Comment on doit entendre la force vive — L'ex

Il8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

pression de force vive, employée pour désigner !e produit

g pouvant induire en erreur beaucoup de personnes, il est bon de remarquer ici que, d'après notre manière de voir, ce n'est point, à proprement parler (59), une force, pas plus que la quantité P X H, que nous avons nommée, en général, quantité d*action, quantité de travail : c'est tout simplement le résultat de l'activité d'une force motrice ou de pression, exprimable en poids, qui a été employée, pendant un temps plus ou moins long (57), à vaincre l'inertie de la matière d'un corps, à imprimer un certain mouvement, une certaine vitesse à ce corps. Sous ce point de vue, la force vive serait véritablement l'effet dynamique {SO) de la force motrice, ou plutôt

le double de cet effet, puisque - x V'= ^P X H.

Lors donc que nous emploierons le mol force vive, ce ne sera jamais que pour désigner la valeur numérique d'une certaine quantité essentiellement relative au mouvement actuel d'un corps, ou au mouvement qu'il pourrait réellement acquérir dans des circonstances déterminées; et, sans s'arrêter aucunement à la signification propre des mots par lesquels on l'indique dans le discours, il faudra seulement se souvenir que sa valeur, en nombre, équivaut au produit du carré de la vitesse effective d'un corps, par le poids de ce corps, divisé par g ou 9™,8o88. Ainsi nous ne confondrons pas, comme on le fait quelquefois (80), la force vive des moteurs avec la quantité de travail qu'ils développent contre des résistances qui leur sont opposées; et, s'il nous arrivait, par exemple, de parler de la force' vive d'un homme ou d'un cheval, nous entendrions uniquement spécifier le produit'ci-dessus concernant leur vitesse et leur poids réels, produit bien différent de celui qui mesure la quantité de travail mécanique même développée par ces moteurs, à chaque instant ou pendant un certain temps, lorsqu'ils sont appliqués à une machine, à un outil quelconques (74 et 77).

124. Réflexions sur la force vive et les forces motrices en général. — Ce qui a porté autrefois les mécaniciens à adopter

le mol force vive, c'est qu'ils ont confondu Veffet avec la cause, le résultat du travail d'une force motrice avec ce tra^ vail même; par la seule raison que les mesures, en nombres, de ce travail, de cet effet ou de ce résultat, sont directement comparables entre elles, ou ont une certaine relation numérique. Ayant d'ailleurs admis l'expression ^q force pour désigner les effets, les résultats de l'activité d'un moteur qui travaille, et voulant les distinguer de V effort ou pression simple {il}) que le moteur exercerait sur un corps qui resterait en repos ou céderait très-peu (89) à son action, ils ont dit que c'était une force vive, et cette pression, cet effort, ils l'ont nommé force morte. De là aussi la dispute qui s'est élevée, parmi les géomètres du dernier siècle, sur la manière de mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles; dispute fort oiseuse et qui n'a fait qu'embrouiller des choses très-claires par elles-mêmes, puisqu'il est impos* sible de confondre l'effoit, la pression simple qu'exerce un moteur sur un corps, avec son travail mécanique, et-ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d'un corps«

A la vérité, un corps mis en mouvement, un certain effet dynamique {i2^) peut, à son tour, devenir une cause, une source de travail : c'est ainsi, par exemple, qu'un corps lancé verticalement, de bas en haut, est élevé, en vertu de sa vitesse, à une certaine hauteur, tout comme il le serait par l'action d'un moteur animé. Mais il arrive ici la même chose que lorsqu'une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élastique (97) : l'inertie de la matière a été mise en jeu de la même manière que les forces moléculaires l'ont été dans ce dernier cas; cette inertie (106), quand elle a été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le ressort qui a été bandé. En un mot, l'inertie comme les ressorts (96), sert à emmagasiner le travail mécanique, en le transformant en force vive, et réciproquement, de sorte que la force vive est un véritable travail disponible.

