PRINCIPALEMENT FONDÉE SUR LA CONSIDÉRATION DES FORCES VIVES

{a). Volions préliminaires et fondamentales, — On a pu voir, par l'exposé des n°* 373 et suivants de cet Ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides laissent encore de vague et d'obscurité, et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique, par un lien plus solide, et qui» en l'absence d'une théorie mathématique rigoureuse, permit, au moins, de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de l'expérience. Or cela ne nous parait nullement impossible, si, en considérant ces résultats dans leur ensemble, on essaye de les déduire, d'une manière plus explicite qu'on n'a pu le faire dans le n° 381 du texte, de l'application du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu, par BemouUi et Borda, dans leurs recherches physico-mathématiques sur l'écoulement des liquides.

Rappelons-nous, en effet, cette remarque importante due à l'esprit ingénieux de Dubuat, et qui s'est présentée en plusieurs endroits du texte, notamment aux n"^ 378 et 379, 392 et 418 : Quand un corps est exposé à l'action directe d'un fluide, les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultant de l'obstacle que présente ce corps à leur libre passage, que dans une certaine région de part et d'autre de l'axe du corps, parallèle à la direction du mouvement; elles se meuvent comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois LM, L'M' [fi§^, 53, 55, 8o, etc., PL III] seraient parallèles et à peu près équidistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit luimême au corps, suivant la direction du mouvement absolu ou relatif;

^24 HtCÀHIQVB IMDUSTUSLLB.

de sorte qu'en amont de ce corps, Técoulement se ferait comme dans ud Tase qui offrirait, sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice annulaire déterminé par Tintervalle compris entre les extrémités du corps et les parois fîclÎYes dont il vient d'être parlé, parois qu*i] serait d'ailleurs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu'à la région où les tourbillons et mouvements excentriques quelconques viennent à se propager (375) dans les masses latérales du fluide.

Cette manière d'envisager le phénomène de la résistance est si naturelle, que Dubuat la formellement indiquée au n® 437 du tome II de ses Principes d^Hy-draulique, et que les expériences subséquentes de M. Duchemin, consignées dans ses Mémoires (373) suc(essivement présentés à TÂcadémie des Sciences, Font conduit à comparer, du moins pour le cas où le corps en repos reçoit le choc de l'eau en mouvement, les phénomènes d accélération et de déviation présentés par les filets liquides, sur le pourtour entier du corps, à une contraction renversée, qui, dans le cas des prismes, prendrait, jusqu'à un certain point, les caractères du phénomène si connu des ajutages crîimlriques ou tuyaux additionnek^ adaptés aux orifices d'écoulement des vases (413 et Note). Mais, loin de poursuivre celte idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Du* chemin s*est contenté d'en déduire, par une comparaison un peu forcée, par une sorte d*empirisme, la formule d'interpolation rapportée dans la Note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu'elle a de représenter les quatre résultats des expériences de Dubuat (413) vérifiées par celles deTÂuteur, nous parait d*autant moins admissible en elle-même, queTanal(^e sur laquelle elle se fonde n'aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu'il deviendrait alors nécessaire (414) de changer à la fois de principes et de formules. Or oo arrive à des conséquences très-différentes, lorsqu'en adoptant sans réserve ridée ingénieuse de Dubuat, on lai applique, comme on Ta indiqué ci-dessus, les belles théories de Bemoulli et de Borda.

(b). Hypothèses admises. — Dans cette application du théorème des forces vives, on suppose ordinairement que les pressions et les vitesses des molécules fluides sont égales, dans certaines régions où le mouvement est parallèle, comme par exemple en amont aux points L, L', àKsfg. 53, 55, 8o, etc., Pi. II J y ce qui est évidemment ici permis, ou vers les points m et it, Ht' et II' qui appartiennent à la section contractée ^ pour laquelle la Gon\'ergence des filets, au sortir du vase, devient la plus forte et Tbypothèse beaucoup moins évidente, bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (*) sur le choc des veines liquides, soit entre dles, soit contre Tori-

(*) Mmmmies éf Chimie et de Phxsxfwe, t. LT, i833.

DBS BfiMST4NGB6. 7^25

fice du tube maDométrique de Pitot (378), prouvent que le fait est vrai dans le cas où de telles veines sont produites par l'écoulement permanent d'un liquide au travers d'orifices circulaires, pratiqués dans les parois miooes de réservoirs très-grands par rapport aux dimensions de ces orifices; et cela résulte aussi de la vérification à posteriori des formules obtenues dans cette hypothèse, pour la vitesse et la dépense de liquide, Mais, dans le cas qui nous occupe où une masse fluide indéfinie vient rencontrer un corps solide en repos, il ne parait pas que la même hypothèse soit permise ; tout porte à croire, au contraire, comme on le verra plus loin, que la vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus petite vers l'intérieur de la veine contractée en m et m\ qu'à l'extérieur en n et n\ où elles doivent être simplement égales à celles du milieu ambiant. D'un autre côté, en considérant ce qui se passe à une petite distance, en amont de l'orifice d'écoulement, c'est-à-dire dans l'espace que l'on assimile à un véritable réservoir, on ne voit pas que l'on soit plus fondé à y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets, et dont l'excès sur celles qui ont lieu en aval du corps, détermine certainement l'accélération de vitesse reçue par le fluide en mn et m'n\

Cependant, nous admettrons, dans l'application du principe des. forces vives à ce mode d'écoulement, l'hypothèse ordinaire du parallélisme des tranches, ou des vitesses et des pressions moyennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales, par l'aire de ces tranches respectives, non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes, mais pour avoir des rapports, des relations qui, au moyen de certains coefficients à déterminer par l'expérience, indiquent approximativement les lois du phénomène, ainsi que cela a lieu, par exemple, dans le cas des déversoirs, où le principe des forces vives conduit à des formules de celte espèce. Seulement il ne faudra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à l'égard des pressions, elle tend, quant aux vitesses, à diminuer l'expression de la somme des forces vives, d'une fraction numérique de sa valeur, qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et leurs directions respectives varient dans chacune des sections ou tranches planes à considérer.

