Deuxième question sur ce sujet; exemple relatif à

l'art des constructions, — Imaginez un homme place, debout, sur un support horizontal fixé à Texlrémité inférieure du prisme vertical dont il vient d'être parlé et pour lequel ce support représentera la charge constante qui, dans lès questions précédentes, a été nommée Q, tandis que le poids de cet homme représentera, si Ton veut, celui de la charge additionnelle nommée Q', Supposez, en outre, que ce même homme, en fléchissant et se redressant alternativement sur les genoux, abaisse et élève périodiquement la partie supérieure de son corps; il fera naître ainsi, dans le prisme, un mouve* ment oscillatoire dont Tampliiude ira sans (fesse en croissant, s'il a su, adroitement encore, mettre le mouvement de sa masse en harmonie avec celui que peuvent prendre le prisme et le support, c'est-à-dire si, la durée de ses alternatives d'action étant précisément égale àcelle des oscillations naturelles de ces derniers, il s'arrange de manière que les plus fortes ou les plus faibles pressions qu'il exerce par son inertie et son poids aient précisément et respectivement lieu dans les oscillations descendantes ou ascendantes du support, ce qui arrivera inévitablement s'il s'élève ou s'élance de bas en haut, quand ce support baisse, et s'il se laisse, au contraire, retomber en ployant les genoux, quand celui-ci vientà son tour à remonter. On se rendra parfaitement compte de ces effets, en observant que, dans ce double mouvement, l'effort de réaction que rhomme fait éprouver au support, se compose du poids total

de son corps, augmenté delà résistance ou M —(130),

due à l'inertie de la majeure partie de ce poids, quand il s'élève rapidement par la forme musculaire des jambes et des reins, tandis que cette même réaction est simplement réduite

à l'excès de Q' sur M'~-, pendant les instants où il se laisse,

au contraire, retomber en fléchissant les genoux. Or, puisque la force musculaire dont il vient d'être parlé permet à l'homme de quitter entièrement le point d'appui de ses pieds, lorsqu'il est à terie, on conçoit que ce dernier effort de réaction, cet excès pourra devenir complètement nul dans certains instants, tandis que, dans l'autre, l'excès contraire pourra dépasser de beaucoup le double du poids, Q', de cet homme.

Il est certain que l'un et Tauire de ces efforts variables de réaction seraient très-difficiles, pour ne pas dire impossibles» à calculer à priori ou à déterminer par expérience, quand bien même on parviendrait à découvrir la loi des mouvements que l'homme peut ainsi imprimer à son corps. Mais ce calcul n'est pas nécessaire pour se faire une idée approximative du maximum de travail ou d'effet utile qu'il pourrait développer dans un semblable exercice. Car, si Ton estime à o^jS, par exemple, la hauteur dont il abaisse, dans chaque période, le poids de la partie supérieure de son corps, supposé seulement de 5o kilogrammes, et à 0^,3, pareillement, la hauteur totale à laquelle il peut élever, au-dessus du sol, par sa force musculaire, le poids entier de son corps supposé de 70 kilogrammes, il en résultera que le travail, relatif à la totalité de o^^^G de son ascension, sera mesuré par la somme

5ok« X 0", 3 -+- 70"^* X o«, 3 = Se^*"».

C'est à cette quantité qu'il faudra ici égaler celle,

dont il a été question ci-dessus (329) pour obtenir la valeur de /« ou In — l'y à la fln de chacune des oscillations entières du prisme, si, comme on le suppose toujours, et en raison de la lenteur plus ou moins grande de ces oscillations (*), l'homme emploie de la manière la plus favorable possible, c'est-à-dire sans chocs ni contre-coups, Taction musculaire par laquelle il parvient à développer constamment, ou à chaque alternative, les 36 kilogrammètres dont il s'agit.

(*) Leur durée, sous la charge constante Q, étant donnée (319) par la formule T = 27r \/-4-p» tandis que celle des alternatives d'action de rhomme

ne peut guère être muindre qu'une ou deux secondes, celle condition fixe la relation à établir entre les quantités Q, L, A et E qui se rapportent spécialement au prisme. Ainsi, par exemple, en prenant 7 = 3", on aura pour déter-

j^AB AE

miner la longueur L, de ce prisme, tout le reste étant connu, L = ^--—= o,633 -jr- ;

AE étant la résistance élastique de ce môme prisme, et Q le poids du support.

DBS RÉSISTANCES. 4l^

En eiTecluant le calcul pour un exemple particulier» il sera facile de s'assurer que l'ampliludc des oscillations du prisme irait continuellement en augmentant, mais d'une manière beaucoup moins rapide que dans les hypothèses de l'exemple précédent, où l'action motrice croissait elle-même sans cesse avec cette amplitude, tandis qu'ici elle en est supposée indépendante. Si l'on nomme, en effet, pour plus de généralité,

B* la valeur toute connue de la quantité j-^ 36^»" = -ypr qui

ne dépend que des dimensions et de l'élasticité du prisme, on trouvera par un raisonnement fort simple, mais dont le développement serait trop long à rapporter, que l'allongement L subi par le prisme, au bout de n oscillations entières, est donné par la formule

dans laquelle /' = yr' représente (237 et suivants) l'allongement de' stabilité que le prisme acquiert sous le poids seul de son support.

Le premier de ces allongements croît donc d'une manière d'autant moins rapide, que B' est plus petit vis-à-vis de /'%

ou que le rapport de B* à /'% égal à y.,| = \\n est luimême moindre par rapport à l'unité; mais on voit aussi que la valeur de ce dernier allongement ne saurait, en aucun cas,

surpasser celle de ^nB% qui croit seulement comme la racine carrée du nombre /i, des oscillations ou secousses successives de la puissance.

Cette accumulation du mouvement oscillatoire par la répétition des mêmes effets, est un autre moyen d'emmagasiner, dans les corps élastiques, le travail des forces motrices naturelles, et de produire, comme dans le cas du choc (179), des résultats dont elles seraient incapables par leur application directe à la résistance. C'est ainsi, par exemple, qu'en faisant osciller alternativement l'extrémité la plus faible d'une grosse et longue poutre horizontale, reposant sur un appui solide, vers son autre extrémité, armée, à cet effet, d'une bride en

fer embrassani la tête d'un pilot, c*esl ainsi qu'on parvient, au bout d'un temps souvent fort court et à l'aide d'un petit nombre d'hommes, àl'arracher du sol où il avait élé enfoncé à coups •de moulon redoublés, etc. Mais, cette application, comme plusieurs autres que nous pourrions citer, sont un peu étrangères à notre objet actuel, et nous passerons à un exemple qui y a plus directement trait.

