DES CORPS

153. Considérations générales. — Quand deux corps, en mouvement, réagissent l'un sur l'autre par leurs vitesses acquises, ou se choquent, ils présentent en général plusieurs circonstances qui permettent de partager en trois époques distinctes la durée entière du phénomène : dans la première, les corps se compriment, se refoulent, ou bien se tirent mutuellement s'ils sont lies entre eux par des traits, des barres non tendues avant le choc; dans la deuxième, leur déformation est devenue la plus grande possible, et ils ont nécessairement acquis la même vitesse aux points où s'opère la réaction réci* proque; dans la troisième enfîn, les corps reviennent vers leur forme primitive, et tendent, de plus en plus, à se séparer en vertu de l'énergie plus ou moins grande de leurs forces de ressort.

Comme les phénomènes du choc des corps se reproduisent, d'une msTnière analogue, dans tous les cas possibles, nous nous bornerons à étudier, avec quelques détails, l'un des pyis simples d'entre eux, et qui se présente le plus fréquemment dans les applications de la Mécanique à l'industrie : c'est celui où un corps libre, en repos, est choqué par un autre corps déjà en mouvement; il sera très-facile ensuite d'étendre les raisonnements à des cas plus compliqués ou présentant des circonstances différentes. Du reste, afin de simplifier l'état de

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la question, nous supposerons, conformément aux idées ordinaires, que la constitution des corps soit telle, que Taction et le mouvement s'y propagent, pour ainsi dire, instantané^ ment d'une extrémité à l'autre, ou assez rapidement pour qu'on puisse considérer leurs diverses parties comme animées sensiblement de la même vitesse à chaque instant du choc. Quoique cette supposition ne soit pas en elle-même rigoureuse (63 et suivants), elle conduit cependant à des conséquences exactes toutes les fois que les molécules d'un même corps ont repris une vitesse commune ou des distances invariables, à rinstant du choc que l'on considère; car alors les forces ont produit tout leur effet, et le mouvement a été communiqué à toutes les parties.

154. Principe relatif au choc direct des corps. — Il ne peut être ici question encore que du choc direct des corps, c'est'^ à-dIre de celui où deux corps (A) et ( A') {PL Hffig^ 35) réagissent continuellement l'un sur l'autre, dans la direction propre leurs mouvements, de telle sorte que la perpendiculaire ou normale A A', qui est commune à leur surface au point de contact T où se fait le choc, soit précisément la direction de Ja vitesse de chaque corps, et cela pour tous les instants de ce choc. C'est ce qui aurait lieu, par exemple, dans le cas où deux boules sphériques homogènes marcheraient parallèle-ment à elles-mêmes avant le choc, et de façon que leurs centres A, A' demeurassent continuellent sur une ligne droite LN. Or on peut établir, pour ce cas, un principe général qui demeure applicable, quels que soient et l'intensité et le sens du mouvement de chacun des corps aux divers instants du choc; il suffit, pour cela, de se rappeler ce qui a été dit au n^ 131.

En effet, il nattra (63 et suivants) de la réaction mutuelle des deux corps, une force de pression mesurable, à chaque instant, par un certain nombre de kilogrammes, et qui agira, dans le sens de la droite A A', pour repousser le corps (A) de T vers L, et une autre force de pression égale et précisément contraire (64), qui agira pour repousser le corps (A') de T vers N. Nommant donc F la valeur commune de ces forces à un Instant quelconque du choc, u le petit degré de vitesse perdu ou gagné, au même instant, par le corps (A), v' celui

l56 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

que perd ou gagne le corps (A'), enfin P et M, P' ei M' représentant respectivement les poids et les masses des deux corps (A) et (A')» on aura, d'après le principe du n" 131,

c'est-à-dire que les quantités de mouvement, perdîtes ou gagnées par les deux corps, seront égales entre elles pour chaque instant infiniment petit du choc; et la même égalité aura lieu aussi entre les quantités do mouvement totales imprimées, à chaque corps, entre deux instants quelconques de leur réaction mutuelle, c'est-à-dire entre les quantités de mouvement totales, soit perdues, soit gagnées par chacun de ces corps.

