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APPLICATIONS, KTC. l85

avec celles qu'Hullon a conchies des expériences qu'il a faites, en Angleterre, sur le tir des projectiles, non-seulement pour des pièces d'un même calibre, mais encore pour des pièces de calibres différents, considérées dans les circonstances ordinaires de la pratique. Ces expériences toutefois ont prouvé qu*au delà d'une certairfe limite, Taugmenialion de la vitesse du boulet n'était plus en rapport avec celle des charges de poudre, et que même, pour une longueur d'âme donnée, il arrive un instant où les vitesses imprimées décroissent au lieu d'augmenter; ce qui s'explique très-bien en ob.servant que la totalité de |a poudre n'a point alors le temps de s'enflammer, et que la portion demeurée inactive, loin de contribuer à l'effet, tend, au contraire, par son inertie, à absorber une partie plus ou moins grande du travail développé par l'autre. L'expérience a aussi fait voir qu'à charge égale de poudre, la vitesse jnîljale, pour un même calibre, augmente avec l'allongement de l'âme de la pièce; ce qui tient évidemment à ce que les gaz développent alors, par leur détente prolongée, une quantité d'action et par conséquent une force vive plus grandes (138); mais, par suite des causes déjà énoncées au n"" 173, il ne paraît pas que cette compression soit, en général, aussi forte que le suppose la loi de Mariotte (16). Nous reviendrons bientôt, au surplus, sur les effets de cette détente des gaz pour augmenter la vitesse des projectiles.

Ces mêmes considérations prouvent encore que ]iï force vive totale ou la vitesse finale y imprimées au boulet par une même charge de poudre, restent à très-peu près les mêmes, soit qu'on empêche tout à fait le recul par un obstacle solide, soit qu'on suspende librement l^ pièce; car nous venons de voir que, dans ce dernier cas, la force vive communiquée à cette pièce et à l'affût est réellement une très-petite fraction de celle qu'acquiert le boulet; de sorte que l'action de la poudre est presque tout entière consommée contre ce dernier, comme cela arrive quand le recul est empêché. Cette nouvelle conséquence de la théorie est exactement conforme encore aux résultats des expériences de Hutton, qui, de plus, ont appris que la manière de frourr^r n'avait aucune influence sensible sur la vitesse Initiale : c'est qu'en effet le bourrage ne fait qu'augmenter un peu les frottements, au premier instant, sans dimi-

l86 MÉCANIQUE INDUSTBiBLLE.

nuer le vent du boulet, et que la résistance occasionnée par ce frottement est excessivement faible comparativement à la pression totale des gaz. On remarquera que le bourrage se fait ordinairement avec des substances très-légères, et que, s'il en était autrement, Tinertie de ces substances consommerait une portion notable de la quantité de tftivail développée par la poudre, au détriment de celle qui est transmise au boulet: connaissant le poids de la bourre, on pourrait même déterminer exactement la diminution de force vive éprouvée par ce dernier, etc.

177. Du travail utile de la poudre^ dans le tir des boulets, comparé à celui des machines à vapeur; son effort moyen et absolu, etc. — D'après les calculs ci-dessus, la quantité de travail totale, développée par la poudre sur le boulet et sur la pièce, est d'environ

le travail du cheval des machines à vapeur étant (82), pour

chaque seconde, de 75^«"*, on voit qu'une telle force motrice

,534,5 emploierait - — ^ — = 2045^,5 1= 34' environ, pour lancer le

boulet avec la vitesse de 5oo mètres; ou, si Ton veut, il faudrait une machine de 2045, 5 chevaux de force pour lancer un pareil boulet à chaque seconde. Attendu qu'il faut un certain temps pour charger la pièce et pour la pointer, etc., on compte seulement i coup par 5 minutes, ou par 3o« secondes dans le service ordinaire des pièces avec la poudre ; ainsi la machine à vapeur, pour fournir à ce service, (levrait être d'environ

2 0^5 5 ^ * =6,82 chevaux, en supposant d'ailleurs qu'il n'y eût

pas de perte de force motrice et que tout fût transmis au boulet; ce qui ne peut avoir lieu, quelle que soit la machine ou les dispositifs qu'on adopte pour communiquer le mouvement à ce boulet (103).

Comme la longueur de l'âme des pièces de 24 est d'environ 3", 10 et son diamètre i5 centimètres, il sera facile de calculer (73) V effort moyen et constant que les gaz de la poudre devraient exercer, contre le boulet et le fond de la pièce,

APPLIGATlOMSy ETC. 187

pour développer la quantité d'action ci-dessus i534iS kilogrammètres, pendant que le boulet chemine, dans l'intérieur de l'âme, en décrivant un espace que nous réduirons à 2^,75 a cause de la place occupée par la poudre, etc. £n divisant i534i5 kllogrammètres par 2", 76, on trouvera, en effet, 55787 kilogrammes, à une petite fraction près, pour cette pression moyenne; comme elle est répartie, avec la même intensité, sur la surface du cercle de section de l'âme, qui a 1 5 centimètres

de diamètre, ou sur la surface 3,i4i6x —^— = 176^^ environ, on voit que chacun de ces centimètres carrés sera pressé

55787 avec un eifort de — ^ =: 317^». La pression, exercée par l'air

atmosphérique sur chaque centimètre carré de la surface d'un

corps, étant de i^So33 environ dans les circonstances men-

lîonnées au n^ 37, l'effort moyen ci-dessus équivaut donc , à

très-peu près, à 307 atmosphères; l'effort réel et moyen des

gaz de la poudre est au moins de 3o8 atmosphères, attendu

qu'indépendamment de l'inertie du boulet, cet effort doit

vaincre aussi la pression de l'air extérieur (174).

En calculant, comme on l'a fait dans le n'' 167, à l'occasion

du choc des corps, le temps que mettrait cet effort moyen,

censé constant, à imprimer la vitesse de 5oo mètres au boulet,

1 2^' X 5oo™

on le trouvera égal à -—-^ ^^ ^ . = o",oi i, ou 77 ^^ se-

° 9",8ix 55787''»

conde environ. Hais, d'après la rapidité avec laquelle crott la pression dans les premiers instants de l'inflammation de -la poudre, il y a Heu de supposer que la durée du temps que le boulet met à parcourir l'âme de la pièce doit être moindre encore.

H faut distinguer \ effort moyen de \ effort réel exercé, par la poudre» dans chaque position du boulet; ce dernier effort est nécessairement variable, suivant cette position. U'aprèsce qui a été dit au n" 172, on peut juger que, dans les cas ordinaires, il est au-dessous de l'effort moyen, à l'insiant où l'in- Dammatlon commence et à celui où le boulet sort de la pièce; qu'il le ^rpasse de beaucoup vers le moment de l'inflammation complète de la poudre; qu'enfîn cet effort moyen diffère considérablement de Y effort absolu et total que peuvent exer •

l88 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

cer les gaz de la poudre, lorsqu'ils sont contenus dans l'espace très-élroii occupé par le volume même de celle poudre, el qu'ils ne peuvent s'éiendre en aucune manière. D'après Rumford, celle pression absolue surpasserait 5oooo atmosphères; d'après d'autres, elle serait beaucoup plus faible. M. Brianchon, savant Professeur à l'École d'artillerie de Vincennes, a trouvé, par des calculs basés sûr des considérations de physique el de chimie très-ingénieuses el très-plausibles, que la pression absolue de la poudre ne s'élève pas au delà de 4000 atmosphères; mais on conçoit que la manière dont on essaye la poudre el dont on mesure sa pression, doit exercer une très-grande influence sur les résultats. Suivant les calculs hypothétiques de Hullon, par exemple, qui a fait ses expériences avec des canons ordinaires, la plus forte pression exercée sur le boulet serait environ 2000 fois celle de l'atmosphère; mais, comme, suivant d'autres expériences directes (13), une pièce de bronze de 3 pouces d'épaisseur éclate avant que la pression soil de 1 000 atmosphères, tandis que des pièces de moindre épaisseur ne sont pas même endommagées après un grand nombre de coups tirés à poudre, il y aurait lieu de penser que ce résultât de Hullon surpasse encore de beaucoup le véritable, si l'on.ne savait que, dans certaines circonstances, les corps solides et ductiles sont susceptibles de résister momentanément à des efforts qu'ils ne pourraient supporter pendant un temps même assez peu prolongé.

