MM^(V~V^)^ M -4- M
tandis que, selon l'autre manière de voir, elle serait
PF(V — VM^ P-hF
Or il est facile de s'assurer que, par la suppression de la division des poids P, P', qui donne (126) les masses M, M', on
aurait multiplié réellement deux fois le numérateur de la fraclion par g, et seulement une fois le dénominateur; de sorie que le véritable résultat se trouverait en effet multiplié par g. Si donc on voulait obtenir ce véritable résultat en se servant des poids, il faudrait diviser la dernière des fractions ci-dessus par g ou 9*,8o88, ce qui donnerait
PF(V — V r
Ainsi, on pourra, dans la vue de simplifier un peu les calculs, se servir de cette dernière formule au lieu de celle qui contient les masses; quant à la précédente, on doit bien voir maintenant qu'elle est absolument fautive. On pourra d'ailleurs appliquer des simplitications analogues aux diverses autres formules ou résultats de calculs concernant le choc direct des corps.
165. Comparaison des effets des chocs et des pressions simples. — On a quelquefois essayé de mesurer directement les chocs par les pressions ou les poids : ainsi l'on a dit, d'une manière absolue, qu'w/i certain poids^ tombant de telle hauteur sur un corps, équivalait à une pression de tant de kilogrammes, exercée sur ce corps; or, il est bien évident que ces deux choses sont tout à fait distinctes, et ne peuvent se rapporter à la même unité de mesure, dans le sens absolu dont il s'agit. Mais il en est tout autrement quand on entend parler des effets physiques que peuvent produire les chocs et les poids ou pressions simples qui agissent sur les corps sans vitesse acquise ; c^t un poids posé, par exemple, sur une certaine substance, s'y enfonce ou la compri me plus ou moins ( 63 ), et il développe, dans sa descente, une quantité de travail (89) qui est lout à fait comparable à la force vive que perdrait un autre corps (161), pour produire la même compression, le môme effet.
Dans les deux cas, on a à considérer une suite de pressions variables pour chaque instant, et qui se succèdent, sans interruption quelconque, tout en produisant le changement de forme du corps. Or cette succession n'est pas une pression simple et unique; on ne peut pas non plus la mesurer en kilo-
grammes par une somme de pressions, puisque celle somme esl infinie, même pour un irès-pelil lemps de l'aclion des forces el pour un mouvemenl exirêmemenl leni; mais, comme il y a à ]a fois pression ou efforl el chemin décrii dans chaque inslanl irès-peiil, i] y aura aussi un peiil travail développé dans cel inslanl; el c'esl la somme fmie de ces iravaux parliels qui, dans lous les cas, donne la mesure de l'eiTel produil.
11 esl bon de remarquer d'ailleurs que les mêmes géomèlres qui mesurent les effets du choc par des sommes de pressions, nomment ces sommes des forces de percussion, et les considèrent comme égales aux quantités de mouvement qui ont été imprimées ou détruites dans l'acte du choc; tandis que, d'après l'aulre manière de voir, qui est aussi simple el d'ailleurs parfaitement d'accord avec les résultats de l'expérience, nous sommes conduits naturellement à mesurer ces mêmes effets du rlïoc par la force vive directement employée à les produire.
.applications relatives au choc direct. •
166. Choc d'un corps qui tombe d'une certaine hauteur sur une substance plus ou moins molle. — Supposons qu'on laisse tomber d'une certaine hauteur un corps cubique et très-résistant P {PI. II, fîg. 38), lel qu'un cube de fer pesant 3oo kilogrammes, sur une substance plus ou moins molle, terminée par un plan de niveau AB, et dans laquelle il pénèlre par une de ses faces ab, parallèle à ce plan. Soient i*",3o la hauteur b^c d'où le cube esl lombé avant d'atteindre AB, el 2 centimèires la quantité totale 6c de l'enfoncement observé à l'instant où le choc esl complètement terminé; il sera donc descendu réellement de la hauteur i''»,3o-i- o",o2z= i™,32,ctla quantité de travail développée par la pesanleur, dans celte descente, sera mesurée (121) parle produ il Soo'^^Xi'", 32 = 3^6 ''»'"; c'est donc là aussi la mesure du travail nécessaire pour produire l'enfoncement des 2 centimètres avec des circonslances semblables, ou pour produire un effet identiquement égal.
Celte conséquence résulte immédiatement de ce qui a été dit précédemment ( 158 el suivants) sur le choc des corps durs qui rencontrent des corps mous ou privés d'élasticité; car ici
le corps P aiteint le plan AB avec une force vive égale à 2 X 3oo''«x \"',So = 780 (122); celle force vive peulêire considérée comme presque enlièremeni consommée (162) pour produire le changement de forme de AB; en effei, Talléralion du cube esl négligeable, el la masse de la subsiance AB qui reçoil le choc, élani ici censée irès-grande par rapport à celle de P, ou élanl censée faire partie du sol, soit directement, soit par l'intermédiaire des corps qui la supportent, la vitesse el par conséquent la force vive conservées après le choc? seront extrêmement petites (160 et suivants), de sorte qu'on pourra les négliger par rapporta celles que possédait P avant le choc. Or celle dernière force vive se convertit, à partir de l'instant où le corps atteint le plan AB, en une quantité de travail égale (136) à la moitié de sa valeur, c'est-à-dire à Sgo kilogrammètres entièrement employés contre les résistances du sol; de plus, la gravité y ajoute, pendant que le corps s'enfonce, une quantité mesurée par le produit du poids 3oo kilogrammes de ce corps et de la hauteur hc de renfoncement; donc, au total, la résistance qu'éprouve le cube pendant qu'il pénètre dans la substance AB et de la part de cette substance, développe bien réellement, contre le mouvement, une quantité de travail égale à
Sgo^im | 3oo'^i X o"',o2 = Sgo^*'" -h ff"*"" = 396^*™,
quelle que soit d'ailleurs la manière dont varie l'intensité propre de cette résistance aux divers instants de l'enfoncement.
Maintenant, si l'on pose doucement, sur AB, un prisme vertical R de même base que le cube, et dont la hauteur et le poids soient tels, qu'au bout d'un temps plus ou moins long il s'enfonce des mêmes 2 centimètres bc, la quantité d'action que la pesanteur aura développée, sur le prisme, pendant sa descente de cette hauteur, et qu'aura consommée la résistance de AB, sera le produit de 2 centimètres par le poids R de ce prisme, c'est-à-dire o"", 02 x R. Mais, comme les effets produits par le prisme et par le cube sont identiques dès l'instant où il est permis de négliger la vitesse communiquée au sol, les quantités de travail que ces effets supposent, de la part de la résistance de AB, doivent être regardées aussi comme
l']1 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
égaies, et parlant on a d'où
Tel est donc le poids qui pourrait produire, dans un temps plus ou moins long, un effet égal à celui qui résulte, dans un temps généralement très-court, d'un poids 66 fois moindre, lancé avec \?Lvitesse de 5'",o5 due à la hauteur de i",3o(118).
167. Calcul hypothétique de la durée de renfoncement produit par le choc. — La valeur effective du temps que le corps P met à s'enfoncer des 2 centimètres ci-dessus ne peut s'obtenir qu'autant que l'on connaîtrait, par des expériences spéciales, la loi que suit la résistance du sol aux divers instants, ce qui n'est pas. Mais, pour offrir un exemple de calcul, nous supposerons la résistance constante, ou plutôt nous la supposerons rerpplacée, dans les divers instants, p^r s^ valeur mojrenne (IZ); de sorte qu'elle sera censée (107 et 112) relarder uniformément le mouvement du prisme ou du cube.
Or nous savons que, pendant la durée du choc, elle développe une quantité de travail égale à 396 kilogrammètres; donc (73)
elle a pour valeur moyenne 3=19800'^»; c*esl-à-dire qu'elle
est précisément égale au poids du prisme qui produit le même enfoncement ou le même effet; ce à quoi on devait bien s'attendre en la supposant tout à faliconslanle(*). Celte résistance étant directement opposée à l'aciion du poids des 3oo kilogrammes du cube, ce dernier sera en réalité sollicité, pendant l'enfoncement, par une force motrice constamment égale à igSoo^» — Boo''*^ 19500^*, et agissant, de bas en haut, pour retarder son mouvement primitivement acquis, ou pour détruire la vitesse de 5'",o5 qu'il possède à l'instant où il atteint AB.
(*) Puisque la résistance est ici égale au poids du prisme, ce dernier no s'enfoncerait pas; conséquence qui prouve assez que l'hypothèse d'une résistance constante n'est point admissible : cette résistance croît nécessairement à partir de l'instant où l'enfoncement commence, et c'est ce qui parait évident en soi, vu la plus grande facilité qu'a alors la matière de se déplacer latéralement ou sur les côtés du cube et du prisme.
Avec ces données, il ne sera pas difficile de trouver le temps que la résistance mettrait à éteindre complètement la vitesse en question; car puisqu'on la suppose constante, elle imprimerait, au bout de Tuniié de temps, une vitesse V,, qui sera
donnée par la formule F = MV, ou V, = rrj ? du n** 132 : or ici
donc
F=.I95oo^ M==^ .= 30,58;
Mais, puisque la force constante est capable d'imprimer la vitesse de 687", 67 au bout de i seconde, il est évident (110) qu'elle mettra, à imprimer ou détruire la vitesse de 5'",o5, un temps / qu'on obtiendra au moyen de la proportion
d'où
5,o5 t — /-o' f^ "^ o". 008 m jij de seconde à peu près.
Les mêmes résultats s'obtiendraient immédiatement d*ailleurs au moyen de la formule F = M - du n° 130, en observant qu'ici les raisonnements sont applicables à une vitesse et à un temps quelconques; car elle donne pour le temps / qui répond à la vitesse de 5'",o5,
Mx5,o5 3o,58x5,o5 „ ^
comme ci-dessus.
168. Cette durée est d'autant moindre que le corps choqué est plus miV/e. — Nous venons de trouver que, dans l'hypothèse d'une résistance constante, le temps nécessaire pour produire l'enfoncement des 2 centimètres est de 8 millièmes de seconde environ. Si la substance qui reçoit le choc était assez résistante, assez dure pour que l'enfoncement fut seulement de i milli-
1^4 MÉGANIQUE INDUSTRIELLE.
mètre, dans les mêmes circonstances, on trouverait, en recommençant les calculs qui précèdent, que le poids R du prisme
qui produirait cet enfoncement serait de -^ — — = 3qo3oo''«, et ^ ' 0,00 I ^
que la force motrice F, qui agit pendant le choc, aurait pour valeur moyenne ces mêmes 390 3oo kilogrammes diminués de 3oo kilogrammes ou 390000 kilogrammes, qu'enfin la durée de l'enfoncement serait seulement de 0^^,00039, ou environ 20 fois moindre que dans le premier cas; ce qui démontre combien doit être excessivement courte la durée du choc des corps raides, tels que le marbre, l'acier, l'ivoire, dont les dépressions sont quelquefois si faibles, qu'il est impossible de les apprécier par des moyens directs.
A la vérité, nous avons supposé, pour parvenir à ces résultats, que la résistance des corps à renfoncement était constante ; mais la même conséquence peut se déduire de nos principes, quelle que soit la loi de la résistance ; car la force vive détruite, par exemple, pendant la première période ( 156 et 161 ) du choc de deux corps quelconques, ou pendant leur compression, étant généralement très-comparable à celle qu'ils possédaient avant le choc, il en sera de même (136) du travail développé par leur force de réaction réciproque F. L'enfoncement étant donc extrêmement petit, il faut nécessairement (95) que la courbe du travail 0«'6V,. . . (PI. lyjig. 26), s'éloigne considérablement de l'axe OB des abscisses, du moins à compter d'une petite distance de l'origine; de sorte que les ordonnées, qui mesurent les valeurs de la force de réaction F, devront aussi être extrêmement grandes. Or de là on conclut, sans difficulté, soit par la formule / = -=r déjà citée, soit par la con-
struction de la courbe des vitesses ( 134, PL f,Jig^ 32), que le temps nécessaire pour produire l'enfoncement ou la compression doit être, de son côté, d'autant plus petit que les valeurs de F sont elles-mêmes plus considérables et l'enfoncement total moindre. Mais, attendu que l'aire comprise entre cette dernière courbe et l'axe de^ abscisses mesure effectivement les espaces décrits ou les enfoncements, il n'est pas même nécessaire de recourir à la courbe des pressions (PL l%Jig* 26) pour voir que, si l'enfoncement total est extrêmement petit,
tandis que la vitesse conserve une grandeur donnée, la durée du mouvement doit elle-même être extrêmement courte.
169. Observations générales sur la communication du mouvement par le choc. — C'est à cause de Texcessive petitesse de la durée du choc des corps très-résistants, que les méca* niciens se sont crus autorisés à regarder généralement comme entièrement nulle cette durée, et que, par suite, ils ont été conduits à supposer infinies les forces de réaction qui se développent pendant la compression réciproque des corps. Mais nous voyons bien clairement maintenant que, puisqu'il n'existe pas de corps infmiment durs, on ne peut pas dire, non plus, en termes absolus, qu'il y ait changement brusque ou instan-tané de leur vitesse; la communication du mouvement par le choc ne diffère, en effet, de celle qui a eu lieu par les forces motrices ordinaires, telles que la pesanteur, etc., que parce que généralement cette communication s'opère dans un t(^mps réellement très-court, et que la force de réaction acquiert ainsi une très-grande valeur. Encore devons-nous remarquer qu'il arrive souvent que des corps réagissent l'un sur l'autre, par leurs vitesses acquises, sans que la pression soit excès* sive, sans que la durée de la réaction soit très-courte; et que réciproquement des forces motrices, qu'on ne peut se refuser de regarder comme des pressions ordinaires, telles que celles qui résultent, par exemple, du ressort des gaz de la poudre, etc., communiquent cependant aux corps une vitesse très-grande dans un très-petit temps, attendu la grande intensité de leur action. La distinction qu'on voudrait établir entre des phénomènes qui ont autant de connexion entre euK, ne pourrait donc servir qu'à compliquer l'étude de la Mécanique, en y introduisant, sans utilité immédiate, un ordre de considérations qui n'y est point indispensable.