Enfin, il est bon de le remarquer, cette manière d'envisager la question de la résistance des fluides ne diffère, au fond, de celle du n^ 381 , qu'en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement, au lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et, si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitesses individuelles, c'est afin d'arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses pertes de forces vives qui, dans le -cas d'un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour l'entretenir à un même état de mouvement, travail dont la valeur est alors, en eflét, clairement indiquée par le produit dont les facteurs sont : l'aire de la projection du corps sur un

726 MÉCANIQUE INDUSTRIBILE*

plan perpendiculaire à la direction de sa vitesse, Tezcës de la pression moyenne d'amont sur celle d'aval, et la distance uniformément parcooroe dans chaque élément du temps ou dans chaque seconde. Mais quoiqu'on n'aperçoive plus aussi bien, dans le cas d'un corps en repos choqué par un fluide en mouvement, la relation entre les pertes de forces vives et le travail moteur qui, en réalité, se trouve alors représenté par celui des pressions censées appliquées aux tranches extrêmes de la masse liquide» il n'en est pas moins évident, h prioriy que l'un de ces cas peut être ramené à Taulre par la considération des mouvements relatifs; c'est pourquoi nous ne traiterons ici que la question du choc, sans nous préoccuper, en aucune manière, dans nos raisonnements, de celle qui concerne spédalement la résistance.

(c). Plan mince soumis au cltoc direct d'un fluide, — Ces préliminaires étant établis, considérons d'abord un plan mince CD [PL III, flg, 80), de surface A, et qui se trouve plongé, au repos, dans un fluide indéfini de densité /^, animé de la vitesse uniforme V, perpendiculaire à sa dirt*ction. Nommons :

A' l'aire de la section transversale du canal formé par les parois fictives LM, L'M ;

m le coefficient de la contraction effective éprouvée par les filets en /««, m'n\ c'est-à-dire le rapport de l'aire de leur section transversale, à celle A'— A, de Forifice annulaire du réservoir;

W la vitesse moyenne du fluide dans la section contractée mn, m*n\ dont l'aire est m (A'— A);

// le facteur numérique, supérieur à l'unité, par lequel doit être multipliée la vitesse W, pour redonner la somme des forces vives effectives dans ces mêmes sections;

P et P' les pressions moyennes, par unité de surface, qui ont lieu en amont et en aval du plan CD ;

Q enfin le volume et M = ^ ~ la masse du fluide qui, dans l'unité de

temps, s'écoule uniformément par chacune des sections transversales A' et m ( A'— A) ;

on aura, en appliquant le principe des forces vives à la question, comme on le fait ordinairement dans l'hydraulique, et sans s'inquiéter aucunement ici de la manière dont les pressions partielles se trouvent distribuées dans les tranches extrêmes A' et m (A'— A), en amont ou en aval du corps,

M«'W'-MV'=ag'M(?-^'), «'W-V=:i^(^-^);

DBS RtSISTANCSS. 727

d'où Ton tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la xJifférence des pressions absolues supportées par le plan CD, sur l'étendue, A, de ses deux faces,

P - ?*= -^ («»W»- V*), R = Ad (^^'— —\ . ^g \ ^g ^gj

Mais, à cause de la continuité, ou parce qu'il doit s'écouler dans. Tunité <ie temps, la même masse de fluide par la section contractée m (A'—A), qu'il en afflue uniformément par la section d'amont A', on a aussi, dans l'hypothèse où ce fluide n'éprouverait qu'une variation de volume insensible, en passant de la pression P d'amont, à la pression P' d'aval, dont la première est supérieure et la deuxième inférieure à la pression naturelle ou statique du milieu,

■ce qui donne finalement

'^^^^WlA'-A)'-')^' '^^^•^;r,'(A'-A)-~"

pour la valeur du coefficient A (382) de la formule R ;= A/? AH.

{d). Comparaison des résultais de la théorie avec ceux de Inexpérience. — Si Ton admet le résultat des recherches expérimentales de Du* buat, qui donnent ici (406), ^ = i,86 pour le coefficient de résistance des plans minces, et A'= 6,46A pour la limite (418) au delà de laquelle le fluide ambiant cesse d'exercer de l'influence, on déduira de l'expression «i -dessus de /*,

on satisfera à cette condition particulière en prenant, par exemple, le coefficient de contraction m = 0,75, comme le donne lexpérience, dans le cas où la contraction est nulle sur trois faces, et /i = i ,07 14, 1' = 1 , 1 49 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que l'hypothèse d'une vitesse moyenne pourrait avoir ici d'inexact.

La relation A'= 6, 46 A, admise par Dubuat, pour le cas des prismes entièrement plongés (Pn'/ici/i^^ d^ Hydraulique y t. II, n^581 ), suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu'à une distance du corps, égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais, si d'après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à o,5 (392), ce qui revient à prendre A'=4A seulement, on trouverait m = 0,7884/1 et il fiiudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que

728 MÉGàlfIQUB INDII8TRIBLLE.

l'unité, el partant inadmissible. 11 ne paraît donc pas que l'on puisse sup» poser A' de beaucoup Inférieur à 6,46 A, pour le cas des plans minces choqués directement par un fluide.

D'un autre côté, on voit, par l'expression générale ci-dessus de X-, que si, comme le voulait Dubual (407 et 413), la déviation se fait réellement de plus loin pour les corps en mouvement dans un fluide en repos, le rapport de A' à A'— A venant à diminuer, il en sera de même de la résistance ; ce qui s'accorde avec le résultat des expériences de cet Auteur, confirmées depuis par celle de M. Duchemii\.

Par exemple, il suffira de supposer A'= laA, pour retomber, à très-peu près, sur la Meur A- = i,433 donnée par les expériences de Dubuat (400) dans le cas dont il s'agit. On interpréterait plus facilement encore ce résultat, en supposant que la contraction latérale des filets diminue dans ce même cas des fluides en repos, ou que le coefficient m, qui entre au carré dans l'expression de A-, y augmente d'une très-petite quantité, par exemple devienne 0,81 ou 0,82; mais alors, comme on va le voir, on tomberait dans d'autres difficultés concernant le cas des surfaces convexes, el Ton ne pourrait expliquer aussi bien la diminution de leur résistance, à moins de prendre le facteur n beaucoup plus près de l'unité; ce qui ferait diminuer en môme tendps m pour le cas des fluides en mouvement ; nous continuerons donc à raisonner dans l'hypothèse avancée par Dubuat, sans nier toutefois qne le facteur numérique /z' ne s'approche un peu plus de l'unité que nous ne l'avons supposé précédemment.

La formule ci-dessus montre d'ailleurs avec quelle rapidité la résistance tendrait à croître 'si, au lieu d'être indéfini, le fluide se trouvait limité par des parois solides plus rapprochées du plan CD qu'on ne vient de le supposer pour les parois LM et L'M': elle indique même que cette résistance deviendrait infinie pour A' = A ; ce qui s'explique en considérant qu'alors la pression continue, éprouvée par le corps, se changerait en un choc vif produit par la colonne fluide indéfinie, comprise, en amont, entre les parois solides dont il s'agit.

