A£ 2A£ AE 2AE

Mais on n'aperçoit pas aussi clairement, par la voie du raisonnement ordinaire, quelle est la nature des modifications qu'il faudrait faire subir aux formules primitives, pour tenir compte de l'influence exercée, aux divers instants, par l'inertie des éléments matériels du prisme; et, sous ce rapport, l'analyse algébrique offre un immense avantage sur les considérations directes de la Géométrie ou du raisonnement, quoique les résultats n'y apparaissent alors que dans un état de complication qui les rend peu applicables aux besoins de la pratique.

Du mouvement oscillatoire des prismes dont la charge permanente est soumise à l'action d'un choc vif.

323. Des premiers effets d*un choc vif, ou de la vitesse initiale qui en résulte, — Dans les n"» 312 et 318, nous avons examiné l'influence qui peut être due à la force vive acquise, par la charge, lors des premiers allongements du prisme» ou à celle qu'elle possède déjà à l'instant où elle vient reposer sur

DBS RÉSISTANCES. 449

son extrémité inférieure ; ici nous supposerons que la charge Q, toujours censée fixement attachée au prisme, reçoive ellemême un choc à l'instant où celui-ci est parvenu, sous l'action de cette charge et après un nombre d'oscillations plus ou moins grand (316), à l'état de stabilité pour lequel son allongement permanent est mesuré (312) par la quantité /' = -^i

ou, plus rigoureusement, si Ton veut avoir égard (310) à l'effet initial de son propre poids /iL = ADL, par la quantité

AE 2 AE

qui différera toujours extrêmement peu de la première, dans

les cas d'application.

Cda posé, nous nommerons Q' le poids, et M' =: — la

masse du corps étranger, qui sera censé venir choquer le premier, ou Q, avec la vitesse V, qu'il aurait acquise, par exemple, en tombant verticalement de la hauteur H', le long du prisme qu'il ne ferait simplement qu'embrasser, sans le toucher, dans

sa chute, de sorte qu'on aurait V = ^ 2gli', La question principale consiste évidemment encore à rechercher, comme aux n*"* 312 et 318, le plus grand allongement subi par ce prisme à l'instant où le mouvement de descente de Q et Q' a cessé, et où la pression se trouve réduite à celle de Q + Q'; mais, pour le découvrir, il ne suffirait pas ici d'égaler simplement la demi-force vive yM'V'*, ou Q'H' à la quantité de travail qui est développée, dans le même sens, par les poids Q, Q', et, en sens contraire, par la résistance élastique AEi, du prisme, durant la première période de l'allongement; car, par suite de la réaction qui a lieu à l'instant du choc, les masses M et M' subissent, de leur côté, une compression, une déformation qui entraîne, avec elle, une perte plus ou moins grande de travail ou de force vive (161) qu'il faut, au préalable, savoir évaluer. Or il est clair que cette déformation, cette perle est plus faible que celle qui aurait lieu si la tige de suspension était parfaitement inextensible, et un peu plus forte que celle qui surviendrait si le corps Q, quoique primitivement en

45o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

repos, était entièrement libre de se mouvoir sous ^es efforts de réaction que lui fail éprouver Q', animé de la vitesse V; et ceci offre un nouvel exemple de l'impossibilité où Ton se trouve de déterminer les véritables circonstances. du choc, quand on ignore la loi de la compressibilité des corps qui y sont soumis.

Pour en apercevoir le motif, on reprendra les raisonnements des n~ 154 et suivants, et l'on remarquera que, si Ton nomme v et v ' les degrés de vitesse, perdu par le premier el gagné par le second, pendant la durée du temps infiniment

petit /, on n'a plus ici simplement F = M- =: M' — et partant

Mt' = M'i'' pour chacun des instants de la compression, mais bien

F-Q' = M'-^, F-+-Q-AEf=:My;

le produit AEi représentant toujours (236), l'effort de réaction opposé, dans tout l'intervalle où l'élasticité demeure parfaite, par la tige de suspension dont on néglige ici le poids et l'inertie des parties, comme étant insensibles par rapport à ceux des masses M et M'.

En effet, si les poids Q et Q' ainsi que les efforts AEi opposés par cette tige, étaient comparables à l'intensité de la force de réaction F, ce qui arriverait pour des corps très-compressibles, il faudrait bien avoir égard à leur influence qui consiste ^ augmenter ou à diminuer cette intensité, suivant le sens indiqué par les signes -f- et — , dont ils sont précédés dans les équations ci-dessus. Or, comme la première donne pour F

la valeur Q' n- M' -- ? on peut bien remplacer cette valeur dans

la deuxième, ce qui donne simplement

• Q' + M'-^ H- Q - AEi = M-,

OU

(0 H- Q' — AEi ) t = Mv-'Wv' ;

mais cette nouvelle égalité ne peut pas servir immédiatement à faire trouver les quantités de mouvement perdues et gagnées

à chacun des instants du choc, ni par conséquent celle qui a lieu après sa durée, comme cela arriverait dans le cas déjà cité des corps entièrement libres.

