L. = .t = :f e. /■ = §=iL

toujours dans les h;ypothèses où la limite d'élasticité ne serait pas dépassée pour la première de ces valeurs, car, si elle l'était, il conviendrait alors de recourir aux données qui sont fournies (289 et suivants) par les résultats des expériences directes, relatives à chaque nature des substances; ce qui serait toujours facile, en raisonnant comme nous venons de le faire.

313. Équation fondamentale du mouvement. — Si l'on considère (310) combien est faible, en général, l'influence du poids des molécules du prisme, dans les questions du genre de celle qui nous occupe, où la charge Q est toujours trèsforte comparativement à ce poids, on sera conduit, non-seulement à en faire abstraction dans presque tous les cas^ mais encore à négliger pareillement celle qui peut être due aux forces d'inertie et aux forces vives acquises, par ces mêmes molécules, dans le mouvement qui leur est transmis par Tin-

termédiaire de la charge. En effet, if paraît évident en soi que, à moins de mouvements désordonnés, ces forces doivent croître depuis le point d'attache supérieur du prisme, où la vitesse est toujours censée nulle, jusqu'au point qui correspond à la charge suspendue à son extrémité inférieure, et qui est censé posséder absolument la même vitesse que celte charge. Or, si la somme des poids mg (126) des molécules du prisme est réellement négligeable vis-à-vis du poids Q, il en résulte nécessairement que la somme de leurs forces

d'inertie, m-» ou de leurs forces vives, mYS doit l'être, à

fortiori, par rapport à celles de ce poids. Admettant donc ces conséquences qui reviennent, au fond, à supposer que la tension, la force de ressort des molécules du prisme, est, à chaque instant, la même dans toute son étendue, ou s'y propage, pour ainsi dire, sans perte et avec une rapidité infmie (57 et 63), il deviendra facile de découvrir, par le calcul ou par des considérations purement géométriques, toutes les circonstances essentielles d'un mouvement, dont nous n'avons précédemment considéré que quelques particularités très-simples.

Considérant, à cet effet, le prisme, ou plutôt la charge Q, dans une des positions intermédiaires qu'elle atteint pendant le mouvement, et supposant toujours que son élasticité ne soit altérée à aucun instant, on remarquera que / ou /L, étant l'allongement total relatif à cette position, la quantité de travail développée dès lors, par la gravité, sur la charge Q, depuis l'instant où celle-ci occupait la première position, et où /était nulle, a pour mesure le produit Q/ ou QiL, tandis que celle de la

résistance élastique, AEi ou AEy» est mesurée (2W) par cet

autre produit |ALE/*= — r— ; d'où il résulte que l'excès

AE^,^ /. AE

de la première de ces quantités, qui appartient à la puissance, sur la seconde qui correspond à la résistance, mesure, dans nos hypothèses, le travail employé a vaincre l'inertie de la

masse M ou — du poids Q. Donc, en venu du principe du

II** 136, on devra avoir l'égalité

de laquelle il est facile de tirer la valeur de la vitesse V, relative à chacun des allongements /, supposés donnés.

On la mettra sous une forme un peu plus simple, en remarquant que, si Ton a déjà calculé, d'après ce qui est CTcposé à

la fin du précédent article, rallongement i' ou y? correspondant à l'instant où la vitesse acquise est la plus grande, et qui est la moitié de l'allongement maximum ou final, il sera inutile

de calculer, sur de nouveaux frais, la quantité -j— qui entre

Lé

dans cette équation. Car, puisqu'on a

Q = AE/' = AE |-> on aura aussi -=— = 175

ce qui permettra de supprimer le facteur Q, devenu commun à tous ses termes, de sorte qu'elle deviendra simplement

^) ou Y'=^(a/'-/)/;

d'où l'on lire, par l'exlraclion de la racine carrée, el en posant pour simplifier, •

Or /r, racine carrée du rapport entre deux longueurs, g et /', est un simple nombre ou coefficient facile à calculer, et

V(2/'— - /)/est la moyenne proportionnelle entre les longueurs 2/'— / et /, qu'on pourra également calculer ou construire géométriquement quand on se sera donné / à priori; donc, rien ne sera plus simple que de se représenter la loi qui lie ces allongements variables, /, du prisme, avec les vitesses

correspondantes, V,, de la charge Q, suspendue à son exirémile inférijcure.