Nous avons vu (102) qu'on peut en dire tout autant d*un corps qui a été élevé à une certaine hauteur, par un moyen quelconque; ce corps, sollicité par la pesanteur, est la source d'une quantité de travail, dont on peut disposer subséquem-*

ment pour produire efTectivement du travail mécanique. Mais, de même que nous ne disons pas, en termes absolus, que ce corps, actuellement élevé à une certaine hauteur, est une

forcCy qu'un ressort bandé est une force; de même aussi il

est peu exact de dire qu'un corps en mouvement, que-\'

est une ybrce. Ces réflexions sont également applicables aux hommes et aux animaux en général, aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (99), aux cours d*eau,m vent, etc.; ce sont des agents de travail, des moteurs si Ton veut, mais non de simples forces, de simples pressions (59). L'objet de la Mécanique Industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations que peut subir le travail des moteurs par le moyen des machines ou des outils, à comparer entre elles les quantités de ce travail, à les évaluer en argent ou en ouvrage de telle ou telle espèce, etc.

125. Définition de la masse des corps. — Puisque la pesanteur agit indistinctement sur toutes les particules matérielles d'un corps, et tend, à chaque instant, à leur imprimer le même degré de vitesse dans le même lieu (115), on voit que le poids de ce corps, qui est le résultat de toutes ces actions partielles, peut donner, jusqu'à un certain point, une idée de la quantité de matière qu'il renferme ou de sa masse. Suivant cette notion, la masse serait donc proportionnelle au poids; souvent même on prend, dans les applications, les poids pour les masses. Mais, comme l'intensité de la pesanteur varie d'un lieu à un autre (61), et que la quantité de matière ou la masse absolue d'un même corps ne varie pas, on voit que celte dernière serait, dans certains cas, mal déOnie par le poids simple de ce corps. Or l'expérience apprend que la vitesse imprimée, par la pesanteur, au bout de la première seconde de chute, demeure constamment proportionnelle à son intensité; c'esl-

p à-dire (117 et 121) que le rapport - reste le même pour tous

S les lieux. Ainsi, P et P' étant les poids absolus (60) et dans le

vide, d'un même corps transporté, par exemple, à deux hauteurs différentes; g et g les vitesses qu'à ces hauteurs, la pesanteur imprime, dans le vide et à la fin de la première

seconde de chute, à chaque particule de matière» on a

P:P'::fir:ir'. ou -

or g.

CeSl donc à ce rapport invariable - j et non au poids P lui-

même, que s'applique véritablement» en Mécanique» la définition de la masse d'un corps; et Ton commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves» en prenant le poids pour la mesure de la masse.

126. Expression abrégée de la masse et de la force vive, dans les calculs. — Ordinairement on représente la valeur de la masse par la lettre m ou M : on a donc

et, par suite»

V=^Mxg=Mg;

P exprimant refTort absolu exercé, par la pesanteur» sur un certain corps» et g la vitesse qu'elle lui imprime, dans le même lieu et dans le vide» au bout de la première seconde de

sa chute verticale.

p D'après cette convention» la valeur ci-dessus — V* de \a force

s viVe d'un corps (121) se trouve aussi représentée» dans les

calculs mécaniques» par

M XV» ou MVS

c'esl-à-dîre par le produit de la masse de ce corps et du carré de sa vitesse acquise ou actuelle,

127. Quantité de mouvement des corps. — Les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d'un corps, le produit de sa masse, définie comme on vient de le dire, par la vitesse simple et actuelle que possède cette moue ; c'est-à-dire que

MxV ou ~xV,

qu'on écrit aussi

PV MV ou —

pour la simplicité» est ce qu'on nomme une quantité de mouventent en Mécanique. Cette quantité est, comme on* voit, très-différente de ce que nous avons appelé (80) la quantité d'action ou de travail des moteurs; et on ne peut la confondre avec cette dernière qu'autant (84) que l'on confondrait aussi l'effort d'un moteur avec le poids réel, ou plutôt avec la masse d'un corps; ce qui n'est évidemment pas permis (*)•