170. Utilité du choc dans les arts; battage des pi lots de fondation. — Maintenant on doit bien concevoir comment il
est possible de comparer les effets des chocs, sur les corps, à celui des pressions ordinaires qui produisent des mouvements plus ou moins lents; on conçoit très-bien aussi que, le choc produisant, dans un temps extrêmement court, un travail ou
un effet comparable à celui que produisent, dans un temps généralement beaucoup plus long, les pressions ordinaires, il y ait souvent avaniage, nécessité même d'employer ce mode d'action dans les arts, malgré les inconvénients qui y sont attachés (162). Car, toutes les fois que la pression ou reffort direct dont on pourra disposer pour produire un travail mécanique sera au-dessous de la résistance à vaincre, il faudra recourir au choc qui développe des pressions considérables et toujours en rapport avec la force de réaction.
On s'expliquera encore aisément le but qu'on se propose en plaçant, sous les fondations des édifices très-lourds, tels que les piles de ponts, les palais, les remparts, etc., de forts pieux ou pilots affûtés vers le bas et enfoncés, sous le sol, à coups de mouton. Le poids dont est chargé verticalement chaque tète de pilot par les constructions établies directement au-dessus représente celui R du prisme dont il a été question au n** 166, et le mouton remplace également le cube; seulement ici ce n'est pas l'enfoncement même de la tête du pilot qu'il s'agit de produire, mais bien celui de sa pointe inférieure, dans le sol; c'est pourquoi l'on cherche à éviter le premier enfoncement, qui consommerait, en pure perte, une partie notable de la force vive du mouton; à cet effet, on consolide la tête du pilot par une forte frelte, quand la violence du choc pourrait la déformer rapidement; et, comme il ne s'agit pas davantage d'en briser la pointe, on a l'attention de la durcir au feu ou de la coiffer d'un sabot enfer. Enfin on dresse, on arrondit, le mieux possible, les côtés du pilot pour diminuer les résistances qui s'opposent à son enfoncement; de celle façon, la plus grande portion de la force vive du mouton est transmise à l'extrémité inférieure du pilot, et sert immédiatement à l'enfoncer dans le sol jusqu'à ce que, arrivée sur le roc, le tuf ou quelque autre terrain solide, les coups redoublés du mouton ne puissent plus la faire descendre, d'une manière sensible, auquel cas on dit que le pilot est parvenu au refus.
171. Conditions du battage des pilots et conséquences qui en résultent. — On exige ordinairement, pour un pilot de 25 centimètres de diamètre et de 3 à 4 mètres de longueur.
que renfoncement produit par chacune des dernières volées de trente coups, d*un mouton de 3oo à 4oo kilogrammes, tombant d'une hauteur de i"*,3o, soit, au plus, de 4 ^ 5 millimètres; moyennant quoi il devient permis, d'après les observations du célèbre Pcrronet, de charger chaque tcte de pilot jusqu'à 25ooo kilogrammes, sans qu'on ait à craindre aucun accident fâcheux pour la solidité des constructions.
Pour comparer cette donnée de l'expérience avec les résultats du calcul, nous observerons qu'ici les trente coups de mouton équivalent (16G) à une quantité de travail de
3o X 3oo^« X i"*, 3 = 1 1 700^»"* au moins.
Ce travail produisant un enfoncement de 5 millimètres au plus, le poids qui, placé sur la tèle des pilols, produirait le même enfoncement, dans l'hypothèse d'une résistance constanie du sol,
serait d'au moins — 2^ = 2340000^*; ce poids est environ
o,oo5 '
94 fois celui que Perronet assigne comme limite de la charge des pilots; mais il faut observer : 1** que les bois sont susceptibles de s'altérer plus ou moins à la longue, et que le même pilot qui supporterait momentanément, sous le choc d'un mouton, des efforts de 2340000 kilogrammes, pourrait s'affaisser ou s'écraser sous des charges permanentes beaucoup moindres; 2*» que l'élasticité naturelle du bois et du sol tend à diminuer la profondeur de l'enfoncement, en relevant, à chaque coup, le pilot d'une certaine quantité; ce qui n'aurait pas lieu sous une compression permanente égale; 3** enfin, qu'il ne conviendrait pas non plus de statuer sur un abaissement de 5 millimètres pour les fondations d'un édifice qui doit présenter les caractères de la plus grande solidité, tel qu'un pont, etc., quand bien même cet abaissement devrait s'opérer dans un temps extrêmement long. C'est pourquoi l'on peut admettre, d'après la règle posée par Perronet, qu'en général,quand il s'agit de constructions monumentales, on ne doit prendre, pour charge des pilots, que la centième partie environ du poids qu'assigne la théorie ci-dessus, et calculer en conséquence l'équarrissage de ces pilots.
Les calculs qui précèdent supposent d'ailleurs que la force
vive du mouton soil loul enlière consommée contre les résistances du sol, qui s'opposent à l'enfoncement, tandis que, dans la réalité (170), une portion plus ou moins grande de cette force vive est consommée pour écraser la tête du pilot. On peut admettre que le ressort du bois est tout à fait négligeable dans les circonstances actuelles où le choc s'opère avec violence : l'expérience démontre, en effet, que le mouton ne quitte pas sensiblement le pilot pendant le choc, et qu'ils cheminent d'un mouvement commun toutes les fois que la réaction du sol lui-même n'est pas fort grande, ou que le pilot n'est pas arrivé au refus; il on résulte par conséquent qu'avant cet instant, le pilot et le mouton se comportent, au commencement de chaque choc, comme le supposent les raisonnements des n**" 155 et 150; d'où il est aisé de juger que les observations du n° 162 sont applicables au cas actuel, c'està-dire que, pour diminuer le plus possible la perte inutile de force vive résultante de la compressibilitédu pilot, il convient de donner au mouton un poids qui excède de beaucoup celui de ce pilot; on doit par conséquent employer des moutons d'autant plus lourds, que les pilots à chasser le sont eux-mêmes davantage. Dans la pratique, le poids du mouton est assez ordinairement compris entre deux fois et trois fois celui du pieu, de sorte que (1G2) la perle de force vive est aussi comprise entre le { et le j de celle qui opère le choc : en se servant de moutons encore plus pesants, la perte diminuerait, mais la manœuvre deviendrait embarrassante dans bien des cas, et occasionnerait d'autres consommations inutiles du travailmoteur.
La perte de force vive, provenant du défaut d'élasticité des pilots, étant donc généralement une fraction assez faible, et d'ailleurs à peu près constante, de la force vive totale imprimée au mouton, il résulte (1C6), de ce qui précède, que les enfoncements, ou effets du choc de divers moutons, doivent être sensiblement proportionnels aux produits de leurs poids par leurs hauteurs de chute, ou aux forces vives qu'ils acquièrent au bas de ces chutes; ce que confirme parfaitement l'expérience, non-seulement dans l'opération du battage des pieux de fondation, mais encore dans une infinité d'autres circonstances où les elfets sont directement comparables.
DB LA COMMUNICATION DU MOUVEMENT PAR LES GAZ ET SPÉCIALEMENT DU TIR DES PROJECTILES.
172. Observations préliminaires. — Nous avons déjà donne un aperçu (138) de la manière dont rélaslicilé de Tair comprimé foriemenl dans le réservoir d'un fusil à vent peut servir à lancer des balles ou à convenir une certaine quantité de travail, accumule dans cet air, en force vive. Or, en admettant, comme on le fait ordinairement, que la tension des fluides élastiques suive exactement la loi de Mariotte (16), quelle que soit la manière dont s'opère leur compression ou leur débandement, c'est-à-dire leur détente, non-seulement on pourra calculer la vitesse totale imprimée à la balle, à l'instant où elle sort du canon, au moyen de la quantité de travail développée sur elle, par les pressions successivement décroissantes du volume d'air qu'on laisse échapper, à chaque coup, de l'intérieur du réservoir, mais encore on sera en état (129 et suivants) de calculer toutes les autres circonstances de son mouvement pendant le temps où elle chemine dans l'ame du canon, et de résoudre plusieurs questions intéressantes, telles que de trouver la vitesse de recul du fusil, le temps que la balle met à parcourir Tàme, la longueur de celte ûme qui donne le \i\ws grand effet ou la plus grande vitesse de sortie, vitesse qu'on nomme aussi la vitesse initiale des projectiles dans l'art de la Balistique,
Nous n'entreprendrons pas de résoudre ici toutes ces questions, parce que le fusil à vent est d'un usage très-borné de nos jours, et que nous avons à traiter divers sujets, plus ou moins analogues, qui sont d'un intérêt plus immédiat et également très-propres à servir d'exemples de l'application des principes. Nous ferons seulement remarquer, relativement à la recherche du maximum d'effet, que la limite, passé laquelle le ressort du gaz intérieur ne peut plus contribuer à accroître la vitesse de la balle, répond à l'instant même où la pression de ce gaz est, par suite de sa détente, réduite à la pression de Tair atmosphérique extérieur (37), augmentée du frottement qu'éprouve la balle de la part des parois du canon : pression et frottement qu'il n'est permis de négliger qu'autant que
l8o HÉCAMQUB I!<iDUSTRIELLE.
rame aurait peu de longueur, ou que ces rcsislances denieurcraieiU conslammenl, ei de beaucoup, inférieures à la force motrice qui pousse la balle en avant; or c'est ce qui a lieu précisément dans le tir ordinaire des projectiles, par le moyen de la poudre, dont nous allons maintenant nous occuper avec quelques détails. Nous reviendrons plus lard sur ce qui concerne Tair en particulier, en cherchant à apprécier le rôle que joue l'inertie propre de ses molécules, dont nous ferons, quant à présent, entièrement abstraction; ce qui revient à admettre, sans restrictions, les principes de Mariette et de Pascal (14 et 16), qui se rapportent essentiellement à l'état de repos des fluides.
Des effets et du travail des gaz de la poudre dans le tir
des balles et boulets,
173. Principes sur la communication du mouK'ement par les gaz. — Le tir des balles et des boulets, par l'inflammation d'une certaine quantité de poudre enfermée dans le fond de rame d'un canon, et à laquelle on a mis le feu, présente des circonstances tout à fait analogues à celles qui sont relatives au fusil à vent; car ce tir consiste encore (99) à employer le ressort des gaz de la poudre, qui sont le résultat de sa combustion, pour imprimer progressivement la vitesse au projectile : ces gaz, en se dilatant par l'action de la chaleur (26), remplissent ici, en effet, la fonction d'un ressort véritable : ils pressent le boulet avec des forces qui, partant de zéro, croissent d'une manière extrêmement rapide, jusqu'à un chrtain terme qui s'approche plus ou moins de l'instant où la poudre est entièreipent enflaiumée, puis décroissent ensuite à mesure que les gaz se refroidissent ou que leur température baisse (21 et suivants), à mesure que les pertes ow fuites ^e. ces gaz augmentent, de plus en plus, par l'effet du vent o\i jeu du boulet dans la pièce et de l'ouverture assez forte de la lumière, à mesure enfin que le boulet, cheminant en avant, agrandit, de plus en plus, l'espace occupé par les différents gaz (16).
Quoiqu'on ne connaisse ni la loi de ces pressions ni celle de
APPLICATIONS, ETC. l8l
rinflammalion nécessairement progressive de la poudre (*), on peut cependant déduire, de nos principes, plusieurs conséquences conformes, dans leur généralité, aux résultats bien connus de l'expérience; car le cas est ici semblable à celui de la communication du mouvement par le choc des corps (154. et suivants), où, sans connaître absolument la loi que suit la force de réaction, on parvient néanmoins ù divers principes utiles et qui ne s'écartent pas trop des effets naturels. Aussi doit-on s'attendre à voir reparaître un ordre de considérations analogues, et qui se présente généralement toutes les fois qu'il s'agit de la communication du mouvement par la réaction mutuelle des corps.
Comme on ne saurait trop insister sur le principe de pareilles applications, je pense qu'il ne sera nullement superflu de revenir sur les démonstrations très-simples qui en ont déjà été données précédemment (131 et 153).
Soit F, à un instant donné, la force motrice qui pousse en avant le boulet et qui est censée presser, en sens contraire et avec une intensité égale (H^ le fond de Tàme de la pièce; soient P et P' les poids du boulet et de la pièce y compris son affût, etc.; soient v et v' respectivement les petits degrés de vitesse qui leur sont imprimés à un instant quelconque et dans la durée de l'élément de temps /; on aura (130) la proportion
F:V::v:gt, ou Pu = ¥xgi.