314. Représentation des lois de ce mouvement par des formules ou constructions géométriques. Expression de la vitesse. — Soil AB (PL llyjig. 5i), la longueur de la lige donl il s'agll; BC son allongement de stabilité, /', sous la charge Q ; BD = aBC = iV son allongement maximum sous la vitesse acquise par cette charge (312); enfin Bm, rallongement ly qu'elle a pris à l'instant où la vitesse est V; il résulte, de ce qui précède, que, si, sur BD — 2/', comme diamètre, on décrit un demi-cercle, il renconlrera Thorizonlale menée par m, en un point /i, tel qu'on aura

et par conséquent

y z=zh,mn.

Rapport des espaces aux temps élémentaires, — Supposant que mm' représente l'allongement infiniment petit, reçu par mB ou /, pendant le temps élémentaire, /, on aura aussi (13i

et 133)

__ mm' , .. > /7?m'

• V = — ;— ^Ar./wn; dou /:

/• . mn

Cette dernière expression indiquant que le temps croît proportionnellement au rapport de mm' à m/i, on en déduira un résultat encore plus simple, en observant que mm' est égal à la perpendiculaire ou verticale np, abaissée de n, sur l'ordonnée m'/i', du cercle, infiniment voisine de mn. Car, si l'on mène le rayon Cn = l' qui est perpendiculaire à l'extrémité n,

de l'arc infiniment petit, nn', de ce cercle, on aura, par les triangles, rectangles et semblables, nn'p, Cmn, à cause que leurs côtés sont respectivement perpendiculaires.

np mn

ou

mm'

nn' Un

nn'

mn

ce

qui

donne facilement

nn'

9 ou

nn' t

DES RÉSISTANCES. i^5

el prouve, ailendu que kl' = V \/.j7^^ s^ g^' ^sl une quantité

constante pour toutes les positions de l'extrémité B : i" que les accroissements infiniment petits, f, du temps sont protionnels aux accroissements nn'y de Tare B/i qui correspond à l'espace B/n = /, déjà décrit, par le point d'application de la charge Q, à l'instant où la vitesse est V; 2" que la vitesse de

circulation-— (48), du point n, sur le cercle auquel il appartient, est ici constante et égale à kVy de sorte que son mouvement est rigoureusement uniforme, encore bien que celui du point m, auquel il correspond à chaque instant, varie sans cesse.

Expression géométrique du temps. — Nommant donc ï le nombre des secondes écoulées depuis l'origine du mouvement, où m était en B, on aura, pour calculer ï, la formule

arcB/i

ou, ce qui est la même chose, on aura, pour calculer l'arc B/i et, par suite, Bm ou /,

arcB/i = A-/'T.

Formules t ri gonomé triques. — Ordinairement on nomme, dans le cercle dont le rayon BC, ou Cw, serait pris pour l'unité : mn le sinus d'un arc tel que Bn, qui est aussi la mesure de l'angle au centre correspondant BCn, Bm son sinus-verse^ et C m son cosinus, £n adoptant ce langage des géomètres, et observant que, dans les cercles différents, les arcs qui sous-tendent le même angle au centre, sont, entre eux, comme les rayons, aussi bien que les ordonnées et abscisses ou segments correspondants, on aura donc

. w*^ arc B/i •„,

angleBC/i=:^^^^,3=r/rT,

Bm ou /=/' sin.vers.BC/i = /' sin.vers./rT, ou bien

/=BC- Cm=:/'~/' cos./rT = /'(î-cog./rT).

4^6 MfiCAMQCC INDCSTBULLE.

