I -h sin'a

dont la composition fort simple appartient à M. le colonel Duchemin, et se trouve justifiée dans le Mémoire qu'il a présenté au concours de l'Académie des Sciences, pour le prix sur la résistance des fluides, par la comparaison des résultats qu'elle fournit avec la moyenne de ceux qui se déduisent des données ci-dessus de l'expérience.

Quant aux nombres ou rapports inscrits dans les deux dei^ nières colonnes de la Table, les différences qu'ils offrent, soit entre eux, soit avec ceux des précédentes, sont d'autant plus dignes de remarque, que le dispositif, auquel ils correspondent, se rencontre dans plusieurs mécanismes où les volants à ailettes servent à régulariser le mouvement.

404-. Roues ou volants à ailettes multiples, -^ Dans les expériences de Hutton, faites avec l'appareil à axe vertical de Kobins, le volant ne portait qu'une seule ailette; il en portait deux symétriquement placées par rapport à l'axe, dans les dispositifs à axes horizontaux employés par Borda et M. Thibault; enfin dans celui du D^ Vince, le volant portait quatre ailetieâ montées sur autant de bras égaux, croisés à angles droits. Malgré les observations contraires émises par Dubuat, dans les Principes d'Hydraulique, on peut croire que le rapprochement des ailettes, dans ce dernier système, n'a pas dû exercer d'infiuence sensible sur l'intensité de leur résistance individuelle; mais il n'en serait plus ainsi évidemment du cas où ces ailettes se trouveraient beaucoup plus resserrées et multipliées, comme cela a lieu dans certaines roues ou moulinets,

DES RÉSISTANCES. 6l3

doni les palettes sonl souvent rapprochées à une distance moindre que leur largeur dans le sens du ra^on.

D'un autre côt*, on sent, à priori, que les phénomènes de mouvement, présentés par la masse fluide, doivent ici se trouver modiOés d'une manière notable^ et qu'à une certaine limite de rapprochement des ailettes, l'action de la force centrifuge (391) doit, pour ainsi dire, être la seule cause d'ébranlement du milieu, tandis que la force vive imprimée à ses molécules et la résistance du volant doivent, de leur côté, devenir à peu près indépendantes du nombre des ailettes. Le principe des forces vives laisse encore apercevoir que cette résistance doit croître toujours à peu près comme le carré de la vitesse du centre des ailettes; mais, dans des phénomènes aussi compliqués, il ne convient pas de s'en rapporter simplement aux indications de la théorie et du raisonnement, et il est préférable de recourir aux données de l'expérience directe.

Résultats des expériences de. MM, Pioberl, Morin et Didion (Mémoire cité). — Pour une roue de i",3o de diamètre extérieur, dont les ailettes carrées, au nombre de vingt, avaient o'",2o de côté, et dont par conséquent la surface totale A, était de c^^ïjS, la résistance, dans l'air, a pu être représentée par la formule

R = A(o''So434 -h 0,1072V»),

défalcation faite de la résistance des bras, et la vitese uniforme Y, du centre des ailettes, demeurant comprise entre 3 et 8 mètres par seconde.

Pour la même roue portant successivement cinq, dix et vingt ailettes rectangulaires des dimensions ci-dessus, la résistance, dans l'air, se trouve représentée généralement par la formule

V étant la vitesse du centre de ces ailettes, n leur nombre, et a leur aire commune. Mais, ainsi qu'on l'a fait remarquer, n ne peut augmenter dans cette formule, au delà d'une certaine limite, sans que le coefTicient 0,1179 diminue, et que

6a4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

le nombre 0,0068 lui-même augmente, de sorte que la seule chose démontrée par ces expériences, c'est qu'à cela près de la constante o^s,ioo qu'il est permis de négliger dans les applications ordinaires, à cause de sa petitesse, la résistance demeure sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse.

Résistance des plans minces dans le mouvement rectiligne

et parallèle,

i05. Premier cas : le plan étant ma dans un fluide en repos. — Ce cas étant plus difficile à soumettre à l'expérience que celui qui se rapporte au mouvement circulaire, on ne doit pas être surpris des lacunes et des incertitudes qu'il laisse encore. Voici le petit nombre de résutats qui le concernent.

Expériences de Dubuat. — Dans une suite d'expériences délicates pour déterminer la loi des pressions et des non-pressions éprouvées par un plan de i pied carré de surface, sous des vitesses comprises entre i et 2 mètres par seconde, au plus, Dubuat a iro\x\é (Principes d'Hydraulique^ 3* Partie, art. éfiT, et suivants) que, en représentant par m le coefficient de l'excès de pression sur la face antérieure, et par n celui de la non-pression sur la face postérieure ( 379), on avait, en conservant toujours a/?, A et H leur signification (382) et prenant pour formule de la résistance K=A^/iAH=m/iAU-hn/7AH,

Dubuat admet, en outre, que les valeurs de m, n et k sont indépendantes de l'étendue des surfaces; mais, hâtons-nous de le dire, ces valeurs ne sont pas le résultat d'une nnesure directe et absolue de la résistance; elles ont été seulement conclues de celles des pressions partielles en avant et en arrière, obtenues à l'aide des procédés manomélriques déjà indiqués et critiqués à la On du n"* 378.

Expériences de MM. Pioberl, Morin et Didion. — D'après ces récentes expériences, faites sur des plans minces deo,o3 à 0,25 de mètre carré, que, à l'aide de contre-poids» ils faisaient remonter verticalement dans l'eau en repos, de manière à leur laisser acquérir, vers la fin de leur course, un mouve-

^'WT*«

DES RÉSISTàIIGBS. 62S

ment sensiblement ^uniforme, dont la vitesse a varié de o à 5 mètres par seconde, la résistance serait très-exactement pro* portionnelle à l'étendue A, des surfaces; mais il y aurait lieu (388) de tenir compte d'un terme indépendant de la vitesse, pour le cas des mouvements très-lents (383 et suivants).

La formule propre à représenter la loi de la résistance serait ainsi, py A, H ayant toujours là même signification^

R = A(o*«,934 4- 143, i5V>) = 0,934 A H- 2,8i/>AH,

dans laquelle le terme constant devient négligeable toutes les fois que la vitesse surpasse o"",5 à o™,6 par seconde; de sorte qu'on aurait alors simplement

R=:2y8i/»AH et A- = 2,8i.

Cette valeur de k est, à peu près, le double de celle ci-dessus, trouvée par Dubuat; elle a été obtenue au moyen d appareils susceptibles d'une grande précision; mais, comme les expériences ont eu lieu sur un bassin d'eau d'une assez faible profondeur, et dans lequel les plateaux, même en leur supposant une marche bien assurée, n'ont dû acquérir une vitesse uniforme que lorsqu'ils étaient voisins de la surface supérieure du liquide, il peut se faire (393) que cette circonstance ait exercé une influence considérable sur les résultats, et, dans tous les cas, il conviendra d'en borner l'application à des circonstances analogues.

Expériences des mêmes , relatives à l'air, — Dans cette nouvelle série d'expériences sur des plateaux carrés et minces de o**ï,25 et 1 mètre carré de surface, mus verticalement, dans l'air en repos et indéfini, avec de3 vitesses uniformes qui ont varié entre o et 9 mètres par seconde, l'ensemble des résultats de l'expérience a conduit à la formule générale

R = A 4 (o,o3 4- 0,084 V^) =:;iA(o,o3 4- i,3574H),

dans laquelle />' = i^S 214, représente la densité de l'air sous une température et une pression barométrique moyennes, de 10 degrés centigrades et o"',76 de hauteur, p étant toujours

la densité ou le poids effectif du mètre cube d air à l'instant de l'expérience.

On voit par cette formule, que, pour les gaz et des vitesses au-dessous de 4 ^ 5 mètres par seconde, il ne serait nullement permis de négliger le terme constant, dont il parait d'autant plus difficile de s'expliquer ici l'origine (388), que sa présence n'a été signalée dans aucune des expériences de Borda, Hutton et M. Thibault, sur le mouvement circulaire des plans minces.

Pour les vitesses comprises entre 4 ^^ 9 mètres, limites de celles qui ont été observées, on pourrait, au contraire, prendre, sans erreur sensible»

Rm 1,3574/^ AH ou A' = 1,3574;

résultat peu différent de celui ci-dessus, de Dubuat et des plus faibles de ceux qui ont été obtenus par M. Thibault, etc. (400), ce qui tend à confirmer les remarques précédentes. Résistance de l'air dans le mouvement varié, — Ces mêmes

expériences, commises, ainsi que les précédentes, aux soins particuliers de M. Didion, observateur très-consciencieux, ont montré (380) que, dans le cas où le mouvement du plateau, au lieu d'être parvenu à une parfaite uniformité, variait d'une manière sensible, la résistance devait être représentée par la formule à trois termes (382)

R rrz A 4 (o,o36 -h 0,084 V» + 0,164 j]

pour toute la partie de la descente des plateaux où le mouvement s'accélérait, et

pour la partie de l'ascension où il était retardé, •- étant toujours le rapport de l'accroissement ou de la diminution instantanée de la vitesse à l'accroissement du temps. Malheureusement le résultat de ces expériences ne met pas

DBS RÉSISTANCES. 627

en mesure de reconnaître l'influence des dimensions réelles des plateaux dans chaque expérience, et de le confronter avec celui qui se déduit de la règle établie par Dubuat (380).

