V.rzr^, et F=:MX-=MV

Ainsi, dans le mouvement varié, en général, la force motrice, égale et contraire à la force d'inertie, à la force dynamique, est mesurée^ à chaque instant, par la quantité de mouvement qu'elle imprimerait, au bout d'une seconde, si, au lieu de varier, elle demeurait ce qu'elle est à cet instant. Mais, de ce que les quantités de mouvement sont propres à servir de mesure aux forces, ce n'est pas une raison de les confondre avec ces forces; car ici la durée, la constance qu'on suppose à l'action, est une condition essentielle et qu'il ne faut pas perdre de vue.

133. Calcul des mêmes forces par la loi géométrique du mou» vement. — Ces dernières considérations sur la force motrice, dans le mouvement varié, sont analogues à celles qui con*

cerneni la vitesse même du mouvement (53), et on peut les reproduire également à Taide d'une figure. Soit tracée (PI. /, Jig. 32), ainsf qu'il a déjà été dit (108) à l'occasion du mouvenient uniformément accéléré, la ligne O'a'b' . . ./', qui représente la loi des temps et des vitesses; soient ce', dd' les vitesses qui répondent au commencement et à la fin du trèspetit instant crf ou /. Menons, par c\ la parallèle c'd''m à l'axe des temps OB; elle retranchera, de l'ordonnée rfrf', la petite longueur d'd", représentant le degré de vitesse imprimé, par la force motrice, dans la durée de l'élément de temps cd^=&d''y degré dont nous avons désigné la valeur en nombre par v. Or, si Ton suppose qu'à partir du commencement de cd ou /, la force motrice devienne constante, ou (107) qu'elle imprime, dans les instants successifs égaux à /, des degrés de vitesse aussi égaux à d'd"; la loi des vitesses acquises sera exprimée (108) par une droite c'/i, prolongement de cW, et qui sera tangente à la courbe O'a'6'. ../', si l'intervalle crf ou /est censé excessivement petit. Prenant donc c'm= i*', et élevant l'ordonnée mn terminée à c'/i, celle-ci ne sera autre chose que la vitesse Vi, acquise, au bout de l'unité de temps, par le corps, en vertu de la force motrice supposée constante; et l'on aura, à cause des triangles semblables c'd'd" et c'm/i, la proportion

c'd" ou / : d'd" ou i' :: c'm ou 1" : mn ou V, ; d'où Ton tire, comme ci-dessus,

Ainsi, quand on connaîtra la loi qui lie les temps aux vitesses imprimées, ou la courbe qui représente cette loi, on pourra, pour chaque instant et par le tracé d'une tangente de cette courbe, déterminer la vitesse V„ et, par suite, calculer, comme

il a été expliqué précédemment (130 et 132), la valeur

M V,= - X Vi de la force motrice F qui produit l'accélération

de mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose (130), la résistance égale et contraire, que l'inertie de la matière du corps oppose, à chaque instant, à l'action de cette force.

134. Trouver la loi du mouvement quand on a celle de la force. — Réciproquement, si l'on connaît, pour chaque instant et par le moyen d'une table ou d'une courbe, la valeur de la force motrice F par rapport aux temps révolus ou aux chemins décrits, on en déduira les valeurs correspondantes de

F fi-.F Vi = ^ = ^^r-> inclinaisons des tangentes c^n de la courbe

des vitesses; car la mesure de ces inclinaisons est donnée par

la valeur du rapport -r— = Vi. Si Ton connaît d'ailleurs la r/-

*^*^ cm

tesse initiale 00' du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de tracer la courbe des vitesses successivement acquises sous l'action de la force motrice; car, ayant l'inclinaison de la tangente relative à chaque abscisse ou à chaque temps Oa, 06, Oc,. . . , on pourra, de proche en proche, construire les positions consécutives C'a', a'fr', 6'c', . . ., des éléments rectilignes de cette courbe, et en déduire les ordonnées aa', bb\ ccf^ qui mesurent les vitesses acquises par le corps à la fin des temps correspondants.

Par exemple, la vitesse initiale du corps étant 00', on mènera Q'm' parallèle à OB et égale à l'unité de temps; puis, ayant calculé la valeur de V, relative à l'intensité de F au moment où l'action commence, on portera cette valeur sur l'ordonnée m'/i', de m* en n'; traçant O'/i', ce sera la direction de l'élément O'a'; et l'ordonnée aa\ qui répond au premier instant Oc, donnera, en la terminant à la droite O'/i', la grandeur de la vitesse à la fm de cet instant : en répétant les mêmes opérations pour le point a\ on en déduira h' et hb\ etc. On diminuera d'ailleurs la longueur des tracés, en construisant quelque pan [PL I,fig' 33) les inclinaisons successives/?/i, pn\ pn"^,., des tangentes relatives aux divers instants; car elles donneront, de suite, les degrés de vitesse tv, tv\ tv'\. . . imprimés, par F, dans les instants successifs 0«, a 6, 6r,. . . représentés ici par/;/.