On aura, de même, pour la pièce et son affût,
F:P'::i^':g-/, ou P'v'^Fxg-/;
ainsi
Pi.=iF(;', ou v:v::P:?,
comme on le conclurait immédiatement des résultais du
(*) Depuis que ce Chapitre a été écrit (if^-i'j), Poncelet, dans un Rapport lu à l'Académie des Sciences, le ri août iS3(), a fait l'exposé historique et critique des nombreuses recherches tentées sur ce sujet par les géomètres et par les physiciens. M. Piobert a étudié <*n détail les lois de l'inflammation progressive de la poudre, et a fait faire de grands progrès a la théorie de ses effets dynamiques; M. Resal a repris la question à un point de vue entièrement nouveau en y appliquant le principe de l'équivalence de la chaleur et du travail; il est arrivé à des résultats présentant une concordance remarquable avec rexpériencc. (K.)
l82 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
n®131. Par conséquent les degrés de vitesse imprimés au boulet et à la pièce, dans un temps infiniment petit, sont réciproquement proportionnels aux poids de ce boulet et de cette pièce.
Puisque le produit P X i' répond au petit temps /, la somme des produits ))artiels, relatifs aux divers instants écoulés depuis le point de départ du boulet jusqu'au moment où, quittant la pièce, il a acquis toute sa vitesse V, aura pour valeur le produit du poids P par la somme des degrés de vitesse v, successivement imprimés, ou par- la vitesse totale V, c'est-àdire PxV. La somme des produits P' X c', pour le même intervalle de temps, sera pareillement P' x V', V étant la vitesse finie communiquée à la pièce et à rafTût quand celle du boulet est V. Mais les petits produits P x i' et P' X v'y relatifs aux divers instants écoulés, sont continuellement égaux entre eux d'après ce qui précède; donc aussi P x V= P' X V, c'està-dire que :
Les vitesses finies, imprimées à la pièce et au boulet à Vin^ stant où celui-ci a acquis tout son mouvement , sont réciproquement entre elles comme les poids de cette pièce et de ce boulet.
174. Observations sur la vitesse de recul des pièces, — Les gaz de la poudre continuant à agir sur le fond de l'âme après l'instant où le boulet a quitté la pièce, on voit que la vitesse totale de cette pièce supposée libre, ou du recul, serait, pour cette cause seule, un peu plus forte que ne le suppose la proportion ci-dessus. On voit aussi pourquoi le recul est beaucoup moindre quand on tire à poudre seulement, que quand on tire à boulet. On se rappellera d'ailleurs (172) qu'il faudrait, pour rendre plus exacts les raisonnements ci-dessus, diminuer F de. toute la pression exercée, dans le sens opposé au mouvement, par l'air atmosphérique, sur la surface extérieure du boulet, ainsi que du froliement qu'il éprouve de la part de l'âme delà pièce, pression et frottement qui sont toujours, comme on le verra ci-dessous, très-faibles par rapport à la pression totale de la poudre. Enfin on remarquera que, le |)oids P du boulet étant généralement très-petit par rapport au poids P' de la pièce et de rafîilt, la >itesse V est aussi très-petite par rapport à V :
APPLICATIONS, ETC. l83
dans la plupart des cas, P' est au moins 3oo fois P; ainsi, dans nos hypothèses (17:2), la vitesse du recul surpasserait rarement le ~-y de la vitesse communiquée au boulet, à sa sortie de la pièce.
175. Mesure du travail total développé par la poudre contre la pièce et le boulet, — Pour calculer directement ce travail, il faudrait (72) connaître, d*après Texpérience, la loi ou la courbe qui lie les pressions F aux chemins correspondants décrits par le boulet dans Tâme de la pièce, ce qui n'est pas jusqu'à présent. Mais, comme nous savons (136) que cette quantité de travail est la moitié de la force vive imprimée, nous pourrons l'obtenir au moyen des vitesses V et V acquises effectivement par la pièce et le boulet; ce qui suppose toujours qu'on néglige les résistances étrangères à leur propre inertie. En effet, la force vive du boulet élant (126) égale à MV*, et celle delà pièce à M' V'% la quantité de travail totale, transmise par la poudre, a pour mesure (136)
Considérons, par exemple, une pièce de 24, dont le boulet pèse environ 1 2 kilogrammes (*), et dont la charge ordinaire est approchante de 4 kilogrammes; on sait, par expérience, que la vitesse totale V de ce boulet s'éloigne peu de 5oo. mètres par
seconde; g étant environ 9",8i, x V* sera donc égal à
1 52605 kilogrammètres. Pour trouver x V', nous admet-
^ g irons que le poids P' soit seulement 3oo fois le poids P ou égal
à 36ookilogramn>es jet, puisqu'on a PxVi=P' xV, on en tire
V = ^ V = ^ SoG"» = i"*,67, 3oo 3oo '
pour la vitesse du recul. Ainsi on aura, pour la valeur de la
(*) Les applications numériques faites dans le texte se rapportent aux anciennes armes; nous avons pense qu'il serait peu utile, pour le but que se proposait l'Auteur en donnant- ces exemples, de citer ici les chiffres relatifs à rartillerie actuelle. (K.)
l84 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
quantité de travail développée par la poudre contre Taffùt, ou
pour X V", 5io kilogrammètres environ; c'est-à-dire —
seulement de celle qui a été dépensée sur le boulet, comme on pouvait l'apercevoir sans calcul.
176. Conséquences relatives aux vitesses initiales des pro^ jectileSy leur accord avec l'expérience entre certaines limites, — Le travail consommé par la pièce et son affût, étant trèspetit, par rapport à celui qu'exige le boulet, on peut le négliger, et se contenter, dans la pratique, de mesurer simplement les effets de la poudre d'après la quantité de travail nécessaire pour iniprimer la vitesse au boulet, d'autant plus que la force vive du recul y est, dans la réalité, bien moindre que ne le supposent les calculs, puisque les pièces ne sont jamais entièrement libres, et qu'elles éprouvent, de la part du terrain, des essieux, etc., des résistances absolument comparables aux pressions exercées par la poudre. Or, les effets de cette poudre devant, dans des circonstances semblables d'ailleurs, être proportionnels à sa quantité, c'est-à-dire à son poids, on voit que les charges seront sensiblement proportionnelles aux forces vives imprimées aux boulets, ou aux produits du poids de ces derniers, par le carré de leurs vitesses initiales; de sorte que les vitesses initiales seront aussi entre elles comme les racines carrées des charges et inverses des racines carrées des poids du boulet ( * ).
Ces consécjuences, de la théorie, sont parfaitement d'accord
(*) De nouvellos recherches paraissent démontrer que cette loi théorique n*a pas l'exactitude qui lui est attribuée ici. Consulter à ce sujet le Rapport sur les expériences faites à Metz de iî>3G à 1842 {Mémorial de l\4rtHlerie^ n° A'II), les expériences exécutées à Liège eu i8j2 par M. Navez, le Mémoire dn Colonel Duchcuiin sur la vitesse initiale des |)rc>jectiles [Mémorial de l'.-trt nieriez n® IV), le» expériences d'artillerie entreprises à I.orient de i84i à i8'|J (Imprimerie royale, 18/17). M. Sarrau, à la suite d'expériences lailes, en 1868, au Dépôt central <Ies Poudres, a été conduit aux formules suivantes, dans lesquelles V représente la vitesse initiale, p le pt)ids de la charge, m celui du projectile, a, ^, c, d des constantes :
V = a yy? — A et V = — :^ — d,
APPLICATIONS» ETC. l85
avec celles qii'Huilon a conclues des expériences qu'il a faites, en Angleterre, sur le tir des projectiles, non-seulement pour des pièces d'un même calibre, mais encore pour des pièces de calibres différents, considérées dans les circonstances ordinaires de la pratique. Ces expériences toutefois ont prouvé qu'au delà d'une cerlaine limite, Taugmentation de la vitesse du boulet n'était plus en rapport avec celle des charges de poudre, et que môme, pour une longueur d'âme donnée, il arrive un instant où les vitesses imprimées décroissent au lieu d'augmenter; ce qui s'explique très-bien en observant que la totalité de la poudre n'a point alors le temps de s'enflammer, el que la portion demeurée inactive, loin de contribuer à l'effet, tend, au contraire, par son inertie, à absorber une partie plus ou moins grande du travail développé par l'autre. L'expérience a aussi fait voir qu'à charge égale de poudre, la vitesse initiale, pour un même calibre, augmente avec l'allongement de l'âme de la pièce; ce qui lient évidemment à ce que les gaz développent alors, par leur détente prolongée, une quantité d'action el par conséquent une force vive plus grandes (138); mais, par suite des causes déjà énoncées au n** 173, il ne paraît pas que cette compression soit, en général, aussi forte que le suppose la loi de Marioite (16). Nous reviendrons bientôt, au surplus, sur les effets de cette délente des gaz pour augmenter la vitesse des projectiles.
Ces mêmes considérations prouvent encore que ]îk force vive totale ou la vitesse finale, imprimées au boulet par une même charge de poudre, restent à très-peu près les mêmes, soit qu'on empêche tout à fait le recul par un obstacle solide, soit qu'on suspende librement la pièce; car nous venons de voir que, dans ce dernier cas, la force vive communiquée à cette pièce eA à l'affût est réellement une très-petite fraction de celle qu'acquiert le boulet; de sorte que l'action de la poudre est presque tout entière consommée contre ce dernier, comme cela arrive quand le recul est empêché. Cette nouvelle conséquence de la théorie est exactement conforme encore aux résultats des expériences de Ilutton, qui, de plus, ont appris que la manière de 6owrrer n'avait aucune influence sensible sur la vitesse initiale : c^esl qu'en effet le bourrage ne fait qu'augmenter un peu les frottements, au premier instant, sans diml-
l86 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
nuer le veni du boulet, el que la résistance occasionnée par ce frottement est excessivement faible comparativement à la pression totale des gaz. On remarquera que le bourrage se fait ordinairement avec des substances très-légères, et que, s'il en était autrement, Tinertie de ces substances consommerait une portion notable de la quantité de travail développée parla poudre, au détriment de celle qui est transmise au boulet : connaissant le poids de la bourre, on pourrait même déterminer exactement la diminution de force vive éprouvée par ce dernier, etc.
177. Du travail utile de la poudre^ dans le tir des boulets, comparé à celui des machines à vapeur; son effort moyen et absolu, etc. — D*après les calculs ci-dessus, la quantité de travail totale, développée par la poudre sur le boulet et sur la pièce, est d'environ
1 02 goS*'»" 4- Sio*^»"' =z 1 5341 5"^'™ ;
le travail du cheval des machines à vapeur étant (82), pour
chaque seconde, de 75''«'", on voit qu'une telle force motrice
i534i5 emploierait — ^ — = 2o45'',5=:: 34' environ, pour lancer le
boulet avec la vitesse de 5oo mètres; ou, si Ton veut, Il faudrait une machine de 2o45,5 chevaux de force pour lancer un pareil boulet à chaque seconde. Attendu qu'il faut un certain temps pour charger la pièce et pour la pointer, etc., on compte seulement i coup par 5 minutes, ou par 3oo secondes dans le service ordinaire des pièces avec la poudre; ainsi la machine à vapeur, pour fournir à ce service, devrait être d'environ
2o45 5 ^ * =6,82 chevaux, en supposant d'ailleurs qu'il n'y eût
pas de perte de force motrice et que tout fût transmis au boulet; ce qui ne peut avoir lieu, quelle que soit la machine ou les dispositifs qu'on adopte pour communiquer le mouvement à ce boulet (103).
Comme la longueur de l'âme des pièces de s>4 ^st d'environ 3"*, 10 et son diamètre i5 centimètres, il sera facile de calculer (73) Veffort moy^en et constant que les gaz de la poudre devraient exercer, contre le boulet et le fond de la pièce,
pour développer la quantité d'action ci-dessus i534i5 kilogrammètres, pendant que le boulet chemine, dans llntérieur de l'âme, en décrivant un espace que nous réduirons à a"*,75 à cause de la place occupée par la poudre, etc. £n divisant i53 4i5 kilogrammètres par 2^,75, on trouvera, en effet, 55787 kilogrammes, à une petite fraction près, pour cette pression moyenne ; comme elle est répartie, avec la même intensité, sur la surface du cercle de section de l'âme, qui a i5 centimètres
de diamètre, ou sur fa surface 3,i4i6x —^ = 176*^ environ, on voit que chacun de ces centimètres carrés sera pressé
55 «St *
avec un effort de — -j^ = 3 17^». La pression, exercée par Pair
atmosphérique sur chaque centimètre carré de la surface d'un corps, étant de i''»,o33 environ dans les circonstances mentionnées au n"* 37, l'effort moyen ci-dessus équivaut donc, à irès-peu près, à 307 atmosphères ; X^^ori réel et moyen des gaz de la poudre est au moins de 3o8 atmosphères, attendu qu'indépendamment de l'inertie du boulet, cet effort doit vaincre aussi la pression de Tair extérieur (174).
En calculant, comme on Ta fait dans le n"* 167, à l'occasion du choc des corps, le temps que mettrait cet effort moyen, censé constant,, à imprimer la vitesse de 5oo mètres au boulet,
1 2*^' X 5oo"*
on le trouvera égal à — — ^ ^^ ^ .. = o",oi i, ou iV ^^ se-
conde environ. Mais, d'après la rapidité avec laquelle croit la pression dans les premiers instants de l'inflammation de la poudre, il y a lieu de supposer que la durée du temps que le boulet met à parcourir l'âme de la pièce doit être moindre encore.
