MOTRICES CONSTANTES

107. /Votions générales. — Le cas le plus facile et le plus simple de la communication du mouvement est celui d'un corps qui est poussé, à chaque instant, par une force motrice constante, égale et directement contraire (66) à la résistance

PRINCIPES FONDAMENTAUX. tOt

opposée, parTinerlie, dansla direciion propre du mouvement. Or il est clair que, la pression étant la même à chaque instant, V accroissement ou le décroissement très-petit de la vitesse (53) sera aussi le même, ou constant, pour le même corps. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, la vitesse, à partir d'un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant : c'est ce qu'on appelle le mouvement uniformément varié en général; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé, selon que la force motrice consume agit pour augmenter ou pour dimi-nuer la viiesse du corps.

Si l'action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps, c'est-à-dire à partir de l'instant où 11 était au repos, la vitesse totale acquise, au bout d'un temps quelconque mesuré depuis cet instant, sera proportionnelle à ce temps; ou, si Ton veut, elle sera double pour un temps double, triple pour un temps triple, etc. Si, au contraire, l'action de la force motrice ne commence qu'à compter d'un certain instant, ou que le corps ait déjà une vitesse acquise à cet instant, cette vitesse, qu'on nomme ordinairement la vitesse initiale du corps, aura, au bout d'un temps quelconque, augmenté ou diminué d'une quantité qui sera encore proportionnelle à ce temps, et qu'on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse que la force motrice imprime ou détruit constamment, dans un certain temps pris pour unité, par exemple dans une seconde, etc. En eiîet, il ne s'agira que de multiplier le temps total écoulé, par la vitesse qui répond à cette unité de temps; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l'en retranchant selon les cas, on aura la vitesse même du mouvement au bout du temps que l'on considère.

Mais, pour bien saisir l'objet de ces calculs, il est nécessaire de se rappeler que, dans le mouvement varié, la vitesse acquise à un certain instant est mesurée (53) par le chemin qiie décrirait le corps, dans l'unité de temps et à compter de cet instant, si, la force motrice cessant tout à coup son action, le corps continuait à se mouvoir uniformément; ce qu'il ferait véritablement en vertu de son inertie (55) et du degré de vitesse qu'il possède déjà.

>02 MÉCANIQUE llfDUSTRIBLLB.

108. Du mouvement uniformément accéléré. — Occuiionsnous d'abord du cas où le corps pari du repos sous Taciion de la force moirice consianle> et proposons-nous de découvrir toutes les circonstances du mouvement de ce corps.

Nous pouvons encore représenter ici, par le dessin, la loi qui lie, aux temps, les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps, en traçant [PI. I^fig* 27) une ligne Oa'6'. . .A' dont les abscisses Oa, 06,..., O/i représentent les temps écoulés depuis Torigine du mouvement, et dont les ordonnées ûa', hb\ cc'f» . ., /i A' représentent les vitesses acquises à la fin de ces temps respectifs.

Cela posé, puisque dans le cas du mouvement uniformément accéléré, les vitesses aa', bb', cc\...y hh! sont proportionnelles aux temps respectivement écoulés 0«, 06, Oc,.. ., O/i, il est clair que la ligne Oa'b'c'.. ,h' est une droite qui passe par l'origine 0 des abscisses; car le mobile étant ici censé partir du repos à l'instant où la force motrice commence son action, le temps et la vitesse sont nuls à la fois à cet instant. Supposez qu'on ail partagé l'axe OB des abscisses ou des temps en un grand nombre de parties égales très-petites, puis qu'on ait élevé les ordonnées correspondantes, et qu'enfin on ait mené, par les extrémités de ces ordonnées, des parallèles à l'axe des abscisses, on formera une suite de petits triangles Oaa!, a'b' b"y b'c'c",,.. égaux et rectangles. Les côtés aa!, b'b", c'c", .. de ces triangles marqueront les accroissements successifs de la vitesse, accroissements qui seront égaux comme les durées qui leur correspondent 0«, ab, bc,...^ conformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.

Les intervalles de temps successifs Oa, ab, bc,,., étant donc supposés extrêmement petits, on peut regarder le corps comme se mouvant, d'une manière sensiblement uniforme, pendant l'un quelconque cd=^v'd'* de ces intervalles, et avec une vitesse moyenne égale à la demi-somme des vitesses ce', dd' qui répondent au commencement et à la tin de chacun d'eux. Or, dans le mouvement uniforme (48), Tespace décrit en un temps quelconque est mesuré par le produit de la vi* tesse et de ce temps; donc l'espace décrit ici, pendant le temps élémentaire ce/, sera égal à cd multiplié par la vitessQ

PRINCIPES FONDÂII£1ITàOX. 1o3

moyenne ^[cc'-hdd'), qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n'étant autre chose que la mesure de l'aire du petit trapèze cc'd'dy celui-ci pourra ainsi représenter l'espace parcouru pendant l'espace de temps cd : pour un autre intervalle quelconque rfe, égal au premier, l'espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd'e'e; donc l'espace parcouru, pendant le temps OA par exemple, a sensiblement pour mesyre la somme ou surface tola^e des trapèzes élémentaires aa' 6' 6, 66V c,..., gg'h'h, augmentée du petit triangle Oaa qui mesure évidemment l'espace décrit dans le premier instant Oa'; c'est-à-dire la surface même du triangle correspondant OAA'. Donc enfin cette dernière surface e^t la mesure exacte et rigoureuse du chemin décrit pendant le temps total OA, puisqu'on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre inOni de parties égales et infiniment petites, le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (72} pour trouver la mesure du travail quand l'efTort est variable.

109. Lois du mouvement uniformément accéléré. — Le chemin décrit pendant un temps quelconque, et à conipter du repos, étant, pour le mouvement dont il s'agit, représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise à la fin de ce même temps, on en peut déduire, de suite, plusieurs conséquences importantes, et qui permettent de calculer les circonstances de ce genre de mouvement.

D'abord, puisque la surface de tout triangle OAA' a pour mesure la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uniformément durant un temps égal à OA et avec la vitesse A A' acquise au bout de ce temps, on voit que :

I" Dans le mouvement uniformément accéléré, le chemin parcouru, au bout d'un temps quelconque et à partir de Vinsiant du repos, est la moitié de celui que décrirait le mobile, dans un temps égal, s'il se mouvait uniformément avec la vilesse acquise pendant ce temps.

Ensuite, puisque les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques 06, Oe sont représentés par les aires des

lo4 HÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

triangles Obb\ Oee\ puisque ces iriangles sont semblables, et que, d'après les principes démontrés en Géométrie, legrs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues, il en résulte encore que :

2*» Dans le mouvement uniformément accéléré ^ les chemins décrits^ au bout de deux temps quelconques et à compter de l'instant du repos y sont entre eux comme les carrés de ces temps;

3* Enfin ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les carrés des vitesses acquises au bout des temps con^spon-* dants*

110. Formules relatives au mouvement uniformément accéléré. — Lorsque, dans le mouvement que nous considérons, on se donne la vitesse ee' acquise au bout d'un temps quelconque Ocy par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite Oh' qui la représente, est entièrement déterminée; c'esl-à dire qu'on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l'espace qui répondent à un autre temps quelconque donné.

En effet, représentons par i^,, c, le chemin et la vitesse qui répondent à la première seconde; soient E, V le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l'origine du mouvement; on aura d'abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,

e,=--{v,Xi''z=:\v,, E=:iVxT=:;VT;

puis, en tenu de la deuxième,

e^:E:: i-^xi^rlxTou P;

d'où l'on lire

E=ze,xV=:^v,xT = {v,T;

puis enfin, en vertu de la troisième,

p, ou>, :E::c,': V\' d'oii

• V»=:2f,XE=2(',E.

PBIKCIPBS FOKDillIBNTAUX. Io5

Nous avons d'ailleurs, en venu même de la définition du mouvement uniformément accéléré (107),

d'où

Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deux quelconques des quantités E, V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin ei ou la vitesse Vi qui correspondent à l'unité de temps i seconde; il ne s'agira que de remplacer chaque letlre par le nombre des unités de temps ou de longueur qu'elle représente, et d'effectuer les opérations indiquées {*).

