SUR LES CORPS

L'gbjet des applications qui suivent étant de familiariser peu à peu le lecteur avec les principes de Mécanique les plus universellement utiles, nous ne nous attacherons pas à traiter chaque question avec tous les développements qu'on serait en droit d'exiger d'un ouvrage spécial. Et, afin de procéder autant que faire se peut du simple au composé, nous commencerons par introduire dans les termes de ces questions quelques suppositions qui, sans s'éloigner trop de la vérité, rendent plus faciles les raisonnements, les calculs ou la conception propre des phénomènes; puis, en y revenant par la suite, nous tâcherons d'j faire entrer quelques éléments de plus et de tenir compte des circonstances physiques d'abord négligées, sinon pour en calculer rigoureusement les effets, du moins pour en faire saisir la véritable influence. C'est ainsi que nous procéderons, entre autres, dans ce qui concerne l'impression ou le choc des corps et la communication du mouvement par la détente rapide des gaz. En traitant, par exemple, cette dernière question, nous admettrons les principes de Mariotte et de Pascal ( 16 et li ) pour calculer le travail développé par la détente, bien que ces principes n'aient plus lieu alors (68), de la même manière ou pour l'étendue entière de la masse fluide, à cause du rôle que jouent la chaleur et l'inertie propres des molécules des gaz dans les détentes ou compressions brusques. Mais les solutions ainsi obtenues n'en seront pas moins vraies comme déductions de principes, et précieuses comme offrant une approximation raisonnable dans beaucoup de circonstances de la pratique.

l44 SÉCÂlflQUB IIIDD8TRIBLLK,

Nous avons cru ce préambule nécessaire pour éviter qu'on ne se méprenne sur l'intention et l'esprit véritables de ces exercices, et qu'on n'accorde à chaque conséquence plus d'étendue que n'en comportent les hypothèses physiques mêmes sur lesquelles elle repose. Ces réflexions ne s'adressent d'ailleurs qu'aux personnes qui pourraient ignorer la différence essentielle qui existe entre les sciences d'application ou physico-mathématiques et les sciences purement rationnelles.

QUESTIONS GONCBRICANT l'iNERTIE BB Là FORGE VITE.

lS-6. Travail nécessaire pour vaincre V inertie d*itne voilure, — Considérons une voiture de roulier cheminant sur une foute horizontale: supposons qu'elle pèse en tout loooo kilogrammes et qu'elle doive être mise en mouvement, par des chevaux, avec une vitesse moyenne (M) de i mètre par seconde; la consommation de travail pour vaincre, dans les premiers instants, son inertie indépendamment des autres résistances, sera (136)

-;MV' = - ?V» = - i^^ Xi"^Xi«=:5io«^«», 2 g 2 9,8i

puisque nous avons

P = ioooo''«, V=: I™, g^ = 9°',8i environ.

Or on sait, par expérience, qu'un bon cheval de roulier, marchant ordinairement huit heures par jour en deux relais et avec la vitesse du pas ordinaire, qui est d'environ i mètre par seconde, développe moxennement (Si) un travail d'au moins 70 kilogrammètres dans chacune de ces secondes. Si donc il y en avait 8 de cette force attelés à la voiture, ils donneraient au moins 56o kilogrammètres dans le même temps; de sorte que le travail que devraient dépenser les chevaux, pour mettre cette voiture en mouvement dans les premiers instants, ne serait pas même égal à celui qu'ils peuvent développer, d'une manière soutenue et par seconde, quand la voiture chemine régulièrement; d'où l'on voit le peu d'influence exercée alors par l'inertie propre d'une aussi grande masse.

Si la voiture devait aller avec la vitesse du trot, qui est de

1 mètres environ par seconde, alors le travail absorbé par

l'inertie serait

5io X 2 X 2 = 2040^»*",

c'est-à-dire quadruple; si elle devait aller au galop ordinaire de 4 nièlres par seconde, la consommation de travail serait

5iox4x4 = 8i6o^««,

c'est-à-dire 16 fois celle qui répond à la vitesse de i mètre.

