MV-M'V

la vitesse U étant nécessairement dirigée dans le sens de celle V, qui répond à la plus grande des deux quantités de mouvement primitives, MV et M'V.

Quant aux forces vives, possédées ou perdues au moment de la plus grande compression, c'est-à-dire lorsque les corps ont acquis le même mouvement, on les calculerait aisément au moyen de la vitesse U; mais on peut arriver immédiatement à la valeur de la perte commune à la fols à ces corps et qu'il est souvent essentiel de connaître, en observant que, dans les deux cas dont il s'agit, leur réaction réciproque s'opère uniquement en vertu des vitesses relatives (4.6 et 85) dont ils sont animés avant le choc ; de sorte ^ue les valeurs de F et les changements d'état ou de forme correspondantes sont, à chaque instant, les mêmes que si, le corps (A'), par exemple, étant au repos, le corps (A) venait le choquer avec une vitesse V — V égale à la différence de leurs vitesses pour le premier cas, et avec une vitesse V-+-V' égale à la somme des mêmes vitesses pour celui où les corps marchent en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement (85 et 139) de l'intensité de la réaction des deux corps à chaque instant du choc, sera donc (161), au moment de la plus grande compression, pour le cas où les corps marchent dans le même sens,

MM^(V-V^)' M-f-M' '

et, pour celui où les corps marchent en sens contraire,

MM^(V -+- V7 M -f'M'

Celte dernière quantité est, comme on voit, de beaucoup supérieure à la première; cela prouve combien il est essentiel, dans la construction des machines, d'éviter que des corps se choquent inutilement avec des vitesses contraires.

Enfîn, si les corps étaient supposés (161) parfaitement élasti(|ues, on trouverait tout aussi facilement les vitesses qu'ils conservent à la fin du choc : il suffirait, pour cela, de reprendre les raisonnements du n** 158, relatifs au cas où l'un des corps esi en repos au commencement de ce choc. Mais, comme on aura rarement occasion d'appliquer ces résultats à la pratique, nous ne nous y arrêterons pas non plus qu'aux diverses conséquences qu*on pourrait, dès à présent, déduire des formules qui précèdent.

l68 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

164. Bemarques relatives aux applications numériques. — On devra se rappeler que, lorsqu'il s'agit de calculer, en nombres, les valeurs des forces vives perdues ou conservées par les corps après le choc, il conviendra toujours de prendre (125 et suivants), pour chaque masse, le quotient du poids du corps, exprimé en kilogrammes, par ^=9"* ,8088, tandis qu'on pourra s'en dispenser dans le cas où l'on n'aura que les vitesses simples à calculer. Il est aisé de voir, en effet, qu'il sera alors permis de remplacer les masses par les poids mêmes des corps, dans les fractions qui donnent ces vitesses, attendu qu'en supprimant la division de ces poids par g-, cela reviendra tout simplement à multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction dont il s'agit, par cetie même quantité; ce qui n'en change pas la valeur, comme on sait. Ainsi on aura, dans le cas général ci-dessus (163), P, P' étant les poids des deux corps dont les masses ont été nommées M et M',

U -: —î;^ =7:— OU U

selon le sens du mouvement des corps avant le choc.

C'est d'après de tels exemples qu'on se croit quelquefois autorisé à prendre généralement le poids d'un corps pour sa masse (125); mais on commettrait une erreur grave si l'on en agissait ainsi dans les calculs relatifs à la force vive des corps.

Par exemple, dans les cas ci-dessus (163) de deux corps qui se choquent en marchant dans le même sens, nous avons trouvé que la perle de force vive, à l'instant de la plus grande compression, qui répond à la fin du choc quand les corps ne sont pas élastiques, avait pour valeur

" M -h M' ' tandis que, selon l'autre manière de voir, elle serait

Or il est facile de s'assurer que, par la suppression de la division des poids P, P', qui donne (126) les masses M, M', on

aurait inuliiplié réellement deux fois le numérateur de la fraction par g, et seulement une fois le dénominateur; de sorte que le véritable résultat se trouverait en effet multiplié par g, S! donr on voulait obtenir ce véritable résultat en se servant des poids, il faudrait diviser la dernière des fractions ci-dessus par g ou 9",8o88, ce qui donnerait

g(P-hF) *

Ainsi, on pourra, dans la vue de simplifier un peu les calculs, se servir de cette dernière formule au lieu de celle qui contient les masses; quant à la précédente, on doit bien voir maintenant qu'elle est absolument fautive. On pourra d'ailleurs appliquer des simplifications analogues aux diverses autres formules ou résultats de calculs concernant le choc direct des corps.