155. Du choc des corps pendant la compression, — Nous supposerons ici que le corps (A') était au reposa l'Instant où l'autre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie et précédemment acquise, que nous nommerons V; ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de l'inertie de (A') qui tend à s'opposer au mouvement de (A), et, dès lors, la force de pression variable F agira pour diminuer, à chaque instant, la quantité de mouvement MV du premier corps, de quantités qui seront égales à celle qu'elle fera natlre dans l'autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conservera en quelqu'une de ses parties, et de L.vers N, une vitesse supérieure à (A'), on voit bien qu'il arrivera une certaine époque où, la compression, la déformation des corps étant à son maximum, et le mouvement se trouvant communiqué également à toutes les parties, ces corps auront acquis la même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie, du moins pendant un très-petit instant.

156. Fitesse des corps au moment de leur plus grande com^ pression. — Nommons U la vitesse commune dont il s'agit, la quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera, au même instant, M'U, et celle qui a été perdue par (A) sera MV — MU, laquelle, d'après ce qui précède, devra être égale à la première M'U. La quantité de mouvement totale MV, priitiitivement possédée par le système des corps, se trouvant donc être augmentée, d'une part, et diminuée, de l'autre, de

APPLICATIONS^ BTC. l57

quantités égales, celle MU rt- M'U = (M -t- M')U, qui leur reste à Tinstant dont il s'agit, sera aussi égale à cette quantité de mouvement primitive MV; de sorte qu'on aura

■ (M-f-M')U = My;

d'où

MV

M-hM'

Ainsi y sans connaître la manière dont les corps se compriment et dont varie l'intensité de F à chaque instant du choc, on n*en peut pas moins calculer exactement la vitesse qui a lieu au moment de la plus grande compression où la distance des molécules cesse de changer, et oà elles ont acquis un mouvement commun ( 153) : cette vitesse est égale à la quantiié de mouvement possédée par ( A ) avant le choc, divisée par la somme des masses des deux corps.

157. Du choc pendant le retour des corps vers leur forme primhive. — La plupart des corps tendant à revenir ( 19 et 95), avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme primitive, quand ils ont été comprimés à un certain degré, on voit que les ressorts moléculaires vont, en se débandant, forcer (A) et (A') à réagir de nouveau l'un sur l'autre, mais pour s'écarter mutuellement, ce qui tend nécessairement à augmenter le mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer, au contraire, de plus en plus, celui de (A); et, comme l'action est toujours égale à la réaction, il est clair, d'après ce qui pré* cède (154), que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales à celles qui sont perdues par ( A ). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n'est pas nulle, on voit bien qu'il pourra arriver un instant où la quantité de mouvement MV, primitivement possédée par (A), sait entièrement détruite, après quoi la force F, qui continue a repousser ce corps, lui imprimera, en sens contraire, un mouvement de plus en plus rapide, et qui ne .cessera d'augmenter que quand la pression F sera nulle; ce qui arrivera nécessairement à l'instant où les deux corps se sépareront, l'un de l'autre, en vertu de leurs vitesses respectivement acquises.

l58 MÉCANIQUE INDUSTEIBLLE.

158. Du mouvement des corps après le choc. — Il est clair, d'après ce qui précède, que ce mouvement ne peut, en général, se calculer, puisque nous ne connaissons pas non plus, en général, la loi que suivent les forces de compression F pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstances principales qui servent comme de limites à toutes les autres, et qui répondent, l'une, au cas où les corps seraient entièrement privés d'élasticité, l'autre, au cas où, au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas. — Des corps non élastiques, — Nous avons vu (17) qu'il n'existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d'élasticité, ou qui ne tendent, jusqu'à un certain point, à retourner vers leur forme primitive, quand Us ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, nonseulement les corps mous, les liquides, etc., sont extrêmement peu élastiques quand ils ne sont pas maintenus, dans tous les sens, par des enveloppes solides; mais qu'aussi la plupart dès corps, qu'on re^rde comme plus ou moins' élastiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité par suite de la grande compression, de la graade déformation qu'ils éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu'ils ne se divisent, ne se rompent, ou ne se séparent pas à l'instant de la plus grande compression , ils continueront à cheminer ensemble, en vertu de leur vitesse acquise, sans réagir désormais l'un sur l'autre; de sorte que cette vitesse sera donnée par la formule ci-dessus (156), toutes les fois que l'un des corps se trouvera au repos à l'instant où le choc arrive.

