VV U

R = 'ipk — ( I — ^COSa I,

on tombe dans un nouvel arbitraire, puisqu*on sait bien que la présence du corps se fait ^ntir à une dislance de son axe central, égale à i y fois, au moins, sa largeur réduite, de sorte que /^/A ne serait jamais aadessous de 4 A. Ce n'est donc que par une sorte de compensation d'erreurs que cette expression de la résistance représente assez fidèlement b marche du phénomène, et je ne pense pas que M. Bidone, ainsi qu'il a prétendu le faire dans son intéressant Mémoire sur la percussion des veines d'eau, imprimé en i836, parmi ceux de TÂcadémie des Sciences de Turin (t. XL, p. 8i), je ne pense pas, dis-je, qu'il ait été autorisé à considérer comme rigoureuse, mathématiquement parlant, l'application de cette même formule aux fluides indéfinis, sans tenir aucun compte de ce qui se passe sur les faces postérieure et latérale du corps.

Ces imperfections de la théorie qui nous occupe et dont la principale est de ne pouvoir rendre compte des efiets dus à l'allongement des prismes, explique suffisamment les motifs qui ont dirigé l'Académie des Sciences de Paris, lorsqu'en i8îi6 elle a, de nouveau, remis au concours la question de la résistance des fluides, en exigeant qu'elle fût appuyée sur l'étude expérimentale de la marche que suivent les vitesses et les filets au pourtour du corps; mais pcut-ôlre ne sera-t-il pas inutile de faire voir comment on peut se rendre compte par cette considération, d'une manière un peu plus claire qu'on ne l'a fait jusqu'ici, des principaux phénomènes relatifs aux changements de pression observés dans les expériences.

(n). Examen de la marche des pressions en amont des corps exj)osés à l'action des fluides. — Occupons-nous d'abord de ce qui se passe dans l'intérieur de l'espèce de vase formé, en amont du corps (PI. ///, /îjç. 55 et 8o), par les parois fictives LM, L'M', qui, on ne doit pas l'oublier, doivent être considérées comme susceptibles de céder à des différences de pres?ion exercées du dehors au dedans, si de telles différences étaient [>os>ibIe« ou s'il n'arrivait pas, dans la réalité, que les pressions, en équilibre sur ces parois, fussent précisément égales à la pression hydrostatique du milieu. Si l'on se rappelle bien le contenu des n**' 374 et 378 de cet Ouvrage, concernant la marche des filets qui, par la présence du corps sup-

DES BÉSISTANCBS. 789

posé immobile dans les fig. 53, 55 et 80, sont contraints de s'infléchir, de se courber à deux reprises différentes, dans la première desquelles ils présentent leurcx)nvexité à la face CD du corps et à leur axe central aB, tandis que dans la seconde, ils lui opposent leur concavité ; si Ton se rappelle en outre que, dans l'écoulement des fluides le long des petits tuyaux analogues à ceux qui sont formés par les filets, la pression élémentaire ou différentielle, en chaque point, résultante de la force centrifuge et de la force d'inertie tangentielle, est nécessairement dirigée de la concavité vers la convexité, et croît avec la courbure et la vitesse; si enfin on considère en particulier la région du vase ci-dessus, pour laquelle cette courbure est tournée vers le sommet de l'angle B/7C ou Ba D, et qui est séparée de la région postérieure où le contraire arrive, par une surface lieu des points à' inflexion des filets, on verra que la pression due à la déviation est nulle près des parois fictives L/?, L'/i', et va sans cesse en augmentant et en s^ujoutant à elle-même, à mesure que Ton s'avance vers la paroi solide CD et Taxe aB, où elles s'entre-détruisent de part et d'autre, ou, plus spécialement encore, à mesure que l'on s'avance vers le point milieu a de cette paroi. Delà d'ailleurs résulte une accélération correspondante de vitesse, de a vers C ou D, accompagnée d'une diminution de section des filets liquides; et, comme la pression sur les parois L/?, L'/i', est nécessairement égale à la pression statique, elle lui devient supérieure dans toute la région comprise entre le point a et la surface des inflexions dont il a été parlé.