406. Deuxième cas : le plan étant immobile dans un fluide en mouvement. — D'après deux anciennes expériepces de Mariotte> sur une planchette carrée de 6 pouces de côlé, soumise au choc d'un courant d'eau uniforme, parallèle et rectiligne, courant dans lequel elle était entièrement plongée, et dont la vitesse a varié entre ii^,25 et 3p**»,75 seulement par seconde, on aurait

R = A-/?AH, et A- = i,25 pour A = o***ï,o264?

malice résultat laisse beaucoup d'Incertitude, à cause de l'imperfection des moyens employés par l'Auteur, pour mesurer la vitesse du courant.

Expériences de Dubuat {Princ. d'Hydr., art. 468, 466 et 484). — £n soumettant au choc de l'eau animée d'une vitesse de 3 pieds environ par seconde, le plan de i pied carré dont il a été parlé dans le précédent numéro, ce célèbre ingénieur a trouvé, à l'aide des mêmes procédés, que l'on avait

m = 1,1 86, 11 = 0,670, A* = 1,856 pour A =o"*i,io55.

Cette valeur de k diffère, comme on voit, beaucoup de celle obtenue par Mariotte, et elle ne diffère guère moins de la valeur k = 1,433 à laquelle Dubuat est parvenu (bOS) dans le cas où c'est le plan qui se meut dans l'eau en repos; mais, s'il y a lieu de concevoir des doutes, ce n'est pas à l'égard du dernier résultat qui a été vérifié, par Dubuat, au moyen d'une mesure entièrement directe de la' pression, et qui Test également par les résultats suivants.

Expériences de M. Thibault (Ouvrage déjà cité, p. 137 et suivantes).-- Cet Auteur ayant exposé à l'action directe du vent, des plans minces de 0^^,1089 et o<"i,23o4 de surface, dont la résistance se trouvait mesurée à l'aide d'un instrument à ressort nommé anémomètrCy il a trouvé, par une réduite de sept séries d'expériences, dans lesquelles la valeur de k a varié entre i,568 et 2,126, et la vitesse du vent entre i",8 et 8"', 2

|j 6a8 hégàmiqu£ industbiellb.

! par seconde,

/f = 1,834 pour A=o"»«i,io89 el A = o""ï,23o4,

nombre qui diffère Irès-peu du précédent.

Enfin, d'anciennes expériences de Kouse, citées par Smeaton, dans ses Recherches expérimentales sur l'eau et le vent, ont donné, pour une surface de i pied carré de Londres, soumise à l'action de Tair, sous différentes vitesses,

D'après cela, on ne saurait douter que la valeur A* = 1,86, obtenue par Dubuat, ne soit exactement déterminée pour l'air et l'eau, dans le cas de surfaces qui diffèrent peu de o™,32 de côté : que si d'ailleurs on voulait tenir compte de l'expér^me de Mariotte, sur une surface de o^'iyoaS, alors on devrait admettre, comme on le faisait jusqu'ici, que même dans le genre de mouvement qui nous occupe, la résistance crott plus rapidement que l'étendue des surfaces, surtout à partir des plus petites d'entre elles.

407. Remarques générales sur les résultats qui précèdent, — Ces résultats que nous avons rapportés, pour ainsi dire, sans commentaires, et dont le petit nombre et l'incertitude pourront surprendre ceux qui ignorent jusqu'à quel point sont dîniciles les expériences précises de cette espèce, ces résultats ne permettent pas encore de décider, d'une manière positive, si, comme l'avait pensé Dubuat, la résistance des plans mobiles dans un fluide en repos est effectivement distincte de celle des plans en repos choqués par un fluide en mouvement. L'indécision tien-t essentiellement, comme on l'a vu, au premier de ces cas, et plus spécialement à la difflculté de procurer aux corps un mouvement rectiligne, parallèle, rigoureusement uniforme etsuffisamment prolongé ;maisaujourd'hui,graceaux applications de la vapeur à la navigation et à la locomotion, on serait plus en mesure de réussir dans l'entreprise d'expériences de cette espèce : il sufflrait de monter convenablement les appareils sur un bateau ou une voiture mus, de cette manière, dans un temps calme. On doit donc faire des vœux pour que de telles expériences soient enfin tentées avec des moyens de

DES BÉSISTANCBS. ' 629

précision, analogues à ceux déjà mis en usage par MM. Pioberty Morin et Didion,

Dans rétat actuel des choses, on peut remarquer, en faveur des opinions de Dubuat, que le résultat auquel il est parvenu pour le mouvement rectiligne s'accorde sufDsamment bien avec ceux que fournissent les expériences sur le mouvement circulaire et les plans d'une très-petite étendue relaiivement à la longueur du rayon du volant (401), cas pour lequel la nature du mouvement doit (391) exercer le moins d'influence.

D'après les expériences de Borda, en effet, la plus petite i, 3g des valeurs de A*, diffère peu de celle 1,4^ que fournissent les expériences de Dubuat; et, suivant M. Thibault, la plus faible de celles qu'il ait été à même d'obtenir à l'aide du volant, s'est trouvée égale à i , 291 , nombre qui doit être encore un peu trop fort, comme l'observe cet habile expérimentateur. Rien donc ne répugne absolument à adopter, je ne dis pas seulement le coefficient Ar = 1,43 trouvé par Dubuat, mais celui 1,254 Q^î ^ ^^^ proposé en dernier lieu parM.le colonel Duchemin (Mémoire cité), d'après le résultat d'expériences analogues à celles de Dubuat, et qui laissent également le regret de n'avoir pas été vérifiées au moyen d'une mesure directe et absolue de la résistance.

Ces considérations, jointes à la valeur k = 1,3574» obtenue par M. Dîdion, dans le ras de plans d'une fort grande étendue, mus verticalement dans l'air (405), rendent au moins trèsprobable la singulière, l'énorme différence signalée par Dubuat, entre le cas d'un plan mobile dans un fluide en repos, ou du même plan en repos choqué par un fluide en mouvement; différence qu'il attribuait principalement à la facilité qu'éprouvent, dans le premier, les molécules à se dévier à une plus grande distance du corps, en avant ou latéralement, ce qui, dans le langage de l'Auteur (380), revient à supposer une plus grande étendue à la proue fluide. En nous fondant sur ces différents motifs et en attendant des expériences tout à fait décisives, nous proposerons la valeur moyenne Ar=:i,3o pour le premier de ces cas, celui des corps mobiles dans un fluide en repos, et la valeur k = i,85 pour le second; sauf à décider ultérieurement si l'étendue effective des surfaces offre, ou non, une influence dont il soit nécessaire de tenir

63o ' HÉGÀJ9IQUE INDUSTRIELLE.

compte dans les calculs, du moins pour les très-petites surfaces.

Résistance des surfaces minces concaves et convexes;

voiles et parachutes*

408. Pians minces avec rebords. — Lorsqu'on adapte au pourtour antérieur d'une plaque mince» des rebords formant saillie sur cette plaque, la déviation des filets s'y trouvant augmentée, il en doit être ainsi de la résistance : ce fait a été prouvé par les expériences de Morosi , répétées depuis par M. F. Savart {*), sur le choc des veines d'eau isolées, pour lesquelles la résistance a été presque doublée. Les expériences de Christian (Mécanique industrielle, t. P',p. 270 et suivantes], sur une plaque recevant le choc, dans un coursier qu'elle remplissait presque en entier, lui ont donné une augmentation de pression de jj environ pour un. jeu latéral très-faible, et de^ pour un jeu du | de la largeur de la, plaque ; mais on peut croire que la résistance serait augmentée suivant une proportion plus grande encore, dans le cas d'un fluide ou d'un jeu pour ainsi dire indéfini.

409. Surfaces cylindriques minces, concaves. — M. Thibault, dont nous avons déjà si souvent cité les recherches expérimentales sur l'air, a constaté qu'une surface mince de carton, courbée cylindrlquement, de manière à présenter sa concavité à l'action de ce fluide, et mue circulairement sous différentes vitesses, à l'extrémité du bras d'un volant de i",37, donnait lieu à des résistances dont la loi était à peu près la même que celle des plans minces, sous les mêmes vitesses et inclinaisons, sauf pour les très-petits angles d'incidence BAN(W. //A

fig, 67, n° 402), où les sufaces courbes ont présenté comparativement, des résistances un peu plus fortes.

Un plan mince et trois surfaces cylindriques concaves, à peu près circulaires, dont les arcs offraient respectivement 20,40 et 60 degrés de courbure, tandis que les aires, sensiblement

(♦) Jnnaies de Chimie et de Phj-sique, 2« série, t, LV, p. 33; et 283 (i833}.

DBS RÉSISTANCES. 63 1

égales, de leurs projections A, sur un plan perpendiculaire à celui du mouvement, élaient d'environ o"*ï,io24, ces surfaces, disons-noii^, ont donné, pour la valeur comparée de leurs résistances, celle du plan mince étant représentée par i , ooo :

i^ la surface courbée de 20 degrés i,o3o

2" la surface courbée de 4^ degrés i,o54

3** la surface courbée de 60 degrés 1,070

Ces expériences n'ont pas mis à même de constater la limite d'accroissement de la résistance avec la courbure.