111. Cas où le corps part avec une vitesse déjà acquise. — Dans ce qui précède, nous avons supposé que le mobile partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite OA^ qui donne la loi de son mouvement, passait par TorigineO des temps; mais, s*il possédait déjà une vitesse antérieurement acquise, cette droite passerait par le point 0* (PL I,Jig> 28), extrémité de l'ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse c&f qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mouvement, se composera (107) de la vitesse ce" y égale a la vitesse initiale 00', augmentée de la vitesse dc"^ que le corps acquerrait sous l'action de la force motrice constante et au bout du temps Oc ou O'c" relatif à ce', si ce corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent; car la droite O'd' donnerait encore, par rapport à O'B', prise pour axe des temps, la loi de l'accélération du mouvement. Connaissant donc la vitesse que

(•) La relation E = i »», X T, et la relation V'= iv^X, E, qui indique que la vitesse V est mojenne proportionnelle entre i i\ et E, ou entre le double du chemin décrit dans la première seconde et celui qui est décrit au bout du temps T, présentent seules quelques difficultés pour le calcul do T et de V; mais on peut parvenir au résultat par le moyen des constructions graphiques connues, ou par les Tables que nous ferons bientôt connaître 01^)f ^^ enfin par Vextraction directe de la racine carrée du quotient de ^E par \\ et du produit Qt', X E, qui donnent en chiffres les valeurs de T' et de V*.

lo6 HÊGANIQUE INDUSTRIELLE.

la force imprimerait au corps au bout de la première seconde, s'il partait du repos, on aura tout ce qu'il faut pour construire Orf' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à Orf; d'où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mouvement, et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la fîgure, si l'on se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu'il s'agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps, au bout du temps Od, chemin ici représenté par l'aire du trapèze Odd'O' ; on apercevra, de suite, qu'il se compose du chemin 00' d" d^ qui y pendant ce temps, serait décrit uniformément y en vertu de la vitesse initiale 00', augmenté de celui 0' d'd^^ qui, dans le même temps, serait décrit d'un mouvement uniformément accéléré, sous l'action de la force motrice constante commençant à agir au moment du départ. Or nous avons appris ci-dessus à calculer l'un et l'autre de ces deux chemins.

112. Du mouvement uniformément retardé. — Si nous supposons maintenant que la force motrice constante, au lieu d'augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale 00' {PL Ijjig. 29), la difliinue au contraire à chaque instant, le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce', qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mouvement, n'est autre chose que la vitesse primitive 00' ou ce", diminuée de la vitesse c' c" que le corps acquerrait, sous l'action de la force motrice et au bout du temps Oc, si ce corps parlait du repos.

L'aire du trapèze 00' c'c étant encore ici la représentation du chemin décrit, au bout du temps Oc, en vertu du mouvement retardé, on voit que ce chemin est égal à celui OO'c^c qui serait décrit uniformément, pendant ce temps et avec la vitesse primitive 00', moins celui 0' c'c", qui, dans ce même temps, serait décrit d*un mouvement uniformément accéléré, sous l'action de la force motrice constante commençant à agir au moment du départ. On pourrait donc encore calculer, dans le cas actuel et au moyen de la figure, toutes les circonstances du mouvement, si seulement on connaissait la vitesse initiale

OO' ainsi que la diminution de vitesse c^c*\ due à la force retardatrice, au bout d'un temps quelconque Oc, ou, si l'on veut^ à la fin de la première seconde de temps écoulé.

Supposons, entre autres, qu'on veuille trouver le temps Oe au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la ' vitesse du corps; on aura, par les triangles semblables Q>c*c" et OO'e, la proportion

cV : OV =r Oc =3 1'^ : : 00' : 0<? ;

d'où

OO'X i'' 00'

0^= r^ — = -7"Tr'

ce c c

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis l'instant où la force retardatrice a commence son action jusqu'à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné (108) parla surface du triangle OO'e, ou par le produit

ce" 2 de"

Une remarque très-importante à faire, c'est que, si l'on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant, à chaque instant, des degrés de vitesse égaux à ceux qu'elle avait détruits d'abord, le corps retournera dès lors en arrière en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C'est ce qu'indique la ligne (Xe, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers 0, c'est-à-dire de l'instant où le mouvement du corps est éteint; car la force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé, en sens contraire, la vitesse dd! au bout du temps ed^ la vitesse ed au bout du temps ce, etc.

Lois du mouvement vertical des corps pesants.

113. Causes qui influent sur le mouvement des corps dans l'air. — L'un des exemples les plus importants du mouvement uniformément accéléré est celui que nous présente la

■ o8 MËCAHIQUB inDUSTKIBLLS,

chuie des corps pesanlSi suivant la direction de la verticale on de l'aplomb. Mais, avant de l'exposer. Taisons connaître les circonstances qui, à la surface de la terre, accompagnent et modifient ce mouvement.

Déjà nous avons vu (Cl ) que la pesanteur pouvait être considérée comme une rorce sensiblement constante dans l'étendue ordinaire des travaux de l'indusirie. Mais, à ta surTace de notre globe, tous les corps sont plongés dans t'air, et cet air lui-même (3 et 4) est un corps malériel qui les presse de toutes parts (37), et qui, en vertu de son énergie, de son impénétrabilité s'oppose avec plus ou moins d'énergie à toute , espèce de mouvement (66). Nous avons vu (41) que l'effet de la pression de l'air sur les corps solides se réduit sensiblement à diminuer le poids de ces corps d'une quantité égale au poids du volume de fluide qu'ils déplacent; de sorte que cette diminution est d'autant plus sensible que, à égalité de volume d'un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l'air oppose au mouvement des corps, en vertu de son inertie et de sa force de ressort (63), l'expérience apprend que cette résistance varie selon l'étendue et la forme de la surface extérieure des corps, mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mouvement. — En frappant l'air avec une palette plane et mince, la résistance qu'on éprouve est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable, tandis qu'elle est à peine sensible quand le mouvement s'opère avec lenteur. Si, au lieu de frapper l'air avec toute la surface du plan de ta palette, on fait mouvoir cette palette ilc biai$, la résistance est moindre à vitesse égale, et elle est la plus pelilc possible quand on oppose tout à fait le champ ou le côté mince de la paleilc à l'action de l'air; c'est-à-dire quand on dirige sa face plane dans le sens même du mouvement.

Des choses analogues se passent à l'égard de tous les corps qui se meuvent dans l'air; et l'on observe que la résistance crotl généralement: i" avec l'étendue de la surface antérieure des corps, ou qui se présente directement à l'action de l'air; 3" avec la difTicuIté plus ou moins grande que, par suite de la forme même de ces corps, l'air éprouve à glisser le long de leur surface, à se dcvipr ou à leur faire place; 3* avec la gran-

deur de la vilesse qu'ils possèdent, et cela dans un rapport qui crott plus rapidement que celle grandeur, et qui surpasse même un peu son carré (*).

114. Chute verticale des corps dans l'air. — On conçoil, d'après toul ce que nous venons de dire, que la présence de l'air doit apporter des modifications plus ou moins sensibles aux lois de la chute verticale des corps qui sont abandonnés librement à l'action de la pesanteur; et Ton peut même prévoir à l'avance et expliquer une infinité de faits que l'expérience journalière confirme; tels que l'ascension spontanée ou naturelle (31) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans l'atmosphère, la chute plus ou moins rapide des corps solides, etc. — En laissant tomber dans l'air et d'une même hauteur des corps solides, on observe, en effet, que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface à Faction directe de l'air et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu'une balle de plomb creuse ou qu'une balle de bois pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi (plus vite qu'une balle dç liège, etc.; enfin, un même poids de la même substance peut aussi tomber plus ou moins vite selon que celle substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée. La raison en est toute simple : dans le premier cas, la diminution du poids des différents corps et la résistance de l'air sont les mêmes pour chacun d'eux, tandis que ( 35 et 41 ) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide, qui mesurent véritablement l'énergie de la pesanteur, sont très-différents ; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, due à la pression de l'air, et la résistance de cet air qui croît avec la surface extérieure des corps, sont aussi moins sensibles pour les corps plus compactes que pour les aulres.

