PRINCIPALEMENT FONDÉE SUR LA CONSIDÉRATION DES FORCES VIVES

(a). Notions préliminaires et fondamentales. — On a pu voir, par l'exposé des n"** 373 et suivants de cet Ouvrage, combien les notions physiques concernant la résistance des fluides laissent encore de vague et d'obscurité, et combien il serait à désirer que ces notions fussent coordonnées entre elles et rattachées aux principes généraux de la Mécanique, par un lien plus solide, et qui« en l'absence d'une théorie mathématique rigoureuse, permit, au moins, de se rendre un compte clair et satisfaisant des principaux faits ou résultats de Texpérience. Or cela ne nous parait nullement impossible^ si, en considérant ces résultats dans leur ensemble, on essaye de les déduire, d'une manière plus explicite qu'on n'a pu le faire dans le n** 381 du texte, de l'application du principe des forces vives à ce genre de phénomènes, en suivant à peu près la marche tracée, en premier lieu, par Bernoulli et Borda, dans leurs recherches physico-mathématiques sur l'écoulement des liquides.

Rappelons-nous, en effet, cette remarque importante due à l'esprit ingénieux de Dubuat, et qui s'est présentée en plusieurs endroits du texte, notamment aux n"" 378 et 379, 392 et 418 : Quand un corps est exposé à l'action directe d'un fluide, les molécules de ce dernier ne sont soumises à la déviation résultant de l'obstacle que présente ce corps à leur libre passage, que dans une certaine région de part et d'autre de l'axe du corps, parallèle à la direction du mouvement; elles se meuvent comme dans une espèce de canal prismatique ou cylindrique, dont les parois LM, L'M' [fi^. 53, 55, 8o, etc., PL III) seraient parallèles et à peu près équidistantes par rapport à celles du cylindre circonscrit luimême au corps, suivant la direction du mouvement absolu ou relatif;

724 HÉGANIQUB INDU8TIUBLLB.

de sorte qu'en amont de ce corps, Técoulcment se ferait comme dans un vase qui offrirait, sur le pourtour extérieur de sa base, un orifice annulaire déterminé par Tintervalle compris entre les extrémités du corps et les parois fictives dont il vient d'être parlé, parois qu'il serait d'ailleurs peu exact de supposer prolongées, en aval, jusqu'à la région où les tourbillons et mouvements excentriques quelconques viennent à se propager (375) dans les masses latérales du fluide.

Cette manière d'envisager le pb'énomène de la résistance est si naturelle, que Dubuat Ta formellement indiquée au n^ 437 du tome 11 de se$ Principes d^ Hydraulique^ et que les expériences subséquentes de M. Duchemin, consignées dans ses Mémoires (373) successivement présentés à TÂcadémie des Sciences, l'ont conduit à comparer, du moins pour le cas où le corps en repos reçoit le cboc de l'eau en mouvement, les phénomènes d'accélération et de déviation présentés par les filets liquides, sur le pourtour entier du corps, à une contraction renversée, qui, dan5 le cas des prismes, prendrait, jusqu'à un certain point, les caractères du phénomène si connu des ajutages cjdindriques ou tuyaux additionnels^ adaptés aux orifices d'écoulement des vases (413 et Note). Mais, loin de poursuivre cette idée lumineuse dans ses conséquences théoriques, M. Duchemin s'est contenté d'en déduire, par une comparaison un peu forcée, par une sorte d'empirisme, la formule d'interpolation rapportée dans la Note déjà citée, et qui, malgré tout le mérite qu'elle a de représenter les quatre résultats des expériences de Dubuat (413) vérifiées par celles de l'Auteur, nous parait d'autant moins admissible en elle-même, que l'analogie sur laquelle elle se fonde n'aurait plus lieu pour le cas inverse des corps en mouvement dans un fluide en repos, et qu'il deviendrait alors nécessaire (414) de changer à la fois de principes et de formules. Or on arrive à des conséquences très-différentes, lorsqu'en adoptant sans réserve l'idée ingénieuse de Dubuat, on lui applique, comme on Ta indiqué ci-dessus, les belles théories de Bernoulli et de Borda.

[b). Hypothèses admises. — Dans celte application du théorème des forces vives, on suppose ordinairement que les pressions et les vitesses des molécules fluides sont égales, dans certaines régions où le mouvement est parallèle, comme par exemple en amont aux points L, L', des^. 53. 55, 80, etc.,P/.///, ce qui est évidemment ici permis, ou vers les pointsm et /î, m' et n' qui appartiennent à la section contractée, pour laquelle la convergence des filets, au sortir du vase, devient la plus forte et l'hypothèse beaucoup moins évidente, bien que ces filets y soient redevenus sensiblement parallèles ou concentriques. Les expériences de M. Savart (*) sur le choc des veines liquides, soit entre elles, soit contre l'on-

(•) Annales de Chimie et de Physique, t. LV, i833.