MO. Surfaces minces à double courburCy voiles de nai^ires. — M. Thibault ayant soumis à Texpérlence une autre surface concave, à double courbure, d'environ 5o degrés, couverte de toile et offrant à l'action de l'air la même projection A, que ci-dessus, il a obtenu un résultat un peu supérieur même à celui qui concernait le cylindre courbé sur un arc de 60 degrés.

Enfin des surfaces de toiles enverguées à la manière ordinaire (celle des voiles de navires), et dont la courbure a varié de 5o à 60 degrés, ont offert des résultats analogues. Mais, de plus, l'expérience a montré que la résistance directe et oblique de ces voiles, dont la flèche était environ le ^ du rayon, différait très-peu de celle d'un plan mince, de même surface développée et de même inclinaison, sauf pour les petits angles où cette première résistance devenait un peu plus forte, fait trèsremarquable et déjà soupçonné par Dubuat. Ainsi on pourra calculer (402) la résistance des voiles de vaisseaux à peu près pour tous les angles au-dessus de 4^ degrés d'inclinaison, en les supposant remplacées par des plans de même étendue développée.

Ml. Résistance des parachutes. — On admet assez généralement que la flèche ou le creux d'une surface concave, telle que celle des voiles de vaisseaux et des parachutes, ne doit pas surpasser le tiers ou le quart de sa largeur moyenne, mesurée entre les bords opposés, lorsqu'on veut rendre un maximum la résistance de ces surfaces, sous une étendue donnée. MM. Piobert, Morin et Didion ont entrepris des expériences dans la vue de découvrir spécialement l'intensité et la loi de

632 MÉCAJfflQCB INDOSTRIBLLE.

la résistance relative à une suface de cette espèce. Ils se sont servis» à cet effet, d'un pfrapluie, recouvert, à la manière ordinaire, en taffetas, qui avait i'',27 de diamètre moyen ou d'envergure, o", 373 = 0,31 xi",2i de flèjche réduite, et i'~ï,ao de surface A, en projection sur un plan perpendiculaire à son axe ou à sa tige. L'ayant fait descendre et monter alternativement à Tair libre, sous différentes vitesses dans le sens vertical, parallèle à cette tige, et de manière à lui faire opposer, tantôt sa concavité et tantôt sa convexité, à l'action du fluide, ils ont conclu du résultat des expériences dirigées principalement par M. Didion :

I** Que si Ton représente par i, la résistance uniforme d'un plan mince de même étendue horizontale A, celle du parapluie ou parachute devenait, dans les meuves circonstances de mouvement, 1,94 environ, quand la concavité se trouvait dirigée TJ en avant, et 0,77 quand c'était la convexité qui se trouvait l'être à son tour;

2** Que, relativement à la loi de la résistance dans le cas où le mouvefnent était parvenu sensiblement à l'uniformité, elle se trouvait, pour les vitesses de o à 8 mètres, soumises à l'expérience, représentée fort exactement par la formule

quand la concavité est dirigée en avant, et

quand l'inverse avait lieu, les lettres ayant ici d'ailleurs la même signification que pour la formule correspondanie du

3® Enfin, que, dans le cas où le mouvement varie à chaque instant, il devenait nécessaire, comme pour les plans minces ( ibid.)f d'ajouter aux formules un terme dépendant du rapport

if

-; de sorte qu*on avait, en particulier, pour le cas de la des-

DBS BtSISTANCBS. 633

cente des parachutes» qui intéresse spécialement l'aérostation,

R = 4 A (o^So7 -h o,i63 V» -h 0,142 j j •

il2. Résistance des angles dièdres, — Les Auteurs que nous venons de citer ont aussi soumis, dans les mêmes circonstances, à Faclion de l'air, un angle formé par deux plans rectangulaires réunis à charnière, et qu'ils ont fait mouvoir verticalement, sous difléreates ouvertures et différentes vitesses, dans le sens même du plan qui divise cet angle en deux parties égales : a représentant ici, en degrés sexagésimaux, l'angle aigu de chaque plan avec la direction du mouvement ou avec le plan médian dont il s'agit, A la somme des aires des deux plans, ils ont trouvé, pour le cas où la vitesse était devenue sensiblement uniforme et où l'angle agissait par son tranchant,

formule qui se réduit à sa correspondante du n? i05, quand a = go% et que les deux plans n'en forment plus qu'un seul, perpendiculaire à la direction du mouvement.

Cette résistance, comme on le voit, suit des lois très-distinctes de celle des plans minces, obliques et isolés (U)2}, et il n'y a là rien qui doive surprendre, si l'on réfléchit à la diversité des mouvements imprimés au fluide dans les deux cas.

Résistance des corps prismatiques dans un fluide

indéfini.

413. Prismes droits immobiles dans un fluide en mouve^ ment. •— Pour de tels prismes, terminés aux deux bouts par des faces planes (fig. 55, PL III) ^ et dont Taxe est dirigé dans le sens du mouvement, la résistance peut toujours être exprimée parla formule R = A-^^AH; mais le facteur k est susceptible de varier, avec le rapport de la longueur L, de ces prismes, à la racine carrée de leurs aires transversales A, ainsi qu'il suit.

Selon Dubuat, qui remplace (405) le facteur k, par la somme m-hn, des coefflcienis m et n de l'excès de pression antérieure

634 HfiCÀNIQUB INDUSTRIELLE.

et de la non-pression postérieure, on a, pour

A =o"%io, — = = o,oo, m = i,i86, 11 = 0,670, /r = i,856,

yA

Mais ces nombres n'ayant pas été. déduits immédiatement d'une mesure directe de la portion supportée parle prisme, il convieni de leur substituer les suivants, tels qu'ils résultent des expériences entreprises, par Dubuat, pour en vérifier la justesse, et d'après lesquelles on aurait respectivement, pour

V^A Arzi= 1,865, i,45i, i,323, i,36o;

ce qui semble démontrer que, passé le terme où la longueur des prismes égale trois fois leur largeur moyenne, la résistance cesse de diminuer par l'influence de la non-pression (379 et 390], et tend au contraire à croître de plus en plus, en raison , de la prépondérance acquise par le frottement latéral du corps. Suivant les récentes recherches théoriques et expérimentales de M. le colonel Duchemin, ||i loi des variations du coefficient k serait donnée par ce tableau

Valeurs de -7=} 0,000, 1,000, 2,000, 3,ooo,

Valeurs de /r, 1,864, '>477» ^347, 1,328;

dont les nombres, quoique déduits de mesures indirectes ou partielles des pressions antérieure et postérieure, s'accordent néanmoins très-bien, comme on le voit, avec ceux que Dubuat a obtenus par des procédés directs et à l'abri de toute contestation.

Quant à l'existence d'un minimum de pression, révélé par les résultats ci-dessus, des dernières expériences de Dubuat,

DES EfiSISTANCSS. 635

elle serait, suivant leç vues théoriques de M. Duchemin (*), une conséquence nécessaire de ce que les ûlets liquides cessent, dan? le cas actuel, de se détacher des faces lay^rales du corps en m et m! [fig. 55, PL III, n** 874 ) , dès que sa longueur est environ 2,67 fois sa largeur moyenne; circonstance analogue à celle qui se produit dans l'écoulement de Teau pour les ajutages cylindriques des réservoirs, mais qui n'aurait plus lieu pour le cas ci-après, des prismes mobiles dans un milieu en repos, parce que les filets fluides se trouveraient alors soumis à une moindre déviation latérale ou s'infléchiraient de plus loin, de part et d'autre du corps, conformément à l'opinion de Dubuat(4(y7).

Les idées de l'Auteur, sur la manière dont la pression se répartit autour du corps, diffèrent d'ailleurs spécialement de celles de Dubuat (379), en ce qu'il considère comme étant les mêmes, en chaque point, les pressions qui appartiennent, soit à la face antérieure, soit à la face postérieure du prisme, l'excès des premières sur la pression statique naturelle, étant mesuré par le double de la hauteur due à la vitesse, et l'excès pareil des secondes étant susceptible de varier avec la longueur du prisme, suivant des lois très- distinctes pour les deux cas où ce prisme est en mouvement ou en repos.

414. Prismes droits mobiles dans un fluide en repos, — Pour ce cas particulier ( PL III, fig. 54 J, l'axe des prismes se trouvant

(*) Soiti ce qu'on appelle le coefficient de la contraction ou de la réduction éprouTce par la dépense des ajutages dont il vient d'être parlé, m (405) le coefffcient de la pression antérieure du prisme, censée proportionnelle au produit pAHf n celui de la pression postérieure mesurée de même, de sorte qu'ici A = m — n, on aurait, d'après M. Dtichemin,

les valeurs de i, déduites des expériences do Michelotti, étant données, pour

chacune de celles du rapport — , par la Table suivante :

VA

— rr = OjCOO, O,50O, I,00O, 1,000, 3,500, 3,000, 4|000r 5,0O0, 8,000,

i = 0|6io, 0,617, ^i7^7f 0,816, 0,823, 0,830, 0,818, 0,810, 0,800.