(e). Surfaces minces connexes ou concaves, -^ Supposons maintenant qu'on substitue au plan mince CD une surface convexe (PI. III, jSg, 53), continue ou polygonale, mais assez peu allongée dans le sens du mouvement, pour n'être point sensiblement en prise aux effets du frottement, la contraction latérale sera diminuée et son coefficient m augmenté, sans qu'il soit nécessaire d'apporter aucun autre changement à l'expression de /-, donnée (c) par le principe des forces vives et dans laquelle A deviendra l'aire de la projection de cette surface sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, puisque les pressions normales et élémentaires supportées par le corps, doivent être estimées dans le sens même de oe mouvement, comme le sont, de leur coté, les pressions moyennes P et P'. En particulier, si cette surface possède la forme la plus avanta-

geuse possible, et qu'on adopte les valeurs /i'= i>i49) A'= 6,46Â, déjà admises ci-<iessus, la formule donnera, à cause de m = i, le coefficient k = 0,61 pour le cas où le fluide seul est en mouvement; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur. les sphères, mentionnées au n*^ 426 ; mais on doit considérer qu'il s'agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos, et pour lesquelles par conséquent Taire A' a du être augmentée, indépendamment de l'influence, assez faible d'ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

Enfin, il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces concaves où le coefficient m, de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0^6 ou 0,66, conformément à ce qu'on sait des expériences de Borda et de Venturi sur l'écoulement par les tubes rentrants, le coefficient a de la résistance pourrait aussi s'élever de .i,3 à 1,6 fois celui des plans minces; valeurs qui ne sont nullement en contradiction avec Jes effets observés dans ces circonstances (408 et suiv.)*

(/"). Prismes droits soumis au choc direct d'un fluide. — Passant eu cas des corps prismatiques (PL Ill^fig, 55) dont la longueur L, étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM, L'M', il devient permis de supposer que les filets soient redevenus parallèles vers les extrémités postérieures de ces prismes, après avoir perdu, parle choc ou les tourbillonnements, l'excès de la vitesse W, qu'ils possédaient en mn, m'n\ sur celle qu'ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps, et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense, n'M étant cette même vitesse augmentée (6) de minière à reproduire ht force vive effective des filets, comme nous l'avons admis précédemment (c) pour 77 W et la section contractée. Nommant, de plus, G et C les ooniours ou périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous supposerons soumis, sur toutes ses faces, de la part du prisme ou du fluide ambiant, à un fret-

tement représenté approximativement par la formule - 6CtP pour le

premier, et par la formule - 6C'(U— V)* pour le deuxième, en posant^ d'après la. Note de la page 594, b =± 0,000, 36/°^ = o,oo35, ou ^ = o,ooo3ag- s= o,oo3i, et négligeant le terme relatif à la simple vitesse; admettant d'ailleurs, comme on le fait ordinairement et comme nous le justifierons plus loin, que l'excès de la vitesse «W sur la vitesse l'U, donne lieu à une perte de force vive mesurée par l'expression ll(iiW— n'U)' relative toujours à la masee M de fluide écoulée, pendant l'unité de temps, dans chacune des sections A', X'-^Â, m (À'— A), on

7^ «tCAHIQUK niDCSTUILLB.

arrivera, par rapplicaiioo du principe des forces vives au cas aciuei, et en conservant toutes les noUlions précédemment admises (c), à l'écpiation fondamentale

M/i'»U'-IIV'4^M{iiW-VC)^4-:àMJ^rC4^C'ri-gyiu'

de laquelle on tire sans difficulté, à cause des relations de continuité 0 = A'V= m (A'-A)W= (A'- A) U,

en posant, pour abréger, le bctenr numérique «

fA représentant lui-même ce qu'on nomme improprement le cocfficiem de la contraction ^ dans le cas des afutaget ou tuyaux additionnels trèscourts, mais coulant à gueule-bre^ puisqu'il porte ici, plus spécialement, sur la réduction éprouvée par la vitesse de sortie C, en raison des tourbillonnements et des résistances intérieurs.

Nota. Les résultats auxquels on arrive pour u et U, dans le cas des tuyaux d'écoulement ordinaires, s'acèordent, comme on sait, d'une nitnière très-satisbisante avec ceux de rexpérioioe, pourvu que la loagneor de ces tuyaux soit au moins triple de leur diamètre; mais cda nt plus lieu dans le cas contraire, où le coefficient u suit, par rapport à cette longueur, la marche rapidement décroissante, indiquée dans la Note du n* 413, ce qui parait tenir esseotieUement à ce que la vitesse moyenne U, supposée, dans le calcul, égale à mW, en diflëre akxs d'autant plus que l'extrémité du tuyau où elle se mesure, est eile-oiêine plus voisine de la section contractée, a partir de laquelle, en eifet, la veine va en s'épanouissant et prend des sections vîpes très-distÎBCtes de celle de ce tuyau, et qu'il serait probablement plus exact de loi substituer dans l'application du principe des forces vives. Mais, au lieu dlntroduire de pareilles modifications dans les formules, ou il reste eaoore les indermittées n et n' qu'on pourrait sopppaer égales â la valeur 1,07, déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préféiable de sul)8tituer à p, dans ces formules,* les nombres tels que les donne le résultat des expériences de Michelottt, sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs; ce qui montrera, tout au moins, que œs mèoies for-

BS8 1É8I8TANGB8. 7^'

mules marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance des prismes.

(g). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de Inexpérience. — Considérant d*abord le cas où le prisme étant en repos et sa longueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite, les expériences de Dubuat (413) assignent au coelBcient de la résistance la valeur minimum k = i,323, tandis que celle du coefficient p des courts ajutages atteint, d'après les expériences de Michelotti, le maximum de la sienne fA = o,8a, il en résulte que l'expression analytique ci-dessus de X-, ne pourrait s'accorder avec Texpérience, qu'autant qu'on aurait

= f*v ï -+- X- = o,8a v/a,3a3 = i ,a5 ou A' = 5A,

qui se rapprocherait da^ntage encore de celle A'= 4A qui a été mesurée directement par M. Duchemin, dans le cas des prismes en repos, si Ton attribuait à ^ une valeur un pou plus grande que 0,82, comme il parait naturel de le faire, puisque les contractions intérieures sont ici réellement un peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

Maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de ^, données par la formule du précédent article, à partir du plan mince, suivront trés-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Dubuat, tandis que, pour des longueurs de prismes supérieures au triple de la largeur, les valeurs de k iront continuellement en augmentant, comme celles de fA, à cause du frottement latéral. Néanmoins, dans les calculs relatifs aux prismes très-courts, il deviendrait indispensable d'avoir égard à la condition qui rend A'= 6,46 A et p = m = 0,75 pour les plans minces, etc., et il ne s'agit ici, je le répète, que de l'interprétation générale du. phénomène de la résistance au moyen des formules déduites du principe des forces vives.

