V.=:/..BN
k ayant une valeur indépendante de V, et toujours égale à
i/^ =r l/TTr-» on voit qu'après avoir pris BC = /', d'après
ce qui est indiqué ci-dessus, et BN = —, il ne restera qu'à
décrire, du point C, comme centre, avec CN pour rayon, une circonférence de cercle coupant AB, prolongée, aux points B' et D', pour être en état de calculer et de discuter toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui nous occupe.
Allongement maximum. — D'après ces données, on aura
immédiatement, pour calculer le plus grand allongement, IL, la formule
qui, en remplaçant /' et /r par leurs valeurs ci-dessus, prend la forme plus générale
BD' ou IL- ^^ -^ t /Q' L' , QL y,
BD ou IL^-.y^. + ^V..
sous laquelle cet allongement eût été obtenu directement, en résolvant l'équation ci* dessus, du deuxième degré, par rapport à IL. On a donc aussi, pour le plus grand allongement proportionnel.
AE V A^E» AEgL
Effort qui correspond à rallongement maximum. — L'effort P, qui serait capable de produire et de maintenir, d'une manière statique ou permanente (312), le plus grand allongement du prisme, étant mesuré (236), par le produit AEI, en deçà de la limite où Télasticité cesse de demeurer parfaite, il en résulte que Ton aura, en outre, pour calculer cet effort,
P-Q + y/Q^-f-QAE|l:..Q-hQy/.+^,
de sorte que l'excès de cet effort sur celui de la charge Q, aussi
bien que l'excès d'allongement \/ ^' "^ tt» ^^^'^ P^"* '® prisme
sousTinfluence du mouvement acquis, croîtront, l'un et l'autre, a>ec la grandeur de la vitesse initiale, V,, mais croîtront d'une manière d'autant plus lente ou moins sensible que la longueur absolue, L, de ce prisme, sera, elle-même, plus considérable.
Rien ne sera plus facile d'ailleurs que de s'assurer, dans chaque cas, au moyen de ces difiFérentes formules, si la limite d'élasticité n'a pas été atteinte ou entièrement dépassée.
application numérique. — Prenant pour exemple les don-
nées du n" 317, où Ton a
/' = o™,oo2, Ir- = 2^-^ = 4qo4 ,5,
^n trouvera, en supposant seulement la vitesse initiale de la charge, V, = o'",2o, par seconde,
,,, , V; o,o4xo,oo2 Q ^
et, pour le plus grand allongement subi par le prisme.
BD'= o",oo2 -h v'o, 000012 i5 = o'",oo2 H-o^jOoSS =o^-%oo55;
ce qui répond, attendu qu'ici L = 10", à un allonj^ement proportionnel ou par mètre, I, de -î^o"*,oo55 =: o"',()oo55, sous lequel l'élasticité serait, en effet, sensiblement aliérce (292) pour certains fers, quoique ici la charge soit seulement de 4 kilogrammes par millimètre carré (310), et que la vitesse initiale V, =0™, 2, corresponde à une hauteur de chute qui surpasse à peine o"»,oo2 ou 2 millimètres.
On trouvera de même, pour TefTort P, qui serait capable de
produire ce plus grand allongement,
P = AEl = Sooooooo*'* X o ,000 55 = 2.7 5oo^«,
dont Texcès, 17500 kilogrammes sur le poids Q = 10000 kilogrammes, de la charjre, représente proprement la part qui doit êire attribuée à Tinfluence de l'inertie ou du mouvement acquis par cette cliarge.
Max'imum de contraction, — Revenons à nos premières considérations, et remarquons que la partie BB' de l'oscillatcon en retour ou ascendante, de l'extrémité inférieure, B, du prisme, correspondra, dans l'hypothèse où la charge Q lui serait invariablement attachée, à un véritable accourcissement, à une véritable contraction subis par ce prisme, et pourra à son leur être calculée par la formule
V = B'C - BC = CN — /' = \Jl"'
BB' = B'C - BC = CN — r =: 1/ P-f- ^ - l\
qui, dans le cas pariicuHer ci-dessus, donnera simplcmenl
BB' = o™, oo35 — o™, 002 = o*", ooi5,
ou un accourcissemenl de o"*,oooi5 par mèlre de longueur seulement. Mais nous reviendrons, d'une manière plus particulière sur les réflexions que suggère ce résultat du calcul, quand nous aurons exposé quelques autres données essentielles de la question.