165. Comparaison des effets des chocs et des pressions simples. — On a quelquefois essayé de mesurer directement les chocs par les pressions ou les poids : ainsi Ton a dit, d'une manière absolue, qu'u/i certain poids ^ tombant de telle hau-^ leur sur un corps, équivalait à une pression de tant de kilogrammes, exercée sur ce corps; or, il est bien évident que ces deux choses sont tout à fait distinctes, et ne peuvent se rapport ter à la même unité de mesure, dans le sens absolu dont il s* agit. Mais il en est tout autrement quand on entend parler des effets physiques que peuvent produire les chocs et les poids ou pressions simples qui agissent sur les corps sans vitesse acquise; car un poids posé^ par exemple, sur une certaine substance, s'y e/i/bnc^ ou la comprime plus ou moins (63), et îl développe, dans sa descente, une quantité de travail (89) qui est tout à fait comparable à la force vive que perdrait un autre corps (161), pour produire la même compression, le même effet.

Dans les deux cas, on a à considérer une suite de pressions variables pour chaque instant, et qui se succèdent, sansûnterruption quelconque , tout en produisant le changement de forme du corps. Or cette succession n'est pas une pression simple et unique; on ne peut pas non plus la mesurer en kilo-

grammes par une somme de pressions, puisque celte somme est infinie, même pour un irès-peiit temps de l'action des forces et pour un mouvement extrêmement lent; mais, comme il y a à la fois pression ou effort et chemin décrit dans chaqiie instant très-rpetit, il y aura aussi un petit travail développé dans cet instant; et c'est la somme finie de ces travaux partiels qui, dans tous les cas, donne la mesure de l'effet produit.

11 est bon de remarquer d'ailleurs que les mêmes géomètres qui mesurent les effets du choc par des sommes de pressions, nomment ces sommes des forces de percussion^ et les considèrent comme égales aux quantités de mouvement qui ont été imprimées ou détruites dans l'acte du choc; tandis que, d'après l'autre manière de voir, qui est aussi simple et d'ail> leurs parfaitement d'accord avec les résultats de l'expérience, nous sommes conduits naturellement à mesurer ces mêmes effets du choc par la force vive directement employée à les produire.

applications relatives au choc direct.

166. Choc d'un corps qui tombe d'une certaine hauteur sur une substance plus ou moins molle, — Supposons qu'on laisse tomber d'une certaine hauteur un corps cubique et très-résistant P {PL II, fig, 38), tel qu'un cube de fer pesant 3oo kilogrammes, sur une substance plus ou moins molle, terminée par un plan de niveau AB, et dans laquelle il pénètre par une de ses faces ab, parallèle à ce plan. Soient i^jSo la hauteur b'c d'où le cube est tombé avant d'atteindre AB, et a centimètres la quantité totale bc de l'enfoncement observé à l'instant où le choc est complètement terminé; il sera donc descendu réellement de la hauteur i%3o -h o"»,o2 = i'",32, et la quantité de travail développée par la pesanteur, dans cette descente, sera mesurée (121) par le produit 3oo''»Xi"*,32 = 396 ^«•"; c'est donc là aussi la mesure du travail nécessaire pour produire l'enfoncement des 2 centimètres avec des circonstances semblables, ou pour produire un effet identiquement égal.

Cette conséquence résulte immédiatement de ce qui a été dit précédemment ( 158 et suivants) sur le choc des corps durs qui rencontrent des corps mous ou privés d'élasticité; car ici

APPLICATIONS, BTC. 171

le corps P aiteint le plan AB avec une force vive égale à »X 3oo*^«x i",3or= 780 (122); celle force vive peulêtre considérée comme presque eniièremenl consommée (162) pour produire le changemenl de forme de AB; en effet, ralicraiion du cube esl négligeable, ei la masse de la subsiance AB qui reçoit le choc, étant ici censée Irès-grande par rapporl a celle de P, ou étant censée faire parlie du sol, soit directement, soit par l'intermédiaire des corps qui la supportent, la vitesse et par conséquent la force vive conservées après le choc seront extrêmement petites (160 et suivants), de sorte qu'on pourra les négliger par rapporta celles que possédait P avant le choc. Or cette dernière force vive se convertit, à partir de rinstant où le corps atteint le plan AB, en une quantité de travail égale (136) à la moitié de sa valeur, c'est-à-dire à Sgo kilogrammètres entièrement employés contre les résistances du sol; de plus, la gravité y ajoute, pendant que le corps s'enfonce, une quantité mesurée par le produit du poids 3oo kilo- -grammes de ce corps et de la hauteur bc de renfoncement; donc, au total, la résistance qu'éprouve le cube pendant qu'il pénètre dans la substance AB et de la part de cette substance, développe bien réellement, contre le mouvement, une quantité de travail égale à

Sgo^*" -h 3oo^« X o",o2 = 39o^«" -h G^»"» = 3g6''«'",

quelle que soit d'ailleurs la manière dont varie l'intensité propre de cette résistance aux divers instants de l'enfoncement.