178. Examen et prix comparés du travail de la poudre et de la vapeur d'eau. — Si l'on voulait remplacer l'action de la poudre par celle de la vapeur d'eau introduite directement dans l'âme de la pièce, ainsi qu'on l'a proposé dans ces derniers temps, il faudrait, selon ce qui précède, employer, dans le cas d'une pièce de 24, cette vapeur sous une pression constante d'au moins 3o8 atmosphères, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres, la longueur d'âme parcourue par ce boulet étant de 2'", 75. En donnant à l'âme environ 8,8 fois celte longueur ou 24*", 2, il su(tirait d'employer la vapeur à unetension de 35 atmosphères, comme le propose l'ingénieur anglais Perkins; mais il faudrait qu'elle affluât constamment, avec cette force, derrière le boulet, et que, par conséquent.

• APPLICATIONS, KTC. 189

elle ne subil aucun refroidissement (173) pendant qu'il parcourt la longueur^de la pièce. Si le boulet devait être lancé seulement avec une vitesse moitié moindre ou de 260 mètres, il suffirait évidemment d'une pression moyenne égale au quart de 3o8 ou de 77 atmosphères, en conservant la longueur d'âme ordinaire, et d'une longueur d'âme de 6 mètres, si la pression constante de la vapeur n'était que de 35 atmosphères; car les effets étant mesurés par la force vive imprimée dans chaque cas, sont entre eux comme les carrés des vitesses initiales du boulet.

En refaisant tous les calculs qui précèdent pour le^ balles de fusils de munition ordinaires, dont le diamètre est de o'",oi64, le poids de o^»,oî58, à raison de 19 à la livre, et qui, avec une charge de poudre de 0^^0129, égale à la moitié de ce poids, reçoivent une vitesse initiale de 5oo mètres moyennement, efi refaisant, dis-je, ces calculs, on trouve : i**657 pour la force vive imprimée au projectile, ce qui représente une

quaniiié d'action de 328^«'",5 (*); 2^ — = 299"^» pour la pres-

sion moyenne sur la surface (2*^*1,112) de la section de l'âme, la longueur parcourue parla balle étant d'environ i"»,i ; 3** enfin

(") Cet effet utile répondant à une charge de poudre de o^s^oisq, on voit que, toutes choses égates d'aiUeurs, i' kilogramme de poudre donnerait

-zzz Qjfidô kilograra mètres, et 4 kilogrammes, charge des pièces de a^,

iOiSGo kilojraninièlres, résultat beaucoup au-dessous des 1 33905 kilogrammètres trouvés ci- dessus (177) pour Teflet utile des mêmes /| kilogrammes de pondre dans ces deriiièrcs pièces, et qui parait d*autant plus étonnant au premier aspect, qu'ici la longueur de Tûme étant très-grande par rapport au calibre de la balle, la détente doit y être plus forte, et la combustion de la poudre plus complète; mais on s'explique très-bien ce résultat (99 et 173) en ronsidérant que les grandes masses de poudre développent, par rapport aux pftiies, une chaleur beaucoup plus forte et qui éprouve, de la part des enveloppes, une perte proportionnellement moindre, puisqu'elle est évidemment dans le rapport des surfaces de ces enveloppes aux volumes des gaz qu'elles renferment à circonstances égales d'ailleurs quant à la nature et à l'épaisseur de CCS mêmes enveloppes. On sait, en effet, que la vitesse avec laquelle la chaleur les traverse dépend de l'espèce de leur substance et augmente d'autant plus qae leur épaisseur est moindre. Ces réflexions pourront servir à faire voir comment, dans des circonstances distinctes, un même poids de poudre peut produire des effets utiles essentiericment diflférents, quoiqu'â la rigueur sa quantité d* action abioJue ou théorique soit réellement la même.

igo MÉGANIQUE INDUSTRIELLB.

-?2â-rrr*i4i*'S57 pour la pression moyenne, par cenlimèlre

carré, répondant à environ 187 atmosphères, et qui doit être supposée réellement de iSS atmosphères, à cause de la pression de Tair extérieur. Telle est aussi la tension constante à laquelle il faudrait faire travailler la vapeur, pour imprimer la vitesse de 5oo mètres aux balles de fusils ordinaires, vitesse qu'elles reçoivent effectivement de la poudre, et qu'il faudrait se résoudre à voir réduire de moitié, si l'on tenait à n'employer la vapeur qu'à 35 atmosphères, et à laisser au canon du fusil sa longueur d'âme actuelle.

On voit donc que l'emploi direct de la vapeur ne serait pas sans difficultés dans les circonstances dont il s'agit, même en mettant de côté les dangers de toute espèce qu'il présente, parmi lesquels il faut surtout citer celui qui provient de la facilité qu'a la vapeur de passer, d'une tension déjà considérable, à une tension double ou triple, par suite d'une légère élévation de la température.

■ Du reste, on peut démontrer que la force motrice de la vapeur serait d'un usage beaucoup plus économique que celle de la poudre. Car, en admettant que le kilogramme de poudre de guerre coûte seulement 2 francs au Gouvernement, chaque coup d'une pièce de 24 revient à 4 X 2 = 8^^ Or les machines à vapeur les plus désavantageuses n'exigent guère que 5 à 6 kilogrammes de houille par heure et par chaque cheval de force; et nous avons vu ci-dessus (177) qu'il faudrait trentequatre minutes, environ une demi-heure, de travail d'une telle force, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres; donc il en coûterait itioins de 3 kilogrammes de houille par coup, c'est-à-dire moins de 9 centimes, en comptant la houille à 3o francs les 1 000 kilogrammes, tandis qu'on dépense actuellement, en employant la poudre, une somme environ 90 fois aussi forte.

179. Aperçus sur les moyens d'utiliser r action de la vapeur pour lancer les projectiles — Il ne sera peut-être pas Impossible de mettre à* profit, un jour, cette grande économie de la force motrice de la vapeur d'eau, pour la défense des places de guerre ou des côtes; mais il faudra probablement renoncer

^à remploi direct de cette vapeur à de hautes tensions ou pressions, et Ton devra se borner à rechercher les moyens d'utiliser directement le travail des machines à vapeur actuelles pour imprimer la vitesse aux projectiles. Le ressort de Tair atmosphérique paraît, sous ce rapport, offrir des avantages tout particuliers; on conçoit, en effet, très-bien comment, dans l'état de perfection actuel des arts industriels (*), il serait possible, en se servant du .travail des machines à vapeur ordinaires, de comprimer fortement (15) un certain volume d'air atmosphérique, de manière à lui faire occuper un espace beaucoup moindre; et comment cet air, ainsi comprimé, pourrait être employé à lancer les boulets avec'des canons ordinaires, un peu modifiés, de la même manière qu'on lance les balles avec le fusil à vent. Il suffirait de comprimer cet air dans un grand cylindre de fer d'une capacité de i à 2 mètres cubes, par exemple, et absolument semblable à celui des chaudières de machines à vapeur, puis de mettre momentanément l'intérieur de ce cylindre en communication avec l'espace compris entre le boulet et le fond de l'âme de la pièce, et de fermer cette communication à un instant convenable.