331. Explication d'un fait observé par M, Savart dans ses expériences sur la vibration des verges élastiques. — Dans un Chapitre intéressant du Mémoire que nous avons cité au n^ 299» cet habile physicien s'est proposé de démontrer rexiréme facilité avec laquelle les vibrations longitudinales peuvent être excitées dans le§ verges élastiques, lorsqu'en les fixant vers le milieu ou à l'une de leurs extrémités, on vient à passer légèrement, mais à plusieurs reprises différentes, les doigts mouillés le long de leur surface. Il arrive alors, comme l'observe M. Savart, que le mouvement se propage, de proche en proche, des couches externes aux couches centrales, de façon que les effets de la friction répétée, se communiquant bientôt à la masse entière des verges, les oscillations finissent par acquérir une amplitude qui ne paraît nullement en rapport avec la faiblesse de la cause.

Parmi les expériences délicates qu'il a spécialement entreprises dans la vue de constater les efforts qui seraient capables de produire directement le maximum des allongements observés, nous citerons celles dont il a lui-même soumis les résultats au calcul à la page SgS du tome LKV des Annales de Chimie et de Physique^ et nous y ajoutecons, d'après ce qui précède, l'évaluation des quantités de travail qui correspondent à ces mêmes efforts.

Dans une première expérience sur une verge de laiton de i",4o7 de longueur et 34"'", gS de diamètre, l'allongement, sous l'influence des vibrations, s'est élevé à 0^,00026, ce qu* donne, pour calculer l'effort correspondant, P, par la formule P = AE/dun°236,

DBS RÉSISTANCES. 4?^

et, parlant,

P = 959,37 X 96i5'^« X o™,oooi848 = i7o4"^«, 7,

en prenant pourE la valeur déduite du résultat des expériences de M. Savart, et qui se trouve rapporté dans la Table du n»3e0.

Multipliant ensuite ce résultat, qui coïncide, à très-peu de chose près, avec celui de ce physicien, par la moitié de l'allongement correspondant, o", 00026, de la tige, conformément à ce qui a été établi au n"" 247, on trouvera pour la quantité de travail ou la résistance vive, que cet allongement suppose

On voit combien ce résultat est faible, puisqu'en supposant Teifort longitudinal, nécessaire pour vaincre la friction des doigts dans l'expérience dont il s'agit, égal à o^', 1 seirlement, il sufQralt de répéter cette friction deux fois de suite, dans le même sens et sur une étendue de 1", 1 1 , pour développer une quantité d'action égale à celle qui- vient d'être trouvée. Le raisonnement et le calcul sont donc parfaitement d'accord avec les faits de l'expérience, bien que, à considérer les choses d'un peu plus près, on aperçoive qu'une certaine quantité d'action et de travail doit nécessairement être employée, en pure perte, à détruire une portion correspondante de la force vive acquise par les molécules dans leurs mouvements vers le point d'encastrement de la tige, et une. autre portion également appréciable, employée à transmettre le mouvement vibratoire aux corps environnants, par l'intermédiaire du support.

En refaisant les mêmes calculs pour la seconde des expériences citées, relative à un cylindre de verre, de o",g*^ de longueur, et 29"*,! de diamètre, qui s'est allongé de 0^,00021, sous l'influence des frictions répétées, ou des vibrations qui en ont été la suite, si Ton refait, dis-je, ces calculs, on trouvera

P = 900^» environ, et T, = o''»", 098,

en prenant, d'après la Table de l'article 300, E = 620o^( pour

la lige de verre n*» 3. Or le dernier de ces résultais offre une nouvelle preuve de la faible dépense de travail qui est nécessaire pour engendrer, dans les tiges élastiques, les oscillations ou vibrations longitudinales les plus puissantes.

On peut même voir, par les résultats exposés aux a** 296 et 298, qu'il n'en coûterait pas beaucoup plus pour amener ces verges au point de la rupture, et, chose remarquable, qu'il en coûterait d'autant moins que leur substance serait plus raide ou plus dure, c'est-à-dire moins ductile. Ces mêmes résultats donnent aussi une idée de la puissance des effets physiques qui pourraient être produits à la longue par Taccumulation du mouvement vibratoire dans certains corps solides, soumis à l'action réitérée des plus faibles forces ou des plus faibles causes, qui viendraient ainsi à suppléer l'énergie primitive de cette action, par l'étendue du chemin sur lequel elle se trouverait répartie (71 et 72).

/applications relatives à remploi du fer dans les ponts

suspendus,

332. Données essentielles de la question, — On sait que les liges verticales de ces ponts, soutenues, vers le haut, par des chaînes en fer, qui vont d'une rive à l'autre en passant quelquefois sur des piles intermédiaires, sont destinées à supporter les extrémités de poutres horizontales, perpendiculaires à Taxe, sur lesquelles reposent à leur tour les solives ou longrines qui reçoivent le plancher ou tablier du pont, etc. Chacune de ces tiges se prouve ainsi chargée de la moitié du poids total qui agit sur la poutre ou traverse correspondante, et ce poids peut toujours être calculé, à priori, par la connaissance du système. Nous supposerons que la charge permanente, et ordinairement uniforme ainsi calculée , soit de 2/^5o kilogrammes, et qu'en conformité de la règle des constructeurs, indiquée au n°288, on ait donné à chaque tige une section

d'eaviron --î — = 1225 millimètres carrés, répondant à 35 millimètres de côté; la charge par millimètre étant ainsi réduite à 2 kilogrammes seulement.

D'ailleurs, comme dans toutes les circonstances où cette charge reçoit une impulsion, une vitesse initiale étrangère à l'action de son propre poids, la longueur absolue des tiges doit jouer un rôle nécessaire et d'autant plus appréciable qu'elle est plus petite (317), il y aura lieu d'en tenir compte dans les calculs; ce qui, en s'arrétant au premier aperçu, conduirait à choisir, pour les y soumettre, les tiges les plus courtes parmi celles qui supportent le tablier du pont; mais comme leurs extrémités supérieures, au lieu d'être fîxes, sont liées par un gros boulon à des chaînes qui possèdent une assez grande flexibilité, il en résulte que les effets des chocs simultanés ou successifs qu'elles subissent doivent être d'autant plus atténués, qu'elles sont elles-mêmes plus voisines du milieu du 'pont, où les oscillations, les abaissements atteignent nécessairement leur limite supérieure.

En considérant même les choses d'un peu plus près, il est aisé d'apercevoir que cette mobilité du point d'attache supérieur des tiges reproduit, en réalité, l'eilet qui aurait lieu si on les prolongeait au-dessus de ce point, d'une quantité telle, que l'allongement subi par la partie excédante, à compter du nouveau point d'attache supposé entièrement fixe, fût exactement égal à l'abaissement qu'éprouve le premier dans l'état naturel ; du moins peut-on admettre une semblable hypothèse, lorsqu'il y a pareillement lieu de négliger (321) l'inertie et le poids des parties matérielles de la tige ainsi prolongée.

D'un autre côté, comme le calcul et l'expérience sont d'accord pour prouver que les abaissements, vers le milieu des chaînes, sont très-grands par rapport aux allongements que peuvent subir les plus longues barres de fer dans les limites de l'élasticité naturelle, il en résulte que les tiges de suspension qui éprouvent le plus de fatigue dans les ponts dont il s'agit, correspondent précisément aux points d'appui des chaînes, et que, par conséquent, c'est en ces points, où elles ont souvent jusqu'à lo mètres de hauteur, qu'il est surtout intéressant de vérifier leur solidité.