Il faut distinguer Veffort moyen de \ effort réel exercé, par la poudre, dans chaque position du boulet; ce dernier effort est nécessairement variable, suivant cette position. D'après ce qui a été dit au n" 172, on peut juger que, dans les cas ordinaires, il est au-dessous de l'effort moyen, à l'insiant où l'inflammation commence et à celui où le boulet sort de la pièce; qu'il le surpasse de beaucoup vers le moment de l'inflammation complète de la poudre; qu'enfin cet effort moyen diffère considérablement de \ effort absolu et total que peuvent exer •
l88 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
cer les gaz de la poudre, lorsqu'ils sont contenus dans l'espace irès-élroU occupé par le volume même de celle poudre, ei qu'ils ne peuvent s'ciendre en aucune manière. IVaprèsRumford, celle pression absolue surpasserait 5oooo atmosphères; d'après d'autres, elle serait beaucoup plus faible. M. Brianchon, savant Professeur à l'École d'artillerie de Vinccnnes,a trouvé, par des calculs basés sur des considérations de physique et de chimie très-ingénieuses et très-plausibles, que la pression absolue de la poudre ne s'élève pas au delà de 4ooo atmosphères ; mais on conçoit que la manière dont on essaye la poudre et dont on mesure sa pression, doit exercer une irès-grande influence sur les résultats. Suivant les calculs hypothétiques de Hulton, par exemple, qui a fait ses expériences avec des canons ordinaires, la plus forte pression exercée sur le boulet serait environ 2000 fois celle de l'atmosphère; mais, comme, suivant d'autres expériences directes ( 13 ), une pièce de bronze de 3 pouces d'épaisseur éclate avant que la pression soit de 1 000 atjTîosphères, landis que des pièces de moindre épaisseur ne sont pas même endommagées après un grand nombre de coups tirés à poudre, il y aurait lieu de penser que ce résultat de Huilon surpasse encore de beaucoup le véritable, si l'on ne savait que, dans certaines circonstances, les corps solides et duciiles sont susceptibles de résister momentanément a des efforts qu'ils ne pourraient supporter pendant un temps même assez peu prolongé.
178. Examen et prix comparés du travail de la pondre et de la vapeur d'eau. — Si l'on voulait remplacer l'action de la poudre par celle de la vapeur d'eau introduite directement dans l'âme de la pièce, ainsi qu'on l'a proposé dans ces derniers temps, il faudrait, selon ce qui précède, employer, dans le cas d'une pièce de 24, cette vapeur sous une pression constante d'au moins 3o8 atmosphères, pour lancer le boulet avec la vitesse de 5oo mètres, la longueur d'àme parcourue par ce boulet étant de 2^,75. En donnant à l'âme environ 8,8 fois celle longueur ou 24'",2, il suffirait d'employer la vapeur à une tension de 35 atmosphères, comme le propose l'ingénieur anglais Perkins; mais il faudmit qu'elle affluât constamment, avec cette force, derrière le boulet, et que, par conséquent,
APPLICATIONS, ETC. l8g
elle ne subil aucun refroidisscmenl (173) pendant qu*il parcourt la longueur de la pièce. Si le boulet devait élre lancé seulement avec une vitesse moitié moindre ou de 260 mètres, il suffirait évidemment d'une pression moyenne égale au quart de 3o8 ou de 77 atmosphères, en conservant la longueur d'âme ordinaire, et d'une longueur d'âme de 6 mètres, si la pression constante de la vapeur n'était que de 35 atmosphères; car les effets étant mesurés par la force vive imprimée dans chaque cas, sont entre eux comme les* carrés des vitesses initiales du boulet.
En refaisant tous les calculs qui précèdent pour les balles de fusils de munition ordinaires, dont le diamètre est de o",oi64, le poids de o^»,o258, à raison de 19 à la livre, et qui, avec une charge de poudre deoi's,oi29, égale a la moitié de ce poids, reçoivent une vitesse initiale de 5oo mètres moyennement, en refaisant, dis-je, ces calculs, on trouve : i**657 pour la force vive imprimée au projectile, ce qui représente une
quantité d*action de 328''«'",5 (*); 2*» — = 299^» pour la pres-
sion moyenne sur la surface {2"ï,ii2) de la section de Tàmc, la longueur parcourue par la balle étant d'environ 1", i ; 3*^ enfin
(*) Cet effet utile répondant à une charge de poudre de o^'fOitiQ, on voit
que, toutes choses égales d'ailleurs, i kilogramme de poudre donnerait
3jgkeni 5
î- = 35/165 kiiogrammètres, et /î kilomrammes, charge des pièces de 24.
o.oiag 1 u « o ï T
1018G0 kilogrammètres, résultat beaucoup au-dessous des 15*2905 kilogrammètres trouvés ci-dessus (177) pour reflet utile des mémos /} kilogrammes de poudre dans ces dernières pièces, et l|ui parait d'autant plus étonnant au premier aspect, qu'ici la longueur de l'àme étant très-grande par rapport au ca* libre de la balle, la détente doit y être plus forte, et la combustion de la poudre plus complète; mais on s'explique très-bien ce résultat (99 et 173) en considérant que les grandes masses de poudre développent, par rapport aux petites, une chaleur beaucoup plus forte et qui éprouve, de la part des enveloppes, une perte proportionnellement moindre, puisqu'elle est évidemment dans le rapport des surfaces de ces enveloppes a!»x volumes des ga/ qu'elles renferment à circonstances égales d'ailleurs quant à la nature et à l'épaisseur de ces mêmes env»;loppes. On sait, en elTot, que la vitesse avec laquelle la chaleur les traverse dé{)en(l de l'espèce de leur substance et au^jmente d'auUint plus que leur épaisseur est moindre. Ces réflexions pourn)nt servir à faire voir comnrient, dans des circonstances distinctes, un même poids de poudre peut produire des effets utiles essentiellement différents, quoiqu'à la rigueur sa quantité d* action absolue ou théorique soit réellement la même.
igO MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
— 22-— i4i^s57 pour la pression moyenne, par cenlimèire
carré, rcpondani à environ 187 atmosphères, cl qui doit être supposée réellement de i38 atmosphères, à cause de la pression de l'air extérieur. Telle est aussi la tension constante à laquelle il faudrait faire travailler la vapeur, pour imprimer la vitesse de 5oo mètres aux balles de fusils ordinaires, vitesse qu'elles reçoivent effectivement de la poudre, et qu'il faudrait se résoudre à voir réduire de moitié, si Ton tenait à n'employer la vapeur qu'à 35 atmosphères, et à laisser au canon du fusil sa longueur d'àme actuelle.
On voit donc que l'emploi direct de la vapeur ne serait pas sans difficultés dans les circonstances dont il s'agit, même en mettant de côté les dangers de toute espèce qu'il présente, parmi lesquels il faut surtout citer celui qui provient de la facilité qu'a la vapeur de passer, d'une tension déjà considérable, à une tension double ou triple, par suite d'une légère élévation de la température.
Du reste, on peut démontrer que la force motrice de la vapeur serait d'un usage beaucoup plus économique que celle de la poudre. Car, en admettant que le kilogramme de poudre de guerre coûte seulement 1 francs au Gouvernement, chaque coup d'une pièce de 24 revient à 4 X 2 = 8^^ Or les machines à vapeur les plus désavantageuses n'exigent guère que 5 à 6 kilogrammes de houille par heure et par chaque cheval de force; et nous avons vu ci-dessus (177) qu'il faudrait trentequatre minutes, environ une demi-heure, de travail d'une telle force, pour lancer le boulet av?c la vitesse de 5oo mètres; donc il en coûterait moins de 3 kilogrammes de houille par coup, c'est-à-dire moins de 9 centimes, en comptant la houille à 3o francs les 1000 kilogrammes, tandis qu'on dépense actuellement, en employant la poudre, une somme environ 90 fois aussi forte.
179. J perçus sur les moyens d'utiliser Vaction de la vapeur pour lancer les projectiles — Il ne sera peut-elrc pas impossible de mettre à profit, un jour, celte grande économie de la force motrice de la vapeur d'eau, pour la défense des placés de guerre ou des côtes; mais il faudra probablement renoncer
à remploi direct de celle vapeur à de hautes tensions ou pressions, et Ton devra se borner à recherciier les moyens d'utiliser directement le travail des machines à vapeur actuelles pour imprimer la vitesse aux projectiles. Le ressort de l'air atmosphérique paraît, sous ce rapport, offrir des avantages tout particuliers; on conçoit, en effet, très-bien comment, dans l'état de perfection actuel des arts industriels (*), il serait possible, en se servant du travail des machines à vapeur ordinaires, de comprimer fortement (15) un certain volume d'air atmosphérique, de manière à lui faire occuper un espace beaucoup moindre; et comment cet air, ainsi comprimé, pourrait être employé à lancer les boulets avec des canons ordinaires, un peu modifiés, de la même manière qu'on lance les balles avec le fusil à vent. Il suffirait de comprimer cet air dans un grand cylindre de fer d'une capacité de i à p. mètres cubes, par exemple, et absolument semblable à celui des chaudières de machines à vapeur, puis de mettre momentanément l'intérieur de ce cylindre en commuflicaiion avec l'espace compris entre le boulet et le fond de l'âme de la pièce, et de fermer cette communication à un instant convenable.
Supposons, pour offrir une nouvelle application de nos principes,. que la capacité du cylindre servant de réservoir d'air comprimé soit de i"%6 ou de 1600 litres; x:e volume sera environ 29 fois celui de l'ame du canon de 24»' ^^^9 d'après les données ci-dessus (177.), ce dernier volume est 3% I X o"**i,oi76 =: o'"%o546 ou 55 litres, à très-peu près. Si donc on laisse échapper, de l'intérieur du réservoir, contre le boulet, une portion du volume total égal à 55 litres, ou plutôt, si on laisse ouverte la communication entre le réservoir et l'àme, jusqu'à l'instant oii le boulet quitte la pièce, l'air occupant, à ce même instant, un volume égal à i-h^r=:|i
(*) Depuis que ceci a été écrit (février 1839), rAcadémie royale des Sciences a décerné, à M. Thilorier, le prix do Mécanique fondé par M. de Montyon, pour l'invention d'une pompe à plusieurs pistons et à compensation^ au moyen de laquelle on peut comprimer, d'un seul coup, les [;a7. à 100 et même 1000 atmosphères, sous des efforts modérés et sensiblement constants. [^î'oyez le Mémoire inséré, par l'Auteur, à la page 3/|j du tome XXIX, année i83o, du BnJlctin de la Société d* Encoura'^ement pour V industrie nationale.)
IQT, MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
de son volume primitif, la tension db cet air sera, d*après le principe de Mariolle (16), aussi réduite aux H de sa valeur primitive, el par conséquent, si celte tension éiail d'abord de 3i5 aimosplières, par exemple, elle se trouverait réduite à 3i5 fl = 304'*"*, 5 au moment oii le boulet quitterait la pièce (* ). Or on peut admettre que, puisque les valeurs extrêmes de la tension diffèrerA peu entre elles dans la supposition actuelle» Teffort moyen (73) de Tair, contre le boulet, différera aussi très-peu de celui qui répond à la moyenne arithmétique ou à la demi-somme j(3i5 -h 3o4,5)=r 3o9**'",^5 de ces valeurs extrêmes : ce résultat surpassant Teffort moyen qui a été trouvé plus haut (177) pour le boulet de 24, chassé par la poudre, il est clair aussi que, abstraction faite des pertes, la pression qui lui correspond suffirait pour imprimer, à ce boulet, la vitesse de 5oo mètres; et que, s'il s'agissait seulement de lui communiquer une vitesse de 260 mètres, on pourrait se borner à comprimer Tair à 78 atmosphères seulement, ou au f gart environ.
Néanmoins, attendu le frottement du boulet contre Tâme de la pièce, mais surtout à Cause du jeu ou du vent qui laisserait échapper, en pure perte, une portion notable du fluide, il conviendrait d'augmenter de quelque chose la tension de
(*) Les pressions d'un gaz qui se détend suns addition ni soustraction, de chaleur ne suivent pas la loi de'Mariottc, laquelle n'est sensiblement vraie que lorsque la température des gaz reste constante. Or, dans le cas traité, il ne peut en être ainsi, attendu qu'une portion de la chaleur du çaz est transformée en travail contre le boulet (l'or^r la Note du n® 105); les pressions diminuent donc plus rapidement que ne l'indique la loi de Mariotte. On démontre que, lorsqu'un {^az chancre de volume, sans recevoir ni perdre de chaleur, sous l'action d'une pression extérieure toujours é{;ale à sa Ibrce
élastique, celte dernière varie en raison inverse de la i>uissancc y = —, du vo-
lume, •/ désii;nant !<• rap])ort des deux chaleurs spécifiques, à pression constante et à volume conslalit. (le lésullal* auquel conduit facilement la théorie mécanique de la chaleur, avait déjà été trouvé par PoissDU, à l'aide des données de l'ancienne théorie.
Le rapport y est é{jal à i..'|i pour l'air atmosphérique; il est sensiblement le mènii' pour les (;az non li<|uefiables.
Dans l'exi'mple traité par l'Auteur, la prossicin, au moment où le boulet
quitte la pièce, sertit ."^ij ( r^ ) = 3oo*'n',2. (K.)
