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P = AEi = ^^ (i — cosA-T) = Q(i — cosA-T),
attendu qu'ici (313) QL =. AE/'; mais nous avons été bien aise de montrer comment on pouvait arrivera celle expression par la voie directe.
Ces résultats permettent d'ailleurs de calculer et de discuter, à priori, les diverses valeurs que prennent P et / aux instants successivement écoulés depuis Torigine du mouvement; mais cette discussion est trop facile pour qu'il devienne nécessaire de s'y arrêter. Nous ferons seulement remarquer que ces valeurs oscillent périodiquemenl autour de leurs moyennes respectives, en changeant de sens ou de signe, absolument comme le fait, lui-même, l'allongement,/ ou #7iB, du prisme, aux divers instants du mouvement (314).
317. application à un exemple particulier, — Considérant notamment la barre de fer mentionnée au n** 310, et pour laquelle on a
L rr: I o", A = o™*i, ooaS, Q i^ i o ooo^«,
on trouvera, en vertu des formules exposées dans les trois précédents numéros, où Ton suppose la charge Q, simplement
suspendue à Textrémité inférieure de la tige AB, sans vitesse antérieurement acquise :
1" Pour l'allongement de stabilité, i', lequel se rapporte à un simple effort agissant sans vitesse appréciable,
Q loooo
I ' rrr --- zr: • =i 0,0002 1
AL o,oo25 X 20 000000 000
2? Pour le plus grand allongement proportionnel, acquis sous Tinfluencé de la vitesse Q,
2i' = o,ooo4;
3** Pour les allongements absolus correspondants, BC et BD,
/'=:: i'L = 0,0002X lO'" -- O"*, 002,
L' = 2 1 ' L = o,ooo4 X lo*" =: o'", oo4 ;
4** Pour la valeur du nombre A* (313), attendu (117) que gr=:9",8o9,
5*» Pour celle de la vitesse maximum, V, acquise à l'instant cil l'allongement /, esfprécisémeut égal (314) à /' ou BC,
V'= lfl'=z 70,032 X o'",oo2 = o™,i4oo6;
& Enfin, pour la durée d'une oscillation entière du prisme, ou de la charge Q,
T= -7- = 27ri/-^ = :^ = 0", 08972,
k V gAE 70,032 ^'
ce qui donne par seconde, -y, — r: ^= i i,i45 oscillations entières seulement, ou 22,29 demi-oscillations descendantes et ascendantes.
Mais, d'après la formule du n*" 315, qui donne, en général, le nombre N, des oscillations entières par seconde, si Q, au lieu d'être de loooo kilogrammes, n'était que de 625 kilo-
432 MÊGANIQUR INDUSTRIELLE.
grammes, ou le ~ de la valeur qui vient de lui êlre attribuée, et qu'en même temps la longueur de L se trouvât réduite à j 1 o"» = I ", ! ï I , le nombre dont il s'agit serait augmenté dans le rapport de Tunité à la racine carrée du produit de i6 par 9, ou de 1 à 4 X 3 = 12; de sorte qu'il s'élèverait à
ou i34 environ par seconde, le nombre des demi-oscillations étant lui-même porté à 267,4^» dans le même temps.
Lois du mouvement oscillatoire des prismes dans le cas oà la charge possède une vitesse initiale,
318. Données fondamentales de la question, — Dans ce qui précède, nous avons supposé que la charge Q était posée à Texirémité du prisme AB [PL II,Jig» Si), avec beaucoup de douceur ou sans vitesse acquise; mais, s'il en était autrement, il est évident que l'étendue des excursions ou des oscillations du poids Q, serait augmentée, de sorte que l'élasticité naturelle pourrait êlre forcée. Afin de s'en assurer directement, il faudra être en état (312) de calculer le plus grand allongement subi, par ce prisme, à l'instant où la vitesse de la charge se trouvera éteinte dans la première période du mouvement.
Équation du maximum d* allongement, — Pour l'obtenir, il suffira d'exprimer, toujours d'après le principe du n" 136, que
la moitié de la force vive initiale, possédée par la masse —de
la charge, augmentée de la quantité de travail Q.IL qui correspond (312) à la descente de son poids Q, de la hauteur V =^ IL, relative à ce plus grand allongement, est précisément égale à la quantité de travail | ALEP, développée, en sens contraire (24>7), par la force élastique du prisme, ou que
Q^-I-QIL = |ALEI%
V, étant la vitesse initiale (]ont il s'agit. Cette relation, comme on voit, permettra toujours de cal-
DBS RÉSISTANCES. 4^^
culer I ou IL, par les mélhodes connues, quand on se sera donné les diverses autres quantités qui y entrent; mais on y parviendra plus directement en remarquant que, si la limite d'élasticité ne se trouve effectivement pars dépassée, la charge, après avoir atteint sa position extrême ou la plus basse B', reviendra en arrière, pour exécuter une série d'oscillations entièrement semblables à celles qui ont été considérées dans le cas précédent, et qui seront d'ailleurs assujetties à la même loi, si ce n'est que l'étendue CD' ou CB' des excursions du point d'application B, de cette charge, de part et d'autre du point C, qui en demeurera le milieu ou centre, se trouvera augmentée.
Considérations géométriques, — Sans recommencer la série des raisonnements et des démonstrations relatives au cas particulier où la vitesse initiale Vi est nulle, on peut remarquer qu'on a toujours (312), pour déterminer l'allongement BC ou /', à l'instant où la plus grande vitesse est acquise, la relation
Q = AEi', qui donne BC ou l=i'L=^,,
AE
même valeur que ci-devant. Et, comme l'horizontale ou or* donnée BN, correspondante à B, dans le cercle B'ND', qui donne la loi du nouveau mouvement, doit avoir, avec la vitesse V,, la relation déjà trouvée (323)