115. Chute dans le vide, mode d'action de la pesanteur, — Si l'on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace

( * ) ^<J?'** ïc Chapitre relatif aux lois de la résistance des fluides en général.

IIO HtCANIQUB INDUSTRIELLE. '

enlièremenl vide ou privé d'air, chacun d'eux, en descendant toujours de la même hauteur, arriverait nécessairement en moins de temps ou plus vile au bas de sa chute ; car l'action de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L'expérience qui confirmerait un tel aperçu n'aurait donc rien qui dût nous surprendre; mais il n'en serait pas de même si elle nous apprenait que les corps tombent tous également vite d'une même hauteur, car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont le plus de poids, étant sollicités avec une force plus énergique, doivent aussi acquérir un degré de vitesse plus grande; nous ne faisons pas attention, en effet, que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre en mouvement dans le premier cas que dans le second, de çorte que la résistance de l'inertie (66) est réellement plus grande.

Or c'est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vide (36) dans un grand tube de verre [PLI^fig, 3o), après y avoir préalablement introduit des corps solides de diverses espèces, depuis les plus légers jusqu'aux plus denses : ces corps parvenaient tous à la fois au bas de leur chute quand, par un moyen quelconque et facile à imaginer, on les lâchait en même temps et de la même hauteur. Ils ont, de plus, remarqué que ces corps tombaient dans le même ordre et conservaient les mêmes distances respectives dans toute la durée de leur chute; ce qui prouve que la pesanteur leur imprimait, à chaque instant, le même degré de mouvement; nous pouvons donc admettre, comme parfaitement démontré, ce principe général qu'il est important de retenir :

La pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes les particules de la matière quelle qu*en soit la nature particulière^ et leur impfime, à chaque instant^ le même degré de vitesse dans le même lieu et dans le vide.

On s'assure d'ailleurs très-simplement que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles du dehors, en observant qu'un même corps pèse également à l'air libre ou placé dans l'intérieur d'un autre corps, par exemple, dans une chambre, dans une botte; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que l'action de la pesanteur se fasse sentir à travers la matière même de cette chambre, de cette botte.

PRlIfCIPBS FONDAMENTAUX. III

On voit aussi que le poids absolu d*un corps n*esl autre chose que le résultat de toutes les petites actions réunies de la pesanteur sur les mplécules matérielles de ce corps. Il ne faut donc pas confondre le poids avec la pesanteur^ qui esl véritablement h force élémentaire qui sollicite ces diverses molécules à se mouvoir avec le même degré de vitesse.

Ii6. Expérience sur la chute des corps, — Nous venons de voir que les corps les plus denses, tels que Tor, le plomb» le cuivre, sont ceux qui, à égalité de surface, tombent le plus vite dans Tair, parce que la résistance esl alors très-faible par rapport au poids total du corps. Mais, quand la hauteur de chute ne surpasse pas 5 mètres, par exemple, on trouve, par Texpérience, que des balles de ces diverses substances tombent dans le même temps, et qu'elles ne tombent même guère plus vite que des balles de marbre et de cire, égales en volume, dont le poids est sept fois, vingt fois moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de Tair exerce réellement, pour de petites chutes, une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu'on peut trèsbien admettre, par exemple, que la loi que suit la balle d'or,^ en tombant, dans l'air, d'une hauteur moindre que 5 mètres, esl, à très-peu de chose près, la même que celle qu'elle suivrait si elle tombait de celle hauteur dans un espace entièrement vide.

Galilée, célèbre physicien italien, qui a le premier découvert cette loi par des expériences directes et suffisamment précises, a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesanteur est donc (107) une force motrice Constante, agissant avec une intensité égale à chaque instant et quelle que soit la vitesse déjà acquise par le corps. Atwood, physicien anglais, en reprenant depuis les expériences de Galilée avec des moyens plus ingénieux encore ^t plus précis, a obtenu les mêmes résultats. Nous pouvons donc poser les principes généraux qui suivent (109).

117. Lois de la chute des corps dans le vide. — Lorsqu'un corps tombe verticalement et d' une certaine hauteur dans le vide»

112 hêcànique industrielle.

1° Les vitesses acquises aux divers instants sont proportionnelles aux temps écoulés depuis le commencement de la chute;

2° Les espaces totaux parcourus aux mêmes instants, ou les hauteurs de chute, sont proportionnels aux carrés des temps écoulés ;

3** Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bas de chacune d'elles ;

4* Là vitesse acquise au bout de la première unité de temps est égale au double de la hauteur de chute déjà parcourue pendant cette même unité de temps.

Pour le point du globe où nous nous trouvons, la hauteur verticale parcourue, danS la première seconde de sa chute et dans le vide, par un corps qui est abandonné librement à l'action de. la pesanteur, est égale à 4"*» 9^44' donc la vitesse acquise au bout de ce temps est deux fois 4">9o44 ou 9",8o88. Cette dernière vitesse est ordinairement représentée par g" dans les Traités de Mécanique : ainsi ^ = 9"*,8o88: c'est la connaissance de celte grandeur qui sert à calculer (110) toutes les circonstances du mouvement accéléré des corps tombant d'une certaine hauteur dans le vide, ou des corps très-denses tombant d'une petite hauteur dans l'air.

118. Formules et exemples de calcul. — Ordinairement on représente par la lettre h ou H, la hauteur, en mètres, d'où le corps est tombé à un certain instant; en nommant toujours T le temps employé par ce corps à décrire le chemin vertical H, ou à tomber de II, et V la vitesse qu'il a acquise à la fin de ce temps, on aura, d'après ce qu'on a trouvé (110) pour le cas général :

II = iVxï, H = igxT', V' = 2^xH,

V = i?XT, ^ = 9",8o88, ou

n = ;vT, ii={si\ v»=2gH, v = gT,

formules fréquemment rappelées en Mécanique, cl d'un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesants.

Supposons qu'on veuille trouver la vitesse acquise V, et le

PRINCIPES FONDAMENTAUX. Il3

chemin H décrit au bout de 7 secondes de chute; T représentant ici les 7 secondes on aura

V = g^X T = 9™,8o9 X7 =68™, 66 environ,

n = \gxT= 4"-, 9044 X 49 = 23o«',4i6.

Si l'on se donnait seulement la hauteur H de chute, on calculerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au moyen de la relation ¥*= sg-xH. Supposons, par exemple, H = 10"», on aurait

et il ne s'agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donnerait cette quantité. Or cette racine est ici i4 mètres environ, puisque i4x i4 ou i4'= 196.

Pour montrer une nouvelle application des principes cidessus, nous supposerons que deu\ corps différents tombent verticalement d'un même point A ( Z'/. 7,y?g. 3i), où ils se trouvaient d'abord au repos, mais ne tombent que l'un après l'autre, et à un intervalle de temps qui soit seulement de 777 de seconde ou o",oi . Cela posé, nous nous demanderons à quelle distance A'B' se trouveront entre eux ces deux corps, à la fin de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis rinstant du départ du second corps.

Puisque ce corps ne part du point A, que o",oi après le premier, il en résulte que celui-ci aura déjà parcouru un certain espace AB avant l'instant où Taulre aura été lâché de A; cherchons d'abord cet espace au moyen de la formule

H=;S^TV-4%9o44xP (118).

T=:o",oi; donc

H = 4"'>9o44 X 0,01 X 0,01 =4'",9o44x 0,0001 = o'",ooo49;

c'est-à-dire que la distance AB, entre les deux corps, n*esl pas même de j millimètre.

Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront, Fun de l'autre, les mêmes corps, à l'insiant où une seconde

Il4 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

entière se sera écoulée depuis Tinstanidu départ du deuxième corps; et, pour cela, calculons séparémenlles chemins AB',AA' décrits par chacun de ces corps, à partir du point A, en observant que, puisque la durée de la chute AA' du second corps est de I seconde, celle de la chute AB' du premier est

i"-i-o",oi = i",oi; on aura

espace A A' ==4™» 9044 X i^X i" = 4",9o44» et

espace AB' = 4"*, 9044 X 1,01 x 1,10 =5'",oo3; donc pour l'intervalle A'B' ou AB' — AA'

A'B' = 5», oo3o -. 4'", 9044 = o"», 0986.