Énoncé et forme particulière des résultats. — Les formules qui précèdent sont susceptibles d*un énoncé très-simple en
langage ordinaire; car si Ton observe (313) que »=r -^i et si
Ton nomme II, la hauteur — ^ due à la vitesse V,, il en résulté" lera, par exemple, pour le plus grand allongement que subii
le prisme, sous l'influence de cette vitesse,
ce qui prouve que sa valeur surpasse celle de l'allongement de stabilité, /', relative à la charge Q, d'une quantité égale à la moyenne proportionnelle entre /' et sa valeur augmentée du double de IIi : moyenne qui donne ainsi la mesure directe de l'influence exercée par l'inertie ou le mouvement de Q.
319. Formules relatives aux diverses circonstances du mouvement oscillatoire de la charge. — Pour être en mesure de discuter complètement ces circonstances, comme on l'a fait dans les précédents numéros, on nommera en général, alin d'abréger, r la demi-amplitHde, ou le rayon CN = CB' = CD' (PI. Il^fg' 5i), du nouveau cercle, et T' le temps que, dans ses oscillations périodiques, l'extrémité B de la tige meta parcourir l'intervalle BB'. Ce rayon et ce temps, qui sont déterminés par les relations de la figure, se calculeront directement au moyen des formules
4///"^^? T' a'-cB'^ angleB'CN
dont la dernière suppose qu'on ait préalablement calculé Tangle B'CN, à Taide des Tables mentionnées au n*» 314, et de Tune ou de l'autre des relations
BC ou /' = rcosB'CN, BN === y 1= rsinB'CN, qui donnent cosB'CN ou cos/fT'irz-, sinB'CN ou sin/rï'=^.
Expression du temps et des allongements variables. — Comme, en continuant de nommer ï le temps que l'extrémité inférieure de la tige met à décrire l'espace quelconque, Bm = /, auquel correspond l'arc MN sur le cercle B'ND'B', on a pareillement
-, arcMN angleNCM , -,^__ ,„
T = —j r^ — ^ , ou angleISCM=:/fï,
il en résultera, pour calculer à un instant donné cet espace qui représente rallongement total alors subi par le prisme, la formule
Bm ou / — BC — Cm = r— CM.cosB'CM
— r-rcos/.(TH-r), puisqu'on a
angleB'CM = angleB'CN -f- angleNCM, et
angleB' CN = kT , angleNCM == /rT.
. Expression de la vitesse» — Quant à la vitesse dont la charge est animée au point quelconque, m, on la calculera, soit directement, au moyen de 1^ formule
V=:fr./nM = /f v/mc'~ mC =zk ^r' — (l' — ly,
soit par les Tables trigonomélriques, au moyen de la formule (*)
Vr=A-./iîM = /f CM.sinB'CM = /rrsin/i(T-f-r).
(') On p^ut mettre, sous une forme plus explicite, les expressions de V et
Enfin on aura toujours (316), pour calculer l'effort moteur variable, P, qui agit à Textrémité inférieure, B, du prisme, ainsi que l'allongement proportionnel, /, qui en résulte, aux divers instants du mouvement
formules dans lesquelles il faudra substituer à / la valeur déjà obtenue ci-dessus.
Amplitude, durée et nombre des oscillations, — S'il s'agit en particulier des oscillations entières exécutées par le prisme et sa charge, on observera que leur durée correspond ici encore (315) à un arc, NM, devenu égal à la circonférence entière ND'B'N = 27rr, à un angle, NCM, devenu égal à quatre droits et mesuré par 2 7r sur le cercle dont le rayon est l'unité, de sorte que cette durée et le nombre N des oscillations, par seconde, seront fournis par les formules
^^, /i: /QL, N--i-'--i-i/^^-
de /, et par suite ceUes de P et de i, en développant les valeurs de sin ^(T + T'J et cosA(T -i- T';, d'après les formules connues de la Trigonométrie; car on aura
V = hrtinkT cosAT' -f- kr cosiT sinAT' = kl' sinAT H- V, cosAT, /= /'— r cos AT'cos AT-h r sin AT'sin AT = /' — /' cosXT -+- ^ sin AT.