Maintenant, si l'on pose doucement, sur AB, un prisme vertical K de même base que le cube, et dont la hauteur et le poids soient tels, qu'au bout d'un temps plus ou moins long il s'enfonce des mêmes 2 centimètres bc, la quantité d'action que la pesanteur aura développée, sur le prisme, pendant sa descente de cette hauteur, et qu'aura consommée la résistance de AB, sera le produit de 2. centimètres par le poids R de ce prisme, c'est-à-dire o"*, 02 x R. Mais, comme les effets produits par le prisme et par le cube sont identiques dès l'instant où il est permis de négliger la vitesse communiquée au sol, les quantités de travail que ces effets supposent, de la part de la résistance de AB, doivent être regardées aussi comme

l'Ji MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

égales, et partant on a doù

Tel est donc le poids qui pourrait produire, dans un temps plus ou moins long, un effet égal à celui qui résulte, dans un temps généralement très-court, d'un poids 66 fois moindre, lancé avec la vitessç de 5"',o5 due à la hauteur de i",3o (118).

167. Calcul hypothétique de la durée de V enfoncement produit parle choc. — La valeur effective du temps que le corps P , met à s'enfoncer des 2 centimètres ci-dessus ne peut s'obtenir qu'autant que Ton connaîtrait, par des expériences spéciales, la loi que suit la résistance du sol aux divers instants, ce qui n'est pas. Mais, pour offrir un exemple de calcul, nous supposerons la résistance constante, ou plutôt nous la supposerons remplacée, dans les divers instants, par sa valeurmoyenneÇl^): de sorte qu'elle sera censée (107 et 112) retarder uniformément le mouvement du prisme ou du cube.

Or nous savons que, pendant la durée du choc, elle développe

une quantité de travail égale à 396 kilogrammètres; donc (73)

3q6 elle a pour valeur moyenne z^igSoo^^; c'est-à-dire qu'elle

est précisément égale au poids du prisme qui produit le même enfoncement ou le même effet; ce à quoi on devait bien s'attendre en la supposant tout à fait constante (*). Cette résistance étant directement opposée à l'action du poids des 3oo kilogrammes du cube, ce dernier sera en réalité sollicité, pendant l'enfoncement, par une force motrice constamment égale à 19800^» — 3oo''«^ i95oo''«, et agissant, de bas en haut, pour retarder son mouvement primitivement acquis, ou pourdétruire

la vitesse de 5'",o5 qu'il possède à l'instant où il atteint AB.

(*) Puisque la résistance est ici éfrale au poids du prisme, ce dernier ne s'enfoncerait pas; conséquence qui prouve assez que l'hypothèse d'une résistance constante n'est point admissible : cette résistance croit nécessairement à partir de l'instant où l'enfoncement commence, et c'est ce qui parait évident on soi) vu la plus grande facilité qu'a alors la matière de se déplacer laténdement ou sur les côtés du cube et du prisme.

APPLIGATIO?(S, ETC. 178

Avec ces données, il ne sera pas difficile de trouver le temps que la résistance mettrait à éteindre complètement la vitesse en question; car puisqu'on la suppose constante, elle imprimerait, au bout de Tunité de temps, une vitesse Yi, qui sera

F donnée par la formule F == MV, ou V, = ^^ > du n** 132 : or ici

donc

Mais, puisque la force constante est capable d'imprimer la vitesse de 637", 67 au bout de i seconde, il est évident (110) qu'elle mettra, à imprimer ou détruire la vitesse de r>"',o5, un temps / qu'on obtiendra au moyen de la proportion

doù

5 o5 /— ^»' ^ — o",oo8== Y^ de seconde à peu près.

Les mêmes résultais s'obtiendraient immédiatement d*ail-

leurs au moyen de la formule F = M - du n** 130, en obser-

v^nt qu'ici les raisonnements sont applicables à une vitesse et à un temps quelconques; car elle donne pour le temps / qui répond à la vitesse de 5"^,o5j

Mx5,o5 3o,58x5,o5 ,, ^ i— = = .-— --;o ,008,

comme ci-dessus.

168. Celle durée esl d'aulanl moindre que le corps choqué est plus raide. — Nous venons de trouver que, dans l'hypothèse d'une résistance constante, le temps nécessaire pour produire renfoncement des 2 centimètres est de 8 millièmes de seconde environ. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante, assez dure pour que l'enfoncement fût seulement de i milli-

mètre, dans les mêmes circonstances, on trouverait, en recommençant les calculs qui précèdent, que le poids R du prisme

qui produirait cet enfoncement serait de = 3qo 3oo^«, ei

^ ^ o,ooi ^

que la force motrice F, qui agit pendant le choc, aurait pour valeur moyenne ces mêmes 3go3oo kilogrammes diminués de 3oo kilogrammes ou 390000 kilogrammes, qu'enfin la durée de l'enfoncement serait seulement de 0^^,00039, ou environ ^o fois moindre que dans le premier cas; ce qui démontre combien doit être excessivement courte la durée du choc des corps raides, tels que le marbre, l'acier, l'ivoire, dont les dépressions sont quelquefois si faibles, qu'il est impossible de les apprécier par des moyens directs.