A la fin de la deuxième, de la troisième seconde de chute, les deux corps seraient déjà à une distance l'un de l'autre de près de 20, de 3o centimètres, etc.

Ces résultats expliquent très-bien pourquoi les jets d'eau des jardins, des pompes à incendie, qui s'élèvent verticalement ou sous une certaine inclinaison, en filets compactes et continus, retombent, au contraire, en se divisant en gouttelettes, en pluie plus ou moins fine: car la résistance de l'air, loin de séparer les parties, comme on pourrait le croire d'abord, tend au contraire à les réunir en diminuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C'est aussi là l'explication très-simple de l'effet si connu des cascades naturelles, dont l'eau, en se précipitant du haut des montagnes, se divise en une pluie tellement fine, qu'elle ressemble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suite, que de telles remarques ne sont pas seulement un objet de curiosité, mais qu'elles peuvent aussi recevoir des applications dans les arts.

119. Observations diverses. — L'opération par laquelle il s'agit de trouver la vitesse V, acquise à la lin de la chute verticale d'un corps, quand on a la hauteur H de cette chute, se

PRINCIPES FONDAMENTAUX. Il5

reproduit très-fréquemment dans la Mécanique pratique; aussi a-t-on construit exprès une Table qui fournit immédiatement la vitesse répondant à une liauteur donnée : son utilité toute particulière dans les applications nous a décidé à la rapporter à la fin de cet Ouvrage.

On dit ordinairement que la vitesse V est due à la hauteur H, et réciproquement que cette hauteur est due à la vitesse V, expressions abrégées qu'il est bon de retenir.

On doit se souvenir que, dans l'air, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement difîèfrent très-peu des véritables, dans les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (IIG). Nous ferons d'ailleurs connaître, dans la partie de cet Ouvrage qui est consacrée aux Applications^ les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans l'air; ces calculs conduisant, de suite, à la théorie des parachutes et des ballons, pourront servir à démontrer l'utilité immédiate des principes de la Mécanique.

120. Ascension verticale des corps pesants. — Lorsqu'un corps, une balle de fusil par exemple, est lancé, de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément retardé f et, d'après ce qui précède (112), la vitesse finira par s'éteindre, quand le corps sera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l'action de la gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse qu'il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à i, 2 et 3 mètres au-dessus de terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, soit dans l'ascension, soit dans la chute; il n'y aura que la direction du mouvement de changée : par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu'il avait primitivement. Nommant V cette vitesse et II la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, on aura

V«=2grH;

la force imprimerait au corps au boul de la première seconde, s*il partait du repos, on aura tout ce qu'il faut pour construire Od' par rapport à O'B', et par conséquent par rapport à Orf; d'où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mouvement, et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la figure, si Ton se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu*il s'agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps, au bout du temps Od, chemin ici représenté par Faire du trapèze Odd'O' ; on apercevra, de suite, qu'il se cornpose du chemin 00'c/"rf, qui, pendant ce temps, serait décrit uniformément, en vertu de la vitesse initiale 00', augmenté de celui 0'd'd'\ qui, dans le même temps, serait décrit d'un mouvement uniformément accéléré, sous V action de la force motrice constante commençant à agir au moment du départ. Or nous avons appris ci-dessus à calculer l'un et l'autre de ces deux chemins.

112. Du mouvement uniformément retardé, — Si nous supposons maintenant que la force motrice constante, au lieu d'augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale 00' [PL l,fig. 29), la diflfiinue au contraire à chaque instant, le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse ce', qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l'origine 0 du mouvement, n'est autre chose que la vitesse primitive 00' ou ce", diminuée de la vitesse c' c" que le corps acquerrait, sous l'action de la force motrice et au bout du temps Oc, si ce corps partait du repos.

L'aire du trapèze 00' c'c étant encore ici la représentation du chemin décrit, au boul du temps Oc, en vertu du mouvement retardé, on voit que ce chemin est égal à celui 00' c"c qui serait décrit uniformément, pendant ce temps et avec la vitesse primitive 00', moins celui 0' & c" , qui, dans ce même temps, serait décrit d'un mouvement uniformément accéléré, sous r action de la force motrice constante commençant à agir au moment du départ. On pourrait donc encore calculer, dans le cas actuel et au moyen de la figure, toutes les circonstances du mouvement, si seulement on connaissait la vitesse initiale

00' ainsi que la diminution de vitesse c'c*\ due à la force retardatrice, au bout d'un temps quelconque Oc, ou, si Ton veut, à la fin de la première seconde de temps écoulé.

Supposons, entre autres, qu'on veuille trouver le temps Oe au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la ' vitesse du corps; on aura, par les triangles semblables OVc" et OO'e, la proportion

cV : O'c'^ = Oc =z 1^ : : 00' : Oc ;

d'où

OO'X y" 00'

ce c c

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis Tinstant où la force retardatrice a commencé son action jusqu'à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné (108) parla surface du triangle OO'c, ou par le produit

' ^ ce' 7, ce

Une remarque très-importante à faire, c'est que, si l'on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant, à chaque instant, des degrés de vitesse égaux à ceux qu'elle avait détruits d'abord, le corps retournera dès lors en arrière en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C'est ce qu'indique la ligne O'e, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers 0, c'est-à-dire de l'instant où le mouvement du corps est éteint; car la force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé, en sens contraire, la vitesse dd' au bout du temps ed, la vitesse c& au bout du temps ecy etc.

Lois du mouvement vertical des corps pesants.

113. Causes qui influent sur le mouvement des corps dans l'air. — L'un des exemples les plus importants du mouvement uniformément accéléré est celui que nous présente la

lo8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

chule des corps pesants, suivant la direction de la verticale OQ de Taplomb. Mais, avant de l'exposer, faisons connaître les circonstances qui, à la surface de la terre, accompagnent et modifient ce mouvement.

Déjà nous avons vu (61 ) que la pesanteur pouvait être considérée comme une force sensiblement constante dans l'étendue ordinaire des travaux de l'industrie. Mais, à la surface de notre globe, tous les corps sont plongés dans l'air, et cet air lui-même (3 et 4) est un corps matériel qui les presse de toutes parts (37), et qui, en vertu de son énergie, de son impénétrabilité s'oppose avec plus ou moins d'énergie à toute espèce de mouvement (66). Nous avons vu (41) que l'effet de la pression de l'air sur les corps solides se réduit sensiblement à diminuer le poids de ces corps d'une quantité égale au poids du volume de fluide qu'ils déplacent; de sorte que cette diniinution est d'autant plus sensible que, à égalité de volume d'un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l'air oppose au mouvement des corps, en vertu de son inertie et de sa force de ressort (63), l'expérience apprend que celte résistance varie selon l'étendue et la forme de la surface extérieure des corps, mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mouvement. — En frappant l'air avec une palette plane et mince, la résistance qu'on éprouve est d'autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable, tandis qu'elle est à peine sensible quand le mouvement s'opère avec lenteur. Si, au lieu de frapper l'air avec toute la surface du plan de la palette, on fait mouvoir cette palette de biais, la résistance est moindre à vitesse égale, et elle est la plus petite possible quand on oppose tout à fait le champ ou le côté mince de la palette à l'action de l'air; c'est-à-dire quand on dirige sa face plane dans le sens même du mouvement.

Des choses analogues se passent à l'égard de tous les corps qui se meuvent dans l'air; et l'on observe que la résistance croît généralement : i® avec l'étendue de la surface antérieure des corps, ou qui se présente directement à l'action de l'air; 2^ avec la difficulté plus ou moins grande que, par suite de la forme même de ces corps, l'air éprouve à glisser le long de leur surface, à se dévier ou à leur faire place; 3" avec la gran-

* PR1NC1P£S FONDAMENTAUX. lOQ

deur de la vitesse qu'ils possèdent, et cela dans un rapport qui croit plus rapidement que cette grandeur, et qui surpasse même un peu son carré (*).