Il est évident que plus sera grand le nombre des parties égales dans lesquelles on aura divisé le temps total 0/ [PL /, Jig. 32), oti Ton considère l'action de la force [motrice, plus la courbe ainsi construite s'approchera de représenter la vé-

l3o MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

ritable loi dumouvement communiqué par celle force. Enfin, les trapèzes bb'dc, c&d'd,,,. représeniani encore ici (108) les chemins élémentaires successivement décrits, par le corps, dans les petits temps correspondants hc, cd,. , ,, on obtiendra le chemin total parcouru par ce corps au bout d*un temps quelconque 0/et sous Taction de la force motrice F, en mesurant Taire totale de tous les petits trapèzes relatifs à ce temps, c'est-à-dire la surface même du trapèze curviligne 00'/'/. Or cette surface se calculera aisément à l'aide du procédé déjà mentionné (72), à l'occasion de la mesure du travail mécanique variable.

De la force vive des corps en général et de sa relation avec

le travail mécanique.

135. Mesure du travail des forces motrices et d'inertie, — A l'aide des notions qui précèdent, nous pouvons calculer la quantité de travail que doit dépenser, contre un corps de poids P ou de masse M (126), une force de pression qui varie à chaque instant en demeurant sans cesse égale et contraire à la force d'inertie (130), pour imprimer à ce corps une certaine vitesse, ou plus généralement, pour augmenter ou diminuer sa vitesse d'une quantité donnée.

En effet, pour chaque instant infiniment petit / du mouvement, le travail de la force motrice est mesuré (72) par le produit de sa valeur moyenne durant cet instant, valeur que nous nommerons F, et du chemin élémentaire qui a été décrit, dans ce même instant, par le corps ou par le point d'application de la force. Ce petit chemin, ainsi qu'on l'a remarqué au n° 134, est donné, pour \^Jig- 3^, PL /, par l'aire du trapèze élémentaire cc'd'd, par exemple, qui serait formé sur cd représentant le temps /, et sur \di vitesse moyenne (108) correspondante \(cc' -f- rfrf'), que nous nommerons V; c'est-àdire que ce chemin est égal au produit Vx ^ Donc le travail élémentaire dont il s'agit est F X V X /, et la même chose aura lieu dans chacun des instants infiniment petits égaux à t. Or nous avons trouvé (130) que, v étant le degré de vitesse d'd" imprimé au corps pendant le temps /, la valeur de F était

PRINCIPES FONDAMENTAUX. l3l

mesurée par — - — \ donc enfin la quantité de travail cherchée est

^^L^lil xVx/^MxVxt'.

C'est la somme de toutes ces quantités de travail partielles qui composent le travail total, et cette somme est facjle à trouver par la considération d'une figure, en remarquant que, comme M est un facteur commun et invariable, cela revient simplement à trouver la somme des produits \X v, A partir du point 0 {PL Iffg- 34), pris pour origine, portons, sur la droite OB, les diverses valeurs de c ou des accroissements successifs Ort, aby bc, cd,. . . de la vitesse, répondant aux divers instants égaux t écoulés depuis celui du départ des corps, accroissements qui seront inégaux (dans le cas du mouvement varié; les longueurs Oa, 06, Oc, Orf,. . . seront les vitesses totales acquises à la fin desdiis instants. Portons ces mêmes longueurs sur les ordonnées correspondantes aa\ bb\ ce', dd',...^ de telle sorte qu'on ail aaz=z Oa, bb'= Ob, cc'= Oc,,..; la suite des points 0, a\ 6', c',... va former une ligne droite inclinée à 4^ degrés sur l'axe des abscisses OB. Cela posé, considérons en parliculier l'accroissement de vitesse d'd" qui a été nommé v, le produit V X f de cet accroissement par la vitesse moyenne correspondante V, ou {{cc^-h dd'), sera ici représenté par Taire du petit trapèze cc'd'd. Donc la somme cherchée de tous les produits V x i' a pour mesure celle des petits trapèzes correspondants, ou Taire comprise entre la droite 0/', Taxe OB des abscisses et les ordonnées qui représentent la vitesse au commencement et à la fin de l'intervalle de temps pour lequel on veut calculer le travail de la force motrice.

136. Relation entre le travail dépensé et la force vive acquise. — Supposons, en premier lieu, que le corps parle du repos, et qu'il s'agisse de trouver la somme des produits Vx i', relative à la vitesse acquise dd' que nous nommerons V; cette somme, étant représentée par Taire du triangle Odd', aura pour mesure

^rfrf'xOrf ou \dd'xdd'=:{\'\

l39. MÉCANIQUE IUDUSTRIELU.

Donc aussi la quantité de travail correspondante à la vitesse acquise V et consommée par l* inertie du corps sera mesurée ( 135) par M X i V'»=r iM V", ou par la moitié de la force vive communiquée à ce corps depuis V instant de son départ (122 ei 126). Ce principe a donc Heu aussi pour un mouvement varié quelconque et pour une force motrice différente de la pesanteur. ,

Pour une autre vitesse//' ou X" plus grande que la première, la consommation totale de travail sera également mesurée, par Mxî^V"* ou ^MV^; et par conséquent, pour rinlervalle compris entre les positions du corps qui répondent aux vitesses V etV'% la quantité de travail consommée sera mesurée par la différence yMV"*— ^M V' ou