128. Observations générales. — Dans le fait, c'est principalement pour abréger et simplifier tout à la fois les calculs et les raisonnements, qu'on emploie les dénominations de masse, de quantité de mouvement y et qu'on les représente par des lettres particulières; on pourrait aisément s'en passer, ainsi que du moi force vive, dans l'exposition des principes de la Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en ont fait usage, il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification, et de ne pas oublier qu'elles se rapportent toutes à des corps matériels etau mouvement véritable

(*) Nommons Q la valeiy, en nombre, de - X V, on aura Q = — xV, ou,

ce qui revient au même, Q:P :î V:^. Mais P est le poids véritable d'un certain corps; ^, ou 9"*, 8088 est la vitesse que la pesanteur imprime à ce corps au bout de la première seconde de chute et dans le lieu où nous sommes ; donc Q n'est autre chose que le poids absolu du même corps dans le lieu où la gn* vite serait capable de lui imprimer la vitesse Y au bout de la première seconde de chute, c'est-à-dire l'effort qui soutiendrait le corps contre l'action de cette gravité. On voit aussi que la force vive MV ou MV x V n'est elle-mômc que le produit de ce dernier poids, de cet effort, par la vitesse V, ou par le chemin que décrirait (48) uniformément le corps, dans l'unité de temps, en vertu de sa vitesse actuelle. Ces observations peuvent servir à distinguer entre elles, d'une manière absolue, la quantité de mouvement et la force vive, ainsi qu à montrer l'identité de nature 'que, sous un certain point de vue, les mécaniciens ont attribuée à ces deux sortes de grandeurs, ainsi qu'au poids et au travail mécanique véritables; elles expliqueront aussi comment on se permet quelquefois de regarder la quantité de mouvement comme une Jorce morte (1*4), comme un effort simple ou sans énergie, et la quantité de travail comme une force vive. Au surplus, nous n'avons nullement besoin de nous inquiéter de ces distinctions qui, à le bien prendre, sont de vraies subtilités.

PRIIVCIPES FONDAMENTAUX. 123

de ces corps; ou plutôt qu'elles sont des expressions purement conventionnelles pour exprimer, d'une manière commode, certaines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique, quand il s'agit du mouvement des corps.

n LA COMMUNICATION DIRECTE DU MOUVEMENT PAR LES FORCES MO* TRIGES EN GÉNÉRAL, ET DU CHANGEMENT DU TRAVAIL EN FORCB ▼IVB.

129. Rapport des forces motrices au mouvement imprimé. — Nous venons de voir (125) que la pesanteur communique, à un même corps et au bout de la première seconde de chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Hais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie, en effet, très-peu(61) dans toute la hauteur de cette chute; de sorte que la vitesse totale, acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés dans chaque élément du temps (107 et suiv.)- Lorsque la force motrice, au lieu d'être constante, varie à chaque instant, il est éTîdent qu'alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse totale qu'elle imprime dans le sens propre de son action, à un même corps et au bout de l'unité de temps, mais qu'elle dépend uniquement, pour chaque instant, du degré de vitesse infiniment petit qu'elle lui communique à ce moment.

L'observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans les mouvements de notre système planétaire, prouve que

Les forces sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse qu'elles impriment, dans des temps égaux' infiniment petits, à un même corps qui cède librement à leur action, . et dans le sens propre de cette action.

Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement, et il doit être considéré comme une loi générale des forces motrices de la nature.

Pour éviter désormais des répétitions inutiles, nous rap-

pellerons qu'ici, comme dans ce qui précède et dans ce qui va suivre, les forces sont censées agir d'une manière directe sur les corps, c'est-à-dire dans le sens propre du mouvement qu'ils prennent ou tendent à prendre, et que, dans ce mouvement, les diverses parties de ces corps sont aussi censées cheminer parallèlement et de la même quantité, lalnsi qu'il arrive dans une infinité de circonstances. Si l'on veut encore, on peut considérer les corps comme dépouillés de leurs dimensioi#, ou leur matière, leur masse, comme concentrée en un seul point sur lequel agit immédiatement la puissance.

