i4 mètres environ, puisque

i4x i4 ou i4'= 196.

Pour montrer une nouvelle application des principes cidessus, nous supposerons que deux corps différents tombent verticalement d'un même point A ( P/. /j^g". 3i), où ils se trouvaient d*abord au repos, mais ne tombent que Fun après l'autre, et à un intervalle de temps qui soit seulement de 777 de seconde ou 0^^,01. Cela posé, nous nous demanderons à quelle distance A'B' se trouveront entre eux ces deux corps, à la fin de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis l'instant du départ du second corps.

Puisque ce corps ne part du point A, que o'',oi après le premier, il en résulte que celui-ci aura déjà parcouru un certain espace AB avant l'instant où l'autre aura été lâché de A; cherchons d'abord cet espace au moyen de la formuje

H = {grT'r^4^9û44xP (118).

T=o^ol; donc •

H = 4"»9o44x 0,01X0,01 =4"*, 9044X0,0001 =:o"*,ooo49;

c'est-à-dire que la distance AB, entre les deux corps, n'est pas même de | millimètre.

Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront, l'un de l'autre, les mêmes corps, à l'instant où une seconde

Il4 HiCAMQUB INDUSTB1ELLE.

entière se sera écoulée depuis Tinstani du départ du deuxième corps; et, pour cela, calculons séparément les chemins AB'yAÀ' décrits par chacun de ces corps, à partir du point A, en observant que, puisque la durée de la chute AA' du second corps est de I seconde, celle de la chute AB' du premier est

'/ i ^'/ «, , - fi

r'-f-o%oi = i%oi; on aura

espace AA' = 4"> 9^44 X i" X \" = 4",9o44» et

espace AB' = 4">9<>44X i,oi x if lo = 5'",oo3;

donc pour rinlervalle A'B' ou AB' — AA'

A'B' = 5", oo3o — 4",9o44 = o«, 0986.

A la fin de la deuxième, de la troisième seconde de chute, les deux corps seraient déjà à une distance Tun de Tautre de près de ao, de 3o centimètres, etc.

Ces résultats expliquei^t très-bien pourquoi les jets d'eau des jardins, des pompes à incendie, qui s'élèvent verticalement ou sous une certaine inclinaison, en filets compactes et continus, retombent, au contraire, en se divisant en gouttelettes,' en pluie plus ou moins fine; car la résistance de l'air, loin de séparer les parties, comme on pourrait le croire d'abord, tend au contraire à les réunir en diminuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C'est aussi là l'explication très-simple de l'effet si connu des cascades naturelles, dont l'eau, en se précipitant du haut des montagnes, se divise en une pluie tellement fine, qu'elle ressemble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suite, que de telles remarques ne sont pas seulAnent un objet de curiosité, mais qu'elles 4)euvent aussi recevoir des *applic-ations dans les arts.

119. Observations diverses. — L'opération par laquelle il s'agit de trouver la vitesse V, acquise à la fin de la chute verticale d'un corps, quand on a la hauteur H de cette chute, se

PBINGIPES FONDAMENTAUX. I l5

reproduit très-fréquemment dans la Mécanique pratique ; aussi a-t-on construit exprès une Table qui fournil immédiatement la vitesse répondant à une iiauieur donnée : son utilité toute particulière dans les applications nous a décidé à la rapporter à la On de cet Ouvrage.

On dit ordinairement que la vitesse Y est due à la hauteur H, et réciproquement que cette hauteur est due à la vitesse Y, expressions abrégées qu*il est bon de retenir.

On doit se souvenir que, dans Tair, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul ; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement diffèrent très-peu des véritables, dans. les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (116). Nous ferons d'ailleurs connaître, dans la partie de cet Ouvrage qui est consacrée aux Jpplicationsy les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air; ces calculs conduisant, de suite, à la théorie des parachutes et des ballons, pourront servir à démontrer l'utilité immédiate des principes de la Mécanique.

ISKO. Ascension verticale des corps pesants* — Lorsqu'un corps, une balle de fusil par exemple, est lancé, de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même Intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément reiardé, et, d'après ce qui précède (112), la vitesse finira par s'éteindre, quand le corps sera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l'action de la gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse qu'il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à i, a et 3 mètres au-dessus de terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses^ soit dans l'ascension, soit dans la chute ; il n'y aura que la direction du mouvement de changée : par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu'il avait primitivement. Nommant Y cette vitesse et H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, on aura

Y'=2firH;

It6 MtCAniQUB INDUSTAISLU.

d'où il sera facile de déduire H de Y, ou réciproquement, avec la Table (119).

On pourra aussi calculer toutes les autres circonstances de Tascension verticale du corps, par les méthodes du n^ 112; mais il ne faudra pas oublier, je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que Tair n'existe pas ou n'exerce aucune influence sensible sur le mouvement. Car, dans la réalité, les corps s'élèvent à une hauteur un peu moindre que celle qui répond ou est due à leur vitesse iniliale, et, de plus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.

Force viVe, masse et quantité de mouvement.

121. Travail relatif à la vitesse de chute des corps. — Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d'action que dépense la pesanteur pour engendrer une cerlaine vitesse dans un corps, ou pour vaincre l'inertie de ce corps. Nommons, en effet, P le nombre des kilogrammes que pèse le corps, c'est-à-dire l'effort total (60 et 115) que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu'il faudrait employer pour le soutenir; ce sera aussi la mesure de l'effort constant exercé sur ce corps pendant sa descente de la hauteur H. La quantité de travail, développée par la pesanteur et consommée par l'inertie (66), pendant cette chute, sera donc représentée (78) parle produit PH; et cette quantité de travail aura engendré, dans le corps, la vitesse V calculée (118) par l'équation

Mais, si l'on divise le produit ag^x H ou V» par l'un de ses facteurs 2g^, on aura l'autre facteur

et, par conséquent, P x H est la même chose que P X —

ou - - X ^ '.

FBINCIPBS FONDAMENTAUX. II7

Ainsi la quantité de travail, développée par la pesanteur pour Imprimer une certaine vitesse Y à un corps, dans la direction verticale, est égale à la moitié du produit obtenu en multipliant le carré de cette vitesse par le poids P de ce même corps, divisé par la vitesse g ou 9", 8088, que la pesanteur imprime à tous les corps (117), au bout de la première seconde de leur chute.

122. Force vive des corps; sa relation avec le travail méca" nique. — Le produit

- X V^ ou - V^

est précisément ce que les mécaniciens sont convenus de nommer h force vive du corps dont le poids est P et la vitesse actuelle V; on voit donc que la quantité d'action ou de tmvail^ dépensée par la pesanteur pour produire la chute verticale d*un corps, est la moitié de la force vive imprimée au bas de cette chute; ou, si Ton veut, la force vive imprimée est le double de la quantité de travail dépensée par la pesanteur. Lorsque le corps est lancé verticalement, de bas en haut, avec une certaine vitesse, le travail de la pesanteur, toujours me« sure par le produit du poids et de la hauteur à laquelle le corps a été élevé verticalement, est employé, au contraire, à détruire cette vitesse. Par conséquent, dans les deux cas de la descente et de la montée, la moitié de la force vive acquise ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre l'inertie du corps; c'est-à-dire que cette mesure reste la même, soit que la pesanteur imprime une certaine vitesse à un corps, soit qu'elle détruise une vitesse égale et qu'il possédait déjà.

Nous prouverons bientôt que ce principe a lieu, quelles que soient et la force motrice et la nature du mouvement qu'elle communique au corps, dans sa direction propre. Mais il est nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et de poser quelques autres définitions généralement admises par les mécaniciens.