(o). Région des pressions négatives^ limitée jmr la surface des points d^ inflexion des filets. — Pour la région postérieure du vase, comprise entre cette surface et les sections contractées /w/i, m'n\ la courbure des filets étant dirigée en sens contraire, la pression totale, celle qui résulte de l'accumulation des pressions partielles, s'exerce du dedans vers. le dehors de chaque filet, et doit aller en augmentant à mesure qu'on s*éloigne des parois latérales du corps, pour se rapprocher des parois fictives L«, L'/i'; et, comme cette pression est ici nécessairement égale à la pression statique, il faut qu'elle soit moindre ou négative dans toute la partie comprise entre la surface des inflexions et les points des parois latérales du corps, où la veine contractée vient à ^'épanouir, à rejoindre ces parois, et les filets à subir [PI. 7//, fig, 53 et 55) une nouvelle inflexion en sens contraire. Quant à la vitesse des molécules, elle doit, sous l'influence de ces pressions croissantes du dedans vers le dehors, tendre à s'accélérer dans le même ordre, c'est-à-dire dans l'ordre précisément inverse de celui qui avait lieu dans la région antérieure du vase, et cpci semble justifier l'hypothèse précédemment admise [b et d) relativement aux limites assez étroites dans lesquelles se trouvent renfermées les inégalités de vitesse dP5 filets qui franchissent les sections contractées mn, m'n'.

D'un autre côté, il semblerait également permis d'admettre que^ pour

^4o ■ÉCAHIQCB llfDUST&lKLLE.

les points de la surface des inflexions, où la courbure des filets et les forces centrifuges deviennent nulles en changeant de sens et de signe, les pressions totales et le^ vitesses dussent redevenir elles-inémes sensiblement égales à celles du fluide ambiant, par suite de l'accélération éprouvée antérieurement par ces dernières ou de la diminution subie en méoie temps par les pressions, mais ce serait admettre implicitement le parallélisme des Glets dans tous les points d'inflexion dont il s'agit, ce que rien n'autorise à supposer.

(p). Analogie de ces phénomènes avec ceux que présente l'écoulé nient par les orifices (les vases ordinaires. — Il né sera pas inutile de remarquer que les considérations précédentes pourraient, tout aussi bien, s'appliquer aux phénomènes de fécoulement des liquides par les orifices des vases ordinaires, et que M. Lechevalier, dans des Mémoires approuvés par r Académie des Sciences, a démontré Texistence d'une surface ellipsoïdale interne, voisine de Foriflce, qui doit avoir de l'affinité avec celle des inflexions dont il vient d'être parlé, et à partir de laquelle les Glets commencent à être soumis à des changements de courbure et à une accélération de vitesse sensibles. On pourrait ainsi rendre compte de quelques-unes des particularités oflertcs par I9 veine extérieure où la force centrifuge parait jouer un grand rôle tant que la courbure des filets Vest pas redevenue complètement nulle ; et notamment de pareilles considérations serviraient très-bien à expliquer pourquoi les formules relatives à récoulement des fluides élastiques, dans lesquelles M. Xavier a eu égard à la détente, conduisent, en apparence, à des résultats erronés pour le cas de très-grandes difl'érences de pression ou de très-grands changements de vitesses.

(fj), Bégions latérales ci /postérieures du corps, — Maintenant si l'on considère, par exemple dans le cas des prismes (PI. III^ fig, 55), la partie du courant latéral où les filets sont exactement redevenus parallèles, abstraction faite des tourbillonnements partiels et insensibles que les molécules peuvent éprouver en changeant brusquement de vitesse après leur passage dans la section contractée, il est évident que la pression doit se trouver la même en tous les points, c'est-à-dire égale à la pression statique du milieu, puisqu'il n'existe plus de courbure dans les lilcts et que la vitesse devient uniforme.

Enfin, aux extrémités des courants latéraux, près de la face postérieure du corps, les filets éprouvant un nouveau changement de courbure, qui les ramène vers l'axe de ce corps et dont le sens est précisément le même qu'en mn et m'n\ la pression totale, due à la somme des pressions individuelles des filets, doit aller de nouveau en diminuant, des parois LM, L'M où elle est toujours celle du milieu ambiant, jusqu'aux filets intérieurs des

DES RÉSISTANGBS. 74 <

tourbillons où elle redevient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression statique dont il s'agit.