130. Mesure des forces motrices et d^ inertie par la vitesse imprimée et réciproquement. — Soit F la mesure, en kilogrammes, d'une certaine force qui agit directement sur un corps cédant librement à son action; soit v le degré très-petit de vitesse qu'elle imprime à ce corps, à une époque quelconque et pen* dant le temps infiniment petit /; soit pareillement P le poids ou la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu, sur ce même corps, et v' le petit degré de vitesse qu'elle tend à lui imprimer, ou qu'elle lui communiquerait, en effet, pendant la durée de I, s'il était parfaitement libre de céder à son action. On aura, selon ce qui précède,

F:P::r:v'; d'où

ï. P Pi'

Mais, d'après la première loi de la chute des corps (117), nous avons

i'':g::t: i'; d'où

donc

Pi^ r

F=î^=MxV

M étant la masse du corps ( 125 j.

Ainsi, quand on connaîtra le degré de vitesse v imprimé, dans le temps Infiniment petit /, par la force F, on pourra calculer cette force, qui est égale et contraire à la résistance

PBIIICIPBS FONDAMENTAUX. 125

qu'oppose, au mouvement (66), Tinertie de la matière du corps; résistance que nous avons nommée simplement /orc<? d'inertie^ et qu'on pourrait aussi appeler (123) h force dyna-' mique des corps, parce qu'on attache ordinairement au mot dynamique l'idée d'un changement de mouvement. La relation

F = Mx- = M-» nons apprend donc que

La force d'inertie F crott ^proportionnellement à la masse du corps et aux degrés de vitesse v qu 'il reçoit dans des temps élémentaires t, égaux et infiniment petits.

De la relation ci-dessus, on tire réciproquement la valeur v = -Tjj— ; donc

Les degrés de vitesse qu'une force motrice imprime à un corpSf pendant un même temps élémentaire infiniment petit, sont proportionnels à l'intensité de cette force et inversement à ia masse du corps.

On remarquera d'ailleurs que tout ce qui précède s'applique aussi bien au cas où la force F ralentit le mouvement acquis du corps qu'à celui oii elle l'accélère; seulement, au lieu de degrés de vitesse acquis, on a à considérer des degrés de vitesse détruits dans ce corps, et la force F devient une résistance véritable, qui s'oppose à l'action de l'inertie devenue puissance (58). C'est généralement ainsi qu'on devra entendre les choses dans tout ce qui va suivre.

131- Rapport des forces motrices aux quantités de mouvement imprimées. — D'après nos définitions (127), le produit MXf ou Mi' n'est autre chose que ce qu'on nomme une quantité de mouvement, en Mécanique. On voit donc que la première des propositions ci-dessus revient à dire que

La force d'inertie crott proportionnellement à la quantité de mouvement communiquée ou détruite dans un même instant infiniment petit ;

Ou que

Les forces motrices communiquent ou détruisent, dans des instants égaux et infiniment petits, des quantités de mouvement qui leur sont proportionnelles.

I9l6 ■ÊGAfllQUE INDUSTKIBLLB.

Soient, en effet, F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant, pendant un même instant infiniment petit i, sur deux corps différents, de masses M et M'; soient v et v' les degrés de vitesse qu'elles leur impriment respectivement, à la fin de cet instant, on aura, selon ce qui précède,

et par conséquent

F:F::M^:M'^::Mi':MV.

Si donc les forces motrices F, F', ou les forces d'inertie qui leur sont directement opposées, avaient la même intensité, la même valeur en kilograïnmes; les quantités de mouvement qu'elles imprimeraient, dans le même instant très-petit /, seraient aussi égales ; ce qui résulte immédiatement de ce qu'on

aurait alors

M^ = M't ou Mi'^MV.

On vx)lt enfin que, si deux forces appliquées à deux corps libres difféi^nts, demeurent sans cesse égales entre elles pour les mêmes instants c'est-à-dire si elles varient de la même manière, les quantités de mouvement totales et finies qu'elles auront imprimées à ces corps, entre deux instants quelconques, seront aussi égales entre elles; car chacune d'elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Ml', MV, qui ont les mêmes valeurs pour les divers instants successifs et égaux dont se compose la durée entière de Faction.