Supposons, pour offrir une nouvelle application de nos principes, que la capacité du cylindre servant de réservoir d'air comprimé soit de i^^ô ou de 1600 litres; ce volume sera environ 29 fois celui de l'âme du canon de 24; car, d'après les données ci-dessus (177), ce dernier volume est 3", I X o"*i,oi76 = o"*,o546 ou 55 litres, à très-peu près. Si donc on laisse échapper, de l'intérieur du réservoir, contre le boulet, une portion du volume total égal à 55 litres, ou plutôt, si on laisse ouverte la communication entre le réservoir et rame, jusqu'à l'instant où le boulet quitte la pièce, l'air occupant, à ce même instant, un volume égal à n-Vy^r —

{*) Depuis qne ceci a été écrit (février 1B39), l'Acadéniie royale des Sciences a déeernéy à M. Thilorier, le prix de Mécanique fondé par M. de Montyon, pour l'ÎDTention d'une pompe à plusieurs pistons et à compensation^ au moyen de laquelle on peut comprimer, d'un seul coup, les gaz à 100 et même 1000 atmosphèra, sons des efîorts modérés et sensiblement constants, {^ro^ez le Mémoire inséré, par l'Auteur, à la page 3^5 du tome XXIX, année i830| du Bulletin de la Société d^ Encouragement pour ^industrie nationale.)

de son volume primitif, la tension de cet air sera, d*aprèsle principe de Mariette (16), aussi réduite aux f| de sa valeur primitive, et pab conséquent, si cette tension était d'abord de 3i5 atmosphères, par exemple, elle se trouverait réduite à 3i5 y| == 3o4"'"', 5 au moment 011 le boulet quitterait la pièce (* ). Or on peut admettre que, puisque les valeurs extrêmes de la tension diffèrent peu entre elles dans la supposition actuelle, Teffort moyen (73) de Tair, contre le boulet, différera aussi très-peu de celui qui répond à la moyenne arithmétique ou à la demi-somme y(3i5 -+- 3o4,5) = 3o9*^'",75 de ces valeurs extrêmes : ce résultat surpassant Teffort moyen qui a été trouvé plus haut (177) pour le boulet de 24» chassé parla poudre, il est clair aussi que, abstraction faite dés pertes, la pression qui lui correspond suffirait pour imprimer, à ce bouîel, la vitesse de 5oo mètres; et que, s*il s'agissait seulement de lui communiquer une vitesse de 25o mètres, on pourrait se borner a comprimer Tair à 78 atmosphères seulement, ou au quart environ.

Néanmoins, attendu le frottement du boulet contre l'âme de la pièce, mais surtout à cause du jeu ou du vent qui laisserait échapper, en pure perte, une portion notable du fluide, il conviendrait d'augmenter de quelque chose la tension de

(*) Les pressions d'un gaz qui se détnnd sans addi lion ni soustraction de chaleur ne suivent pas la loi de Mariette, laquelle n'est sensiblement vraie que lorsque la' température des gaz reste constante. Or, dans le cas traité, il ne peut en être ainsi, attendu qu'une portion de la chaleur du gaz est transformée en trarail contre le boulet (i'q>rr la Note du n® 105); les pressions diminuent donc plus rapidement que ne l'indique la loi de Mariette. On démontre que, lorsqu'un gaz change de volume, sans recevoir ni perdre de chaleur, sous l'action d'une pression extérieure toujours égale à sa force

élastique, cette dernière varie en raison inverse de la puissance y = — du volume, •/ désignant le rapport des deux chaleurs spécifiques, à pression constante et à volume constant. Ce résultat, auquel conduit facilement la théorie mécanique de la pâleur, avait déjà été trouvé par Poisson, à l'aide des données de l'ancienne théorie.

Le rapport •/ est égnl & 1.41 pour l'air atmosphérique; il est sensiblement le même pour les gaz non liquéflubles.

Dans l'exemple traité par l'Auteur, la pression, au moment où le boulet

quitte la pièce, scruit 3 15 (r^^j = ^oo»''",-!. (K.)

Tair dans le réservoir, si mieux encore on ne préférait y faire arriver continuellement, par la machine à vapeur, de nouvel air pour remplacer celui qui se perd à chaque instant, de manière à rendre la tension à très-peu près constante; car on voit bien, par les raisonnements qui précèdent, que, dans le cas contraire, la pression diminuerait, à chaque coup, de -^ environ de la valeur qu'elle avait à la fin du coup précédent; de sorte qu'après un certain nombre de coups, il s'en faudrait considérablement que la vitesse de 5oo mètres fût transmise au boulet. C'est précisément là l'inconvénient attaché au fusil à vent ordinaire, et qui, joint à d'autres, a fait renoncer à son emploi malgré les avantages qu'il possède sous beaucoup de rapports.

Enrm,au lieu de procéder de Tune ou de l'autre de ces manières, on pourrait aussi, mais non sans augmenter beaucoup les difflcultés et les dangers d'explosion, se contenter de mettre en usage de très-petits réservoirs en bronze, d'une capacité à peu près égale, par exemple, à celle des gargousses employées dans le tir ordinaire à poudre, lesquelles occupent, dans les pièces de 24, un espace cylindrique d'environ 6 litres, tout compris,,ou du neuvième de celui de l'âme entière. En se servant d'un aussi petit réservoir, il faudrait comprimer l'air à une tension de beaucoup supérieure à 3oo atmosphères, et ' telle que, dans sa détente graduelle, il développât, contre le boulet et pendant que ce boulet parcourt la longueur de l'âme, la quantité de travail nécessaire pour lut imprimer la vitesse de 5oo mètres. Nous n'avons pas d'ailleurs à examiner comment ces petits réservoirs, indépendants de la pièce comme les gargousses elles-mêmes, pourraient s'adapter solidement au fond de l'âme, ou dans le renflement de la culasse, et jouer absolument le rôle de la poudre lorsqu'on viendrait à lâcher la détente qui retient l'air; il nous suffit ici que l'hypothèse soit assez plausible, en elle-même, pour exciter quelque intérêt, et appeler l'attention du lecteur sur les applications des théories de la Mécani<|ue.

C'est, au surplus, l'occasion de faire connaître la méthode de calcul que nous avons promise au n*'?^, méthode due au géomètre anglais Thomas Simpson, et par laquelle on peut évaluer, d'une manière très-approchée, le travail mécanique

1^4 MÉCANIQUE 1KDU8TRIBLLB.

variable, ou, plus générulemenl^ Y aire superficielle des Ggures planes limiiées par des contours quelconques (*}.

Méthodes générales des quadratures pour calculer l'aire superficielle des courbes planes.

Méthode de Th. Simpson.

180. Démonstration géométrique de la méthode, — Soit CL'd'g'ga (PL 11^ fig. 39) une aire plane limilée par une portion de courbe àd'g\ par la droite OB, servant d'axe des abscisses (15), et par les deux ordonnées extrêmes aa\ gg' perpendiculaires à cet axe. Supposons qu'on ait divisé la distance ag^ de ces ordonnées, en un nombre pair de parties égales, par exemple en six parties, aux points 6, c, ef, e,/, et qu*on ait élevé, en ces points, les nouvelles ordonnées bV^ ce' y. . 'i ffy terminées à la courbe; on aura une première valeur approchée de l'aire mixtiligne aa'i/'^'g'a, en calculant les surfaces de chacun des trapèzes rectilignes aa'b'b^ bb'c'c, . • ., ffg'gt dont elle se compose, puis ajoutant entre eux tous les résultats; ce qui revient à remplacer la courbe par le polygone rectiligne a'//t'£/'.«« g*' qui lui est inscrit. Mais on obtient, sans être obligé de multiplier davantage les points de division, une valeur beaucoup plus approchée de l'aire cherchée en procédant comme il suit.

Ayant numéroté le rang des diverses ordonnées, comme on le voit sur \^fig* 39, on considérera, à part [PI, U^fig* 4o)» Taire mixtiligne cdd'e'ec^ limitée aux deux ordonnées impaires quelconques c&y ee', qui se suivent et qui comprennent entre elles l'ordonnée dd' de rang pair; la surface totale des trapèzes rectilignes correspondants cdd'c', dee'd', aura pour mesure, puisque de = cd,

icd{cc' -h dd') -h {de{dd' -^- ee' )z= {cd{cc'-\- 2dd' -h ee').

{*) Mous ferons suivre la méthode de Th. Simpson, que TAuteur avait dounée seule dans les éditions précédentes, d'une autre méthode qui a été exposée plus tard par Poncelet dans ses Leçons à la Faculté des Sciences de Paris. Pour respecter le texte de l'Auteur, nous n'apporterons aucune modification aux calculs de quadrature qui se présenteront dans la suite du Cours, calculs «{ui ont été faits d'après la méthode de Simpson. (K.)

APrLICAT10N9> KTC. 19$

Hais on obtiendrait évidemment une valeur plus approchée de l'aire cc'd'e^ey si, partageant cette aire en trois autres aires trapézoîdes cmm'c\ mnn*m\ nee'n'y par des nouvelles ordonnées équidistantes mm\ nn\ c'est-à-dire telles que cm = mn = ne = } ccf, on prenait, pour celte valeur, la somme de trois trapèzes rectilignes inscrits correspondants* c'està-dire

\cm{cf/ -^ mm')-\- \mn[mm -^nn*)-^ \ne(nn! '\- ee' )^

ou, attendu que \cm^=\mn =.\nez={cez=i ^cd,

jcd{cc' -\- nmm' + ^nn'-^ee').