636 MCCIHIQUB 1RDU8TM8LLB.

toujours dirigé dans le sens du mouvemenl, on aurait «également, d'après Dubuat, pour

A:= o'^jio, ^rr ^0,0, m = i,oo, «^0,433, i-= 1,433,

mais ces résultais n'ont pas été déduits d'une mesure directe de la résistance.

Dans des expériences de M. Harguerie ( * ] sur des cubes de 0^1,5 et I mèlre carré de faces environ, mus sous de faibles vitesses, dans un bassin rempli d'eau de mer, où ils se trouvaient entièrement plongés, A* a pris moyennement la valeur 1,37, qui surpasse un peu celle 1,17, fournie par la Table cidessus.

Les expériences du colonel Beaufoy (395), sur des prismes rectangulaires de i pied carré de base et 10 pieds anglais de longueur, enfoncés de 6 pieds environ sousl'eauet musdsDsIe sens de cette longueur, conduisent, par le calcul, aux valeurs A- = i,44 environ, pour des vitesses de 4 mètres par seconde, k = i,5o pour celles de 2 mètres, et k = 1, 58 pour des vitesses de o",5 environ; l'excès de celte dernière valeur de k, sur la première, paraissant tenir essentiellement au frottement latéral, dont l'influence croit avec l'atTaiblissement de la vitesse (383 et suiv.]-

M. Horin, qui s'est livré à un long travail sur les données fournies par ces mêmes expériences,a trouvé que la résistance, en représentant par S la surface latérale ou frottante du prisme ci-dessus, était donnée, d'une manière approximative, parla formule empirique

R = o,85iïA h 0,1710 A ho,oo7pS »

I re du

1 irnier

DIS AfiSlSTAUCES* 637

le frottement latéral. Mais les résultats de ces expériences offrent, en eux-mêmes, trop de chances d'incertitude (395) pour qu'on puisse ainsi démêler exactement le rôle de chaque genre de résistance.

On ne connaît pas d'autres mesures directes de la résistance des prismes rectangulaires mus dans l'intérieur d'un fluide indéfini, et, comme le remarque M. Duchemin, il ne convient pas de confondre, ainsi qu'on l'a fait quelquefois, ce cas avec celui des corps flottants dont il va être bientôt fait mention.

Suivant le résultat particulier des expériences de cet offlcier supérieur, fondées, comme celles de Dubuat (405), sur des moyens indirects de mesurer les pressions partielles, on aurait dans le cas présent, pour

Va

Ainsi les valeurs de A*, qui, d'abord, sont inférieures, de beaucoup, à leurs correspondantes relatives au cas des prismes en repos (i^l3), leur deviendraient égales pour des longueurs triples environ de la largeur moyenne ou réduite, et, suivant l'Auteur, elles continueraient ensuite à l'être, pour des longueurs de plus en plus considérables du prisme par rapport à sa largeur. D'un autre côté, la résistance, loin de diminuer comme l'indique le résultat ci-dessus des expériences de Dubuat, irait, au contraire, sans cesse en augmentant, à partir des

plus petites valeurs du rapport — » circonstance qui, dans les

vues théoriques de M. Duchemin, s'expliquerait encore par la facilité qu'éprouve ici (407 et M3) le fluide à se dévier et à suivre les faces latérales du corps, sans jamais les quitter, et sans cesser par conséquent de demeurer soumis, en chacun de leurs points, au frottement qui résulte de son glissement sur ces faces. Mais, quel que soit le mérite de cette explication, elle est fondée sur un trop petit nombre de faits, ces faits eux-mêmes offrent, avec ceux qui ont été recueillis par Dubuat, un désaccord trop grand, pour qu'on puisse l'admettre

d'une manière définitive. M. Duchemin représente d'ailleurs la loi des valeurs ci-dessus de /r, par la formule 6* interpolation très-simple

applicable seulement au cas des prismes mobiles dans un fluide en repos.

Résistance des corps /lot tants^ sous des vitesses

médiocres.

Nous avons vu (393) que les circonstances par lesquelles la résistance des corps flottants diffère de celle des corps entièrement plongés, ne sont pas telles que l'on ne puisse encore, pour des vitesses médiocres de 0^,5 à i^.S par seconde, représenter cette première résistance par la formule

K — kpk — = kpAn,

pourvu qu'on y attribue à Taire A, de la plus grande section transversale du corps, la valeur qui convient à la partie réellement immergée dans Tétat de repos ou d'équilibre. Ainsi nous adopterons cette formule dans l'exposé qui suit des résultats de l'expérience.

415. Prismes droits mus suivant l'axe, — Dubuai avait cru pouvoir conclure de la comparaison de ses propres expériences avec celles de Borda (*) et de Bossut (**), que la résistance des corps flottants était, à -circonstances égales, plutôt inférieure que supérieure à celle des mêmes corps entièrement plongés. Dans une expérience de Borda sur une caisse de i4 pouces de hauteur, mais dont la partie immergée représentait un cube de i pied de côté, mû, perpendiculairement à l'une de ses faces, avec des vitesses de 8 à i6 pouces par seconde seulement, on

(*) Mémoires de V Académie des Sciences de 1767. (**) Hydraulique expérimentale ^ chap. XV et XVÎ.

DBS BÊSISTANGES. 63g

aurait eu, suivant les calculs de Dubuat, A* = i , 1 1 résultat effectivement moindre que celui 1,172, auquel il était lui-même parvenu pour les corps entièrement plongés sous Teau.

La plupart des expériences de Bossut, sur des prismes flottants dont la longueur se trouvait comprise entre 2 fois et 5 ou 6 fois la largeur moyenne, ont conduit, pour des vitesses de 2 à 4 pieds par seconde, à des valeurs de A* plutôt moindres que supérieures à l'unité, attendu que ces prismes étaient, fort souvent, accompagnés d'une poupe, dont l'avantage pour diminuer la résistance ne saurait alors être mis en doute (390). Enfinu ne autre expérience de Bossut, sur un prisme rectangle de loP^S'** de largeur, 4 pieds de longueur, enfoncé de 121^, 5 dans l'eau, et qui était mû perpendiculairement à sa plus grande face, avec une vitesse d'environ 2 pieds, ayant conduit Dubuat à la valeur A-=i,44 {Principes d'Hydraulique ^ $• Partie, art. 486 et suiv.), il justifie le léger excès présenté par ce dernier nombre, sur celui que fourniraient les données de ses expériences rapportées au n® kik, ci-dessus, en faisant observer qu'ici la largeur transversale du prisme était le quadruple de la hauteur de flottaison, circonstance qui a dû augmenter la non-pression, etc.

Le fait est qu'il règne quelque incertitude sur ces nombres. Ainsi, par exemple, M. Duchemin, en refaisant les calculs de Dubuat relatifs au cube ci-dessus de Borda , est arrivé à la valeur A* = 1,48, au lieu de 1,1 1 ; et, à l'égard des expériences de Bossut, il pense que l'on doit mettre de côté toutes celles de l'année 1775, ou la direction de l'effort de tirage ne passait pas par le centre de la partie plongée des prismes (395), pour s'en référer uniquement à celles de 1778, oii l'on avait évité cet inconvénient. Or, parmi ces dernières expériences, M. Duchemin en cite deux, sous les n"^ 963 et 964» dans lesquelles un prisme rectangle de 4 pieds de longueur horizontale, sur 2 de largeur, et qui était enfoncé de 2 pieds dans l'eau, a donné, pour la résistance perpendiculaire à la plus grande de ses faces, k = i,85, et, pour celle de la plus petite, k = lySô; ce qui lui fait conclure que la résistance des priâmes droits, mus suivant leur axe, à la surface de l'eau, dépend plus particulièrement du rapport de leur largeur horizontale à leur longueur, et qu'en substituant la considération de ce rapport à

64o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

celle de -=» la valeur de k devient» à peu près, ce qu'elle

serait pour les corps entièrement plongés, et qui, étant immobiles, recevraient le choc de Teau en mouvement (("IS).

D'après cette manière de voir, la valeur de ky relative aux prismes droits flottant à la surface de l'eau, et dont la longue*ur surpasserait 3 fois la largeur horizontale, ne descendrait jamais au-dessous de i , 33, conformément aux données de laTable et de la formule ci-dessus (h\k), de M. Duchemin. Mais, nonobstant toutes les incertitudes attachées aux résultats des premières expériences entreprises, par Bossut, de concertavecd'Alemben et Condorcet, lesquelles ont généralement conduit, comme on l'a observé ci-dessus, à des valeurs de k, peu différentes de l'unité, dans des circonstances qui se rapprochaient beaucoup de celles du halage ordinaire des bateaux, et précisément à cause que l'on avait eu le soin, dans les expériences subséquentes de 1778, de diriger la marche des corps flotlanis par un câble fortement tendu entre les extrémités du bassin qu'ils parcouraient, de manière à leur ôter toute liberté de s'élever ou de s'incliner de l'avant à l'arrière (39i et suivants), nous ne saurions admetttre que, dans les applications à la pratique, on doive attribuer au coefficient Ar, dont il s'agit, et pour le cas des prismes flottants dont la longueur serait au moins 3 fois la largeur horizontale, une valeur qui surpasse notablement 1,10 ou même 1,00. Nous verrons plus loin d'autres motifs d'en agir ainçi.