114. Chute verticale des corps dans i*air. — On conçoit, d*après tout ce que nous venons de dire, que la présence de l'air doit apporter des modifications plus ou moins sensibles aux lois de la chute verticale des corps qui sont abandonnés librement à l'action de la pesanteur; et Ton peut même prévoir à l'avance et expliquer une infinité de faits que l'expérience journalière confirme; tels que l'ascension spontanée ou naturelle (31) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans l'atmosphère, la chute plus ou moins rapide des corps solides, etc. ~ En laissant tomber dans Tair et d'une même hauteur des corps solides, on observe, en effet, que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface à l'action directe de l'air et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu'une balle de plomb creuse ou qu'une balle de bois pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi (plus vite qu'une balle dQ liège, etc.; enfin, un même poids de la même substance peut aussi tomber plus ou moins vite selon que cette substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée. La raison en est toute simple : dans le premier cas, la diminution du poids des différents corps et la résistance de l'air sont les mêmes pour chacun d'eux, tandis que ( 35 et 41 ) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide, qui mesurent véritablement l'énergie de la pesanteur, sont très-différents ; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, due à la pression de l'air, et la résistance de cet air qui croît avec la surface extérieure des corps, sont aussi moins sensibles pour les corps plus compactes que pour les autres.

115. Chute dans le vide, mode d'action de la pesanteur. — Si l'on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace

(* ) ^^'** 1® Chapitre relatif aux lois de la résistance des fluides en général.

IIO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE. '

enlièrement vide ou privé d'air, chacun d'eux, en descendant toujours de la même hauteur, arriverait nécessairement en moins de temps ou plus vile au bas de sa chute; car l'action de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L'expérience qui confirmerait un tel aperçu n'aurait donc rien qui dût nous surprendre; mais il n'en serait pas de même si elle nous apprenait que les corps tombent tous également vite d'une même hauteur, car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont le plus de poids, étant sollicités avec une. force plus énergique, doivent aussi acquérir un degré de vitesse plus grande; nous ne faisons pas attention, en effet, que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre en mouvement dans le premier cas que dans le second, de çorie que la résistance de l'inertie (66) est réellement plus grande.

Or c'est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vide (36) dans un grand tube de verre {PLI,Jig. 3o), après y avoir préalablementintroduit des corps solides de diverses espèces, depuis les plus légers jusqu'aux plus denses : ces corps parvenaient tous à la fois au bas de leur chute quand, par un moyen quelconque et facile à imaginer, on les lâchait en même temps et de la même hauteur. Ils ont, de plus, remarqué que ces corps tombaient dans le même ordre et conservaient les mêmes distances respectives dans toute la durée de leur chute; ce qui prouve que la pesanteur leur imprimait, à chaque instant, le même degré de mouvement; nous pouvons donc admettre, comme parfaitement démontré, ce principe général qu'il est important de retenir :

La pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes les particules de la matière quelle qu'en soit la nature particulière, et leur impfime, à chaque instant, le même degré de vitesse dans le même lieu et dans le vide.

On s'assure d'ailleurs très-simplement que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles du dehors, en observant qu'un même corps pèse également à Tair libre ou placé dans l'intérieur d'un autre corps, par exemple, dans une chambre, dans une botte; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que l'action de la pesanteur se fasse sentir à travers la matière même de cette chambre, de cette boîte.

On voit aussi que le poids absolu d'un corps n*est autre chose que le résultat de toutes les petites actions réunies de la pesanteur sur les molécules matérielles de ce corps. Il ne faut donc pas confondre le poids avec la pesanteury qui est véritablement \a force élémentaire qui sollicite ces diverses molécules à se mouvoir avec le môme degré de vitesse.

116. Expérience sur la chute des corps. — Nous venons de voir que les corps les plus denses, tels que l'or, le plomb, le cuivre, sont ceux qui, à égalité de surface, tombent le plus vite dans Tair, parce que la résistance est alors très-faible par rapport au poids total du corps. Mais, quand la hauteur de chute ne surpasse pas 5 mètres, par exemple, on trouve, par l'expérience, que des balles de ces diverses substances tombent dans le même temps, et qu'elles ne tombent même guère plus vile que des balles de marbre et de cire, égales en volume, dont le poids est sept fois, vingt fois moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de l'air exerce réellement, pour de petites chutes, une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu'on peut trèsbien admettre, par exemple, que la loi que suit la balle d'or,^ en tombant, dans Tair, d'une hauteur moindre que 5 mètres, est, à très-peu de chose près, la même que celle qu'elle suivrait si elle tombait de cette hauteur dans un espace entièrement vide.

Galilée, célèbre physicien italien, qui a le premier découvert cette loi par des expériences directes et suffisamment précises, a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesanteur est donc (107) une force motrice Constante, agissant avec une intensité égale à chaque instant et quelle que soit la vitesse déjà acquise par le corps. Atwood, physicien anglais, en reprenant depuis les expériences de Galilée avec des moyens plus ingénieux encore «t plus précis, a obtenu les mêmes résultats. Nous pouvons donc poser les principes généraux qui suivent ( 109).

117. Lois de la chute des corps dans le vide, — Lorsqu'un corpstombeverticalementetd'une certaine hauteurdansie vide»

lia MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

1° Les vitesses acquises aux divers instants sont proportion-' nettes aux temps écoulés depuis le commencement de la chute;

a^ Les espaces totaux parcourus aux mêmes instants, ou les hauteurs de chute, sont proportionnels aux carrés des temps écoulés ;

3° Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bas de chacune d'elles ;

4^ La vitesse acquise au bout de la première unité de temps est égale au double de la hauteur de chute déjà parcourue pendant cette même unité de temps.

Pour le point du globe où nous nous irouvons, la hauteur verticale parcourue, dan§ la première seconde de sa chute et dans le vide, par un corps qui est abandonné librement à Faction de. la pesanteur, est égale à 4"", 9044; donc la vitesse acquise au bout de ce temps est deux fois 4*"» 9044 o\x 9™, 8088. Cette dernière vitesse est ordinairement représentée par g- dans les Traités de Mécanique : ainsi g- =r g™, 8088: c'est la connaissance de cette grandeur qui sert à calculer (110) toutes les circonstances du mouvement accéléré des corps tombant d'une certaine hauteur dans le vide, ou des corps très-denses tombant d'une petite hauteur dans l'air.

118. Formules et exemples de calcul, ~ Ordinairement on représente par la lettre A ou H, la hauteur, en mètres, d'où le corps est tombé à un certain instant; en nommant toujours T le temps employé par ce corps à décrire le chemin vertical H, ou à tomber de l\, et V la viiesse qu'il a acquise à la fin de ce temps, on aura, d'après ce qu'on a trouvé (110) pour le cas général :

\ = gXT, fi^ = 9",8o88, ou

H = ;VT, Tl=\gT\ V'r^2^H, \ = gT,

formules fréquemment rappelées en Mécanique, et d'un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesants.

Supposons qu'on veuille trouver la vitesse acquise V, et le

PRINCIPES FONDAMENTAUX. Il3

chemin H décrit au bout de 7 secondes de chute; T représentant ici les 7 secondes on aura

V = g-X T = 9"",8o9X7 = 68*", 66 environ, H = îg- X T'= 4^,9044 X 49 = a3o"',4i6.

Si l'on se donnait seulement la hauteur II de chute, on calculerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au moyen de la relation V^=2grXH. Supposons, par exemple, H== lo'", on aurait

V*= i9'",6ï76x io'»= i96»"'î, 176 :

et il ne s'agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par lui-même, donnerait cette quantité. Or celle racine est ici i4 mètres environ, puisque

i4x *4 ou i4*= 196.

Pour montrer une nouvelle application des principes cidessus, nous supposerons que deux corps différents tombent verticalement d'un même point A (/^/. -/,y?g. 3i), où ils se trouvaient d'abord au repos, mais ne tombent que l'un après l'autre, et à un intervalle de temps qui soit seulement de 777 de seconde ou o'^oi . Cela posé, nous nous demanderons à quelle distance A'B' se trouveront entre eux ces deux corps, à la fin de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis l'instant du départ du second corps.