Ces formules, après y avoir subsUlué les valeurs de k et de /', d*après le n* 313, permetlront de calculer, au moyen des Tables t ri gonomé triques connues, celles des allongements If qui correspondent aux temps, T, successivement écoulés ; ce qui, avec la formule

V = k . mn z=: A" . /. sin AT,

établie en premier lieu, mettra aussi à même de découvrir toutes les circonstances du mouvement oscillatoire de la charge Q, ou de son point d'aitache, B.

315. Principales circonstances du mouvement oscillatoire des prismes, — Pour en acquérir une idée précise, il faul remarquer que le point m (PL Flyjig. 5i), une fois parvenu en p, rétrogradera ensuite, tandis que le temps T, qui devient alors égal à

arcBnD tI' t: V 1 QL

kr ~~ kl' ~A-~" V g" M g.AE'

77, étant le rapport 3,i4i6 de la circonférence au diamètre, croîtra sans cesse, et sera mesuré par des arcs quelconques, B/iDjt, comptés toujours dans le même sens, à partir du point B, qui pourront embrasser plusieurs demi-circonférences ou circonférences entières, et auxquels correspondront des vitesses constamment proportionnelles aux ordonnées, ou sinus /it/i, xy% de leurs extrémités, et des allongements égale* ment proportionnels aux abscisses ou sinus-verses Bm, Br, relatifs à ces arcs respectifs.

On voit d'ailleurs que, quand le point j ou x aura atteint B, ce qui arrivera au bout d'un temps mesuré par la circonférence entière BnDxB, divisée par la longueur kA\ c'est-àdire au bout d'un nombre de secondes égal à

et, par conséquent, double de celui de la demi-période descendante, les mômes choses reviendront régulièrement, dans le même ordre, et ainsi alternativement et indéfiniment. Tou-

DBS RÉSISTANCES. 4^2?

lefois on suppose ici que Télaslicilé demeure parfaite, el Ton n'a égard ni à la résistance opposée par Tair, ni aux ébranlemenis, aux mouvements vibratoires qui, en se transmettant à la masse du point d'attache, A, par l'intermédiaire des molécules de la tige de suspension AB, détruisent ainsi continuellement des portions de plus en plus sensibles de la force vive primitivement acquise dans la demi-oscillation descendante de la charge Q, et finissent, comme l'expérience le démontre, par réduire le prisme au repos, en très-peu de temps.

Amplitude, durée, nombre et vitesse moyenne des oscillations/— Le plus grand allongement, '2/', subi par le prisme dans ses mouvements alternatifs, n'est ici autre chose que ce qu'on nomme, en général, l'amplitude des oscillations de la charge ou de son point d'application, B, et, par conséquent, l'allongement permanent, /' ( 310], qui aurait lieu sous l'aclion de cette charge, n'est lui-même que la demi-amplitude de ces oscillations, ou ce qu'on peut nommer l'amplitude des excursions de cette charge, de part et d'autre de sa position moyenne de stabilité, C, Donc, d'après ce qui précède, la durée des oscillations entières du prisme est proportionnelle à la racine carrée du rapport de cette dernière à la vitesse, g, que la gravité imprime aux corps en chaque lieu (117). Quant au nombre de ces oscillations, de ces retours de la charge à une même position, pendant la durée d'une seconde sexagésimale, sa valeur que nous nommons, en général, N, ?era évidemment donnée par la formule

27r 27: 27rV /' luy QL ' T

de sorte que ce nombre croîtra précisément dans le rapport inverse de celui qui précède, ou, pour nous énoncer d'une manière plus explicite : il croîtra directement comme la racine carrée de la résistance élastique naturelle, AE, du prisme, et inversement comme la racine carrée du produit, QL, de sa longueur, par la charge qui lui est constamment appliquée. Eniin, la vitesse moyenne des oscillations de cette charge étant ici égale(49) au quotient du double de leur amplitude, a /',

par leur durée, ou au produit de 4/'> par le nombre N, celle vitesse sera également fournie par l'expression

toujours dans Thypothèse oii rélasticité demeurerait parfaite, et où le mouvement se conserverait, lui-même, indéQnimeni et sans perte. Mais nous verrons par la suite que ces divers résultats sont indépendants de cette dernière circonstance, ou du décroissement plus ou moins rapide de la vitesse effective et de Tamplilude des oscillations.