Ces différentes causes d'incertitude n'ayant pu d'ailleurs influencer sensiblement que les valeurs absolues de k et non leur rapport, dans des expériences entreprises sous les mêmes conditions, on pourra admettre, en attendant des données expérimentales plus précises, les chiffres suivants qui se concluent du rapprochement des résultats obtenus par Bossut,en opérant sur des prismes flottants armés de proues et de poupes de diverses flgures.

4.I6. Corps prismatiques avec proues et poupes» — D'après les expériences dont il vient d'êtie parlé, une poupe angulaire abc (Jig. 68, PL III), à faces planes verticales, ajoutée à la face postérieure ac, d'un bateau prismatique rectangle, dont la

longueur élail deux fois la largeur, n'a diminué la résistance que de o,io environ^ quand la saillie bd, de cette poupe, était la moitié de sa base ac^ et de o,i6, quand elle en était les } environ. L'influence de la poupe pour diminuer la non-pression eût été probablement plus sensible pour des prismes moins allongés (390), comme elle devielndrait moindre aussi pour des prismes dont la longueur surpasserait trois fois la largeur { dans les applications relatives aux bateaux ordinaires, on pourra, sans risque de se tromper de beaucoup, réduire à o,io la diminution de résistance occasionnée par la poupe.

D'ailleurs l'expérience semble démontrer que les arrondissements qui peuvent être donnés {Jig. 69.), aux faces d'une poupe angulaire, ne modiOent que très-peu les résultats, à saillie égale de cette poupe. Mais il en est tout autrement, quand on vient à ajouter à un prisme rectangle, ainsi qu'on le fait pour les bateaux et les piles de ponts, des proues arrondies: l'influence de la saillie et de la forme devient bien plus grande, comme on en va juger par le résultat des expériences connues.

Proues triangulaires verticales* — Le prisme ci -dessus {PL III,Jig.68}, ayant été retourné de manière à présenter son arête tranchante à l'action de l'eau, la résistance a varié, avec l'angle en 6, suivant la loi indiquée par cette Table, dans laquelle on a pris la résistance du même prisme, sans proue, pour unité :

An^le abv

Rapport do

de

la saillie bd à la

Réaialaoces

l« proae.

largeur av.

rompe réet.

tio

Dans le Mémoire souvent cité, M. Duchemin représente la loi des ré^iistances indiquées par cette Table, au moyen de la

642 MÉGANIQUB INDUSTRIELLE.

formule empirique

07— = 0,75/f sina,

dans laquelle a désigne la moliié abdy de Tangle de la proue, ou Tangle aigu à'inciâence (U)2) des filets fluides sur les faces de cette proue, /r'un coefflcient numérique calculé au moyen de la dernière des Tables ou formules du n" Mi, pour Thypothèse où la saillie bd serait comprise dans la longueur entière du prisme, afin d*en comparer la valeur totale à sa largeur transversale ac.

Quoi qu'il en soit de cette formule, on voit que la loi de la résistance qui nous occupe n'a rien de commun avec celle de plans minces soumis à Faction oblique d'un fluide indéfini (M2), et, de plus, on aperçoit que la valeur de cette résistance est susceptible de varier avec la longueur de la parlie rectangulaire du corps.

Proue à pan coupé en dessous. — D'après d'autres expériences de Bossut, l'addition à un prisme rectangle, d'une proue (P/. lllyfig. 70) formée par le prolongement de ses faces latérales et limitée, en dessous, par un plan incliné successivement sous des angles de 4^ dégrés et de sS'^aô' à l'horizon, a réduit la résistance aux o,55 et aux o,43 respectivement, de ce qu'elle était avant qu'on lui appliquât cette proue, le prisme étant alors terminé carrément.

Proues cylindriques verticales. — Suivant d'autres données fournies par ces mêmes expériences, une telle proue, quand sa base est un demi-cercle ahc (PL Illyfig. 7 1 ), réduit la résistance aux ft, ou à la moitié environ de celle 1,10 (415), qui, à longueur et section égales, aurait lieu sans cette proue. Ce résultat est, comme on voit, à fort pou près le même que celui qui, d'après la Table ci-dessus, se rapporte au prisme triangulaire isoscèle inscrit abc^ ou dont l'angle en 6 est droit.

Enfin, d'après des expériences de Borda, d'une tout autre espèce et qui seront bientôt mentionnées, sur des proues isolées de diverses formes, mues dans l'air, on peut provisoirement admettre que, à saillies égales, les proues cylindriques (PL Illyfig. 72), dont la base est un triangle mixtiligne abc, formé de deux arcs de cercle tangents aux faces latérales du

DKS KÉSISTANGES. 64^3

prisme, sont celles qui diminuent le plus la résistance antérieure des prismes.

417. Résistance particulière des vaisseaux. — La figure des grands vaisseaux diffère de colle des bateaux ordinaires en ce que leur proue (PL llly Jig. 73, coupes horizontales et verticales par des plans équidistants) présente une arête aiguë qoî se raccorde aux flancs de la carène, par des courbes horizotttaies aby bcy., offrant une inflexion, La longueur de la coupe horizontale moyenne abc, a'b'c\ répondant au milieu de la flottaison ou de la partie de la carène plongée sous Teati, ne doit par excéder 5 à 6 fois sa plus grande largeur a! c'y puisque la résistance ne pourrait qu'augmenter en raison du A*ottemeiU latéral (414); cette plus grande largeur elle-même doit se trouver un peu au delà du milieu de la longueur à partir da point b.

Dans les expériences de Bossut (*), sur un prisme droit; dfe 72 pouces de longueur, de i5 à 18 pouces de largeur rédtifte, et dont la section transversale avait la forme du mattrecouple ABC, d'un vaisseau, les valeurs du coefficient k ont peu différé de i,o5, soit en plus, soit en moins, tandis que dans celles qui ont concerné un modèle de vaisseau de même section, k n'a varié qu'entre 0,22 et 0,24, c'est-à-dire entre le quart et le cinquième du noiAbre précédent.

La petitesse de ce résultat donnerait lieu de croire que nos ingénieurs maritimes sont parvenus, à force d'expériences el de tâtonnements, à donner à la carène des grands vaissenux à peu près la forme qui offre le moins de résistance à l'action de l'eau. Mais il convient d'observer que la solution dti problème relatif à l'établissement de ces immenses édifices flottanls, dépend d'autres éléments non moins essentiels, tels que : le tonnage qui, avec la viiesse de la marche, constitue en quelque sorte l'effet uiile; le mode û'arrimage, la voilure, la stabilité, elc. Il n'est donc guère permis de regarder le résultat dont il s'agit comme la limite minimum et absolue de la résistance des corps, sous une seciion transversale donnée.

(*) Hydraulique expérimentale, art. 8^5 et 8/6.

644 HÉGANIQOB 1NDI]STRI£LLB.

4-18. Résistance des bateaux nanguani sur les canaux et les rivières étroites. — Les résultais précédents, condernant spécialement le cas oii le fluide peut être considéré comme à peu près indéOni, ou offre une très-grande étendue par rapport aux dimensions transversales du bateau, ne doivent point être appliqués, sans corrections préalables (392), à celui d*un bateau naviguant sur un canal ou une rivière, dont la largeur n'aurait pas 4»^ fois, et la section 6,46 fois au moins sa plus grande largeur et sa plus grande section transversales, comme Ta reconnu Dubuat en discutant le résultat des expériences de Bossut, d*Alembert et Condorcet, déjà citées au n^ 415.

Nommant R la résistance d'un bateau prismatique sans proue, estimée, conformément à ce qui a été dit en cet endroit, pour un fluide indéflni, R' celle du même bateau supposé en mouvement dans un canal très-long ou qui est ouvert aux deux bouts, et dont A' est Taire de la section transversale; A continuant à représenter, pour le cas du repos, la plus grande des sections pareilles d'immersion du bateau, on aura, d'après Dubuat, pour calculer R' au moyen de R,

R 2A-hA' 2-f.~

fraction dont la valeurdevient, en efl'et,runitéquandA'=6,46A, et 3 X 8,46= 2,82 quand A'= A, le bateau remplissant alors toute la section du canal.

Dans cette dernière hypothèse, comme le remarque Dubuat, le prisme refoule en avant de lui la masse du liquide, à peu près comme le ferait un véritable piston; et, si la résistance conserve, xilors même, une valeur médiocre, c'est que Teau, en s*amoncelant en amont de ce prisme, agit pour s'échapper par le fond, et pour le soulever, au-dessus de sa position naturelle d'équilibre, d'autant plus que la section du canal est elle-même plus rétrécie. Mais ce gonflement ou remou, et le soulèvement qui en résulte et qui a été particulièrement observé par Bossut, ne doivent pas être confondus avec le phénomène de l'onde solitaire, mentionné aux n^ 394 et suivants, quoique les effets apparents aient entre eux beaucoup d'analogie, et qu'ils soient le résultat d'une même cause.