Hz=-;g^P^^4'",9o44xP (118).

T=:=o",oi; donc

H = 4",9o44 X 0,01 X 0,01 =4'">9o44x o>oooï = o"",ooo49;

c'est-à-dire que la distance AB, entre les deux corps, n'esi pas même de | millimètre.

Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront, l'un de l'autre, les mêmes corps, à l'instant où une seconde

Il4 MÉCANIQUE INDUSTBIBLLB.

enlière se sera écoulée depuis Tinstant du dépari du deuxième corps; et, pour cela, calculons séparément les chemins AB',AA' décrits par chacun de ces corps, à partir du point A, en observant que, puisque la durée de la chute AA' du second corps est de I seconde, celle de la chute AB' du premier est

r'-4-o",oi = i",oi; on aura

espace AA' = 4™» 9^44 X i^'X i" = 4",9o44> et

espace AB' = 4'", 9044 X 1,01 x 1,10 = 5",oo3;

donc pour l'intervalle A'B' ou AB' — AA'

A'B' = 5", oo3o — 4'",9o44 = o", 0986.

A la On de la deuxième, de la troisième seconde de chute, les deux corps seraient déjà à une distance l'un de l'autre de près de 20, de 3o centimètres, etc.

Ces résultats expliquent très-bien pourquoi les jets d'eau des jardins, des pompes à incendie, qui s'élèvent verticalement ou sous une certaine inclinaison, en filets compactes et continus, retombent, au contraire, en se divisant en gouttelettes, en pluie plus ou moins fîne; car la résistance de l'air, loin de séparer les parties, comme on pourrait le croire d'abord, tend au contraire à les réunir en diminuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C'est aussi là l'explication très-simple de l'effet si connu des cascades naturelles, dont l'eau, en se précipitant du haut des montagnes, se divise en une pluie tellement fine, qu'elle ressemble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suite, que de telles remarques ne sont pas seulement un objet de curiosité, mais qu'elles peuvent aussi recevoir des applications dans les arts.

119. Observations diverses, — L'opération par laquelle il s'agit de trouver la vitesse V, acquise à la fin de la chute verticale d'un corps, quand on a la hauteur H de cette chute, se

PBINCIPBS FONDAMENTAUX. Il5

reproduit très-fréquemment dans la Mécanique pratique; aussi a-t-on construit exprès une Table qui fournit immédiatement la vitesse répondant à une hauteur donnée : son utilité toute particulière dans les applications nous a décidé à la rapporter à la lin de cet Ouvrage.

On dit ordinairement que la vitesse V est due à la hauteur H, et réciproquement que cette hauteur est due à la vitesseW^ expressions abrégées qu'il est bon de retenir.

On doit se souvenir que, dans Tair, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement diffè^ent très-peu des véritables, dans les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (116). Nous ferons d'ailleurs connaître, dans la partie de cet Ouvrage qui est consacrée aux Applications, les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s'élèvent verticalement dans Tair; ces calculs conduisant, de suite, à la théorie des parachutes et des ballons, pourront servir à démontrer l'utilité immédiate des principes de la Mécanique.

120. Ascension verticale des corps pesants, — Lorsqu'un corps, une balle de fusil par exemple, est lancé, de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément retardé, et, d'après ce qui précède (112), la vitesse finira par s'éteindre, quand le corps sera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l'action de la gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse qu'il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à i, 2 et 3 mètres au-dessus de terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, soit dans l'ascension, soit dans la chute; il n'y aura que la direction du mouvement de changée : par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu'il avait primitivement. Nommant V cette vitesse et H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, on aura

V'=2gH;

Il6 MÉCAMIQUB INDUSTRIELLE.

d'où il sera facile de déduire H de V, ou réciproquement, avec la Table [119).

On pourra aussi calculer toutes les autres circonstances de Tascension verticale du corps, par les méthodes du n"" 112; mais il ne faudra pas oublier, je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que l'air n'existe pas ou n'exerce aucune influence sensible sur le mouvement. Car, dans la réalité, les corps s'élèvent à une hauteur un peu moindre que celle, qui répond ou est due à leur vitesse initiale, et, de plus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.

Force vive, masse et quantité de mouvement.

121. Travail relatif à la vitesse de chute des corps, — Nous pouvons maintenant apprécier la quantifié de travail ou d'action que dépense la pesanteur pour engendrer une certaine vitesse dans un corps, ou pobr vaincre l'inertie de ce corps. Nommons, en effet, P le nombre des kilogrammes que pèse le corps, c'est-à-dire l'effort total (60 et 115) que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu'il faudrait employer pour le soutenir; ce sera aussi la mesure de l'eifort constant exercé sur ce corps pendant sa descente de la hauteur H. La quantité de travail, développée par la pesanteur et consommée par l'inertie (66), pendant cette chute, sera donc représentée (78) par le produit PH; et cette quantité de travail aura engendré, dans le corps, la vitesse V calculée (118) par l'équation

Mais, si l'on divise le produit igxH ou V' par l'un de ses facteurs 2g, on aura l'autre facteur

et, par conséquent, P X H est la même chose que Px — •

ou — X ^^

Ainsi la quantilé de travail, développée par la pesanteur pour imprimer une certaine vitesse V à un corps, dans la direction verticale, est égale à la moitié du produit obtenu en multipliant le carré de cette vitesse par le poids P de ce même corps, divisé par la vitesse g ou 9", 8088, que la pesanteur imprime à tous les corps (117), au bout de la première seconde de leur chute.

122. Force vhe des corps; sa relation avec le travail mécanique, — Le produit

- X V^ ou - V

est précisément ce que les mécaniciens sont convenus de nommer \^ force tnve du corps dont le poids est P et la vitesse actuelle V; on voit donc que /a quantité d'action ou de travaily dépensée par la pesanteur pour produire la chute verticale d*un corps, est la moitié de la force vive imprimée au bas de cette chute; ou, si Ton veut, la force vive imprimée est le double de la quantité de travail dépensée par la pesanteur. Lorsque le corps est lancé verticalement, de bas en haut, avec une certaine vitesse, le travail de la pesanteur, toujours mesuré par le produit du poids et de la hauteur à laquelle le corps a été élevé verticalement, est employé, au contraire, à détruire cette vitesse. Par conséquent, dans les deux cas de la descente et de la montée, la moitié de la force vive acquise ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre Tinertie du corps; c'est-à-dire que cette mesure reste la même, soit que la pesanteur imprime une certaine vitesse à un corps, soit qu'elle détruise une vitesse égale et qu'il possédait déjà.

Nous prouverons bientôt que ce principe a lieu, quelles que soient et la force motrice et la nature du mouvement qu'elle communique au corps, dans sa direction propre. Mais il est nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et de poser quelques autres définitions généralement admises par les mécaniciens.

i23. Comment on doit entendre la force vive — L'ex-

Il8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

pression ^q force viVe, employée pour désigner le produit

pouvant induire en erreur beaucoup de personnes, il est bon de remarquer ici que, d'après noire manière de voir, ce n'est point, à proprement parler (59), une force, pas plus que la quantité P X H, que nous avons nommée, en général, quantité d'action, quantité de travait : c'est tout simplement le résultat de l'activité d'une force motrice ou de pression, exprimable en poids, qui a été employée, pendant un temps plus ou moins long (57), à vaincre l'inertie de la matière d'un corps, à imprimer un certain mouvement, une certaine vitesse à ce corps. Sous ce point de vue, la force vive serait véritablement Veffet dynamique (80) de la force motrice, ou plutôt

le double de cet effet, puisque - x V'= csP X H.