Lors du levage ou montage des matériaux du pont, la pose des diverses pièces s'effectue d'une manière successive; et, quoique cette opération soit nécessairement accompagnée de mouvements plus ou moins vifs, on conçoit qu'il n'en ré-

478 HÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

suite aucun effet dangereux pour la solidité. Mais il en est tout autrement lorsque le pont étant une fois établi, il vient à être surchargé passagèrement ; et c'est dans la prévision des accidents fâcheux qui peuvent en résulter que l'Administration des Ponts et Chaussées oblige les entrepreneurs à soumettre le pont à une épreuve préalable, qui consiste à le surcharger uniformément d'un poids de 200 kilogrammes par mètre carré, représentant à peu près celui du plus grand nombre de personnes qui puissent y être contenues, à raison également de trois par mètre carré. Sur un pont de 8 mètres de largeur, et dont Tespacemenl des tiges serait de i",5, par exemple, cela donnerait î<2 fois 2oo^« = 2400^» de surcharge par couple de liges, ou 1200 kilogrammes par tige, et augmenterait d'environ moitié en sus, la charge permanente de 24^^ kilograinmes que nous leur avons supposée ci-dessus. Mais, comme la pose des matériaux destinés à cette épreuve se fait d'une manière progressive, il en résulte que les tiges de suspension sont bien loin de subir l'amplitude d'allongement qu'elles recevraient, en réalité, de la part d'une masse pareille, ou même moindre, qui serait animée d'une certaine vitesse, ou qui viendrait envahir le pont d'une manière plus ou moins rapide : telle serait, par exemple, une troupe d'hommes ou d'animaux, un croisement de voitures lourdement chargées, et dont l'action deviendrait d'autant plus dangereuse qu'elle se ferait sentir seulement sur un petit nombre de points d'appui.

333. Appréciation des effets produits sur les tiges de suspension, par la rencontre de voitures lourdement chargées. — Pour se convaincre des dangers qui peuvent en résulter pour la solidité, il n'y a qu'à supposer la rencontre, en un point déterminé du pont, de deux voitures pesant chacune 8000 kilogrammes tout compris : comme les poutres longitudinales, qui entrent dans ce pont, n'embrasseront généralement guère plus de quatre travées ou cinq couples de tiges, et que les couples, qui correspondent directement aux roues, porteront au moins deux ou trois fois la charge des autres, on n'exagérera certainement pas en élevant à 2600 kilogrammes celle que supporte chacune d'elles, même aux derniers instants de l'allongement qu'elles devroht subir, et où elles seront le

DES RÉSISTiklfCBS. 479

plus soulagées par leurs voisines. Supposant, en outre, ces voitures animées d'une certaine vitesse, et rencontrant les obstacles, les inégalités dont les planchers des ponts sont toujours hérissés; mettant enfin en ligne de compte les effets dus au choc occasionné par la marche des chevaux, il sera facile de juger, d'après les calculs déjà établis aux n®» 317 et 318, que, malgré la faiblesse de la charge permanente supportée par les liges verticales du pont, et l'épreuve préalable qu'on fait subir, il pourrait bien arriver, dans certaines circonstances, que l'élasticité de ces mêmes tiges fût plus ou moins énervée.

Afin d'offrir un nouvel exemple de ces calculs et de fixer davantage les idées, nous supposerons que la surcharge de 2600 kilogrammes vienne choquer la tige qui la supporte, avec une vitesse de o",70 par seconde, due à une chute de 25 millimètres seulement de hauteur, et nous admettrons de plus que cette tige ait la longueur de 10 mètres, que nous considérons comme un maximum. D'après ce qui a été expli* que ci-dessus, on aura donc ici

A = i225™"'S Lr^io»", Q=245o^«, Q' = 26oo'^S V'=o»,7o;

ce qui donne d'abord, pour la vitesse initiale commune à Q et Q', à la fin du choc (323),

V,=r ~-p^ V'= ^-^ o",7o =: o'»,36, Q-hQ' 5o5o '' ' '

vitesse qui correspond elle-même à une chute de très-peu supérieure à o"|,oo6 . On trouvera ensuite, par les formules du n** 324, et en prenant toujours E = aoooo''»,

r = ^=o«^,ooi, /" = !^ = o»,ooio6, /'-t-/'' = 0«,00206, A£ AJbi

*' = Y /T^ = v^îT^r;^ =69,0,

ce qui donnera, pour le plus grand allongement subi par la lige

L' ou lL=/'4-r4-i//''' + TT = o">oo2o6-f.vo,oooo2834 = G*, 002 06 -4- o", oo5 82 = G", 007 38,

48o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

el, pour rallongement proportionnel I, ou par mètre,

résultat qui montre que l'élasticité des tiges de suspension pourrait en effet être allérée (298) dans les hypothèses dont il s'agit, et qu'on ne saurait d'ailleurs considérer comme exagérées (*).

Les réflexions que ce résultat suggère, ainsi que le mode d'épreuve qu'on fait actuellement subir aux ponts suspendus sur chaînes en fer, feront l'objet de l'article suivant.

334. Réflexions concernant la stabilité des ponts suspendus, — Les conclusions auxquelles nous ont conduit nos précédents calculs, si elles étaient prises à la lettre, donneraient lieu de craindre que, par suite de la répétition plus ou moins fréquente des accidents occasionnés par la rencontre de lourdes voitures, sur ces sortes de ponts, l'altération élastique des tiges verticales n'allât sans cesse en augmentant ainsi que leurs allongements permanents, et que, bientôt, il n'arrivât une époque où leur énervation complète entraînerait la ruine partielle ou totale du système. Ce danger, si l'on s'arrêtait à un premier aperçu, paraîtrait bien plus imminent encore pour les immenses chaînes auxquelles toute la charge du pont et des tiges se trouve suspendue, et qui sont composées de longues barres, de longs anneaux dont le fer est soumis à des efforts

("*) On peut, à la véritéi objecter^ d'une part, que la simultanéité du choc de deux Toitures h l'instant de leur croiscmejit sur le pont, offre, en elle' même, peu de probabilité; d'une autre, que les roues ne peuvent retomber, avec une certaine vitesse, sur le tablier du pont, qu'autant qu'elles cesseraient d'agir sur lui pendant toute la durée de leur chute, et qu^alors il pourrait bien arriver que les extrémités, inférieures des tiges de suspension, eussent eu le temps de se relever ou de se détendre d'une quantité plus ou moins grande, etc» L'unique réponse à ces questions, c'est que les hypothèses contraires, ^^^ improbables qu'on les suppose, sont néanmoins possibles; car il peut se faire que le choc surprenne les tiges dans un état d'allongement supérieur à leur allongement moyen, en raison des oscillations' mêmes qui naissent de l^o' détente élastique. Or, dans ces sortes de questions, il est d'usage d'admettre précisément l'hypothèse des chances les plus défavorables, pourvu qu'elles soient possibles rationnellement.