DBS RÉSISTANCES. 7^5

fice du tube manoroétrique de Pitot (378), prouvent que le fait est vrai dans le cas où de telles veines sont produites par l'écoulement permanent d'un liquide au .travers d'orifices circulaires, pratiqués dans les parois minces de réservoirs très-grands par rapport aux dimensions de ces orifices ; et cela résulte aussi de la vérification à posteriori des formules obtenues dans cette hypothèse, pour la vitesse et la dépense de liquide, Mais, dans le cas qui nous occupe où une masse fluide indéfinie vient rencontrer un corps solide en repos, il ne paraît pas que la même hypothèse soit permise ; tout porte à croire, au contraire, comme on le verra plus loin, que la vitesse est sensiblement plus grande, et la pression plus petite vers l'intérieur de la veine contractée en m et m\ qu'à Textérieur en n et n\ où elles doivent être simplement égales à celles du milieu ambiant. D'un autre côté, en considérant ce qui se passe à une petite dislance, en amont de l'orifice d'écoulement, c*est-à-dire dans l'espace que roji assimile à un véritable réservoir, on ne voit pas que l'on soit plus fondé à y supposer égales les pressions occasionnées par la déviation des filets, et dont l'excès sur celles qui ont lieu en aval du corps, détermine certaineiïient Taccélération de vitesse reçue par le fluide en nm et m'n'.

Cependant, nous admettrons, dans l'application duf principe des forces vives à ce mode d'écoulement, Thypothèse ordinaire du parallélisme des tranches, ou des vitesses et des pressions moyennes obtenues en divisant la dépense et la pression totales, par Taire de ces tranches respectives, non pour découvrir des valeurs absolues et rigoureusement exactes, mais pour avoir des rapports, des relations qui, au moyen de certains coefiicients à déterminer par l'expérience, indiquent approximativement les lois du phénomène, ainsi qpe cela a lieu, par exemple, dans le cas des déversoirs, où le principe des forces vives conduit à des formules de celte espèce. Seulement il ne faudra pas oublier que, si une pareille hypothèse peut être permise à Tégard des pressions, elle tend, quant aux vitesses, à diminuer Texpression de la somme des forces vives, d'une fraction numérique de sa valeur, qui dépend essentiellement de la loi inconnue suivant laquelle ces vitesses et leurs directions respectives varient dans chacune des sections ou tranches planes à considérer.

Enfin, il est bon de le remarquer, cette manière d'envisager la question de la résistance des fluides ne diflëre, au fond, de celle du n^ 381 , qu*en ce que nous supposons ici le corps en repos choqué par le fluide en mouvement, au lieu de le considérer en mouvement dans un fluide en repos. Et, si nous nous préoccupons actuellement des pressions et des vitesses individuelles, c'est afin d'arriver à des formules plus explicites et propres à mettre en évidence les diverses pertes de forces vives qui, dans le cas d*un fluide en repos, sont la représentation fidèle du travail moteur nécessaire à appliquer au corps pour Tentretenir à un même état de mouvement, travail dont la valeur est alors, en eflet, clairement indiquée par ^ le produit dont les facteurs sont : Taire de la projection du corps sur un

726 MÊCilNlQUB INDUSTRIELLE.

plan perpendiculaire à la direction de sa vitesse, Texcès de la pression moyenne d'amont sur celle d'aval, et la distance uniformément parcourue dans chaque élément du temps ou dans chaque seconde. Mais quoiqu'on n'aperçoive plus aussi bien, dans le cas d'un corps en repos choqué par un fluide en mouvement, la relation entre les pertes de forces vires et le travail moteur qui, en réalité, se trouve alors représenté par celui des pressions censées appliquées aux tranches extrêmes de la masse liquide, il n'en est pas moins évident, à priori^ que Tun de ces cas peut Aire nmené à l'autre par la considération des mouvements relatifs; c'est pourquoi nous ne traiterons ici que la question du choc, sans nous préoccuper, en aucune manière, dans nos raisonnements, de celle qui concenie spécialement la résistance,

(c). Plan mince soumis au choc direct (Vanflidde* — Ces préliminaires étant établis, considérons d'abord un plan mince CD {PL Illyfig. 80), de surface A, et qui se trouve plongé, au repos, dans un fluide indéâni de densité /?, animé de la vitesse uniforme V, perpendiculaire à sa direction. Nommons :

A' l'aire de la section transversale du canal formé par les parois actives LM, L'M ;

m le coefficient de la contraction effective éprouvée par le« filets en m/?, m'n\ c'est-à-dire le rapport de Taire de leur section transversale, à celle A'-~A, de Forifiee annulaire du réservoir ;

W la vitesse moyenne du fluide dans la section contractée mn, m'/t\ dont Faire est m (A'— A); •

// le facteurnumérique, supérieur à l'unité, par lequel doit être multipliée la vitesse W, pour redonner la somme des forces vives effectives dans ces mêmes sections ;

P et P' les pressions moyennes, par unité de surface, qui ont lieu en amont et en aval du plan CD ;

Q enfin le volume et M = /? - la masse du fluide qui, dans l'unité de

temps, s'écoule uniformément par chacune des sections transversales A' et w (A'— A):

on aura, en appliquant le principe des forces vives à la question, comme on le fait ordinairement dans l'hydraulique, et sans s'inquiéter aucunement ici de la manière dont les pressions partielles se trouvent distribuées dans les tranches extrêmes A' et m (A'— A), en amont ou en aval du corps.