A la vérité, nous avons supposé, pour parvenir à ces résultats, que la résistance des corps à l'enfoncement était constante; mais la même conséquence peut se déduire de nos principes, quelle que soit la loi de la résistance ; car la force vive détruite, par exemple, pendant la première période ( 156 et 161 ) du choc de deux corps quelconques, ou pendant leur compression, étant généralement très-comparable à celle qu'ils possédaient avant le choc, il en sera de même (136) du travail développé par leur force de réaction réciproque F. L'enfoncenrient étant donc extrêmement petit, il faut nécessairement (95) que la courbe du travail Oa'6'c',. . . [PL I,Jlg. ^6), s'éloigne considérablement de l'axe OB des abscisses, du moins à compter d'une petite distance de l'origine; de sorte que les ordonnées, qui mesurent les valeurs de la force de réaction F, devront aussi être extrêmement grandes. Or de là on conclut, sans dif-

Acuité, soit par la formule / = ~=r déjà citée, soit par la construction de la courbe des vitesses ( 134-, PL fyfig- 32), que le temps nécessaire pour produire l'enfoncement ou la compression doit être, de son côté, d'autant plus petit que les valeurs de F sont elles-mêmes plus considérables et l'enfoncement total moindre. Mais, attendu que Taire comprise entre cette dernière courbe et l'axe des abscisses mesure effectivement les espaces décrits ou les enfoncements, il n'est pas même nécessaire de recourir à la courbe des pressions {PL I^fig» 26) pour voir que, si l'enfoncement total est extrêmement pelilf

APPLICATIONS, BTC. I 75

tandis que la vitesse conserve une grandeur donnée, la durée du mouvement doit elle-même être extrêmement courte.

169. Observations générales sur la communication du mouventent par le choc. — C'est à cause de l'excessive petitesse de la durée du choc des corps très-résistants, que les mécaniciens se sont crus autorisés à regarder généralement comme entièrement nulle cette durée, et que, par suite, ils ont été conduits à supposer infinies les forces de réaction qui se développent pendant la compression réciproque des corps. Mais nous voyons bien clairement maintenant que, puisqu'il n'existe pas de corps infiniment durs, on ne peut pas dire, non plus, en termes absolus, qu'il y ait changement brusque ou instan^ iané de leur vitesse; la communication du mouvement par le choc ne diffère, en effet, de celle qui a eu lieu par les forces motrices ordinaires, telles que la pesanteur, etc., que parce que généralement cette communication s'opère dans un tt^mps reellemeni très-court, et que la force de réaction acquiert ainsi une très-grande valeur. Encore devons-nous remarquer qu*i] arrive souvent que des corps réagissent l'un sur l'autre, par leurs vitesses acquises, sans que la pression soit excessive, sans que la durée de la réaction soit très-courte; et que réciproquement des forces motrices, qu'on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires, telles que celles qui résultent, par exemple, du ressort des gaz de la poudre, etc., communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande dans un très-petit temps, attendu la grande intensité de leur action. La distinction qu'on voudrait établir entre des' phénomènes qui ont autant de connexion entre eux, ne pourrait donc servir qu'à compliquer l'étude de la Mécanique, en y introduisant, sans utilité immédiate, un ordre de considérations qui n'y est point indispensable.

170. Utilité du choc dans les arts; battage des pilots de fondation. — Maintenant on doit bien concevoir comment il

est possible de comparer les effets des chocs, sur les corps, à celui des pressions ordinaires qui produisent des mouvements plus ou moins lents; on conçoit très-bien aussi que, le choc produisant, dans un temps extrêmement court, un travail ou

176 MfiC.ÀNIQUB INDUSTRIELLE.

un effet comparable à celui que produisent, dans un temps généralenient beaucoup plus long, les pressions ordinaires, il y ait souvent avantage, nécessité même d'employer ce mode d*action dans les arts, malgré les inconvénients qui y sont attachés (162). Car, toutes les fois que la pression ou Teffori direct dont on pourra disposer pour produire un travail mécanique sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudra recourir au choc qui développe des pressions considérables et toujours en rapport avec la force de réaction.