A l'égard des prismes de longueur moyenne, en mouvement dans un fluide en repos, il y a tout lieu d'adopter la valeur A'= 6,4ûA, telle que l'a obtenue Dubuat pour un cas analogue, et alors on trouve

/• = -~ — I ; et par suite, k = 1 ,082,

nombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expériences de cet Auteur, sur un prisme dont la longueur était le triple environ de sa largeur réduite; de sorte qu'en adoptant la valeur A'= 5 A, pour de tels prismes en repos, et la valeur A' = 6,46 pour les mêmes prismes en mouvement, les formules très-simples

^3a MÉCANIQUE nrDCSTKI^LLE.

représenteraient assez fidèlement la marche et les valeurs de la résistance relative à ces deux tas, pourvu qu'on eût égard aux observations ci-dessas relatives aux prismes très-courts et aux plans minces ; car s'il s'agissait de prismes très-longs^ le frottement latéral ferait diminuer p et augmenter A avec L, d'après les formules analytiques [J) qui donnent les valeurs de ces deux coefficients; ce qui est conforme aux indications de Texpérience.

(A). Prismes avec proues sans poupes. — Prenant, en particulier, pour les prismes de moyenne longueur, fx = i , ce qui les suppose armés d'une proue raccordée favorablement avec leurs faces latérales, la formule de lart. (/y donne X- = o,56 , pour le cas où ces prismes SQnt immobiles, et X- = o,4o, pour celui où ils choquent le fluide en repos. Or, ces ^-aleurs sont un peu moindres que celles qui ont été obtenues plus haut {e) pour les surfaces minces et convexes, considérées dans des circonstances analogues, et la dernière s'accorde assez bien avec les données de Texpérience, relatives (4i4) aux prismes mobiles, armés de proue mais sans poupe. Que si Ton voulait d'ailleurs, comme on l'a déjà proposé (e) pour les plans et surfaces minces, rejeter la diminution de résistance, dans le cas de» fluides en repos, sur la diminution même de la contraction plutôt que sur la grandeur relative du rapport de À' à A, il faudrait aussi attribuer à cA des valeurs proportionnellement un peu supérieures à cdles que donnent les expériences de Michelotti sur les tubes additionnels. Dans toutes les hypothèses, on est conduit à admettre que les valeurs de ce rapport, et par conséquent celles de X-, tendent vers l'égalité, pour les deux cas des fluides en repos ou en mouvement, à mesure que la longueur L des prismes augmente.

Mais nous ne pousserons pas plus loin cette discussion et ces rapprochements fondés sur un trop petit nombre de faits exactement établis, pour conduire à des conséquences exemptes de toute objection, et nous passerons à l'examen de l'influence qui peut être exercée par l'addition d'une poupe à l'arrière des prismes.

( i). appréciation de V influence exercée par les poupes. — En admettant que l'addition d'une poupe n'influe que très-peu sur la direction rectiligne des parois fictives LM, LII' (PL III ^fig. 82), on s'apercevra, de suite, que les phénomènes de mouvement qui s'accomplissent dans la r^on postérieure du canal limité à ces parois, doivent offrir la plus grande analogie avec ceux des ajutages coniques divergents, déjà anciennement soumis à l'expérience par Bernoulli et Venturi. Ainsi la pression y devient négative, c'est^-dire inférieure à la pression statique, à peu près comme cela arrive latéralement, vers l'amont ( PL III, fcg. 55 ), en m et m', sauf qu'ici le parallélisme des côtés du prisme empêche le défont de pression de devenir nuisible ou d'augmenter la résistance. D'un autre côté, b vitesse moyenne, U^ je suppose, conservée par les filets à leur sortie de l'évasement ou en quittant le corps, diminue à peu près en raison m^'erse

DBS liSISTArNCBS. 7SÎ

de l'aire des sections, et cette vitesse, quand la poupe est suffisamment adoucie et allongée, comme Texprime la^. 8a, PLIIJ^ peut se réduire finalement à celle du milieu ambiant; or cela tend à faire disparaître, dans l'équation des forces vives, relative à ce cas, le terme qui concerne la vitesse d^affluence V, du fluide, dans la partie d*amont, et par suite, à diminuer la résistance.

Enfin, le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du tayau limité aux parois fictives LM, L'M', dans la partie évasée formée par la proue, donne lieu à une nouvelle perte de force vive analogue à celle qui est occasionnée par le rétrécissement de la section contractée mn, mW(Pl, II f y fi^. 55), dans le cas des prismes sans proue ; perte qui pourra ici ôtre représentée par le produit M/i''(U^U,)'; si UetU, désignent toujours les vitesses moyennes de régime, ou censées uniformes, dans les sections prismatiques en amont et à l'extrémité postérieure de Tévasement, /7'' le nombre, supérieur à l'unité, par lequel on doit multiplier les forces vives MU' et BfUJ possédées par le fluide dans ces mêmes sections, afin de reproduire les forces vives effectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d'une poupe convenablement adoucie et allongée, mais sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales, il y aura une double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur résistance, il suffira de considérer séparément ce qui se passe dans les régions, antérieure et postérieure, du courant ou canal compris entre le corps et les parois fictives LM, L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédemment admises, et désignant, pour la deuxième, par P,, la pression qui est aussi celle du fluide à l'arrière du corps, enfin par A,, pour plus de généralité, l'aire de la face postérieure de la poupe, supposée perpendiculaire à l'axe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé {PL ///, yf^. 82), celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux, etc. ; négligeant, au surplus, le frottement le long de cette poupe, comme on l'a fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (/), la suivante

M/i'*U.'- M/i''D'-+-M/i'MU-U,}'= îiM^(- --'V

et, a cause des relations de continuité (A' — A)U = (A'— A,)U, = A'V,

elle donne

'~ ^a^fA'^A'-A)»' en posant de nouveau, afin d'abréger,

7^4 ■teAHIQUB IKDOSTRIBLLC.

facteur qui devient nul, comme cela doit être, quand on suppose Taire A, du pan coupé, égale à celle A de la section transversale la plus large de la partie prismatique du corps, tandis que si Ton y suppose A, = o, ce qui convient au cas des proues effilées représentées par la fif^, 8a, PL 111, ce même facteur prend la valeur

très-faible et essentiellement positive, à cause que A' surpasse au moins quatre fois A. Or cela prouve que la pression moyenne d*aval P„ qui doit différer alors très-peu de la pression statique du milieu, surpasse, conformément aux indications de l'expérience relative aux tuyaux divergents, celle qui a lieu vers la partie prismatique du corps, pour toutes les valeurs de A| comprises entre zéro et A.