Faîr dans le réservoir, si mieux encore on ne préférail y faire arriver coniinuellemenl, par la machine à vapeur, de nouvel air pour remplacer celui qui se perd à chaque insianl, de manière à rendre la lension à irès-peu près conslanle; car on voit bien, par les raisonnements qui précèdent, que, dans le cas contraire, la pression diminuerait, à chaque coup, de yj environ de la valeur qu'elle avait à la fin du coup précédent; de sorte qu'après un certain nombre de coups, il s'en faudrait considérablement que la vitesse de 5oo mètres fût transmise au boulet. C'est précisément là l'inconvénient attaché au fusil à vent ordinaire, et qui, joint à d'autres, a fait renoncer à son emploi malgré les avantages qu'il possède sous beaucoup de rapports.
Enfin, au lieu de procéder de l'une ou de l'autre de ces manières, on pourrait aussi, mais non sans augmenter beaucoup les difficultés et les dangers d'e.xplosion, se contenter de mettre en usage de très-petits réservoirs en bronze, d'une capacité à peu près égale, par exemple, à celle des gargousses employées dans le tir ordinaire à poudre, lesquelles occupent, dans les pièces de 24, un espace cylindrique d'environ 6 litres, tout compris, ou du neuvième de celui de l'âme entière. En se servant d'un aussi petit réservoir, il faudrait comprimer l'air à une tension de beaucoup supérieure à 3oo atmosphères, et telle que, dans sa détente graduelle, il développât, contre le boulet et pendant que ce boulet parcourt la longueur de l'âme, la quantité de travail nécessaire pour lui imprimer la vitesse de 5oo mètres. Nous n'avons pas d'ailleurs à examiner comment ces petits réservoirs, indépendants de la pièce comme les gargousses elles-mêmes, pourraient s'adapter solidement au fond de l'âme, ou dans le renflement de la culasse, et jouer absolument le rôle de la poudre lorsqu'on viendrait à lâcher la détente qui relient l'air; il nous suffit ici que l'hypothèse soit assez plausible, en elle-même, pour exciter quelque iitlérêt, et appeler l'attention du lecteur sur les applications des théories de la Mécanique.
C'est, au surplus, l'occasion de faire connaître la méthode de calcul que nous avons promise au n**72, méthode due au géomètre anglais Thomas Simpson, et par laquelle on peut évaluer, d'une manière très-approchée, le travail mécanique
variable, ou, plus gcncrulement, Y aire superficielle des figures planes limitées par des conlours quelconques {*).
Méthodes générales des quadratures pour calculer l'aire superficielle des courbes planes.
Méthode de Th. Simpson. -
180. Démonstration géométrique de la méthode. — Soit a'd'g'ga (PL II, fig. 89) une aire plane limitée par une portion de courbe a'd'g\ par la droite OB, servant d'axe des abscisses (15), et par les deux ordonnées extrêmes aa', gg' perpendiculaires à cet axe. Supposons qu'on ail divise la distance ag, de ces ordonnées, en un nombre pair de parties égales, par exemple en six parties, aux points b, c, rf, e,f, et qu'on ait élevé, en ces points, les nouvelles ordonnées hb', ce* y. . '9 ff\ terminées à la courbe; on aura une première valeur approchée de Taire mixtiligne aa'd'g'ga, en calculant les surfaces de chacun des trapèzes rectilignes aa'b'b, bb'c'c, . • ., ffg'gy dont elle se compose, puis ajoutant entre eux tous les résultats; ce qui revient à remplacer la courbe par le polygone rectiligne â'//6*'^'.. • /?' qui lui est inscrit. Mais on obtient, sans être obligé démultiplier davantage les points de division, une valeur beaucoup plus approchée de Taire cherchée en procédant comme il suit.
Ayant numéroté le rang des diverses ordonnées, comme on le voit sur \2ifig* 39, on considérera, à part [PL Ilyfig* 4o)> Taire mixtiligne cc'd'e'eCy limitée aux deux ordonnées impaires quelconques ce', ee', qui se suivent et qui comprennent entre . elles Tordonnée dd' de rang pair; la surface totale des trapèzes rectilignes correspondants cdd'c', dee'd', aura pour mesure, puisque de=z cd,
{cd(cc'-^dd')'^^de{dd'-¥^ee')^{cd[cc'-\-:idd'+ee').
{*) Mous ferons suivre la méthode de Th. Simpson, que TAutcur avait donnée seule dans les éditions précédentes, d'une autre méthode qui a été exposée plus tard par Poncelct dans ses Leçons à la Faculté des Sciences de Paris. Pour respecter le texte de l'Auteur, nous n'apporterons aucune modification aux calculs de quadrature qui se présenteront dans la suite du Cours, calculs qui ont été faits d'après la méthode de Simpson. (K. )
APPLICATIONS, ETC. igS
Mais on obliendrail évidemment une valeur plus approchée de Taire cc'd' e^e^ si, partageant cette aire en trois autres aires trapézoïdes cmm'c'y mnn'm', nee'n\ par des nouvelles ordonnées équidistantes mm\ nn\ c*est-à-dire telles que cm =. mn = ne=:zj cd, on prenait, pour celte valeur, la somme de trois trapèzes rectilignes inscrits correspondants, c'està-dire
^c/ii(cc'-f- /iîm')-f- Jm/i(/ii/ir-h /in') + ^ne{nn' -\-ee'),
ou, attendu que ~cm = ~mn m V/ie rr: ^^ce = Jcrf,
{cd{cc'-\- ^mm! -\- QLnn'-\-ee'),
Or, pour s'éviter la peine de tracer les nouvelles ordonnées mm\ nn'f et pour obtenir néanmoins une approximation égale au même supérieure, on remarquera que la corde m!n' vient couper l'ordonnée intermédiaire dd' y qui est à égale distance de mm' et de /in', en un point o tel que orf= ^(/nm'-f- /i/i'), et que par conséquent ^od=^imm' -^ 9.nn'y la valeur de Taire reciiligne cc^ m'n'e'e devient donc simplement
^cdlcc'-^ ^od ^ ee').
Nous n'avons pas, il esterai, Tordonnée od immédiatement, mais elle diffère extrêmement peu de Tordonnée véritable dd' de la courbe, que nous connaissons; en remplaçant donc od par dd' dans les calculs, nous obtiendrons une mesure trèsapprochée, quoiqu'un peu trop forte, de Taire polygonale dont il s'agit. Mais, puisque cette aire est elle-même un peu plus faible que la véritable aire terminée à la courbe, il se fera une sorte de compensation (*) si nous prenons, pour mesure
(*) n est évident qu'en prenant tid' pour or/, on augmente l'aire polygonale de à cdJ\od' i mais, en traçant les nouvelles cordes m'd\ n'd'y il sera aiséde voir que la surface du triangle rectiligne m'n'd' a pour mesure \ mn x od\ car il se compose des triangles m'od\ on'd\ dont la somme des surfaces est
égale à
J od'.md -i-{od'.dn = J od'(md-i- nd) = l od'.mn\
et, comme mn = * cd, la surface du triangle m'd'n' sera
\\.cd.od'=z\cd.od\
On a donc augmenté l'aire du polygone rectilignc ccm'n'e^cc de \ fois le trt^
de celle dernière, la quaniiio
On aura de même {PI. II, fg. 3g)
acc'a'zzz {cdiaa'-^ ^bb' -^ te'), egg'e'e = \ccl{ee' -^ /^ff ^ gg');
donc la surface tolale el mixtîligne agg'd'a\ qu'il s*agil de calculer, a pour mesure approchée
\cd[aa' -{- ^bb' -{- ce' -h cd -{- ^dd' -^ ee' -h ee''\-^ff' -f- gg'),
ou
\td[aa' -^^ gg' -^ ^{cc' r^ ee' ) j^^ ^(bb' -h dd' -^ff')],
c'est-à-dire le tiers du produit qu'on obtient en multipliant,
par t'interi'aile constant compris entre les ordonnées de la
courbe, la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de deux
fois celte des autres ordonnées de rang impair, et de quatre
fois celle des ordonnées de rang pair.
aiiglu m'el'n , tandis qu'il faudrait rnugmcnter de la somran des aires des sp{;mciitH compris entre 1» courhe et les cordes c'/«', m'n' et «V. Par conséquent, si cette somme équivaut à '\in'd'n\ la compensation sera exacte et la méthode ri(roiireuse; dans tous les cas, on ne risquera de se tromper que de la diflerence de cette somme et de !\in'd'n\ diflerence qui ne sera (jenéralement qu*une pc tite Traction de chacune d'elles, excepté pour quelques points sirii^ulicrs de la courbe.
On voit, d'après cela, que, quand il s'agit de calculer, avec une (jrande exactitude, l'aire d'une figure plane limitée par des contours quelconques, il convient, non-seulement de multiplier beaucoup les ordonnres et de bien choisir l'axe des abscisses pour éviter la trop grande obliquité de ces ordonnées par rapport aux courbes, mais encore de partager l'opération en plusieurs opérations distinctes, soit qu'on multiplie davantage les ordonnées <lans certaines parties, soit qu'on rapporte les courbes à plusieurs axes diderents; en un mot, il faudra éviter que les trapèzes rectilignes ne diiVèrent nulle part, d'une trop grande quantité, des trapèzes curvilignes correspondants. 11 parait bien clair d'ailleurs que, par la formule de Simpson, on approche, dans les circonstances ordinaires, non-seulement ]dus de la vérité qu'en calculant la valeur des trapèzes rectilignes inscrits et limités aux ordonnées simples, mais même davantage encore que si l'on calculait celle des trapèzes ndatifs à des ordonnées pluD rapprochées d'un tiers.
Les mêmes raisonnements demeurant applicables, quel que soit le nombre des ordonnées équidistanies, pourvu qu'il soit impair^ on voit que la règle est générale; mais il est clair qu'elle ne donnera des résultats très-approchés, pour les parties de la courbe qui s'écarteraient considérablement de la forme d'une ligne droite, qu'autant qu'on divisera les intervalles, compris entre les ordonnées extrêmes, en un nombre pair de parties égales, assez grand pour que les trapèzes reciilignes inscrits ne diffèrent nulle part beaucoup des trapèzes véritables, ou qu'autant qu'on resserrera convenablement les ordonnées vers les parties dont la courbure est très-prononcée. Il est également essentiel de remarquer que le calcul donnera des résultats un peu trop petits pour les parties de la courbe qui présentent leur concavité à l'axe des abscisses (voir PL II, Jig. 39), et un peu trop grands pour celles où cette courbe tourne sa concavité vers cet axe, comme cela a lieu pour la courbe de la/fg. 4»> '^^' ^^» P^^** exemple.
Méthode de Poncclel.
180 6/5. L'aire £7AGB6 limitée à la courbe ACD...LB, à l'axe des abscisses ab et aux ordonnées extrêmes A/i, B&, étant censée décomposée en segments trapézoïdaux par des ordonnées équidistantes, nous considérerons d'abord le cas où les arcs de courbe correspondants ont tous leur concavité dirigée vers l'axe ab.
Je divise la base ab de l'aire en un nombre pair de parties
égales, dont je désigne la commune longueur par h. Soit, par exemple, 6 ce nombre; je mène les ordonnées aux points de
division i, 2, 3,4» 5, 6 de la base, el j'appelle j,, 7,, ^2,^4, ;r»> ^•» Jj les valeurs numériques de ces ordonnées limitées à la courbe. Je joins, par des droites ou cordes, AC, BL, les exirémités des deux premières ordonnées et les extrémités des deux dernières; puis, de deux en deux, à partir de ^,=r Ce, les extrémités des ordonnées intermédiaires qui occupent des numéros de rang pair.
J'obtiens ainsi un polygone inscrit, dont Taire, moindre que celle de la courbe, est exprimée par
= 4Ls+ii±£-û±i-)
en appelant S la somme des ordonnées de rang pair.
Je mène, à l'extrémité de chaque ordonnée de rang pair, une tangente terminée à l'ordonnée qui la précède et à celle qui la suit immédiatement, et j'obtiens ainsi une aire polygonale à angles saillants et rentrants, plus grande que l'aire de la courbe, et qui a pour expression
•2 hvi -f- 2 hy\ -f- 2 hy\ r^ 2 AS.
En prenant donc pour valeur approchée de Taire mixtiligne la demi-somme des aires polygonales, il vient
*(,s.ii±£'-c±i-)
Terreur commise étant moindre que la demi-différence entre ces mômes aires, ou que
En général, si Ton divise l'intervalle ab des ordonnées extrêmes en 2/1 parties égales, on aura, pour valeur approchée de Taire correspondante,
(I) A = h (2S ^ y2±I^ « ri±.rA ,
APPLICATIONS, ETC. IQC)
el, pour la limite supérieure de Terreur qui a pu être commise,
Je joins par des droiles AB, CL, les extrémités des ordon* nées extrêmes et celles de la seconde et de ravant-dornière; ces droites viendront couper l'ordonnée du milieu Gg, aux points respectifs M et N, tels que Ton aura évidemment
L'une ou l'autre de ces expressions de la limite de l'erreur commise pourront servir à régler la marche des opérations arithmétiques dans chaque cas, et détermineront, à l'avance et en quelque sorte à vue, le plus petit intervalle ac ou hl des ordonnées extrêmes qu'il convient d'adopter, et qui sont des parties aliquotes, en nombre pair, de l'intervalle entier «6.
Lorsque la portion de courbe considérée est entièrement convexe vers l'axe ah des abscisses, l'aire relative au polygone circonscrit devenant moindre que celle qui se rapporte au polygone inscrit, il est évident qu'il suffira de changer l'ordre de soustraction ou le signe des résultats, pour obtenir une limite correspondante de Terreur; l'expression de la moyenne qui donne approximativement Taire cherchée restant la même.