Deuxième cas. — Des corps parfaitement élastiques, — Toutes les fois que les corps auront suffisamment de ressort pour revenir exactement à leur forme primitive, après l'instant de la plus grande compression, la force de réaction F reprenant, par hypothèse, dans le déhandement des corps, les mêmes valeurs (95) pour les mêmes positions relatives de ces corps, il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront précisément égales à celles qui l'ont été pendant la compression, si, comme on le suppose ordinairement, les corps se séparent à l'instant même où ils sont revenus à leur état primitif, ce

▲PPIICATIONS» BTC. iSg

qui n'arrive pas toujours; Or de*]à résulte un moyen de calculer, à l'avance, la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la vitesse perdue par le corps (A), à l'instant de la plus grande compression, étant (156) V-< U, il perdra de nouveau (157), dans la débandement, une vitesse égale à V — U, et par conséquent la vitesse qu'il conservera, après le choc, sera U — (V— U), ou ail — V, si V— U est ihoindre que U, ce qui indique que (A) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V — U) — U=: V — aU, si V — U surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A'), la force F lui a d'abord communiqué (156) la vitesse U; elle lui imprimera donc, après l'instant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U, c'est-à-dire que sa vitesse, après le choc, sera 2(1. Mais nous savons calculer (156) la vitesse U; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment oii ils se séparent après le choc.

Nommant W et W respectivement, ces vitesses des corps (A) ei (A'), on aura, selon les cas spécifiés,

W=:2U-V, W'=2U, u^ MV

W=V-2U, W'=:2U, M-hM'

159. Remarquée relatives à l'application des formules, — 11 est une infinité de circonstances où les corps marchent for* cément de compagnie, avec la même vitesse, après le choc, sans que, pour cela, ces corps aient été entièrement privés d'élasticité avant le choc, ou qu'ils la perdent complètement par l'effet de ce choc : c'est ce qui arrive, par exemple, quand une balle d'argile ou de cire molle, lancée contre un corps résistant et élastique, demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique, lancée contre un bloc de bols suspendu librement au bout d'une corde ou d'une barre, demeure enfoncée dans l'intérieur de ce bloc. Or il est bon de remarquer que les conséquences qui précèdent, relatives au cas des corps totalement privés d'élasticité, demeurent alors exactement applicables, parce qu'elles ne supposent uniquement que l'égalité de la vitesse U conservée, par ces

l6o MÉCANIQUE INDUSTRIELLI!.

corps, à la On du choc. Quelle que soil en effet la cause ou la ^force qui oblige ces corps à demeurer réunis, comme cette force ne peut agir sur l'un d*eux, sans qu*une force égale et directement contraire agisse au même point et en même temps sur l'aiUre (64), on conçoit que, pendant toute la durée du choc, les quantités de mouvement perdues ou acquises par chaque corps seront les mêmes pour tous deux; de sorte que finalement (A') aura encore gagné précisément ce que (A) aura perdu (156).

Quant au cas où les corps se séparent après le choc, on ne peut jamais affirmer que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-dessus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement leur forme primitive; car cela suppose encore que leurs molécules n'aient point conservé de vitesses relatives à l'instant de la séparation, ou ce qu'on nomme des mouvements vibratoires {i% lesquels absorbent toujours une certaine portion du mouvement primitif ; en outre, il peut bien arriver, par exemple, que, pendant le débandement des ressorts, les corps soient retenus momentanément, l'un contre l'autre, par leur adhérence réciproque ou par tout autre obstacle qui empêcherait que les quantités de mouvement, imprimées alors, soient aussi grandes que celles qui l'ont été en premier lieu. Enfin il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur intérieur, des altérations moléculaires plus ou moins grandes, sans qu'aucune trace s'en manifeste quant à la forme extérieure, etc.

Ces considérations, jointes à ce qu'il n'existe, en réalité ( 17 et suivants], qu'un très-petit nombre de corps qu'on puisse regarder comme parfaitement élastiques, expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse, à la fin du choc des corps solides, diffèrent toujours plus ou moins de celles que donnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles qui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés d'élasticité. Cependant il est des corps élastiques, tels que les billes de verre, d'ivoire, etc., qui, dans certaines circonstances de leurs chocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s'accordent, à peu de chose près, avec ce qu'indique le calcul.