On trouvera de même, pour calculer directement les valeurs de T, au moyerr de celles de / et de V, la formule
^^ v{i'-i) v, ,— — -- — rr-. i'{r — i) V, V
ou bien
sinkT=.-^r^--il'^ty-L—Jy^ = ^^^[—^,
dans lesquelles on se rappellera d'ailleurs que
DES résistàmcbs. 4^9
Ces formules, qui coïncident avec celles du n'' 315, sont d'ailleurs indépendantes de la vitesse initiale, Vi, imprimée à la charge Q, aussi bien que de Tampliiude B'D'=::2r, de ses oscillations; par conséquent cette dernière peut décroître ou augmenter par des causes quelconques, sans que la nature du mouvement en soit modifiée, tant que la charge, la tension et rélasticité naturelles du prisme ne seront point changées. Enfin, il est évident, à priori, qu'on arriverait aux mêmes résultats, si Ton considérait en général le temps nécessaire pour que la charge ou Textrémilé inférieure B du prisme revînt à Tune quelconque des positions qu'elle peut successivement occuper, par exemple à la position B' qu'elle avait déjà dans Toscillation précédente ; car ce temps serait toujours mesuré par la circonférence entière, 2 7rr, du cercle B'MD'B', divisé par le produit kr.
320. Remarques et conséquences diverses, — L'accourcissement BB' (PL II, fig, 5i), qui a été calculé à la On du n** 318, et que subit le prisme dans le mouvement d'ascension de la charge, à laquelle, par hypothèse, il est étroitement lié, cet accourcissement étant généralement très-petit, par rapport à l'allongement maximum BD', qui lui correspond dans chaque cas, on voit qu'il sera inutile d'y avoir égard dans les questions relatives à la solidité des prismes; mais il n'en est pas moins utile de remarquer qu'en vertu de la compression qui en résulte, lors de ce mouvement de retour, le point d'attache supérieur, A, du prisme, se trouvera lui-même pressé ou choqué en vertu d'un effort absolument analogue à celui qui le sollicite dans l'oscillation descendante et dans la partie BD' de l'oscillation contraire. Supposant d'ailleurs, qu'en raison de sa longueur (268, 280 et suiv.), le prisme ne puisse fléchir à J'inslant où cet effort de compression atteint sa limite, on voit qu'il sera facile de calculer l'intensité de ce dernier au moyen de la formule P = AEi, qui s'applique aussi bien (236) à la contraction des prismes qu'à leur extension, tant que l'élasticîté naturelle n'est pas forcée.
On remarquera pareillement que, si la viiesse initiale, V,, supposée imprimée à la charge Q, dans la question du n"* 318, au lieu d'être dirigée du haut vers le bas, l'était en sens con-
traire, les mêmes considérations géométriques et les mêmes formules serviraient encore à faire trouver les lois du mouvement, pourvu toujours que la vitesse dont il s'agit, ou plutôt relTort maximum de compression qui en résulte, fût incapable de faire fléchir transversalement le prisme, puisqu*alors il surviendrait des soubresauts qui cesseraient d'être soumis aux lois indiquées par nos premières formules. Quant au cas où le prisme aurait une position renvei'sée par rapport à son appui A, la valeur de /', au lieu d'être portée de B en C, devrait l'être de B vers A; ce qui rendrait BB'>BD', ou les accourcissements plus grands que les allongements relatifs au mouve- . ment de retour, et, par suite, la contraction et les inflexions plus dangereuses que les extensions, à l'inverse de ce qui avait lieu dans les hypothèses précédentes.
Enlin, il est bien évident encore que, si, au lieu d'imprimer une vitesse initiale à la charge 0, on eût simplement fait subir au prisme, toujours lié invariablement à cette charge, un allongement primitif égal à B1V, ou une contraction primitive mesurée par BB', et sans vitesse acquise, qu'ensuite on l'eût abandonné à la libre action du poids Q, la loi du mouvement, l'étendue des excursions et la durée des oscillations eussent été exactement les mêmes que dans le cas précédent (*).