DES BÊSISTANCES. 645

• Au surplus, lorsque, sous une assez faible profondeur d'eau, le canal offrira une largeur supérieure h/^y5 fois celle du bateau, il conviendra, d'après Dubuat, de calculer Taire A', comme si elle élail réduite à sa dernière largeur, et Ton devra en agir de même à Tégard de la profondeur, toutes les fois qu'elle dépassera 1,5 fois la hauteur maximum d'immersion (392).

Quand le bateau se trouve armé d'une proue plus ou moins algue, l'influence de celte proue, pour affaiblir la résistance, devient d'autant moindre que la section transversale du canal se rapproche davantage de celle du bateau; la proue ne faisant alors que refouler l'eau en avant comme un piston, sa forme devient, en effet, à peu près indifférente. Nommant H" la valeur du coefficient de la résistance ou de la formule pAU, pour le cas dont il s'agit, et q le rapport de la résistance du bateau avec proue à celle de ce bateau sans proue, considérées, toutes deux, pour le cas d'un fluide indéfîni, Dubuat représente le résultat des expériences de Bossut, par la formule

R', A et A' ayant d'ailleurs les mêmes signiflcations et valeurs que ci-dessus, et le rapport -r^ne devant jamais être pris audessus de 6,46, puisque alors on aurait simplement }V'= qW. Mais, il est nécessaire de le remarquer dès à présent, les expériences dont il vient d'être 4)arlé, ayant principalement concerné (415) des bateaux qui ne pouvaient céder librement à l'action de la force motrice et du fluide, on ne doit pas s'attendre à ce que les formules de Dubuat se vérifient exactement dans les circonstances ordinaires de la navigation. Nous verrons, en effet, plus loin, dans une application empruntée à l'excellent Traité d'Hydraulique de M. d'Aubuisson, que les formules exagèrent alors la résistance de près du double de sa valeur; ce qui vient confirmer les observations du n** 415, et doit d'autant moins surprendre, que l'influence des obtjlacles étrangers apportés ici à la marche du bateau, dans les expériences de Bossut, a dû croître avec le rétrécissement de la section du canal.

Résultat des expériences concernant' les bateaux rapides,

419. Expériences de MM, Macneill et J, Russell sur les bateaux longSy à proue tranchante. — Nous avons consigné, dans Je lableau ci-après, les données et les résultats princîpauic des expériences, entreprises en Angleterre, par ces ingénieurs, dans la vue de découvrir la loi suivant laquelle la résistance ûts bateaux rapides varie avec la vitesse. Les Mémoires d'où . nous avons extrait ces données ne faisant point connaître, avec une suffisante exactitude, les dimensions transversales des bateaux soumis à l'expérience et les profondeurs effectives d*munerslon à l'instant du repos* il nous a été impossible de calculer les valeurs de l'aire A, qui doivent être introduites dans la formule de la résistance, afin d'en déduire celtes du coefficient numérique fr, sous différentes vitesses (*).

D'un autre côté, les expériences elles-mêmes n'ont généralement concerné que des vitesses uniformes, supérieures à i mètre ou i",5 par seconde, en deçà desquelles M!tf. Macneill et Russell supposent, avec tous les Auteurs, la résistance exactement proportionnelle au carré de ces vitesses; c'est pourquoi, au lieu de rapporter, dans le tableau suivant, #omme nous l'avons fait jusqu'ici, les valeurs absolues du coefficientA*, qui seules eussent permis de calculer, pour les divers cas d'application, la résistance effective des bateaux longs dont il s'agit, on s'est borné à y inscrire les valeurs comparées et re- Jatives de la résistance pour chacune des séries principales d'expériences.

A cet effet, on a considéré que, si la loi du carré de la vi-

(*) Note ajoutée par VJutettr à la fin de la deuxième édition, — Depuis VimpresBion de ce passa^re, M. Russell a bien Yoalu me communiquer les élé- «aents du calcul relatifs à la valeur de k pour la Bateau-Onde, Tnn de ceux qu'il a soumis à l'expérience (i>oir le tableau ci-^près du n^ 419); il en résalls qu'à la vitesse de "j^fit par seconde, on aurait A = 0,27, valeur supérieure à celle qui a clé trouvée par Bossut(417), pour un modèle de vaisse^iu ordinairef et dont l'accord avec les résultats obtenus par M. Morin (n^' 423), pour les liateoux rapides de l'Ourcq, vient conÛrmer, à posteriori, les conclusions des n<^« 421 et 423.

DES RtSISTANGBS. 64^

lesse, indiquée par la formule K = kpA — » élail exacte, on

devrait trouver que le rapport ^^ ou kp — y calculé d'après les

données d'une telle série, conserve les mêmes valeurs et que si le contraire arrivait, la suite de ces valeurs indiquerait la loi même des écarts de la résistance, par rapport à celle du carré des vitesses. D*un autre côté, comme cette dernière loi est assez exactement suivie par les vitesses de o",5 à i"*,5 par

seconde, on voit qu'en divisant les valeurs du rapporter^ » par

celle du rapport^ qui appartient à la plus faible des résistances ou des vitesses observées dans une même série d'expériences, c'est-à-dire que, si Ton calcule la suite des valeurs du rapport numérique et composé

cette suite, dans laquelle les nombre relatifs aux plus petites vitesses devront s'écarter peu de Tunité, indiquera, d'une manière absolue, la loi des déviations de la résistance par rapport à celle du carré de la vitesse, ou du produit /r A.

Tel est l'esprit dans lequel a été dressée la Table suivanie, où les dimensions du bateau se rapportent au mètre.

MÉGAiriQUE INDUSTRIELLE.

EXPÉRIETtCES DE H. MACNE1I.L, EN l833.

MODftLB

en culrre.

LoDjr. ext. 3,07c Larg. ext. o^y^H Inimers . . 0,089

Vitesse par secoodo.

3,ai 3,36

Bésistanco comparée

OQ

râleur deN.

BATKAD LOKO

en fer,

le Crahftm jt le Houston ;

l^onp.ext. 3ir,i<.' Larg. ext. ifi-, Immer* . 0,7.1

Vitesse par seconde.

Résistance comparér

on râleur deN.

Al

EXPÉRIENCES DE M. J. RCSSELL, EN 1834 ST l835.

VEsquif,

expériences de tSSi ;

Long ext.. 9,5> L.arg ext.. i,se Immers . . . 0,07

VUesae par seconde.

Résistance comparée

on raleor deN.

Le Bntt'ait^)nde, expériences de i835 ;

Longueur extérieure ai,o3

Largeur Id 1,83

immers. 0,34?

VitesM par seconde

Résistance comparée

on râleur deN.

Immers, 0,487

Vitesse par seconde.

Résistance comparée

on râleur deN.

Le DirJetom,

expériences de i83& ;

Long. ext. 3f,o3 Larg ext. i.ss | Immers.. o,Si

Vitesse par seconde

Réslv tanee

parie

on ralcnr de II.

Ao/A. Les nombres soulignés concerneoldesvilessestrés-volsines de celles que M. Ru«9ell attribue, dans cliaqoe cas ( 894 ), à ia grande onde.

420. Observations particulières reiatii^es aux données de ce tableau. — Nous n'avons point inscrit, dans le précédent tableau» les nombres fournis par celles des expériences de M. Russell, qui ont concerné de très-faibles ou de très-fortes charges et tirants d'eau ; nous nous sommes attachés aux expériences qui, ayant trait à des profondeurs moyennes d'immersion, pouvaient offrir des suites régulières et suffisamment étendues pour accuser une loi dans la résistance. Les expériences relatives aux bateaux le Houston et le JRaith, n'ayant pas d'ailleurs ce caractère, du moins au même degré que celles qui ont concerné VEsquif, le Bateau-Onde, et le Dirleton, nous les avons passées sous silence, afin de ne pas .trop allonger le tableau et multiplier inutilement les calculs.

Quant aux données fournies par les expériences de M. Macneill, elles sont ici rapportées d'une manière à peu près complète, d'après l'extrait des Tables que M. Minard a traduites en mesures françaises et publiées à la page 129(2' semestre i834) des Annales des Ponts et Chaussées. Seulement il nous a paru . utile de substituer, dans quelques cas, des moyennes aux nombres fournis par les expériences, sur le Graham et le Houston, qui, ayant concerné des vitesses peu différentes, offraient néanmoins des anomalies assez fortes pour masquer la loi de la résistance, et pour qu'il devint permis d'en rejeter la cause sur les erreurs mêmes de l-observation. En général, dans les expériences de M. Macneill, comme dans celles de M. Russell, ces anomalies, dans les résultats partiels relatifs à une même vitesse, sont telles que leurs différences avec la valeur moyenne de la résistance surpassent souvent le | et même le , de cette moyenne; ce qui peut être attribué non moins au mode particulier d'expérimentation, qu'aux circonstances physiques déjà signalées aux n**' 394 et suivants.