(r). Influence spéciale des proues et des poupes. — D-après ce qui précède, on conçoit très-bien que TinQuence d'une proue continue et courbée vers le dehors [PL ITJ,fig, 53 et 82), ajoutée à un prisme, doit être de reporter vers le milieu «, du corps, ou îe sommet de cette proue, la surface des inflexions qui sépare, en amont, la partie soumise à des pressions négatives de celle qui Test à des pressions positives, tandis que Taddition d'une poupe, courbée de même, n'a d'influence, pour diminuer la pression, qu'autant qu'elle offre une saillie assez grande pour diminuer notablement la courbure des filets qui tendent à former les tourbillons de l'arrière, et dont la vitessse est d'ailleurs déjà fort affaiblie dans le cas où le corps, manquant d'une proue, a, par lui-même, une certaine longueur.

En appliquant à cette manière d'envisager le phénomène de la résistance des fluides, les considérations sur lesquelles se fonde la formule de BemouUi et d'Euler, on arriverait à des résultats moins entachés d'arbitraire, et peut-être plus propres à représenter les données de l'expérience ; mais, au lieu d'insister sur cet aperçu , nous indiquerons rapidement comment le principe des forces vives peut être appliqué au cas d'un plan mince, exposé obliquement à l'action d'un fluide indéfini.

(s). Des plans minces- exposés^ l'action oblique des fluides (PL IIJ, Jig, 81). — En admettant toujours, comme un fait de l'expérience, que le mouvement des filets s'opère comme dans un vase limité aux parois planes et fictives Ln et Vn\ et dont le fluide s'écoulerait par l'orifice annulaire formé par l'intervalle compris entre le plan CD et ces parois, on devra remarquer : que la contraction n'est plus la même sur tout le pourtour de l'oriûce ; qu'elle est plus forte sur l'arête C du plan, la plus avancée vers l'amont, plus faible sur l'arête D qui l'est le moins, et à peu près égale à ce qu'elle serait pour un plan droit, dans le sens perpendiculaire à la figure; que d'un autre côté, l'axe central aB de la masse fluide soumise à la déviation, doit être également plus voisine de l'arête C que de l'arête D, conformément au résultat des expériences du docteur Avanzini (Instituto nationale italiano, t. I, part. 4), citées dans le Mémoire (403) de M. Duchemin, lequel observe, avec raison, que cet axe et par conséquent le centre de pression ^, sur la surface antérieure du plan, doivent être déterminés par la condition que la somme des quantités de mouvement détruites dans les filets, parallèlement à ce plan, soit égale tout autour ou de part et d'autre de sa direction. Il est clair, en effet, d'après les considérations exposées en dernier lieu, que la courbure des filets étant plus grande pour ceux qui correspondent aux angles aigus formés par l'axe aB, avec le plan CD, que pour ceux qui appartiennent aux angles

74^ ■ÉCANIQUB INDUSTRIELLE.

obtus supplémentaires, il doit en être ainsi des pressions que ces filets engendrent respectivement soit sur le plan CD où elles s'ajoutent, soit sor Taxe aB où elles tendent à se détruire en se contrebutant.

De là résulte aussi que la masse des filets qui s*écoulent vers la partie aC, allant toujours en diminuant, par rapport à celle des filets qui s'écoolent vers aD, à mesure que Tangle d'incidence B/?C devient plus aigu, l'influence de Taccroissement de contraction subie par les premiers doit aussi s'afifaiÉlir rapidement avec cet angle; de sorte que le coefficient moyen //?, de la contraction «ur le pourtour du plan CD, doit généralemeot augmenter, mais moins rapidement que celui qui conviendrait à la dipiinution de la convergence des filets en D ou en m'n',

(/). Formides relatives à ce cas. — Conservant les mêmes dénominations que pour le cas du choc normal (c), et observant que la différence des pressions reçues par le plan oblique CD, doit être mesurée ptr le produit Â(P— P') dans le sens perpendiculaire à ce plan, et ptr Asina (?—?') dans le sens parallèle à Taxe AB du mouvement, on aura, en appliquant ici le principe des forces vives sans faire de distinction entre les diverses régions ou les divers modes d'écoulement,

/i'U'-V*=2^^^^', w(A'-Asina)U=A'V;

ce qui donne pour le choc perpendicijftiire,

'^ •2g'\//<'(A — A sin«)^ /

//i^(A' — Asina) et, pour le choc oblique sous Tangle aigu B/iC = a,

/y^A^sina

R-/^A — ( iTT-i — ir- — ^ — ' isma, / =

m^[k' — Asina)'

— sina.