DBS RÉSISTANCES. 4^1

permanenis, qui s'élèvent quelquefois à 8 ou lo kilogrammes par millimètre carré, mais que les ingénieurs prudents réduisent, conformément à la règle du n"* 288, à 5 ou 6 seulement, de manière que, lors de Tépreuve dont il a été parlé ci-dessus (332), la charge soit, au plus, de 9 ou 10 kilogrammes également par millimètre carré. Or on doit remarquer que, si la tension de ces chaînes est susceptible de croître proportionnellement à la charge qui se trouve uniformément répartie sur le plancher du pont, il s'en faut de beaucoup qu'il en soit ainsi pour une surcharge isolée, même en considérant les chaînons qui supportent immédiatement cette surcharge par l'intermédiaire des tiges; le calcul démontre, en effet, que Texcès de tension, qui en résulte, est toujours une fraction extrêmement faible de celui que reçoit chaque tige, de sorte qu'il est permis d'en négliger l'influence dans la question qui nous occupe.

A l'égard des tiges de suspension qui peuvent momentanément se trouver soumises, comme on l'a vu, à des allongements surpassant d'une quantité notable la limite assignée, ^ par l'ensemble des expériences connues, à l'élasticité naturelle du fer, on est conduit à reconnaître que l'absence des accidents que pourrait entraîner, avec elle, une pareille altération, si elle était souvent répétée, doit tenir à quelque propriété physique du métal, qui n'a pu encore être mise en parfaite évidence dans les expériences d'une courte durée, et qui doit être analogue à celle dont il a été parlé au n"* 300, à l'occasion des intéressantes recherches de M. Ardant. On a vu, en effet, que des fils métalliques dont l'élasticité paraissait comme entièrement énervée sous l'influence d'un chargement brusque, ou d'une succession de charges additionnelles, qui ne laissaient, pour ainsi dire, aucun repos à ces fils, reprenaient ensuite, en grande partie, leur élasticité, leur énergie primitives, quand ils demeuraient soumis à l'action permanente ou prolongée, de ces mêmes charges; de sorte qu'il peut bien arriver, à fortiori^ pour le cas des ponts de fer, que les liges de suspension reprennent, après une série d'oscillations occasionnées par le passage de lourdes voitures, etc., une portion notable de l'élasticité qu'elles avaient momentanément perdue, ou que leurs molécules reviennent même complètement à leur

ancien état, à leur état moyen de stabilité sous rinfluence du temps, ou des actions lentes qui les sollicitent.

Cette opinion est d'ailleurs conforme à celle qu'a émise M. Savart, à la page 385 du Mémoire cité au n'^ 299, et d'après laquelle des tiges métalliques, en s'allongeant, d'une manière progressive et permanente, sous l'inHuence d'une charge constante, et de vibrations excitées dans le sens de leur longueur, finissent néanmoins par acquérir un état de stabilité, une sorte d*écrouissagey qu'elles conserveraient ensuite indéfiniment sous l'influence des mêmes conditions.

335. Du mode d'épreu^^e qu'il conviendrait de faire subir aux ponts suspendus, — Quoi qu'il en soit de ces dernières réflexions, il ne résulte pas moins, de nos précédents calculs, que répreuve, en quelque sorte statique y à laquelle on se contente ordinairement de soumettre les ponts suspendus, bonne, en elle-même, pour mettre en évidence les défauts accidentels des chaînes et autres matériaux de la construction» ' ne saurait offrir, pour la suite, toutes les garanties de solidité désirables. De plus, les fâcheux accidents qu'elle entraîne parfois, et contre lesquels on s'est élevé avec de justes raisons, doivent la faire entièrement proscrire par l'Administration: mais par quel genre d'épreuves pourrait-on la remplacer avec sécurité et de manière à atteindre le but désiré ?

Dans deux lettres successivement adressées à l'Académie des Sciences de Paris, M. le docteur Gourdon a proposé soit d'effectuer le chargement d'épreuve ordinaire, en se servant de cabestans, fixés à l'une des rives, pour amener successivement les matériaux sur le tablier du pont, soit de faire parcourir, par le même moyen, toute la longueur de ce dernier, à une voiture chargée deux ou trois fois autant que les plus lourdes voitures de roulier : la vie des hommes préposes a cette manœuvre serait ainsi préservée de tout danger. Mais, de ces deux procédés, le premier, à cause de son excessive lenteur, paraît peu susceptible d'application, et il exigerait toujours la présence, sur le pont, d'un certain nombre d'hommes pour le déchargement et le placement des matériaux; '^ second offrirait l'inconvénient d'exagérer, outre mesure, 1* charge instantanée, et il ne permettrait pas de juger de l'effet

des forces vives imprimées aux diverses parties, dans l'étal ordinaire.

Il nous semble qu'on atteindrait plus sûrement et plus promptement le but, si Ton faisait traîner par des chevaux en à la vitesse voulue la voiture ou les deux voitures destinées à répreuve au moyen d*une chaîne ou d'un cordage de prolonge suffisamment étendu ; à peu près comme cela se pratique, pour les canons, dans certaines manœuvres d'artillerie. On mettrait d'ailleurs les chevaux à l'abri de tout accident, en faisant passer la prolonge sur un tambour à gorge, monté sur Tune des rives, et qui serait muni de saillies et de rockets convenables, pour rendre impossible le mouvement de recul des chaînes lors de la rupture du pont. Quant au placement de la surcharge uniforme, qui paraît être indispensable pour éprouver les parties les plus solides de la construction, nous ne voyons aucun moyen sufOsamment simple de l'effectuer sans compromettre l'existence de quelques hommes.

336. Des accidents qui peuvent résulter du passage d'une troupe sur les ponts suspendus. — Il est peu de personnes qui ne soient au courant d'une ancienne disposition des ordonnances militaires, qui prescrit de faire rompre le pas à la troupe, aux abords des ponts. On sent parfaitement bien que cette mesure, pleine de sagesse, a pour objet d'éviter l'influence des secousses simultanées qui seraient le résultat de la marche cadencée d'une pareille troupe; mais il n'est peut-être pas inutile, et cela rentre spécialement dans l'objet de ce Chapitre, d'expliquer comment cette simultanéité d'action peut, au bout d'un temps plus ou moins long et par sa répétition, devenir réellement dangereuse ; car il paraît évident aussi qu'uiie seule de ces secousses, fût-elle-même instantanée, ne saurait produire, en chaque point, un effet équivalant à celui de lourdes voitures dont il a été parlé au n^ 333, à moins de supposer des colonnes marchant au pas de charge, serrées en masse et occupant toute la largeur du pont et de ses trottoirs. Lorsqu'en effet, les hommes viennent, dans leur marche ordinaire ou même accélérée, à poser à la fois et alternativement chacun de leurs pieds sur le plancher du pont, ils ne le choquent certainement pas avec la vitesse et l'intensité d'action que nous

avons attribuées à ces voitures : la masse réellement agissante, dans ces chocs, est bien loin d'égaler celle de leurs corps. Il est évident qu'il faut chercher principalement la cause des accidents qiji ont motivé l'ordonnance, dans laccunnulation du mouvement oscillatoire imprimé au plancher des anciens ponts en charpente, et dans l'accroissement progressif de l'amplitude des oscillations qui en résulte, et dont nous avons déjà offert des exemples, plus ou moins analogues, aux n^ 329 et suivants.