C'est ainsi qu'il faut entendre le principe par lequel les auteurs admettent quelquefois que des forces motrices égales impriment les mêmes quantités de mouvement yfnie^ ou totales à des corps quelconques, principe qui conduit à considérer ces quantités comme des forces véritables, tandis qu'elles expriment uniquement des sommes de produits tels que F/, relatifs aux forces ordinaires de pression (59 et 60) et à la durée du temps pendant lequel elles agissent. En effet, quelle^que soit la petitesse de cette durée, elle n'est pas nulle (57), et,

PRIIICIPBS FONDAMIIRTAUX. 127

quelle que soit la grandeur ou l'intensité des forces^ elles ne sont pas infinies^ elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression ou de traction. Au surplus» je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous, qui n'admetlons le mot quantité de mouvement que pour désigner un certain résultat des calculs, et pour abréger les énoncés des principes (127 et 128).

132. Autre mesure des forces motrices et d'inertie.— Revenons maintenant à la considération simple d'une force unique Fy agissant sur un corps de poids P ou de masse M (130), et supposons qu'à une certaine époque du mouvement, cette force cesse tout à coup de varier, ou continue d*agir sur le corps avec l'intensité qu'elle possède à cette époque; la vitesse augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportion* nelles au temps (107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu'elle imprimerait au corps, à la fin de la première seconde, s'il partait du repos au commencement de cette seconde.

Désignant par Y, cette vitesse finie, on aura

d'où

V, = ^ et F = Mx^ = MV,.

Ainsi, dans le mouvement varié, en général, la force motrice, égale et contraire à la force d'inertie, à la force dynamique, est mesurée, à chaque instant, par la quantité de mouvement qu*elle imprimerait, au bout d'une seconde, si, au lieu de vanner, elle demeurait ce qu'elle est à cet instant. Mais, de ce que les quantités de mouvement sont propres à servir de mesure aux forces, ce n'est pas une raison de les confondre avec ces forces; car ici la durée, la constance qu'on suppose à l'action, est une condition essentielle et qu'il ne faut pas perdre de vue.

133. Calcul des mêmes forces par la loi géométrique du mou* vement. — Ces dernières considérations sur la force motrice, dans le mouvement varié, sont analogues à celles qui con-

128 MfiCANIQUB INDUSTRIELLE.

cerneni la vitesse même du mouvement (53), et on peut les reproduire également à Taide d'une figure. Soit tracée {PL /, Jig. 32), ainsi qu'il a déjà été dit (108) à l'occasion du mouvement uniformément accéléré, la ligne O'a'b'. . ./', qui représente la loi des temps et des vitesses; soient c&^ dd* les vitesses qui répondent au commencement et à la fin du trèspetit instant c^ ou /. Menons, par (/, la parallèle c'd^m à l'axe des temps OB; elle retranchera, de l'ordonnée dd\ la petite longueur d'd", représentant le degré de vitesse imprimé, parla force motrice, dans la durée de l'élément de temps cd=cfd'', degré dont nous avons désigné la valeur en nombre par v. Or, si Ton suppose qu'à partir du commencement de cd ou /, la force motrice devienne constante, pu (107) qu'elle imprime, dans les instants successifs égaux à /, des degrés de vitesse aussi égaux à d'd'^; la loi des vitesses acquises sera exprimée (108) par une droite 6*'/i, prolongement de c'd\ et qui sera tangente à la courbe O'a'b' . . ./', si l'intervalle crfou /est censé excessivement petit. Prenant donc c'm=: i^, et élevant l'ordonnée mn terminée k c'a, celle-ci ne sera autre chose que la vitesse Vi, acquise, au bout de l'unité de temps, par le corps, en vertu de la force motrice supposée constante; et Ton aura, à cause des triangles semblables c'd'd" et cmny la proportion

dd" o\xt : d'd" o\x v W d rnowi" *. mn ou V,; d'où Ton tire, comme ci-dessus.