On s'expliquera encore aisément le but qu'on se propose en plaçant, sous les fondations des édiOces très-lourds, tels que les piles de ponts, les palais, les remparts, etc., de forts pieux ou pilois^ffniés vers le bas et enfoncés, sous le sol, à coups de mouton. Le poids dont est chargé * verticalement chaque tête de pilot par les constructions établies directement au-dessus représente celui R du prisme dont il a été question au n*» 166, et le mouton remplace également le cube; seulement ici ce n'est pas l'enfoncement même de la tête du pilot qu'il s'agit de produire, mais bien celui de sa pointe inférieure, dans le sol; c'est pourquoi l'on cherche à éviter le premier enfoncement, qui consommerait, en pure perte, une partie notable de la force vive du mouton; à cet effet, on consolide la tête du pilot par une forte frette, quand la violence du choc pourrait la déformer rapidement; et, comme il ne s'agit pas davantage d'en briser la pointe, on a l'attention de la durcir au feu ou de la coiffer d'un sabot enfer. Enfin on dresse, on arrondit, le mieux possible, les côtés du pilot pour diminuer les résistances qui s'opposent à son enfoncement; de celle façon, la plus grande portion de la force vive du mouton est transmise à l'extrémité inférieure du pilot, et sert immédiaiemenl à l'enfoncer dans le sol jusqu'à ce que, arrivée sur le roc, le tuf ou quelque autre terrain solide, les coups redoublés du mouton ne puissent plus la faire descendre, d'une manière sensible, auquel cas on dit que le pilot est parvenu au refus.

171. Conditions du battage des pilots et conséquences qui en résultent. — On exige ordinairement, pour un pilot de 25 centimètres de diamètre et de 3 à 4 niètres de longueur,

que l'enroncement produit* par chacune des dernières volées de trente coups, d'un mouton de 3oo ii 4oo kilogrammes, tombant d'une hauteur de i".?». soit, au plus, de 4 ^ ^ millimètres; moyennant quoi il devient permis, d'après les observations du célèbre Perronet, de charger chaque lète de pilot jusqu'à 25o(io kilogrammes, sans qu'on .lit à craindre aucun accident fâcheux pour la solidité des constructions.

Pour comparer celte donnée de l'expérience avec les résultais du calcul, nous observerons qu'ici les trente coups de mouton équivalent ( 16C) à une quantité de travail de

3ox3oo''X ["".S = 11 700'"" au moins.

Ce travail produisant un enfoncement de 5 millimètres au plus, le poids qui, placé sur la tête des pilots, produirait le même enfoncement, dans l'hypothèse d'une résistance constante du sol,

serait d'au moins — ^—= ^ 2340000'*; ce poids est en o ,oo5 '

94 fois celui que Perronet assigne comme limite de la cl des pilou; mais il faut observer : i* que les bois sont su tibles de s'altérer plus ou moins à la longue, et que le r pilot qui supporterait momentanément, sous le choc mouton, des efforts de 2340000 kilogrammes, pourrait s'affaisser ou s'écraser sous des charges permanentes beaucoup moindres; V que l'élasticité naturelle du bois et du sol tend i diminuer la profondeur de l'enfoncement, en relevant, à chaque coup, le pilot d'une certaine quantité; ce qui n'aurait pas lieu sous une compression permanente égale ; 3" enfin, qu'il ne conviendrait pas non plus de statuer sur un abaissement de 5 millimètres pour les fondations d'un édilicc qui doit présenter les caractères de la plus grande solidité, tel qu'un pont, etc., quand bien même cet abaissement devrait s'tîpérer dans un temps extrêmement long. C'est pourquoi l'on peut admettre, d'après la règle posée par Perronet, qu'en général, quand il s'agit de eonstructions monumentales, on ne doit prendre, pour charge des pilots, que la centième partie environ du poids qu'assigne la théorie ci-dessus, et calculer en conséquence l'équarrissage dt^ces pilots.

Les calculs qui précèdent supposent d'ailleurs que la force

178 MÉCANIQUE IliBUSTBIELLE.

vive du mouton soit tout entière (fonsommée contre les résistances du sol, qui s'opposent à renfoncement, tandis que, dans la réalité (170), une portion plus ou moins grande de cette force vive est. consommée pour écraser la tête du pilou On peut admettre que le ressort du bois est tout à fait négligeable dans les circonstances actuelles où le choc s*opère avec violence : l'expérience démontre, en effet, que le mouton ne quitte pas sensiblement le pilot pendant le choc, et qu'ils cheminent d'un mouvement commun toutes les fois que la réaction du sol lui-même n'est pas fort grande, ou que le pilot n'est pas arrivé au refus; il en résulte par conséquent qu'avant cet instant, le pilot et le mouton se comportent, au commencement de chaque choc, comme le supposent les raisonnements des n"^ 155 et 156; d'où il est aisé de juger que les observations du n® 162 sont applicables au cas actuel, c'està-dire que, pour diminuer le plus possible la perte inutile de force vive résultante de la compressibililé du pilot, il convient de donner au mouton un poids qui excède de beaucoup celui de ce pilot; on doit par conséquent employer des moulons ù' autant plus iourdsy que les pilots à chasser le sont eux-mêmes davantage; Dans la pratique, le poids du mouton est assez ordinairement compris entre deux fois et trois fois celui du pieu, de sorte que (162) la perte de force vive est aussi comprise entre le y et le 7 de celle qui opère le choc : en se servant de moutons encore plus pesants, la perte diminuerait, mais la manœuvre deviendrait embarrassante dans bien des cas, et occasionnerait d'autres consommations inutiles du travailmoteur.