Notions directes sur la nature du mouvement, — On se formera une idée très-claire du mouvement oscillatoire, pour ainsi dire théorique, dont nous nous sommes jusqu'ici occupé, si Ton imagine que le point n, dont Texlrémité inférieure du prisme représente, à chaque instant, la projection sur le diamètre vertical, BD, du cercle, B/iD:rB [PLII,fig,Si), chemine d'un mouvement rigoureusement uniforme, et avec

une vitesse mesurée ( 323 ) par kV = ^fgï\ sur le contour même de ce cercle, de manière à indiquer, par ses positions successives, comme le fait l'extrémité de l'aiguille d'une montre, la mesure, la marche régulière du temps. Le système d'une manivelle qui se meut circulairemenl et uniformément autour d'un axe sur lequel elle est implantée, et qui pousse un châssis de scie ou un tiroir de machine à vapeur, par l'intermédiaire d'une longue bielle, offre encore une image du mouvement oscillatoire ou périodique qui nous occupe, et dont on acquerrait, à priori, une notion géométrique également précise, en construisant la courbe qui a pour abscisses les arcs servant de mesure aux temps écoulés, et pour ordonnées les allongements ou sinus-verses correspondants (314), courbe serpentante qui appartient au genre de celles qu'on nomme sinusoïdes,

31 G. Recherches de la force motrice variable qui sollicite le prisme pendant le mouvement. — Pour compléter les notions relatives au mouvement oscillatoire des prismes, dans* le cas élémentaire qui nous occupe, il est nécessaire de montrer

comment on peut obtenir et calculer directement les efforts qui s'exercent réellement à leur extrémité inférieure B {PL II, fig' ^0» pendant la durée de chacune des périodes d'oscillation de la charge Q, efforts qui sont dus, évidemment (130 et suivants), à l'excès du poids de cette charge sur la force d'iner-

*lie ? à tous les instants où il y a accélération de mou-

vement, et à l'excès contraire de celle-ci sur le même poids, lorsqu'il y a simple ralentissement.

En nommant P, l'effort dont il s'agit, et que nous savons déjà (312) être égal à Q, aux instants où l'oscillation commence et finit, et devenir précisément nul quand l'extrémité B est arrivée au milieu, C, de sa course, BD, nous aurons, en particulier, pour calculer P, dans toute la partie BC de Toscillalion descendante où le mouvement s'accélère, et plus spécialement pour la position m de B,

Mais, comme nous savons aussi (314) que le temps infini-

ment petit, /, est mesure par le rapport ~rjp » et que la vitesse V,

de la charge supposée parvenue en m, est mesurée par le produit fr.m/i, ou son accroissement c, par /i-./i'o, il en résulte immédiatement

f ;,., n> n!p Cm g

t nn " nn *^ Ln l

attendu que /i* = ^ (3f3), et que les triangles, semblables et

rectangles, n/i'/i, mCn, donnent n'p : nn' :: Cm : C/i = /'. Donc, enfin, la force cherchée,

OU bien, en adoptant (314) les notions de la Trigonométrie,

P = Q(i — cos/f T) = Q — Q.cosA^T;

43o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

ce qui prouve que Tintensiié de celle force suit la même loi de périodicité que les allongements mêmes du prisme, fait que nous eussions pu considérer comme évident à priori, puisque ces allongements doivent, d'après nos hypothèses, demeurer exactement proportionnels aux e£forts qui les produisent.

En effet, si on continue ici à nommer i, l'allongement proportionnel ou par mètre que subissent les divers éléments du prisme, sous l'action variable de P, allongement qui, dans nos hypothèses encore (312 et 313), est le même pour tous, à un instant donné, et ne dépend uniquement que de Tintenslté de P, on aura, pour le déterminer,

« = y = y (i — cos/rT);

ce qui donne immédiatement