11 est évident encore que la méthode restera applicable au cas où la courbe offrirait des points d'inflexion, des changements de sens de la courbure ou toute autre particularité essentielle, pourvu qu'on la supposé partagée en parties concaves ou convexes, limitées à ces points, et pour l'aire desquelles on appliquera les formules précédentes. Les chances d'erreurs seront même généralement moindres, puisqu'elles pourront avoir lieu en sens inverse pour les dillérentes parties concaves et convexes de la courbe.
Quant à la détermination d'une limite approximative et supérieure de Terreur commise dans les mêmes circonstances,* il sera nécessaire de rechercher cette limite pour chaque partie séparément, afin d'additionner leur somme.
Enfin, il est presque inutile de faire remarquer que c'est
surtout dans les parties oii la courbure est très -prononcée et s'écarte le plus de li^ligne droite, qu'il conviendra de resserrer les ordonnées ou les opérations arithmétiques.
À pplications numériquem — Soit d'abord à évaluer l'aire d'un quart de cercle, de rayon égal à i. Je divise le rayon qui sert de base à l'aire en lo parties égales; alors on a A = o,i, et l'on calcule facilement les longueurs suivantes :
Xi y^ j\ X* y* .>'•• Ji»
Substituant ces valeurs dans la formule générale ci-dessus, on trouve, pour la valeur approximative de l'aire du quart du cercle, 0,78413, et, pour la limite supérieure de l'erreur, 0,01077.
f^ valeur exacte de cette aire étant 0,78539, l'erreur commise est 0,00126, quantité beaucoup plus faible que la limite précédente.
Ainsi la formule d'approximation nous donne l'aire à moins de ~7 près de la valeur exacte; approximation très-grande pour le petit nombre de calculs que l'on a eu à effectuer.
Soit ensuite à évaluer Y aire de l'hyperbole équilatère ayant pour équation xy=i i, et dont les limites correspondent à X = 1 et X = 1,
Je divise toujours en 10 parties égaîcs la base de l'aire, ce qui donne encore A — 0,1, et j'obtiens
r.rz: 1,000, y,— 0,9090, ^%= 0,7692, y,=z 0,6666, r,= 0,5882, yi%^= 0,5263, ^^l— o,5o.
La valeur approchée de l'aire est A =:o,6i)348; la limite de l'erreur £ = 0,0062; la valeur exacte de l'aire étant le logarithme népérien de 2 ou 0,69314, Terreur commise est moindre que o,ooo4 ou 7^'^.
En général, l'approximation est beaucoup plus grande que celle qui est indiquée par la limite calculée de l'erreur, ce qui n'a rien de surprenant; et, selon la nature particulière de la courbe ou de la loi des ordonnées, il arrivera même quelquefois que la somme relative au seul polygone inscrit ou au seul
polygone circonscrit donnera un résultat plus approché que la moyenne de ces sommes. Cesl ce qui arnîve notamment dans l'exemple ci-dessus du cercle, où l'on a 245 = 0,7929; tandis que, pour celui de Thyperbole, on trouve 2 AS = 0,619 seulement; la courbe s'approchant ainsi plus de ses cordes que de ses tangentes.
Observation. — Celte méthode de quadrature, que nous extrayons textuellement des ÉU'ments de Mécanique de M. Resal, où elle a été publiée en premier lieu, a reçu de M. Parmentier (Note sur la comparaison des différentes mélhodes d'approximation pour la quadrature des courbes, Mémorial de V Officier du Génie ^ n° XVI) un perfectionnement approuvé sans restriction par Poncelet. Ce perfectionnement consiste à prendre pour valeur approchée de Taire de la courbe, au lieu de la somme de l*aiie de la figure inscrite et de la demi>différenco entre celle-ci et Faire de la figure circonscrite, la somme de la figure inscrite et des deux tiers de la différence ci-dessus. Celle modification, obtenue par M. Parmentier à Faide de considérations tirées de la formule de Taylor, se justifie trèssimplement, comme Fa indiqué Poncelet lui-môme, par cette remarque, que Faire d'un segment de parabole est les deux tiers de Faire du parallélogramme dont les deux côtés sont la corde du segment et la flèche comptée parallèlement à la direction des ordonnées; ou encore, ce qui se rapporte peut être plus exactement à la figure nécessitée pour l'exposition de la méthode de Poncelet, que Faire du segment de parabole est les deux tiers de Faire du triangle formé par la corde et les tangentes menées aux extrémités de celle-ci. En reprenant la formule, nous trouvons
Du travail produit par la détente des f^az.
181. Exemple de la manière de calculer ce travail, — Reprenons maintenant la dernière des questions du n"* 179, et
(•) D^autrcs rormiilcs ont été données par divers (jéomctres, entre autres par M. Piobcrt {Nouvelles Annales de Mathématiques y.\^^ série, t. XIII, p. 3a3 ; i834), par M. Catalan {Nouvelles Annales de Mathématiques^ i'* série, t. X, p. t\\'i\ i8ji). m. Dupain a comparé ces diverses méthodes en tenant compte du double point de vue de l'exactitude et de la facilite des opérations; il est arrivé à cette conclusion que, de toutes les méthodes proposées, celle de Poncelet non perfectionnée qui, sou^ le rapport de l'exactitude , n'occupe pas généralement le premier rang, doit pourtant être préreréc dans la pratique, non-seulement parce qu'elle nécessite moins de calculs, mais surtout parce qu'elle donne une limite toujours certaine de l'erreur commise. (K.)
appliquons-y la méthode qui précède, en négligeant d'ailleurs, comme nous l*avonti fait alors, le recul de la pièce qui est (175) presque toujours insensible. Cherchons, à cet elTet, la loi que suivent les pressions de l'air à mesure qu'il se développe ou se détend en poussant le boulet en avant, c'est-à-dire (50) formons la Table qui donne, pour chaque chemin parcouru par ce boulet dans l'intérieur de la pièce, la pression correspondante. Soit 0 / (PL 11 y fig. ^\)\à longueur totale de l'âme, Oa la portion de cette longueur occupée primitivement par l'air, supposé comprimé à 1200 atmosphères; d'après ce qui a été admis à la fin du n* 179, Oa sera le y de 0«, et le j de l'espace ai parcouru par le boulet; divisant donc ai en 8 parties égales aux points fr, c, c/,.... A, elles seront aussi toutes égales à 0«, et représenteront chacune des volumes cylindriques de l'âme, égaux à celui qu'occupe l'air comprimé. Ainsi, quand le boulet sera successivement arrivé en 6, en c, en rf, en e,..., en /, le volume primitif Oa, de cet air, sera double, triple, quadruple,..., nonuple. Et, si nous admettons (172) la loi de Mariotle ( 16) (* ), la pression exercée par cet air, sur le boulet, qui d abord était de i 200 atmosphères, n'en sera plus que la y, le y, le V,..., le J; c'est-à-dire qu'elle sera respectivement
De 1200, 600, 400, 3oo, 240, 200, 171, i5o, i33atm.
Aux points a, h, r, el, e, /, ^, //, /,
Ayant pour n°*. 1, 2, 3, 4» ^^ ^» 7» ^î 9-
Élevant les perpendiculaires an'y bh\ cc\..,, ii\ sur 0/, et portant, sur ces perpendiculaires, des longueurs proportionnelles aux pressions correspondantes, on formera la courbe a'6'c'...i', nommée hyperbole équilatère, et dont la propriété essentielle consiste en ce que les produits de chaque ordonnée par son abscisse sont constants, ou, ce qui est la même chose, en ce que les ordonnées suivent le rapport réciproque ou inverse des abscisses correspondantes. La surface de cette courbe, limitée aux ordonnées aa', il', et à l'axe ai, représente, d'après le n° 72, la valeur du travail variable développé
(*) Ixis valeurs do cos pressions devraient iHre délermince» conformément aux indications de la Note du n® 179; ces corrections ne modifieraient en rien les conclusions formulées dans le n^ 182. (K.)
APPLICATIONS, ETC. 1o3
par le ressori de Pair contre le boulel; mais il n*esl pas nécessaire de tracer la courbe elle-même poiTr obtenir la mesure de ce travail; le tableau ci-dessus suffit, en y appliquant la méthode du n" 180, car rimervalle total ai se trouve justement divise en un nombre pair de parties égales par les diverses ordonnées.
On a ici, en effet, pour
La somme des ordonnées extrêmes 1 200 + 1 33 =1 333*'"^
a fois celle des autres ordonnées impain^s. 2(400+ 2.'|0H- 171)= 1633
'1 fois celle des ordonnées paires /| (600-+- 3oo -+- aoo -f- 1 5o ) = 5ooo
Total 7955»»"
Il faudrait multiplier ce résultat (177) par i^'SoSS, puis par la surface de 176 centimètres carrés du cercle de section de rame, c'est-à-dire par iSi'^sSi, pour avoir la somme des pressions véritables. Pour obtenir le travail total r-csuitant de ces pressions, il faudra, de plus, multiplier cette somme par jab=:\Oa; le résultat sera donc -JO«x 7955**'", ou 265i»'™,7 X Oa multipliés encore par iSi^^'.Si, ce qui donne finalement (177)
482 io5^»,6 X Oa = 482 io5^s6 X ; 3'", i = i66o59'^«'".
La courbe des pressions tournant sa convexité vers Taxe OB des abscisses, il est clair (180) que le résultat obtenu doit surpasser un peu le véritable; on voit aussi que la courbe diffère beaucoup d'une ligne droite dans la partie qui répond aux points b', c'y d'y e'; il y a donc lieu de craindre que Texcès, dont il s'agit, soit assez considérable pour qu'on ne puisse le négliger; en conséquence, il conviendra de multiplier davantage les opérations vers les points 6, c, rf, e. Pour ne pas être obligé de recommencer tous les calculs, nous considérerons à part la portion de l'aire totale, comprise depuis aa' jusqu'à ee'y et nous subdiviserons les intervalles primitifs des ordonnées en deux parties égales aux nouveaux points m, /i, /;, q; chacune d'elles sera donc égale à yOa, et les espaces occupés successivement par le volume primitif Oa de l'air seront res-
ao4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
peciîvemeni
Oa H- ~0a = {Oa en m, (2 h- J )0a= ;0« en /i,
(3-f--;)0rt = {0a en/>, enfin
•Ofl en ^.
Par conséquenl, d'après la loi de Mariolle, les pressions correspondantes seront les 4f les -, les J et les f de la pression de 1200 atmosphères, relative au point a; en joignant à ces pressions celles déjà calculées plus haut relativement aux points 6, c, (ly e, on formera, pour la portion ae, la nouvelle Table qui suit :
Pressions.. 1200, 800, Goo, 480, 400, 343, 3oOf 267, 240 atm.
Points ^, w, ^, /i, r, p, r/, 7, r,
Numéros.. i, 2, 3, 4? 5, 6, 7, 8, 9.
Par conséquent,
Somme dos pressions cxtrûmes 1200 + 340 = i44o*^"*
7. fuis celle des pressions impaires.. . . 1 (600 -+- /|00 ■+- 3oo) = a6oo
4 fois celle des pressions paires /| (800 -+- 480 •+- 343 -f- 267) = 7J60
Total iiGoo*»"»
qu'il faut d'abord multiplier par [û/n— .Ort, ce qui donne pour résultat ~ 1 1 600 X Oa = 1 933**", 3 x On, et ensuite par i8i''«,8i. Mais, comme celte dernière multiplication se reproduirait à la fin de chaque résultat, et que nous ne voulons ici que comparer entre eux les chilfres de ces résultats, nous négligerons de reffectuer, dans ce qui va suivre, afin d'abréger les calculs; seulemenl on devra se souvenir, dans les applications particulières, que, pour obtenir le travail véritable, il restera encore à multiplier chaque nombre trouvé, parla pression totale qui répond à la surface de section de l'âme et à la pression atmosphérique moyenne.
En recherchant, comme on vient de le faire pour la partie aa'ee'j le surplus ee' V i de la surface de la courbe, et bornant simplement les opérations aux points de divisions/, gy A, qui
appligàtioks, etc. 2o5
donneront alors une approximation suffisante, on la trouvera égale à
JOa[24o -f- 133 4- 2. 17H- 4(200 -f i5o)]
= ]^ii5.0a = 7o5»*'°X Oa.
Le total général est donc
quantité très-peu moindre que celle 2651"^™, 7. Oa trouvée précédemment; ce qui prouve Texcellence de la méthode.
182. Pression moyenne de l'air, vitesse imprimée, etc. — Puisque ai = 80a, représente la longueur d'àme 2"î, 75 décrite par le boulet, il est clair que 2638"*"*, 3. Où, divisé par 80a, ou 329**", 8, indique précisément (177) la valeur moyenne de la pression que, en vertu de sa détente, Tair exerce contre ce boulet. On voit donc, sans aller plus loin, que la vitesse imprimée à ce dernier surpasserait 5oo mètres dans les suppositions actuelles, puisque l'eiTort moyen de la poudre, pour imprimer cette vitesse, s*élève au plus à 3o8 atmosphères (177).
11 est très-facile, au surplus, de calculer quelle est la tension que devrait recevoir le volume ou la charge d'air, représentée par Oa, pour imprimer au boulet la vitesse juste des 5oo mètres, tout restant le même d'ailleurs et la pression des 1200 atmosphères étant seule changée; il est évident, en effet, que les résultats partiels et totaux des opérations ci-dessus demeurent proportionnels à la pression primitive. On posera donc la proportion
32u,o: 1200 :: 3oo: j; d ou ^ = — ^ n— = ï i2i">'",
qui est la tension demandée.