Supposant, au contraire, que la résistance à la compression, des masses M et M', qui subissent directement l'action du choc, soit très-grande par rapport à leurs poids P et Q et à la résistance AEi de la tige, ou, ce qui revient au même, supposant que leurs impressions réciproques, pendant le choc, soient comme insensibles par rapport aux allongements /= iL, éprouvés par celte tige, alors on retombera dans la condition F = M</ = MV, en vertu de laquelle M et M' prennent (155) la vitesse commune

avant que la tige soit allongée d'une manière appréciable; par suite, elles agiront, sur cette même tige, avec une quantité de mouvement (M ■+- M') V, == M'V, ou une force vive initiale mesurée simplement par

M' (V * oO'^H'

au lieu de M' V'% et à laquelle correspond une perte antérieur« mesurée, à son tour (161 ), par l'expression

puisque les corps sont ici censés ne point se quitter après Tinstant qui suit la première impression (159).

Que si d'ailleurs la masse M était, elle-même, déjà animée d'une vitesse V^, dirigée ou non dans le sens de V, et à laquelle correspondrait une certaine valeur donnée de rallongement / du prisme, alors on aurait ( 163) pour mesurer, dans les mêmes hypothèses, la vitesse et la force vive communes à ces

deux corps, à l'instant où le choc a cessé,

les signes supérieurs de rambiguité±, devant être adoptés dans le premier cas où Q marche dans le sens de Q', et les signes inférieurs dans le deuxième.

Ces préliminaires étant admis, rien n*estplus facile, comme on va le voir, que d'appliquer au cas général qui nous occupe les différentes considérations exposées dans les numéros qui précèdent.

324. Méthodes et formules pour apprécier les effets d'un tel choc. — Sous le point de vue de la résistance des prismes, on n'a point à s'occuper de ce qui survient après la première période de l'allongement, puisqu'on sait, par Texpérience, que, si la limite d'élasticité naturelle n'y a point été atteinte, elle ne le sera pas, à fortiori, dans les oscillations suivantes, où l'amplitude des excursions de la charge va sans cesse en diminuant ; du moins, il ne paraît pas qu'on doive ici admettre cette cause, encore mal définie (24'9 et suivants), et qui ferait dépendre la résistance élastique, de l'influence du temps ou du nombre, de la répétition des effets, même en deçà de la fimite dont il s'agit.

Méthode générale. — Ayant appris, ci-dessus, à calculer approximativement la force vive initiale

(M + M')VÎ, ou (Q + Q')^,

commune aux deux masses, M et M', à la fin du choc dont la durée est censée extrêmement petite par rapport à celle de la première période du mouvement, où l'allongement du prisme, de /' qu'il était d'abord sous l'influence de la charge permanente, Q (313 et 318), devient, je appose, V, à l'instant où la masse M + M' est réduite au repos; il ne s'agira, en vertu du principe des n"** 136 et 137, ainsi que des observations

déjà faîles aux n**' 312 el suivants, que de rechercher si la moitié de cette force vive, augmentée de la quantité de travail (Q-H Q')(L' — ^') qu*y ajoute la pesanteur pendant la descente effective des deux corps de la hauteur L' — /', plus encore, de celle que suppose l'allongement primitif, /', du prisme, et qui, dans Thypothèse d'une élasticité parfaite, el où la masse M se trouverait au repos à l'instant du choc, peut

OL être mesurée (312) par le produit iQ/' = tQtê^" ïAELi'S

il ne s'agira, disons-nous, que de voir si la somme de ces quantités surpasse ou non la résistance vive d'élasticité, T, = T'g AL, ou la résistance vive de rupture, Tr = T^ AL(247 j, dont les coefficients, T^, T,., sont donnés par les Tables des n*** 275, 296 et suivants, pour être en mesure de reconnaître, à l'aide d'un calcul facile et dont nous offrirons un exemple dans la partie des applications, s'il y a chance que l'élasticité du prisme soit énervée par les effets qui succèdent au choc, ou que la rupture immédiate s'ensuive. A l'aide dû principe déjà cité, et des courbes qui expriment {PL Ilyfig. 47 ©l 48, n~ 274- et 290) la loi des allongements des prismes de diverses substances, on pourra également étudier, par des constructions ou des tâtonnements faciles, les particularités essentielles du phénomène de l'allongement produit sous l'influence de la vitesse initiale et des efforts exercés par les poids réunis des deux charges. Mais, en supposant, comme au n° 318 et comme il convient généralement de le faire dans les projets d'établissement des constructions, qu'on limite la question ' au cas où ces effets doivent laisser l'élasticité du prisme intacte, il deviendra possible encore de soumettre directement ces circonstances au calcul.