Lors donc que nous emploierons le mot force vive, ce ne sera jamais que pour désigner la valeur numérique d'une certaine quantité essentiellement relative au mouvement actuel d'un corps, ou au mouvement qu'il pourrait réellement acquérir dans des circonstances déterminées; et, sans s'arrêter aucunement à la signification propre des mots par lesquels on l'indique dans le discours, il faudra seulement se souvenir que sa valeur, en nombre, équivaut au produit du carré de la . vitesse effective d'un corps, par le poids de ce 'corps, divisé par g ou 9"*,8o88. Ainsi nous ne confondrons pas, comme on le fait quelquefois (80), la force vive des moteurs avec la quantité de travail qu'ils développent contre des résistances qui leur sont apposées ; et, s'il nous arrivait, par exemple, de parler de la force vive d'un homme ou d'un cheval, nous entendrions uniquement spécifier le produit ci-dessus concernant leur vitesse et leur poids réels, produit bien différent de celui qui mesure la quantité de travail mécanique même développée par ces moteurs, à chaque instant ou pendant un certain temps, lorsqu'ils sont appliqués à une machine, à un outil quelconques (74 et 77).

124. Réflexions sur la force vive et les forces motrices en général, — Ce qui a porté autrefois les mécaniciens à adopter

le moi force vive, c*esl qu'ils ont confondu V effet avec la cause, le résultat du travail d'une force motrice avec ce Iravail même; par la seule raison que les mesures, en nombres, de ce travail, de cet effet ou de ce résultat, sont directement comparables entre elles, ou ont une certaine relation numérique. Ayant d'ailleurs admis l'expression de force pour désigner les effets, les résultats de l'activité d'un moteur qui tjtivaiile, et voulant les distinguer de V effort ou pression «im/i/e( 5!)) que le moteur exercerait sur un corps qui resterait en repos ou céderait très-peu (89) à son action, ils ont dit que c'était une force vive, et cette pression, cet effort, ils l'ont nommé force morte. De là aussi la dispute qui s'est élevée, parmi les géomètres du dernier siècle, sur la manière de mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles; dispute fort oiseuse et qui n'a fait qu'embrouiller des choses très-claires par elles-mêmes, puisqu'il est impos* sible de confondre l'effort, la pression simple qu'exerce un moteur sur un corps, avec son travail mécanique, et ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d'un corps.

A la vérité, un corps mis en mouvement, un certain effet dynamique [Vl'^) peut, à son tour, devenir une cause, une source de travail : c'est ainsi, par exemple, qu'un corps lancé verticalement, de bas en haut, est élevé, en vertu de sa vitesse, à une certaine hauteur, tout comnoe il le serait par l'action d'un moteur animé. Mais il arrive ici la même chose que lorsqu'une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élastique (97) : l'inertie de la matière a été mise en jeu de la même manière que les forces moléculaires l'ont été dans ce dernier cas; cette inertie (106), quand elle a été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le ressort qui a été bandé. En un mot, l'inertie comme les ressorts (96), sert à emmagasiner le travail mécanique, en le transformant en force vive, et réciproquement, de sorte que la force vive est un véritable travail disponible.

Nous avons vu (102) qu'on peut en dire tout autant d'un corps qui a été élevé à une certaine hauteur, par un moyen quelconque; ce corps, sollicité par la pesanteur, est la source d'une quantité de travail, dont on peut disposer subscquem-

menl pour produire effectivemeni du travail mécanique. Mais, de même que nous ne disons pas, en termes absolus, que ce corps, actuellement élevé à une certaine hauteur, est unç

force, qu'un ressort bandé est une force; 6e même aussi il

est peu exact de dire qu'un corps en mouvement, que - \'

est une force. Ces réflexions sont également applicables aux hommes et aux animaux en général, aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (99), aux cours d'eau^^iW vent, etc.; ce sont des agents de travail, des moteurs si Ton veut, mais non de simples forces, de simples ^pressions (59). L'objet de la Mécanique industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations que peut subir le travail des moteurs par le moyen des machines ou des outils, à comparer entre elles les quantités de ce travail, à les évaluer en argent ou en ouvrage de telle ou telle espèce, etc.

125. Définition de la masse des corps. — Puisque la pesanteur agit indistinctement sur toutes les particules matérielles d'un corps, et tend, à chaque instant, à leur imprimer le même degré de vitesse dans le même lieu (115), on voit que le poids de ce corps, qui est le résultat de toutes ces actions partielles, peut donner, jusqu'à un certain point, une idée de la quantité de matière qu'il renferme ou de sa masse. Suivant cette notion, la masse serait donc proportionnelle au poids; souvent même on prend, dans les applications, les poids pour les masses. Mais, comme l'intensité de la pesanteur varie d'un lieu à un autre (61), et que la quantité de matière ou la masse absolue d'un même corps ne varie pas, on voit que celte dernière serait, dans certains cas, mal définie par le poids simple de ce corps. Or l'expérience apprend que la vitesse imprimée, par la pesanteur, au bout de la première seconde de chute,

demeure constamment proportionnelle à son intensité; c'cst-

à-dire (117 et 121) que le rapport - reste le même pour tous

les lieux. Ainsi, P et P' étant les poids absolus (60) et dans le vide, d'un même corps transporté, par exemple, à deux hauteurs différentes; g et g' les vitesses qu'à ces hauteurs, la pesanteur imprime, dans le vide et à la fin de la première

seconde de chule, à chaque particule de nialière, on a

C'est donc à ce rapport invariable - ? et non au poids P luimême, que s'applique véritablement, en Mécanique, la définition de la masse d'un corps; et l'on commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves, en prenant le poids pour la mesure de la masse.

126. Expression abrégée de la masse et de la force rive, dans les calculs. — Ordinairement on représente la valeur de la masse par la lettre m ou M : on a donc

et, par suite,

V = MXf;^Mg;^

P exprimant l'effort absolu exercé, par la pesanteur, sur un

certain corps, et g la vitesse qu'elle lui imprime, dans le

même lieu et dans le vide, au bout de la première seconde de

sa chute verticale.

P D'après cette convention, la valeur ci-dessus — V' de h force

riVc d'un corps (121) se trouve aussi représentée, dans les calculs mécaniques, par

MxV» ou MV',

c'est-à-dire par le produit de la masse de ce corps et du carré de sa vitesse acquise ou actuelle,

127. Quantité de mouvement des corps, — Les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d'un corps, le produit de sa masse, définie comme on vient de le dire, par la vitesse simple et actuelle que possède cette

masse; c'est-à-dire que

M X V ou - X V,

I2?k MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

qu'on écrit aussi

PV MV ou —

pour la simplicité, est ce qu*on nomme une quantité de mouvement en Mécanique. Cette quantité est, comme on voit, très-différente de ce que nous avons appelé (80) la quantité exaction ou de travail des moteurs; et on ne peut la confondre avec cette dernière qu'autant (8h) que Ton confondrait aussi Teffort d'un moteur avec le poids réel, ou plutôt avec la masse d^un corps ; ce qui n'est évidemment pas permis (* ).

i28. Observations générales. — Dans le fait, c'est principalement pour abréger et simplifier tout à la fois les calculs et les raisonnements, qu'on emploie les dénominations de masse, de quantité de mouvement, et qu'on les représente par des lettres particulières; on pourrait aisément s'en passer, ainsi que du moi force vive, dans l'exposition des principes de la Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en ont fait usage, il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification, et de ne pas oublier qu'elles se rapportent toutes à des corps matériels et au mouvement véritable

(*) Nommons Q la valeur, en nombre, de — X V, on aura Q = — x V, ou,

ce qui revient au même, Q:P :: V:^. Mais P est le poids véritable d'un certain corps; ^, ou 9™, 8088 est la vitesse que la pesanteur imprime à ce corps au bout de la première seconde de chute et dans le lieu où nous sommes ; donc Q n*est autre chose que le poids absolu du même corps dans le lieu où la gravité serait capable de lui imprimer la vitesse V au bout de la première seconde de chute, c'est-à-dire l'effort qui soutiendrait le corps contre l'action de cette gravité. On voit aussi que la force vive M V ou MV x V n'est elle-même que le produit de ce dernier poids, de cet effort, par la vitesse V, ou par le chemin que décrirait (48) uniformément le corps, dans l'unité de temps, en vertu de sa vitesse actuelle. Ces observations peuvent servir à distinguer entre elles, d'une manière absolue, la quantité de mouvement et la force vive, ainsi qu'à montrer l'identité de nature que, sous un certain point de vue, les mécaniciens ont attribuée à ces deux sortes de grandeurs, ainsi qu'au poids et au travail mécanique véritables; elles expliqueront aussi comment on se permet quelquefois de regarder la quantité de mouvement comme une Jorce morte (124), comme un effort simple ou sans énergie, et la quantité de travail comme une force vive. Au surplus, nous n'avons nullement besoin de nous inquiéter de ces distinctions qui, à le bien prendre, sont de vraies subtilités.

de ces corps; ou plutôt qu'elles sont des expressions purement conventionnelles pour exprimer, d'une manière commode, certaines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique, quand il s'agit du mouvement des corps.