Dans les expériences sur le bateau modèle, entreprises par M. Macneill, dans la Galerie nationale des Sciences pratiques à Londres, le tirage horizontal s'est effectué au moyen de cordes mises en mouvement par une machine à contre- poids ; il en est à peu près ainsi des expériences en grand, de M. Russell, sur le Bateau-Onde et le Dirleton; mais peut-être le dispositif, en lui-même fort ingénieux, employé dans ce dernier cas, et qui a quelque analogie avec celui de la machine à contre-poids

et à disques tournants de Tllalien Maitei, pour mesurer la vitesse initiale des projectiles, n'offrait-il pas toutes les chances de précision désirables, sous le rapport de Tuniformitédu mouvement et de l'appréciation de la résistance. Enfin, dans les autres expériences de ces ingénieurs, le halage des bateaux s'est opéré directement, au moyen de chevaux dont l'irrégularité d'action présente ici des inconvénients d'autant plus graves, que la résistance change très-rapidement avec la vitesse.

• 4-21. Principales conséquences et réflexions critiques sur l'emploi des bateaux rapides et la loi de leur résistance, — Les incertitudes et les contradictions qui viennent d'être signalées dans le résultat des expériences, ne permettent pas de tirer des conclusions positives relativement à la loi mathématique de la résistance des bateaux rapides er aux avantages qui doivent être attribués, je ne dis pas sous le rapport industriel et com- . mercial, mais sous celui de la diminution même de la résistance, à l'usage exclusif d'une grande vitesse. Que, dans la vue d'augmenter le tirant d'eau, la charge utile, on réduise à 7?, comme on le fait généralement, ou même à y% ^^ rapport delà largeur à la longueur du bateau ; on ne voit là rien que de trèsavantageux surtout pour les canaux étroits (4.18); carTaccroissement de frottement dû à un pareil allongement de la carène ne saurait compenser, du moins entre certaines limites, Tavantage inhérent à la diminution de sa section. Que, dans la vue de diminuer les frais du halage par les chevaux, on fasse remorquer les bateaux par des locomotives établies sur chemin de fer, comme on l'a récemment tenté pour l'un des biefs du canal de Forth et Clyde, en Angleterre, il n'y a là encore rien que de très-naturel. Qnant à l'usage des grandes vitesses, considéré en lui-même, il est certain qu'il entraîne un accroissement énorme de la résistance et de la fatigue des chevaux, ainsi que l'avait appris le résultat des plus anciennes expériences.

L'ensemble des nombres consignés au tableau ci-dessus montre, en effet, que, pour des vitesses qui n'excèdent pas 2 mètres par seconde, dans les expériences en grand de M. Mac^ neill, et 2"*,5o à a", 80 dans celles de M. Russell, la résisuncc est, à peu près, telle qu'on la conclurait de la loi ordinaire,

DBS RÉSISTANCES. 65 1

mais qu'à partir de ces vitesses respectives, qui répondent à celle du trot ordinaire des chevaux, jusqu'à la vitesse de 3 mètres à 3'°,4o» ^^î ^^^^ très-peu près celle du grand trot, la résistance croît d'une manière fort irrégulière, et comparativement très-rapide, surtout dans les expériences de M. llussell, où elle surpasse, pour quelques cas, le double de celle que fournirait la loi du carré de la vitesse; qu'enOn, si, à partir de ce point, dont, suivant ce dernier ingénieur, la vitesse différait peu de celle de l'onde solitaire, la résistance suit comparativement une marche décroissante, il s'en faut de beaucoup qu'elle descende au-dessous de la résistance assignée par la loi dont il s'agit, de quantités aussi notables qu'on semblait l'espérer et l'annoncer d'abord. Car, si les résultats obtenus par M. Macneill et quelques-uns de ceux qui l'ont été par M. Russell, indiquent qu'à la vitesse de 4"»^ ^ 5 mètres par seconde, qui est à peu près la limite de celle qu'on puisse ici espérer des chevaux, la résistance se trouve réduite aux 0,66 moyennement, de celle qui aurait lieu d'après la loi du carré des vitesses, tous les autres résultais des expériences du dernier de ces ingénieurs montrent que cette réduction, quand elle existe, est tout à fait insigniflante, sans compter que le chiffre des premières est fort contestable, et serait remplacé, avec plus de chance d'exactitude, par la fraction 0,7a ou 0,76» attendu (419) qu'il répond, dans le tableau, à des séries de valeurs de N, dont celles qui concernent les plus faibles vitesses, sont moyennement de o^i au moins au-dessous de l'unité.

Concluons de cette discussion, que si les phénomènes présentés par les baieaux-poste sont, en eux-mêmes et sous le point de vue scientifique, dignes de l'attention la plus sérieuse, il s'en faut qu'ils offrent, sous le rapport des réductions comparatives de la résistance à de grandes vitesses, et abstraction faite des avantages inhérents à la forme, aux dimensions mêmes des bateaux, le degré d'intérêt et d'importance industrielle qu'on a voulu leur accorder dans ces dernières années; et, pour tout dire en un mot, la seule conséquence positive qu'il soit permis de tirer, quant à présent, du résultat des expériences anglaises, c'est que s'il devient avantageux, pécuniairement parlant, de marcher rapidement dans certaines

652 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.

circonstances, il convient de faire prendre aux bateaux une allure assez vive pour ne pas tomber dans des vitesses trop voisines, en dessous, de celles pour lesquelles l'onde soliiaire tend à se former et à se maintenir avec régularité.

422. Expériences de M. Morinsurhs bateaux prismatiques, avec proue et poupe pyramidales raccordées cyiindriquement [PL Ill.fig, 69 et 70). — L'un de ces bateaux, dont la forme était généralement celle des bateaux d'équipages de ponts militaires, a reçu diverses rallonges qui ont permis d'étudier l'influence particulière de la longueur sur la résistance. Ils ont tous été mis en mouvement dans un fossé de la fortification de Metz, ayant i mètre de profondeur d'eau moyenne et 3o mètres de largeur, tandis que la largeur des bateaux a seulement varié enire o",7 et i",7. Les phénomènes observés dans ces circonstances particulières ont été analogues à ceux que nous avons déjà décrits d'après M. J. Russell, si ce n'est que le pan coupé en dessous, de l'avant des bateaux, donnait ici Heu à deux gerbes latérales qui tendaient à augmenter l'évldement, la dépression sur les côtés de la proue et les longues faces qui s'y raccordent. La vitesse a été imprimée à ces mêmes bateaux, tantôt au moyen d'une machine à conlre-poids, tantôt à l'aide de chevaux dont l'allure irrégulière, jointe aux inconvénients inhérents à l'obliquité de la proue (395), était très-défavorable au succès des expériences. Aussi ne doit-on pas être surpris des incertitudes offertes par les résultats, et de la bizarrerie des lois qu'ils suivent.

En prenant pour abscisses les vitesses et pour ordonnées les résistances correspondantes, mesurées directement dans chaque cas, M. Morin, chargé spécialement de la direction de ces expériences, a généralement obtenu des courbes à point d'inflexion, dans le genre des paraboles cubiques, c'est-à-dire en forme d'5, et qui d'abord, convexes vers l'axe des abscisses, comme le veut la loi parabolique ordinaire (393), deviennent ensuite concaves, sans cependant donner lieu à un sommet ou maximum d'ordonnées. Ces ordonnées coniinueni, en effet, à croître, comme dans toute la partie des courbes voisines du point d'inflexion, avec une rapidité variable d'une série d'expériences à l'autre et sans relation nécessaire ou apparente

avec la hauteur d'immersion, le tirant d'eau du bateau, et sa longueur : celle-ci, notamment, n*a pas semblé exercer une influence appréciable sur l'intensité de la résistance, quoiqu'elle ait varié entre 8 et 17 fois la largeur, et que son augmentation ait donné lieu à une diminution sensible de l'inclinaison et de l'étendue de surface exposée à l'action de l'eau. M. Morin a^ant relevé, avec beaucoup de soin et par des moyens suffisamment précis, l'inclinaison dont il s'agit, la profondeur d'immersion effeciive sous chaque vitesse et l'aire de la section transvei'sale correspondante, a pu, dans les nombreux tableaux qui accompagnent son Mémoire, calculer le rapport de la résistance effective au produit de cette aire par le carré de la vitesse; mais les résultats n'ont pas offert, pour cela, une loi plus régulière, plus facile à représenter par une formule, que si l'on se fût borné à prendre, pour l'aire transversale immergée,* celle que l'on considère ordinairement, et qui, étant relative à l'état de repos, est beaucoup plus facile à mesurer. Cette dernière aire se trouvant soigneusement indiquée dans les tableaux, sa connaissance permettrait de calculer utie nouvelle Table des valeurs du

coefficient /f, de la formule Vi=kpk — ; mais, à cause des

ig

incertitudes attachées aux résultats, nous nous contenterons de remarquer : i"" que, pour les différentes formes de bateaux soumis à l'expérience, avec ou sans rallonges, les valeurs de k ont généralement peu différé de 0,20 pour les plus petites vitesses, comprises entre i"*,2o et i"»,5o par seconde; chiffre notablement moindre que celui auquel on serait conduit (&16) par le résultat des expériences de Bossu t; 2? que les plus grandes valeurs de k ont eu lieu pour des vitesses comprises entre 2'",6 et 3 mètres, etse sont élevées jusqu'à i, i5 pour les bateaux d'équipages de ponts, et à 0,95 moyennement, pour les autres, avec ou sans rallonges, ces mêmes valeurs paraissant généralement croître d'ailleurs avec la profondeur d'immersion; 3° enfin que, pour les vitesses de 4 à 5 mètres par seconde, le coefficient dont il s'agit peut descendre jusqu'à la valeur o,5 ou 0,6 dans les cas les plus favorables, et demeure ainsi toujours supérieur, de beaucoup, à celui qui convient aux plus faibles vitesses.

