M'MV M

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c*esl-à-dire à la force vive que possédait la masse M avant le choc, multipliée par le quotient de la masse M' et de la somme de ces masses,

La moitié de celle valeur sera donc aussi ( 137 ) la mesure du travail développé, par la force de réaction F, pour opérer la compression des deux corps.

Si le choc Gnit à l'instant de la plus ^ande compression, co qui revient à supposer que Télasticité de ces corps soit nulle ou ait été complètement détruite, ou, plus généralement, s'ils ont acquis forcément la même vitesse après le choc (159), la quantité ci-dessus donnera encore la perte de force vive occasionnée par le changement d'état ou de forme des deux corps.

Mais, si le choc continue après l'instant dont il s'agit, et que les corps finissent par se séparer, une portion de cette même force vive sera restituée dans le débandement des ressorts moléculaires; mais elle ne pourra l'être intégralement qu'autant que les deux corps seraient revenus complètement à leur état primitif (158 et suivants). C'est, en effet, ce qu'on trouve par des opérations analogues à celles ci-dessus, appliquées aux valeurs des vitesses qui, selon le n" 158, ont lieu alors après le choc.

162. Conséquences particulières. —%{x pposons que la masse M' du corps choqué ( A.' ) [PL II, Jig, 35 ), et qui est au repos avant le choc, soit très-petite par rapport à celle M du corps choquant(A), M' sera aussi très- petit par rapport à M-+-M'; et par con-

séquent la perle de force vive -rz jrr-, M\^ relative au cas où

ces corps ne sont pas élastiques, se réduira à une très-petite fraction de celle M V' qu'ils possédaient avant le choc. On peut, dans des circonstances semblables, négliger une telle perle dans le calcul des résistances d'une machine, pourvu que le choc ne soit pas fréquemment répété (97); mais il en est tout autrement quand la masse M' du corps en repos est très-grande par ra])port à celle M du corps choquant; car la fraction

rj ^77 pourra approcher beaucoup de l'unilé, cl par consé-

quent la perte de force vive différer très-peu de la force vive MV*

APPLICATIONS, ETC. l65

possédée par ce dernier corps avant le choc. Supposant seulement M' = M, la valeur de cette fraction sera |, et la perte s'élèvera déjà à la moitié de M V'. On voit donc combien il est essentiel d'éviier, dans la construction des machines, qu'un corps vienne inulilenxent choquer un autre corps en repos, <lont le poids est comparable au sien propre.

Nous disons inutilement ^ parce qu'en effet il est quelquefois utile d'opérer par le choc sur la matière à confectionner; c'est ainsi, par exemple, que procèdent les forgerons pour' donner différentes formes aux métaux, et que les cordonniers parviennent à étendre les semelles de cuir et à augmenter leur <iensité, leur raideur ou leur force de ressort; mais alors même un ouvrier qui a l'expérience de son art, ne manque jamais d'employer des marteaux, des enclumes bien aciérés et trempés, ou tout aulre corps plus ou moins élastique, conformément à la remarque qui en a déjà été faite au n** 98; de sorte que la consommation de force vive qui a lieu alors (159) est, <iu moins en très-grande partie, employée à produire le changement déforme même de la matière à confectionner.

C'est encore ici le lieu de rappeler (97) qu'il ne suffit pas que les corps soient élastiques pour qu'on puisse affirmer qu'il n'y ait pas eu consommation inutile de travail; car il faut encore que la force vive, qui est restituée par les ressorts moléculaires après le choc, soit ulilement employée. C'est bien ce qui arrive, par exemple, à l'égard du marteau des forgerons, puisque l'élasticité, en renvoyant le coup, sert à élever ce marteau contre l'action de la pesanteur, et aide la main de l'ouvrier habile qui sait en profiter; mais le contraire peut aussi arriver, si, par exemple, l'enclume est assise sur un terrain mou : la force vive qu'acquiert celte enclume est alors, en partie, consommée à produire l'enfoncement du sol; aussi les mattres de forge entendus ont-ils soin de placer de gros blocs de bois ou des charpentes très-élastiques sous leurs enclumes. Il n'est pas moins indispensable aux ouvriers de tous les autres états, de choisir, pour leurs chantiers et établis, des corps à la fois raides et élastiques; il faut en outre qu'ils soient suffisamment lourds et stables; car alors ne prenant qu'un mouvement insensible (160), et n'acquérant qu'une force vive trèsfaible, ils auront très-peu d'action pour déformer ou comprimer

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le sol; de sorte que, quelle que soil sa constitution, les pertes (le travail seront tout à fait négligeables.

163. Formules relatives au cas le plus général du choc direct. -*- Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupés du cas où Tun des deux corps est en repos; mais il n'est pas inutile de montrer comment on peut étendre immédiatement les raisonnements à celui où les corps seraient animés de vitesses quelconques avant le choc.