La pression P, qui agit contre A,, donne incontestablement lieu à une diminution de r^istance mesurée par le produit A,P, ; mais on n'aperçoit plus aussi bien comment on doit évaluer celle qui est due aux pressions exercées par le fluide contre la surfiice de Tévasement formé par la poape, pressions qui décroissent de la section d'aval où elles ont pour valeur P„ jusqu'à celle de la partie prismatique du corps où elles deviennent égales à P^. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remarquée cidessus, pour la proue elle même ; le principe des forces vives ne suffirait pas pour la lever, puisque est impropre à faire découvrir les pression» partielles et variables dont il s agit. Or il parait qu'il faut, ici encore, considérer P, comme une pression moyenne agissant sur toute la partie postérieure du corps, et le produit A (P, — P') comme la diminution qu'éprouve la résistance par suite de la présence de la poupe.

\J\' Formules relatives aujc prismes armés de poupes avec ou $an\ proues. — D*après les observations précédentes, si Ton retranche de Teipression de R, déjà trouvée pour la partie d'amont, la v-aleur du produit A (P, — P') dont le facteur P, — P' vient d'être obtenu en dernier lieu ^ pour la partie évasée du canal, il en résultera cette nouvelle expression de la résistance

à laquelle on arrive, de suite, si, en conservant toutes les dénominations précédenunent admises, on pose, d après le principe des forces vives, réquation

DES HfiSISTANCBS. 735

qui exprime la loi de Técoulement du fluide entre les sections extrêmes A', A'— Â et de laquelle M a disparu comme facteur à tous les termes, mais où, pour plus d'exactitude, on devrait aflecter U et D* d'un coefficient numérique différent de celui n\ qui convient à W, si la poupe n'était pas assez allongée et bien disposée pour ramener les filets fluides au parallélisme.

La formule qui donne, pour ce cas général, la valeur de R, revient donc toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail, par la demi-somme des pertes des forces vives, et son facteur k doit encore pouvoir être conclu de l'observation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages, d'une forme analogue à celle du canal fictif, si on les adaptait, à la manière ordinaire, à lune des parois planes d'un réservoir vertical rempli d'eau uniquement soumise à Faction de son propre poids, mais dont les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l'ajutage.

Pour rendre, en effet, Téquation des forces vives ci-dessus, applicable à ce dernier cas, et propre à donner la vitesse U, d'écoulement par l'orifice extérieur A'— A,, en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à Taxe de la veine, il suffît d'y supprimer le terme en V, et de remplacer le deuxième membre, par le produit ag^H; d*où il résulte que si l'on nomme ^^ le coefficient de réduction de la dépense hypothétique

0 = (A' — A,)/2g'H, et qui porte essentiellement sur la vitesse yj%g^y on devra avoir, d'une part,

de l'autre,

R = /M-' ^•^^îiA'-A.r-^' p-p==?;VA^rÂJi

ce qui permettra de calculer immédiatement la valeur de la résistance au moyen du coefficient /a, fotfrni par les expériences, des tubes divergents dont il vient d'être parlé.

(A-). Comparaison du résultat des formules avec ceux de Inexpérience. — Supposant, en particulier, la proue et la poupe (fisposées (P/. Ill^fig. 8a) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval, le coefficient /// de cette contraction deviendra l'unité, et A, nul ; si, de plus, comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L, de la partie prismatique du corps, est très-petjte, on pourra négliger le frottement latéral, et (/) l'on aura pt = i, ce qui

736 MËCANIQUE INDUSTRIBLU.

donnera simplement pour le coefficient de la résistanoe,

Prenant, comme dans le cas ci-dessus des plans minces, /i''=i,i49t et observant que /i ~ /i' doit être ici une très-petite fraction dont fl devient permis de négliger le carré; prenant en outre, A'= 4Â pour la limite inférieure de Â', relative au cas des corps en repos choqués par un fluide en mouvement, et A' = 6,46À pour celle des mômes corps en mouvement dans un fluide en repos, on trouvera approximativement, dans les hypothèses actuelles où Ton néglige Tinfluence du frottement latéral, en même temps qu*on suppose au corps la forme la plus avantageuse possible, /- = o,i3 et ^ = o,o4, pour le coeflicient de la résistance dans ces deux cas respectifs ;ce qui n^offre rien de contradictoire avec les résaltats connus de l'expérience (417 et 423).

II y a plus même, on doit pressentir, d'après les conditions qui viennent d'èlre assignées au maximum de réduction de ta résistance, que, pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas ane continuité parfaite, pour les prismes rectangles, par exemple, aimés de proues et de poupes d'ailleurs disposées et raccordées avec les foces latérales, aussi bien qu'il est possible, on ne saurait éviter entièremeot les effets de contraction, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans ta marche naturelle des fllets, vis-à-vis des parties anguleuses oo tranchantes; et de telles perturbations sont la source inévitable, soit d'une perte de force vive, soit d'une diminution de la section contractée /w(A'— A) d'amont, équivalente à un accroisement (i — w ) (A'— A), de la section transversale correspondante du CQrps.

(/). Remarques sur la théorie précédente. — L'application du principe des forces vives pourrait, avec des modifications convenables, s'étendre évidemment au cas des corps flottants ou en partie plongés dans les liquides ; mais, comme on le voit, ce principe ne mettant point en état de découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des Blets, résultant d'une forme déterminée du corps, il ije saurait non plus servir à résoudre l'important problème des surfaces de moindre r^islance, qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il peut bien indiquer en bloc, qu'on roe passe l'expression, la marche générale de la pression, de la résistance totale, en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps; mais c'est, comme on Ta vu, en admettant la détermination expérimentale de certains coefficients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets oa à l'inégalité d'intensité et de direction de leurs vitesses dans certaines sections du courant. En rattachant, de cette manière, le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéfinis aux phénomènes mieux éto-

DBS BÉSISTANGSS. 787

diés de leur écoulement dans les vases; les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simplification véritable apportée à la question, et, sous ce rapport, les formules auxquelles elles conduisent peuvent oflrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Bernoiilli et Euler (373), en considérant d*une manière fort incomplète le mouvement des molécules comme se faisant dans autant de filets ou tuyaux indépendants.