Pour faire une application suffisamment exacte des principes établis dans ces numéros, au cas actuel, il est nécessaire, au préalable, de considérer attentivement ce qui se passe, en général, pendant la marche ordinaire de l'homme ei des animaux; le pas de course, le trot el le galop étant exceptés, puisqu'à dô telles allures, les dangers et l'intensité de l'action développée par les chocs successifs qu'occasionne la chute de la totalité ou d'une partie plus ou moins grande du poids du corps, qui a été comme lancée au-dessus du sol, ne sont point choses douteuses, et qu'il soit nécessaire de soumettre au calcul.

337. Évaluation approximative du travail développé par r homme, dans les oscillations verticales qu*il imprime à son corps pendant la marche ordinaire, — Loin d'agir par une succession de chocs vifs dans la marche lente et graduelle dont il s'agit, les animaux ne font éprouver à leur corps, de droite à gauche et de bas en haut, que de légères oscillations, par suite desquelles le poids en est successivement reporté, sur l'une ou l'autre jambe, avec une intensité d'action variable entre zéro et une limite qui est principalement relative (330) à l'inertie de la partie de leur masse qu'ils mettent en mouvement, soit en se portant en avant, soit en s'abaissanl ou en s'élevant au-dessus du point d'appui naturel.

Nous laisserons de côté l'influence qui peut être due aux actions opérées dans le sens horizontal, et provenant, soit de la progression en avant, soit du balancement transversal dont il vient d'être parlé, et nous tiendrons compte uniquement des effets qui peuvent résulter, comme au n® 330, de l'élévation et de l'abaissement périodiques de la partie supérieure

DBS RÉSISTANCES. 4^^

du corps de rhomme, dont lé poids sera supposé de 60 kilogrammes seulement, y compris la charge qu'il porte. Observant, en outre, que dans la marche ordinaire d*un homme de taille moyenne, l'amplitude de ces abaissements et élévations successifs, ne surpasse guère 2 à 3 centimètres, on sera conduit à évaluer, tout au plus, à o",o3 x 6o^« = l'^'^jS le travail dynamique qu'il peut ainsi développer à chaque pas ou alternative d'action; ce qui, en estimant également à g"*, 7 la longueur du pas ordinaire, porterait, d'après le tableau du

n«2U, à i^«™,8x ^^ =y*^,8 X'77 i43 = i38857^»" environ, la quantité de travail que fournirait ce même homme dans sa marche journalière, en terrain horizontal : le chemin total qu'il est ainsi capable de parcourir, étant de 54 000 mètres, ou le nombre de ses pas de 77 i43, à raison de 2,1 environ par seconde.

Si Ton compare d'ailleurs la quantité de travail ci-dessus à celle qui, d'après le tableau de la page sSa, est développée par l'homme cheminant le long d'une rampe douce, on peut voir que, loin d'être exagérée, elle est à peine la moitié de cette dernière; ce qui conduirait à porter, avec quelques Auteurs, à 5 centimètres, au moins, la hauteur à laquelle l'homme élèverait, à chaque pas, le poids entier de son corps, si l'on n'avait point égard à l'excès de fatigue occasionné par la vitesse avec laquelle il est obligé de porter en avant les différentes autres parties de sa masse, dans la marche horizontale.

338. Calculs relatifs aux effets résultant, dans certains cas, du passage d'une troupe sur les ponts suspendus. — En comptant seulement deux hommes par mètre carré de la surface du pont, ce qui, d'après nos premières hypothèses (332), fait environ 24 hommes par travée, ou 12 par tige, cela réduira à 800 kilogrammes environ la charge additionnelle due au passage de la troupe,' dont le poids s'ajoute, à peu près constamment ou moyennement, à celui de la charge permanente de 2450 kilogrammes, provenant du tablier, et élèvera à 325o kilogrammes la force de tension moyenne , de chacune des tiges de suspension, valeur qui représentera ici simplement celle de Q; ce qui donnera, en conservant toutes les autres suppo-

486 MÉCANIQOB IlfDUSTRIBLLB.

sitions du n'' 332,

/' =td~^'T^ =o™,ooi33

A té 24500000

pour l'allongement priniitif ou de subililié que subiraient les plus longues d'entre elles, sous Tinfluence de celte seule tension.

On aura donc aussi (319 et 325)

fr = k, = J-^^ = 85,88, V o,ooi33

et par conséquent, pour le nombre N, des oscillations entières que ces mêmes tiges sont susceptibles d'exécuter dans la durée de chaque seconde et sous Tinfluence d'une vitesse initiale quelconque (326),

^ kl 85,88 , ^

Le nombre des pas exécutés par la troupe ayant été trouvé ci-dessus de 2,1 seulement pour le même temps, c'est-à-dire 6,5 fois moindre environ, on voit qu'il s'en faut, de beaucoup, que les alternatives d'action, relatives à la marche ordinaire des hommes, coïncide avec celles des oscillations qui sont naturelles aux tiges de suspension, et que ce ne pourrait être que par le plus grand des hasards, que la coïncidence arrivât au bout de chacune des treize vibrations exécutées par leur extrémité inférieure; de sorte qu'il y a tout lieu de supposer que la majeure partie des i^«",8 fournis par les hommes, pendant la durée, 1^^,05 environ, de chacun de leurs pas, serait détruite par l'efTel des chocs et contre-coups qui nattraient du défaut de coïncidence, de l'opposition des deux mouve-

I ments.

Ainsi, dans l'hypothèse de rigidité qui' vient d'être admise pour les tiges de suspension, il serait à peu près inutile de s'inquiéter de l'accumulation de mouvement qui pourrait être occasionnée parles effets de la marche cadencée de la troupe; eiy à fortiori, en serait-il ainsi du cas où, cette troupe ayant

rompu le pas, les alternatives d'action de chacun des ipdividus qui la composent seraient en complet désaccord avec les oscillations naturelles des tiges. Mais les choses se passeraient tout différemment si les oscillations devenaient plus lentes enraison (317) de l'augmentation de leur longueur, de celle de la charge Q qu'elles supportent, ou de la mobilité de leur point d'attache supérieur avec les chaînes. M. Navier a, en effet , démontré dans son savant Ouvrage sur les ponts suspendus (voyez spécialement l'art. 295 de cet Ouvrage), que la durée des oscillations éprouvées par ces chaînes et, en conséquence, par la totalité des tiges et du tablier du pont, peut s'élever, dans certains cas, à 5'% 7 ; ce qui ferait moins de ^ d'oscillation par' seconde. Or, on conçoit qu'il est telle circonstance de rétablissement d'un pont où l'isochronisme entre les oscillations et la marche de la troupe pourrait en effet s'établir; et alors l'amplitude des premières augmenterait progressivement, suivant une loi analogue à celle qu'indique la formule du n*' 330. Afin d'en offrir au moins une application numérique, et de montrer l'influence de la répétition des effets sur la progression des allongements, nous supposerons que la durée de chaque pas ait, en réalité, un rapport exact avec celle des oscillations naturelles des tiges de suspension ; remarquant, d'ailleurs, que le travail fourni pendant cette durée, par les* 12 hommes qui agissent simultanément sur chaque tige, est égal à 12 X 1 ,8 = 2i^«*",6, la formule en question deviendra, à cause qu'on a ici

B» =: -ï^ 2l"^»™,6 = -rP ^ = O ,0000 I 7633,

/„ = y'(o,ooi33)^ + o,ooooi7(;)/i.