La perte de force vive, provenant du défaut d'élasticité des pilots, étant donc généralement une fraction assez faible, et d'ailleurs à peu près constante, de la force vive totale imprimée au mouton, il résulte (166), de ce qui précède, que les enfoncements, ou effets du choc de divers moutons, doivent être sensiblement proportionnels aux produits de leurs poid4 par leurs hauteurs de chute, ou aux forces vives qu'ils acquièrent au bas de ces chutes; ce que confirme parfaitement l'expérience, non-seulement dans l'opération du battage des pieux de fondation , mais encore dans une infinité d'autres circonstances où les effets sont directement comparables.

APPLICATIONS, BTC. 179

DE LA COMMUNICATION BU MOUVEMENT PAR LES GAZ ET SPÉCIALEMENT DU TIR DES PROJECTILES.

172. Observations préliminaires, — Nous avons déjà donné un aperçu (138) de la manière dont rélasUcilé de Tair com- ' primé forlemenl dans le réservoir d'un fusihà v^nt peul servir à lancier des balles ou à convenir une certaine quantité de travail, accumulé dans cet air, en force vive. Or^ en admettant, comme on le fait ordinairement, que la tension des fluides élastiques suive exactement la loi de Mariotte (16), quelle que soit la manière dont s'opère leur compression ou leur débandement, c'est-à-dire leur détente, non-seulement on pourra calculer la vitesse totale imprimée à la balle, à l'instant où elle sort du canon, au moyen de la quantité de travail développée sur elle, par les pressions successivement décroissantes du volume d'air qu'on laisse échapper, à chaque coup, de l'intérieur du réservoir,tnais encore on sera en état (129 et suivants) de calculer toutes les autres circonstances de son mouvement pendant le temps où elle chemine dans l'âme du canon, et de résoudre plusieurs questions intéressantes, telles que de trouver la vitesse de recul du fusil, le temps que la balle met à parcourir Tâme, la longueur de cette âme qui donne le i^\ws grand effet ou la plus grande vitesse de sortie, vitesse qu'on nomme aussi la vitesse initiale des projectiles dans l'art de la Balistique.

Nous n'entreprendrons pas de résoudre ici toutes ces questions, parce que le fusil à vent est d'un usage très-borné de nos jours, et que nous avons à traiter divers sujets, plus ou moins analogues, qui sont d'un intérêt plus immédiat et également très-propres à servir d'exemples de l'application des principes. Nous ferons seulement remarquer, relativement à la recherche du maximum d'effet, que la limite, passé laquelle le ressort du gaz intérieur ne peut plus contribuer à accroître la vitesse de la balle, répond à l'instant même où la pression de ce gaz est, par suite de sa détente, réduite à la pression de l'air atmosphérique extérieur (37), augmentée du frottement qu'éprouve la balle de la part des parois du canon : pression et frottement qu'il n'est permis de négliger qu'autant que

l8o HÉCANIQUB INDUSTRIELLE.

l'ûme aurait peu de longueur, ou que ces résistances demeureraient constamment, et de beaucoup, inférieures à la force motrice qui pousse la balle en avant; or c'est ce qui a lieu précisément dans le tir ordinaire des projectiles, par le moyen de la poudre, dont nous allons maintenant nous occuper avec * quelques détails. Nous reviendrons plus tard sur ce qui concerne l'air cn^ particulier, en ciierchant à apprécier le rôle que |oue rinertie propre de ses molécules, dont nous ferons, quant à présent, entièrement abstraction; ce qui revient à admettre, sans restrictions, les principes de M-ariotle et de Pascal (Uet 16), qui se rapportent essentiellement à Tétat de repos des fluides.

Des effets et du travail des gaz de In poudre dans le tir

des balles et boulets.

173. Principes sur la communication du mouvement par les gaz, — Le tir des balles et des boulets, par Tinflammaiion d'une certaine quantité de poudre enfermée dans le fond de l'âme d'un canon, et à laquelle on a mis le feu, présente des circonstanees tout à fait analogues à celles qui .sont relatives au fusil à vent; car ce lir consiste encore (99) à employer le ressort des gaz de la poudre, qui sont le résultat de sa combustion, pour imprimer progressivement la vitesse au projectile : ces gaz, en se dilatant par l'action de la chaleur (26), remplissent ici, en effet, la fonction d'un ressort véritable : ils pressent le boulet avec des forces qui, partant de zéro, croissent d'une manière extrêmement rapide, jusqu'à un certain terme qui s'approche plus ou moins de l'instant où la poudre est entièrement enflammée, purs décroissent ensuite à mesure que les gaz se refroidissent ou que leur température baisse (21 et suivants), à mesure que les pertes ou fuites àe ces gaz augmentent, de plus en plus, par l'effet du vent ou /V« du boulet dans la pièce et de l'ouverture assez forte de la lumière, à mesure enfln que le boulet, cheminant en avant, agrandit, de plus en plus, l'espace occupé par les différents g-oz(16).