DBS RÉSISTANCES. 727

d'où Ton tire, en représentant toujours par R la pression effective ou la différence des pressions absolues supportées par le plan CD, sur l'étendue, A, de ses deux faces,

^g ' ^\ ^g ^gj

Mais, à cause de la continuité, ou parce quMl doit s'écouler dans Tunité de temps, la même masse de fluide par la section contractée m (A'— A), qu'il en afflue uniformément par la section d'amont A', on a aussi, dans l'hypothèse où ce fluide n'éprouverait qu'une variation de volume insensible, en passant de la pression P d'amont, à )a pression V d'aval, dont la première est supérieure et la deuxième inférieure à la pression natnrelle ou statique du milieu,

ce qui donne finalement

f)Our la valeur du coefficient A (382) de la formule R = ^^^AH.

(d). Comparaison des résultais de la théorie avec ceux de r expérience. — Si Ton admet le résultat des redherches expérimentales de Dubuat, qui donnent ici (406), X- = i,86 pour le coefficient de résistance des plans minces^ et A'= 6i4&A pour la limite (418) au delà de laquelle le fluide ambiant cesse d'exercer de l'influence, on déduira de l'expression ci -dessus de X-,

on satisfera à cette condition particulière en prenant, par exemple, le coefficient de contraction m = 0,75, comme le donne l'expérience, dans le cas où la contraction est nulle sur trois faces, et /i = i ,0714, /}'= f ii49 pour les facteurs qui servent à corriger, dans les formules, ce que l'hypothèse d'une vitesse moyenne pourrait avoir ici d'inexact.

La relation A'= 6,46A, admise par Dubuat, pour le cas des prismes entièrement plongés (Prr/ic//:;^^ d* Hydraulique, t. II, n^58i ), suppose que le courant latéral se fasse sentir jusqu'à une distance du corps, égale aux 0,77 environ de ses dimensions transversales. Mais, si d'après le résultat des mesures directes de M. Duchemin, on réduisait cette fraction à o,5 (392), ce qui revient à prendre A'=4A seulement, on trouverait m = 0,7884/2 et il faudrait alors attribuer à n une valeur plus petite que

728 MÉCàinQUB IXDCSTmiBLLE.

l'unité, et partant inadmisgible. Il ne parait donc pas que Ton puisse supposer A' de beaucoup inférieur à 6,46 A, pour le cas des plans aûncff^ choqués directement par un fluide.

D*un autre côté, on voit, par Texpression générale ci-dessus de k, qoe si, comme le voulait Dubuat (i07 et 413), la déviation se fait réelleoieot de plus loin pour les corps en mouvement dans un fluide en repos, le rapport de A' à A' — A venant à diminuer, il en sera de même de la résistance ; ce qui s*accorde avec le résultat des expériences de cet Auteur, con6rmées depuis par celle de M. Duchemin.

Par exemple, il suflira de supposer A'= 12 A, pour retomber, à très-peu près, sur la valeur k = i,433 donnée par les expériences de Dubuat (406) dans le cas dont il s*agit. On interpréterait plus facilement encore ce résultat, en supposant que la contraction latérale des filets diminue dans ce même cas des fluides en repos, ou que le coefficient m, qui entre au carré dans l'expression de ^, y augmente d'une très-petite quantité, par exemple devienne 0,81 ou 0,82; mais alors, comme on va le voir, on tomberait dans d'autres difficultés concernant le cas des surfaces convexes, et Ton ne pourrait expliquer aussi bien la diminution de leur résistance, à mom de prendre le facteur /? beaucoup plus près de l'unité; ce qui ferait diminuer en même temps m pour le cas des fluides en mouvement; noos continuerons donc à raisonner dans Thypothèse avancée par Dubuat, sans nier toutefois qne le facteur numérique n^ ne s'approche un peu plus de l'unité que nous ne l'avons supposé précédemment.

La formule ci-dessus montre d'ailleurs avec quelle rapidité la résistance tendrait à croître si, au lieu d'être indéfini, le fluide se trouvait limité par des parois solides plus rapprochées du plan CD qu'on ne vient de le supposer pour les parois LM et L'M': elle indique même que cette résistance deviendrait infinie pour A'= A; ce qui s'explique en considérant qu'alors la pression continue, éprouvée par le corps, se changerait en un choc vif produit par la colonne fluide indéflnie, comprise, en amont, entre les parois solides dont il s'agit.