Or, en se rappelant que m augmente seulement depuis /// = 0,75. qui correspond [d) à a = 90**, jusqu'à m = 0,88, qui parait convenir, en effet, aux plus petites valeurs de a, lorsqu'on prend, comme pour le cboc direct, «*= i,i5, A'= 6,46A, en se rappelant, dis-je, cet accroissement progressif de m, il sera facile de voir que les valeurs ci-dessus du coeiBcicnt de résistance X', marchent effectivement dans le sens indiqué par les expériences dont les résultats sont reportés dans la Table du n*" 40â.

On doit comprendre d'ailleurs, d'après tout ce qui précède, pourquoi la résistance des plans minces obliques est très-différente de celle des angles dièdres (412), formés par deux tels plans ou par les faces également planes d'une poupe triangulaire (416 ; PL 111, fig. 68) adaptée à un prisme : dans

ces deux derniers cas. Taxe central des filets passe par le sommet de l'angle dièdre formé par les plans, et la contraction se réduit à celle qui a lieu pour les arêtes postérieures de ces mêmes plans, etc.

(a). Considérations relatives aux tourbillons. — Nons terminerons cette Note par quelques remarques concernant les tourbillons qui, en différents cas, tendent à se former dans les fluides, et sont la principale source des pertes de forces vives qu'ils éprouvent lors des changements brusques de mouvement.

A cet égard, il est très-essentiel de distinguer les remous y en quelque sorte stationnaires, qui se forment dans les anses^t les creux d'un bassin, d'un canal traversés par un courant vif ou principal, d'avec \es tourbil- Ions proprement dits, qui sont entraînés dans le mouvement général du fluide : les premiers, comme on le voit exprimé en m et m' (PI. III, Jlg. 54 et 55) sont simplement dus au froltenrxent latéral (376) et révolutif d'une masse de fluide stagnante de la part du courant dont il s'agit; les autres consistent essentiellement dans la bifurcation, Tincurvation éprouvée par ce courant, toutes les fois qu'il vient à atteindre une masse fluide douée d'une vitesse moindre ou contraire à la sietine propre, quoique parallèle. C'est ainsi que la rencontre de deux courants d'air sensiblement parallèles, produit ces tourbillons dont nous avons de fréquents exemples; et qu'on pourrait définir des couples de mouvements parallèles et de signes contraires, ce qui n'impliqué pas nécessairement l'idée d'un choc direct, mais d'un choc en quelque sorte tàngentiôl, et par suite duquel les deux courants sont sollicités à s'enrouler, pour ainsi dire, autour d'un axe commun en se superposant par couches réciproques et alternatives. C'est encore ainsi que les tourbillons se forment à l'arrière des corps en mouvement dans un fluide, par la marche parallèle et contraire des courants latéraux et du sillage central. Quant aux tourbillons plus intimes qui peuvent être dus à l'épanouissement graduel d'une veine après qu'elle a subi une contraction ou un rétrécissement de section, ils ne sont pas aussi faciles à constater et à expliquer, parce qu'ils appartiennent à une sorte de trouble ou de tournoiements moléculaires analogues à ceux qui ont été mentionnés au n*^ 375, et qui, par cela même, ne sauraient être aperçus dans les circonstances de transparence ordinaires.

[v). Expression de la perte de force vive qu'ils occasionnent, — Considérant spécialement le cas des grands tourbillons, il est aisé de voir qu'aux premiers instants de leur formation, leurs divers anneaux ou spire^s sont doués sensiblement de l'excès de la vitesse Y du courant qui les produit, sur la vitesse d'entratnement général U du courant postérieur; de sorte que si M est leur masse totale, ou la masse qui, dans l'unité de temps, est ainsi transformée, la force vive qu'elle eniratne ou dissimule et qui devient une source de perte de travail, doit réellement être mesurée par

744 MÉCANIQUE INDUSTBIELLE.

l'expression M(V— U)^ admise ordinairement en se fondant, non plus, comme l'avait fait anciennement Borda, sur le choc des corps durs qui n'a rien à faire ici, mais sur la vitesse relative d'affluence d'une veine fluide dans un vase en mouvement; Or l'équation ordinaire des forces vives ne tenant pas compte explicitement de pareilles pertes de travail, non plus que de toutes celles qui proviennent des actions moléculaires, *il convient de les ajouter aux diminutions, en quelque sorte patentes, éprouvées par la force vive, c'est-à-dire ici à la quantité MV — MU*.