APPLICATIONS, ETC. l6l

160. Exemples partHuliers.— Faisons maintenant connaître quelques-unes des conséquences de nos formules. Supposons, parexemple, que la masse M'du corps choqué(Â')(/'/.//,^g". 35) soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant (A);

MV

la valeur de U sera sensiblement égale à -tt- ou V, c'est-à-dire

que la vitesse de M sera très-peu altérée à Tinstant de la plus grande compression; et comme, dans le cas des corps parfaitement élastiques (158), on a

on voit qu'à la fin du choc, elle ne le sera pas davantage, mais que le petit corps s'éloignera de Tautre avec une vitesse W' = 2V double de celle de (A). Supposons, au contraire, que la masse M du corps choquant soit très-petite par rapport à celle M' du corps choqué; on voit que le dénominateur M -4- M' de U sera aussi très-grand par rapport au facteur M de son numérateur, et que par conséquent la vitesse U, à Tin^iant de la plus grande compression, sera également une très-petite fraction de la vitesse Y que possédait le corps choquant; de sorte que, si M' est, pour ainsi dire, infiniment grand, par rapport à M, la vitesse U pourra être considérée comme sen siblement nulle. Si donc les deux corps étaient doués d'une élasticité parfaite, la vitesse W, acquise par le corps choqué, serait elle-même infiniment petite, tand is que celle W=: V— i U du corps choquant serait V, c'est-à-dire précisément égale et contraire à celle qu'il possédait avant le choc.

Ceci explique, entre autres, pourquoi les cordonniers placent, sur leurs genoux, une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les seuielles de souliers, et comment il est possible de forger du fer sur une forte enclume posée sur le corps d'un homme ou sur le plancher flexible d'un étage supérieur, sans blesser cet homme, sans endommager sensiblement ce plancher et les murailles de la maison. On voit, en effet, que la vitesse communiquée à la pierre ou à l'enclume, et par suite aux corps qui les supportent, est extrêmement faible comparativement à celle que possède le marteau; de sorte que la Hexibilité, l'élasticité natu -

l62 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

relie de ces corps suffit pour amortir fes effets du coup, sans qu'il survienne d'accidents.

' On s'expliquera aussi facilement une infinité de phénomènos, relatifs aux corps élastiques. ou non élastiques, qui se passent journellement sous nos yeux : il n'est personne, par exemple, qui n'ait observé que, quand une bille de billard vient à en choquer une autre directement y c'est-à-dire de la manière dont nous l'avons entendu précédemment (154), il arrive qu'elle s'arrête tout à coup dans la place même qu'occupait cette autre, tandis que celle-ci chemine avec toute la vitesse de la première; or, c'est ce que montrent très-bien nos formules. Les masses M et M' de deux corps sont ici égales, l'élasticité est, pour ainsi dire, parfaite; de sorte que la vitesse U, commune aux deux corps à l'instant de la plus grande compression, a pour valeur

ce qui donne, pour celle de M après le choc,

et enfin, pour celle de la bille choquée,

161. De la force vive des corps après le choc, — D'après ce que nous avons déjà dit (95 et 139), on peilt prévoir que, dans le choc des. corps parfaitement élastiques, la force vive perdue pendant la compression doit être précisément égale à celle qui est restituée dans le débandement, tandis que, dans , le choc des corps qui ne reviennent pas exactement à leur état primitif après l'instant de la plus grande compression, la somnie des forces vives doit être altérée d'une quantité précisément égale au double de la quantité de travail nécessaire pour produire l'altération de forme ou de constitution éprouvée par les deux corps; quantité qu'on pourrait directement calculer (136 et 137) si l'on connaissait, pour chaque instant du choc et pour chaque corps, la valeur moyenne de la force de réaction F et celle du petit enfoncement qu'elle produit

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dans ce corps. 11 est évident, en effet, que le travail, relatif à cet instant, serait mesuré (72, 85 et 86) par le produit de F et de la somme des enfoncements qui lui correspondent dans \eÉ deux corps. Mais, comme on ne connaît ni la loi que suit cette force, ni celle de l'enfoncement,, on n a d'autre moyen de mesurer, soit le travail, soit la force vive développés ou perdus dans le cboc des corps, qu'en les déduisant directement des vitesses que possèdent ces corps avant et après l'instant du choc, vitesses qu'on ne peut calculer rigoureusement d'ailleurs (159) que dans un petit nonibre de cas.

Par exennple, ayant appris, dans les cas ci-dessus (156), où un corps en choque un autre au repos, à calculer la vitesse U, qui leur est commune à l'instant de la plus grande compression, nous pourrons aussi trouver la force vive qu'ils possèdent à cet instant, et la perte de force vive due à la réaction de leurs ressorts moléculaires. En effet, la force vive totale ( 122 et 126 ) était, avant le choc, MV, et, à l'instant que l'on considère,

elle est

MU'-»-M'U' ou (M-+-M')U';

donc la perte de force vive a pour valeur