(e). Surfaces minces convexes ou concaves. — Supposons maintenant qu'on substitue au plan mince CD une surface convexe (P/.III, fig. 53). continue ou polygonale, mais assez peu allongée dans le sens du mouvement, pour n'être point sensiblement en prise aux effets du frottement, la contraction latérale sera diminuée et son coefficienl m augmenté, sans qu'il soit nécessaire d'apporter aucun autre changement à l'expression de /, donnée (c) par le principe des forces vives et dans laquelle A deviendra l'aire de la projection de cette surface sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement, puisque les pressions normales et élémentaires supportées par le corps, doivent être estimées dans le sens même de ce mouvement, comme le sont, de leur coté, les pressions moyennes P et P'. En particulier, si celle surface possède la forme la plus avanta-

DBS RÉSISTANCES. 7 29

geuse possible, et qu'on adopte les valeurs /i'= i>i49, ^'= 6, 46 A, déjà admises ci-dessus, la formule donnera, à cause do m = i^ le coefficient A = 0,61 pour le cas où le fluide seul est en mouvement; résultat qui paraîtra un peu fort si on le compare à celui des expériences sur les sphères, mentionnées au n"" 426; mais on doit considérer quMl s'agissait de sphères mobiles dans un fluide en repos, et pour lesquelles par conséquent Taire A' a du être augmentée, indépendamment de Tinfluence, assez faible d'ailleurs, qui a pu être exercée par la poupe ou partie postérieure de ces sphères; influence sur laquelle nous reviendrons plus tard.

Enfin^ il semblerait résulter de cette même formule, que, dans le cas des surfaces *concavés où le coefficient m, de la contraction, descendrait probablement à la valeur 0,6 ou 0,66^ conformément à ce qu'on sait des expériences de Borda et de Yenluri sur l'écoulement par les tubes rentrants, le coefficient /- de la résistance pourrait aussi s'élever de i,3 à 1,6 fois celui des plans minces; valeurs qui ne sont nullement en contradiction avec les efiets observés dans ces circonstances (i08 et suiv.)*

(/). Prismes droits soumis au choc direct d'un fluide. — Passant £U cas des corps prismatiques (PL Ill^fig. 55] dont la longueur L, étant au moins triple de la plus courte distance de leurs faces latérales aux parois fictives LM, L'M', il devient permis de supposer que les filets soient redevenus parallèles vers les extrémités postérieures de ces prismes, après avoir perdu, parle choc ou les tourbillonnements, l'excès de la vitesse W, qu'ils possédaient en /ii/z, m'n\ sur celle qu'ils conservent à ces mêmes extrémités ou en quittant le corps, et dont nous représenterons par U la valeur moyenne conclue de la dépense, /l'U étant cette même vitesse augmentée (6) de manière à reproduire la force vive effective des filets, comme nous l'avons admis précédemment [c] pour /iW et la section contractée. Nommant, de plus, C et C! les contours ou périmètres respectifs des sections transversales A et A', du prisme et du canal dont les parois servent de limites au courant latéral que nous supposerons soumis, sur toutes ses faces, de la part du prisme ou du fluide ambiant, à un frottement représenté appro#nativement par la formule - ^CU' pour le

premier, et par la formule - ôC'(U — V)' pour le deuxième, en po-

sant, d'après la l^ote de la page 594, b = o,ooo,36^ = o,oo35, ou 6 = o,ooo3a^= o,oo3i, et négligeant le terme relatif à la simple vitesse; admettant d'ailleurs, comme on le fait ordinairement et comme nous le justifierons plus loin, que l'excès de la vitesse /tW sur la vitesse /?'U, donne lieu à une perte de force vive mesurée par l'expression M(/iW— /t'U)^ relative toujours à la masse M de fluide écoulée, pendant l'unité de temps, dans chacune des sections A', A' — A^ /n (A'— A), on

^^0 MÉGÀIflQUB INDUSTEIBLLB.

arrivera, par Tapplication du principe des forces vives au cas actuel, et en conservant toutes les notations précédemment admises (c), à Téquation fondamentale

M/i'*U'-B!V'4-M(/iW-/i'U)'4-aMjj^[c4-C'(i-çy] „ P-P'

de laquelle on tire sans difficulté, à cause des relations de continiiiié

Q = A'V = /it ( A'- A)W=( A'- A) U,

R=/>A — I -— -— —- — |l ou k=-^-rT-. T-r-. — t

en posant, pour abréger, le facteur numérique

^ Lb

f* représentant lui-même ce qu'on nomme improprement le coefficient de la contraction^ dans le cas des ajutages ou tuyaux additionnels trèscourts, mais coulant à gueule-bée^ puisqu'il porte ici, plus spécialement, sur la réduction éprouvée par la vitesse de sortie U, en raison des tourbillonnements et des résistances intérieurs.