Quoiqu'on ne connaisse ni la loi de ces pressions ni celle de

APPLICATIONS, ETC. l8l

Tinnammation nécessairement progressive de la poudre (*), on peut cependant déduire, de nos principes, plusieurs conséquences conformes, dans leur généraliié, aux résultais bien connus de l'expérience; car le cas est ici semblable à celui de b communication du mouvement par le choc des corps (154. et suivants), où, sans connaître absolument la loi que suit la force de réaclion, on parvient néanmoins à divers principes utiles et qui ne s'écartent pas trop des effets naturels. Aussi doit-on s'attendre à voir reparaître un ordre de considérations analogues, et qui se présente généralement toutes les fois qu'il s'agit de la communication du mouvement par la réaclion mutuelle des corps.

Comme on ne saurait trop insister sur le principe de pareilles applications, je pense qu'il ne sera nullement superflu de revenir sur les démonstrations irès-simples qui en ont déjà été données précédemment (131 et 153),

Soit F, à un instant donné, la force motrice qui pousse en avant le boulet et qui- est censée presser, en sens contraire et avec une intensité égale (H), le fond de Tàme de la pièce; soient P et P' les poids du boulet et de la pièce y compris son affût, etc.; soient c et c' respectivement les petits degrés de vitesse qui leur sont imprimés à un instant quelconque et dans la durée de l'élément de temps /; on aura (130) la proportion

¥:\^:\v:gt, ou VvznYxgt.

On aura, de mémo, pour la pièce et son affût,

F;P':: v':^'/, ou 1^'v' = Yxgt\ ainsi

?v = V'v\ ou v:v'::^':V,

comme on le conclurait immédiatement des résultats du

(*) Depuis que ce Chapitre a été écrit (i^^tzQ), Poncelet, dans un Rapport lu à r\cadéroic des Sciences, le 2a août i83i), a fait Teiposé historique et critique des nombreuses recherches tentées sur ce sujet par les géomètres et par les physiciens. M. Piobert a étudié en détail les lois de l'indammation progreMire de la poudre, et a fait faire de grands progrès à la théorie de ses effets dynamiques; M. Resal a repris la question à un point de vue entièrement nouveau en y appliquant le principe de l'équivalence de la chaleur et du travail; il est arrivé à des résultats présentant une concordance remarquable avec l'expérience. C K . )

l82 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

n® 131. Par conséquent les degrés de vitesse imprimés au boulet et à la pièce, dans un temps infiniment petit, sont réciproquement proportionnels aux poids de ce boulet et de cette pièce.

Puisque le produit P X i' répond au p^lil temps /, la somme . des produits partiels, relalifs aux divers instants écoulés depuis le point de départ du boulet jusqu'au moment où, quittant la pièce, il a acquis toute sa vitesse V, aura pour valeur le produit du poids P par la somme des degrés de vitesse f^, successivement imprimés, ou par la vitesse totale V, c'est-àdire PxV. La somme des produis P'Xi'', pour le même intervalle de temps, sera pareillement P' x V', V étant la vitesse finie communiquée à la pièce et à rafrùt quand celle du boulet est V. Mais les peiits produits P x i' et P' X ^'y relatifs aux divers instants écoulés, sont continuellement égaux entre eux d'après ce qui précède; donc aussi P X V=: P' x V, c'està-dire que :

Les vitesses finies, imprimées à la pièce et au boulet à Vin^ stant oà celui-ci a acquis tout son mouvement, sont réciproquement entre elles comme les poids de cette pièce et de ce boulet.

174. Observations sur la vitesse de recul des pièces. — Les gaz de la. poudre continuant à agir sur le fond de l'âme après l'instant ou le boulet a quitté la pièce, on voit que la vitesse totale de cette pièce supposée libre, ou du recul, serait, pour cette cause seule, un peu plus forte que ne le suppose la proportion ci-dessus. On voit aussi pourquoi le recul est beaucoup moindre quand on tire à poudre seulement, que quand on tire à boulet. On se rappellera d'ailleurs (172) qu'il faudrait, pour rendre plus exacts les raisonnements ci-dessus, diminuer F de toute la pression exercée, dans le sens opposé au mouvement, par l'air atmosphérique, sur la surface extérieure du boulet, ainsi que du frottement qu'il éprouve de la part de l'âme de la pièce, pression et frottement qui sont toujours, comme on le veï*ra ci-dessous, très-faibles par rapport à la pression totale de U poudre. Enfin on remarquera que, le poids P du boulet étant généralement très-petit par rapport au poids P' de la pièce et de l'affût, la \itesse V est aussi très-petite par rapport à V :

APPLICATIONS, £TC. l83

dans la plupart des cas, P' esl au moins 3oo fois P; ainsi, dans nos hypothèses (172), la vitesse du recul surpasserait rarement le "HT **^ la vitesse communiquée au bo.ulet, à sa sortie de la pièce.