Or, pour s'éviter la peine de tracer les nouvelles ordonnées mm*, nn', et pour obtenir néanmoins une approximation égale ou même supérieure, on remarquera que la corde m'n' vient couper l'ordonnée Intermédiaire dd\ qui est à égale distance de mm' et de nn', en un point o tel que od = ^{mm' -h nn'}, et que par conséquent ^od= %mm' -h 9.nn'\ la valeur de l'aire rectiligne cd m!n!ée devient donc simplement

Nous n'avons pas, il est vrai, l'ordonnée od immédiatement,, mais elle diffère extrêmement peu de l'ordonnée véritable dd* de la courbe, que nous connaissons; en remplaçant donc od par dd' dans les calculs, nous obtiendrons une mesure très^ approchée, quoiqu'un peu trop forte, de l'aire polygonale dont il s'agit. Hais, puisque cette aire est elle-même un peu plus faible que la véritable aire terminée à la courbe. Il se ïer» une sorte de compensation (*) si nous prenons, pour mesure

(*) Il est éTÎdent qu'en prenant dd' pour od^ on augmente l*aire po)j|ro> Dale de \ ed.^od'; maû, en traçant les nouvelles cordes m'd', n'd\ il sera aisé de roir que la surface du triangle rectiligne rn'n'd' a pour mesure l mn x od', ear il se compose des triangles m'od\ on'd', dont la somme des surfaoes est

égale à

l od*,md-k-\od',dn = J od'Çrnd-i- nd)s= J od\mn\

et, comme mn = \ cd, la surface du triangle m'd'n' sera

ii.cd,od'=icd.od'.

On a donc augmenté l'aire du polygone rectiligne ec'm'n'e^ee de 4 ^'^* ^ ^*^

■d^ MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

de celle dernière, la quaniiié,

;crf(c;c'4-4rfrf'-f-ee').

On aura de même [PI. If, fg. 39)

egg'e'e = lcdiee'+ 4//' ^ gg');

donc la surface lolale el mixliligne agg'd'a\ qu'il s'agit de calculer, a pour mesure approchée

ou

-;c(/[aa'4-g-g'-f2(cc'4-^e') 4- 4(6fc'-4-rfrf'-f. //')],

c'est-à-dire le tiers du produit qu'on obtient en multipliant, par i intervalle constarit compris entre les ordonnées de la courbe, la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de deux fois celle des autres ordonnées de rang impair, et de quatre fois celle des ordonnées de rang pair.

angle m'd'n , tundis qu'U faudrait raugmcntcr de la somme des aires des serments compris entre la courbe et les cordes c'in\ m'n' et tt'e. Par conséquent, si cette somme équivaut à \m'd'n\ la compensation sera exacte et la méthode rigoureuse; dans tous les cas, on ne risquera de se tromper que de la différence de cette somme et de !\m'd'n\ différence qui ne sera généralement qu*une pc tlto fraction de chacune d'elles, excepté pour quelques points singtitiers de la courbe.

On voit, d'après cela, que, quand il s'agit de calculer, avec une grande exac^ titude, l'aire d'une figure plane limitée par des contouis quelconques, il convient, non-seulement de multiplier beaucoup les ordonni'es et de bien choisir l'axe des abscisses pour éviter la trop grande obliquité de ces ordonnées par rapfort aux courbes, mais encore de parta{;er l'opération en plusieurs opérations distinctes, soit qu'on multiplie davantage les ordonnées dans Ci-rtaines parties, soit qu'on rapporte les courbes à plusieurs axes différents; en un mot, il faudra éviter que les trapèzes rectilignes ne diffèrent nulle part, d'une trop grande quantité, des trapèzes curvilignes correspondants. Il paraît bien clair d'ailleurs que, par la formule de Simpson, on approche, dans tes circonstanciés ordinaires, non seulement plus de la vérité qu'en calculant la valeur des tra* pczes rectilignes inscrits et limités aux ordonnées simples, mais même davan» tagfr encore que si l'on calculait celle des trapèzes relatifs à des ordonnées plus rapprochées d'un tiers.

Les mêmes raisonnements demeurant applicables, quel que soit le nombre des ordonnées équidistantes, pourvu qu'il soit impair^ on voit que la règle est générale; mais il est clair qu'elle ne donnera des résultats très-approchés, pour les parties de la courbe qui s'écarteraient considérablement de la forme d*une ligne droite, qu'aulant qu'on divisera les intervalles, compris entre les ordonnées extrêmes, en un nombre pair de parties égales, assez grand pour que les trapèzes reciilignes inscrits ne diffèrent nulle pari beaucoup des trapèzes véritables, ou qu'autant qu'on resserrera convenablement les ordonnées vers les parties dont la courbure est très-prononcée. 11 est également essentiel de remarquer que le calcul donnera des résultats un peu trop petits pour les parties de la courbe qui présentent leur concavité à Taxe des abscisses (voir PL II, Jig. 39), et un peu trop grands pour celles où cette courbe tourne sa concavité vers cet axe, comme cela a lieu pour la courbe de la j\g. 4*> P^* ^A P^** exemple.

Méthode de Poncelel.

180 his. L'aire a AGBfr limitée à la courbe ACD...L6, à l'axe des abscisses ah et aux ordonnées extrêmes A^, Bfr, étant censée décomposée en segments trapézoïdaux par des ordonnées équidisiantes, nous considérerons d'abord le cas où les arcs de courbe correspondants ont tous leur concavité dirigée vers Taxe ah.

Je divise la base ah de l'aire en un nombre pair de parties

yT /

égales, dont je désigne la commune longueur par A. Soit, par exemple, 6 ce nombre; je mène les ordonnées aux points de

division i, li, 3, 4f 5, 6 de la base, ei j'appelle j,,^,, ^5,74, r»» jr«« /? les valeurs numériques de ces ordonnées limitées à la courbe. Je joins, par des droites ou cordes, AC, BL, les extrémités des deux premières ordonnées et les extrémités des deux dernières; puis, de deux en deux, à partir de 7-2= Ce, les extrémités des ordonnées intermédiaires qui occupent des Aii»éros de rang pair.

J'obtiens ainsi un polygone inscrit, dont l'aire, moindre que eeUede la courbe, est exprimée par

= A Ls + n±2; 2i±2;)

«n appelant S la somme des ordonnées de rang pair.

Je mène, à l'extrémité de chaque ordonnée de rang pair, une tangente terminée à l'ordonnée qui la précède et à celle qui la suit immédiatement, et j'obtiens ainsi une aire polygonale à angles saillants et rentrants, plus grande que l'aire de Ist courbe, et qui a pour expression «

** A/*! -+- a A/4 -♦- 2 hjr9= 2 AS.

En prenant donc pour valeur approchée de l'aire mixtiligne la demi-somme des aires polygonales, il vient

l'erreur commise étant moindre que la demi-différence entre ces mêmes aires, ou que

En général, si l'on divise l'intervalle ab des ordonnées extrêmes en 2/t parties égales, on aura, pour valeur approchée de l'aire correspondante,

APPUCATIONS, ETC. 199

Cl, pour la limite supérieure de Terreur qui a pu êlre commise,

Je joins par des droites AB, CL, les extrémités des ordonnées extrêmes el celles de la seconde et de l'avant-dernière; ces droites viendront couper l'ordonnée du milieu Gg-, aux points respectifs H et N, tels que l'on aura évidemment

(3) E=:iA.MN.

L'une ou l'autre de ces expressions de la limite de Terreur commise pourront servir à régler la marche des opérations arithmétiques dans chaque cas, et détermineront, à l'avance et en quelque sorte à vue, le plus petit intervalle ac ou bl des ordonnées extrêmes qu'il convient d'adopter, et qui sont des parties aliquotes, en nombre pair, de l'intervalle entier ab.