Nota, Les résultats auxquels on arrive pour ^a et U, dans le cas des tuyaux d'écoulement ordinaires, s'accordent, comme on sait, d'une manière très- satisfaisante avec ceux de l'expérience, pourvu que la longueur de ces tuyaux soit au moins triple de leur diamètre; mais cela n*a plus lieu dans le cas contraire, où le coefficient fi suit, par rapport à cette longueur, la marche rapidement décroissante, indiquée dans la Note du w"* 413, ce qui paraît tenir essentiellement à ce que la vitesse moyenne U, supposée, dans le calcul, égale à wW, en diffère alors d'autant plus que l'extrémité du tuyau où ell^se mesure, est elle-même plus voisine de la section contractée, à partir de laquelle, en effet, la veine va en s'épanouissant et prend des sections vives très-distinctes de celle de ce tuyau, et qu'il serait probablement plus exact de lui substituer dans l'application du principe des forces vives. Mais, au lieu d'introduire de pareilles modifications dans les formules, où il reste encore les inderminécs n et n' qu'on pourrait supposer égales à la valeur 1,07, déjà précédemment admise pour le cas des plans minces, il sera préférable de substituer à fx, dans ces formules, les nombres tels que les donne le résultat des expériences de Michelotti, sur les ajutages cylindriques de diverses longueurs ; ce qui montrera, tout au moins, que ces mêmes for-

DBS RÉSISTàNGBS. 73 1

mules marchent dans le sens indiqué par le phénomène de la résistance Ses prismes.

(g). Comparaison des résultats de la théorie avec ceux de Vexpé' rience. — Considérant d'abord le cas où le prisme étant en repos et sa longueur comprise entre le double et le triple de sa largeur réduite, les expériences de Dubuat (413) assignent au coefficient de la résistance la valeur minimum k = 1,3^3, tandis que celle du coefficient p des courts ajutages atteint, d'après les expériences de Michelotti, le maxiiAim de la sienne fx = 0,82, il en résulte que l'expression analytique ci-dessus de i-, ne pourrait s'accorder avec l'expérience, qu'autant qu'on aurait

kl

= fx/i -h /• = o,8!à v/ià,3a3 = i,a5 ou A'= 5A,

qui se rapprocherait davantage encore de celle A'= 4A qui a été mesurée directement par M. Duchemin, dans le cas des prismes en repos, si l'on attribuait à fx une valeur un peu plus grande que 0,82, comme il paraît naturel de le faire, puisque les contractions intérieures sont ici réellement un peu moindres que dans la disposition ordinaire des ajutages.

Maintenant, il devient évident que les valeurs intermédiaires de ^, données par la formule du précédent article, à partir du plan mince, suivront très-sensiblement la marche décroissante indiquée par les expériences de Dubuat, tandis que, pour des longueurs de prismes supérieures au triple de la largeur, les vsJeurs de X- iront continuellement en augmentant, comme celles de p, à cause du frottement latéral. Néanmoins, dans les calculs relatifs aux prismes très-courts, il deviendrait indispensable d'avoir égard à la condition qui rend A'= 6,46 A et fx = m = 0,75 pour les plans minces, etc., et il ne s'agit ici, je le répète, que de l'interprétation générale du phénomène de la résistance au moyen des formules déduites du principie des forces vives.

A l'égard des prismes de longueur moyenne, en mouvement dans un fluide en repos, il y a tout lieu d'adopter la valeur A'= 6,46 A, telle que

l'a obtenue Dubuat pour un cas analogue, et alors on trouve

/• = -V — i; et par suite, /• = i ,082,

nombre qui coïncide presque rigoureusement avec celui (414) des expériences de cet Auteur, sur un prisme dont la longueur était le triple environ de sa largeur réduite; de sorte qu'en adoptant la valeur A'=: 5 A, pour de tels prismes eq repos, et la valeur A'=: 6,46 pour les mêmes prismes en mouvement, les formules très-simples

représenleraient assez fidèlement la marche et les valeurs de la résistance relative à ces deux tas, pourvu qu'on eût égard aux observations ci-dessus relatives aux prismes très-courts et aux plans minces ; car s'il s'agissait de prismes très-longs^ le frottement latéral ferait diminuer /x et augmenter k avec L, d'après les formules analytiques (j) qui donnent les valeurs de ces deux coefficients ; ce qui est conforme aux indications de rexpérieoce.