On voit, par là, que le travail nécessaire pour vaincre l'ine'rlie dans les premiers instants augmente très-rapidement avec la vitesse imprimée à la voiture; ce qui tient à ce que la force vive croît elle-même comme le carré de cette vitesse.

147. Idée du temps nécessaire pour imprimer le mouvement à la voiture. — Il est essentiel de remarquer qu'on ne peut rien inférer de ce qui précède relativement à la durée du temps qu'emploient les chevaux pour mettre effectivement la voiture en mouvement à compter du repos. Car, d'un côté, nous avons fait abstraction de la résistance du terrain et des divers frottements, et, de l'autre, il peut bien arriver que la voiture acquière, au bout de la première seconde et sous l'effort réuni des 8 chevaux, une vitesse qui soit plus petite ou plus grande, par exemple, que celle de 1 mètre considérée dans le premier des cas ci-dessus : cela dépend principalement de l'intensité absolue de cet effort (129 et suivants) dans chaque instant in- Gniment petit.

Pour mettre la chose dans tout son jour, nous supposerons que l'effort exercé par les 8 chevaux agissant à la fois, soit seulement de 56o kilogrammes, c'est-à-dire égal à celui qui répond à l'allure du pas ordinaire, et qu'au lieu de varier, comme cela arrive effectivement au moment du départ, il demeure constamment le même; on trouvera facilement la valeur de la vitesse qui serait transmise, par cet effort, au bout delà première seconde de temps écoulé, au moyen de la formule F = MVi du n* 132, qui s'applique-au cas actuel, puisque

V est aussi la vitesse imprimée, à la fin de l'unité de temps et

par une force F qui resterait constante, à une masse M == -

l4^ MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

représentée ici parla masse même de la voiture. Or nous avons, par hypothèse,

V ti£: k, \M P lOOOO^»

F = 5oo*», M = - — r-ô— = 1 020 environ;

donc la vitesse cherchée

cet^e vitesse est loin d'égaler i mètre; mais aussi le chemin décrit et le travail développé par les chevaux pendant la première seconde de temps sont bien moindres que i mètre et 56o kilogrammes. En efTet, nous savons que le chemin décrit, tu bout delà première seconde, sous Faction d'une force constante (110), est égal à la moitié de la vitesse acquise à la fin de cette seconde, c'est-à-dire qu'il est ici y o™, 549 = 0"", 276; de sorte que les chevaux n'ont réellement développé, dans la supposition ci-dessus, qu'une quantité de travail de

sous l'effort des 56o kilogrammes censé constant.

Pour développer réellement, dans la première seconde, la quantité de travail nécessitée par l'inertie et qui répond à la vitesse de i mètre acquise par la voiture, il faudrait que les chevaux exerçassent, à partir du repos, un effort constant qu'on trouvera encore au moyen de la relation F = MV, ; car ici V, doit être égal à i mètre, et par conséquent F = MV, = 1 020^»; ce qui donne, pour l'effort constant de chaque cheval,

Or on sait, par expérience, que l'effort d'un cheval ordinaire contre un obstacle qui cède peu au mouvement peut être beaucoup plus grand et surpasser même 35o kilogrammes dans les premiers instants; d'où il résulte qu'en réalité nos 8 chevaux mettraient beaucoup moins de i une seconde de temps à imprimer la vitesse de i un mètre à la voiture, s'ils n'avaient pas a vaincre, outre l'inertie, la résistance du terrain, des essieux, etc.

APPLICATIONS, BTC. l^']

148. Observation générale sur le travail des moteurs» — Ce que nous venons de dfk*e relativement à raccroissement d'effort dont sont susceptibles les chevaux, dans les premiers instants du mouvement de la voiture, a lieu généralement pour tous les moteurs animés ou inanimés; on observe même que l'effort qu'ils exercent sur les corps est d'autant plus grand que leur vitesse est moindre, tandis qu'il diminue au contraire forcément et d'une manière plus ou moins jsensible, à mesure que la rapidité du mouvement augmente, de manière à devenir tout à fait nul quand la vitesse égale la plus grande vitesse que ces moteurs peuvent s'imprimer ou acquérir par le développement libre et complet de toute leur activité. C'est ainsi, l>ar exemple, qu'il arrive qu'un homme, un cheval, courant ou se mouvant d'une manière quelconque et avec toute la vitesse qu'ils peuvent prendre, ne sont susceptibles d'aucun effort extérieur tant soit peu soutenu, et que, lorsqu'ils agissent, au contraire^ sur un obstacle qui cède avec lenteur, ils peuvent exercer des efforts considérables.