Supposant d»ns cette formule, n ou le nombre des pas exécutés par la troupe, qui est d'ailleurs censée occuper l'étendue entière du pont, égal à 10 seulement, l'allongement total subi par la tige de 10 mètres dont il s'agit ici, s'élèverait déjà à

^0,00000177 -f- 0,00017633 = o™, 01334, ou à o™, 001334 par mètre de longueur; résultat supérieur à celui qui a été obtenu au n**331, et qui prouve, non-seulement que l'élasticité des tiges serait dès lors complètement énervée, mais que leur

rupture, ei par conséquent la chute entière du pont, ne larderait pas à s'ensuivre par la répétition des mêmes effets.

Si Ton supposait, au contraire, n=o dans la formule, elle redonnerait simplement l'allongement 1^ = 1' = o" , oo 1 33, correspondant au cas où la troupe serait immobile, et qui n'est pas même le dixième du précédent.

Expériences et calculs relatifs à la résistance longitudinale

des prismes au choc.

339. Données particulières fournies par les expériences (le M, G. -H. Dufour^ de Genève. — On doit à cet ingénieur distingué quelques expériences ayant trait à cet objet, et dont il a consigné les résultats dans son Ouvrage sur les ponts en fil de fer, imprimé à Genève, en iSaS (§5, p. 20 ]. Ce sont, à ma connaissance, les seuls dont les détails aient été jusqu'ici mis au jour, et, attendu le but restreint dans lequel elles ont été entreprises, il y a lieu de regretter qu'un sujet de recherches aussi intéressant et aussi neuf ait encore si peu attiré l'attention des physiciens et des ingénieurs.

Dans une première série d'épreuves, M. Dufour s'est servi d'un fil de fer de Saint-Gingolf, n** 13, ayant i'^^jQ de diamètre, ou 2"'™',835 de section, qui était susceptible de porter moyennement, avant de rompre^ une charge de 196 kilogrammes, à raison de 69^*^1 par millimètre carré. Ce même fil, après avoir été chargé verticalement d'un poids de 70 kilogrammes, un peu moindre que les 0,4 de celui qui en représente la force de ténacité moyenne, a été ensuite soumis à l'action de divers chocs produits par une masse de fer pesant 10 kilogrammes, et tombant successivement, de 2, de 4? de 6^..., de 100 centimètres de hauteur^ sur la caisse qui contenait les poids formant, avec le sien propre, la charge permanente, 70 kilogrammes, du fil. Mais, bien qu'il ne soit résulté, de ces chocs, aucun effet apparent, aucune rupture sensible, il n'est pas moins regrettable que l'Auteur ait négligé de constater, à chaque fois, par des mesures précises^ les plus grands allongements auxquels les fils sont parvenus, et les allongements permanents qui ont pu s'ensuivre, toutes oscillations étant terminées ; car ils eussent mis à même de comparer les résultats de l'expérience à ceux du calcul , et de découvrir la véritable influence des forces vives sur la constitution élastique des fils.

Au surplus, nous avons vainement cherché, dans l'Ouvrage de M. Dufour, la longueur absolue des fils sur lesquels il a opéré ; donnée dont, a la rigueur, on peut se passer quand il s'agit simplement d'obtenir une limite de la résistance absolue, sous l'action lente d'une force directe de traction (244), mais qui devient, au contraire, indispensable dans toutes

les questions relatives au choc, puisque la résistance vive des prismes croit, sinon proportionnellement, du moins très-rapidement, avec leur longueur.

Pour faire néanmoins une nouvelle application des formules des n^ 323 et suivants, nous supposerons cette longueur des fils soumis à Texpérience par M. Dufour, égale à 2, mètres, de sorte qu'on aura ici

H' repré;ïentant la hauteur d'où sont tombés successivement les 10 kilogrammes dans les expériences dont il s'agit.

Prenant d'ailleurs E = 18000 kilogrammes, par millimètre carré, pour lo fil de fer (292), il en résultera (324), pour l'allongement permanent avant le choc :

., QL 70 X a „

' " ÂÉ - M3^x 18000 ~ "" ''^'-'"^'

et, pour celui qui serait occasionné par la charge Q', si elle agissait seule ,

Le premier correspond ù un allongement proportionnel de

-{ o™,oo27 = 0,001 35,

sous lequel l'élasticité serait certainement énervée (292), s'il s'agissait d'un fil de fer recuit, ou même inégalement recuit. Mais, en admettant que le contraire ait eu lien ici, nous rechercherons Teffet qui a pu résulter du choc des 10 kilogrammes tombant, par exemple, de la plus grande, H' = 1", des hauteurs relatives aux expériences citées, et à laquelle correspond (119) une valeur de

r=4",43 etde V, = ^-51. V'= i| r,43 = o^554,

dont la dernière est, dans nos hypothèses (323), la vitesse par seconde, commune aux deux masses vers la fin de la première période du choc. Attendu d'ailleurs qu'on a ici

il en résulte pour la valeur du plus grand des allongements subis, par le

49^ mécàpiiqub industrielle.

fil^ sous les influences réunies de ce choc et des deux poids Q et Q',

V ou IL = /'-hr-ht//'* + y;

= o",oo3 1 3 ■+■ v/o,ooo COQ 1 5i h- 0,000 097 935 = o", 01 3o.

Cette valeur correspondant, d'après Thypothèse faite sur celle de L, à

un allongement, I, de» — ^ — = o", oo65 par mètre, il est certain que

rélaslicité des Gis, fussent-ils même parfaitement écrouis, n'a pu être ici conservée^ pas plus que la loi de la proportionnalité des allongements aux forces ou tensions, sur laquelle tous nos calculs et formules sont implicitement fondés. A plus forte raison, ces formules cesseraient d'être applicables aux deux autres séries d'expériences dont il sera parlé dans l'article suivant.