(*) Soit notamment, P' l'cfTort qui, njouté au poids Q de la charge, a pri* mitivement allonge le prisme de la quantité BD' = KC -h CD' = /' -j- r, sans vitesse acquise, on aura évidemment (234), si BD' n'excède pas l'allongement relatif à la limite d'élasticité
d'où Ton tire, attendu que /'==-—,
AE AE
ce qui fera connaître r, ou le rayon CN = CD', et partant la vitesse V, qui entre dans la première des équations du n* 319, laquelle donnera immédiatement
V, = y'^ (r' - /") = ^ y/W^^', expression oi'i P' est supposé plus grand que Q, de même que r ou CD', a été
DSS HfiSISTANGBS. 44 ' '
D'ailleurs les choses se passeraient tout différemment si la charge Q, au lieu d'être solidement fixée à rexirémiié inférieure du prisme, n'y était simplement retenue que par une saillie qui lui laissât la liberté de s'élever. En effet» cette charge, dans l'oscillation ascendante ou en retour, et à son passage par le point B {PL II,fig* 5i), qui correspond à l'état naturel du prisme, reprenant une vitesse égale et précisément contraire à la vitesse initiale, Vi, tandis qu'au même instant l'effort de réaction, la résistance élastique P de ce prisme devient nulle pour changer ensuite de sens ou de signe, il arriverait, dans cette circonstance, que le poids Q abandonnerait entièrement son support, et rejaillirait, en vertu de sa vitesse
acquise, Vi, jusqu'à la hauteur H, = — -t d'où il retomberait
en reprenant de nouveau la vitesse Y, en B; de là aussi résulterait un choc vif qui donnerait lieu, comme on le verra bientôt, à une perte de force vive, et serait immédiatement ^suivi d'une oscillation du prisme, et ainsi de suite alternativement. Mais comme, en réalité, le mouvement des parties matérielles du prisme ne peut, à cause de l'inertie, s'éteindre brusquement à chacun des instants où le poids Q vient è quitter son point d'appui inférieur, on voit que, pendant la montée de ce poids et sa descente de la hauteur Hi, le prisme exécute des vibrations plus ou moins rapides qui entraînent avec elles une certaine dépense de force vive, et ne permettent ni de supposer que la vitesse de rejaillissement de Q soit égale à la vitesse primitive Vi, ni de déterminer à priori^ du moins par un calcul facile, le lieu et Tépoque où s'opérera chacun des chocs; question étrangère, au surplus, à l'objet des applications que nqus avons ici en vue.
Quoi qu'il en soit, il ne faut pas oublier que les diverses circonstances du mouvement oscillatoire, jusqu'ici examinées, dérivent essentiellement de l'hypothèse que les efforts de
supposé plus ^rand que l' ou CD, et qui, par sa substitution dans les formules du numéro déjà cité, permettra d(> calculer toutes les circonstances du mouvement oscillatoire qui succède k l'instant où TefTort P vient a cesser, absolument comme si Ton s'était donné, à priori, la valeur de la vitesse initiale V^ correspondante à la position B du poids Q.
réaction du prisme demeurent exactement proportionnels aux allongements //, qu'il subit pour les positions correspondantes de son extrémité inférieure B. Or il est bien clair que ces mêmes circonstances se reproduiront toutes les fois que la force qui tend à ramener un corps matériel quelconque vers la position naturelle d'équilibre, dont il aurait été primitivement dérangé, sera soumise à une semblable loi, par rapport à la grandeur relative du déplacement que subit son point d'application; et, en particulier, les lois du mouvement oscillatoire, qui nous ont jusqu'ici occupé, sont aussi, pour de très- ■ petits déplacements des molécules, celles qui régissent le mouvement dont il a été parlé au n" 226, et auquel nous eussions pu dès lors appliquer les divers calculs et considérations qui précèdent, si nous n'avions craint de détourner trop longtemps l'attention du lecteur et de faire un double emploi.