DE LA COMMUNICATION DIRECTE DU MOUVEMENT PAR LES FORCES MO* TRICES EN GÉNÉRAL, ET DU CHANGEMENT DU TRAVAIL EN FORCR VIVE.

129. Rapport des forces motrices au mouvement imprimé. — Nous venons de voir (125) que la pesanteur communique, à un même corps et au bout de la première seconde de chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Mais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie, en effet, très-peu(61) dans touie la hauteur de cette chute; de sorte que la vitesse totale, acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés dans chaque élément du temps (107 et suiv.). Lorsque la force motrice, au lieu d'être constante, varie à chaque instant, il est évident qu'alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse totale qu'elle imprime dans le sens propre de son action, à un même corps et au bout de l'unité de temps, mais qu'elle dépend uniquement, pour chaque Instant, du degré de vitesse infiniment petit qu'eWe lui communi<|ue à ce moment.

L'observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans les mouvements de notre système planétaire, nrouve que

Les forces sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse qu'elles impriment, dans des temps égaux infiniment petits, à un même corps qui cède librement à leur action, et dans le sens propre de cette action.

Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement, et il doit être considéré comme une loi générale des forces motrices de la nature.

Pour éviter désormais des répétitions inutiles, nous rap-

pellerons qu'ici, comme dans ce qui précède et dans ce qui va suivre, les forces .sont censées agir d'une manière directe sur les corps, c'est-à-dire dans le sens propre du mouvement qu'ils prennent ou tendent à prendre, et que, dans ce mouvement, les diverses parties de ces corps sont aussi censées cheminer parallèlement et de la même quantité, ainsi qu'il arrive dans une infinité de circonstances. Si l'on veut encore, on peut considérer les corps comme dépouillés de leurs dimensions, ou leur matière, leur masse, comme concentrée en un seul point sur lequel agit immédiatement la puissance.

130. Mesure des forces motrices et d* inertie par la vitesse imprimée et réciproquement, — Soit F la mesure, en kilogrammes, d*une certaine force qui agit directement sur un corps cédant librement à son action; soit v le degré très-peiit de vitesse qu'elle imprime à ce corps, à une époque quelconque et pendant le temps infiniment petit /; soit pareillement P le poids ou la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu, sur ce même corps, et v' le petit degré de vitesse qu'elle tend à lui imprimer, ou qu'elle lui communiquerait, en effet, pendant la durée de t, s'il était parfaitement libre de céder à son action. On aura, selon ce qui précède,

F : P : : i' : «'' ; d'où

« P Pi'

Firi-^Xi'^— • V i'

Mais, d'après la première loi de la chute des corps (117), nous avons

^':g:: t: i"; d'où «

i^' = gt;

donc

« Pt' «. f Fi=-- =Mx-.

M étant la masse du corps (125j.

Ainsi, quand on connaîtra le degré de vitesse v imprimé, dans le temps infiniment petit /, par la force F, on pourra calculer cette force, qui est égale et contraire à la résistance

PRIKCIPBS FONDAMENTAUX» 125

qu'oppose, au mouvement (66), IMnertie de la matière du corps; résistance que nous avons nommée simplement /orc^ d'inertie, et qu'on pourrait aussi appeler (123) h force dyna-mique des corps, parce qu'on attache ordinairement au mot dynamique l'idée d'un changement de mouvement. La relation

F = Mx- = M-i nons apprend donc que

La force d* inertie F crott proportionnellement à la masse du corps et aux degrés de vitesse v qu'il reçoit dans des temps élémentaires t, égaux et infiniment petits.

De la relation ci-dessus, on tire réciproquement la valeur

¥xt , V = ; donc

Les degrés de vitesse qu'une force motrice imprime à un corps j pendant un même temps élémentaire infiniment petite sont proportionnels à l'intensité de cette force et inversement à la masse du corps.

On remarquera d'ailleurs que tout ce qui précède s'applique aussi bien au cas où la force F ralentit le mouvement acquis du corps qu'à celui où elle Taccélère; seulement, au lieu de degrés de vitesse acquis, on a à considérer des degrés de vitesse détruits dans ce corps, et la force f devient une résistance véritable, qui s'oppose à l'action de l'inertie devenue puissance (58). C'est généralement ainsi qu'on devra entendre les choses dans tout ce qui va suivre.

131. Rapport des forces mot/ices aux quantités de mouvement imprimées, — D'après nos définitions (127), le produit MXi' ou Mi' n'est autre chose que ce qu'on nomme une quantité de mouvement, en Mécanique. On voit donc que la première des propositions ci-dessus revient à dire que

La force d'inertie crott proportionnellement à la quantité de mouvement communiquée ou détruite dans un même instant infiniment petit ;

Ou que

Les forces motrices communiquent ou détruisent, dans des instants égaux et infiniment petits, des quantités de mouvc ment qui leur sont proportionnelles.

19(6 MÉCANIQUE INDUSTRIBLLE.

Soient» en effet, F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant, pendant un même instant infiniment petit t, sur deux corps différents, de masses M et M'; soient v et f' les degrés de vitesse qu'elles leur impriment respectivement, à la fin de cet instant, on aura, selon ce qui précède.

et par conséquent

F:F::M^:M'J i.Mi^rM'/.

Si donc les forces motrices F, F', ou les forces d'inertie qui leur sont directement opposées, avaient la même intensité, la même valeur en kilogrammes, les quantités de mouvement qu'elle^ imprimeraient, dans le même instant très-petit /, seraient aussi égales ; ce qui résulte immédiatement de ce qu'on aurait alors

M7 = M'y ou Mv = M'v\

On voit enVin que, si deux forces appliquées à deux corps libres différents, demeurent sans cesse égales entre elles pour les mêmes instants c'est-à-dire si elles varient de la même manière, les quantités de mouvement totales et finies qu'elles auront imprimées à ces corps, entre deux instants quelconques, seront aussi égales entre elles; car chacune d'elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Mt', M'f', qui ont les mêmes valeurs pour les divers instants successifs et égaux dont se compose la durée entière de l'action.

C'est ainsi qu'il faut entendre le principe par lequel les auteurs admettent quelquefois que des forces motrices égales impriment les mêmes quantités de mouvement ^/iie* ou totaies à des corps quelconques, principe qui conduit à considérer ces quantités comme des forces véritables, tandis qu'elles expriment uniquement des sommes de produits tels que F/, relatifs aux forces ordinaires de pression (59 et 60) et à la durée du temps pendant lequel elles agissent. En effet, quelle que soit la petitesse de cette durée, elle n'est pas nulle (57), et.

PRINCIPES FOlfDAHElITAUX. I27

quelle que soit la grandeur ou l'intensité des forces, elles ne sont pas infinies^ elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression ou de traction. Au surplus» je le répèle, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous, qui n'admettons le mot quantité de mouvement que pour désigner un certain résultat des calculs, et pour abréger les énoncés des principes (127 et 128}.

132. Autre mesure des forces motrices et d* inertie, — Revenons maintenant à la considération simple d'une force unique F, agissant sur un corps de poids P ou de masse M (130), et supposons qu'à une certaine époque du mouvement, cette force cesse tout à coup de varier, ou continue d'agir sur le corps avec l'intensité qu'elle possède à cette époque; la vitesse augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps (107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu'elle imprimerait au corps, à la fin de la première seconde, s'il partait du repos au commencement de cette seconde.

Désignant par V, cette vitesse finie, on aura

\x\v\\\'':t; d'où