Ainsi, quand on connaîtra la loi qui lie les temps aux vitesses

imprimées, ou la courbe qui représente cette loi, on pourra,

pour chaque instant et par le tracé d'une tangente de cette

courbe, déterminer la vitesse V„ et, par suite, calculer, comme

il a été expliqué précédemment (130 et 132), la valeur

p M V,= - X Vi de la force motrice F qui produit l'accélération

de mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose (130), la résistance égale et contraire, que l'inertie de la matière du corps oppose, à chaque instant, à l'action de cette force.

PtlNGlPBS PONDAHBNTAUX. lag

134. Trouver la loi du mouvement quand on a celle de la force. — Réciproquement, sî Ton connaît, pour chaque instant et par le moyen d'une table ou d'une courbe, la valeur de la force motrice F par rapport aux temps révolus ou aux chemins décrits, on en déduira les valeurs correspondantes de

F fi'.F V, = -| = ^— , inclinaisons des tangentes c'n de la courbe

des vitesses; car la mesure de ces inclinaisons est donnée par

la valeur du rapport -; — = V,. SI Ton connaît d'ailleurs la v/-

^^ cm

iesse initiale 00' du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de tracer la courbe des vitesses successivement acquises sous l'action de la force mo* triée; car, ayant l'inclinaison de la tangente relative à chaque abscisse ou à chaque temps Oa, 06, Oc,. . . , on pourra, de proche en proche, construire les positions consécutives 0'a\ aH/f h'& y. . ., des éléments rectilignes de cette courbe, et en déduire les ordonnées aa\ bb\ ce', qui mesurent les vitesses acquises par le corps à la fin des temps correspondants.

Par exemple, la vitesse initiale du corps étant 00', on mènera (y m' parallèle à OB et égale à l'unité de temps; puis, ayant calculé la valeur de Vi relative à l'intensité de F au moment où l'action commence, on portera cette valeur sur l'ordonnée m'»', de m' en n'; traçant O'n', cetera la direction de l'élément O'a'; et l'ordonnée aa\ qui répond au premier instant Oe, donnera, en la terminant à la droite O'/i', la grandeur de la vitesse à la fin de cet instant : en répétant les mêmes opérations pour le pointa', on en déduira 6' et bb', etc. On diminuera d'ailleurs la longueur des tracés, en construisant quelque part {PL lyfig' 33) les inclinaisons successives /^/i, /?/i', pn^f . des tangentes relatives aux divers instants; car elles donneront, de suite, les degrés de vitesse tv, /(/', /(/", . . . imprimés, par F, dans les instants successifs 0^, a 6, bc,, . . représentés ici par/?/.

Il est évident que plus sera grand le nombre des parties égales dans lesquelles on aura divisé le temps total 0/ [PL I, fis* 32), où l'on considère l'action de la force [motrice, plus la courbe ainsi construite s'approchera de représenter la vé-

l3o aftCJJflQDI nCUCSTRIBLLI.

riuble loi du mouTement communiqué par cette force. Enfiiiy les trapèzes hh'dc, ctfd'd^... représentant encore ici (108) les chemins élémentaires successivement décrits, par le corps, dans les petits temps correspondants bc, cd^...^ on obtiendra le chemin total parcouru par ce corps au bout d'un temps quelconque 0/ei sous l'action de la force motrice F, en mesurant l'aire totale de tous les petits trapèzes relatifs à ce temps, c'est-à-dire la surface même du trapèze curviligne OCK/'/. Or cette surface se calculera aisément à l'aide du procédé déjà mentionné (72), à l'occasion de la mesure du travail mécanique variable.

De la force vive des corps en général et de sa relation avec

le travail mécanique,

135. Mesure du travail des forces motrices et d'inertie. — A l'aide des notions qui précèdent, nous pouvons calculer la quantité de travail que doit dépenser, contre un corp^ de poids P ou de masse M (126), uneTorce de pression qui varie à chaque instant en demeurant sans cesse égale et contraire à la force d'inertie (130), pour imprimer à ce corps une certaine vitesse, ou plus généralement, pour augmenter ou diminuer sa vitesse d'une quantité donnée.