(h). Prismes avec prouas sans poupes. — Prenant, en particulier, pour lesprilhies de moyenne longueur, fi =.i, ce qui les suppose armés d'une proue raccordée favorablement avec leurs faces latérales, la formule de l'art. (/) donne /- = o,56 , pour le cas où ces prismes sont immobiles, et X = o,4o, pour celui où ils choquent le fluide en repos. Or ces valeurs sont un peu moindres que celles qui ont été obtenues plus haut (c) pour les surfaces minces et convexes, considérées dans des circonstances analogues, et la dernière s'accorde assez bien avec les données de l'expérieDce, relatives (424) aux prismes mobiles, armés de proue mais sans poupe. Que si l'on voulait d'ailleurs, comme on l'a déjà propo^ ( e) pour les plans et surfaces minces, rejeter la diminution de résistance, dans le cas de> fluides en repos, sur la diminution même do la contraction plutôt que sur la grandeur relative du rapport de Â' à Â, il faudrait aussi attribuer à fx des valeurs proportionnellement un peu supérieures à celltô que donnent les expériences de Michelotti sur les tubes additionnels. Dans toutes les hypothèses, on est conduit à admettre que les valeurs de ce rapport, et par conséquent celles de X, tendent vers l'égalité, pour les deux cas des fluides en repos ou en mouvement, à mesure que la longueur L des prismes augmente.

Mais nous ne pousserons pas plus loin celte discussion et ces rapprochements fondés sur un trop petit nombre de faits exactement établis, pour conduire à des conséquences exemptes de toute objection, et nous passerons à l'examen de l'influence qui peut être exercée par l'addition d'une poupe à l'arrière des prismes.

(/). Appréciation de V influence exercée par les poupes. — En admettant que l'addition d'une poupe n'influe que très-peu sur la direction rectiligne des parois fictives LM, L'M' (PL III, flg. 82), on s'apercevra, de suite, que les phénomènes de mouvement qui s'accomplissent dans la région postérieure du canal limité à ces parois, doivent off'rir la plus grande analogie avec ceux des ajutages coniques divergents, déjà anciennement soumis à l'expérience par Bernoulli et Venturi. Ainsi la pression y devient négative, c'est-à-dire inférieure à la pression statique, à peu pre? comme cela arrive latéralement, vers l'amont ( PL III, fig. 55 ) , en m et w', sauf quici le parallélisme des côtés du prisme empêche le défaut de pression de devenir nuisible ou d'augmenter la résistance. D'un autre côté, la vitesse moyenne, U, je suppose, conservée par les filets à leur sortie df l'évasement ou en quittant le corps, diminue à peu près en raison inverse

DBS RÊS18TANCBS. ' 733

de l'air^ des sections, et cette vitesse, quand la poupe est suffisamment adoucie et allongée, comme l'exprime lay^. 8a, Pl.III, peut se réduire finalement à celle du milieu ambiant; or cela tend à faire disparaître, dans réquation des forces vives, relative à ce cas, le terme qui concerne la vitesse d'affluence V, du fluide, dans la partie d*amont, et par suite, à diminuer la résistance.

Enfin, le passage du fluide de la partie prismatique ou moyenne du tuyau limité aux parois fictives LM, L'M', dans la partie évasée formée par la proue, donne lieu à une nouvelle perte de force vive analogue à celle qui est occasionnée par le rétrécissement de la section contractée mn, m'n'(PL ///,y%'.55),dansle cas des prismes sans proue ; perle qui pourra ici être représentée par le produit M /î'*(U--U,)'; si UetU, désignent toujours les vitesses moyennes de régime, ou censées uniformes, dans les sections prismatiques en amont et à l'extrémité postérieure de l'évasemeRt, /i" le nombre, supérieur à l'unité, par lequel on doit multiplier les forces vives MU' et MUJ possédées par le fluide dans ces mêmes sections, afin de reproduire les forces vives efiectives.

Ainsi dans le cas des prismes munis d'une poupe convenablement adoucie et allongée, mars sans proue antérieure ou avec proue incapable de détruire entièrement les contractions latérales, il y aura une double perte de force vive, et pour arriver à la nouvelle expression de leur fésistancOy il suffira de considérer séparément ce qui se passe dans les régions, antérieure et postérieure, du courant ou canal compris entre le corps et les parois fictives LM, L'M'. Conservant, pour la première, toutes les dénominations précédemment admises, et désignant, pour la deuxième, par P, , la pression qui est aussi celle du fluide à l'arrière du corps, enfin par A,, pour plus de généralité, l'aire de la face postérieure de la poupe, supposée perpendiculaire à Taxe du corps, et qui se réduit à zéro dans le cas des poupes effilées ou sans pan coupé [PL IIT, /ig,%i)^ celles, par exemple, des vaisseaux et de certains bateaux^ etc. ; négligeant, au surplus, le frottement le long de cette poupe, comme on l'a fait dans le cas précédent pour la proue, on devra ajouter aux équations déjà obtenues pour ce même cas (/), la suivante

et, à cause des relations de continuité (A' — A)U = (A' — A,)U, = A'V,

elle donne

en posant de nouveau, afin d'abréger.

9 34 MÉCANIQUE IHDOtTlIBLLE.

facteur qui devient nul , comme cela doit être, quand on suppose Taire A, du pan coupé, égale à celle A de la section transversale la plus large de la partie prismatique du cx>rps, tandis que si Ton y suppose À, = o, ce qui convient au cas des proues effilées représentées par la jf^Ji^. 8a, Pi. III, ce même facteur prend la valeur

^kf k\ I

très-faible et essentiellement positive, à cause que A' surpasse au mois» quatre fois A. Or cela prouve que la pression moyenne d*aval P,, qui doit différer alors très-peu de la pression statique du milieu, surpasse, conformément aux indications de Texpérience relative aux tuyaux divergents, celle qui a lieu vers la partie prismatique du corps, pour toutes les valeurs d^A, comprises entre zéro et A.