Allongement maximum dans r hypothèse d'une élasticité parfaite. — En limitant la question au cas où la charge Q se trouve au repos à l'instant du choc, et nommant toujours L le plus grand allongement subi par le prisme, ou I rallongement proportionnel qui lui correspond, sa valeur s'obtiendra au moyen de l'équation

(Q -+- Q') ^ + (Q -f- Q') (1 - I') L 4- i AELi'» -~ I AELP, ^8

qui exprime précisément que l'égalité a lieu entre les diverses quantités dont il vieiit d'être parlé ci-dessus, attendu que» dans l'hypothèse d'une élasticité parfaite, le produit j AELI^ mesure (247) la résistance vive totale, T„ du prisme.

On mettra cette équation sous une forme plus simple el plus commode pour le calcul ou la discussion géométrique, si,

après avoir multiplié tous ses termes par la fraction 7-=» on

Ali

observe que l'on a

L'-IL, Q=AEi'.= AE^, ou^=/':=^, 11^ = ^''

et qu'on pose, en outre, par analogie,

AE ~ L ' AE "" '

i'' et l" représenlant ainsi l'allongement proportionnel et rallongement effectif que subirait le prisme sous un effort permanent égal au poids Q' du corps choquant. Cette équation prendra, en effet, la forme

L ZL J Vf + 2(/' -+- /") (L' - /' ) -f- V' = U\

et donnera, par les méthodes connues, en posant de nouveau, pour abréger (322),

L ou IL =1 /' -4- r± i/n 4- p.

double valeur dont la plus grande doit, comme au n** 318, correspondre toujours au maximum de l'allongement, et la plus petite à son minimum si elle est positive, ou au maximum de raccourcissement subi par le prisme, dans son oscillation en retour, si elle est, au contraire, négative; c'est-à-dire si elle doit être portée {PL Ilyfig- 5i) en sens opposé par rapporta l'extrémité inférieure, B, du prisme considéré dans son étal

naturel. Mais, d'après ce qui a déjà été remarqué au n" 320, ce dernier résultat est sujet à restriction, et suppose, tout au moins, que les poids Q etQ', demeurent assez unis entre eux et avec la barre, par suite des déformations ou résistances accidentelles qui naîtraient du choc, pour qu'ils ne puissent se séparer aux instants où la réaction élastique du prisme vient à s'exercer en sens contraire du mouvement acquis dans l'oscillation en retour. Afin d'éviter d'interrompre le fil des idées, nous ferons, pour le moment, abstraction de ces circonstances particulières, sauf à y revenir plus tard, quand il s'agira des applications spéciales de cette théorie du mouvement oscillatoire.

Équation fondamentale du mouvement, — Le principe des forces vives (136 et 137) mettra pareillement à même de découvrir, pour le cas dont il s'agit, la relation qui sert à calculer la vitesse V, commune aux deux masses M et M', à un instant quelconque de leur mouvement, par exemple, à celui qui correspond à un allongement donné, /= zL, pourvu qu'il soit ici permis encore (313) de négliger l'influence due à l'inertie et au poids des parties matérielles du prisme. Car l'accroissement (M -h M')(V' — Vf) qu'aura reçu la force vive de ces masses, depuis l'origine du mouvement, devra être égal au double delà quantité de travail (Q -i-Q')(^— /') développée, sur elles, par la pesanteur, pendant leur descente de la hauteur / — /', diminuée du double de la quantité de

travail,

AK

iAEL(l^-l'»)=:j^(/^ -/''),

qui est développée, en sens contraire, par la résistance élastique, AEj, du prisme, pendant la durée de cette même descente ; c'est-à-dire qu'on aura, pour déterminer V, au moyen de /, la nouvelle relation

lQ±inv'-(Q :^-^-V| = .(Q 4- Q')(/ - /') -^(/'- /"),

qui, en multipliant tous ses termes par-p» et en ayant égard aux observations et conventions ci-dessus, devient successi-

vemeni

par des transformations algébriques bien connues, mais qu'il nous eût été très-facile d'éviter, ou plutôt de suppléer entièrement, tant dans cette question que dans la précédente, si nous n'avions voulu montrer, par un nouvel exemple, comment l'application du principe des forces vives peut conduire directement au but, sans recourir aux données que nous avons précédemment acquises sur la nature du mouvement oscillatoire des prismes.