Ces réflexions nous mettent déjà à même de prévoir que, pour toute espèce de moteur, il doit exister un degré de vitesse qui soit le plus avantageux possible sous le rapport de la quantité de travail communiquée; car ce travail devient sensiblement nul (90) dans les deux cas extrêmes dont il s'agit. Mais c*est ce qui sera démontré plus clairement, par la suite, quand nous en viendrons à examiner les conditions du maximum d'effet, pour chacun des moteurs en usage dans l'industrie manufacturière.

1 W. Exemples relatifs à la force vive des fardeaux et des eaux courantes des rivières, — Supposons qu'un moteur soit emplové à élever, à une certaine hauteur verticale, un poids de 5ooo kilogrammes, soit directement, soit par l'intermédiaire d'une machine quelconque, et que la vitesse du mouvement, à l'instant où elle est la plus grande (143), soit de o"*,3 par seconde, ce qui est déjà une vitesse considérable pour un si lourd fardeau; le travail consommé par l'inertie, avant l'instant où ce degré de vitesse est acquis, aura pour valeur

ï P,r, ' Soco*^» ^ ^.

— V = — -5~ X o,oo =r 23^»" environ.

l48 MÊCATIIQIIB INDUSTRIELLE.

Si le moieur devait élever seulement le fardeau à i^jadc hauteur, il dépenserait 5ooo''« X i",îi = 6ooo^«"', c'est-à-dire au moins 260 fois le travail qui est nécessaire pour vaincre Tinertie dans les premiers moments; encore arriverait-il que cette inertie restituerait (143), dans le ralentissement du fardeau vers le haut de sa course, le trav'ail qu'elle avait primitivement absorbé.

Considérons encore le mouvement des eaux d'une rivière, telle que la Moselle, par exemple : on sait qu'à Metz, en particulier, elle fournit, même dans les plus grandes sécheresses, au moins 10 mètres cubes d'eau par chaque seconde, dont le poids (34) est environ loooo kilogrammes. Or cette eau coule naturellement, soit au-dessous, soit au-dessus de la ville et dans les endroits où il n'existe pas de barrages ni d'obstacles, avec une vitesse qu'on a mesurée et qui est moyennement de o™,8o par seconde; donc la force vive du volume de fluide qui passe par chacun de ces endroits, dans une seconde de temps, est

^— X o'",8 X o"',8 = 652 environ,

ce qui répond à une quantité de travail disponible (136 et suivants) égale à 1 652 = 326''«'", c'est-à-dire (82) d'environ 41 chevaux-vapeur, qu'on pourrait utiliser directement contre une roue de moulin, etc. JVIais si, au lieu de se servir de la vitesse possédée par l'eau dans son lit naturel, on construit des barrages ou digues, comme on l'a fait à Metz, on pourra élever son niveau et l'obliger à descendre, du haut de ces barrages, pour agir sur les machines par son poids ou de toute autre manière ; si, par exemple, le barrage fait élever ce niveau de 2"»,5 seulement, comme cela a effectivement lieu dans certaines parties de la ville, la quantité de travail disponible, répondant aux mêmes 10 mètres cubes d'eau et qu'ils pourraient fournir, dans chaque seconde, par leur descente verticale de la hauteur de 2*", 5, sera égale à

loooo'^» X 2", 5 = 25ooo^«'",

ou bien à 333 ~ civevaux- vapeur, quantité qui est, comme l'on voit, presque 77 fois plus grande que celle qu'on obtiendrait

▲PPUGATIOKS, ETC. l49

en utilisant simplement la force vive naturelle des eaux de la rivière. Cela explique suffisamment Tutilité des barrages artificiels dans la pratique des usines hydrauliques.