(/n). Examen critique de la théorie de Bernoulli et eV Euler. — Nommant toujours /? la densité constante du fluide, et V sa vitesse d'afiluence uniforme en amont du corps, dk Taire de la section transversale de Fun

des tuyaux formés par les filets au point où la vitesse est Y, dm = ^ c^AV

la masse qui s'écoule uniformément par cette section dans Tunité de

temps, enfin a l'angle formé par le tuyau avec Taxe du corps, censé

parallèle à V, en un point où la vitesse est U, c'est-à-dire l'angle de V

et de U; la pression élémentaire due au changement d'intensité et de

direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant

estimée dans le sens de V, sera, d'après Euler et Bernoulli, donnée par le

produit

W U \ dm (V — Ucosa) = ^pdk — I ' — v ^** )

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le môme sens, en chaque seconde, par la réaction de la portion du filet comprise entre les deux points mentionnés; et par conséquent, pour. l'ensemble des portions analogues des filets que l'on considère comme ayant ssbi les effets de la déviation en amont du corps, la pression totale P est donnée par l'expression

où U et a sont fonctions des variables qui fixent la position des filets ou de leur section d*arrivée dky l'intégration devant 9voir lieu depuis l'axe central de la veine, jusqu'aux filets extérieurs qui, restant rectilignes et parallèles, cessent d'être influencés par la présence du corps. Or on voit que cette formule laisse, pour ainsi dire, tout arbitraire ou indéterminé, et qu*on ne peut lui donner une forme plus explicite, à moins d'admettre, avec Euler et Bernoulli , que U et a soient indépendants de la position de dKy ou d'attribuer à ces variables une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par l'expérience ; ce qui est précisément le point de la difiiculté; car on arrive à des résultats très-différents selon

j3S MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

qu'on rapporte a et U aux points d'inflexion même de filets ou à des

points situés au delà, vers les extrémités du corps.

D'un autre côté, rien ne fîxe,*à priori, les limites de Tinlégration; et

si, pour sortir de cette nouvelle indétermination, on prend, avec quelques

auteurs^ pour ces limites, celle de la section transversale du cylindre

circonscrit à ce corps, section dont l'aire serait représentée par A, ce qui

donne la formule

W U \ R = 'ipA — ( I — crcosa I,

on tombe dans un nouvel arbitraire, puisqu'on sait bien que la présence du corps se fait sentir à une distance de son axe central, égale à i | fois, au moins, sa largeur réduite, de sorte que / dX. ne serait jamais audessous de 4 A. Ce n'est donc que par une sorte de compensation d'erreurs que cette expression de la résistance représente assez fidèlement la marche du phénomène, et je ne pense pas que M. Bidone, ainsi qu'il a prétendu le faire dans son intéressant Mémoire sur ia percussion des veines d'eaUy imprimé en i836, parmi ceux de l'Académie des Sciences de Turin (t. XL, p. 8i), je ne pense pas, dis-je, qu'il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse, mathématiquement parlant, l'application de cette même formule aux fluides indéfinis, sans tenir aucun compte de ce qui se passe sur les faces postérieure et latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de ne pouvoir rendre compte des effets dus à l'allongement des prismes, explique sufiisamment les motifs qui ont dirigé l'Académie des Sciences de Paris, lorsqu'on 1826 elle a, de nouveau^ remis au concours la question de la résistance des fluides, en exigeant qu'elle fût appuyée sur l'étude expérimentale de la marche que suivent les vitesses et les 61^ au pourtour du corps; mais peut-être ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut se rendre compte par cette considération, d'une manière un peu plus claire qu'on ne l'a fait jusqu'ici, des principaux phé- . nomènes relatifs aux changements de pression observés dans les expériences.

[n). Examen de la marche des pressions en amont des corps exjxués à Inaction des fluides.* — Occupons-nous d'abord de ce qui se passe danà l'intérieur de l'espèce de vase formé, en amont du corps [PL llIyflg.SS et 80), par les parois fictives LM, L'M', qui, on ne doit pas l'oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pression exercées du dehors au dedans, si de telles différences étaient possibles ou s'il n'arrivait pas, dans la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément égales à ia pression hydrostatique du milieu. Si l'on se rappelle bien le contenu des n** 374 et 378 de cet Ouvrage, concernant la marche des filets qui, par la présence du corps sop-

DBS RÉSISTANCES. 739

posé immobile dans les fi^, 53, 55 et 80, sont contraints de sMnfléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leur convexité à la face CD du corps et à leur axe central aB, tandis que dans la seconde, ils lui opposent leur concavité ; si Ion se rappelle en outre que, dans Técoulement des fluides le long des petits tuyaux analogues à ceux qui sont formés par les filets, la pression élémentaire ou différentielle, en chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle, est nécessairement dirigea de la concavité vers la convexité, et croit avec la courbure et la vitesse; si enfin on codsîdère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l'angle B^C ou BaD, et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une surface lieu des points ^'inflexion des filets, on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois Actives L/7, L'/i', et va sans cesse en augmentant et en s^ijoutant à elle-même, à mesure que l'on s'avance vers la paroi solide CD et Taxe ^B, où elles s'entre-détruisent de part et d'autre, ou, plus spécialement encore, à mesure que l'on s'avance vers le point milieu a de cette paroi. De là d'ailleurs résulte une accélération correspondante de vitesse, de a vers C ou D, accompagnée d'une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois L/i, Vn\ est nécessairement égale à la pression statique, elle lui devient supérieure dans toute la région comprise entre le point a et la surface des inflexions dont il a été parlé.

(o). Région des pressions négatives^ limitée jmr la surface des points d*inflexion des filets. — Pour la 'région postérieure du vase, comprise «ntre cette surface et les sections contractées ww, m'n\ la courbure des filets étant dirigée en sens contraire, la pression totale, celle qui résulte de l'accumulation des pressions partielles, s'exerce du dedans vers le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu'on s'éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives L/?, L'/i' ; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique, il faut qu'elle soit moindre ou négative dans touto la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales du corps, où la veine contractée vient à s'épanouir, à rejoindre ces parois, et les filets à subir [PL llly fig, 53 et 55) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules, elle doit, sous l'influence de ces pressions croissantes du dedans vers le dehors, tendre à s'accélérer dans le même ordre, c'est-à-dire dans l'ordre précisément inverse de celui qui avait lieu dans la région antérieure du vase, et ceci semble justifier l'hypothèse précédemment admise [b et 1/) relativement aux limites assez étroites dans lesquelles se trouvent renfermées les inégalités de vitesse des filets qui franchissent les sections contractées mn^ m'n\

D'un autre côté, il semblerait également permis d'admettre que> pour

74^ MÊGàNIQCB INDUSTEIBLLE.

les points de la surface des inflexions, où la courbure des filets et les forces centrifuges deviennent nulles en changeant de sens et de signe, les pressions totales et les vitesses dussent redevenir elles-mêmes sensiblement égales à celles du fluide ambiant, par suite de Taccélération éprouvée antérieurement par ces dernières ou de la diminution subie en même temps par les pressions, mais ce serait admettre implicitement le parallélisme des filets dans tous les points d'inflexion dont il s'*agit, ce que rien n'autorise à supposer.