321. Lois du mouvement des points intermédiaires du prisme {PI, II, Jig, 5i). — Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupé des circonstances que présente le mouvement de l'extrémité inférieure B du prisme, qui est directement soumise à l'action de la charge Q; mais il est facile de voir que celles de divers autres points de ce prisme, tels que b, par exemple, se déduiront sur-le-champ de cette considération très-simple, conséquence nécessaire de nos premières hypothèses (313), que : les allongements, en chacun de ces points, demeurent, à tous les instants, proportionnels à leur distance Ab de l'extrémité A, toujours supposée fixe.
Nommant, en effet, z l'allongement absolu que subit, à la fin du temps T, la partie kb de la tige, dont l'étendue sera représentée par la lettre x, et soit pareillement v la vitesse acquise par le point b, au même instant, on aura simplement
.kb X kb X
pour calculer z et v, au moyen des valeurs correspondantes / et V, relatives à l'extrémité inférieure B, dont le mouvement est, d'après ce qui précède, exactement connu pour chacune
des valeurs de T, ou du nombre de secondes écoulées depuis l'origine du mouvement.
En particulier, il résulte de cette considération que si les divers points b sont tous au repos à l'origine du mouvement, ils y reviendront en même temps ou simultanément avec l'extrémité B; qu'ils atteindront pareillement leur plus grande vitesse à un même instant, et qu'enfin leurs oscillations entières, comme leurs demi-oscillations ascendantes et descendantes, seront de même durée, s'accompliront dans le même temps; ce qui constitue véritablement ce qu'on est convenu de nommer : mouvements isochrones^ isochronisme des oscillations.
Quant aux autres circonstances du mouvement relatives à chacun des points b du prisme, il sera également très-facile de les discuter au moyen des relations ci-dessus entre les quantités z, / et x, u, Y et x, qui changent continuellement avec la durée du temps T, écoulé depuis l'époque où l'extré- , mité inférieure du prisme était en B.
En effet, b étant censé la position initiale contemporaine à celle de B du point de la tige dont on veut particulièrement discuter la loi du mouvement, il ne s'agira que de porter de b vers B, sur AB, la distance
ic^BCf = /'-,
qui, à tous les instants, demeure, avec BC, ou /', dans le rapport invariable de A6 à AB, pour obtenir l'allongement de stabilité (312) qui aurait lieu, au point b, sous l'action permanente de la charge Q. Prenant ensuite le point c ainsi trouvé pour centre d'un nouveau cercle ayant bc pour rayon, ce cercle qui sera semblable au premier, et semblablement situé par rapport au point A, aura toutes ses lignes homologues proportionnelles et parallèles; et par conséquent à l'allongement B/77, à l'ordonnée ou sinus mn et à l'arc B/i, qui appartiennent au point B, à la fin du temps quelconque T, correspondront, pour le cercle (c), un allongement, br=z, une ordonnée rs et un arc bs, qui leur sont homologues ou proportionnels, et qui auront entre eux et avec l'angle
bcs=hCn = kT (314),
précisément les mêmes relations ou rapports que les premiers dans le cercle (C); de sorte que la discussion des n~ 314- et suivants, relative à la périodicité, à la loi du mouvement, leur est immédiatement applicable, la grandeur absolue des lignes étant seule changée.
Quant au cas (318 et suiv.) où cette charge, au lieu d'être en repos à l'origine du mouvement, reçoit une vitesse initiale V,, comme on néglige ici complètement l'influence de l'inertie des parties matérielles du prisme, ou que le mouvement est censé se transmettre instantanément de l'une à l'autre de ses extrémités, il est é\ident que les mêmes considérations lui seront encore applicables, et qu'en particulier, si du point c, comme centre, avec la ligne cb' ou cd\ proportionnelle à CD', pour rayon, on décrit une nouvelle circonférence de cercle homologue à celle D'NB'D', elle mettra en état encore de discuter directement toutes les circonstances du mouvement dont est animé le point 6, comme on l'a fait par le moyen de cette dernière, dans les endroits déjà cités.