340. Données et calculs concernant spécialement la résistance vive des' fils de fer à la rupture. — Dans les deux dernières séries d'expériences de M. Dufour, des fils de fer de 2™", i de diamètre, V^yifii de section, auxquels on supposera également 2 mètres de longueur, ont été rompus sous le choc d'un poids de 10 kilogrammes, qui n'avait besoin de tomber que d'une hauteur de 0^,95, quand la charge permanente du fil égalait la moitié de sa charge maximum, 209 kilogrammes, c'est-à-dire 104"», 5, et de i", 38 moyennement, quand elle n'en était que le tiers ou 69''*, 7 ; de sorte qu'on avait dans le premier cas,

Q=io4''»,5, H'=o"',95, r=4",33; dans le deuxième cas,

Q = 69'^«,7, H'=i™,38, V' = 5»,2o; et, dans tous les deux à la fois,

L = 2",oo, A= 3""«»,464, Q'= io*^«^;

ce qui donne respectivement, pour les vitesses communes aux deux corps, immédiatement après le choc,

Mais le calcul de ces vitesses devient inutile dans la question présente où il s'agit simplement d'évaluer la résistance vive opposée par les fils, l^ quantité de travail effective qui a produit leur rupture, que nous supposerons opérée, dans chaque cas, sous le plus petit choc possible, c'est-iidire de manière que le mouvement soit sensiblement éteint vers Tinstant

DBS BÉSISTANGBS. 49^

de cette rupture. En effet, d'après le n"" 323, la demi-force vive commune aux deux corps Q et Q\ à Tinstant où la première période du choc est terminée, a pour valeur dans le premier cas

i (M + M') Vî = ^-^ QW = i^ io'« X 0-.95 = 8'-, 670, dans le deuxième cas

'^ ' ' Qh-Q 79,7

Ajoutant à ce résultat, le tij^vail relatif à rallongement /', subi antérieurement, par les fils, sous l'influence de la charge permanente Q, et qui, dans l'hypothèse d'une immobilité parfaite, ici permise, a également pour valeurs respectives (324) dans le premier cas

dans le deuxième cas

^^ ^^^ÂÊ~'^'^ 6a352 """ '^^^'

on obtiendra les ^mmes 8'''", 845 et 12''*", 146, auquel il conviendra encore d'ajouter, afin d'obtenir les résistances vives demandées, le travail développé par les poids Q et Q', pendant que s'opère le surplus de l'allongement des Gis, dont, d'ailleurs, la valeur maximum n'a point été observée ici directement, quoiqu'elle exerce une influence appréciable et susceptible de varier, non-seulement avec la longueur absolue L des fils, mais encore avec leur degré de ductilité ou de dureté relative.

En adoptant néanmoins, pour terme de comparaison, la valeur moyenne, o'',oo4 par mètre, du plus grand allongement obtenu par M. Dufour (*), lors de la rupture des mêmes fils, sous de simples pressions, ce qui donne o",oo8 pour la longueur entière de chacun de ceux dont il s'agit ; remarquant, au surplus, que l'allongement absolu subi, antérieurement au choc, par ces derniers fils, a pour valeurs respectives :

' - ÂË - 6^35^ - ^ '^^^^' ^ - 6a 352 -"^ »''''^'' les quantités à ajouter seront pareillement :

ii4''»,5(o",oo8 — o'",oo34) = 114''», 5 X o",oo46= o''«™,527.

(*) ^ojrez le tableau de la page 33 du Mémoire cité.

492 HÉGANIQUB INDUSTEIBLLE.

et

79*'»,7 {o:",oo8 — o",oom) = o'^»",462;

ce qui donnera pour la quantité de travail absolue ou totale, absorbée par la rupture des deux fils*:

1* Dans le cas d'une chute de o", 95,

8'^»", 845 -h o^^.S'iy = 9»^»», 372 ;

2*" Dans celui d'une chute de i'",38,

Divisant enfin ces résultats par le produit ÂL = 8,464 x 2 = 6,928, on obtiendra les valeurs respectives

r =i^»",35 et r =i*'«»,82,

pour les résistances vives (247) des deux fils, par millimètre carré de section et par mètre de longueur : résultats qui diffèrent notablement l'un de l'autre, et qui diffèrent encore plus de ceux que fournit le tableau du n"* 296, pour les fils forts, à la classe desquels appartenaient, très-probablement, ceux dont il s'agit.

341, Réflexions critiques sur les résultats de ces calculs et les méthodes d' expérimentation relatives au choc des prismes^ — ^ous n'entreprendrons pas de discuter et d^interpréter les causes des différences qui viennent d'être signalées; trop de chances d'erreurs et d'incertitudes accompagnent, comme on l'a vu, les résultats du calcul et de l'expérience; mais nous croyons utile d'insister sur quelques-unes des suppositions que nous avons été obligé d'admettre afin de rendre ces calculs possibles.

En premier lieu, pour évaluer les premiers effets occasionnés par la charge permanente Q, des fils, il nous a fallu recourir à l'hypothèse d'une élasticité parfaite; ce qui, certes, ne serait pas permis pour des fils ductiles ou recuits même inégalement. Si donc il s'agissait de faire une comparaison exacte des données du calcul et de l'expérience, il conviendrait d'observer directement ces premiers effets, qui se compliquent encore de ceux qui peuvent ^tre dus à l'état naturel d'inflexion ou de torsion dans lequel se trouvent ordinairement les fils passés à la filière.

Il ne serait pas moins indispensable, comme on a l'a vu, d'obServer directement, dans le cas des fils ductiles, le maximum de l'allongement qui se produit sous le choc et à l'instant de la rupture, au lieu de le déduire, ainsi qu'on l'a fait, du résultat moyen d'expériences étrangères ; ce qui pourtant n'offrait point ici d'inconvénients graves, à cause de la faible valeur du travail développé par les poids Q et Q', pendant l'allongement des fils durs.

D'un autre côté, nous avons totalement négligé l'influence due au poids

et à rinertie des fils qui, ici encore, u'exerçaient aucune influence appréciable; à cause de la grandeur de Q. Mais il pourrait être nécessaire d'en tenir compte pour quelques autres circonstances ; et cela se fait approximativement, en augmentant la valeur de Q, du poids de la partie du fil, qui, ayant été entièrement rompue ou détachée, peut être censée faire corps avec sa masse.

Cette attention serait surtout nécessaire dans le cas où le poids Q\ qui produit la rupture parsa chute, étant lui-même assez petit, et cette chute, par conséquent, très-forte, il arriverait, contrairement aux hypothèses dont on a déduit tes résultats des précédents articles, que la vitesse et la force vive, à l'instant de la rupture, fussent comparables à celles qu'engendre cette même chute; alors il faudrait retrancher, des résultats ainsi obtenus, la demi-somme des forces vives conservées, à cet instant, par les deux corps et par la partie détachée des fils.