(/>). Analogie de ces phénomènes avec ceux que présente l'écoulement par les orifices des 7>ases ordinaires. — Il ne sera pas inutile de remarquer que les considérations précédentes pourraient, tout aussi bien, s'appliquer aux phénomènes de l'écoulement des liquides par les orifices des vases ordinaires, et que M. Lèche valier, dans des Hémoires approuvés par l'Académie des Sciences, a démontré Texistence d'une surface ellipsoïdale interne, voisine de Torifice, qui doit avoir de l'affinité avec celle des inflexions dont il vient d'être parlé, et à partir de laquelle les filets commencent à être soumis à des changements de courbure et à une accélération de vitesse sensibles. On pourrait ainsi rendre compte de quelques-unes des particularités ofiertes par la veine extérieure où la force centrifuge parait jouer un grand rôle tant que la courbure des filets n'est pas redevenue complètement nulle; et notamment de pareilles considérations serviraient très-bien à expliquer pourquoi les formules relatives i l'écoulement des fluides élastiques, dans lesquelles M. Navier a eu égard à la détente, conduisent, en apparence, à des résultats erronés pour le cas de très-grandes diflerences de pression ou de très-grands changements de vitesses.

(q). Régions latérales et postérieures du corps. — M aintenan t si l'on considère, par exemple dans le cas des prismes (PI. III ^ fig. 55), la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction faite des tourbdlonnements partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant brusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée, il est évident que la pression doit se trouver la même en tous les points, c'est-à-dire égale à la pression statique du milieu, puisqu'il n'existe plus de courbure dans les filets et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux extrémités des courants latéraux, près de la face postérieure du corps, les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qui les ramène vers l'axe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu'en mit et m*n\ la pression totale, due à la somme des pressions individuelles des filets, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM. L1I où elle est toujours celle du milieu ambiant, jusqu'aux filets inléneurs des

tourbillons où elle redevient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression statique dont il s*agit.

(r). Influence s/)éciale des proues et des poupes. — D'après ce qui précède, on conçoit très-bien que Tinfluence d'une proue continue et courbée vers le dehors (PI. III, fig. 53 et 8a), ajoutée à un prisme, doit être de reporter vers le milieu /i, du corps, ou le sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare, en amont. la partie soumise à des pressions négatives de celle qui Testa des pressions positives, tandis que Tadditign d'une poupe, courbée de même, n'a d'influence, pour diminuer la pression, qu'autant qu'elle offre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filets qui tendent à former les tourbillons de l'arrière, et dont la vitessse est d'ailleurs déjà fort affaiblie dans le cas où le corps, manquant d'une proue, a, par lui-même, une certaine longueur.

En appliquant à celte manière d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, les considérations sur lesquelles se fonde la formule de Bemoulli et d'EuIer, on arriverait à des résultats moins entachés d arbi- . traire, et peut-être plus propres à représenter les données de l'expérience ; mais, au lieu d'insister sur cet aperçu , nous indiquerons rapidement comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d'un plan mince, exposé obliquement à l'action d'un fluide indéfini.

(s). Des plans minces exposés à V action oblique des fluides (PL III, Jig. 8i). — En admettant toujours, comme un fait de l'expérience, que le mouvement des filets s'opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives L/i et Vn\ et dont le fluide s'écoulerait par l'orifice annulaire formé par l'intervalle compris entre le plan CD et ces parois, on devra remarquer : que la contraction n'est plus la même sur tout le pourtour de l'orifice; qu'elle est plus forte sur l'arête C du plan, la plus avancée vers l'amont, plus faible sur l'arête D qui l'est le moins, et à peu près égale à ce qu'elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire à la figure; que d'un autre côté, l'axe central aB de la masse fluide soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l'arête G que de l'arête D, conformément au résultat des expériences du docteur Avanzini (Instituto nationale italiano, t. I, part. 1), citées dans le Mémoire (403) de M. Duchemin, lequel observe, avec raison, que cet axe et par con« * séquent le centre de pression a^ sur la surface antérieure du plan, doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités de mouvement détruites dans les filets, parallèlement à ce plan, soit égale tout autour on de part et d'autre de sa direction. Il est clair, en effet, d'après les considérations exposées en dernier lieu, que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent aux angles aigus formés par l'axe aB, avec le plan CD, que pour ceux qui appartiennent aux angles

obtus supplémentaires, il doit en être ainsi des pressions que ces filels engendrent respectivement soit sur le plan CD où elles s'ajoutent, soit sur Taxe aB où elles tendent à se détruire en se contrebutant.

De là résulte aussi que la masse des ûlets qui s*écoulent vers la partie aC, allant toujours en diminuant, par rapport à celle des filels qui s'écoulent vers aDy à mesure que Tangle d'incidence BaC devieV)t plus aigu, rinfluence de Taccroissement de contraction subie par les premiers doit aussi s'affaiblir rapidement avec cet angle; de sorte que le coefficient moyen m, de la contraction sur le pourtour du plan CD, doit généralement augmenter, mais moins rapidement que celui qui conviendrait à la diminution de la convergence des filets en D ou en m'n'.

(t). Formules relatives à ce cas. — Conser\'ant les mêmes dénominations que pour le cas du choc normal (c), et observant que la différence des pressions reçues par le plan oblique CD, doit être mesurée par le produit A(P— P') dans le sens perpendiculaire à ce plan, et par Asinoê (?—?') dans le sens parallèle à Taxe ÂB du mouvement, on aura, en appliquant ici le principe des forces vives sans faire de distinction entre les diverses régions ou les divers modes d'écoulement,

«'U'-V*=2^^^', w(A'-Asina)U=A'V;

ce qui donne pour le choc perpendiculaire,

'^^^^^Ï^U'^A'-Asina)'-';'^''*» ^" = m^A'-.Asin«)

et, pour le choc oblique sous l'angle aigu BaC = a.

sina*

, VV n^k'^ . \ . ,, /l'A^sina

2g^\//i'(A'— Asma)* / * w'(A' — Asina)'

Or, en se rappelant que m augmente seulement depuis m = 0,75, qui correspond (d) à a = 90% jusqu'à m = 0,88, qui parait convenir, en effet, aux plus petites valeurs de a, lorsqu'on prend, coqime pour le choc direct, /i'= i,i5, A'= 6,46A, en se rappelant, dis-je, cet accroissement progressif de-///, il sera facile de voir que les valeurs ci-dessus du coeffi-< cient de résistance X', marchent effectivement dans le sens indiqué par les expériences dont les résultats sont reportés dans la Table du n* 4ÙÈ*

On doit comprendre d'ailleurs, d'après tout ce qui précède, pourquoi la résistance des plans minces obliques est très-différente de celle des angles dièdres (4)2), formés par deux tels plans ou par les faces également planes d'une poupe triangulaire ( 416 ; PL III, fy, 68) adaptée à un prisme : dans

DBS RÉSISTANCES. 74^

ces deux derniers cas, Taxe central des filets passe par le sommet de l*angle dièdre formé par les plans, et la contraction se réduit à celle qui a lieu pour les arêtes postérieures de ces mêmes plans, etc.