La pression P, qui agit contre A,, donne incontestablensent lieu à une diminution de résistance mesurée par le produit A,P, ; mais on n'aperçoit plus aussi bien comment on doit évaluer celle qui est due aux pression» exercées par le fluide contre la surface de l'évasement formé par la poupe, pressions qui décroissent de la section d'aval où elles ont pour valeur P,, jusqu'à celle de la partie prismatique du corps où elles deviennent égaks à P'. Cette difficulté est analogue à celle que nous avons remarquée cidessus, pour la proue elle même ; le principe des forces vives ne suffirait pas pour la lever, puisqu'il est impropre à faire découvrir les pressioiis partielles et variables dont il s'agit. Or il paraît qa*il faut, ici encore, considérer P, comme une pression moyenne agissant sur toute la partie postérieure du corps, et le produit A (P,— P') comme la diminution qu'éprouve la résistance par suite de la présence de la poupe.

(y). Formules reintives aujc prismes armés de poupes avec ou san\

proues. — D'après les observations précédentes, si l'on retranche de Ve\-

pression de R, d(^jà trouvée pour la partie d'amont, la valeur du produit

A (P, — P') dont le facteur P, — P' vient d'être obtenu, en dernier lieu

pour la partie évasée du canal, il en résultera cette nouvelle expressioo

de la résistance

V A" A'^ R-A(P-P,)--//?A — , / = JÎ___i-- —^ .

^ •' ^ ag' fx^(A'-A)* ^'-«(A' — A)''

à laquelle on arrive, do suite, si, en conservant toutes les dénominations précédemment admises, on pose, d'après le principe des forces vives, l'équation

DBS RÉSISTANCES. 735

qui eiprime la loi de Técoulement du fluide entre les sections extrêmes X\ A'— Â et de laquelle M a disparu comme facteur à tous les termes, mais où, pour plus d'exactitude, on devrait affecter U et U^ d'un coefl5cient numérique différent de celui n\ qui convient à W, si la poupe n'était pas assez allongée et bien disposée pour ramener les filets fluides au parallélisme.

La formule qui donne, pour ce cas général, la valeur de R, revient donc toujours à estimer la résistance des corps ou plutôt son travail, par la demi -somme des pertes des forces vives, et son facteur X- doit encore pouvoir être conclu de Tobservation directe des dépenses qui seraient fournies par les ajutages, d'une forme analogue à celle du canal fictif, si on les adaptait, à la manière ordinaire, à Tune des parois planes d'un réservoir vertical rempli d'eau uniquement soumise à Taction de son propre poids, mais doot les sections seraient très-grandes par rapport à celles de l'ajutage.

Pour rendre, en effet, l'équation des forces vives ci-dessus, applicable à ce dernier cas, et propre à donner la vitesse U, d'écoulement par l'orifice extérieur A'— A,, en supposant toujours les parois de celui-ci parallèles à l'axe de la veine, il suffit d'y supprimer le terme en V, et de remplacer le deuxième membre^ par le produit %g\i ; d'où il résulte que si l'on nomme fx, le coefficient de réduction de la dépense hypothétique

Q = (A' — A,)v^2gH, et qui porte essentiellement sur la vitesse /ag'H, on devra avoir, d'une part,

de l'autre,

ce qui permettra de calculer immédiatement la valeur de la résistance au moyen du coefficient ll^ fourni par les expériences des tubes divergents dont il vient d'être parlé.

(X). Comparaison du résultat des formules avec ceux de Inexpérience, — Supposant, en particulier, la proue et la poupe disposées [PL III, fig. 82) de manière à éviter les effets de la contraction latérale en amont, et de la divergence des filets en aval, le coefficient m de cette contraction deviendra l'unité, et A, nul ; si, de plus, comme cela a lieu dans le cas des vaisseaux, la longueur L, de la partie prismatique du corps, est très-petite, on pourra négliger le frottement latéral, et (/) l'on aura fx = i, ce qui

donnera simplement pour le coefficient de la résistance,

Prenant, comme dans le cas ci-dessas des plans minces, «''=1,149, et observant que n — n' doit être ici une très-petite fraction dont il devient permis de négliger le carré; prenant en outre, Â'= 4Â pour la limite inférieure de A', relative au cas des corps en repos choqués par uo fluide en mouvement, et A' = 6,46A pour celle des mêmes corps en mouvement dans un fluide en repos, on trouvera approximativement, dans les hypothèses actuelles où Ton néglige l'influence du frottement latéral, eo même temps qu'on suppose au corps la forme la plus avantageuse possible, ^- = o,i3 et X- = 0,04, pour le coefficient de la résistance dans ces deux cas respectifs ;ce qui n'offre rien de contradictoire avec les résultats connus de l'expérience (417 et 423).