Lorsque la portion de courbe considérée est entièrement convexe vers Taxe ab des abscisses, Taire relative au polygone circonscrit devenant moindre que celle qui se rapporte au polygone inscrit, il est évident qu'il suffira de changer Tordre de soustraction ou le signe des résultats, pour obtenir une limite correspondante de Terreur; l'expression de la moyenne qui donne approximativement Taire cherchée restant la même.

Il est évident encore que la méthode restera applicable au cas oii la courbe offrirait des points d'inflexion, des changements de sens de la courbure ou toute autre particularité essentielle, pourvu qu'on la suppose partagée en parties concaves ou convexes, limitées à ces points, et pour Taire desquelles on appliquera les formules précédentes. Les chances d'erreurs seront même généralement moindres, puisqu'elles pourront avoir lieu en sens inverse pour les différentes parties concaves et convexes de la courbe.

Quant à ta détermination d'une limite approximative et supérieure de Terreur commise dans les nièmes circonstances, il sera nécessaire de rechercher cette limite pour chaque partie séparément, aOn d'additionner leur somme.

Enfliiy II est presque inutile de faire remarquer que c'est

surtoul dans les pariies oit la courbure est irès -prononcée et s'écarie le plus de la ligne droite, qu'il conviendra de resserrer les ordonnées ou les opérations ariihméiiques.

Applications numériques, — Soil d'abord à évaluer Taire d'un quart de cercle, de rayon égal à i. Je divise le rayon qui sert de base à l'aire en lo parties égales; alors on a A = 0,1, et l'on calcule facilement les longueurs suivantes :

Substituant ces valeurs dans la formule générale ci-dessus, on trouve, pour la valeur approximative de l'aire du quart du cercle, 0,78413, et, pour la limite supérieure de l'erreur, 0,01077.

La valeur exacte de cette aire étant 0,78539, l'erreur commise est 0,00126, quantité beaucoup plus faible que la limite précédente.

Ainsi la formule d'approximation nous donne Taire à moins de -577 près de la valeur exacte; approximation très-grande pour le petit nombre de calculs que Ton a eu à effectuer.

Soit ensuite à évaluer Y aire dé l'hyperbole équilatère orant pour équation xy=^ i, et dont les limites correspondent à x=zi et X = 1,

Je divise toujours en 10 parties égales la base de l'aire, ce qui donne encore /i = o,i, et j'obtiens

ri = 1,000, jr^= 0,9090, x^= 0,7692, n= 0,6666, ^,=: 0,5882, jri»^= 0,5263, j,i=: o,5o.

La valeur approchée de Taire est A = 0,69348; la limite de Terreur £ = 0,0062; la valeur exacte de Taire étant le logarithme népérien de 2 ou 0,69314* Terreur commise est moindre que o,ooo4 ou -nVâ'

En général, Tapproximation est beaucoup plus grande que celle qui est indiquée par la limite calculée de Terreur, ce qui n'a rien de surprenant; et, selon la nature particulière de ta courbe ou de la loi des ordonnées, il arrivera même quelquefois que la somme relative au seul polygone inscrit ou au seul

polygone circonscril donnera un résultat plus approché que la moyenne de ces sommes. C'est ce qui arrive notamment dans l'exemple ci-dessus du cercle, où Ton a 2AS = 0,7929; tandis •que, pour celui de l'hyperbole, on trouve ihS = 0,619 seulement; la courbe s'approchant ainsi plus de ses cordes que de ses tangentes.

Observation, — Celte méthode de quadrature, que nous extrayons textuellement des Éléments de Mvc fini que de M. Besal, où ello a été publiée en premier lieu, a reçu de M. Parmenlier (Note sur la comparaison des différentes mélhodes d'approximation pour la quadrature des courbes, Mémorial de l'Officier du Génie ^ n** XVI) un perfectionnement approuvé sans restriction par Poncelet. Ce perfectionnement consiste à prendre pour valeur approchée de Taire de la courbe, au lieu de la somme de Taiie de la figure inscrite et de la demi -différence entre celle-ci et Taire de la figure circonscrite, la somme de la fisure inscrite et des deux tiers de 1.1 différence ci-dessus. Celte modification, obtenue par M. Parmentier à l'aide de considérations tirées de la formule de Taylor, se justifie très- 'simpleroent, comme Ta indiqué Poncelet lui-même, par cctlc remarque, que Taire d*un segment de parabole est les deux tiers de Taire du parallélogramme dont les deux côtés sont la corde du segment et 1j fièche comptée parallèlement à la direction des ordonnées; ou encore, ce qui se rapporte peut être plus exactement à la figure nécessitée pour l'exposition de la méthode de Poncelet, que Taire du segment de parabole est les deux tiers de Taire du triangle formé par la corde et les tangentes menées aux extrémités de celle-ci. En reprenant la formule, nous trouvons

A = /i Us -f- •^'"^^^'''^' - '^'"^'^'") (•).

Du travail produit par la détente des f(az.

181. Exemple de la manière de calculer ce travail, — Repreoons maintenant la dernière des questions du n"" 179, et

(*) D'aatres formules ont été données par divers gconictres, entre autres pur M. Pioheri( Nouvelles yinnalcs de Mathématiques^ i*"* série, t. XIII, p. 3x3; iSj/j), par M. Catalan {Nouvelles jinnales de Mathématiques^ i'* série, t. X, p. 4»'i; iSji]. m. Pupain a comparé ces diverses méthodes en tenant compte du double point de vue de Texactitude et de la facilité des opérations; il est arrivé à cette conclusion que, de tontes les méthodes proposées, celle de Poncelet non perfectionnée qui, sous le rapport de l'exactitude, n'occupe pas (jcncralement le premier rang, doit pourtant être préférée dans la pratique, non-seulement parce qu'elle nécenite moins de calculs, mais surtout parce qu'elle donne une limite toujours certaine de Terreur commise. (K.)

ao^ MÉCANIQUE INDOSTUBLLE.

appliquons-y la méthode qui précède, en négligeant d'ailleurs, comme nous l'avons fait alors, le recul de la pièce qui est (175) presque toujours insensible. Cherchons, à cet effet, la loi que suivent les pressions de l'air à mesure qu'il se développe ouse détend en poussant le boulet en avant, c'est-à-dire (SO) formons la Table qui donne, pour chaque chemin parcouru par ce boulet dans 1 intérieur de la pièce, la pression correspondante. Soit 0 i (PL II y Jig. 4 « )*la longueur totale de l'âme, Oa la portion de cette longueur occupée primitivement par l'air, supposé comprimé à 1200 atmosphères; d'après ce qui a éié admis à la fin du n» 179, 0« sera le ~ de Oi, et le i de l'espace ai parcouru par le boulet; divisant donc ^1 en 8 parties égales aux points 6, c, </,..., /i, elles seront aussi toutes égales à Oa, et représenteront chacune des volumes cylindriques de l'âme, égaux à celui qu'occupe l'air comprimé. Ainsi, quand le boulet sera successivement arrivé en fr, en c, en rf, en e,..., en /, le volume primitif Oa, de cet air, sera double, triple^ quadruple,..., nonuple. Et, si nous admettons (172) la loi de Mariotle ( 16) (*), la pression exercée par cet air, sur le boulet, qui d'abord était de 1 200 atmosphères, n'en sera plus que la ^, le I, le j,..., le \; c'est-à-dire qu'elle sera respectivement

De 1200, 600, 400, 3oo, 240, 200, 171, i5o, i33atm.

Aux points .... rt, ^, c, f/, e^ /, g^ /i, /, Ayant pour n". i, 2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, 9.

Élevant les perpendiculaires aa!y bb\ ce',.,,, ii\ sur 0/, et portant, sur ces perpendiculaires, des longueurs proportionnelles aux pressions correspondantes, on formera la courbe a'b'c\ . .i\ nommée hyperbole équilatère, et dont la propriété essentielle consiste en ce que les produits de chaque ordonnée par son abscisse sont constants, ou, ce qui est la même chose, en ce que les ordonnées suivent le rapport réciproque ou inverse des abscisses correspondantes. La surface de cette courbe, limitée aux ordonnées aa!, ii\ et à l'axe ai, représente, d'après le n* 72, la valeur du travail variable développé

(*) Les yaleun de oe« pressions devraient être déterminées conformémeiift lUX indications de la Note du n^ 179; ces eorrections ne modifieraient «n rù les conclusions formulées dans le n^ 182. (K. )

APPLICATIONS, ETC. 2o3

par le ressort de l'air contre lé boulet; mais i[ n'est pas nécessaire de tracer la courbe elle-même pour obtenir la mesure de ce travail; le tableau ci-dessus suffît, en y appliquant la méthode du n** 180, car l'intervalle total ai se trouve justement divisé en un nombre pair de parties égales par les diverses ordonnées.