325. Interprétation géométrique des résultats et lois du mouvement qui succède au choc, — Rien n'est plus simple que d'interpréter dans le langage géométrique, les résultats auxquels on vient de parvenir en dernier lieu, et dont l'analogie avec ceux qui ont été exposés, pour des cas particuliers, dans les n"' 313 et suivants, est facile à saisir : BC représentant [PL 11^ fig^ 5i) la quantité /', dont, par hypothèse, s'est allongé primitivement le prisme vertical, ÂB, sous la charge permanente Q, et CO celle, /", dont il s'allongerait par l'influence immédiate deQ', BO représentera pareillement l'allongement total de stabilité, /' -4- /", qui entre dans les formules ci-dessus, et que prendrait le prisme sous l'action d'une charge unique Q -i- Q', allongement qui, en vertu du principe établi à la fin du n° 312, doit correspondre aussi à l'instant où la vitesse Vi ayant atteint sa valeur maximum, l'inertie ne joue plus aucun rôle, et où l'extrémité inférieure, B, du prisme, atteint elle-même le centre au milieu de ses courses ascendantes et descendantes, dans le mouvement oscillatoire qui succède au choc.

Allongement et contraction maximum. — D'après cela, si l'on porte, sur l'ordonnée ou horizontale du point, C,qui indique la position initiale de cette extrémité, la distance

CN'^-r-'» il est évident que l'hypoténuse "1

ON

= \JhC -1- QW'—UV" + ^

DBS RÉSISTANCES. 4^7

sera le rayon r,, d'un cercle dont les ii^tersections , B" et D", avec la direction prolongée de Taxe du prisme, donneront les positions extrêmes de B. On aura donc aussi

'' :i^ BO + OD" =zr -h r -f- i/r^ -4- ^,

" = OB'^ - OB = i/n -h X^ - ( /' -h /" ) ,

BB

qui sont précisément, Tune la plus petiie, et l'autre la plus grande des valeurs absolues de L', trouvées ci-dessus (324-), par la voie purement analytique.

Vitesses et allongements quelconques. — Supposons que ^ représente l'une des positions intermédiaires de B, pendant son mouvement descendant, de sorte que Br soit précisément égal à /. Si Ton élève, en ce point et au cercle mentionné, l'ordonnée yW dont le carré

/M' =0M' -Oy=0^' -(jrB-OB)»

cette ordonnée représentera précisément la valeur de 7- , que

fournit la dernière des équations du n° 324; ce qui prouve que toutes les circonstances du mouvement oscillatoire, déjà étudiées dans les n*** 318 et suivants , pour le cas particulier d'une seule masse M, animée de la vitesse Vi , se reproduisent exactement ici, pourvu qu'on substitue la considération du cercle B^N'D^B" à celle des cercles B»DB, B'ND'B', etc.; conséquence évidente à priori, puisque le mouvement oscillatoire des deux masses, M et M', lorsqu'elles sont une fois réunies et que l'élasticité n'est eu aucun instant altérée, ne saurait différer de celui d'une masse unique, M H- M', suspendue à l'extrémité inférieure du prisme, AB, et qui aurait reçu, en C, une vitesse initiale, Vi, capable de lui faire atteindre l'une ou l'autre des positions extrêmes D" et B". Amplitude^ durée et nombre des oscillations. — Ces rappro-

chemenls el tout ce qui a élé exposé aux n**' 318 et suivants, nous dispensent d'entrer dans la discussion détaillée des autres particularités du mouvement, relatives au cas général qui nous occupe, et dont la plus remarquable est, sans contredit encore, l'indépendance complète qui existe entre le nombre, la durée des oscillations et leur amplitude, l'intensité du choc ou la vitesse du mouvement. On aura, en effet (315), pour calculer cette durée,

^circ.B"N"D"B'' inn stt

/r,.ON' ~ k,n ~" A'.

/T~rr ^ /

gkE

attendu qu'ici les quantités

dont la dernière exprime aussi la demi-amplitude des oscillations, remplacent celles qui ont été désignées simplement par k et r au n** 319.