150. Exemples relatifs à l'art de fancer l'eau, l'air à dis^ tance. — Nous venons de montrer comment le mouvement acquis d'une certaine masse d'eau, qui coule et se renouvelle constamment dans chaque seconde, représente une quantité de travail mécanique qu'on peut immédiatement calculer en chevaux de machine à vapeur; recherchons, à l'inverse, com-r bien il faudrait de ces chevaux pour imprimer continuellement une vitesse donnée à un certain volume d'eau qui devrait être extrait d'un bassin ou réservoir quelconque où le liquide serait au repos. Ce problème trouve son application particulière dans le jeu des pompes à incendie, où il s'agit de lancer, d'une certaine distance, un volume d'eau qui sufHse pour éteindre le feu, et dont la vitesse de projection doit ainsi élre d'autant plus grande que le trou ou Vorifice par lequel sort l'eau se trouve plus éloigné du but qu'on veut atteindre. Supposons, par exemple, qu'il faille lancer cette eau, par l'orifice, avec une vitesse uniforrfte de i5 mètres par seconde, et qu'il doive en arriver continuellement, sur le lieu de l'incendie et dans chaque seconde de temps, un volume de 6 litres pesant 6 kilogrammes; la force vive à imprimer, dans ce même temps, sera donc égale à

= i37,6 environ,

dont la moitié 68^>'",8o mesurera (136.) la quantité de travail nécessaire pour imprimer le mouvement à l'eau ou pour vaincre son inertie. Ce travail devant se reproduire dans chaque seconde, nécessitera, comme on voit, ~ o,688 = 0,917 de chevalvapeur environ (82) ; mais il est clair qu'il faudrait en appliquer davantage au balancier de la pompe, attendu les frottements et résistances de toute espèce, qui consommeraient, en pure perte (103), une portion notable du travail- moteur.

S'il s'agissait de lancer continuellement, et dans chaque seconde, un volume d'eau de 4o litres avec la vitesse de 3o mètres, on trouverait, par les mêmes calculs, que le travail strictement nécessaire à dépenser serait de 1 835 l^ilogrammètres,

l5o MÉCANIQUE IMDDSTaiBLLB.

par seconde, équivalant à celui de a4,5 chevaux-vapeur environ. En réalité, si Ton agit par Tintermédlaire d'une machine à pistons analogue aux pompes à incendie, le moteur devra développer le travail d'-au moins 3o de ces chevaux, c'est-àdire qu'il faudra employer, par exemple, une machine à vapeur de cette force au moins, pour mettre la pompe en mouvement et produire l'effet désiré.

On remarquera que la vitesse de l'eau à sa sortie ^e Torifice» et le volume qui s'en écoule uniformément dans chaque seconde de temps étant donnés, les dimensions de cet oriflce et la grosseur du jet à la sortie ne sont pas arbitraires, et doivent être calculées suivant les règles de l'hydraulique qui seront enseignées dans une autre Partie du Cours. On trouve, par exemple, que, si l'orifice est percé dans une paroi plane et mince du réservoir, et qu'il soit à une distance convenable des parois latérales, son diamètre doit être d'environ 28 millimètres dans le premier cas, et de a5 millimètres dans le second.

Enfîn, en répétant les calculs qui précèdent relativement à un volume d'air de i"*,5o, contenu, dans un réservoir, sous une pression telle, que son poids (&0) soit d'ianviron 2 kilogrammes, et qui devrait être lancé, à chaque seconde, avec une vitesse de i4o mètres, ce qui est le cas des machines soufflantes de certains hauts fourneaux employés à convertir les minerais de fer en fonte, on trouverait que la force vive à imprimer, dans le même temps, serait de 2000 environ, et le travail à dépenser par conséquent de iooo^«" = i3,33 chevauxvapeur, qu'il faudrait presque doubler à cause des résistances étrangères inhérentes a la machine à piston qui serait encore ici mise en usage pour-lancer l'air.