On a ici, eh effet, pour

La somme des ordonnées extrêmes 1 200 + 1 33 =1 333*'"^

a fois celle des autres ordonnées impaires. q(4oo+2.'|0+ 171)=^ 1623

î fois celle des ordonnées paires .\ (600+ 3oo + aoo + 1 5o) = Sooo

Total 7955»i«

Il faudrait multiplier ce résultat (177) par i^'SoSB, puis par la surface de 176 centimètres carrés du cercle de section de l'âme, c'est-à-dire par iSi'^^Si, pour avoir la somme des pressions véritables. Pour obtenir le travail total résultant de ces pressions, il faudra, de plus, multiplier cette somme par {ab = ^Oa; le résultat sera donc {Oax 7955*^", ou 265i**"*,7 X Oa multipliés encore par iSi'^'jSr, ce qui donne finalement (177)

482 loS'^se X0a = 482 io5»^«,6 X J 3», i = iGGoSg'^»*.

La courbe des pressions tournant sa convexité vers l'axe OB des abscisses, il est clair (180) que le résultat obtenu doit surpasser un peu le véritable; on voit aussi que la courbe diffère beaucoup d'une ligne droite dans la partie qui répond aux points 6', c^, d\ e'; il y a donc lieu de craindre que l'excès, dont il s'agit, soit assez considérable pour qu'on ne puisse le négliger; en conséquence, il conviendra de multiplier davantage les opérations vers les points b, c, d, e. Pour ne pas être obligé de recommencer tous les calculs, nous considérerons à part la portion de l'aire totale, comprise depuis aaf jusqu'à eê^f et nous subdiviserons les intervalles primitifs des ordonnées en deux parties égales aux nouveaux points m, n, p^ q; chacune d'elles sera donc égale à |0a, et les espaces occupés successivement par le volume primitif Oa de l'air seront res-

lo4 ^ MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

peciivemenl

Oa -hjOa^lOaenm, (2 -h Y)Oa= J-Oa en /i,

{3-^{)0a=:i0a en p, enfln

|0« en q.

Par conséquent, d*après la loi de MarioUe, les pressions correspondantes seront les-j, les *, les * el les | de la pression de 1200 almosphcros, relative au point a; en joignant à ces pressions celles dôjà calculées plus haut relativement aux points 6, c, d, e, on formera, pour la portion ae, la nouvelle Table qui suit :

Pressions.. laoo, 800, Coo, 480, 400, 343, 3oo, 267, 240 ï^t"™-

Points /7, w/, ù, //, r, />, r/, 7, r,

Numéros.. 1, 2, 3, 4? ^1 67 7} 8? 9-

Par conséquent,

Somme des pressions extrêmes isoo + 2^0 = i^^o*-"

a fois ceUe des pressions impaires.. . 2 (Goo + /|00 -f- 3oo) = 3600

4 fois ceUe des pressions paires /| ( 800 -+- 480 -+- 3.{3 -+- 2G7 ) = ^ j6o

Total iiGoo*"

qu'il faut d'abord multiplier par lam = ^Oa, ce qui donne pour résultat 7 1 1 600 X Oa = 1 gSB**", 3 x Oa, et ensuite par i8i^»,8i. Mais, comme cette dernière muliiplication se reproduirait à la fin de chaque résultat, et que nous ne voulons ici que comparer entre eux les chiffres de ces résultats, nous négligerons de Teffecluer, dans ce qui va suivre, afin d'abréger les calculs; seulement on devra se souvenir, dans les applications particulières, que, pour obtenir le travail véritable, il restera encore à multiplier chaque nombre trouvé, parla pression totale qui répond à la surface de section de l'âme et à la pression atmosphérique moyenne.

En recherchant, comme on vient de le faire pour la partie aa'eef y le surplus ee'i'i de la surface de la courbe, et bornant simplement les opérations aux. points de divisions/, g, /i, qui

APPLICATIONS, ETC. 2o5

donneront alors une approximation suffisante, on la trouvera égale à

iOa[24o -+- 133 4- 2. 171 -4- 4(200 -f i5o)]

Le toial général est donc

quantité très-peu moindre que celle 265i»*",7.0a trouvée précédemment; ce qui prouve Texcellence de la méthode.

182. Pression moyenne de l'air, vitesse imprimée, etc. — Puisque fli= 80 a, représente la longueur d'âme 2™, 75 décrite par le boulet, il est clair que 2638"'"*, 3.0a, divisé par 80^, ou 320**",8, indique précisément (177) la valeur moyenne de la pression que. en vertu de sa détente, Talr exerce contre ce boulet. On voit donc, sans aller plus loin, que la vitesse im* primée à ce dernier surpasserait 5oo mètres dans les suppo* sitions actuelles, puisque reffort moyen de la poudre, pour imprimer celte vitesse, s*élève au plus à 3o8 atmosphères (177).

11 est très-facile, au surplus, de calculer quelle est la tension que devrait recevoir le volume ou la charge d'air, représentée par Oa, pour imprimer au boulet la vitesse juste des 5oo mètres, tout restant le même d'ailleurs et la pression des 1 200 atmosphères étant seule changée; il est évident, en effet, que les résultats partiels et totaux des opérations ci-dessus demeurent proportionnels à la pression primitive. On posera donc la proportion

320,8: 1200:: 3o8::r d ou 0: = — ^ 77- = » 121"*'",

qui est la tension demandée.

Pour obtenir un tel degré de tension à l'aide-d'une machine à compression ou d'une pompe foulante (179), il faudrait, d'après la loi de Mariette, coercer, dans le petit espace représenté par Oa, un volume d'air, pris à la tension atmosphérique moyenne, qui serait égal à 1 121 fois Oa\ et, comme les densités sont proportionnelles aux pressions (36), on voit que le mètre cube de l'air ainsi condensé pèserait aussi 1121 fois

206 HÉGANIQUB IlfDUSTRlBLLB.

celui de Tair ordinaire, dont le poids est, a peu près (M), de i^(,3y c'est-à-dire 14^7 kilogrammes; la densité de Tair du réservoir devrait donc égaler presque i \ fois celle de l'eau, et son poids, qui serait (179) deo%oo6xi457^' = 8*'«, 742, surpasserait même le double du poids de la charge dans le tir avec la poudre (177). Or il pourrait bien se faire que, par suite d'un tel rapprochement des parties, l'air se converttt en un liquide véritable, ainsi qu'il arrive pour plusieurs autres corps gazeux, et notamment pour les vapeurs (3 et 5), lorsqu'on les comprime seulement de quelques atmosphères.

Quoi qu'il en soit, il paraît difQcile d'admettre qu'on puisse, de longtemps encore, obtenir l'air à un pareil état de condensation, et il y a lieu de croire par conséquent que l'a poudre, qui nous représente également un grand volume de gaz coercés dans uu petit espace et dont la tension est neutralisée par la force d'affinité ou d'agrégation des parties, que la poudre qui est si facilement transportable, continuera, à moins de découvertes chimiques majeures, à remplir dans les combats le rôle qu'elle y joue depuis tant de siècles, malgré l'élévation de son prix comparé à celui des autres moteurs, et malgré l'inconvénient, quelquefois très-grave, qu'elle présente de rendre inhabitables les lieux clos où l'on en fait usage.

183. Des avantages de la détente prolongée et de sa limite utile, — Nous avons supposé la pièce de la longueur ordinaire, mais on gagnerait nécessairement quelque chose, sur la ten* sion primitive de l'air, en augmentant cette longueur; car ici les effets du refroidissement (173) ne paraissent pas, à beaucoup près, avoir autan^t d'influence que lorsqu'il s'agit des gaz de la poudre. Il n'en serait pas de même évidemment des pertes croissantes dues au jeu du boulet dans la pièce, au frottement, à la résistance de l'air atmosphérique extérieur, et il est probable que, passé un certain terme, on retirerait, en raison de ces pertes, fort peu d'avantages en augmentant les dimensions de l'âme : calculons néanmoins le surcroît d'effet produit par la détente prolongée de l'air, en négligeant tout à fait les pertes dont il s'agit.