Pour obtenir un tel degré de tension à Taide d'une machine à compression ou d'une pompe foulante (179), il faudrait, d'après la loi de Mariette, coercer, dans le petit espace représenté par Oa, un volume d'air, pris à la tension atmosphérique moyenne, qui serait égal à 1121 fois Oa; et, comme les densités sont proportionnelles aux pressions (36), on voit que le mètre cube de l'air ainsi condensé pèserait aussi 1121 fois
celui de l'air ordinaire, dont le poids esl, à peu près ( W), de i^^f3, c'esl-à-dire i 457 kilogrammes; la densité de Tair du réservoir devrait donc égaler presque i 7 fois celle de Teau, ei son poids, qui seraii (179) deo""%oo6 X i457^' = 8^«,742, surpasserait même le double du poids de la charge dans le tir avec la poudre (177). Or il pourrait bien se faire que, par suite d'un tel rapprochement des parties, l'air se convertît en un liquide véritable, ainsi qu'il arrive pour plusieurs autres corps gazeux, et notamment pour les vapeurs (3 et 5), lorsqu'on les comprime seulement de quelques atmosphères.
Quoi qu'il en soit, il parait difficile d'admettre qu'on puisse, de longtemps encore, obtenir l'air à un pareil état de condensation, et il y a lieu de croire par conséquent que la poudre, qui nous représente également un grand volume de gaz coercés dans un petit espace et dont la tension est neutralisée par la force d'affinité ou d'agrégation des parties, que la poudre qui est si facilement transportable, continuera, à moins de découvertes chimiques majeures, à remplir dans les combats le rMe qu'elle y joue depuis tant de siècles, malgré l'élévation de son prix comparé à celui des autres moteurs, et malgré l'inconvénient, quelquefois très-grave, qu'elle présente de rendre inhabitables les lieux clos où l'on en fait usage.
183. Des avantages de la détente prolongée et de sa limite utile. — Nous avons supposé la pièce de la longueur ordinaire, mais on gagnerait nécessairement quelque chose, sur la tension primitive de l'air, en augmentant cette longueur; car ici les eiîets du refroidissement (173) ne paraissent pas, à beaucoup près, avoir autant d'influence que lorsqu'il s'agit des gaz de la poudre. Il n'en serait pas de même évidemment des pertes croissantes dues au jeu du boulet dans la pièce, au frottement, à la résistance de l'air atmosphérique extérieur, et il est probable que, passé un certain terme, on retirerait, en raison de ces pertes, fort peu d'avantages en augmentant les dimensions de 1 ame : calculons néanmoins le surcroît d'effet produit par la détente prolongée de l'air, en négligeant tout à fait les pertes dont il s'agit.
Supposons d'abord que 0/ (PL Il^fig, 40 soit augmentée de deux parties (/, jA*, égales chacune à Oa ou à j de la Ion-
gueurloialeO/ de Tame, considérée dans le premier cas (181); on trouvera, pour les pressions exercées en i\j ei /r respeclîvemeni.
Donc (80 el 81 ) la surface de ii'h'k aura pour mesure
y0a(i33H-io9-f-4.iî?'O)=:0aX J 722 = 240**", 7 xOa environ;
c'cst-â-dire qu'en donnant à l'âme une longueur totale de 3**,io-i-|3"',io = 3"*,8o, la quantité de travail de l'air sera augmentée d'à peu près ~ de sa valeur 2638**"*, 3 X 0«, relative à la longueur de 3", 10.
En prolongeant de nouveau l'àme de /r/'= //r=:20a, on trouverait, de la même manière, que l'augmentation de travail du fluide sérail de 2oo**"»x0a; la somme totale du travail développé par ladéterite de ce fluide, pour la longueur d'âme de4"'»4^ qwi excède, de près de moitié, la longueur primitive, serait donc
(2638, 3 -h 240,7 -h 2oo)0a = 3o7(/*'"xO«,
c'est-à-dire qu'elle surpasserait de j celle qui se rapporte à celte dernière longueur; de sorte que la force vive imprimée au boulet serait aussi plus forte de \. Quant à la pression moyenne, dans le cas actuel, on la trouvera en divisant le travail total 3o79»'«"x Oa, par ûr= iiOa, longueur d'âme décrite
parle boulet, ce qui donne — — — rr = 256**", 6 environ :
celte pression moyenne est, comme on voit, moindre que celle qui répond au tir ordinaire avec la poudre (177), quoique la force vive imprimée soit réellement augmentée dans le rapport de la quantité de travail 3079"*"* xOa, à celle SoS"*" X 80a rrr 2 464"*™ X 0«, qui est relative à ce dernier cas, la longueur d'âme étant alors 80 a.
S'il s'agissait seulement d'imprimer au boulet la vitesse de 5oo mètres, comme dans ce dernier cas, il suffirait (182) de comprimer l'air du réservoir à la tension de
1 200 X 2464 xOa /?..«• * ^—^^ =:q6o»*" environ.
3079 XOa -^
Pour une vitesse moitié, ou de 25o mètres, il sufOrait (178 et 182 ) de donner le quart de i 200 atmosphères ou 3op atmosphères de pression à l'air du réservoir, dans le cas de la pièce courte, et ^960 = 240"'" dans le cas de la pièce longue. En allongeant de plus en plus l'âme, il est clair que le travail, produit par la détente, irait aussi en croissant; de sorte que, pour produire les mêmes effets, la pression absolue dans le réservoir pourrait être progressivement diminuée; mais on remarquera que, passé un certain terme, cet accroissement et. cette diminution deviendraient peu sensibles, même en faisant abstraction de toutes les causes de pertes rappelées cidessus. Car nous avons trouvé, par nos diverses opérations, que le travail était proportionnel à igSS*'"*, 3 pour le point e (P/. //, yîgr. 4 1 ), à 1 933««™,3 -+- 705»*"» = 2638'^"»,3 pour le point /, à 2638»'"*,3 -f- 24o«*"»,7 4- 2oo**'«»= 3079^*"» pour le point r; de sorte que, dans la première partie ae de la détente, il est près du triple de celui qui répond à la seconde partie ei = ae, et près du quintuple de celui qui est développé dans la troisième ir=zae, A uîie distance du point a égale à 100 fois ae, ou à
I 200**°* ioo fois 0«, la pression serait réduilc à environ —, — = 3*''",
et le travail, sur une longueur égale à ae ou /iOa, serait, au plus, 40aX 3»*"* - 12»*'" xOrt, ou jji ^^ ce\m qui est produit dans le premier intervalle ae, etc. Or on conçoit que les résistances et pertes de toute espèce suffiraient alors pour absorber ces faibles augmentations du travail.
En calculant d'ailleurs le travail total développé par la détente de l'air, dans cette longueur d'âme de 100 fois ae, on le trouvera égal à environ 72oo'»*"*X 0^, quantité qu'il faut diminuer, tout au moins, de celle l'^^^'X ^ooOa =^J\oo'*^"' xOa, qui est absorbée par la pression de l'air atmosphérique extérieur; ce qui la réduit à 6800"*'" x Oa, qui surpasse très-peu le double de la quantité de travail
3079^»™ X 0^/ -- 1»*"» X i20rt — 3o67«»'" X Oa
relative au point r; mais, eu égard aux autres genres de perles, cette première quantité de travail serait moindre encore.
liS^, Examen particulier des différentes causes qui diminuent les effets de la détente des gaz. — Nous avons déjà
plusieurs fois remarqué que le frottement du boulet, dans l'âme de la pièce, est une quantité très-faible et qu'on peut toujours négliger, tandis qu'il en est tout autrement de la perte de gaz, occasionnée par le vent du boulet, laquelle tend continuellement à diminuer la densité et la pression intérieures, de manière à les faire différer de plus en plus de celles qui, selon la loi de Mariotte, auraient lieu, sans cette perte, pour chaque position du boulet. Connaissant le jeu de ce dernier dans l'âme, il ne serait pas impossible, à la rigueur, de calculer la perte de gaz dont il s'agit, d'après les lois de l'hydraulique qui seront enseignées dans une autre Partie de ce Cours; car cette perte est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le fluide tend à s'échapper en vertu de la pression intérieure, et à la surface du vide qui règne au pourtour du boulet, surface qui, â largeur égale, croU à peu près comme le calibre des pièces ou la circonférence du boulet.
Mais il est une autre cause de déchet de la force motrice, et qui exerce une influence peut-être plus grande encore sur la vitesse du boulet : c'est celle qui provient de l'irtertie même du fluide. En effet, la force de ressort de ce fluide n'est pas uniquement employée contre le boulet; une portion sert à imprimer le mouvement à ses propres molécules, et il en résulte une perte de travail mesurée (136) parla moitié de la somme des forces vives qui leur correspondent. Or la vitesse de ces molécules et leur poids total (182) étant généralement trèscomparables à la vitesse et au poids du boulet, on conçoit que la perte dont il s'agit est généralement aussi très-appréciable, et mériterait d'être. prise en considération, s'il s'agissait de calculer rigoureusement les circonstances du mouvement (*). Il résulte de là, d'ailleurs, que la pression éprouvée effectivement par le boulet, de la part des gaz, diffère plus ou moins de celle qu'il éprouverait, dans les mêmes positions ou pour les mêmes délentes, s'il était sans mouvement, ainsi que le suppose expressément la loi de Mariotte (16), que nous avons prise pour base de tous nos calculs(**); et cette remarque s'ap-
(•) Voir à ce sujet le Traité d' Artillerie de M. Piobert, ni« Parlip. (K.)
(•*) Consulter la Mole de Poncelet sur l'écoulement de l'air {Comptes rendu des séances de l'Académie des Sciences, t. XXI, p. 178). (K.)
pllque aussi à la tension qu'exerce le fluide sur les différents autres points des parois de la pièce ou sur lui-même, laquelle, d'après le principe de Pascal (ih)^ se trouverait répartie également et en tous sens, s'il y avait repoâ. Cette tension varie d'un point à un autre de la longueur de l'âme, conformément à la remarque du n"* 68, elle est plus faible là où le fluide éprouve plus de facilité à se mouvoir, c'est-à-dire près du boulet; elle est plus forte, au contraire, là où il éprouve le plus de résistance, c'est-à-dire vers le fond de l'âme, puisqu'elle doit y vaincre à la fois la résistance provenant de l'inertie du boulet et de tout l'air interposé. Enfin il n'est pas moins évident que la vitesse du fluide varie, de son côté, selon la distance du boulet au fond de l'âme, et qu'elle est plus forte près du boulet qu'à la culasse où elle se réduit à la vitesse du recul (IT^.), vitesse dont la direction, contraire à celle du boulet, indique même qu'il se trouve, non loin de là, un point où le fluide est complètement en repos.
On voit, d'après cela, qu'il existe une relation nécessaire entre la vitesse et la tension ou la densité (36) des molécules en chaque point; de telle sorte que, cette densité étant précisément la plus faible là où la vitesse est la plus forte et réciproquement, il en résulte nécessairement aussi que la force vive des différentes tranches élémentaires du fluide, comprises entre des sections perpendiculaires à l'axe de la pièce, doit être une quantité assez faible comparativement à celle qu'auraient ces mêmes tranches, si, conformément au principe de Pascal, la densité était la même partout et si la vitesse était aussi, dans les diiîérentes tranches, égale à celle du boulet. Mais, comme à l'instant où ce dernier quitte la pièce, les molécules du gaz sont encore dans un état de tension très-grande, surtout aux environs de la culasse, il en résulte qu'elles con- . servent aussi une quantité d'action disponible très-comparable à celle qui a été développée utilement contre la pièce et le boulet, et qui, réunie à la moitié de la force vive déjà acquise par ces diverses molécules, doit la surpasser d'autant plus que la pièce est plus courte ou la dét^ente moins prolongée. Enfin, il ne paraîtra pas moins évident que, puisque la pression contre le fond de l'âme surpasse notablement celle qui a lieu contre le boulet, la quantité de mouvement imprimée à la pièce (173)
et qui produit le recul quand cette pièce est libre, doit être aussi plus grande que celle que reçoit le boulet; de sorte que la vitesse du recul est, par un double motif (174), plus forte que ne l'assigne le principe du n"* 173.
185. Réflexions nouvelles sur la déperdition inévitable du travail dans la réaction des corps, et sur les courtes mais rapides détentes des gaz. — Ce ne serait pas ici le lieu d'entrer dans de plus grands développements sur les lois du mouvement et de l'action des gaz, lois qui se reproduisent, d'une manière analogue, dans le choc ou la réaction plus ou moins brusque (153 et suivants) des corps élastiques; nous avons voulu seulement donner une idée de la nature des causes qui empêchent que la détente n'ait son entier effet, et prouver surtout que l'inertie des molécules des gaz, lorsque cette détente est rapide, peut exercer une certaine influence sur le mouvement transmis au boulet, et occasionner des pertes d'effet tout aussi appréciables que celles qui proviennent des fuites et des diverses résistances. Il est donc bien vrai de dire (IM), 103 et suivants) que la quantité de travail qui a été primitivement dépensée, pour changer la forme, la position ou en général l'état d'un corps, ne peut jamais être restituée d'une manière complète, ou sans qu'il y en ait une certaine portion de consommée, en pure perte, pour l'effet utile; car il s'agit ici de gaz qui sont des corps éminemment élastiques.