654 MÊGAlflQUE INDUSTRIELLE.

423. Expériences de M. Morin, sur le bateau-poste de Paris à Meaux. — Ce bateau, en forte tôle, et qui offre une forme et des proportions analogues à celles ( PL 111 y fig. Sy et 58) des bateaux qui naviguent sur le canal de Paisley en Ecosse, a i"'y86 de largeur, 0^,74 ^^ profondeur et 22™, 7 de longueur; il peut porter jusqu'à 80 ou 85 personnes, y compris l'équipage, et marche ordinairement à la vitesse de 3 lieues à l'heure, traîné par trois chevaux dont le relai est d'environ 3 800 mètres. Les expériences ont eu lieu aUemativement sur le canal de rOurcq et le canal Saint-Denis, dont le premier offrait une sec* tion beaucoup plus faible que le second, réunie à une pente qui donnait aux eaux une vitesse de o"',25 ào™, 3 par seconde; ce qui n'a pas empêché que la résistance, à vitesse relative égale, n'ait été plus grande dans le dernier canal et pour les circonstances où le placement du bateau, au sommet de l'onde, rendait sa marche la plus convenable. Cette vitesse s'écartait elle-même assez peu de 4"'>3 par seconde à la descente, et de 3™, 8 à la remonte : au-dessous de ces limites respectives, le bateau était soulevé à l'avant; il s'inclinait par suite de sa tendance à marcher derrière l'onde, et la résistance passait souvent du simple au double, comme dans les expériences de H. J. Russell; mais, à l'inverse de ce qui a été avancé par cet ingénieur, avec de l'adresse et de la persévérance, on a pu souvent faire remonter le bateau sur le sommet de l'onde, et l'obstacle n'est point infranchissable comme il le prétend.

D'ailleurs les vitesses les plus convenables dont il vient d'être parlé, sont sensiblement moindres que celles qui, d'après la règle de M. Russell (394), correspondent à la moitié de la profondeur du canal aux divers points (ici i"',3 et 2 mètres), et M. Morin, en remarquant, d'après le résultat de ses propres expériences, que l'onde peut être formée à des vitesses beaucoup moindres, dépendantes uniquement de celles du bateau, explique la difficulté de la marche, à ces dernières vitesses, par l'allure indécise des chevaux qui sont alors contraints de cheminer au petit trot. Quanta nous, qui n'admettons pas non plus la règle de M. Russell, il nous semble à peu près évident (397), que la disparition des ondes accessoires, la formation de l'onde calme, solitaire, ont lieu à une vitesse constante et sensiblement indépendante de la forme et des di-

DBS BfiSISTÂNGBS. 655

mensions do canal. La remorque régulière à Taide de machines à valeur, mettra sans doute, bientôt à même de décider la question d'une manière plus positive.

En attendant, voici les moyennes des résultats obtenus, par M. Morin, pour la marche la plus avantageuse du bateau au sommet de l'onde :

Canal de rOurcq R=io,54A(V±t')^^«, A-=o.207;

Canal de Saint-Denis. R=:i3,8oAV*''», k = o,2']i,

V-f-i' représentait ici (382), pour le canal de l'Ourcq, la vitesse à la remonte, et \—vk la descente ; A, en général, l'aire de la plus grande section immergée au repos, enQn k le coef* (icient de la formule R=:A/^AH.

Le rapprochement de ces résultats avec ceux du précédent numéro et du n^4t7, qui concernaient les faibles vitesses de bateaux offrant une forme à peu près aussi avantageuse que celle des bateaux-poste, semble permettre de conclure que, même sous de très-grandes vitesses, et précisément pour celles qui rendent la marche la plus facile, la résistance n'est ni plus ni moins forte que ne l'indiquent les anciennes formules et l'ancienne théorie. Ainsi, les conséquences offertes par le résultat des expériences de M. Morin restent à peu près les mêmes que pour les expériences anglaises (421). Quant aux développements dans lesquels nous sommes entrés, ils trouvent leur excuse dans Timporlance et la nouveauté du sujet.

Résistance des corps anguleux ou arrondis, de diverses formes,

mus dans un fluide indéfini.

424. Résultats des anciennes expériences sur la résistance comparée de ces corps. — Borda, Hutton et Vince ont entrepris des expériences dans la vue de découvrir spécialement l'influence de la forme de différents corps pleins, ou sortes de proues et poupes isolées, tels que prismes ou coins triangulaires à faces planes et courbes, cônes droits circulaires, demicylindres, sphères entières et demi-sphères, qu'ils faisaient mouvoir cîrculairement suivant leurs axes ou plans de symétrie, dans l'eau ou dans l'air, sous des vitesses médiocres et

656 mégàiviqub industrielle.

de manière à leur faire présenter alternalivement la saillie ou convexité, et la base, ou le plan diamétral, à l'action directe du milieu. Les résultats auxquels ils sont parvenus en comparant, pour chaque cas spécial, la résistance sur la convexité à celle sur la base, sont consignés dans le tableau suivant, où le prisme triangulaire, à faces courbes, et le denii>cylindre, à face elleptique, désignent, le premier, un prisme dont l'angle au sommet [PL III, Jig. 72, n*» 4.16), était formé par la rencontre de deux arcs circulaires de 60 degrés, décrits des extrémités de la base, comme centres; le second, un cj^lindre ayant pour section transversale une demi-ellipse circonscrite au triangle équilatéral formé sur cette base, et dont la saillie était ainsi les 0,87 environ de la largeur.

nAPPORT DE LA RÉSISTANCE :

Du coin triangulaire à faces planes, à celle 1 . » ,

, . * 1 • p I ) go' Borda 0,718

de sa base rectangulaire, langle au som- ( ^ ^ ,* ^ v t

mel étant de (^ ^"•)- "•**»

Du coin triangulaire à faces courbes, à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,390

Du demi-cylindre à base elliptique à celle de sa base rectangulaire ( Borda) o,43o

Du demi-cylindre circulaire à celle de sa base rectangulaire (Borda) 0,570

De la convexité du cône à celle de sa base ( ^^ ^^^\^ ^'^X

circulaire, Tangle au sommet étant de | ^ « i /,i .V "/ " ^* ,î, ' ^ \ 6i*24'(Hutlonj... 0,433

De la demi-sphère à celle de la sphère entière (Borda et Hutton) 0,990

De la demi-sphère à celle de son plan dia- 1 „ ?[ ^^ ^ ** , *

,, y { Hulton. o,4i3

metral : i ,,• , ^

\ Vince o,4o3

425. Observations diverses sur ces résultats. — On doit regretter que les résistances de chaque espèce n*aient point été comparées directement à celles de plans minces,, de même forme et surface, que les bases des divers corps indiqués au tableau, car elles eussent mis à même d'apprécier Tinfluence comparative des poupes isolées. Tout ce qu'il est permis de conclure de l'ensemble des résultats obtenus par Hutton, dans des circonstances qui, malheureusement, ne peuvent pas être considérées comme absolument identiques, c'est que la pre-

DBS RÉSISTANCES. 657

mière de ces résistances, celle des plans minces, eût été généralement trouvée un peu moindre que la seconde, celle des mêmes plans accompagnés de leurs poupes, et cela dans une proportion d'autant plus sensible que la saillie de celte poupe eût, elle-même, été plus grande par rapport aux dimensions transversales de sa base. C'est ainsi, par exemple, que, pour les bases de Thémisphère et du cône soumis à l'expérience par Hutton, la résistance, dans l'air, et sous des vitesses de 3 à 4 mètres, a surpassé de o^oi et 0,02 environ, de sa valeur, celle du plan mince correspondant; ce qui est sensiblement d'accord avec le résultat qu'on déduirait des données d'expériences et de la formule rapportées au n"* kik, d'après M. le colonel Duchemin, pour le cas des prismes, lorsque, dans la vue de découvrir spécialement la part d'influence due à la saillie d'une poupe adaptée à un plan mû perpendiculairement dans un fluide en repos, on a le soin de prendre celte saillie pour la valeur de L dans la formule.

On peut aussi remarquer, avec cet officier supérieur, que les nombres offerts par les résultats des expériences de Borda et de Hutton, sur la résistance des prismes triangulaires et des cônes, suivent, à très-peu près, la loi du sinus des demiangles aux sommets ou des angles d'incidence, à cela près encore de l'influence particulière et ici très-faible, due à rallongement même de chacun des corps. Ces différentes circonstances, jointes à ce que le rapport des résistances doit, d'après les observations du n° 401, rester à peu près le même dans le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire, permettraient de déterminer, par le calcul, la résistance absolue des corps indiqués au tableau ci-dessus, si celle des plans minces était exactement connue. Prenant* par exemple, avec H. Duchemin (4>1<^), A* = 1,254 Ppu>* l^s coefficients des plans minces, mus directement dans l'air ou dans l'eau, celui de la sphère entière serait moyennement (k^k)