Supposons d'abord que Oi {PI, II, fg. 40 soit augmentée de deux parties ij,jlff égales chacune à Oa ou à ^ de la lon-

APPL1GATIOK9» ETC. làO']

gueur totale Oi de rame, considérée dansle premier cas (181); on trouvera, pour les pressions exercées en i,j et le respectî- Teoient,

^atm

i 1 200*'" = 1 33"'", -j^ 1 200'»'" = 1 20'*", Vr i aoo*»'» = 1 09"

Donc (80 et 81) la surface de ii'k^k aura pour mesure

i0a(i33-f-JO9-4-4»"2<>)=0aX J^ 722 =24o**'", 7 xO« environ;

c'est-à-dire qu'en donnant à Tâme une longueur totale de 3*,io-f--î 3"',io = 3'",8o, 'si quantité de travail de Tair sera augmentée d'à peu près — de sa valeur 2638»*", 3 X 0«r, relative à la longueur de 3"*, 10.

En prolongeant de nouveau l'àme de Ifr=ik = !i0a, on trouverait, de la même manière, que l'augmentation de travail du fluide serait de 2oo«*"x0a; la somme totale du travail développé par la détente de ce fluide, pour la longueur d'âme de 4*94^ qui excède, de près de moitié, la longueur primitive, serait donc

(2638, 3 -h 240,7 -h 2oo)0a = 3o79«*"xOa,

c'est-à-dire qu'elle surpasserait de j celle qui se rapporte à celte dernière longueur; de sorte que la force vive imprimée au boulet serait aussi plus forte de ^. Quant à la pression moyenne, dans le cas actuel, on la trouvera en divisant le travail total 3o7g»*"X Oa, par ar= i^Oa, longueur d'âme décrite

il.. .j 3o7Q»*"»xOfl e^^^» /?

parle boulet, ce qui donne — — — jz = 256**'",o environ :

^ 1 2 X Oa

cetie pression moyenne est, comme on voit, moindre que celle qui répond au tir ordinaire avec la poudre (177), quoique la force vive imprimée soit réellement augmentée dans le rapport de la quantité de travail 3o79'''"*xOa, à celle 3o8*»* X 80a = 2464**"* XOa, qui est relative à ce dernier cas, la longueur d'âme étant alors 80a.

S'il s'agissait seulement d'imprimer au boulet la vitesse de 5oo mètres, comme dans ce dernier cas, il suffirait (182) de comprimer l'air du réservoir à la tension de

1 200 X 2464 xOfl ^ .,„

i--ir = q6o**"» environ.

3079 XOa ^

^o8 MÉCANIQUE IKDUSTEIBLLB.

Pour une vitesse moitié, ou de 25o mètres, il suffirait (178 et 182) de donner le quart de 1 200 atmosphères ou 3oo atmosphères de pression à l'air du réservoir, dans le cas de la pièce courte, et 7g6o = 24o**"* dans le cas de la pièce longue. En allongeant de plus en plus l'âme, il est clair que le travaili produit par la détente, irait aussi en croissant; de sorte que, pour produire les mêmes effets, la pression absolue dans le réservoir pourrait être progressivement diminuée; mais on remarquera que, passé un certain terme, cet accroissement et cette diminution deviend4*aient peu sensibles, même en faisant abstraction de toutes les causes de pertes rappelées cidessus. Car nous avons trouvé, par nos diverses opérations, que le travail était proportionnel à igSS*"™, 3 pour le point e {PI. II, /g^. 4 1 ), à 1 933»»™,3 -4- 705»*'" z=: 2638»"",3 pour le point/, à 2638*^"*,3*H- 240**", 7 4- 200**'"= 3079^^™ pour le point r; de sorte que, dans la première partie ae de la délente, il est près du triple de celui qui répond à la seconde partie ei=ûe, el près du quintuple de celui qui est développé dans la troisième ir=ae, A une distance du point a égale à 100 fois ae, ou à

ioo fois Oa, la pression serait réduile à environ -^ =^ S'^",

et le travail, sur une longueur égale à ae ou 40a, sérail, au plus, 40«X 3*^"*=:i2''*™ xO«, ou xTi ^® ^^'"* Q"> est produit dans le premier intervalle ae, etc. Or on conçoit que les résistances et pertes de toute espèce suffiraient alors pour absorber ces faibles augmentations du travail.

£n calculant d'ailleurs le travail total développé par la détente de l'air, dans celte longueur d'âme de 100 fois ae, on le trouvera égal à environ 72oo»^'"X On, quaniité qu'il faut diminuer, tout au moins, de celle i*"^x 4ooO^=:4oo"*'"xO<?, qui est absorbée par la pression de l'air atmosphérique extérieur; ce qui la réduit à 68oo«*"* X Oa, qui surpasse très-peu le double de la quantité de travail

3079»'» X 0^/ — I»"" X izOa = 3o67«*™ x Oa

relative au point r; mais, eu égard aux autres genres de pertes, cette première quantité de travail serait moindre encore.

184-. Examen particulier des différentes causes qui diminuent les effets de la détente des gaz. — Nous avons déjà

APPLICATIONS, ETC. 20g

plusieurs fois remarqué que le frottement du boulet, dans - l'âme de la pièce, est une quantité très-faible et qu'on peut toujours négliger, tandis qu'il en est tout autrement de la perte de gaz, occasionnée par le vent du boulet, laquelle tend continuellement à diminuer la densité et la pression intérieures, de manière'à les faire différer de plus en plus de celles qui, selon la loi de Mariotte, auraient lieu, sans cette perte, pour chaque position du boulet. Connaissant le jeu de ce dernier dans l'âme, il ne serait pas impossible, à la rigueur, de calculer la perte de gaz dont il s'agit, d'après les lois de Thydraulique qui seront enseignées dans une autre Partie de ce Cours; car cette perte est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le lluide tend à s'échapper en vertu de la pression intérieure, et à la surface du vide qui règne au pourtour du boulet, surface qui, à largeur égale, croît à peu près comme le calibre des pièces ou la circonférence du boulet.

Hais il est une autre cause de déchet de la force motrice, et • qui exerce une influence peut-être plus grande encore sur la vitesse du boulet : c'est celle qui provient de l'inertie même du fluide. En effet, la force de ressort de ce fluide n'est pas uniquement employée contre le boulet; une portion sert à imprimer le mouvement à ses propres molécules, et il en résulte une perte de travail mesurée (136) par la moitié de la somme des forces vives qui leur correspondent. Or la vitesse de ces molécules et leur poids total (182) étant généralement trèscomparables à la vitesse et au poids du boulet, on conçoit que la perte dont il s'agit est généralement aussi très-appréciable, et méri|,erail d'être prise en considération, s'il s'agissait de calculer rigoureusement les circonstances du mouvement (*). Il résulte de là, d'ailleurs, que la pression éprouvée effectivement par le boulet, de la part des gaz, diffère plus ou moins de celle qu'il éprouverait, dans les mêmes positions ou pour les mêmes détentes, s'il était sans mouvement, ainsi que le suppose expressément la loi de Mariotte (16), que nous avons prise pour base de tous nos calculs ( **}; et cette remarque s'ap-

(•) Foir k ce sujet te Traité d* artillerie de M. Piobert, Ilt« Partie. (K:)

(** ) Consulter la Note de Poncelet sur l'ccouleroent de l'air (^Comptes rendu det téances de V Académie des Sciences^ t. XXI, p. 178). (K.)

plique aussi à la tension qu'exerce le fluide sur les différents autres points des parois de la pièce ou sur lui-même, laquelle, d'après le principe de Pascal (14), se trouverait réparlie également et en tous sens, s'il y avait repos. Cette tension varie d*un point à un autre de la longueur de Tâme, conformément à la remarque du n" 68, elle est glus faible là où le fluide éprouve plus de facilité à se mouvoir, c'est-à-dire près du boulet; elle est plus forte, au contraire, là où il éprouve le plus de résistance, c'est-à-dire vers le fond de l'âme, puisqu'elle doit y vaincre à la fois la résistance provenant de rinertie du boulet et de tout l'air interposé. Enfin il n'est pas moins évident que la vitesse du fluide varie, de son côté, selon la distance du boulet au fond de Tâme, et qu'elle est plus forte près du boulet qu'à la culasse où elle se réduit à la vitesse du recul (IT^), vitesse dont la direction, contraire à celle du boulet, indique même qu'il se trouve > non loin de là, un point où le fluide est complètement en repos.