Mais en dehors du cas dont il s'agit, par exemple dans celui du choc des veines isolées contre des surfaces d'une certaine étendue, il ne parait pas qu'on soit autorisera le faire, à l'imitation de Borda, du moins en s'appuyant sur les mêmes motifs, et on ne serait guère plus en droit de comparer ce qui se passe dans une telle circonstance, ou en général dans l'épanouissement, la déformation des veines liquides, à ce qui a lieu même dans le choc des corps mous; car la cohésion joue, à l'égard de ceux-ci, un rôle qui ne parait nullement avoir lieu pour les liquides, da moins dans les hypothèses où l'on se place ordinairement, et où l'on prétend tenir compte séparément de la force vive conservée par les molécules après la déviation.

(x). Perte de quantités de mouvement, — Quand on veut, au contraire, raisonner en s'appuyant sur la considération des quantités de mouvement perdues ou gagnées, dans le cho(?des fluides, il devient absolument inutile d'avoir égard à celles qui résultent des tourbillonnements; car la perte se réduit intégralement à la différence absolue MV — MU, puisque les signes des quantités partielles de mouvement, des filets ou spires qui composent ces tourbillons, estimées dans le sens de U et de V, étant donnés par les signes mômes des vitesses qui entrent en facteurs dans leurs expressions, la somme algébrique de toutes ces quantités devient naturellement nulle; ce qui n'a pas lieu pour celle des forces vives correspondantes, puisqu'elles conservent le signe positif sur le pourtour entier de? spires. Mais, ainsi qu'on l'a expliqué au n° 375 du texte, la force vive giratoire des tourbillons, telle qu'on Ta exprimée ci-dessus, est complètement perdue pour les effets ultérieurs du courant qui les emporte dans son mouvement rectiligne et parallèle.

[y). Changements subis par la vitesse des tourhiltons de la /xtrt ilu milieu ambiant. — Pour en finir sur ce sujet, nous ferons remarquer que si la vitesse circulatoire est sensiblement la même, dans toute l'étendue des tourbillons, aux premiers instants de leur formation, il s'en faut que les choses demeurent dans cet état après un certain temps où ces tourbillons, détachés du courant [)roiiucteur et entraînés dans le mouvement général du milieu, sont soumis, de sa part, à l'action d'un frottement latéral qui tend à ralentir leur mouvement de proche en proche, ou d'une

spire à Tautre, d'une manière d'autant moins sensible que l'on s'approche davantage de leur axe central , ce qui explique la loi observée par Newton et Léonard de Vinci (375, p. 570]. Il résulte d'ailleurs de ce mouvement giratoire des tourbillons, que la pression doit, à cause de la force centrifuge, y augmenter de Taxe à la circonférence, et qu'étant égale à la pression du milieu ambiant, jen ce dernier point, elle doit être moindre ou négative sur l'axe. Mais nous n'étendrons pas plus loin cette discussion, qui conduirait à l'explication mécanique du phénomène, si généralement connu, des trombes, sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre occaKion.

I. — Table des haatenrs dues à difTérentes vitesses, les unes et les autres étant exprimées en mètres, et la seconde sexagésimale étant prise poar unité de temps.

(Extrait de la Table donnée par M. Natler, dans lea additions à l'architecture hydraulique de Bélldor, et corrigée en qaelqaei point», d'après les indlcatiooi de M. de Prony.)

II.— Table des logarithmes hyperboliques, calculée de 100* en 100* d'unité, depuis 1,00 jusqu'à 10,00; et d'unité en unité depuis 10 jusqu'à 100.

( D'àprèe M. de Prony," Annales des Mines, t. VIII, i83o. )

11ÊCâ!«IQUB INDUSTEIBLLX.