En effet, pour chaque instant inGniment petit / du mouvement, le travail de la force motrice est mesuré (72) par le produit de sa valeur moyenne durant cet instant, valeur que nous nommerons F, et du chemin élémentaire qui a été décrit, dans ce même instant, par le corps ou par le point d'application de la force. Ce petit chemin, ainsi qu'on l'a remarqué au n" 134, est donné, pour la^îg^. Sti, PL /, par l'aire du trapèze élémentaire cc'd'd, par exemple, qui serait formé sur cd représentant le temps /, et sur la vitesse moyenne (108) correspondante \(cd -t- rfrf'), que nous nommerons V; c'est-àdire que ce chemin est égal au produit Y X /. Donc le travail élémenuire dont il s'agit est F x V X /, et la même chose aura lieu dans chacun des instants inGniment petits égaux à t. Or nous avons trouve (130) que, v étant le degré de vitesse d'd" imprimé au corps pendant le temps /, la valeur de F était

PRINCIPES FOm>AHBNTAUÏ. l3l

mesurée par — - — 5 donc enfin la quantité de travail cherchée est

— - — X\Xt = MxYxv.

C'est la somme de toutes ces quantités de travail partielles qui composent le travail total, et cette somme est facile à trouver par la considération d'une figure, en remarquant que, comme M est un facteur commun et invariable, cela revient simplement à trouver la somme des produits Yx v. A partir du point 0 {PI. I,Jig. 34), pris pour origine, portons, sur la droite OB, les diverses valeurs de v ou des accroissements successifs 0/ï, abj bcy cdy.. , de la vitesse, répondant aux divers instants égaux t écoulés depuis celui du départ des corps, accroissements qui seront inégaux dans le cas du mouvement varié; les longueurs Oa, 06, Oc, Orf,. . . seront les vitesses totales acquises à la fin desdits instants. Portons ces mêmes longueurs sur les ordonnées correspondantes aa'y bb\ cc\ rfrf',..., de telle sorte qu'on ait aa'=:0«, fc6'=0i,rc'9=0(î,„.; la suite des points 0, a', 6', c',... va former une ligne droite inclinée à 4^^ degrés sur l'axe des abscisses OB. Cela posé, considérons en particulier l'accroissement de vitesse d^d" qui a été nommé c, le produit V X f de cet accroissement par la vitesse moyenne correspondante V, ou \{cc'-h dd')^ sera ici représenté par l'aire du petit trapèze cc'd'd. Donc la somme cherchée de tous les produits V x t' a pour mesure celle des petits trapèzes correspondants, ou Taire comprise entre la droite 0/', l'axe OB des abscisses et les ordonnées qui représentent la vitesse au commencement et à la fin de l'intervalle de temps pour lequel on veut calculer le travail de la force motrice.

136. Relation entre le travail dépensé et la force vive acquise. — Supposons, en premier lieu, que le corps parte du repos, et qu'il s'agisse de trouver la somme des produits Vx f, relative à la vitesse acquise dd' que nous nommerons V; celte somme, étant représentée par l'aire du triangle Orfd', aura pour mesure

î^drf'XOrf ou \dd'xdd'=\Y'\

li^ MtCÀKIQUE INDUSTUBLLB.

Donc aussi la quantité de travail correspondante à la vitesse acquise V et consommée par l'inertie du corps sera mesurée ( 135 ) par M X ; V'> = 1 M \'\ ou par la moitié de la force vive communiquée à ce corps depuis Vinstant de son départ (122 et 126}. Ce principe a donc lieu aussi pour un mouvement varié quelconque et pour une force motrice différente de la pesanteur.

Pour une autre vitesse//* ou V plus grande que la première» la consommation totale de travail sera également mesurée par MXïV*"* ou ^MV'*; et par conséquent, pour l'iniervalle compris entre les positions du corps qui répondent aux vitesses V et V, la quantité de travail consommée sera mesurée par la différence jM V"' — ^MV* ou