Enfin les résultats dont il s'agit supposent encore ( 323 ) que les masses choquantes soient dénuées de toute élasticité; ce qui pourrait bien ne pas avoir eu lieu pour la caisse mise en usage par M. Dufour, et dont le fond, plus ou moins flexible, aurait pu recevoir les impressions directes du choc de Q', en produisant ainsi son rejaillissement. Or il est aisé de se convaincre, par les principes des n"* i58 et i61, que la quantité de travail dépensée pour produire la rupture des fils, eût pu surpasser celle que nous avons estimée par les calculs ci-dessus, attendu que le poids Q' eût entraîné, dans ce rejaillissement, une perte de force vive beaucoup moindre que celle qui résulte du défaut d'élasticité des deux corps, perte dont la valeur est donnée (158) par la formule

M'(V'-aV.)'=M'V^(.-çi«y)i=M'V''tg^:,

dans le cas d'une élasticité parfaite; la demi -force vive conservée par le poids Q, et en vertu de laquelle se serait achevée la rupture des fils dans l'hypothèse où Q' n'aurait pas eu le temps de produire, par sa rechute, un nouveau choc, eût été simplement (160)

-M(2V.) =^—-^^-^^ = ——^,Q^-^—^,—^,QH.

Celle quantité sera, en eflet, supérieure à la demi-force vive,

Gonsmune, après le choc, aux deux corps, Q et Q', dans l'hypothèse d'un rejaillissement nul, toutes les fois que la condition

^^ •,>! ou 3Q>0'

se trouvera satisfaite ; ce qui avait effectivement lieu dans le cas dont il 8*agit.

Ces réflexions montrent combien la question qui nous occupe est délicate, et de quelles attentions on doit user, dans les expériences et les calculs, pour atteindre le but, c'est-à-dire pour parvenir, abstraction faite des causes d'erreur qui peuvent influencer accidentellement les résultats, à des valeurs de la résistance vive des prismes comparables, fondées uniquement sur les données de Texpérience directe du choc, et par là même entièrement appropriées à la nature du phénomène. Quant à la question où cette résistance vive étant connue à priori^ il s*agira, à l'inverse, de rechercher, par la marche tracée à l'avance, au n"" 3S4, quels sont, en général, les effets dilaniateurs qui peuvent être produits, sur un prisme, par un choc donné, ou quelle doit être l'intensité d'un choc poor produire un effet également assigné, etc., il nous suffira d'indiquer rapidement les principales formules en les faisant suivre de quelques exemples numériques très-simples/

Questions et méthodes de calcul spécialement relatives au cas où le choc entraîne la rupture ou V altération élastique des prismes.

342. Circonstances principales du mouvement qui précède la rupture. — Pour plus de généralité (247), nous nommerons Tr = T'^.ÀL, la quantité de travail développée, par la résistance d'un prisme, pendant qu'il s'allonge d'une quantité quelconque /= /L, à partir de son état naturel ; quantité qui sera donnée, ainsi que la valeur correspondante de cette résistance que nous nommerons P ou P'.A, au moyen de la Table du n" 289 et de ses analogues relatives aux corps différents des métaux. Nous nommerons pareillement tr = /',..AL, le travail

de celle résistance correspondant à l'allongement /'=/'L, subi, antérieurement au choc, par le même prisme, sous l'action permanente de la charge Q. Cela posé, on aura, pour remplacer les dernières des formules du n"" 324, dans les mêmes hypothèses et conditions, sauf que la limite de l'élasticité pourra, ici, être dépassée, la nouvelle équation

y Vf l I. (Tr-/r)

^g ^ff ~" Q + Q' '

OU

doni on se servira pour calculer, au moyen des Tables n^en-

tionnées, les différentes circonstances du mouvement qui suc-

Q' cède au choc de la masse M' ou — j animée de la vitesse V,

g contre la masse M ou — » supposée à l'état de repos sous l'allongement donné, i, et dans laquelle on a toujours (323), pour le cas où il ne surviendrait aucun rejaillissement après le choc,

V — ^ v pt — — H'

formules qu'il sera d'ailleurs facile (ibid.) d'étendre au cas où la masse M, au lieu d'être au repos a^Tinstant du choc, posséderait une vitesse antérieurement acquise, d'une intensité et d'un sens quelconques.

On voit, en effet, que, si l'on attribuait aux allongements absolus, /et /', ou aux allongements proportionnels, / et i', dans l'équation ci-dessus, des valeurs quelconques, on en déduirait immédiatement celle de la vitesse correspondante, Y, supposée commune aux deux corps à tous les instants qui suivent la première impression du choc ; car les valeurs de T^ et de /',., relatives aux unités de longueur et de section du prisme, seraient également données par la méthode des quadratures du n** 180, appliquée aux nombres fournis par la Table du n« 289 et ses analogues, ou par les courbes des ^g. 47 et 48, PI' //> suivant ce qui a déjà été expliqué aux n°* 279 et 296. Mais, aOn de n'avoir pas à se jeter pour chacune des valeurs de / ou de i, dans les calculs auxquels entraîne l'application de cette méthode, on fera bien de dresser, une fois pour toutes, une nouvelle Table des valeurs de T'^, relatives à

des valeurs de 1 = y î ou des efforts correspondants, F, qui

croîtraient par différences constantes ; cela sera facile au moyen des courbes dont il vient d'être parlé, et permettra de construire une nouvelle courbe, servant d'annexé à la nou-

velle Table, et qui donnera rapidement les valeurs de T', , relatives à des valeurs quelconques de 1, / ou P. Raisonnant ensuite à peu près comme on Ta fait pour le cas d'une élasticité parfaite (214-, 225, . ..)» il sera facile de trouver successivement les ordonnées de la courbe qui représente la loi du mouvement pour l'extrémité inférieure du prisme et qui cessera ici d'être un cercle; mais ces détails qui n'offriraient, du moins pour la première période de l'allongement, qu'une répétition continuelle de ce qui a été exposé, dans le précédent Chapitre, pour le cas où l'élasticité demeure parfaite, ces détails nous entraîneraient beaucoup trop loin, et nous nous contenterons d'avoir mis le lecteur sur la voie, afin de passer rapidement aux cas d'application qui concernent la rupture effective ou les plus grands allongements subis par les prismes.

343. Formules relatives au maximum d* allongement et aux circonstances qui accompagnent la rupture. — Pour cet allongement, que nous continuerons de nommer L' = IL, la vitesse V, des deux masses M et M', étant nulle, l'équation générale ci-dessus devient simplement, en*changeant les signes.

— i- ou ^

ïvT,H'=^-4'AL-(L'-/)

et servira à faire trouver, par un tâtonnement facile, la valeur

de L', au moyen de la Table ou de la courbe auxiliaire déjà

mentionnées, et qui lient, en général, cette valeur ou celle

de I et I à celle de T,. et de P'. Supposons, en effet, que sur

les abscisses de la courbe dont il s'agit, censées représenter ici

les différentes valeurs que peut recevoir, dans l'équation ci-

dessus, l'inconnue I = p? ou, plus généralement, ' = r-»

quand on y fait varier Vi ou H', supposons, dis-je, que, sur ces abscisses, on construise une nouvelle ligne ayant pour ordonnées les valeurs correspondantes du travail T,., fournies

DBS BÉS16TANCS8. 4^7

par cette équation dont on tire immédiatement la formule