175. Mesure du travail total développé par la poudre contre la pièce et le boulet, — Pour calculer directement ce travail, il faudrait (72) connaître, d'après l'expérience, la loi ou la courbe qui lie les pressions F aux chemins correspondants décrits par le boulet dans Tâme de la pièce, ce qui n'est pas jusqu'à présent. Mais, comme nous savons (136) que cette quantité de travail est la moitié de la force vive imprlipée, nous pourrons l'obtenir au moyen des vitesses V et V acquises efiTectivement par la pièce et le boulet; ce qui suppose toujours qu'on néglige les résistances étrangères à leur propre inertie. £o effet, la force vive du boulet étant (120) égale à MVS et celle delà pièce à M' V'% la quantité de travail totale, transmise par la poudre, a pour mesure (136)

Considérons, par exemple, une pièce de 24, dont le boulet

pèse environ 1 2 kilogrammes ( * ), et dont la charge ordinaire est

approchante de 4 kilogrammes; on sait, par expérience, que la

▼itesse totale V de ce boulet s'éloigne peu de 5oo mètres par

1 P seconde; g étant environ g^jSi, — X V' sera donc égal à

162605 kilogrammètres. Pour trouver X V'% nous admet-.

^ g irons que le poids P' soit seulement 3oo fois le poids P ou égal

à 36oo kilogrammes ; et, puisqu'on a P X V = P' X V, on en tire

V = ^ V = ;r^ 500« =rl«,67,

3oo 3oo '

pour la vitesse du recul. Ainsi on aura, pour la valeur de la

(*) Les applicaUons numériques faites dans le texte se rapportent aux ancieonca armes; nous avons pensé quMI serait peu utile, pour le but que se proposait l'Auteur en donnant ces exemples, de citer ici les chiflTres relatifs à rarUUerie actuelle. (K.)

l84 MÉCANIQUE INDUSTRIKLLE.

quantité de travail développée par la poudre contre l'affùi, ou

pour X V'% 5io ifilogrammètres environ; c'est-à-dire -jj-^

^ ë seulement de celle qui a été dépensée sur le boulet, comme

on pouvait l'apercevoir sans calcul.

176. Conséquences relatives aux vitesses initiales des pro^ jectiies, leur accord avec V expérience entre certaines limites. — Le travail consommé par la pièce et son affût, étant trèspetit, par rapport à celui qu'exige le boulet, on peut le négliger, et se contenter, dans la pratique, de mesurer simplement lesçffets de la poudre d'après la quantité de travail nécessaire pour imprimer la vitesse au boulet, d'autant. plus que la force vive du recul y est, dans la réalité, bien moindre que ne le supposent les calculs, puisque les pièces ne sont jamais entièrement libres, et qu'elles éprouvent, de la part du terrain, des essieux, etc., des résistances absolument comparables aux pressions exercées par la poudre. Gr, les effets de cette poudre devant, dans des circonstances semblables d'ailleurs, être proportionnels à sa quantité, c'est-à-dire à son poids, on voit que les charges seront sensiblement proportionnelles aux forces vives imprimées aux boulets, ou aux produits du poids de ces derniers, par le carré de leurs vitesses initiales; de sorte que les vitesses initiales seront aussi entre elles comme les racines carrées des charges et inverses des racines carrées des poids du boulet {*).

Ces conséquences, de la théorie, sont parfaitement d'accord

C^) De nouveUes recherches paraissent démontrer que cette loi théorique n'a pas l'exactitude qui lui est attribuée ici. Consulter à ce sujet le RappoK sur les expériences faites à Metz de i83G à 18^2 {Mémorial de l'Artillerie^ n^ Vil), les expériences exécutées à Lié^^e en i85t2 par M. Navez, le Mémoire du ColoDel Duchemin sur la vitesse initiale des projectiles {Mémorial de l* Artillerie, n^ IV), les expériences d'artillerie entreprises à Lorient de iS/p à i8/|5 (Imprimerie royale, iH/17). M. Sarrau, à la suite d'exi^érienees fai(es, en 186S, au Dépôt central des Poudres, a été conduit aux formules suivantes, dans lesquelles V représente la vitesse initiale, p le poids de la charge, m celui du projectile, a, b, c, d des constantes :

^^ Vm