(a). Considérations relatives aux tourbillons, — Nons terminerons cette Note par quelques remarques concernant les tourbillons qui, en différents cas, tendent à se former dans les fluides, et sont la principale source des pertes de forces vives qu*ils éprouvent lors des changements brusques de mouvement.

A cet égards il est très-essentiel de distinguer les remous ^ en quelque sorte stationnaires, qui se forment dans les anses et les creux d*un bassin, d'un canal traversés par un courant vif ou principal, d'avec les tourbillons proprement dits, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers, comme on le voit exprimé en m et m' (PI. JII, fig. 54 et 55) sont simplement dus au frottement latéral (376) et révolutif d'une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s'agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation, l'incurvation éprouvée par ce courant, toutes les fois qu'il vient à atteindre une masse fluide douée d'une vitesse moindre ou contraire à la sienne propre, quoique parallèle. C'est ainsi que la rencontre de deux courants d'air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous avons de fréquents exemples ; et qu'on pourrait déflnir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires, ce qui n'implique pas nécessairement l'idée d'un choc direct, mais d'un choc en quelque sorte tangentiel, et par suite duquel les deux courants sont sollicités à s'enrouler, pour ainsi dire, autour d'un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C'est encore ainsi que les tourbillons se forment à l'arriére des corps en mouvement dans un fluide, par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons plus intimes qui peuvent être dus à l'épanouissement graduel d'une veine après qu'elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section^ ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu'ils appartiennent à une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont été mentionnés au n"* 375, et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

(c). Expression de la perte de force vive qu^ils occasionnent, — Considérant spécialement le cas des grands tourbillons, il est aisé de voir qu'aux premiers instants de leur formation, leurs divers anneaux ou spires sont doués sensiblement de l'excès de la vitesse V du courant qui les produit, sur la vitesse d'entraînement général U du courant postérieur; de sorte que si M est leur masse totale, ou la masse qui, dans l'unité de temps, est ainsi transformée, la force vive qu'elle entraîne ou dissimule et qui devient une source de perte de travail, doit réellement être mesurée par

l'e^rpression M (Y— U)", admise ordinairement en se fondant, non plus, comme l'avait fait anciennement Borda, sur le choc des corps durs qui n*a rien à faire ici, mais sur la vitesse relative d'affluence d'une veine fluide dans un vase en mouvement. Or l'équation ordinaire des forces vives ne tenant pas compte explicitement de pareilles pertes de travail, non plus que de toutes celles qui proviennent des actions moléculaires, il convient de les ajouter aux diminutions, en quelque sorte patentes, éprouvées par la force vive, c'est-à-dire ici à la quantité MV*— MO'.

Mais en dehors du cas dont il s*agit, par exemple dans c«tui du cboc des veines isolées contre des surfaces d'une certaine étendue, il ne parait pas qu'on soit autorisé à le faire, à Timitation de Borda, du moins en s'appuyant sur les mêmes motifs, et on ne serait guère plus en droit de comparer ce qui se passe dans une telle circonstance, ou en général dans l'épanouissement, la déformation des veines liquides, à ce qui a lieu même dans le choc des corps mous ; car la cohésion joue, à l'égard de ceux-ci, un rôlo qui ne parait nullement avoir lieu pour les liquides, du moins dans les hypothèses où l'on se place ordinairement, et où l'on pré* tend tenir compte séparément de la force vive conservée par les molécules après la déviation.

(x). Perte de quantités de mouvement, — Quand on veut, au contraire, raisonner en s'appuyant sur la considération des quantités de mouvement perdues ou gagnées, dans le choc des ûuides, il devient absolument inutile d'avoir égard à celles qui résultent des tourbillonnements; car la perte se réduit intégralement à la différence absolue MV — MU, puisque les signes des quantités partielles de mouvement, des filets ou spires qui composent ces tourbillons, estimées dans le sens de U et de V, étant donnés par les signes mêmes des vitesses qui entrent en facteurs dans leurs expressions, la somme algébrique de toutes ces quantités devient naturellement nulle; ce qui n'a pas lieu pour celle des forces vives correspondantes, puisqu'elles conservent le signe positif sur le pourtour entier des spires. Mais, ainsi qu'on l'a expliqué au n*" 375 du texte, la force vive giratoire des tourbillons, telle qu'on l'a exprimée ci-dessus, est complètement perdue pour les effets ultérieurs du courant qui les emporte dans son mouvement recliligne et parallèle.

[y). Changements subis par la vitesse des tourbillons de la part du milieu ambiant. ^- Pour en finir sur ce sujet, nous ferons remarquer que si la vitesse circulatoire est sensiblement la même, dans toute retendue des tourbillons, aux premiers instants de leur formation, il s'en fau( que les choses demeurent dans cet état après un certain temps où ces tour* billons, détachés du courant producteur et entraînés dans le mouvement général du milieu, sont soumis, de sa part, à l'action d'un frottement latéral qui tend à ralentir leur mouvement de proche en proche, ou d'une

DBS RfiSISTÀNGBS. 745

Spire à l'autre, d'une manière d'autant moins sensible que Ton s'approche davantage de leur axe central , ce qui explique la loi observée par Newton et Léonard de Vinci (375, p. 570]. Il résulte d'ailleurs de ce mouvement giratoire des tourbillons, que la pression doit, à cause de la force centrifuge, y augmenter de Taxe à la circonférence, et qu'étant égale à la pression du milieu ambiant, en ce dernier point, elle doit être moindre ou négative sur l'axe. Mais nous n'étendrons pas plus loin cette discussion, qui conduirait à l'explication mécanique du phénomène, si généralement connu, des trombes^ sur laquelle nous pourrons revenir daos une autre occasion.

I. — Table des hantenrs dues à différentes vitesses , les unes et les antres étant exprimées en mètres, et la seconde sexagési- . maie étant prise pour nnité de temps.

(Extrait de la Table donnée par 11. Narler, dans lei Additions à l'Architecture hydraulique de Bélidor, cl corrigée en qnelqnes pointa, d'après les Indications de M. de Prony.)

n.— Table des logarithmes hyperboliques, calculée delW en 100* d'unité, depuis 1,00 jusqu'à 10,00; et d'unité en unité depuis 10 jusqu'à 100.

( D'bprès M. de Prony, Annales des Mines, t. Vin, i«3o. )

HÉGAMIQDB INDUSTmiBLLB.