151. Observations particulières sur les jets d'eau verticaux et inclinés. — Au moyen de la formule V' = 2g^H (118), qui

donne H = — » on trouvera, sans peine, qu'avec la vitesse de

i5 mètres, relative au premier des exemples ci-dessus, l'eau pourrait s'élever verticalement à la hauteur de 1 1",47> Q^i est celle des étages supérieurs des maisons ordinaires, dans ce pays; et qu'avec la vitesse de 3o mètres qui répond au second, elle s'élèverait à une hauteur de 4S'*',88; mats, à cause de la

APPLICATIONS, ETC. ]5l

résistance de Taîr, le jet atleindrait véritablement des hauteurs un peu moindres, surtout dans le dernier cas. Il faudrait recourir à d'autres principes, qui seront exposés par la suite, pour calculer la distance et la hauteur auxquelles le jet par* viendrait dans le cas où on lancerait Teau sous une certaine inclinaison; néanmoins, comme il con<viendrait peu alors de revenir sur les applications particulières qui font le sujet de cet article, et que, non-seulement ces applications sont utiles pour apprécier les effets des pompes à Incendie, mais qu'elles ont trait encore à des questions d'une haute importance pour la défense des places de guerre, nous ajouterons, sans aucune démonstration et seulement en faveur des lecteurs qui voudraient approfondir de telles questions, quelques remarques qui ne seront peut-être pas sans utilité.

Nous avons vu, n® 118, qu'il est impossible qu'une nappe d'eau retombe, même d'une hauteur médiocre, sans se diviser en parties plus ou moins fines; or c'est un effet qu'on doit chercher à éviter quand on se propose de concentrer l'eau en masse sur un point déterminé. Car, non-seulement la divergence naturelle du mouvement des parties ainsi désunies augncienlera avec le chemin parcouru dans la descente, de sorte que Teffet sera disséminé sur une grande surface ; non-seulement la résistance de l'air aura alors (116) plus d'action pour retarder lemouvement et diminuer le chemin décrit; mais encore cet air absorbera ou s'appropriera, en vertu de ses propriétés physiques bien connues, une portion beaucoup plus grande de la masse de l'eau; de sorte que, si le trajet doit être tant soit peu long, il pourra, dans certains cas, arriver que rien n'atteigne le but. Ces considérations prouvent donc qu'il est indispensable de diriger l'eau sous un angle tel, que le sommet de la courbe qu'elle suit dans son mouvement s'élève au plus de I ou 2 mètres au-dessus du point qu'on veut atteindre; la résistance de l'air ayant nécessairement peu de prise sur la portion ascendante du jet, on pourra la négliger, et calculer toutes les circonstances du mouvement comme s'il avait lieu dans le vide, d'après les théories connues et que nous exposerons en leur lieu (*).

( * ) SoU V la TÎtesse initiale des molécules liquides, ou en général d'un mo>.

l52 MÉCANIQUE INDUSTftlSLLB.

Dans le cas ci-dessus, par exemple, où la vitesse de Teau à son point de départ est seulement de 3o mètres, on trouve que, la hauteur du but au-dessus de ce point étant de ii à 12 mètres, la distance horizontale à parcourir ou la portée utile devrait être au plus de 4o à 4^ mètres; et que, si le but se trouvait très-peu élevé au-dessus du point de départ, sa distance à ce point ne devrait pas surpasser de beaucoup 35 mètres, sans quoi la dispersion du liquide deviendrait considérable. Pour obtenir des portées plus grandes, doubles par exemple, il faudrait aussi doubler la force vive initiale ou augmenter la vitesse de projection de façon qu'elle fût de 43 mètres environ au lieu de 3o; on trouverait alors que la force de la machine propre à lancer, -dans chaque seconde, les 40 litres d'eau à cette distance, devrait être d'au moins 60 chevaux- vapeur; de sorte que, si Ton ne pouvait réellement disposer que de la moitié de cette force, il faudrait aussi

bile quelconque, lancé sous une inclinaison à l'horizon, dont a soit la hauteur de pente par mètre de distance horizontale ^ hauteur qu'on nomme ordinairement la 'tangente trigonométrique de l'angle correspondant; soit, en outre,