Quant au nombre N, des oscillations par seconde, on le trouvera au moyen des formules

T ""2i7r""27rV /H-/""^a7r V(Qh-Q')L'

qui sont pareillement indépendants de la vitesse initiale, Vi, et de l'amplitude, ^r., des oscillations du prisme, mais non pas de la charge Q + Q', qui le sollicite d'une manière constante, à partir de l'instant du choc. Ce dernier pourrait d'ailleurs avoir lieu dans un sens contraire et pour une position, de Q ou de B, j par exemple, très-différente de C, sans qu'il y eût de changé autre chose que la valeur de V, (322) et la grandeur de la demi-amplitude ou du rayon r, , du nouveau cercle, B"N'D"B'', à considérer, lequel aurait toujours pour centre le

point 0, et pour ordonnée jM', en j, la nouvelle valeur de tt;

DBS RÉSISTANCES. 4%

ce qui donnerait encore

r. ou 0M'=rV^0j'-4-7M''=i/07-f-^,

et mettrait ainsi en mesure de discuter toutes les circonstances du nouveau mouvement.

Formules analytiques du mouvement. — Il nous suffira ici de faire connaître celles qui concernent spécialement le temps, et qui peuvent être immédiatement déduites de leurs correspondantes des n"^' 319 et suivants. Remarquant à cet effet que, dans le cas actuel, ce temps doit être compté à partir de Tépoque où Texlrémité inférieure, B, du prisme, est en C, on verra (319) que, si Ton nomme, en générai, T sa valeur, en secondes, relative à la position quelconque, j, de celte extrémité, ou à l'allongement total, B^ = /, subi par le prisme, sa relation avec l'arc N'M', ou l'angle N'OM', sera ici donnée par les formules

, arcN'M' arcN'M' angle N'OM' , ^,^^, , »,

^ = krrîm--l^;K-=-^. ' angleN'OM'^y^X

Nommant, de plus, 'F le temps qui correspond à l'arc B"N', ou à l'angle B''ON', et qui est également donné par le rapport Inverse du nombre constant, /fi, à cet angle censé mesuré toujours dans le cercle qui a l'unité pour raj^on, il sera aisé d'apercevoir quelle est la nature des changements à effectuer, tant dans les formules du n"* 319 que dans toutes celles du n^ 322, pour obtenir les expressions qui appartiennent au cas

actuel.

Ainsi, par exemple, on aura pour calculer, à un instant quelconque indiqué par la valeur de T, l'allongement / ou B/, subi par le prisme entier, AB,

/= BO -f- Oj = /'-+-/' - OM''. cosB" OM' = /' + r~r,cos/r.(T-t-r),

attendu que le cosinus de l'angle obtus B"OM', doit ici changer de signe.

En employant les transformations trigonométriques indi-

46o XÉGàNIQUE INDUSTRIELLE.

quées dans la Noie du n** 319, el observant qu'ici encore on a

cos^,T'=cosB"ON'=^ = ;;, et sin/r.T' = g^=^. celle formule prendra la forme plus explicile

/ = r-4-r(i— cos/r.Tj-f-^sinA-.T.

On aura donc aussi (321 el 322), pour calculer, en général, Tallongemenl 2, subi, au même instanl, par la parlie quelconque Ab = a: du prisme, la formule

z = /^ = J [/' + r - n cos/r. (T -f- T)]

=z-=-x -h -r^(i — cos/f,T) H- V-r sin /r, T ;

dans laquelle /', l" el V, oni les valeurs

Il QJ^ /// Q^^ • V Q^ V v

~ae' ae' '^'-q + q''^ — /'4-r ' .

déjà indiqués précédemment (322el324) , et où il serait facile de tenir compte (322) des termes relatifs à l'influence exercée par le poids des parties matérielles du prisme (*).

(*) Pour le cas qui nous occupe, Texprcssion générale de z, déduite d'une analyse semblable à celle qui est indiquée dans la Note du n" 322, et où l'oo tient compte de l'inertie des molécules du prisme, devient, en conseryant toujours à B^ la même signification

,ADL AD . , (Q + Q')^

„„ Binmx TQ' . . //f E ^ (Q + Q') „ . /l" . . fgf- ^1.

forme sous laquelle elle conduit à des résultats qui cadrent également avec

ceux du texte ci-dessns, quand ^ ^v ^^ "^ ^^^^ censés des quantités trèspetites.

C'est, au surplus^ un résultat auquel on arrive directement d'après le prin-

DBS RÉSISTANCES. 4^1

On remarquera, au surplus, que, pour rentrer dans les conditions des n*^ 318 et suivants, il suffirait de supposer /' et Q nuls, dans les formules ci-dessus, sauf ensuite à remplacer, dans les résultats, /" et Q' par V et Q, puisqu'on exprimerait, par là, que le mouvement du prisme est simplement produit par le choc d'une masse, M' ou M, animée de la vitesse V ou V, , et qui viendrait rencontrer verticalement un obstacle, une saillie quelconques, placés à l'extrémité inférieure, B, de ce prisme.