On voit, d'après cela, qu'il existe une relation nécessaire entre la vitesse et la tension ou la densité (36) des molécules en chaque point; de telle sorte que, cette densité étant précisément la plus faible là où la vitesse est la plus forte et réciproquement, il en résulte nécessairement aussi que la force vive des différentes tranches élémentaires du fluide, comprises entre des sections perpendiculaires à l'axe de la pièce, doit être une quantité assez faible comparativement à celle qu'auraient ces mêmes tranches, si, conformément au principe de Pascal, la densité était la même partout et si la vitesse étajl aussi, dans les différentes tranches, égale à celle du boulet. Mais, comme à l'instant où ce dernier quitte la pièce, les molécules du gaz sont encore dans un état de tension très-grande, surtout aux environs de la culasse, il en résulte qu'elles conservent aussi une quantité d'action disponible très-comparable à celle qui a été développée utilement contre la pièce et le boulet, et qui, réunie à la moitié de la force vive déjà acquise par ces diverses molécules, doit la surpasser d'autant plus que la pièce est plus courte ou la détente moins prolongée. Enfin, il ne paraîtra pas moins évident que, puisque la pression contre le fond de l'âme surpasse notablement celle qui a lieu contre le boulet, la quantité de mouvement imprimée à la pièce (173)

et qui produit le recul quand cette pièce est libre, doit être aussi plus grande que celle que reçoit le boulet; de sorte que la vitesse du recul est, par un double motif (174.), plus forte que ne l'assigne le principe du n"* 173.

185. Réflexions nouvelles sur la déperdition inévitable du travail dans la réaction des corps, et sur les courtes mais rapides détentes des gaz. — Ce ne serait pas ici le lieu d'entrer dans de plus grands développements sur les lois du mouvement et de l'action des gaz, lois qui se reproduisent, d'une manière analogue, dans le choc ou la réaction plus ou moins brusque (153 et suivants) des corps élastiques; nous avons voulu seulement donner une idée de la nature des causes qui empêchent que la détente n*ait son entier effet, et prouver surtout que l'inertie des molécules des gaz, lorsque cette détente est rapide, peut exercer une certaine influence sur le mouvement transmis au boulet, et occasionner des pertes d'eiîet tout aussi appréciables que celles qui proviennent des fuites et des diverses résistances. Il est donc bien vrai de dire (140, 103 et suivants) que la quantité de travail qui a été primitivement dépensée, pour changer la forme, la position ou en général l'état d'un corps, ne peut jamais être restituée d'une. manière complète, ou sans qu'il y en ait une certaine portion de consommée, en pure perte, pour l'effet utile; car il s'agit ici de gaz qui sont des corps éminemment élastiques.

A la vérité, on diminue considérablement les pertes de travail, occasionnées par l'inertie des molécules des gaz, en utilisant leur force de ressort contre des masses ou des résistances plus grandes que celles d'un boulet de canon ordinaire, et qui ne cèdent que lentement ou avec peu de vitesse à leur action ; mais alors la déperdition du calorique et les fuites augmentent rapidement avec le temps; et si, dans la vue d'éviter ces fuites, on cherche à diminuer le jeu au pourtour du boulet ou du piston^ jeu véritablement indispensable, on augmente considérablement le frottement le long de ce pourtour. Enfin, en admettant même que ces différentes causes de perte n'existassent pas, il arriverait encore qu'on ne pourrait utiliser complètement le travail recelé dans le volume primitif des gaz, puisque le cylindre où se fait la détente ne saurait recevoir,

dans Texéculion, qu'une longueur fort restreinte par rapport à celle que lui assigne la théorie, pour le maximum d'effet.

Ces dernières réflexions sont principalement applicables à la détente de la vapeur d'eau, dont il sera fait mention plus loin; mais il ne faudrait pas en conclure généralement que la détente des fluides élastiques présente peu d'avantages, et que tout son effet est absorbé dès les premiers instants où elle s'opère; car l'expérience prouve, même pour les gaz de la poudre dont l'action diminue beaucoup (173) par le refroidissement, que, si cet effet a une limite nécessaire dans chaque cas, cette limite n'est pourtant point aussi rapprochée qu'on pourrait d'abord le présumer d'après ce qui précède. On peut admettre, par exemple, que la détente, dans le cas examiné ci-dessus, et quand le vent est réduit à ce qui est strictement nécessaire, ne cesse pas d'être avantageuse tant que le volume occupé par le gaz n'excède pas 4o ou 5o fois le volume primitif. Nous verrons bientôt d'ailleurs que la limite relative aux machines à vapeur ordinaires est beaucoup plus restreinte.

On est obligé, dans Tartillerie, de se servir de pièces trèscourtes, telles que les obusiersei mortiers qui servent à lancer des boulets creux; il semblerait donc, au premier aperçu, que . les effets de la détente devraient y être à peu près nuls, de sorte qu'à charge égale de poudre, la force vive imprimée au projectile y serait beaucoup moindre que pour les pièces longues, ce qui n'est pas. Mais on doit observer que, dans les premières pièces, la charge est toujours très-faible par rapport au poids de l'obus ou de la bombe, et que le rapport du volume occupé par la poudre au volume total de l'âme, diffère peu de celui qui est relatif aux pièces longues; or il en résulte que les quantités de travail totales développées par la détente des gaz doivent, à circonstances semblables, être encore à peu près les mêmes dans les deux cas, et que la seule différence doit consister en ce que la force motrice, la pression sur le projectile, est plus grande dans le dernier et opère son effet total dans un temps beaucoup plus court. C'est ce que démontrent, on effet, les principes qui suivent.

186. Principes relatifs au travail produit par la détente des gaz. — L'un des plus importants d'entre eux, envisagé sous

APPLICATIONS» ETC. 2l3

son point de vue le plus général, consiste en ce que, quelle que soit la manière dont on fasse agir un volume donné de gaz comprimé à un certain degré, sur une résistance qui cède graduellement à son action, le travail développé sera, toutes choses égales d'ailleurs, constamment le même pour la même détente ou la même augmentation du volume primitif. Comme ce principe a de nombreuses applications dans les arts, nous ne croyons pas inutile de nous arrêter un instant à sa démonstration, en prenant pour exemple le cas des mortiers.

On sait que, dans ces armes, la poudre est enfermée dans une cavité cylindrique particulière ABC1)(jP/. II,Jig* 4^), nommée chambre, et dont le diamètre est beaucoup plus petit que celui de l'âme ou du projectile. Or, si nous faisons abstraction des* propriétés physiques particulières de celte poudre, pour ne nous occuper que des effets de la simple délente des gaz qu'elle produit par son inflamtnation; si nous supposons, en d'autres termes, qu'elle soit remplacée par un volume égal de gaz comprimé à I200 atmosphères, par exemple, comme dans le cas examiné plus haut, il nous sera facile de calculer la quantité de travail que, abstraclion faite des pertes (18(^], ce gaz produira par sa détente dans l'intérieur de l'âme, en concevant toujours, pour la simplicité, le projectile remplacé par une sorte de piston ou cylindre de même diamètre que celui de rame, et qui serait terminé par une face plane MN du côté du fluide; hypothèse qui n'altère en rien les résultats, attendu qu'on prouve aisément, par les principes qui seront établis plus tard, que le travail, communiqué par le fluide, est indépendant de la forme du projectile censé remplir etactement le contour de Tâme. Tout consistera donc encore à déterminer la valeur de la pression totale exercée, par le gaz, pour les diverses positions du plan MN.

Supposons, par exemple, que, le piston étant arrivé en 6, le volume occupé alors par ce gaz soit égal à 6 fois le volume primitif ABCD; d'après la loi de Mariotte, la pression sur chaque centimètre carré de la surface de la section MN, correspondante à 6> sera aussi ^ de 1200 atmosphères ou 200 atmosphères; par conséquent la pression totale, sur cette section