H = — la hauteur due à V ('vorez le n<> 119 et la Table des vitesses à la fin de

*^^ ce volume); h la plus grande élévation du jet ou de la trajectoire parabolique

au-dessus du point de départ; ^la distance horizontale de ce point à celui de plus grande élévation ou au sommet du jet, distance qui ne doit pas excéder de beaucoup celle du but quand il s'agit de lancer le liquide sous un trèsgrand angle; soit enfin E l'écartement du point de départ et de celui d'arrivée du mobile, mesuré sur le plan de niveau qui contient le premier point, écartement qu'on nomme la portée ou Y amplitude totale du jet. On aura, entre les diverses quantités dont il s'agit, les relations suivantes :

E = atf, e = ;• — = iH, h=.\ae=i -H, «* = /|(H — A)''»

qui serviront à calculer trois quelcoilques d'entre elles quand on connaîtra les deux autres. •

La dernière de ces formules est celle qui nous a servi, dans le texte, pour calculer la distance horizontale e du but à atteindre par la gerbe liquide. Dans la réalité, la valeur de e est un peu moindre que ne le donnent les calculs, à cause de la résistance de l'air; mais aussi on peut, sans crainte d'une trop forte dispersion du liquide, le laisser retomber verticalement de quelques mètres au-dessous de la trajectoire. Pour h < 3™, par exemple, on pourra

supposer la portée utile égale à £ ou 4 V^(H — A) A, comme nous l'avons admis dans le texte, & l'égard des gerbes peu inclinées à l'horizon.

APPLICATIONS, ETC. l53

se résoudre à ne lancer qu'un volume d'eau de 20 liires par chaque seconde. Du reste, on voit que, quand il s'agit d'inonder les travaux de l'assiégeant d'une place de guerre, l'emplacement le plus convenable pour la machine est le fond du fossé de l'ouvrage voisin de ces travaux.

152. Réjlexions sur Vinfluence de Vinerlie. — Les exemples qui précèdent sufOsent pour donner une idée de l'influence qu'exerce l'inertie des corps dans certains travaux industriels, et des cas où il serait permis de la négliger, ainsi que les variations de la force vive : on voit bien, par exemple, que, dans le mouvement lent des corps, le travail que représente cette force vive a, presque toujours, une valeur trèsfaible, même pour des masses considérables: ce qui tient, ainsi que nous l'avons déjà dit, à ce que ce travail croît ou décroît comme le carré de la vitesse.

Plus généralement encore, quand un moteur est employé, d'une manière soutenue, à exécuter un certain travail mécanique, ou à vaincre des résistances, par l'intermédiaire de corps, de machines quelconques, dont la masse, au lieu de se renouveler, comme dans les exemples qui précèdent relatifs aux fluides, reste la même aux divers instants; dans ces circonstances, dis-je, on pourra, sans inconvénienl, ne pas tenir compte de l'inertie de ces corps, soit que le mouvement demeure uniforme dans l'intervalle de temps considéré, soit qu'il varie entre des limites plus ou moins resserrées. En effet, la dépense de travail, pour vaincre l'inertie, se réduisant (141 et suivants), une fois pour toutes, à celle qui répond à la différence des forces vives possédées par les corps au commencement et à la fin de l'action du moteur, cette dépense sera nulle quand le moteur laissera les corps dans le même état de mouvement où il les a pris, et elle sera généralement une fraction très-faible du travail total, quand le mouvement sera longtemps continué.

Néanmoins, ne l'oublions pas, cela suppose expressément que les pièces qui agissent les unes sur les autres pour communiquer le travail du moteur aux résistances n'éprouvent point d'altérations intérieures ou moléculaires sensibles par le fait même des changements du mouvement (103), et sur-

l54 MfiCÀNIQUB INDUSTRIELLE.

tout qu'il n'y ait pas de chocs plus ou moins vrolents, plus ou moins répétés, qui, presque toujours (139), entraînent de pareilles altérations, ou des mouvements étrangers à l'effet utile.

Comme jusqu'ici nous n'avons parlé de la communication du mouvement par le choc que d'une manière générale, il convient de nous y arrêter quelques instants, et de montrer comment on peut, dans plusieurs des cas de la pratique, estimer, d'une manière sufGsamment exacte, la perte de force vive qui en résulte, et les circonstances particulières qui l'accompagnent.