322. Formules analytiques qui représentent ces lois. — D'après les indications précédentes, rien ne sera plus facile que d'arriver à ces formules dont l'expression concise offre à ceux qui savent les lire une interprétation non moins Qdèle que les relations intuitives des figures, de tous les phénomènes de mouvement qu'elles sont destinées à reproduire par le calcul.
allongement absolu et vitesse, — Ainsi, par exemple, dans la question du n° 31i< qui se rapporte au cas où la charge Q agit sans vitesse acquise, on aura, pour déterminer à chaque instant les valeurs de l'allongement et de la vitesse qui se rapportent au point quelconque b,
Ix l'x br ou 2 = — z= — ( I — cosA-T),
v = \^=^kl^ = hl^smkT = kzs\iïkT,
dans lesquelles on a toujours
AL y /' V QL
ei qui se déduisent immédiatement de celles du même numéro, en y multipliant les valeurs de / et de V qu'elles donnent par le rapport y^Xw' conformément à ce qui a été
indiqué au commencement du n"" 321.
On aura de même, pour exprimer à tous les instants les lois du mouvement dans le cas du n*" 318 et suivants, où la charge Q possède la vitesse initiale V,, les formules plus générales,
z=~ = ^[/'-rcosA(T-f-r)] = ^(i~cos*T]^-^sinA-T,
i'=vJ = ^a:sin*(T-f-r)r^-^:rsin*T-h^cosA-T,
qui se déduisent, de la même manière, de celles du n" 319 et de la Note qui l'accompagne.
Tension des éléments du prisme. — Les expressions de,P et de I du n'' 319, ne dépendant explicitement que du temps T, ainsi que d'angles et de rapports de lignes qui restent les mêmes dans les cercles relatifs au point quelconque h [PL 11^ Jig. 5i), il en résulte que les valeurs de ces quantités sont indépendantes de la position particulière de ce point; conséquence nécessaire encore des hypothèses d'où nous sommes partis, et qui n'aurait plus lieu, avec une exactitude suffisante, si la masse du prisme devenait comparable à celle de la charge Q, ou en était, par exemple, le dixième ou le vingtième, puisqu'alors l'influence de la gravité et de l'inertie, sur ses propres parties, commencerait à devenir appréciable (*).
( * ) La solution générale de la question qui nous occupe dépend de Tanalyse aux difierentielles partielles, dont M. Navier a offert do belles applications dans son important Ouvrage, sur les ponts suspendus, publié en i8a3. En conservant toutes les dénominations jusqu'ici admises, et désignant, de plus, comme au i\^ 310, par D, la densité ou le poids de Tonité de volume de la substance qui
Influence particulière du poids des éléments, — 11 sera toujours facile d*en tenir compte au moyen des formules
Goiistitue la tigo, les équations à intégrer reviennent aux deux suivantes :
</»s EtPz <Pz AE dz
<tr* — »^"*~^D^'' ^«""^""^^ 7û'
La première exprime l'état varié de la tranche située à la distance x de Tex* trémilé supérieure A du prisme, et la deuxième une condition qui doit être satis(inte, à tous les instants, pour Textrémité inférieure B, où l'on a x = L, et où l'on suppose que la char(|[e Q ait été appliquée, dès Torigine du mouvement, avec la vitesse V,, la tige elle-même étant, à cet instant, au repos dans toute son étendue, c'est-à-dire dans l'état d'allongement où on l'a considérée au n» 310.
On satisHiit complètement à ces équations et conditions au moyen de la valeur générale
ADL AD . Q^
'" ÀE "^^aAE* "^Ae'
dans laquelle
imL-f-sinamL
4 sinmL
et le signe S indique la somme d'une suite de termes semblables à ceux de IVxpression qui le suit, et où l'on mettrait successivement pour tn, les différentes valeurs positives fournies par l'équation transcendante
ADL m L tang m L = —~ «
dont, comme on sait, les racines sont toutes réelles et en nombre infini.
La valeur ci-dessus de z, étant différentiée successivement par rapport à T et à X, donnera d'ailleurs |H>ur déterminer la vitesse v et l'allongement proportionnel I, ou par mètre, d'un élément quelconque du prisme,
«'s Q ^« sinm.r ^ /FË/ . . /?! « . ft /ëE \
</x®"'"" AE "aE '^'^ÂE
-^SB.cosmx(cosyÇmT-.my/Jv,casy/Ç«T)
Dans le cas particulier où le poids ADL, de la tige de suspension est trèspetit vis-à-vis de celui de la charge Q, l'équation transcendante ci -dessus
donne approximativement m L = y ^^i pour la plus faible de ses racines.