Il y a plus même, on doit pressentir, d'après les conditions qui viennent d'élre assignées au maximum de réduction de la résistance, que, pour les corps dont la forme des sections transversales ne présenterait pas une continuité parfaite, pour les prismes rectangles, par exemple, armés de proues et de poupes d'ailleurs disposées et raccordées avec les faces latérales, aussi bien qu'il est possible, on ne saurait éviter entièrement les effets de contraction, de déviation ou de trouble quelconque, apportés dans la marche naturelle des filets, vis-à-vis des parties anguleuses oa tranchantes; et de telles perturbations sont la source inévitable, soit d'une perte de force vive, soit d'une diminution de la section contractée w( A' — A) d'amont, équivalente à un accroisement (i — /w) (A'— A), de la section transversale correspondante du corps.

(/). Remarques sur In théorie précédente. — L'application du principe des forces vives pourrait, avec des modifications convenables, s'étendre évidemment au cas des corps flottants ou en partie plongés dans les liquides; mais, comme on le voit, ce principe ne mettant point en état de découvrir la loi des pressions individuelles et des déviations des filets, résultant d'une forme déterminée du corps, il ne saurait non plus servir à résoudre l'important problème des surfaces de moindre résistance, qui intéresse à un si haut degré les progrès de la navigation. Il peut bien indiquer en blocj qu'on me passe l'expression, la marche générale de la pression, de la résistance totale, en fonction de la vitesse relative et des dimensions transversales du corps; mais c'est, comme on Ta vu, en admettant la détermination expérimentale de certains coefficients de contraction ou de correction relatifs à la forme, aux dimensions des filets oa à l'inégalité d'intensité et de direction de leurs vitesses dans certaines sections du courant. En rattachant, de cette manière, le phénomène de la résistance et du choc des fluides indéGnis aux phénomènes mieux étn-

diés de leur écoulement dans les vases, les considérations précédentes nous paraissent néanmoins une simplification véritable apportée à la question, et, sous ce rapport, les formules auxquelles elles conduisent peuvent oflrir un grand avantage sur celles qui ont été données par Bernonlli et Euler (373), en considérant d'une manière fort incomplète le mouvement des molécules comme se faisant dans autant de ûlets ou tuyaux indépendants.

(m). Examen critique de la titéorie de BernoulU et d' Euler. — Nommant toujours/^ la densité constante du fluide, et Y sa vitesse d'aiiluence uniforme en amont du corps, dk Taire de la section transversale de l'un

des tuyaux formés par les filets au point où la vitesse est V, dm = - dk\

g la masse qui s'écoule uniformément par cette section dans l'unité de

temps, enfin a l'angle formé par le tuyau avec Taxe du corps, censé

parallèle à V, en un point où la vitesse est U, c'est-à-dire l'angle de V

et de U; la pression élémentaire due au changement d'intensité et de

direction éprouvé par la première de ces vitesses, cette pression étant

estimée dans le sens de V, sera, d'après Euler et Bernoulli, donnée par le

produit

VV U \ dm ( V — Uc^sa ) = ipdk — l * ~ v ^^^* )

qui représente proprement la quantité de mouvement détruite, dans le même sens, en chaque seconde, par la réaction de la portion du filet comprise entre les deux points mentionnés; et par conséquent, pour l'ensemble des portions analogues des filets que l'on considère comme ayant subi tes eflets de la déviation en amont du corps, Ja pression totale P est donnée par l'expression

^"'^^^fyy^^^'y'^^'

où U et a sont fonctions des variables qui fixent la position des filets ou de leur section d'arrivée r/A, l'inlégration devant avoir lieu depuis l'axe central de la veine, jusqu'aux filets extérieurs qui, restant rectilignes et parallèles, cessent d'être influencés par la présence du corps. Or on voit que cette formule laisse, pour ainsi dire, tout arbitraire ou indéterminé, et qu'on ne peut lui donner une forme plus explicite, à moins d'admettre, avec Euler et Bernoulli , que U et a soient indépendants de la position de dXy ou d'attribuer à ces variables une certaine valeur moyenne réduite, censée fournie directement par l'expérience; ce qui est précisément le point de la difiiculté; car on arrive à des résultats très-diflérents selon

1^38 MÉCANIQUE INDUSTEIBLLE.

qu'on rapporte a et U aux points d'inflexion même de filets ou à des points situés au delà, vers les extrémités du corps.

D'un autre côté, rien ne fixe, à priori, les limites de Tintégration; et si, pour sortir de cette nouvelle indétermination, on prend, avec quelques auteurs^ pour ces limites, celle de la section transversale du cylindre circonscrit à ce corps, section dont Taire serait représentée par Â, ce qui donne la formule