A cet effet, nommant M, M' les masses, V, V les vitesses respectives des deux corps, avant le choc, et U leur vitesse commune à l'instant de la plus grande compression, on observera que, quand les corps cheminent dans le môme sens [PLIIjJig, 36), la force de réaction F (15&'), diminuant la quantité de mouvement MV du corps ( A ) de quantités égales à celles qu'elle ajoute à la quantité de mouvement M'Y' de (A'), la somme MY-I-M'V' des quantités de mouvement primitives reste encore la même à toutes les époques du choc. On a donc, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MU + M'U ou (M-i-M')U = MV-+-M'V'; d'où

^, MVh-M'V

tandis que, dans le cas où les deux corps (A) et (A') vont à la rencontre l'un de l'autre [PL U^fig» 87) animés des quantités de mouvement MV, M'V, la force de réaction diminuant chacune d'elles de la même valeur (154), leur différence absolue MV— M' V ou M'V — MV demeure aussi la même à tous les instants; de sorte qu'en supposant que MV surpasse M'V, on aura, à l'instant où la vitesse est U pour les deux corps,

MU-+-M'U ou (M4-M')U=:MV-M'V'; d'où

Mv-M y

la vitesse U étant nécessairement dirigée dans le sens de celle V, qui répond à la plus grande des doux quantités de mouvement primitives, MV et M'V.

APPLICATIONS, BTC. 167

Quanl aux forces vives, possédées ou perdues au momeni de la plus grande compression, c'esl-à-dire lorsque les corps ont acquis le même mouvement, on les calculerait aisément au moyen delà vitesse U; mais on pcul arriver immédiatement à la valeur de la perte commune à la fois à ces corps et qu'il est souvent essentiel de connaître, en observant que, dans les deux cas dont il s'agit, leur réaction réciproque s'opère uniquement en vertu des vitesses relatives (46 et 85) dont ils sont animés avant le choc ; de sorte que les valeurs de F et les changements d'état ou de forme correspondantes sont, à chaque instant, les mêmes que si, le corps (A'), par exemple, étant au repos, le corps (A) venait le choquer avec une vitesse V — V égale à la différence de leurs vitesses pour le premier cas, et avec une vitesse V-i-V' égale à la somme des mêmes vitesses pour celui où les corps marchent en sens contraire.

La perte de force vive, qui dépend uniquement (85 et 139) de Tinlensité de la réaction des deux corps à chaque instant du choc, sera donc (101), au moment de la plus grande compression, pour le cas où les corps marchent dans le même sens,

MMTV--V7 ■ M-+-M' '

ei, pour celui où les corps marchent en sens contraire,

MM;(y4-v;)^

Cette dernière quantité est, comme on voit, de beaucoup supérieure à la première; cela prouve combien il est essentiel, dans la construction des machines, d'éviter que des corps se choquent inutilement avec des vitesses contraires.

Enfin, si les corps étaient supposés (161) parfaitement élastiques, on trouverait tout aussi facilement les vitesses qu'ils conservent à la fin du choc : il suffirait, pour cela, de reprendre les raisonnements du n** 158, relatifs au cas où l'un des corps est en repos au commencement de ce choc. Mais, comme on aura rarement occasion d'appliquer ces résultats ù la pratique, nous ne nous y arrêterons pas non plus qu'aux diverses conséquences qu'on pourrait, dès à présent, déduire des formules qui précèdent.

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164. Remarques relatwes aux applications numériques. — On devra se rappeler que, lorsqu'il s agit de calculer, en nombres, les valeurs des forces vives perdues ou conservées par les corps après le choc, il conviendra toujours de prendre (125 et suivants), pour chaque masse, le quotient du poids du corps, exprimé en kilogrammes, par gf=:9",8o88, tandis qu'on pourra s*en dispenser dans le cas où Ton n'aura que les vitesses simples à calculer. Il est aisé de voir, en eiTet, qu'il sera alors permis de remplacer les masses par les poids mêmes des corps, dans les fractions qui donnent ces vitesses, attendu qu'en supprimant la division de ces poids par g-, cela reviendra tout simplement à multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction doni il s'agit, par cetie même quantité; ce qui n'en change pas la valeur, comme on sait. Ainsi on aura, dans le cas général ci-dessus (163), P, P' étant les poids des deux corps dont les masses ont été nommées M et M%

selon le sens du mouvement des corps avant le choc.

C'est d'après de tels exemples qu'on se croit quelquefois autorisé à prendre généralement le poids d'un corps pour sa masse (125); mais on commettrait une erreur grave si l'on en agissait ainsi dans les calculs relatifs à la force vive des corps.

Par exemple, dans les cas ci-dessus (163) de deux corps qui se choquent en marchant dans le même sens, nous avons trouvé que la perle de force vive, à l'instant de la plus grande compression, qui répond à la fin du choc quand les corps ne sont pas élastiques, avait pour valeur