A la vérité, on diminue considérablement les pertes de travail, occasionnées par l'inertie des molécules des gaz, en utilisant leur force de ressort contre des masses ou des résistances plus grandes que celles d'un boulet de canon ordinaire, et qui ne cèdent que lentement ou avec peu de vitesse à leur action ; mais alors la déperdition du calorique et les fuites augmentent rapidement avec le temps; et si, dans la vue d'éviter ces fuites, on cherche à diminuer le jeu au pourtour du boulet ou du piston, jeu véritablement indispensable, on augmente considérablement le frottement le long de ce pourtour. Enfîn, en admettant même que ces différentes causes de perte n'existassent pas, il arriverait encore qu'on ne pourrait utiliser complètement le travail recelé dans le volume primitif des ga/, puisque le cylindre où se fait la détente ne saurait recevoir,
dans l'exécution, qu'une longueur fori restreinte par rapport à celle que lui assigne la théorie, pour le maximum d'effet.
Ces dernières réflexions sont principalement applicables à la détente de la vapeur d'eau, dont il sera fait mention plus loin; mais il ne faudrait pas en conclure généralement que la détente des fluides élastiques présente peu d'avantages, et que tout son effet est absorbé dès les premiers instants oii elle s'opère; car l'expérience prouve, même pour les gaz de la poudre dont l'action diminue beaucoup (173) par le refroidissement, que, si cet effet a une limite nécessaire dans chaque cas, cette limite n'est pourtant point aussi rapprochée qu'on pourrait d'abord le présumer d'après ce qui précède. On peut admettre, par exemple, que la détente, dans le cas examiné ci-dessus, et quand le vent est réduit à ce qui est strictement nécessaire, ne cesse pas d'être avantageuse tant que le volume occupé par le gaz n'excède pas 4o ou 5o fois le volume primitif. Nous verrons bientôt d'ailleurs que la limite relative aux machines à vapeur ordinaires est beaucoup plus restreinte.
On est obligé, dans l'artillerie, de se servir de pièces trèscourtes, telles que les obusiers et mortiers qui servent à lancer des boulets creux; il semblerait donc, au premier aperçu, que les effets de la détente devraient y être à peu près nuls, de sorte qu'à charge égale de poudre, la force vive imprimée au projectile y serait beaucoup moindre que pour les pièces longues, ce qui n'est pas. Mais on doit observer que, dans les premières pièces, la charge est toujours irès-faible par rapport au poids de l'obus ou de la bombe, et que le rapport du volume occupé par la poudre au volume total de l'âme, diffère peu de celui qui est relatif aux pièces longues ; or il en résulte que les quantités de travail totales développées par la détente des gaz doivent, à circonstances semblables, être encore à peu près les mêmes dans les deux cas, cl que la seule différence doit consister en ce que la force motrice, la pression sur le projectile, est plus grande dans le dernier et opère son effet total dans un temps beaucoup plus court. C'est ce que démontrent, on effet, les principes qui suivent.
186. Principes relatifs au travail produit par la détente des gaz. — L'un des plus importants d'enlre eux, envisagé sous
APPLICATIONS, ETC. ai3
son point de vue le plus général, consiste en ce que, quelle que soit la manière dont on fasse agir un volume donné de gaz comprimé à un certain degré, sur une résistance qui cède graduellement à son action, le travail développé sera, toutes •choses égales d'ailleurs, constamment le même pour la même détente ou la même augmentation du volume primitif. Comme ce principe a de nombreuses applications dans les arts, nous ne croyons pas inutile de nous arrêter un instant à sa démonstration, en prenant pour exemple le cas des mortiers.
On sait que, xlans ces armes, la poudre est enfermée dans une cavité cylindrique particulière ABCÏ) {PL II,Jig- 4^), nommée chambre, et dont le diamètre est beaucoup plus petit que celui de l'âme ou du projectile. Or, si nous faisons abstraction de^ propriétés physiques particulières de cette poudre, pour ne nous occuper que des effets de la simple détente des gaz qu'elle produit par son inflammation; si nous supposons, en d'autres termes, qu'elle soit remplacée par un volume égal de gaz comprimé à I200 atmosphères, par exemple, comme dans le cas examiné plus haut, il nous sera facile de calculer la quantité de travail que, abstraction faite des pertes ( 184 ), ce gaz produira par sa détente dans l'intérieur de l'âme, en concevant toujours, pour la simplicité, le projectile remplacé par une sorte de piston ou cylindre de même diamètre que celui de l'âme, et qui serait terminé par une face plane MN du côté du fluide; hypothèse qui n'altère en rien fçs résultats, attendu qu'on prouve aisément, par les principes qui seront établis plus tard, que le travail, communiqué par le fluide, est indépendant de la forme du projectile censé remplir exactement le contour de l'âme. Tout consistera donc encore à déterminer la valeur de la pression totale exercée, par le gaz, pour les diverses positions du plan MN.
Supposons, par exemple, que, le piston étant arrivé en 6, le volume occupé alors par ce gaz soit égal à 6 fois le volume primitif ABCD; d'après la loi de Mariotte, la pression sur chaque centimètre carré de la surface de la section MN, correspondante à 6> sera aussi ^ de 1200 atmosphères ou 200 atmosphères; par conséquent la pression totale, sur cette section
22 MN' dont nous représenterons par A la surface —•—7—3 aura pour
Ttli MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.
valeur A X 200**"»; chaque atmosphère valant i^'SoSS. Supposons encore que le piston chemine jusqu'en b\ de telle sorte que le volume devienne les '-^ de ce qu'il était en b, la pression sera donc aussi les -î^^ de A X 200"'» ou A X i99*'",8, et la quantité de travail, développée sur MN le long du petit chemin 6fr' que nous nommerons e, aura pour mesure trèsapprochée (72),
. i66'(AX2oo«*«-f- AXi99'*",8)
=rr 1 66'. A X 399«'*»,8 = e X A X i99**'",9.
Maintenant, si nous considérons ce qui se passerait dans une pièce dont la section de Tàme serait beaucoup plus petite, et pour des positions du boulet répondant aux mêmes volumes du gaz ou aux mêmes degrés de détente; que nous représentions pareillement par a Taire de cette section, et par E l'espace qui sépare les deux positions consécutives et correspondantes du piston, nous trouverons de même, pour la mesure du travail élémentaire développé, par le gaz, dans l'intervalle E dont 11 s'agit, E X a X i99'*'">9; de sorte qu'elle sera, à la précédente, dans le rapport de ^ X A à E X «. Mais ces produits mesurent les augmentations du volume des gaz dans les intervalles e, E, et nous avons supposé que ces augmentations étaient les mêmes; donc les quantités de travail développées, dans les deux cas, sont aussi égales entre elles; et, comme nos raisonnements sont indépendants du degré de petitesse de l'accroissement égal du volume des gaz, comme ils s'appliquent à tous les accroissements pareils successivement éprouvés par le volume primitif, comme enfin il sont susceptibles de s'étendre à des vases ou enveloppes de forme quelconque, il en résulte une démonstration générale de ce principe :
Les quantités de travail totales, développées par un même volume de différents gaz, sous une tension donnée, sont aussi les mêmes pour des détentes égales de ces gaz, quelle que soit d'ailleurs la manière dont s'opère mécaniquement cette détente, et pourvu seulement que les circonstances restent semblables sous tous les autres rapports.
W est évident, en effet, que, si le jeu, le frottement des pistons et la vitesse de la détente n'étaient pas sensiblement les
mêmes de part et d'autre, ou si la perte d'effet qui leur correspond diiTérait beaucoup dans les deux cas, les quantités de travail y transmises à ces pistons, ne seraient pas non plus égales. Mais, quand il sera permis de négliger ces causes de* pertes par rapport à Teffet total, ou qu'on en tiendra compte, le principe sera rigoureusement vrai et applicable, pourvu encore que les gaz restent dans des circonstances physiques semblables; car nous avons vu (26) que leur tension est susceptible de varier avec la température, et que certains d'entre eux peuvent même se condenser ou se liquéfier par le refroidissement et la compression (3, 5 et 182).
La réciproque du principe ci-dessus se démontrerait d'une manière absolument semblable; et, en admettant les mêmes restrictions, on pourra dire que :
Pour réduire de quantités égales un volume donné de différents gaz pris à une tension déterminée, il faut toujours dépenser la même quantité de travail, quelle que soit la manière dont on s'y prenne pour opérer mécaniquement cette réduction.
Ces principes sont évidemment l'extension de ceux des n*^ 97 et 98, lesquels supposent également qu'il n'y ait aucun obstacle extérieur, aucune résistance étrangère qui viennent consommer inutilement du travail mécanique. Ces mêmes principes peuvent aussi être considérés comme de simples conséquences de celui de la réaction (64 et 68); car, puisque les gaz sont censés des corps parfaitement élastiques, il parait, en quelque sorte, évident en soi que, pour amener leurs diverses molécules au même degré de tension ou de rapprochement, au même degré de mouvement, ou généralement au même état, il faut aussi dépenser la même quantité de travail absolue, de quelque façon qu'on opère mécaniquement; et qu'à l'inverse, un gaz comprimé doit restituer, dans sa détente, une quantité de travail utile, qui est uniquement relative à l'augmentation de son volume ou à la diminution de sa tension, toutes les fois que sa température et sa force vive n'ont pas été sensiblement modifiées (142 et 184), comme il arrive notamment quand la compression (*) ou la détente s'opère avec
(*) La température du gaz ne peut rester constante, même lorsque l'actioD
ai6 MÉGANIQUB INDUSTRIELLE.
lenteur (*); mais c'esi ce qui résulte aussi directement des propositions qui seront rigoureusement et généralement démontrées par la suite. Enfin on conclut encore de la démonstration ci-dessus, ainsi que des considérations mises en usage aux n" 181 et suivants, que :
Si des gaz quelconques, considérés sous des tensions différentes, ont été comprimés ou détendus d'une même fraction
s'opère avec lenteur, que dans le cas où toute la chaleur équivalente au travail de compression est perdue au dehors, ou que toute celle qui est consommée pendant la détente est restituée par une source extérieure. (Notes des n<>* 179 et 186.) (K.)
(•) Le calorique pouvant être considéré (24) comme un fluide éminemment élastique, sans inertie ou pesanteur, et dont l'état de tension est indiqué par la températnrc thermométrique (22), il en résulte qu'on peut lui appliquer, jusqu'à un certain point, les mêmes raisonnements qu'aux gaz matériels, et dire : « qu'une certaine quantité de chaleur, introduite dans un corps ou » soustraite de ce corps, doit développer, contre les résistances directement ■ opposées à son action, des quantités de travail absolues qui sont toujours » les mêmes ou indépendantes du mode de cette action et de la nature des n corps, mais dont une certaine partie est, dans les solides et les liquides, » employée à contre-balancer la force d'agrégation des molécules. » Ce principe offre quelque analogie avec celui qui a été mis en avant par M. S. Carnot, ancien élève de l'Ecole Polytechpique, dans un petit Ouvrage intitulé : Réjlexions sur la puissance motrice du feu (Paris, Bachelier, 1824). (Juant à ce que nous venons de nommer quantité de chaleur ^ elle se mesure, non pas simplement par Iç température, mais par le nombre des kilogrammes de glace à zéro, qu'elle peut convertir en eau à la même température de zéro. Nous reviendrons sur cet objet dans la Partie de ce Cours, où il sera spécialement question des machines à vapeur.
Ceit« Note a été écrite avant iS3o, aloti qae le conalate rATertiisemeot placé eo tête de la ileaxlème édition de rOuvrafe. Le principe qui y ett énoncé ne nons parait pat ressortir directement de* démonstralions données dans le texte; tel qu'il est formalé, il n'est pas exact; Poncelet tons» entendait évidemment une condition, car il n'Ignorait pas qae toute la chaleur introduite dans un corps peut n'avoir d'autre effet que d'en augmenter la température, sans produire aucun travail appréciable, ainsi que cela arrive pour les tat parfaits chauffés sous volume constant. Le principe est vrai si l'on admet que la température finale du corps qui reçoit la chaleur est égale à .la température initiale, supposition que l'Auteur fait expressément dans les démonstrations du texte; sous cette condition, Il exprime nettement la proportionnalité de la chaleur et du travail qu'elle peut produire, ce qui constitue la base de la nouvelle théorie ( Note du n* lOS ).
D'après la On de la Note, Il semble que Poncelet ait eu en vue le passage de la chaleur d'un corps à un autre ; il n'a malheureusement pas développé ces idées dans la suite, et l'omission que nous signalons dans son énoncé nous parait bien regrettable au point de vue de rhisloire de la théorie mécanique de li chaleur.
Nous ferons remarquer que si, dans l'état actuel de la science, on vent faire usage de l'ancienne hypothèse qui assimile le calorique à un fluide, la quantité de chaleur m sera pas une certaine quantité de Jluidft mais la quantité de travai! que celui-ci tient emmagasiné, soit sous forme de travail comme un ressort bandé, soit sous forme de force vive résidant dans les monvemonts del'étbcr. (K.)
de leur volume primitif y les quantités de travail développées contre la résistance ^ ou consommées par la puissance^ sont directement entre elles comme les produits de ces tensions et de ces volumes.
Celle proposiiion se démonlre, en efFel, aisémenl par la considéralion géométrique de la courbe du travail relative à la détente des gaz (181, PL Il^fig- 40» cl elle servira utilement pour abréger les calculs dans certaines circonstances dont nous aurons des exemples dans ce qui va suivre.