BBS RÉSISTANCES. 447
établies au n** 310, et en observant que les efiForts résultant de ce poids en chacun des points de AB doivent simplement s'a-
et fnL= nit -i rr' pour chacune des suivantes dont le rang est ici désigné
par n ; ce qui suppose qu'on néglige seulement les quantités dont le rapport
ADL
à l'unité est moindre que le carré de la fraction —rr-* D'après cela, on démontre
sans difficulté que les termes qui, dans les développements de sinus et de cosinus, compris sous le signo S des expressions de r, t^ et f, correspondent h ces dernières valeurs de wL, sont tous négligeables par rapport à ceux que
fournit la ]>remière ou m = \/ ■frri ce qui, au degré d'approximation indiqué,
fait coïncider ces mêmes expressions avec leurs correspondantes du texte.
Au surplus, les formules générales de cette ISote, quoique déduites d'une analyse analogue à celle dont s'est sen'i M. Xavier aux §§ X et XI de l'Ouvrage déjà cité, en diflërent néanmoins quant au fond, attendu que cet illustre ingénieur suppose qu'à l'instant où la charge Q reçoit la vitesse initiale V,, le prisme ait déjà pris, sous cette charge, l'allongement de stabilité dont nous avons parlé aux n^* 310, 312 et suivants; ce qui fait disparaître, des séries cidessus, tous les termes qui, étant indépendants de Y,, expriment la loi du mouvement vibratoire, relatif au cas oii le poids Q agirait sans vitesse antérieurement acquise. Dans quelques circonstances, la question peut, en effet, se présenter sous ce double aspect; mais il nous a semblé utile, tout en justifiant les résultats particuliers du texte, de faire connaître ici la solution qui se rapporte à l'hypothèse la plus générale, et qui conduit aussi aux plus grandes valeurs des allongements subis par les prismes.
D'après ce que l'on reconnaît d'ailleurs touchant les séries de la forme de
celles qui nous occupent, et tout ce qu'en a dit, en particulier, M. Navier, aux
endroits déjà cités de son savant Ouvrage, il est inutile d'insister sur ce qui
arrive dans le cas où le poids Q, étant à l'inverse très-petit vis-à-vis de celui
, . , (2/i-M)7rQ ,. , ADL
du pribme, on a approximativement mL = ^-jr r— — » au lieu ac mt -k —^
\l -+- ADL niti^
non plus que sur lo défaut d'isochronisme des mouvements exécutés, dans le cas général, par les divers éléments de ce prisme. Il suffit de rapp(*ler que ces niouvements se composent, eux-mêmes, d'une infinité d'oscillations simples analogues a celles qui nous ont occupé dans le texte, mais qui, étant privées d'une mesure commune, quant à la durée, ne permettent pas, au prisme, de reprendre rigoureusement, à aucun instant, son état primitif d'équilibre, ou l'un quelconque des états intermédiaires par lesquels il a déjà passé, et qui ▼ont ainsi constamment en se modifiant. Quant aux effets qui seraient dus séparément à l'action du poids Q, et à sa force vive initiale, on voit, par les expressions ci-dessus, qu'ils s'ajoutent, se superposent, en quelque sorte, sans ae nuire réciproquement; circonstance qui se présente dans tous les phénomènes de vibration où le déplacement relatif des molécules demeure assez petit, pour que l'élasticité ne soit, à aucun instant, altérée, et pour que ce déplacement lui-même demeure proportionnel à la force qui est censée directement le produire.
jouter, se superposer à celui que produit en B la force motrice variable P (316 el 319); car, dans Tliypothèse où Ton continue de négliger Tinfluence de l'inertie des éléments matériels du prisme, il devient permis de supposer Faction de ces différentes forces transmise intégralement, ou sans perte, en chacun d'eux. Si Ton se rappelle, en effet, que la longueur de la partie 6 A [PL 11^ Jig, 5o et 5i), est ici représentée par Xy et que /? = A.D dans les formules du n** 310, on en conclura que les valeurs qui doivent être ajoutées à celles de P, I el z mentionnées ci- dessus, afin de tenir compte du poids des éléments du prisme, sont respeciivement :
pour la i" ou P... /?.6B =: AD(L — x)^
